2023-2024学年吉林省东北师大附中高考数学三模试卷含解析

一、单选题二、多选题1. 已知函数，给出下列结论：①的最小正周期为： ②是奇函数：③的值域为； ④在上单调递增．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③④D ．②③④2.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．3.已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A ．25B ．40C ．44D ．554. 已知为虚数单位,复数满足,则的共轭复数为（ ）A．B．C．D．5. 经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y 满足，其中A ，K 为非零常数.已知释放1s 后，在距释放处2m 的地方测得信息素浓度为a ，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ）A．B．C ．2m D ．4m6. 把4个相同的红球，4个相同的白球，全部放入4个不同的盒子中，每个盒子放2个球，则不同的放法种数有（ ）A ．12B ．18C ．19D ．247.若，则复数在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 若函数的图象在处的切线方程为，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，9.已知函数的导函数，且，，则（ ）A ．是函数的一个极大值点B．C ．函数在处切线的斜率小于零D．10. 已知，满足，则（ ）A．B．C．D．11.若，，当时，，则下列说法错误的是（ ）A ．函数为奇函数B．函数在上单调递增C．D ．函数在上单调递减吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(3)吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(3)三、填空题四、解答题12. 已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则（ ）A．碳原子与氢原子之间的距离为B．正四面体外接球的体积为C．正四面体的体积为D．任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为13.抛物线的焦点为，直线与C 交于A ，B 两点，则的值为______.14. 已知函数和都是定义在上的偶函数，当时，，则___________.15. 设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________.16. 已知中，角的对边分别为.（1）求：（2）求；（3）求的长.17. 汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心：如图1，某汽车四轮中心分别为，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米.(1)试用和表示；(2)如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；②设转向中心到路边的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；③.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？18. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，点关于轴的对称点在抛物线上．(1)求抛物线的方程；(2)、是抛物线上异于点的两个动点，记直线和直线的斜率分别为、，若，求证：直线过定点．19.已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和.20. 已知函数．(1)求的零点个数；(2)当时，恒成立，求的取值范围．21. 已知函数，.（1）求的单调区间，并求当时，的最大值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.。

2023年吉林省东北师大附中、长春十一中、四平一中、松原实验中学五校联考高考数学试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则( )A. B.C. D.3. 如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为4，则( )A. 2rB. 4rC. 4D. 84.已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于( )A. 35B.C.D.5. 已知，则( )A. B. C. D.6. 长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为( )A. B. C. D.7. 已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则( )A. 0B. 2022C. 4044D. 10118. 已知函数在区间上总存在零点，则的最小值为( )A. B. C. D.9. 如图，正方体的棱长为a，则以下四个结论中，正确的有( )A. 平面B. BD 与平面所成角为C. 平面D. 异面直线AD与所成的角为10. 已知函数的最小正周期T满足，且是的一个对称中心，则( )A. B. 的值域是C. 是的一条对称轴D. 是的一个零点11. 已知曲线C：，则下列结论正确的是( )A. 若，则C是圆，半径为B. 若，，且，则C是双曲线，其渐近线方程为C.若，，且，则C是椭圆，若，是曲线C的左、右顶点，P是曲线C上除，以外的任意一点，则D. 若，，则C是双曲线，若P是曲线C上的任意点，则P到两条渐近线的距离之积为12. 已知函数，数列按照如下方式取定：，曲线在点处的切线与经过点与点的直线平行，则( )A. B.恒成立C. D. 数列为单调数列13. 新时期党史学习教育，是党中央立足党的百年历史新起点、统筹中华民族复兴战略全局和世界百年末有之大变局，为动员全党全国满怀信心投身全面建设社会主义现代化国家而做出重大决策.某企业成立的党史学习教育督查组为调研本单位的党史学习情况，到某部门对10名成员进行了问卷测试，成绩如下：90，92，92，93，93，94，95，96，99，100，则这组数据的第75百分位数是______ .14. 若…，则______ .15. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______ .16. 著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则…是斐波那契数列中的第______ 项；又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，则______17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，满足求A；若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求的面积的最小值.18. 在①；②；③，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答，注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.已知正项数列的前n项和为，且____.求数列的通项公式；设，若数列满足，求证：19. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D为线段AB的中点，，，，三棱锥的体积为证明：平面；求平面与平面夹角的余弦值.20. 第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行.本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起.世界杯，是球员们圆梦的舞台，也是球迷们情怀的归宿.为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如下等高堆积条形图，完成列联表：喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性女性合计依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：控球队员A B C接球队员B C A C A B概率若传球3次，记B队员控球次数为X，求X的分布列及均值.附：，附表：21. 已知抛物线C：，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点，交y轴于E点，当点M的横坐标为1时，若直线l的斜率为1，求弦长；，，试问：是否为定值.若是，求出此定值，若不是，请说明理由.22. ，，a，若在点处的切线方程为，求实数a，b的值；当时，的图象与的图象在内有两个不同的公共点，求实数b的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，则，故选：根据题意，计算集合A，B，求解交集即可．本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：的几何意义是在复平面内以为圆心，半径为2的圆，即，故选：根据复数模的几何意义，转化为圆的方程进行求解即可．本题主要考查复数模的方程的应用，结合复数模的几何意义转化为圆的方程是解决本题的关键．难度不大．3.【答案】D【解析】解：已知圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为4，则，故选：由投影的运算，结合求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了投影的运算，属基础题．4.【答案】C【解析】解：设等比数列的公比设为q，由，且与的等差中项为，可得，，解得，，则故选：设等比数列的公比为q，由已知可得首项和公比的方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式求解．本题考查等差中项的性质和等比数列的通项公式及前n项和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：，令，则，，故选：根据两角差的正弦公式化简得，结合诱导公式以及二倍角公式，即可得出答案．本题考查两角和差的三角函数和二倍角的三角函数，考查转化思想和整体思想，考查换元法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：设事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三国”，则，，在冬季去了“一眼望三国”的概率为，在夏季去了“一眼望三国”的概率为，某人去了“一眼望三国”景点的概率为：故选：根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概率公式能求出某人去了“一眼望三国”景点的概率．本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以函数图象上点关于点的对称点也在的图象上，又由可知，函数的图象也关于点对称，所以函数与的图象的交点关于点M对称，不妨设，则，，所以，故选：根据题意可得函数图象上点关于点的对称点也在的图象上，函数的图象也关于点对称，则函数与的图象的交点关于点M对称，即可得出答案．本题考查函数的对称性，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：设t为函数在区间上的零点，函数在区间上总存在零点，零点为t，，即，点是直线上的点，，化为：，令，，则，因为，，，函数在上单调递增．时，函数取得极小值即最小值，，，则的最小值为故选：设t为函数在区间上的零点，由函数在区间上总存在零点t，，点是直线上的点，利用两点的距离与点到直线的距离列出不等式，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，推出结果即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、点到直线的距离公式、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.【答案】ABC【解析】解：如图，因为，平面，平面，所以平面，故A正确；由正方体，易得平面，所以为BD与平面所成的角，在等腰直角三角形BCD中，易得，故B正确；因为正方体中对角线在平面上的射影为，而，，，所以平面，同理可得，又，可得平面，故C正确；因为，所以为异面直线线与AD所成的角，在等腰直角三角形中，易得，故D不正确；故选：利用，可判断A；利用平面，可得为BD与平面所成的角，求解可判断B；根据线面垂直的判定定理可判断C；，可得为异面直线线与AD所成的角，可判断本题考查了空间中的直线与平面间的位置关系应用问题，属中档题．10.【答案】BC【解析】解：因为函数的最小正周期T满足，且，则，解得：，令，解得：，则函数的对称中心为，又有是的一个对称中心，所以，即，所以，所以A选项错误；则函数，当时，，则，所以B选项正确；当时，，则是函数的一条对称轴，所以C选项正确；当时，，则不是函数的零点，所以D选项错误；故选：根据正弦函数的最小正周期，结合题目条件得到，再由函数的一个对称中心是求得，，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可判断各个选项．本题考查了三角函数的解析式和性质，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：曲线C：，A.若，则C化为：，因此C是圆，半径为，正确；B.若，，且，则C是双曲线，其焦点在y轴上，其渐近线方程为，因此B不正确；C.，，设，则，，，因此C正确；D.双曲线的渐近线方程为，设，则，，则P到两条渐近线的距离之积为，因此D正确．故选：曲线C：，A.由，C化为：，进而判断出正误；B.若，，且，可得C是双曲线，其焦点在y轴上，进而得出渐近线方程，进而判断出正误；C.，，设，代入双曲线可得，利用斜率计算公式可得，进而判断出正误；D.双曲线的渐近线方程为，设，，可得，利用点到直线的距离公式可得P到两条渐近线的距离之积，进而判断出正误．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为，所以，，，，由已知可得，所以，所以，因为，所以，记，所以，所以单调递减，所以，所以，所以，所以，所以所以，故A正确；设，则，设，，所以，，所以若，则，则，因为，所以，，，所以恒成立，故B正确；要证，令，即证明，令，所以时，，，所以，所以C错误；，若数列为单调，则必为单调递减，则，即，即，即，即，即，令，则，所以，所以单调递增，所以，所以，得证，故D正确．故选：根据导数的几何意义，利用放缩法和构造函数利用导数证明单调性即可得解．