(完整版)中考数学复习圆专题复习教案

个性化辅导学案归纳1:垂径定理及其推论基础知识归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的孤。

推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条孤。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的孤相等。

基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.【例1】（2014・毕节）如图，已知。

0的半径为13,弦AB长为24,则点0到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 3基础知识归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条孤、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等.注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，艮"圆绕其圆心旋转.任意角度，所得图形与原图形完全重合..【例2】（2014・山西省）如图，。

是AABC的外接圆，连接OA、OB, ZOBA=50°,则ZC的度数为（）归纳3：圆周角定理基础知识归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1:同弧或等孤所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

基本方法归.纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”-一圆心角转化.③定理成立的条件是“同一条孤所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同孤所对的圆周角与圆心角错当成同一条孤所对的圆周角和圆心角.【例3] （2014-赤峰）如图，AB是QO的直径，C、D是。

圆综合复习教学目标】1、回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己的方式进行梳理，使所学知识系统化2、进一步丰富对圆及相关结论的认识，并能有条理地、清晰地阐明自己的观点3、通过复习课的教学，感受归纳的思想方法，养成反思的习惯【重点难点】圆的有关概念和性质的应用【课堂活动】一、圆的有关概念和性质二知识点详解（一）、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

（二）、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；（三）、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；（四）、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；A（五）、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥③CE DE =④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

初中数学圆复习教案【知识与技能】1. 理解圆的定义及相关概念，如圆心、半径、弦、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等。

2. 掌握圆的性质，如圆的对称性、唯一性、无限性等。

3. 学会使用圆规和量具进行圆的画法。

【过程与方法】1. 通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

2. 学会运用圆的性质解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。

【情感、态度与价值观】1. 培养学生对数学的兴趣和自信心，使学生感受到数学的实用性和趣味性。

2. 培养学生严谨治学的态度，养成独立思考和合作交流的好习惯。

二、教学重难点【重点】1. 圆的定义及相关概念。

2. 圆的性质。

3. 圆的画法。

【难点】1. 对圆的概念和性质的理解。

2. 运用圆的性质解决实际问题。

三、教学过程（一）导入新课1. 复习已学过的圆的基本概念，如圆心、半径、弦、直径等。

2. 提问：同学们，我们已经学习了关于圆的一些基本概念，那么你们能总结一下圆的性质吗？（二）讲解新知1. 讲解圆的性质，如对称性、唯一性、无限性等。

2. 通过示例，讲解圆的画法，如使用圆规和量具。

3. 结合实例，讲解如何运用圆的性质解决实际问题。

（三）课堂练习1. 布置练习题，让学生独立完成。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价。

（四）总结与反思1. 让同学们总结本节课所学的内容，分享自己的学习心得。

2. 教师进行课堂小结，强调圆的概念和性质的重要性。

四、课后作业1. 复习圆的定义及相关概念。

2. 练习圆的画法，提高操作技能。

3. 运用圆的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

五、教学反思本节课通过复习圆的基本概念、讲解性质和画法，让学生对圆的知识有了更深入的了解。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

同时，通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

在今后的教学中，要继续关注学生的学习情况，针对不同学生的特点进行有针对性的辅导，提高教学质量。

圆专题复习一、教学目标1、熟练掌握圆的有关性质2、掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定3、熟练掌握圆的有关计算4、能正确解答与圆有关的证明题二、考点框架1、圆及其有关概念，弧、弦、圆心角的关系，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系2、圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征3、三角形的内心和外心，切线的概念4、切线长定理, 计算弧长及扇形的面积，计算圆锥的侧面积和全面积三、重点及难点1、圆的有关性质和判定定理2、与圆有关的证明题知识点框架圆的基本性质圆的有关概念圆的有关性质三角形的内心和外心直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系切线的定义和性质三角形与圆的特殊位置关系圆与圆的位置关系圆的有关计算圆周长公式n°的圆心角所对的弧长公式圆心角为n°的扇形面积公式圆的综合概念的运用位置关系及定理的运用计算公式的运用你的疑问知识点归纳一、圆的基本性质1、圆的有关概念（1）圆（2）圆心角（3）圆周角（4）弧（5）弦2、圆的有关性质（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理（3）三角形的内心：在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．二、直线与圆、圆与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系（1）相离（2）相切（3）相交2. 切线的定义和性质：若直线只与圆交与一点,则这条直线被称为圆的切线. 切线与圆的半径所在直线垂直.从圆外一点引同一个圆的两条切线，切点与圆外一点之间的的距离相等。

