人教版九年级数学下册解直角三角形 综合练习题.docx

解直角三角形习题1、∆ABC 中, sin cos A B -+-=32120, 则∆ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2、计算125555351-︒︒-︒-cos sin sin3、计算: tg25︒·tg35︒·tg45︒·tg55︒·tg65︒4、利用含30︒角的直角三角形, 求15︒角的四个三角函数值。

5、∆ABC 中, ∠C = 90︒, D , E 是BC 上两点, ∠ABC =∠=∠1213ADC AEC , BD = 11, DE = 5, 求AC 。

【提示或解答】 1、B 。

∵sin A =32时, ∠A = 60︒, cos B =12时, ∠B = 60︒, 由绝对值的非负性, 得到三个角都为60︒, 应为等边三角形。

2、提示: 将第一个根号内1变为sin cos 225555︒+︒∴原式 = ()()cos sin sin 55551352︒-︒--︒=︒-︒-+︒=︒-sin cos sin sin 55551355513、提示: ∵25︒ + 65︒ = 90︒, 35︒ + 55︒ = 90︒, 由余角的正切函数与余切函数相等,∴tg25︒·tg35︒·tg45︒·tg55︒·tg65︒= tg25︒·tg35︒·tg45︒·ctg35︒·ctg25︒= 14、提示: 在∆ABC 中, ∠C = 90︒, ∠A = 30︒, ∠B = 60︒, 延长CA 到D , 使AD = AB , 连BD 。

设BC 为a , 则AB = 2a , AC a =3, ∠BDC = 15︒。

∴tg152323︒==+=-BC DC a a actg tg 1511523︒=︒=+又∵()BD BC DC a 2222262=+=+· ()sin1562624︒==+=-BC BD a acos15624︒=+5、提示: 先证∆ADE ∽∆BAE , AD = BD = 11, BE = 16, AE BE DE 280==·，AE = 454455，·AB AD AE DE ==, 设EC = x , AC = y ()AB BC AC x y x y AE 22222222244551680=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++==⎧⎨⎪⎩⎪解得x y ==8588,. ∴AC 长为8.8。