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查转化思想与逻辑推理能力，属于难题．13.【答案】96【解析】解：因为，不是整数，所以这组数据的第75百分位数是第8位数，即故答案为：根据百分位数的求法，即可得解．本题考查百分位数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】140【解析】解：在中，含的项为，在中，含的项为，所以的展开式中，含的项为，所以故答案为：利用二项式展开式的通项公式，分别求得和中，含的项，再合并同类项，即可得解．本题考查二项式定理，熟练掌握二项式展开式的通项公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】9【解析】解：因为，所以，所以，当且仅当，即，即，时取“=”，所以最小值为故答案为：由得出，再由，利用乘“1”法求最小值即可．本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．16.【答案】101 842【解析】解：，，，则是斐波那契数列中的第101项；列出斐波那契数列有1，1，2，3，5，8，13，⋯，，则，，令，则，，，，故，则，故答案为：101；根据斐波那契数列的定义，化简得，即可得出答案；利用，则，即可得出答案．本题考查数列的递推式，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以，由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，因为，所以因为角A的平分线交边BC于点D，所以，因为，所以，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故的面积的最小值为【解析】结合平面向量共线的条件与正弦定理，化简可得，再利用余弦定理，即可求出角A的大小；根据，利用正弦面积公式，可得，再结合基本不等式，求出，然后代入，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：选择条件①，因为，所以，因为，所以，则，当时，，所以两式相减得：，即，则，当时，，所以符合上式，所以；选择条件②，因为，当时，，所以两式相减得：，整理得，因为，所以，当时，，所以或舍，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则；选择条件③，因为，所以，累乘得：，所以，又符合式子，所以，当时，，所以两式相减得：，即，又符合上式，所以；证明：由得：，则，所以得证．【解析】选择条件①，因式分解计算可得，再根据与的关系即可求解数列的通项公式；选择条件②，直接根据与的关系可得递推关系式，确定列是等差数列，按照等差数列通项公式即可得；选择条件③，利用累乘法求解，再根据与的关系结合相减法即可求解数列的通项公式；由得，则，直接按照裂项相消法求和即可证明不等式．本题主要考查了数列的递推关系以及裂项相消求和计算和数列不等式的证明，属于中档题．19.【答案】证明：由平面ABC，平面ABC，所以，，因为，所以，因为，，，所以，即，又，、平面，所以平面，因为平面，所以，所以，因为三棱锥的体积为8，所以，解得，由勾股定理，可得，又，所以，即，因为，、平面，所以平面解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，同理可得，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，，故平面与平面的夹角的余弦值为【解析】根据平面ABC，可得，由勾股定理可证，从而知平面，进而得，再由等体积法，求得，利用勾股定理，可证，然后由线面垂直的判定定理，得证；以B为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，，设平面与平面的夹角为，由，，即可得解．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理或性质定理，利用空间向量求平面与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：完成列表，喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性 60 40 100女性 20 80 100合计 80 120 200假设：喜爱足球运动与性质别独立，即喜爱足球运动与性质无关，，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即能认为喜爱足球运动与性别有关，此论断犯错误的概率不超过由题意得X的可能取值为0，1，2，，即，，，即，，，，，，，即，，，的分布列为：X 01 2P【解析】完成列联表，再利用独立性检验求解；由题得X的可能取值为0，1，2，求出对应的概率，由此能求出X的分布列及均值．本题考查独立检验的应用，考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：由题意抛物线C：，过焦点F的直线l交抛物线于M、N两点，交y轴于E点，当点M的横坐标为1时，则，解得，则抛物线的方程为；由抛物线的焦点，可设直线MN的方程为，设M，N的横坐标分别为，，联立，可得，则，，；解：可设直线MN的方程为，设M，N的横坐标分别为，，联立，可得，则，，可得，即，，可得，即，则，化简可得，即为定值【解析】由题意结合抛物线的定义，求解p，得到抛物线方程，求解直线方程，代入抛物线的方程，利用抛物线的性质求解弦长即可；求得F，设直线MN的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量共线定理，化简整理可得所求定值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查向量共线定理的运用，属于中档题．22.【答案】解：函数的定义域为，则，又在点处的切线方程为，所以，，解得：，，故实数a的值为2，b的值为当时，，令得：，即，令，，因此，的图象与的图象在内有两个不同的公共点，等价于函数在内有两个不同的零点，则，当时，当时，即时，恒成立，所以在上单调递增，则至多一个零点，不符合题意，舍去；当时，即时，恒成立，所以在上单调递减，则至多一个零点，不符合题意，舍去；当时，即时，令，得：，令，得：；所以在上单调递减，在上单调递增；则；若在上存在两个零点，则，又，解得：；再证：当时，令，则，再证：当时，令一，则一，令，得：，令，得：；所以在上单调递增，在上单调递减，则，因为，所以，即，所以，则当时，恒成立；即当时，恒成立，则在上有两个零点．综上，实数b的取值范围为【解析】对函数求导得到，结合题目条件得到，，即可求解；当时，令得到令，将的图象与的图象在内有两个不同的公共点的问题转化为函数在上有两个零点，利用导数对进行讨论，结合零点的存在性定理，即可求解．本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。

吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第三次模拟考试数学试题说明：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答素写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.3．请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效：在试卷上、草纸上答题无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1．复数sin1icos1z =+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知()12,1,1.2x x f x x x -⎧<=≥⎪⎩若()1f a =，则实数a 的值为（）A ．1B ．4C ．1或4D ．23．已知随机变量()22,X N σ ，且()30.2≥=P X ，则(1)P X >=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．若互不相等的正数,,a b c 满足2b a c =+，则（）A ．ln ,ln ,ln a b c 成等差数列B ．ln ,ln ,ln a b c 成等比数列C ．e ,e ,e a b c 成等差数列D ．e ,e ,e a b c 成等比数列5．下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A ．()23f x x-=B ．()tan =f x x C ．()31f x x x=-D ．()ln f x x=6．已知圆锥的侧面积是4π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（）A ．3B ．3C ．3D ．37．已知圆22:1C x y +=与x 轴交于12,F F 两点，点P 在直线:40l x y -+=上，若以12,F F 为焦点的椭圆过点P ，则该椭圆的离心率的最大值为（）A ．2B C D 8．已知,αβ为锐角，且()2sin cos sin βαβα+=，则tan β的最大值为（）A ．12B ．4C ．6D ．2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知集合{}{}2log 1,1A x x B x x =≤=≤，则（）A ．{}02A x x =≤≤B ．{01}A B x x ⋂=<≤C ．{}12A B x x ⋃=-≤≤D ．*N B ⋂的子集个数为210．在61x ⎛- ⎝的展开式中，下列说法正确的是（）A ．各二项式系数的和为64B ．各项系数的绝对值的和为729C ．有理项有3项D ．常数项是第4项11．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ，且224,DC AB AD O ===为BD 的中点，沿BD 将ABD △翻折，使得点A 到达A '的位置，构成三棱锥A BCD -'（如图2），则（）A ．在翻折过程中，A D '与BC 可能垂直B ．在翻折过程中，二面角A BCD '--无最大值C ．当三棱锥A BCD -'体积最大时，A D '与CO 所成角小于π3D ．点P 在平面A BD '内，且直线PC 与直线BC 所成角为π6，若点P 的轨迹是椭圆，则三棱锥A BCD -'的体积的取值范围是⎣⎭三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．12．已知向量()(),1,1,3a m b =-= ，若a b ⊥，则a =r .13．“冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用1216,,,A A A 表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达6A 有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观i A 的不同路线有i a 条，其中116,N i i ≤≤∈，记()2117,N n a m n n +=≤≤∈，则21ni i a ==∑（结果用m 表示）.14．已知拋物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，过,A B 作x 轴垂线，垂足分別为11,A B ，直线1AB 与直线l 交于P 点，则PAB 与11PA B △的面积比值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos2a B b A c -=．(1)求A ；(2)AB在AC方向上的投影向量是2,3AC a = ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD PB PC ==，224,PA BC AD CD E ====为BC 中点，点F 在梭PB 上（不包括端点）.(1)证明：平面AEF ⊥平面PAD ；(2)若点F 为PB 的中点，求直线EF 到平面PCD 的距离.17．已知点()2,0F ，直线:1l x =，动圆P 与直线l 相切，交线段PF 于点M ，且PF =．(1)求圆心P 的轨迹方程，并说明是什么曲线；(2)过点F 且倾斜角大于3π4的直线l '与y 轴交于点M ，与P 的轨迹相交于两点12,M M ，且()12,R FM FM FM λμλμ==∈ ，求λμ+的值及11λμ+的取值范围.18．短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值0.001α=的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人游客短视频合计收看未看南方游客北方游客合计(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.（i ）求经过i 次传递后球回到甲的概率；（ii ）记前m 次传递中球传到乙的次数为X ，求X 的数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；()11m mi i i i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑附表：α0.10.050.010.0050.001aχ 2.7063.8416.6357.87910.82819．已知函数()2()e xx a f x +=．(1)讨论()f x 的单调性；(2)设,m n 分别是()f x 的极小值点和极大值点，记()()()(),,,M m f m N n f n ．（i ）证明：直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 外另一点P ；（ii ）在（i ）结论下，判断是否存在定值(),1t a a ∈+且Z a ∈，使MN t PN =，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.1．A【分析】由复数几何意义及三角函数值符号判断其所在象限即可.【详解】由复数的几何意义知，复数sin1i cos1z =+在复平面中对应点(sin1,cos1)Z ，又因为157.3≈ ，所以sin10>，cos10>，所以点Z 位于第一象限.故选：A.2．B【分析】分1a <和1a ≥，求解()1f a =，即可得出答案.【详解】当1a <时，()121a f a -==，则10a -=，解得：1a =（舍去）；当1a ≥时，()12f a ==2=，解得：4a =.故选：B.3．D【分析】根据正态分布性质可得【详解】因为()22,X N σ~，所以()()130.2P X P X ≤=≥=，所以()(1)110.8P X P X >=-≤=.故选：D.4．D【分析】根据,,a b c 互不相等，且2b a c =+得到2e e b a c +=，转化为()2e e e b a c =⋅，根据等比中项的概念，判断e ,e ,e a b c 成等比数列.【详解】因为,,a b c 互不相等，且2b a c =+，所以2e eba c+=⇒()2ee e bac=⋅，即e e e eb ca b =，所以e ,e ,e a b c 成等比数列.