初中数学圆的复习教案一、教学目标1. 回顾和掌握圆的基本概念、性质和定理；2. 提高学生解决直线与圆、圆与圆位置关系的几何问题能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

二、教学内容1. 圆的基本概念和性质；2. 直线与圆的位置关系；3. 圆与圆的位置关系；4. 圆的应用问题。

三、教学过程（一）复习导入（5分钟）1. 复习圆的基本概念：圆的定义、圆心、半径等；2. 复习圆的性质：圆的对称性、周长、面积等；3. 引导学生回顾圆的画法和相关工具。

（二）直线与圆的位置关系（15分钟）1. 讲解直线与圆的相交、相切、相离三种情况；2. 引导学生掌握垂径定理及其推论；3. 举例讲解直线与圆的位置关系在实际问题中的应用。

（三）圆与圆的位置关系（15分钟）1. 讲解圆与圆的相交、相切、相离三种情况；2. 引导学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理；3. 举例讲解圆与圆的位置关系在实际问题中的应用。

（四）圆的应用问题（15分钟）1. 讲解圆的周长、弧长、扇形面积等概念；2. 引导学生掌握圆的周长、弧长、扇形面积的计算方法；3. 举例讲解圆的应用问题在实际问题中的应用。

（五）课堂练习（10分钟）1. 针对本节课的内容，设计一些填空题、选择题和计算题；2. 引导学生独立完成练习题，并及时给予解答和反馈。

（六）总结与反思（5分钟）1. 引导学生回顾本节课所学内容，总结直线与圆、圆与圆的位置关系及应用；2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑问；3. 强调圆的知识在实际生活中的应用价值。

四、教学评价1. 课堂练习的完成情况；2. 对直线与圆、圆与圆位置关系的理解和应用能力；3. 学生的提问和解答问题的能力。

五、教学资源1. 教学PPT；2. 练习题；3. 几何画板等教学工具。

六、教学建议1. 注重学生的参与，鼓励学生积极提问和解答问题；2. 结合生活中的实例，让学生感受圆的知识在实际中的应用；3. 加强对学生几何画板等工具的指导，提高学生的动手能力。

初三数学圆知识精讲一. 圆教学内容：1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。

2. 主要定理：（1）垂径定理及其推论。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。

（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。

（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。

（5）切线的性质及判定。

（6）切线长定理。

（7）相交弦、切割线、割线定理。

（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。

（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。

（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。

（11）正n边形的有关计算。

二. 中考聚焦：圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。

三. 知识框图：三、知识点：㈠、温故而知新1．在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_____组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

2. 垂径定理：垂直于弦的直径_____________这条弦，并且平分弦所对的两条_______。

3. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是__________）的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条___4. 圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的__________等于这条弧所对的__________的一半。

___________________所对圆周角相等。

在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的______相等。

直径所对的圆周角是________，____________的圆周角所对弦是直径。

5．圆的切线⑴判定：经过直径________，并且与这条直径_____________的直线是圆的切线。

⑵性质：圆的切线垂直于___________的直径。

6．三角形的外心________________________确定一个圆。

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的_____________________________的交点。

圆中考总复习教案教案标题：圆中考总复习教案教案目标：1. 确保学生对圆的基本概念、性质和相关定理有全面的理解。

2. 帮助学生掌握圆的相关计算和解题方法。

3. 提高学生在中考中解决与圆相关问题的能力。

教学重点：1. 圆的基本概念和性质。

2. 圆的相关定理的理解和应用。

3. 圆的计算和解题方法。

教学难点：1. 圆的相关定理的理解和应用。

2. 解决与圆相关问题的能力的提高。

教学准备：1. 教学课件和投影设备。

2. 圆的模型和实物。

3. 相关练习题和试题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件或实物引导学生回顾圆的基本概念，例如圆心、半径、直径等。

2. 提问学生关于圆的性质，例如圆的周长和面积公式。

二、知识讲解与概念理解（15分钟）1. 通过教师讲解和示范，详细介绍圆的相关定理，如切线定理、弦切角定理等。

2. 引导学生思考和讨论相关定理的证明过程，加深对定理的理解。

三、计算和解题方法讲解（20分钟）1. 教师以具体例题为基础，讲解圆的计算和解题方法，如计算圆的周长和面积、求解圆的切线等。

2. 结合中考真题，讲解解决与圆相关问题的思路和方法。

四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题或使用投影设备展示相关练习题，让学生进行个人或小组练习。