九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．图，在Rt△ABC中△ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若BC=4，sin△CEF= 3，则△AEF的面积为（）5A．3B．4C．5D．62．小丽在小华北偏东40°的方向，则小华在小丽的（）A．南偏西50°B．北偏西50°C．南偏西40°D．北偏西40°3．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15︒，B处的心角为60︒，若斜面坡度为，则斜面AB的长是（）米．A．B．C．D．4．如图，某渔船正在海上P处捕鱼，先向北偏东30°的方向航行10km到A处．然后右转40°再航行到B处，在点A的正南方向，点P的正东方向的C处有一条船，也计划驶往B处，那么它的航向是（）A ．北偏东20°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°5．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°，已知斜坡AB 的坡角为30°，10AB =米，15AE =米，则宣传牌CD 的高度是（ ）米A ．20-B ．20+C ．15+D ．56．如图，已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的O ，随机地往O 内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A B C D ．以上答案都不对7．如图，小明利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，已知标杆BE 的长为1.2米，测得AB =85米，BC ＝425米，则楼高CD 是（ ）A ．6.3米B ．7.5米C ．8米D ．68．如图，点E 是⊥ABCD 的边AB 上一点，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于F ，点P 为EF 上一点，连接PB 、PD ．下列说法不正确的是（ ）A ．若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上B ．若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2，则S △BEP ：S △DFP ＝3：4C ．若S △BEP ＝S △DFP ，则点P 在AC 上D ．若点P 在BD 上，则S △BEP ＝S △DFP9．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米10．如图，等腰Rt △ABC 中⊥A =90°，AB =AC ，BD 为△ABC 的角平分线，若2CD =，则AB 的长为（ ）A．3 B ．2 C ．4 D 2+二、填空题11．在Rt ABC 中90C ∠=︒，有一个锐角为60︒，6AB =若点P 在直线．．AB 上（不与点A ，B 重合），且30PCB ∠=︒，则AP 的长为_______．12．如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O '处，得到扇形A O B '''．若⊥O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．13．如图，在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处，然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处，在点D 处测得塔顶A的仰角为30︒，已知斜坡的斜面坡度i =A ，B ，C ，D ，在同一平面内，小明同学测得古塔AB 的高度是___________．14．如图，在直角坐标系中点A 的坐标为（0，点B 为x 轴的正半轴上一动点，作直线AB ，⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称，点D ，E 分别为AO ，AB 的中点，连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ，连接CE ，当⊥CEF 为直角时，则直线AB 的函数表达式为__．15．如图，平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，A 在x 轴的正半轴上，B ，C 在第一象限，反比例函数1y x =的图象经过点C ，()0k y k x=≠的图象经过点B ．若OC AC =，则k =________．16．在⊥ABC 中AB =6AC =且45B ∠=，则BC =______________．17．如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，（即BC ：AC=1：2），若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AB 的长为________米．18．如图，等边ABC 中115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒，则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．三、解答题19．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm ．王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i =，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm ？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ，则高圆柱的高度为多少cm ？20．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米，到达菜园B 处锄草，再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D 处进行手工制作，最后从D 处回到门口A 处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.7521．如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离． 1.41 1.73≈结果精确到0.1m ）参考答案与解析1．