故选：D 5．C【分析】利用奇函数的定义()()f x f x -=-，即可判断四个选项的奇偶性，只有B C 、是奇函数，又正切函数在()0,∞+上不是单调递增函数，而函数()31f x x x=-的导函数恒大于零，所以只有C 正确.【详解】对于A ，()()()2233f x x x ---=-= ，()f x \为偶函数，故A 错误；对于B ，()()()tan tan f x x x f x -=-=-=- ，()f x \为奇函数，又()tan =f x x 在()0,∞+不满足单调递增定义，所以B 错误；对于C ，()()()()()3311f x x x f x x x -=--=-+=-- ，()f x \为奇函数，()22130f x x x'=+>，()f x \在区间()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，ln y x =是非奇非偶函数，所以D 错误.故选：C.6．D【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题意知：π4ππ2πrl l r=⎧⎨=⎩，两式相除解得r =l =；所以圆锥的顶角为π3，轴截面为等边三角形，圆锥的高h =设圆锥的内切圆半径为R ，)222RR =+，解得3R =.故选：D.7．B【分析】根据题意求出点2(1,0)F 关于直线1:40x y -+=对称的点F '的坐标，结合两点之间线段最短，即可求出a 的最小值，由此即可求出离心率的最大值．【详解】由题意知1(1,0)F -，2(1,0)F ，以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆的半焦距为1c =，由题意可知直线1与椭圆有交点P ，设点2(1,0)F 关于直线1:40x y -+=对称的点为(,)F m n '，则111422nm n m ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=+⎪⎩，解得(4,5)F '-，则12112a PF PF PF PF F F =+=+'≥=='因为1c e a a==，=．故选：B ．8．A【分析】先结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为α，β为锐角，且2sin cos()cos cos sin sin sin βαβαβαβα+==-，两边同时除以cos β得，2tan cos sin tan sin βααβα-=，()2cos sin sin 2tan αααβ∴=+，αQ 为锐角，tan 0α∴>，2222sin cos sin cos tan 1tan 22sin 3sin 2cos 3tan 2123tan tan αααααβαααααα∴====≤=++++，当且仅当23tan tan αα=，即tan 3α=时取等号，tan β∴最大值12．故选：A ．9．BCD【分析】解对数不等式及绝对值不等式，结合集合的交集、并集运算及子集的定义计算即可.【详解】对于A 项，由题意知，2{|0}A x x =<≤，{|11}B x x =-≤≤，故A 项错误；对于B 项，{|01}A B x x =< ≤，故B 项正确；对于C 项，{|12}A B x x ⋃=-≤≤，故C 项正确；对于D 项，因为*N {1}B = ，所以*N B 的子集为∅、{1}共2个，故D 项正确.故选：BCD.10．AB【分析】利用各二项系数和可判断A 选项；根据二项式61x ⎛- ⎝展开式的系数的绝对值和与二项式61x ⎛+ ⎝的展开式的系数和相等，可判断B 选项；根据展开式的通项可判断C选项和D 选项；【详解】在61x ⎛- ⎝的展开式中，各二项式系数的和为6264=，故A 正确；各项系数的绝对值的和与61x ⎛+ ⎝的各项系数和相等，令1x =，可得各项系数的绝对值的和为63729=，故B 正确；展开式的通项为(()63621661C 2C rrr rr r r T xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令36Z 2r ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，得0,2,4,6r =时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，故C 错误；令3602r -=，得4r =，所以常数项是第5项，故D 错误.故选：AB.11．AC【分析】先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当'A O OC ⊥时可证平面'A BD ⊥平面BCD ，从而可证'A D BC ⊥，判断A ；且此时二面角A BC D '--取得最大值，判断B ；还是此时，当三棱锥A BCD -'体积最大，可求异面直线A D '与CO 所成角，判断C ；对D ，根据圆锥曲线的定义，判断二面角A BD C '--的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥A BCD -'的体积的取值范围，判断D.【详解】如图1：在未折起之前，有2AB BC AD ===，4CD =，1OA =，OC =.OA BD ⊥.又60BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，所以BC BD ⊥.沿BD 将ABD △翻折，则A 点轨迹为一个圆，且圆面一直和BD 垂直，如图：当'A O OC ⊥时，'A C ='A O BD ⊥，,OC BD ⊂平面BCD ，所以'A O ⊥平面BCD ，'A O ⊂平面'A BD ，所以平面'A BD ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，平面BCD 平面'A BD BD =，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面'A BD .'A D ⊂平面'A BD ，所以'A D BC ⊥.故A 正确.此时BD BC ⊥，'A B BC ⊥，所以'A BD ∠即为二面角'A BC D --的平面角为30︒，是二面角'A BC D --的最大值，故B 错误；此时三棱锥'A BCD -的高等于'A O ，高取得最大值，又底面BCD 不变，所以三棱锥'A BCD -的体积最大.如图：取'A B 中点E ，连接OE ，CE ，则OCE ∠即为一面直线A D '与CO 所成角，在OCE △中，1'12OE A B ==，OC =，CE ===，所以222cos2OC CE OE OCE OC CE +-∠=⋅1cos 60702=>=︒，所以π3OCE ∠<，故C 正确；对D ：点P 在平面A BD '内，且直线PC 与直线BC 所成角为π6，若点P 的轨迹是椭圆，根据圆锥曲线的概念，二面角A BD C '--应该在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭之间取值，且不能为90︒（此时点P 的轨迹是圆），当二面角π3A BD C '--=或2π3时，'11123223A BCD V -=⨯⨯⨯=，当二面角π2A BD C '--=时，'1121323A BCD V -=⨯⨯⨯=，所以点P 在平面A BD '内，且直线PC 与直线BC 所成角为π6，且点P 的轨迹是椭圆时，'A BCD V -∈⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：用一个平面截圆锥体，要想得到的截面是一个椭圆，截面不能和圆锥的母线相交，且截面不能与圆锥的轴垂直（此时的截面是圆）.12【分析】根据平面向量数量积的坐标运算得m 的值，从而可求模长.【详解】因为()(),1,1,3a m b =-= ，a b ⊥ ，所以=30a b m ⋅-=，解得3m =，所以a ==.13．81m -【分析】结合题意及分类加法原理，依次计算到达2A 、3A 、4A 、5A 、6A 的走法即可.由题意可知数列{}n a 为斐波那契数列，即12n n n a a a +++=（114n ≤≤且*N n ∈），结合累加法求解即可.【详解】由题意知，到达2A 点共有1种走法，到达3A 点共有112+=种走法（一种是经过2A 点到达3A ，一种是直接到达3A ），到达4A 点共有123+=种走法（一种是经过2A ，一种是经过3A ，所以到达4A 将2A 、3A 的走法加起来），到达5A 点共有325+=种走法（一种是经过2A 和4A ，一种是经过3A ，所以到达5A 将4A 、3A 的走法加起来），到达6A 点共有358+=种走法（一种是经过2A 和4A ，一种是经过3A 和5A ，所以到达6A 将4A 、5A 的走法加起来），故按图中所示方向到达6A 有8种不同的打卡路线.由题意知，11a =，21a =，3122a a a =+=，4233a a a =+=，5345a a a =+=，…，12n n n a a a +++=（114n ≤≤且*N n ∈），因为12n n n a a a +++=（114n ≤≤且*N n ∈），所以123a a a +=，345a a a +=，567a a a +=，…，21221n n n a a a -++=，（17n ≤≤且*N n ∈），将上式累加可得12345621235721n n n a a a a a a a a a a a a -+++++++++=++++ ，（17n ≤≤且*N n ∈），整理可得1246221n n a a a a a a ++++++= ，又11a =，21n a m +=，所以24622111n n a a a a a a m +++++=-=- ，即211ni i a m ==-∑.故答案为：8；1m -.14．1【分析】设直线AB 的方程为：1x my =+，联立直线AB 与抛物线的方程求得12124,4y y m y y +=⋅=-，再求出P 点坐标，讨论点A 在点B 的右侧或左侧，表示出()21112PABS y x =+ ，所以()()1121121111PAB PA B y my S S y my ++=++ ，再将韦达定理代入即可得出答案.【详解】依题意作示意图如下图，图一为点A 在点B 的右侧，图二为点A 在点B 的左侧，根据抛物线方程有：()1,0,:1F l x =-，设直线AB 的方程为：1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ，()01,P y -，故()()1112,0,,0A x B x ，若12x x =，则直线1AB 与直线l 不相交，故12x x ≠，联立直线AB 与抛物线的方程有：241x xy y m =+=⎧⎨⎩，则2440y my --=，则12124,4y y m y y +=⋅=-，直线1AB 的方程为：()1212y y x x x x =--，令=1x -，得到()102211yy x x x =+-，所以()12211,1y P x x x ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，因为1112A B x x =-，所以()111101211122PA B S A B y y x ==+ ，而对于PAB ，当点A 在点B 的右侧，根据图象可知，()11222122111111222PAB PBB ABB S S S y x y x x y x =+=++-=+ ，当点A 在点B 的左侧，根据图象可知，()11222122111111222PAB PBB ABB S S S y x y x x y x =-=+--=+ ，即()21112PAB S y x =+ ，所以()()()()11212112121111211112PABPA B y x y my S S y my y x +++==+++ ，()1212111211244242122424m y m y my y m y y my y y m y m--+-====+--.故答案为：1.【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设直线AB 的方程为：1x my =+，联立直线AB 与抛物线的方程求得12124,4y y m y y +=⋅=-，再求出P 点坐标，讨论点A 在点B 的右侧或左侧，表示出()21112PAB S y x =+ ，所以()()1121121111PAB PA B y my S S y my ++=++ ，再将韦达定理代入即可得出答案.15．(1)π3A=(2)ABC S = 【分析】（1）由cos cos2a B b A c -=，利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简得到sin cos2cos sin B A A B =-求解；（2）（方法一）由AB 在AC 方向上的投影向量2cos<,>3AC AB AB AC AC AC =，化简得到cos 23c A b =，再利用余弦定理求得3,4b c ==即可；（方法二）：过B 作BD AC ⊥，设DC t =，在Rt BDC 中，由22213BD DC BC +==求解.【详解】（1）解：由正弦定理得sin cos sin cos2sin A B B A C -=，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，即sin cos2cos sin B A A B =-，又sin 0,cos2cos B A A ≠∴=-，22cos 1cos A A ∴-=-，即22cos cos 10A A +-=得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），又()π0,π,3A A ∈∴=.（2）（方法一）AB 在AC 方向上的投影向量为2cos<,>3AC AB AB AC AC AC =，cos 23AB A AC ∴=即cos 23c A b =，14cos ,23A c b =∴= ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，222441131323329b b b b b ⎛⎫∴=+-⋅⋅= ⎪⎝⎭，3,4b c ∴==，则11sin 3422ABC S bc A ==⨯⨯= （方法二）：如图所示：过B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则AD 为AB在AC 方向上的投影向量，设DC t =，则2,23,4AD t BD AB t ===，在Rt BDC 中，22213BD DC BC +==，1,4,3t AB AC ∴===，1π13sin 43332322ABC S AB AC ∴=⋅=⨯⨯⨯= 16．(1)证明见解析455【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得AE AD ⊥，PA AE ⊥，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.（2）由线面平行判定定理可证得//EF 平面PCD ，则点E 到平面PCD 的距离即为EF 到平面PCD 的距离.