2. 教师巡视指导学生解题，解答学生疑问。

五、拓展与应用（15分钟）1. 提供更复杂的问题和挑战性题目，让学生进行拓展和应用。

2. 鼓励学生分享解题思路和方法，促进彼此学习和交流。

六、总结与反思（10分钟）1. 教师带领学生总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 鼓励学生提出问题和反思，以便进一步强化理解和解决困惑。

教学延伸：1. 布置相关作业，要求学生进一步巩固和拓展所学内容。

2. 鼓励学生自主学习和探究，提供相关参考资料和学习资源。

教学评估：1. 教师通过观察学生的课堂表现和参与度评估学生对圆的理解和应用能力。

2. 教师收集和批改学生的练习和作业，评估学生对圆的计算和解题方法的掌握程度。

初三圆的复习教案教案标题：初三圆的复习教案教学目标：1. 学生能够理解圆的概念，并能正确使用圆的术语。

2. 学生能够计算圆的周长和面积。

3. 学生能够应用圆的相关概念解决实际问题。

4. 学生能够发展对圆形图形的观察和推理能力。

教学准备：1. 教学PPT或白板。

2. 圆规、直尺和铅笔。

3. 纸板或绘图纸。

4. 练习题和答案。

教学过程：Step 1: 引入1. 在白板上画一个圆形，引导学生回顾圆的定义，并解释相关术语（圆心、半径、直径、弧、弦、切线等）。

2. 提问学生有关圆的特征和性质，激发他们对圆更深入的思考。

Step 2: 计算圆的周长和面积1. 提醒学生关于计算周长和面积的公式（周长=2πr，面积=πr²）。

2. 通过示范，解释如何根据给定的半径或直径计算圆的周长和面积。

3. 给学生一些练习题，让他们独立计算圆的周长和面积，并检查答案。

Step 3: 圆的相关问题1. 提供一些实际问题，要求学生应用所学知识解决。

例如：一个花坛的形状是一个半径为4米的圆，求花坛周围的围墙长度和花坛的面积分别是多少？2. 引导学生思考解决问题的方法，并鼓励他们用图画或数学计算来解决。

Step 4: 圆形图形观察和推理1. 准备一些不同大小和位置的圆形图形，让学生观察并描述它们的特征和相似之处。

2. 引导学生思考圆形图形的一些共同特点，并鼓励他们提出自己的观察和推理。

例如：如何通过测量圆的直径来判断两个圆是否相等？3. 给学生几个挑战性的问题，鼓励他们思考并解决。

Step 5: 小结和反思1. 总结圆的相关概念和计算方法。

2. 要求学生回顾整个课堂内容，自我评价学习效果。

3. 鼓励学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

教学扩展：1. 鼓励学生自行寻找更多关于圆的实际问题并解决。

2. 设计一些有趣的游戏或活动，帮助学生巩固对圆的概念的理解。

教学评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和对圆概念的理解程度。

2. 分发练习题和挑战性问题，检查学生对圆的计算和应用能力。

圆教学目标：1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．教学时间：6课时【课时分布】圆的部分在第一轮复习时大约需要6个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排.2、基础知识（1）掌握圆的有关性质和计算① 弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③ 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④ 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.（2）点与圆的位置关系① 设点与圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点在圆外d r ⇔>； 点在圆上d r ⇔=； 点在圆内d r ⇔<．② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3）直线与圆的位置关系① 设圆心到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则直线与圆相离d r ⇔>；直线与圆相切d r ⇔=；直线与圆相交d r ⇔<．② 切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.③ 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.⑤ 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.（4）圆与圆的位置关系① 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.设两圆心的距离为d ，两圆的半径为12r r 、，则两圆外离12d r r ⇔>+两圆外切12d r r ⇔=+两圆相交1212r r d r r ⇔-<<+两圆内切12d r r ⇔=-两圆内含12d r r ⇔<- ② 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.③ 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.（5）与圆有关的计算① 弧长公式：180n r l π= 扇形面积公式：213602n r S lr π==扇形 （其中为n 圆心角的度数，r 为半径）② 圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④ 圆锥的侧面积＝12×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积 3、能力要求例1 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A +∠B +∠C 的度数.【分析】由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与∠EAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．【解】 连结AE∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠AEC =90O∴∠CAD +∠EAD +∠C =90O∵ED ED =⌒⌒∴∠B =∠EAD ∴∠CAD +∠B +∠C =90O【说明】这里通过将∠B 转化为∠EAD ，从而使原本没有联系的∠A 、∠B 、∠C 都在 △AEC 中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90O ．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．例2 △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C =90O ，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．【解】 作CH ⊥AB ，垂足为H∵∠C =90O ，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =10∵∠C =90O ， CH ⊥AB∴2AC AH AB = 又∵AC ＝6， AB =10 ∴ AH ＝3.6∵CH ⊥AB ∴AD =2AH ∴AD =7.2C A答：AD 的长为7.2．【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键.定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.例3 (１)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE =∠B ，试说明AE 与⊙O 相切于点A ．