C【分析】连接BF ，由已知CE AE BE ==得到A FBA ACE ==∠∠∠，再得出CEF ∠与CBF ∠的关系，由三角函数关系求得CF 、BF 的值，通过BF AF =，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接BF⊥CE 是斜边AB 上的中线 ⊥12CE AE BE AB ===（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）⊥A FBA ACE ==∠∠∠又⊥90BCA BEF ==︒∠∠在⊥ABC 中180902CBF ACB A ABF A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠在⊥AEC 中180902CEF AEF A ACE A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠⊥CEF CBF ∠=∠3sin sin 5CBF CEF ∴∠=∠=4BC =，设3,5CF x BF x ==则222BC CF BF +=，即()()222435x x +=解得1x =（负值舍掉）3,5CF BF ∴== ⊥EF 是AB 的垂直平分线， ⊥5BF AF ==11·541022AFB S AF BC ∴==⨯⨯=△ 152AEF ABF S S ∴==△△故选：C ．【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识，熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键．2．C【分析】画出示意图，确定好小丽和小华的的方向和位置即可．【详解】解：如图所示，当小丽在小华北偏东40°的方向时，则小华在小丽的南偏西40°的方向．故选：C【点睛】本题考查了方位角的知识点，确定好物体的方向和位置是解题的关键．3．B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ，根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒，根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒，求得60HBP ∠=︒，解直角三角形即可得到结论．【详解】如图所示：过点A 作AF BC ⊥于点F斜面坡度为AF tan ABF BF ∠∴=== 30ABF ∠∴=︒在P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15︒，山脚B 处的俯角为60︒3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒，60HBP ∠∴=︒9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒，PB AB ∴=303060PH PH m sin PB PB =︒===，解得：)PB m =故AB =故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确得出PB AB =是解题关键．4．C【分析】连接BC ，由锐角三角函数定义得AC A = km ，则AC =AB ，再由等腰三角形的性质得⊥ACB =⊥ABC =35°，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BC由题意得：⊥ACP =⊥ACD =90°，⊥P AC =30°，P A =10km ，⊥BAE =40°，AB =⊥⊥BAC =180°—⊥P AC —⊥BAE =180°—30°—40°=110°⊥cos⊥P AC =ACPA =cos30°=⊥AC =P A =×10= km⊥AC =AB⊥⊥ACB =⊥ABC =12×（180°—⊥BAC ）=12×（180°—110°）=35°即B 处在C 处的北偏东35°方向故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，由锐角三角函数定义求出AC 的长是解题的关键．5．A【分析】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，在Rt ⊥ABG 中由已知可求得BG 、AG 的长，从而可易得EF 及EG 、BF 的长度，由等腰直角三角形的性质可得CF 的长度，在Rt ⊥DAE 中由正切函数关系可求得DE 的长度，从而可求得CD 的长度．【详解】过点B 分别作AE 、DE 的垂线，垂足分别为G 、F ，如图在Rt ⊥ABG 中⊥BAG =30゜⊥152BG AB ==米，cos3010AG AB =︒==⊥15)EG AG AE =+=米⊥BG ⊥AE ，BF ⊥ED ，AE ⊥ED⊥四边形BGEF 是矩形⊥EF =BG =5米，15)BF EG ==米⊥⊥CBF =45゜，BF ⊥ED⊥⊥BCF =⊥CBF =45゜⊥15)CF BF ==米在Rt ⊥DAE 中⊥DAE =60゜，AE =15米⊥tan DE AE DAE =∠=米)⊥155(20CD CF EF DE =+-=+-=-米故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，理解坡角、仰角的含义，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．6．A【分析】连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，由正六边形的特点可证得⊥OAB 是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH 的长，利用三角形的面积公式即可求出⊥OAB 的面积，进而可得出正六边形ABCDEF 的面积，即可得出结果．【详解】解：如图：连接OB ，过点O 作OH ⊥AB 于点H⊥六边形ABCDEF 是正六边形⊥⊥AOB =60°⊥OA =OB =r⊥⊥OAB 是等边三角形⊥AB =OA =OB =r ，⊥OAB =60°在Rt OAH △中sin OH OA OAB r =⋅∠==⊥21122OAB S AB OH r =⋅==△⊥正六边形的面积226== ⊥⊥O 的面积=πr 2⊥米粒落在正六边形内的概率为：222rπ 故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出⊥OAB 的面积是解决问题的关键．7．B【分析】先判断出⊥ABE ⊥⊥ACD ，再根据相似三角形对应边成比例解答．【详解】⊥AB =85，BC ＝425 ⊥AC =AB +BC =10⊥BE ⊥AC ，CD ⊥AC⊥BE ⊥CD⊥AB ：AC =BE ：CD ⊥85：10=1.2：CD⊥CD =7.5米．故选：B ．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物的高度，体现了方程的思想．8．D【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可．