2017届中考数学考点梳理复习课件24和圆有关的计算及尺规作图

第24讲┃与圆有关的位置关系
[解析] 由题意可知 AP＝2，PB ＝6，AD＝ BC＝3 理，得 PD＝ AD ＋ AP ＝ 7，PC＝ PB ＋ BC ＝ 9. ∵PB<PD， ∴点 B 在⊙P 内． ∵PC>PD， ∴点 C 在⊙P 外． 故选 C .
2 2 2 2
5 ，由勾股定
第24讲┃与圆有关的位置关系
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
[解析] 分 OP 垂直于直线 l， OP 不垂直于直线 l 两种情况讨论． 当 OP 垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d＝2＝r， ⊙O 与 l 相切； 当 OP 不垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d<2＝r， ⊙O 与直线 l 相交．
【方法指导】 判断点和圆的位置关系的方法是比较点到圆心的距离和 半径的大小．若其中的某个量是未知的 ，先求出这个未知量 ， 再进行比较，作出判断．
第24讲┃与圆有关的位置关系
例2
[2012·无锡] 已知⊙O 的半径为 2， 直线 l 上有一点 P
满足 PO＝2，则直线 l 与⊙O 的位置关系是( D )
唯一 公共点的直线是圆的切线 和圆有______ 半径 ，那么这 如果圆心到一条直线的距离等于圆的______
线
的 判
条直线是圆的切线
垂直 于这条半径的直线是圆的 经过半径外端点并且______
定
方法二
切线
第24讲┃与圆有关的位置关系
经典示例
例3 [2013·桐城二模] 如图 24－2， BC 为半圆 O 的直径，
点 A，E 是半圆周上的三等分点，∠ABD＝ 60°，AD⊥ BC，垂足为 D，连接 BE 交 AD 于点 F，过点 A 作 AG∥BE 交 CB 的延长线于点 G. (1) 判断直线 AG 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2) 若直径 BC＝2 ，求线段 AF 的长．

5．(2016· 宁波)如图，半圆 O 的直径 AB＝2，弦 CDБайду номын сангаасAB，∠COD＝90 π °，则图中阴影部分的面积为____. 4
弧长公式的应用
【例 1】 (2016· 遵义)如图，半圆的圆心为 O，直径 AB 的长为 12，C 为 ︵ 半圆上一点，∠CAB＝30°，AC的长是( D ) A．12π B．6π C．5π D．4π 【点评】 本题考查了弧长的计算．根据题意求得∠AOC 的度数是解题 的关键．
3．(2016· 潍坊)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，BC＝2 3，以直角边 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是( A ) 15 3 3 15 3 3 A. － π B. － π 4 2 2 2 7 3 π 7 3 π C. － D. － 4 6 2 6 ︵ 4．(2016· 台州)如图，△ABC 的外接圆 O 的半径为 2，∠C＝40°，则AB 8 的长是____________ ． π 9
[对应训练] 3．(1)(2016·贺州)已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角
是120°，则它的底面圆的直径为( D )
A ．2 B．4 C．6 D ．8
(2)(2016· 十堰)如图，从一张腰长为 60 cm，顶角为 120°的等腰三角形 铁皮 OAB 中剪出一个最大的扇形 OCD， 用此剪下的扇形铁皮围成一个 圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( D ) A. 10 cm B．15 cm C．10 3 cm D．20 2 cm
3．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r
，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
(1)圆锥侧面积公式： S圆锥侧＝___________ ； πrl

A．圆柱 B．正方体 C．球
D．直立圆锥
3．(2017·黔南州)我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计 算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时 两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖” 的一种模型．它的主视图是( )
π＋ 2－1
则图中阴影部分的面积为 2
cm2.
14．(2017·荆门)如图，△ABC 内接于⊙O，且半径 OC⊥AB，
点 D 在半径 OB 的延长线上，且∠A＝∠BCD＝30°，AC＝2，
则由B︵C， 线段 CD 和线段 BD 所围成图形的阴影部分的面积为
2
3－23π
．
15．(导学号 78324048)(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径， MN＝4，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为A︵N的中点， P 是直径 MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当 PA＋PB 最小时 P 的位置． (不写作法，但要保留作图痕迹) (2)求 PA＋PB 的最小值．
【例2】(2016·铜仁)如图，AB是⊙O直径，点P为圆上一点，点C为AB延 长线上一点，PA＝PC，∠C＝30°.
(1)求证：CP是⊙O的切线； (2)若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．
解：(1)连接 OP，∵AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠C＝30°， ∴∠A＝30°，∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°， ∴∠POB＝∠A＋∠APO＝60°，∴∠POC＋∠C＝90°， ∴∠OPC＝90°，∴CP 是⊙O 的切线 (2)S 阴影＝36600π×42－ 43×42＝83π－4 3
A．2π
8 B.3π
4 C.3π
3 D.8π
10．(2017·安徽)如图，已知等边△ABC 的边长为 6， 以 AB 为直径的⊙O 与边 AC，BC 分别交于 D，E 两点， 则劣弧D︵E的长为__π__．