方法一：以A 为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法P EDC E PCD V V --=计算即可.【详解】（1）证明：连接AC ，如图所示，PA ⊥ 平面,,ABCD PA AB PA AC ∴⊥⊥，6,4,22PB PC PA AB AC ===∴== ，2224,BC AB AC BC =∴+= ，即AB AC ⊥，又E 为BC 中点，则AE BC ⊥，且2AE EC ==，2,AD CD ==∴ 四边形AECD 为正方形，AE AD ∴⊥，PA ⊥ 平面,ABCD AE ⊂平面,ABCD PA AE ∴⊥，又AD PA A = ，AD 、PA ⊂平面PAD ，AE ∴⊥平面PAD ，又AE ⊂ 平面,AEF ∴平面AEF ⊥平面PAD .（2） 在PBC 中，,E F 分别为,BC PB 中点，EF PC ∴∥，又EF ⊄平面,PCD PC ⊂平面PCD ，//EF ∴平面PCD ，∴点E 到平面PCD 的距离即为EF 到平面PCD 的距离，（方法一）,,PA AD PA AE AE AD ⊥⊥⊥ ，∴以A 为原点，,,AE AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()()2,0,0,2,2,0,0,0,4,0,2,0E C P D ，()()()0,2,0,2,2,4,2,0,0EC CP CD ==--=-，设(),,n x y z =是平面PCD 的法向量，22402,020n CP x y z y z x n CD x ⎧⋅=--+==⎧⎪∴∴⎨⎨=⋅=-=⎩⎪⎩ ，取1z =，则()2,0,2,1y n =∴=是平面PCD 的一个法向量，∴点E 到平面PCD的距离为EC n d n ⋅= 即直线EF 到平面PCD的距离为5.（方法二）连接ED 、PE ，如图所示，EDC △为等腰直角三角形，12222EDC S ∴=⨯⨯=△，又PA ⊥ 平面,ECD PA ∴是三棱锥P EDC -的高，∴11824333P EDC EDC V S PA -=⋅=⨯⨯= ，222,16425,26CD PD PA AD PC =++== 222,PD CD PC CD PD ∴+=∴⊥，11225522PCD S CD PD ∴=⋅=⨯⨯=△设E 到平面PCD 距离为d ，则13P EDC E PCD PCD V V S d --==⋅△，184525,33525d d ∴⨯=∴即EF 到平面PCD 45517．(1)22122x y -=，点P 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长、虚轴长均为22的等轴双曲线．(2)4λμ+=，()2,+∞【分析】（1）设点(),P x y ，根据2PF PM =列出等量关系整理可得；（2）设直线:2l x my =+'，联立双曲线方程，利用韦达定理结合12FM FM FM λμ==，可得λμ+的值及11λμ+的取值范围.【详解】（1）设点(),P x y ，圆P 的半径为,r d 为P 到直线l 的距离，则d r =．根据题意，动点P 的轨迹就是点的集合{}{}22A P PF PM P PF d===22(2)21x y x -+-即222(2)2(1)x y x -+=-，整理得22122x y -=.所以，点P 的轨迹是焦点在x 轴上，实轴长、虚轴长均为22（2）设直线:2l x my =+'，倾斜角大于()3π,14m ∞∴∈--设()()1112222,,,,0,M x y M x y M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭联立2222x my x y =+⎧⎨-=⎩得()()222142010m y my m -++=->，故()()222Δ1681810m m m =--=+>，12241m y y m -+=-，12221y y m ⋅=-，由题知，双曲线的焦点()2,0F ，()()11122222,,2,,2,FM x y FM x y FM m ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ()212121212242222221,421my y m m my my my my my y m λμλμ--⨯-+-=-=-∴+=--===-()222122241122122211m m y y m m m m λμ-+-+====+----由(),1m ∞∈--得()21110,1m ∞λμ∈+∴+-的取值范围是()2,∞+18．(1)列联表见解析，无关(2)（i ）1111554i i P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（ii ）()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用已知条件，完成列联表，利用独立性检验公式求解判断即可；（2）（i ）设经过i 次传递后回到甲的概率为i P ，求出关系式，得到通项公式；（ii ）方法一：设第i 次传递时甲接到球的次数为i Y ，则i Y 服从两点分布，()i i E Y P =，设前m 次传递中球传到甲的次数为Y ，利用公式求期望即可.方法二：设第i 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为i q 与i X ，则i X 服从两点分布，()i i E X q =，利用公式求期望即可.【详解】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：游客短视频合计收看未看南方游客200100300北方游客80120200合计280220500零假设0H ：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联．220.001500(20012080100)800034.63210.828300200280220231χχ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001（2）（i ）设经过i 次传递后回到甲的概率为i P ，()()1111112444i i i P P P i --=-⨯=-+≥，1111545i i P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又111055P -=-≠，所以15i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为14-的等比数列，所以1111554i i P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.（ii ）（方法一）设第i 次传递时甲接到球的次数为i Y ，则i Y 服从两点分布，()i i E Y P =，设前m 次传递中球传到甲的次数为Y ，()()12311m mi i mi i E Y E Y E Y P P P P ==⎛⎫===++++ ⎪⎝⎭∑∑111414415525452514mmm m ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=⨯-+-⎪⎝⎭+，因为()()4m E Y E X -=，所以()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.（方法二）设第i 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为i q 与i X ，则i X 服从两点分布，()i i E X q =，由题可知()1114i i q q -=-，1111545i i q q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又114q =，所以111520q -=，所以15i q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为120，公比为14-的等比数列，11115204i i q -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，111554ii q ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，()()11111144115514mm m m i i i i i i m E X E X E X q ===⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎢⎥⎣⎦====-⨯⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭∑∑∑，故()111525254mm E X ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第2问（ii ）的解决关键是，根据题意得到1,i i P P -的关系，利用构造法分析出15i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为15-，公比为14-的等比数列，由此得解.19．(1)()f x 在(),2a a --+上单调递增，在()(),,2,a a -∞--++∞上单调递减(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在定值t ，此时1a =.【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，从而解不等式，求出函数单调性；（2）（i ）法一：在（1）基础上得到,2m a n a =-=-+，求出MN 直线方程，联立得到()22()2eea x x a x a -++=，变形得到()()22e 0x a x a x a +-⎡⎤+-+=⎣⎦，构造()()22e ,R x a g x x a x +-=-+∈，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得到结论；法二：在（1）基础上得到,2m a n a =-=-+，求出MN 直线方程，联立得到()22()2ee a x x a x a -++=，变形得到()22e 0e a x x a x a -+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，构造()22e ,R e a x x a h x x -+=-∈，求导得到其单调性，结合零点存在性定理得到结论；（ii ）法一：在（i ）基础上，得到()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，表达出()022MN t PN a x ==-+，故022(0)a x t t +=->，结合（i ）中的0202e x a x a +-=+得到21e 10(0)t t t-+-=>，换元得到()2e 1,0u H u u u =--<，求导得到其单调性，结合特殊点的函数值，得到存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，又(),1t a a ∈+，故1a =；法二：由（i ）知，()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，表达出()022MNt PN a x ==-+，故()022(0)a x t t-+=>，根据()0,1x a a ∈--，得到12t <<，又(),1t a a ∈+，故1a =；【详解】（1）()2()e xx a f x +=定义域为R ，()()()()22()2,R e ex x x a x a x a x a f x x +-+-++-='=∈ ，令()0f x ¢>，则2a x a -<<-+，令()0f x '<，x a <-或2x a >-+，()f x \在(),2a a --+上单调递增，在()(),,2,a a -∞--++∞上单调递减．（2）（i ）法一：由（1）知,2m a n a =-=-+且()()0f m f a =-=，()2244e e a a f n --+==，224e 2e 2a a MN k a a--∴==-++，MN ∴直线方程为()22ea y x a -=+，令()22()2e ea x x a x a -++=，即()()22e 0x a x a x a +-⎡⎤+-+=⎣⎦，x a ∴=-或()22e 0x a x a +--+=，设()()22e ,R x a g x x a x +-=-+∈，则()22e 1x a g x +-=-'，令()0g x '=，则12ln2x a +-=，2ln2x a ∴=--，令()0g x '>，则2ln2x a >--，令()0g x '<，则2ln2x a <--，()g x ∴在(),2ln2a -∞--上单调递减，在()2ln2,a --+∞上单调递增，()()220,2e 0g a g a --=-=> ，()()ln22ln22e 2ln2ln210g a ---=--=-<，（或者()()2ln220g a g a --<-<）∴存在唯一的()0,2x a a ∈--，使()00g x =，即0202e x a x a +-=+，故方程①的解有0,2,a a x --综上，直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 点外另一点P ；法二：由（1）知,2m a n a =-=-+且()()0f m f a =-=，()2244e e a a f n --+==，224e 2e 2a a MN k a a--∴==-++，MN ∴直线方程为()22ea y x a -=+，令()22()2e e a x x a x a -++=，即()22e 0e a x x a x a -+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，x a ∴=-或22e 0ea x x a -+-=，设()22e ,R e a x x a h x x -+=-∈，则()1e xx a h x --='，令()0h x '=，则1x a =-；令()0h x '>，则1x a <-；令()0h x '<，则1x a >-，()h x ∴在(),1a -∞-上单调递增，在()1,a -+∞上单调递减，()()()()12221e 2e e e 20,2e 0,20a a a a h a h a h a -----=-=->-=-<-= ，()0,1x a a ∴∃∈--，使得()00h x =，故方程①的解有0,2,a a x --，综上，直线MN 与曲线()y f x =交于除,M N 点外另一点P .（ii ）法一：由（i ）知，()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，()()002222a a MNt PN a x a x -+--===-+--+，022(0)a x t t∴+=->，由（i ）可知，0202e x a x a +-=+，222e 2t t-∴=-，即21e1t t -=-，21e 10(0)tt t-∴+-=>，设10u t =-<，设()2e 1,0u H u u u =--<，()22e 1,0u H u u =-<'，令()0H u '=，则ln22u =-，令()0H u '>，则ln202u -<<，令()0H u '<，则ln22u <-，()H u ∴在ln2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln2,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.()()21111e 0,00,02e 2H H H -⎛⎫-=>=-=-< ⎪⎝⎭ ，011,2u ⎛⎫∴∃∈-- ⎪⎝⎭，使()00H u =，此时()011,2t u =-∈，故存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，又(),1t a a ∈+，故1a =；法二：（ii ）由（i ）知，()()20,,0,2,4e a P x x M a N a -=--+，()()002222a a MNt PN a x a x -+--===-+--+，()022(0)a x t t∴-+=>，()0,1x a a ∈-- ，()0122a x ∴<-+<，212t∴<<，12t ∴<<，故存在定值t ，且()1,2t ∈，使MN t PN =，此时1a =.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。

