等差数列

等差数列的基本公式1 等差数列等差数列是一种有规律的数字序列，其公式为a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, a1+4d, a1+5d,……，其中a1表示等差数列的第一项，d表示公差，也就是说当前项减去前一项所得的数字是一个常数，这个常数就是公差d。

举个例子来说明等差数列，比如-3, -1, 1, 3, 5, 7,……，其中第一项是-3，所以a1=-3，现在我们求出d，找出当前项减去前一项所得的数字，也就是-1-（-3）=2，这里的2就是公差d，同理其他的项目也是这个d，结论：a1=-3, d=2。

通常情况下，等差数列的和可以通过下面的基本公式来求出：Sn=n/2*[2a1+(n-1)*d]其中n为等差数列的项数，a1表示等差数列的第一项，d表示公差。

终止项：如果要求出某个项数，我们可以使用下面的基本公式：an=a1+(n-1)*dan表示等差数列中的第n项，a1表示等差数列的第一项，d表示公差。

2 使用简而言之，用等差数列的基本公式可以计算出等差数列的任何一项以及它的和，从而方便的解决各种数学计算问题。

同时，它也是用来描述一些现实中的数学模型，比如在射门多少米才能射进一个球门的问题中，可以用等差数列对其进行模拟，从而得出精确的答案。

此外，等差数列还可以用来求解一些稍微复杂点的问题。

比如给定一组数据，要求求出其中每一项，我们可以首先把数据存入Excel 表格或者程序中，然后用有规律归纳出等差数列的基本公式，最后再将数据抽出进行计算，轻松的就得到了正确的答案。

总的来说，等差数列的基本公式是一个不可缺少的数学工具，它可以帮助我们快速、准确的计算出数学问题，也可以模拟出现实中的数学模型，发挥其广泛而有效的作用。

数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。

2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。

分享到等差数列求助编辑百科名片等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 注意：以上n 均属于正整数。

目录多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质展开编辑本段多项式数列等差数列是多项式数列的一种简称：A.P (arithmetic progression)多项式数列:p(n)=b(0)+b(1)*n+...+b(k)*n^k多项式数列的和可以用一个矩阵来转换。

令这个转换矩阵为A，做向量b=[b0,b1,...,bk]令向量c=A*b'，c就是和公式的向量。

和项S(n)=c(1)*n+..+c(k)*n^k+c(k+1)*n^(k+1)。

3阶多项式数列的A=A有专门的算法，可以用于matlab中。

function p=leeqi(r)format ratp=zeros(r,r);for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k));for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2);end等差数列是多项式数列的一次形式b(0)+b(1)*n，在这里把多项式数列的一次形式简称为（一次数列）。

一次数列的通项公式为：p(n)=b(0)+b(1)*n；前n项和的公式为：S(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)].编辑本段等差数列的基本公式通项公式（第n项）a(n)=a(1)+(n-1)×d ，注意：n是正整数即第n项=首项+第n-1项×公差前n项和公式S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d,高为n.即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

等差数列知识总结一、等差数列的一般概念1、定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数．．．．．，称这样的数列为等差数列，这个常数为等差数列的公差，通常用字母d 表示。

表示为：1()n na a d n N *+-=∈ 2、通项公式：①：1(1)na a n d =+-，1a 为首项，d 为公差 ②：()(,)nm a a n m d n m N *=+-∈ ③：n a An B =+（关于n 的一次表达式）3、等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，表示为：2a b A +=。

二、等差数列的性质（若数列{}n a 是公差为d 的等差数列）1、1()1、、n m k a a a a d m n k N n m k--==∈*--； 2、若()、、、m n p q m n p q N +=+∈*⇒m n p q a a a a +=+； 3、若2m n k +=⇒2()、、m n k a a a m n k N +=∈*；4、下标成等差数列且公差为m 的项()23，，，，、k k m k m k m a a a a k m N +++⋅⋅⋅∈*组成公差为md 的等差数列；5、()232,,,m m m m m S S S S S m N --⋅⋅⋅∈*也成等差数列，公差为2md ；6、①若项数为2n+1，则()21中S n a =+且奇偶中S S a -= ()1偶中奇中S na S n a =⎧⎪⎨=+⎪⎩，1奇偶S n S n += （中a 指中项，即1中n a a +=，而,奇偶S S 指所有奇数项、所有偶数项之和）②若项数2n ，则偶奇S S n d -=⋅三、等差数列的判断1、{}1()常数n n n a a d a +-=⇔是等差数列；2、{}122()n n n n a a a N a ++=+∈*⇔是等差数列；3、{}(,)为常数n n a kn b k b a =+⇔是等差数列；4、{}21(,)22-且无常数项n n d d S An Bn A B a a =+==⇔为等差数列。