切 点F E
PM M
∴OE⊥PF ↓ E为切点
A
F
O
B
又∵“O看E到⊥P切F点、连OA半⊥径FA，，必E垂F=直AF”
∴OF平分∠A↓OEO(切E为线定长定长理1 )
同F∴E理·∠P：FEOO的PP值平=9必分0°∠与EOOEB有关→由相似A :OE²
O
=
B
FE·PE
即：在Rt△FOP中，∵OE⊥PF
分析：直角坐标系隐含了
Rt∠
勾股定理
韦达定理
-
15
(1)解：∵OA、OB是方程x2+kx+60=0的两根， ∴OA+OB=-k，OA×OB=60
∵OB⊥OA，∴AB是⊙O1的直径 ∴OA2+OB2=132，
又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OA×OB
∴132=(-k)2-2×60 解 之得：k=±17 ∵OA+OB>0，∴k<0故k=-17，
∴O1C⊥OA且△平的分相O似A，
垂径定理推论
∴OE=1/2OA=6，O1E=5/2(勾股定
理)，∴CE=O1C-O1E=4，∴C- 的坐
17
标为(6，-4) 对应角等
∠COD=∠CBO
(3)在⊙O1上是否存在点P， 使S△POD=S△ABD？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由
假设在⊙O1上存在点P，使 S△POD=S△ABD， 不妨设P(m，n)， 则P到x轴的距离|n|≤9。 …|n|=13>9， ∴P点不在⊙O1上 故在⊙O1上不存在这样的点P 。
2x44 x0
抓住不变量 分类讨论
∴在直线PC上存在满足条件的E点，其的坐标为(-4,4) , (0,-4) .

2．(2017·吉林)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一 点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为(D ) A．5 B．6 C．7 D．8
3．(2017·自贡)AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点 C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于( B ) A．20° B．25° C．30° D．40°
解：连接 OD，作 OE⊥BF 于点 E.∴BE＝12BF.∵AC 是圆的切线，∴ OD⊥ AC， ∴∠ODC＝∠C＝∠OEC＝90°.∴四边 形 ODCE 是矩 形．∵OD＝OB＝EC＝2，BC＝3，∴BE＝BC－EC＝BC－OD＝3－2 ＝1.∴BF＝2BE＝2.
8．如图，∠ABC＝80°，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心，12OB
10．(2017·武汉)已知一个三角形的三边长分别为 5，7，8，则其内切
圆的半径为( C )
3 A. 2
3 B.2
C. 3
D．2 3
11．(2017·宁波)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BC＝2 2，以 ︵
BC 的中点 O 为圆心分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，则DE的长为
方法归纳 当已知切线时，连切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构
造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长 度；而在求角度时，往往利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、 内外角关系求解．
【对应训练 2】 ︵
(2017·济宁)如图，已知⊙O 的直径 AB＝12，弦 AC＝10，D 是BC的中 点，过点 D 作 DE⊥AC，交 AC 的延长线于点 E. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求 AE 的长．
︵ 【思路引导】(1)连接 OC，由点 C 是BE的中点，利用垂径定理可得出 OC⊥BE，由 AB 是⊙O 的直径可得出 AD⊥BE，进而可得出 AD∥OC， 再根据 AD⊥CD 可得出 OC⊥CD，由此即可证出 CD 是⊙O 的切线；

圆
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、点在圆外 点 在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线
∴ ； 平分
十一、圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙ 中，∵弦 、 相交于点 ，
即：在⊙ 中，∵ 、 是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图： 垂直平分 。
即：∵⊙ 、⊙ 相交于 、 两点
∴ 垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长： 中， ；

∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠E＝90°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAE=90°， ∴∠BAD=∠E.
最新中小学教案、试题、试卷、课 件 12
（2）解：如解图,连接BC. ∵AB为⊙O的直径.∴∠ACB＝90°，
∵AC=8,AB=2×5＝10，
∴BC=
AB2 AC 2 6 .
又∵∠BCA=∠ABE＝90°，∠BAD=∠E, AC BC ∴△ABC∽△EAB，∴ ， EB AB 8 6 ∴ ， EB 10 40 ∴BE= . 3
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
Hale Waihona Puke 13最新中小学教案、试题、试卷、课 件
9
（2）【思路分析】过C点作CD⊥AB,即可得
OA OA 进而求得AD、CD长，即可求得tan∠TAC的值. TA AB 解：如解图，作CD⊥AB于点D，
OD CD
∵∠BAT=90°∴CD∥AT, OD OA OA 1 , ∴CD=2OD. ∴ CD TA AB 2 设OD=a,则CD=2a，∴OA=OC= 5a , ∴AD=OA-OD= ( 5 1)a ，∵CD∥AT,∴∠TAC=∠ACD, ∴tan∠TAC=tan∠ACD= . AD 5 1 CD 2 最新中小学教案、试题、试卷、课
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角 角平分线 的交点. 形三条⑩_________ 2. 性质：
边 距离相等. 三角形的内心到三角形各⑪____
最新中小学教案、试题、试卷、课 件
7
常考类型剖析
类型 切线的证明及相关计算 例（’15武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝

又 ， ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
图（2）
方法二:如图（3），连接 , .
图（3）
是 的直径， .在 中，∵点 是 的中点，
， . ， . ， ， ，即 .又 是 的半径， 为 的切线．
（3） 如图（3）， 的外接圆为 ，过点 作 的切线，过点 作该切线的垂线，交 于另一点 ，垂足为 ，连接 .
一图串考法
考法 切线的性质（8年5考）
1.[2022河南,20] 为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环 与水平地面相切于点 ,推杆 与铅垂线 的夹角为 ,点 , , , , 在同一平面内.当推杆 与铁环 相切于点 时,手上的力量通过切点 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
,点 在射线 上 切半圆 于点
证明:连接 . , .又 , , , . 切半圆 于点 , .又 且 , 平分 , , .
4.[2017河南,18] 如图，在 中， ，以 为直径的 交 边于点 ，过点 作 ，与过点 的切线交于点 ，连接 .
图（4）
命题角度 与切线有关的证明与计算
例1 在 中， .
（1） 如图（1）， 的平分线交 于点 ,以点 为圆心， 的长为半径画圆．
图（1）
① 求证： 是 的切线；
证明：如图（1），过点 作 于点 .
图（1）
， .又 平分 ， , 是 的切线.
特立探究设正 边形的边长为 ，外接圆半径为R.则：正六边形： ；正方形： ；正三角形： .
一题串考点
已知在 中，点 为 的中点.
（1） 如图（1），连接 ，若 ， ，以点 为圆心， 为半径画圆.

【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ． 【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
九年级数学第24章圆

（第7题）
8.[2016河南,14] 如图，在扇形 <m></m> 中， <m></m> ，以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 的长为半径作 <m></m> 交 <m></m> 于点C.若 <m></m> ，则阴影部分的面积为_ ________.
（第8题）
9.[2015河南,14] 如图，在扇形 <m></m> 中， <m></m> ，点 <m></m> 为 <m></m> 的中点， <m></m> 交 <m></m> 于点E.以点 <m></m> 为圆心， <m></m> 的长为半径作 <m></m> 交 <m></m> 于点D.若 <m></m> ，则阴影部分的面积为_ ______.
考法2 阴影部分面积的计算（8年6考）
3.[2017河南,10] 如图，将半径为2，圆心角为 的扇形 绕点 逆时针旋转 ，点 ， 的对应点分别为 ， ，连接 ，则图中阴影部分的面积是( )
C
（第3题）
A. B. C. D.
4.[2022河南,14] 如图,将扇形 <m></m> 沿 <m></m> 方向平移,使点 <m></m> 移到 <m></m> 的中点 <m></m> 处,得到扇形 <m></m> .若 <m></m> , <m></m> ,则阴影部分的面积为_ _______.