东北师大附中2023~2024学年下学期第五次模拟考试高三数学满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.答题前考生需将姓名､班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅==，a b -= ，则a =r （ ）A 1B.C.D. 24. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 15. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） .A. 0B.12C.D. 6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a <<D. <<b c a二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆ B. B C ⊆ C. BA ⊆D. A B ⊆10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ） A1+B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ； （2）求锐二面角1M AC N --余弦值..的16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：表1：序号数学物理1 144 952 130 903 124 794 120 855 110 696 107 827 103 808 102 629 100 6710 98 7511 98 6812 95 7713 94 5914 92 6515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 52 20 7554（1）数学120分及以上记优秀，物理80分及以上记为优秀. （i ）完成如下列联表；物理成绩数学成绩优秀不优秀 合计优秀 不优秀 合计（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ （2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩9069677054如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.为（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 00050.001 x α2.7063.8416.6357.87910.82817. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M 不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）.（3）对于（2）中的数列{}n x ，令2n n x x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简以及共轭复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则共轭复数为i(,R)z a b a b =-∈， 所以()()2i i i 3+3i a b a b -++=， 所以()()22i 3+3i a b a b -+-=，所以2323a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以1i z =-，故复数z 对应的点位于第四象限. 故选：D.2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果. 【详解】因为直线m 平面α，直线n ⊥平面β，当m n 时，可得αβ⊥，即充分性满足； 当αβ⊥时，,m n 不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足； 所以“m n ”是“αβ⊥”的充分不必要条件..故选：A3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅== ，a b -= ，则a =r （ ）A. 1B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】将a b -=两边平方，结合数量积的运算律计算可得.【详解】因为1a b b ⋅==，a b -= ，所以2232a a b b ⋅=-+，即222113a -⨯+= ，解得2=a 或2a =-r（舍去）.故选：D4. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】A 【解析】【分析】由已知可得sin sin 2A B =，结合三角恒等变换，正弦定理可得2cos a b B =，由此可求A B C ､､，再结合勾股定理求c 即可. 【详解】因为2A B =，所以sin sin 2A B =，故sin 2sin cos A B B =， 由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以2cos a b B =，又1a b ==，所以cos B =()0,πB ∈， 所以π6B =，π3A =， 故π2πC A B =--=由勾股定理可得2224c a b =+=， 所以2c =， 故选：A.5. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 0B.12C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据13π124f ⎛⎫=-⎪⎝⎭即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=， 由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， 当0ω>时，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=；当0ω<时，()125π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()122π3x x ω-=，4ω∴=-；综上：4ω=±；因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设4ω=，则()()sin 4f x x ϕ=+， 因为13π13πsin 1246f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z ，解得2π2π,Z 3k k ϕ=-+∈， 所以2π2()sin 42πsin 4π33f x x k x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π10π22π2πsin πsin 2πsin 63333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：C.6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，利用设而不求法求弦长AB 的表达式，再求线段AB 的垂直平分线，由条件列方程求,m p 可得结论.【详解】抛物线22y px =的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 若直线l 的斜率斜率为0，则直线l 与抛物线22y px =只有一个交点，不满足条件， 故可设直线l 的方程为2px my =+， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简可得2220y pmy p --=，方程2220y pmy p --=的判别式222440p m p ∆=+>， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则212122,y y pm y y p +==-，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+，由已知()2218p m +=， 设AB 的中点为()00,P x y ，则0y pm =，202p x pm =+， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22p y pm m x pm ⎛⎫-=---⎪⎝⎭，因为()6,0M 在线段AB 的垂直平分线上， 所以262p p pm =--，故2362p pm +=， 所以0m =，4p =. 故选：B.7. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<【答案】B 【解析】【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.设球形物品的半径为R ，则正方体的棱长为2R ，表面积()2226224S R R ==；设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为2214S a ==， 如图正四面体A BCD -，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图OG R =，底面等边三角形BCD 的高CE =，外接圆半径23CG ==，正四面体的高AG ===，体积211313V S R ==，所以211313V S R ==，又21S =，所以a =，所以正四面体的表面积221S ==；设正八面体的棱长为b ，如图，在正八面体中连接AF ，DB ，CE ，可得AF ，DB ，CE 互相垂直平分，四边形BCDE 为正方形，12OD BD ==，在Rt AOD 中，AO ===，则该正八面体的体积23123V b '=⨯⨯=，该八面体的表面积2328S ==，因为313S R V '=，即2313R ⨯⋅=，解得b =，所以)2223S ===，所以321S S S <<. 故选：B. 8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a << D. <<b c a【答案】D 【解析】【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()(0)0f x f ≥=，(0.1)0f >，即0.1e 10.1->.设()ln 1g x x x =-+，11()1x g x x x-'=-=， ()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()(1)0g x g ≤=，(1.1)0g <，即ln1.10.1<，所以a c >.设()2()ln 12x h x x x =+-+，()()()22214()01212h x x x x x x '=-=>++++， ()h x 为增函数，所以(0.1)(0)0h h >=，所以2ln1.121>，即c b >. 故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆B. B C ⊆C. B A ⊆D. A B ⊆【答案】AC 【解析】【分析】根据A B A ⊆ 以及A B B ⊆ ，可得B C A ⋃⊆、B C B ⋃⊆、可得C B A ⊆⊆，结合选项即可求解.【详解】因为A B A ⊆ ，A B B C = ， 所以B C A ⋃⊆，所以BA ⊆，C A ⊆，因为A B B ⊆ ，A B B C = ，所以B C B ⋃⊆，所以C B ⊆，所以C B A ⊆⊆， 故选项A 、C 正确，B 、D 错误. 故选：AC.10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称 【答案】ABD 【解析】【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ，根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++， 函数22y t=-，121x t -=+，则1t >， 又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t=-在()1,∞+上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）A.1+B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立,a c 的等量关系式求解.【详解】如果2BAF ∠为直角，设2AF AB m ==，则2BF =，又122BF BF a -=，212AF AF a -=，所以1AF =，由212AF AF a -=，则2m a -=，得(4m a =+，在12AF F △中，2221212AF AF F F +=，即2224m c ⎫+=⎪⎪⎭，即((222222444a a c +++=，化简得229c a=+e =如果2AF B ∠为直角，设2BF m =，则2AF m =，AB =，12AF m a =-，12BF m a =-+，因为122BF BF a -=，所以22a a -+=，故m =，在12AF F △中，由余弦定理可知()()22242822c a a a ⎛=-+--⋅⋅ ⎝，整理得22412c a =，即23e =，所以e =B 正确；如果2ABF ∠为直角，则2AB BF =，122BF BF a -=， 则12AF a =，又212AF AF a -=，所以24AF a =，22BF AF ==，()122BF a a =+=+， 在等腰直角12BF F △中，222212124BF BF F F c +==，即()()222224a c ++=，化简得225c a=+e =C 正确.