等差数列的概念等差数列是数学中常见的一种数列，它的概念以及相关性质在数学领域中有着重要的地位。

本文将对等差数列进行详细的介绍和讨论。

一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。

也就是说，如果一个数列满足每一项与其后一项之间的差值都为同一个常数d，那么这个数列就是等差数列。

常数d称为等差数列的公差，用字母d表示。

例如：1, 3, 5, 7, 9, 11, ...这个数列中相邻两项之间的差值都是2，所以它是一个公差为2的等差数列。

二、等差数列的通项公式等差数列可以用一个通项公式来表示，通项公式可以根据等差数列的首项和公差来确定。

通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1是第一项，d是公差。

通过这个公式，我们可以直接求出等差数列的任意一项。

三、等差数列的性质1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和，a1是第一项，an是第n项，n为项数。

这个公式可以用来计算等差数列的前n项和，方便进行数值计算。

2. 等差数列的性质（1）等差数列的项数奇偶性对于一个等差数列，如果首项、公差和末项已知，我们可以根据等差数列的性质来判断该数列的项数是奇数还是偶数。

- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an > a1，项数n为奇数；如果公差d为负数，则an < a1，项数n为偶数。

- 当末项an已知时，如果公差d为正数，则an < a1，项数n为偶数；如果公差d为负数，则an > a1，项数n为奇数。

（2）等差数列的中项对于一个项数为奇数的等差数列，我们可以根据等差数列的性质求出它的中项。

中项可以通过以下公式计算：中项 = (首项 + 末项) / 2四、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用。

它不仅在数学领域中有重要作用，也在其他学科和实践中得到广泛的应用。

等差数列的概念等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。

在数学中，等差数列是一种重要的数列类型，具有广泛的应用。

它在数学、物理、经济等领域都有着重要的地位和作用。

一、等差数列的定义等差数列的定义比较简单，即数列中任意两项之差都相等。

数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

二、等差数列的性质1. 公差：等差数列中相邻两项之差称为公差，常用字母d表示。

公差可以是正数、负数或零，代表着数列中每一项之间的间隔。

2. 首项和末项：等差数列中的第一项为首项，常用字母a1表示；最后一项为末项，常用字母an表示。

3. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。

根据公式an = a1 + (n-1)d，我们可以轻松地求得数列中任意一项的值。

4. 总和公式：等差数列的前n项和可以用总和公式来表示。

总和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。

5. 递推关系：等差数列中的每一项都可以通过前一项加上公差得到。

这种递推关系使得我们可以通过已知条件计算出其他项的值。

三、等差数列的应用等差数列在数学上具有广泛的应用，它们可以通过表达式和性质来解决各种问题。

1. 数学应用：等差数列常常用来解决一次方程和一次不等式的问题。

通过等差数列的性质和公式，我们可以求解未知项的值，计算前n项和，判断数列的增减性等。

2. 物理应用：等差数列在物理学中也有重要的应用。

例如，物体匀速运动的位移、速度和加速度等可以通过等差数列来表示和计算。

3. 经济应用：等差数列在经济学中的应用也非常广泛。

例如，在贷款计算和投资分析中，我们常常需要利用等差数列的公式来计算每期的利息、本金和回报率等。

四、等差数列的例题分析为了更好地理解等差数列的概念和应用，我们来看几个例题。

例题1：已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。

解法：根据等差数列的总和公式Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件，得到S5 = (5/2)(2 + 2 + 3×4) = 35。

等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=³或1(1)n n a a d n+-=³。

根据定义，当我们看到形如：d a a n n =--1、da a n n =--212、d aa n n=--1d a a n n =--111、211-++=n n na a a 、d S S n n =--1时，应能从中得到相应的等差数列。

的等差数列。

等差数列的判定方法1. 定义法：若d aa n n=--1或da an n =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．是等差数列．2.2.等差中项：数列等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-³+=Û+n a a a n n n 212+++=Ûn n n a a a ． 3.3.数列数列{}n a 是等差数列Ûbkn a n+=（其中b k ,是常数）。