(２)在（１）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE =∠B ，AE 还与⊙O 相切于点A 吗？请说明理由．(1) (2)【分析】第(１)小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第(２)小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第(１)小题的情形．【解】 (１)∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠C =90O∴∠BAC ＋∠B =90O又∵∠CAE =∠B ∴∠BAC ＋∠CAE =90O即∠BAE =90O ∴AE 与⊙O 相切于点A ．(２)连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD .∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ACD =90O∴∠D ＋∠CAD =90O又∵∠D =∠B ∴∠B ＋∠CAD =90O又∵∠CAE =∠B ∴∠CAE ＋∠CAD =90O即∠EAD =90O ∴AE 仍然与⊙O 相切于点A ．【说明】本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第(1)小题的特殊情况,大胆提出猜想,渗透“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要.E B A D EAB例4 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5．（1）若，求CD 的长． （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）．【分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长.第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOD 的大小．【解】（1） ∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5∴∠ADB ＝90°，AB ＝10又∵在Rt △ABD 中，3sin 5BD BAD AB ==∠ ∴∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD ∴ BD 2=BE ·AB CD = 2DE∵AB ＝10∴BE =185在Rt △EBD 中，由勾股定理得 ∴答：CD 的长为485． （2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD∴∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO∴∠CDB ＝∠ADO设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝k∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴4490k k k ++=︒ 得k ＝10°∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°∴∠AOC＝∠AOD＝100°则答：扇形OAC的面积为125 18π【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法．例5 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4 : 3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.(l)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(2)当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长；(3) 当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【分析】当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝４５O，作BE⊥PC于点E，CP＝PE+EC．由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大．【解】(l)当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴AB=5，AC：CA=4：3∴BC=4，AC=3S Rt△ACB=12AC·BC=12AB·CD∴1224,.55 CD PC==∵在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ=900, ∠CAB＝∠CPQ，∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ∴ AC BC PC CQ = ∴ 43235BC PC CQ PC AC === (2)当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）.∵P 是弧AB 的中点，∴045,PCB CE BE BC ∠==== 又∠CPB =∠CAB∴∠CPB = tan ∠CAB =43∴ 3tan 4BE PEBE CPB ===∠ 从而2PC PE EC =+= 由（l ）得，433CQ PC == (3）点P 在弧AB 上运动时，恒有43BC PC CQ PC AC == 故PC 最大时，CQ 取到最大值． 当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203 【说明】本题从点P 在半圆AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ 的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．P。

圆复习课教案初中数学教学目标：1. 复习并巩固圆的基本概念、性质和公式；2. 提高学生解决与圆相关的实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

教学内容：1. 圆的基本概念：圆的定义、圆心、半径；2. 圆的性质：圆的对称性、圆的周长和面积公式；3. 与圆相关的实际问题：圆的周长和面积的计算、圆的直径和半径的关系。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习圆的定义：一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的点的集合；2. 引导学生回顾圆的基本性质，如对称性、周长和面积公式等。

二、自主学习（15分钟）1. 学生自主复习圆的性质，总结圆的周长和面积公式；2. 学生通过练习题巩固圆的性质和公式的应用。

三、合作探究（15分钟）1. 学生分组讨论与圆相关的实际问题，如圆的周长和面积的计算、圆的直径和半径的关系；2. 各小组选取一道实际问题，进行展示和讲解，其他小组成员进行评价和补充。

四、巩固练习（15分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固圆的性质和公式的应用；2. 教师选取部分学生的练习题进行讲解和分析，指出错误和不足之处。

五、总结和反思（5分钟）1. 学生总结本节课的收获和不足，制定下一步的学习计划；2. 教师对学生的表现进行评价，鼓励学生继续努力。

教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和练习情况，了解学生的学习状态；2. 学生练习题完成情况：检查学生的练习题，评估学生对圆的性质和公式的掌握程度；3. 学生合作探究能力：评价学生在小组合作中的表现，如沟通、协作、解决问题等能力。

教学资源：1. 圆的性质和公式PPT；2. 与圆相关的实际问题练习题。