故选：BC.【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出,,a b c 之间的数量关系.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________. 【答案】2 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k 的值. 【详解】直线l 的一般方程为210kx y k ---=，圆225x y +=的圆心C 的坐标为()0,0，半径r =，由于直线l 和圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于半径，=，解得2k =. 故答案为：2.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________. 【答案】23【解析】【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，其概率为21134422444C C C C 2C 33381+⨯+=， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为23444C 3C 22381⨯+=， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为222333=， 故答案为：23. 14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.【答案】18##0.125 【解析】【分析】根据题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上的最大值取得最小值，先用分段函数表示()f x 在区间[]0,1上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可. 【详解】[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上最大值取得最小值，的因为()f x 的对称轴12x =，且()()01f f c ==， 所以()f x 的最大值为1124f c ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()()01f f c ==， 当14c c -=时，即18c =， 所以 ()max1,81148c c f x c c ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩＞，，当18c =时，()max f x 取最小值，最小值为18. 故答案为：18.【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在[]0,1的最大值取得最小值，所以先要将()f x 的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ；（2）求锐二面角1M AC N --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由0n CM ⋅=证明出结论；（2）解法1：作出辅助线，得到MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，求出各边长，求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案. 【小问1详解】解法1：设11AC AC D ⋂=，则D 为1AC中点， 1AM AN E ⋂=，连接DE ， 延长AN 交1BB 延长线于F ， 由112A NNB =得112AA B F =，11,,AA MF A E EM E ==为1A M 中点，MC DE ，DE ⊂平面1,NAC MC ⊄平面1NAC ，MC 平面1NAC ，解法2：取AC 中点O ，取11A C 中点1O ，连接1,OB OO ， 因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以1,,AC OB OO 两两垂直， 以O 为坐标原点，1,,OB OC OO 所在直线分别为,,x y z 轴，建系如图，则()()())10,1,0,0,1,2,0,1,0,A C C M-，())11,2,0,2,2,1,13N AC CM ⎫-==-⎪⎪⎭，)14,0,3C N AM ⎫=-=⎪⎪⎭，设平面1NAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则11220403n AC y z n C N x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令y =，则(2,x z n ===，0n CM MC ⋅=⊄，平面1NAC ，故MC 平面1NAC . 【小问2详解】解法1：因为12AA AB ==，所以1AA AC =，故四边形11ACC A 为正方形， 故1AC ⊥1AC ，且D 为1AC 中点，又AM ===，1C M ==，故1AM C M =，故DM ⊥1AC ，因为1A C DM D ⋂=，1,A C DM ⊂平面1MAC ， 所以1AC ⊥平面1MAC ，因为DE ⊂平面1MAC ，所以1AC DE ⊥， 所以MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，又MC ===11122AD AC ===且11122DE MC EM A M ====DM ==222cos 2DE DM EM MDE DE DM ∠+-===⋅，故锐二面角1M AC N --. 解法2：设平面1MAC 的一个法向量为(),,m a b c =，则1220m AC b c m AM b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1b =，则()1,0,0,1,1c a m =-==-，cos ,m nm n m n ⋅===，所以锐二面角1M AC N --16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14926515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 5220 75 54（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.（i）完成如下列联表；物理成绩合计数学成绩优秀不优秀优秀不优秀合计α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？（ii）依据0.01（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：表2：数学成绩130 110 100 85 75物理成绩90 69 67 70 54如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii ni i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.70638416.6357.87910.828【答案】（1）（i ）答案见解析；（ii ）认为数学成绩与物理成绩有关联.（2）（i ）3337；（ii ）9961018537y x =+，81分【解析】【分析】（1）（i ）由表1可直接填写列联表；（ii ）根据列联表，计算2χ的值，结合临界值表可得出结论； （2）（i ）根据参考公式计算样本相关系数；（ii ）根据参考公式计算经验回归方程，并将120x =代入，预测该同学的物理成绩. 【小问1详解】 （i ）物理成绩数学成绩优秀不优秀合计.优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计51520（ii ）零假设0H ：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.()()()()222()20(31412)416515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯0.01206.667 6.6353α=≈>= 依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联. 【小问2详解】（i ）由题意100,70x y ==， 所以r=33.37==（ii ）由题意()()()()()2222230201010315025ˆ1630100(15)(25)b ⨯+⨯-+⨯-+-⨯+-⨯-=+++-+- 990991850185==， 所以99610ˆ7010018537a y bx=-=-⨯=， 所以经验回归方程为9961018537y x =+， 当120x =时，996102986ˆ12080.7811853737y=⨯+=≈≈， 所以物理成绩约为81分.17. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）0； （2）2a ….【解析】【分析】（1）由已知可得()1ln 1ln f x x x =+-='，进而可求()f x 的单调区间； （2）求导得()()11ln a f x a x x -'=+-，令()11ln ,a g x x x-=+-进而求导()()211a g x a x x-'=--，分类讨论可求a 的取值范围. 【小问1详解】当1a =时，()()ln 1,1ln 1ln f x x x x f x x x =-+=='+-，()()()0,1,0,x f x f x '∈<单调递减；()()()1,,0,x f x f x '∈+∞>单调递增；()min ()10f x f ==【小问2详解】()()()111ln 1ln a a f x a x ax a x x --=+-=+-'，设()()()1211ln ,1a a g x x xg x a x x--=+-=--'， ①若1a =，由（1）知()()10f x f >=，不合题意； ②若()()()211112,111a a a g x a x a x x x--⎡⎤<<=--='--⎣⎦， 设()()()()12211,(1)0,a a h x a xh x a x h x --=--=--'<单调递减，()()11120h a a =--=->，令()()11100110,(1)a a h xa xx a ---=--==-，()()()()01,,0,0,x x h x g x g x ∈>'>单调递增，()()10g x g >=，()()0,f x f x '>单调递增，()()10f x f >=，不合题意；③()()()212,1,,10a a x g x a x x∞-≥∈+-'=-<， ()g x 单调递减，()()()()10,0,g x g f x f x <=<'单调递减，()()10f x f <=；综上，2a ≥.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析 （3）max S =【解析】【分析】（1）根据离心率和过点M ，用待定系数法可求出椭圆C 的方程； （2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出1214k k =，并进行化简，即可求出斜率定值； （3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】依题意22222411c aa b b a c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得228,2a b ==，所以椭圆的标准方程为22182x y +=.【小问2详解】设直线l 方程为()()1122,0,,,,y kx m m A x y B x y =+≠，由22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418480k x kmx m +++-=，()222121222848Δ16820,,4141km m k mx x x x k k --=+->+==++，()()()()121212121211112222kx m kx m y y k k x x x x +-+---=⋅=---- ()()()()2222222121221212224881(1)1(1)414148162444141m km k k m m k x x k m x x m k k m km x x x x k k --⋅+-⋅+-+-++-++==--++++++ ()()22224(1)12141244144k m m k m k m mk k -+---===++-++，解得12k =-【小问3详解】 由（2）得221,0,22402y x m m x mx m =-+≠-+-=， 22Δ1640,4,22,0m m m m =-><-<<≠，)22AB x h m =-=- MAB △的面积(122S AB h m ==-=， ()()3(2)2f m m m =-+，()()()2323(2)2(2)(2)44f m m m m m m =--++-=---'，令()0f m '＞，解得21m --＜＜，即()f m 在()2,1--上单调递增，令()0f m '＜，解得10m -＜＜或02m ＜＜，即()f m 在()10-，和()02，上单调递减， 所以当1m =-时，取到最大值()127f -=，MAB △的面积max S =【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解. 19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列.{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）（3）对于（2）中数列{}n x ，令2n nx x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.【答案】（1）12n n a n -=⋅；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得21Δ2Δn n n n a a a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，可得122n n n a a +-=，构造等差数列即可求解；（2）由一阶差分数列的定义可得1n n n x b b n +=-=，要证1Cnii n n i x a ==∑成立，即证121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ ，根据二项式定理即可证明； （3）作差可得22n nnnt t --<++，故()()111112222nn n i i i ii i i i y t t --====+<+∑∑∑，根据等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 因为{}1Δ2nn n a a +--为{}na 的二阶差分数列，所以21Δ2Δn n n n aa a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，代入得11Δ2ΔΔnn n n n a a a a ++--=-，整理得Δ2nn n a a -=，即122n n n a a +-=，所以111222n n n n a a ++-=.