是常数）。

4.4.数列数列{}n a 是等差数列Û2n S An Bn =+,（其中（其中A A 、B 是常数）。

是常数）。

等差数列的证明方法定义法：若d aa n n=--1或d a ann =-+1(常数*ÎN n )Û {}n a 是等差数列．例1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（是（ ）A.等比数列，但不是等差数列等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列既非等比数列又非等差数列 答案：B ；解法一：a n =îíì³-==Þîíì³-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，12121-+=+n n a a n n ≠常数≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-Î ，， 首项首项首项::1a ，公差，公差:d :d :d，末项，末项，末项::n a＝1，＝1得＝2，＝1＋×2，项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ______ ______ ；；11<11<＝19(a 119)＝＝120＝ac（C ）8 8 （（D ）10 【答案】A 【解析】由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5.=5.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin(2a 4－π3)＝( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12 答案 D 解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2，∴sin(2a 4－π3)＝sin(3π2－π3)＝－cos π3＝－12，选D. 1. (2009北京东城高三第一学期期末检测，理9）已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π,则cos(a 2+a 8)的值为________________.答案：21-2。

等差数列的概念与计算等差数列是指具有相同公差的数列，即数列中相邻两项之间的差值是相等的。

在数学中，等差数列是一种非常重要的数列，常见于各种数学问题和实际应用中。

本文将介绍等差数列的概念、性质以及如何计算等差数列的和。

一、等差数列的概念等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等的数列。

形式上，如果一个数列满足：an = a1 + (n-1)d其中，an 表示数列的第 n 项，a1 表示数列的首项，n 表示数列的项数，d 表示数列的公差。

二、等差数列的性质1. 公差的含义：等差数列中相邻两项的差值等于公差。

即 d = a2 - a1。

2. 通项公式：等差数列的第 n 项可以通过通项公式来计算。

通项公式如下：an = a1 + (n-1)d。

3. 求和公式：等差数列的前 n 项和可以通过求和公式来计算。

求和公式如下：Sn = n * (a1 + an) / 2。

三、等差数列的计算在实际问题中，我们经常需要计算等差数列的各项值或者前 n 项的和。

下面分别对这两个问题进行介绍。

1. 计算等差数列的各项值已知等差数列的首项 a1 和公差 d，可以通过通项公式计算出数列的任意一项。

比如要计算第10项 an 的值，可以使用以下公式：an = a1 + (n-1)d2. 计算等差数列的前 n 项和已知等差数列的首项 a1、公差 d 和项数 n，可以通过求和公式计算出前 n 项的和。

比如要计算前10项的和 Sn，可以使用以下公式：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，an 表示数列的第 n 项。

四、等差数列的应用等差数列在数学和实际应用中都有广泛的应用。

以下是等差数列的一些常见应用场景：1. 财务规划：等差数列可以用来计算存款、债务等财务问题中的增减情况。

2. 运动训练：等差数列可以用来计算每天或每周的运动量递增或递减情况。

3. 时间、距离计算：等差数列可以用来计算在规定时间或距离下，每单位时间或距离的变化情况。

等差数列一．等差数列的主要内容1，等差数列的基本知识2，等差数列的项3，等差数列的和等差数列的基本知识（一）数列的基本知识（1）1，2，3，4，5，6……（2）2，4，6，8，10，12……（3）5，10，15，20，25，30像这样按一定顺序排列的一列数叫数列。

其中每一个数叫叫做这个数列的项，在第1个位置上的数叫这个数列的第1项（首项），在最后1个位置上的数叫这个数列的末项，在第几个位置上的数就叫第几项。

（二）等差数列的基本数列（1）1，2，3，4，5，6……（公差=1）（2）2，4，6，8，10，12……(公差=2)（3）5，10，15，20，25，30 (公差=5)从第2项起，每一项与前一项的差都相等，像这样的数列就是等差数列，这个数就叫等差数列的公差。

数列：1，3，5，7，9，11……第2项：3=1+2 首项+公差×1 1=2-1第3项：5=1+2×2 首项+公差×2 2=3-1第4项：7=1+2×3 首项+公差×3 3=4-1第5项：9=1+2×4 首项+公差×（5-1）第6项：11=1+2×5 首项+公差×（6-1）等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1 已知数列2，5，8，11，14……求（1）它的第十项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）197是这个数列中的第几项？（4）这个数列被几除有相同的余数？分析：首项=2 公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29（2）第98项：2+3×（98-1）=293（3）2+3×（X -1）=1973×（X -1）=197-2X-1 =（197-2）÷3X =（197-2）÷3+1=66（项）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1 分析：被除数=余数+除数×商等差数列的某一项= 2 + 3 ×（项数- 1）（4）这个数列每一项除以3都余2.等差数列的每一项除以它的公差，余数相同。

等差数列公式等差数列公式，也叫等差级数公式，是数学中最基本的公式之一。

等差数列就是指每一项与它前一项的差值相等的数列。

等差数列公式可以用来求解变量的极值、求解数列的和，在一般的数学问题中也有着重要的作用。

它能给数学研究者带来极大的便利，让他们能够有效率地解决一些有关数学的问题。

【等差数列的定义】首先，让我们来了解一下等差数列的定义。

等差数列就是指每一项与它前一项的差值相等的数列。

比如，有一个数列，它的第一项为a1，每一项与它前一项的差值都是d，那么这个数列就是一个等差数列，它的第n项就可以用an=a1+（n-1）d来表示。

【等差数列的性质】等差数列也有很多性质，我们可以利用这些性质来求解等差数列中的变量。

（1）等差数列的等比率等差数列的等比率是指每一项与它前一项的比值相等。

比如a2/a1=a3/a2=a4/a3=.....，即a1/a2=a2/a3=a3/a4=.....，所以等差数列的等比率等于a1/a2。

（2）等差数列的公差等差数列的公差就是每一项与它前一项的差值，也叫等差数列的递增量或者公差。

比如等差数列a1，a2，...，a5，如果a2-a1=d，那么等差数列的公差就是d，每一项都可以用a1+nd表示，而n为任意的正整数。

（3）等差数列的和若等差数列的前n项和被称为Sn，那么Sn的公式就可以用Sn=n/2{2a1+(n-1)d}来表示。

【等差数列的求解问题】等差数列的求解问题也是经常要用到的，今天就来看看如何用等差数列公式来解决求解问题。

（1）求解等差数列的极值若要求解等差数列的极值，首先我们应该把等差数列写成一般形式an=a1+（n-1）d，再把它带入an-1=an+d，即a1+(n-2)d=a1+(n-1)d+d，根据简单的数学推理可得出极值的公式：an=(a1+ad)/2。

（2）求解等差数列的和若要求解等差数列的前n项和，只需要把等差数列写成一般形式an=a1+（n-1）d，并用Sn=n/2{2a1+(n-1)d}，即可得出等差数列的前n项和。

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

如果用a n表示数列的第n项，用S n表示数列前n项所有数的和，则有以下公式：通项公式为：an=a1+(n-1)d；前n项求和公式：Sn=n(a1+an)÷2；项数公式：项数＝（末项-首项）÷公差＋1；所有项总和＝（首项＋末项）×项数÷2 ；首项=总和×2÷项数-末项；末项=总和×2÷项数-首项。

公差=（末项-首项）÷（项数-1）辅导时，可以以最简单的自然数列为例，介绍等差数列中一些名词的含义，并利用具体数据，通过不完全归纳法，帮助孩子理解通项公式、项数公式和求和公式的推导过程，一定要在理解的基础上学会运用，切忌死记硬背。

以数列“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”为例，帮助孩子理解求和公式的原理：这是个等差数列，首项为1，末项为10，公差为1，共有10项。

数列和为：1+2+3+4+ 5+6+7+8+9+10。

如果我们把这个数列重复一遍插入原数列中，就可以得到一个新的20项的数列：“1、1 0、2、9、3、8、4、7、5、6、6、5、7、4、8、3、9、2、10、1”，这个数列的总和为：（1 +10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）+（6+5）+（7+4）+（8+3）+(9+2)+(10+1)=(1+ 10)×10。

新数列的和是原数列的2倍，所以：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2。

把这个数列换成其它等差数列可以得到相同的验证：数列和＝（首项＋末项）×项数÷2 ；巩固训练，习题【题目】：一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。

它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第100个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？【解析】：小虫子第一次落脚点的高度为10厘米，后面每一次的落脚点都比前一个落脚点高4厘米，所有落脚点的高度形成一个首项为10、公差为4的等差数列，第100个落脚点的高度就是这棵树高度为：10+（100-1）×4=406（厘米）。