故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列， 因此，()111222n na n =+-⋅，即12n n a n -=⋅. 的【小问2详解】因为{}n x 为数列{}n b 的一阶差分数列，所以1n n n x b b n +=-=，故1Cni i n n i x a ==∑成立，即为121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ .① 当1n =时，①式成立； 当2n ≥时，因为()110111112(11)C C C n n n n n n n n n ------⋅=⋅+=⋅+++ ，且11C C k kn n n k --=，所以①成立，故对*n ∀∈N 都有1Cnii n n i x a ==∑成立.【小问3详解】2n n n t t y -+=，因为122t <<，所以(2)1,2n n nt t ><， 故()()()1222(2)10(2)n nnn n n n n tt t t t --⎡⎤+-+=-->⎣⎦，即22n n n n t t --<++， 所以()()()111111221111222212222112nnn n n i i ii i i i i y t t--===⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥=+<+=+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()2111121121222222222n nn n n n n--⎛⎫=-+-=-+<-⋅=- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题8．定义域为R 的函数()f x 的导函数记作()f x '，满足()()3e x f x f x >'-，()226e f =，则不等式()3e xf x x >的解集为（）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞C ．(3,)+∞D ．(3),-∞二、多选题三、填空题四、解答题(1)求证：PA PB ⊥；(2)点F 在线段PB 上，当二面角F AE P --大小为π4时，求四棱锥21．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于得34OA OB OM+=，求m 的取值范围．22．已知函数()ln 1f x x kx =-+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()e xg x ax =，求证：当2e 0,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g x >参考答案：对C ：直线:10l kx y k +--=可化为直线，如图，1l 为过()1,1A 与()0,1-两点的直线，其斜率为当l 位于1l 时，直线l 与()y f x =2l 为过()1,1A 且与0:1l y x =-平行的直线，当l 位于2l 时，直线l 与()y f x =3l 为过()1,1A 的水平直线，其斜率为当l 位于3l 时，直线l 与()y f x =结合图象可知01b a <<<，故由01b a <<<，3a a b +=+故35a b b a +<+，C 正确；令ln (),(0)x f x x x =>，则f 当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，(f x 由于01b a <<<，故()f b <故ln ln b a a b >，D 正确，故选：BCD 12．ACD【分析】根据所给性质，利用函数对称性判断对称性求解析式判断D.【详解】由()(2)f x f x -=+由()(2)f x f x -=--可得f 所以()()f x f x -=-，故函数因为()(2)f x f x =-+，所以又(1)(2)(3)(4)f f f f +++=所以20241(1)()506[k f f k ==+⨯∑由(2)(2)f x f x +=--知函数关于当(3,4)x ∈时，设(,)P x y 为函数则(4,)P x y '--在函数()f x 图象上，且所以2log (41)y x -=-+，即故选：ACD）如图，取AE 的中点O ，AB 的中点G 由题意可得,,OP OG OA 两两互相垂直，为坐标原点，以OA ，OG ，OP )1,0,0，()1,0,0E -，()1,2,0B -PB λ=，则(),2,1F λλλ--，设平面FAE 的一个法向量为(,m x y =00AE AF ⋅=⋅= ，()2012x x y λλ-=⎧∴⎨--++⎩1，得21z λλ=-，20,1,1λλ⎛⎫⎪-⎝⎭，⊥平面PAE ，(0,2,0n EB ∴==222,4212m n m n m nλλλ⋅==⨯+-222224121λλλ=+-+，解得λ=【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式3OA +22．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导后，分别在0k ≤和0k >的情况下，由（2）通过分析法将所证不等式转化为e ln x ax x >；当成立；当1x >时，采用放缩法将所证不等式转化为2()()22e ln 1x g x x x x-=->，利用导数，结合零点存在定理的知识，值，由此可得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 的定义域为()0,∞+，①当0k ≤时，()10f x k x'=->在()0,∞+上恒成立，()f x \在()0,∞+上单调递增；1。

东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。

2023-2024学年高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y -==-==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞-2.已知复数iz 1i=-，则z 的虚部为（ ） A.12- B.1i 2- C.12 D.1i 23.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B --和Q BC A --的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A. B. D.48+5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A. B.14- C.147.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A. B.4C.3+D.68.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a <<C.b c a <<D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a -的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ） A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点MC.若M 为侧面11DCC D上的动点，且3MB =，则点Mπ D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M满足MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤-'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln e x g a x g x x -+≤-恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=-，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+-=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥PABCD -中，底面是边长为2的正方形，且PB =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q --的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F -，且椭圆C 过P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k -=，设A M N ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S -的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =-（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.1414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+-=+-=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+-=+-=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +-==∴+-=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+--==∴--=.2330,0c c c c c ∴--=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P ----所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =-=-=-， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=-+=⎪∴=⎨⋅=-=⎪⎩设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=-++=⎪∴=-⎨⋅=-=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q --范围为()0,π， 所以二面角P AD Q --的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c ab c ab ⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,1a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++-=，所以()22Δ48340t m=+->，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，则12324BM k k k =-=，即238BM k k -⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=--()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+-+-+-++-()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t --++====------+-++ 所以23m =-，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=-=⎪++⎪⎨-⎪==-++⎪⎩，所以12S S -=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫-------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1223y y =-====令122110,,344x S S t ⎛⎤=∈-= ⎥+⎝⎦当211344t =+即0t =时，12S S -12S S ⎛∴-=⎝⎦ 19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x xf x xe f x x e =-=+'-.()14.f e =-∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =---=-+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =-，定义域为(),∞∞-+()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=-+=--令()e 22xF x x =--，则()2xF x e '=-，当()(),ln2,0x F x ∞∈-'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<()()2110,260F F e e-=>=-> 存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=-+=--，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=-->--，则()()1110g a a a ∴->---=又()110g ae --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==-，由()000001e 10,e xx x g x a x a +=--==，由max 1()0f x a +≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+即()()00011101x x x -++≤+， 由010x +<得20011,1x x -≤≤<-，01,e x x a +=∴设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-=>'， 可知()h x 在)⎡⎣上递增，()((()()110h x h h x h ≥==<-=实数a的取值范围是()1⎡⎣.。