等差数列公式全部等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列基本公式:末项=首项+(项数-1)×公差项数=(末项-首项)÷公差+1等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列基本公式:末项=首项+(项数-1)×公差项数=(末项-首项)÷公差+1首项=末项-(项数-1)×公差和=(首项+末项)×项数÷2通项公式等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)以上n均属于正整数.推论1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.若m+n=2p,则am+an=2ap4.其他推论和＝（首项＋末项）×项数÷2项数＝（末项-首项）÷公差＋1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差推论3证明若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d同理得,ap+aq=2a1+(p+q-2)d又因为m+n=p+q ;a1,d均为常数所以若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq注：1.常数列不一定成立2.m,p,q,n大于等于自然数等差中项在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.。

等差数列公式及记忆口诀等差数列公式：等差数列前n项和公式为：Sn=n*a1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d。

等差数列口诀等差数列有特点，相邻两数差不变。

欲求公差位值减，除以位差才算完。

求和首尾和一半，乘以位数再运算。

混合数列求和难，错位相消巧转换；高斯算法补长短，单独运算和相连。

特殊说明：相邻两数之间的差为公差公差=（末位数-首位数）/（位数-1），且“位前”就是“位数-1”和=“首位+末尾”Х位数/2“位值”指等差数列位数上的值。

“位值减”等差数列位数上的值相减；位差指等差数列的位数相减，也就是等差数列数值的序号等差数列公式公式：an=a1+(n-1)d前n项和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2=n(a1+an)/2通项公式：首项+[公差×（项数-1）]第n项的值an=首项+（项数-1）×公差an=am+(n-m)d ，若已知某一项am，可列出与d有关的式子求解an例如a10=a4+6d或者a3=a7-4d前n项的和Sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2公差d=(an-a1)÷（n-1）（其中n大于或等于2，n属于正整数）项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+（项数-1）×公差当数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数数列为偶数项，前n项的和=（首尾项相加×项数）÷2等差数列中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2。

等差数列四种判定方法等差数列是数学中的一个重要的概念，在高中数学中也经常涉及到。

在判断等差数列的时候，常常有四种方法。

这篇文章将为大家介绍等差数列的四种判定方法，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

掌握这些方法，可以更加准确的判断一个数列是否为等差数列。

一、通项公式等差数列通项公式为：an = a1 + (n - 1)dan表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

在使用通项公式判断等差数列时，可以先求出前几项的值，然后利用通项公式求出后面的项，再与实际值进行比较，判断是否为等差数列。

已知一个数列的前五项为1、3、5、7、9，要判断它是否为等差数列。

首先可以看出，这个数列的公差为2，于是可以利用通项公式求出后面的项：a6 = a1 + (6 - 1)d = 1 + 5 × 2 = 11将求得的a6、a7与实际值比较，发现它们与数列中的后两项9、11并不相等，因此这个数列不是等差数列。

二、公差公差是等差数列中相邻两项之差的固定值。

在判断一个数列是否为等差数列时，可以先求出前两项的差，然后比较后面各项之间的差，看是否相等。

如果相等，则说明这个数列是等差数列。

然后比较后面各项之间的差：a3 - a2 = 2发现它们之间的差都是2，因此这个数列是等差数列。

三、前两项差总结等差数列的判定方法有四种，分别为通项公式、公差、前两项差、后两项差。

不同的方法在不同的情况下使用，可以选择合适的方法进行判断。

在求等差数列的和、第n项等问题时，也可根据不同的情况选择不同的方法求解。

除了判定等差数列的四种方法以外，还有一些其他的相关内容需要了解。

一、等差数列的求和公式对于一个等差数列a1，a2，……，an，它们的和Sn可以通过下列公式求得：Sn = (a1 + an)×n/2a1为数列的首项，an为数列的末项，n为数列的项数。

应用等差数列求和公式可以快速计算等差数列的和，节省手工计算的时间。

已知一个等差数列的首项a1为1，公差d为2，项数n为10，要求这个数列的和。

1．等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；【例1】设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。

2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项为1a ，公差为d ，末项为n a 推广：d m n a a m n )(-+=，从而mn a a d mn --=；总结：等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

【例1】等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51【例2】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 【例3】设{a n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11+a 12+a 13等于（ ）A.120B.105C.90D.75【例4】若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2-10n(n ＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________；数列{na n }中数值最小的项是第_______项。

3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项及其延展【例1】如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么【例2】已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则等差数列的公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3【例3】在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（ ）A 、5B 、6C 、8D 、10【例4】已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______.【例5】等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项：()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）【例1】）设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.24【例2】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 【例3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则【例4】设{}n a 是公差为-2的等差数列，如果a 1+a 4+….. + a 97 =50，那么a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-82【例5】（1）已知等差数列{}n a 的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项。