一、单选题二、多选题1. 若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数是（ ）A．B．C．D．2.若函数有唯一零点，则（ ）A．B ．2或C．D ．23. 的展开式中，含的项的系数是（ ）A ．－40B ．40C ．－80D ．804. 已知函数，则的图象（ ）A ．关于直线对称B ．关于点对称C ．关于直线对称D ．关于原点对称5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若且，则△ABC 的面积S =A．B．C．D．6. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为（）A ．6B ．4C ．3D ．27. 复数(i 是虚数单位)的模等于（ ）A．B．C．D．8. 设命题，；命题，中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是A．B．C．D．9. 已知，函数有两个极值点，，则（ ）A ．a 可能是负数B ．若，则函数在处的切线方程为C ．为定值D ．若存在，使得，则10. 已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（ ）A．B．当时，吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试数学试题(2)吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试数学试题(2)三、填空题四、解答题C ．若，则D ．若，，则的值为11. 已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）A．B．C ．椭圆的离心率为D ．直线的斜率的绝对值为12.若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．13. 某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，______.14.已知直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边，，上，且，，则的最小值为______.15. 已知f （x）是偶函数，当时，，则满足的实数x 的取值范围是______．16. 已知函数，为的导函数，其中.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程有三个互不相同的根0，，，其中.①是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.②若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.17. 槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（1）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？（2）在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽到班学生人数的分布列和数学期望.18. 在等比数列中，且成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n 项和．19.已知(1)若，求在处的切线方程(2)求的极值和单调递增区间(3)设，求在上的零点个数20. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，当时，，实数的取值范围．21. 设数列的前项和为，，，且、、成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.。

一、单选题1.已知函数，则A ．是奇函数，且在定义域上是增函数B ．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间上是增函数D．是偶函数，且在区间上是减函数2. “迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上.此模型的体积为（）A．B．C．D．3. 如图：和是同一圆的两个内接正三角形；且.一个质点在该圆内运动，用表示事件“质点落在扇形(阴影区域)内”，表示事件“质点落在内”，则（）A．B．C．D．4. 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A ．2B．C．D ．15. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF 截球所得的截面面积最小值为（）A．B．C．D．6.设复数，则其共轭复数（ ）A．B．C．D．7. 若，则（ ）A．B．C ．1D ．2吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(1)吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第一次摸底考试数学试题(1)二、多选题三、填空题8.等比数列中，，且为和的等差中项，则的公比等于（ ）A ．3B ．2或3C ．2D ．69.如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论中正确的是（）A．B．的最小值为C ．平面D ．异面直线与，所成角的取值范围是10. 设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．11.已知正四面体的棱长为，S 是及其内部的点构成的集合．若，集合，则T 表示的区域可以是（ ）A．B．C．D．12.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（）A ．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D ．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大13. 已知非零平面向量，，满足：，的夹角为，与的夹角为，，，则的取值范围是__________.14. 已知为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于两点.若，四、解答题则双曲线的离心率为______.15. 复数的实部为_______.16.已知等比数列的前n 项和，其中r 为常数．（1）求r 的值；（2）设，若数列{b n }中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列{c n }，求的值．17. 已知函数，数列中，满足（），且．（1）求数列的通项；（2）若数列的前项和为，且，求．18. 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知.(1)当时，求在处的切线方程；(2)设在上恒成立，求实数的取值范围.20. 如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，平面，且，.(1)求证: 面；(2)求棱锥的体积.21. 已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上的点，直线过坐标原点，直线的斜率分别为，且(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若且直线与椭圆的另一个交点为Q ，问是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.。

2023-2024学年上学期东北师大附中 数学学科试卷高三年级 第三次摸底考试第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<∣，则集合A 子集个数为（）A. 3B. 4C. 8D. 162. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 23. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[]0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4771==）（ ）A. 6B. 8C. 10D. 124. 命题“2R,230x x x ∃∈-+<”的否定是（ ）A. 2R,230x x x ∃∈-+> B. 2R,230x x x ∀∈-+>C. 2R,230x x x ∃∈-+≥ D. 2R,230x x x ∀∈-+≥5. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）A. 26B. 28C. 30D. 32的6. 已知π1sin 63x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. 79-B. 29-C.29D.797. 已知函数()f x 及其导数()f x '定义域均为R ，()f x '在R 上单调递增，()1f x '+为奇函数，若23a =，45b =，34c =，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f a f c <<C. ()()()f b f c f a << D. ()()()f c f b f a <<8. 若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）A.B.1-C.1+D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知k ∈Z ，则函数()()22kxxf x x -=⋅+的图象可能是（）A. B.C. D.10. 已知函数2()cos (0)3f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且()f x 的图象关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为4πB. 21099f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 将()f x 的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数的D. 函数5()4y f x =+在[0,]π上有且仅有一个零点11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为棱11,B C CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC⊥B. 当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 当,M N 分别为棱11,B C CD 的中点时，过1,,A M N 三点作正方体的截面，则截面为五边形D. 三棱锥11D A MN -的体积为定值12. 已知曲线()e xf x =在点()()11,P x f x 处切线和曲线()lng x x =在点()()22,Q x g x 处的切线互相平行，则下列命题正确的有（ ）A. 12x x +有最大值1B. ()()12f x g x +有最小值是1C. 12x x 有最小值是1eD. 若10x <，则221212x x x x +有最大值为1e e--第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知()2,1P -是θ终边上的一点，则sin 2θ=_____________.14. 在ABC 中，2,4AB AC ==，P 是ABC 的外心，则AP BC ⋅等于___________.15. 已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.16. 正三棱锥-P ABC 的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为α，二面角P AB C --的平面角为β.当该球的表面积最小时，()tan αβ+=____________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.的是17. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2na n ⋅的前n 项和nT .18. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知()2cos cos cos B C B Cbc ab ac+=+.（1）求A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且3BD DC =，求cos C .19. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B都是矩形，11D D D C ==，22AB BC ==.（1）求证：1AD D C ⊥；（2）若点P 的在线段1BD 上，且二面角P CD B --的大小为4π，求1D PPB的值.20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1(2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59．（1）求p 值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为())12,F F ，渐近线方程为12y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 的左、右两支分别交于,M N 两点（,M N 在x 轴的同侧），当12//F MF N 时，求四边形的12F F NM 面积的最小值.22. 已知函数()()sin sin 0f x a x ax a =+>.（1）当1,0a x =>时，证明()2f x x <；（2）当2a =时，讨论()f x 的单调性；（3）设0x >，证明()()e 2e axax f x +->.2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】BD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】45-##0.8-【14题答案】【答案】6【15题答案】【答案】1872【16题答案】【答案】3-四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【17题答案】【答案】（1）*21,N n a n n =-∈ （2）211122339n n T n +⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭【18题答案】【答案】（1）2π3（2【19题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）2【20题答案】【答案】（1）23p =．（2）ξ246P5920811681 26681Eξ=．【21题答案】【答案】（1）221 4xy-=（2【22题答案】【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）证明见解析。