【详解】解：A 、若⊥ABP ＝⊥CDP ，则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上，说法正确；B 、若AE ：EB ＝2：3，EP ：PF ＝1：2则S △BEP ：S △DFP ＝3：4，说法正确；C 、过点P 作GH AB ∥，分别交AD ，BC 于G ，H⊥GH AB ∥ GA HB ∥⊥四边形ABHG 是平行四边形同理：四边形CDGH 、四边形BHPE ，四边形DGPE 都是平行四边形 ⊥12BEP BHPE S S =△ 12DFP DGPF S S =△又BEP DFP S S =△△⊥BEPH DGPF SS = ⊥ABHG ADFE S S =同理：BCFE CDGH S S =⊥点P 在AC 上，C 说法正确；D 、若点P 在BD 上，不能得出EP ＝PF ，所以S △BEP 不一定等于S △DFP ，说法错误；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒ 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米) 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．10．D【分析】过点D 作DE ⊥BC 于点E ，设AB =AC =x ，则AD =x -2，根据等腰Rt △ABC 中90,A AB AC ∠=︒= 得到⊥C =45°，根据BD 为△ABC 的角平分线，⊥A =90°，DE ⊥BC ，推出DE =AD =x -2，运用⊥C 的正弦即可求得．【详解】解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则⊥DEB =⊥DEC =90°设AB =AC =x ，则AD =x -2⊥等腰Rt △ABC 中，⊥A =90°，AB =AC ，⊥⊥C =（180°-⊥A ）=45°⊥BD 为△ABC 的角平分线⊥DE =AD =x -2⊥sin sin 452DE C CD ︒===⊥22x -⊥2x ，即2AB =．故选D ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，角平分线，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正弦的定义和45°的正弦值，是解决问题的关键．11．92或9或3 【分析】分⊥ABC =60、⊥ABC =30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：当⊥ABC =60°时，则⊥BAC =30°⊥132BC AB ==⊥AC ==当点P 在线段AB 上时，如图⊥30PCB ∠=︒⊥⊥BPC =90°，即PC ⊥AB⊥9cos 2AP AC BAC =⋅∠==；当点P 在AB 的延长线上时⊥30PCB ∠=︒，⊥PBC =⊥PCB +⊥CPB⊥⊥CPB =30°⊥⊥CPB =⊥PCB⊥PB =BC =3⊥AP =AB +PB =9；当⊥ABC =30°时，则⊥BAC =60°，如图⊥132AC AB ==⊥30PCB ∠=︒⊥⊥APC =60°⊥⊥ACP =60°⊥⊥APC =⊥P AC =⊥ACP⊥⊥APC 为等边三角形⊥P A =AC =3．综上所述，AP 的长为92或9或3． 故答案为：92或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键．12．3π【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO '，求得60O C COB '=∠=︒，根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O '与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA ＝2 AOB ∠＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形 OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为：3π+【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB ∠=︒是解题的关键．13．(20m +【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H ，设DF =x m ，CF m ，求出x =10，则BH =DF =，CF =，DH =BF ，再求出AH DH ，即可求解． 【详解】解：过D 作DF ⊥BC 于F ，DH ⊥AB 于H⊥DH =BF ，BH =DF⊥斜坡的斜面坡度i =1⊥:DF CF =设DF =x m ，CFm⊥CD 220x ==⊥x =10⊥BH =DF =10m ，CF =⊥DH =BF =（m ）⊥⊥ADH =30°⊥AH 10=+m ） ⊥AB =AH +BH =20103（m ）故答案为：(20m +【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．y【分析】证明⊥ABO ⊥⊥ABC ，于是可知⊥CBA =⊥ABO =30°，得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式．【详解】解：⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ACB ＝⊥AOB ＝90°⊥点E 是AB 的中点⊥CE ＝BE =EA⊥⊥EAC ＝⊥ECA⊥⊥ECA +⊥ECF ＝90°，⊥ECF +⊥CFE ＝90°⊥⊥CFE ＝⊥BAC而点D ，E 分别为AO ，AB 的中点⊥DF ∥OB⊥⊥CFE ＝⊥CBO ＝2⊥CBA ＝2⊥ABO⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ABO ⊥⊥ABC⊥⊥OAB ＝⊥CAB ＝2⊥ABO⊥⊥ABO ＝30°而点A 的坐标为（0，即OAAB ∴=⊥OB =3即点B 的坐标为（3，0）于是可设直线AB 的函数表达式为y ＝kx +b ，代入A 、B 两点坐标得30b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得kb故答案为y【点睛】本题考查的是三角形的全等，并考查了用待定系数法求函数解析式，找到两个已知点的坐标是解决本题的关键．15．3【分析】过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，先证四边形CDEB 为矩形，得出CD =BE ，再证Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ），根据S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2，再求S △OBA =112OCBA S =平行四边形即可． 【详解】解：过点C 作CD ⊥OA 于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E⊥CD ⊥BE⊥四边形ABCO 为平行四边形⊥CB OA ∥ ，即CB DE ∥，OC =AB⊥四边形CDEB 为平行四边形⊥CD ⊥OA⊥四边形CDEB 为矩形⊥CD =BE⊥在Rt △COD 和Rt △BAE 中OC AB CD EB =⎧⎨=⎩⊥Rt △COD ⊥Rt △BAE （HL ）⊥S △OCD =S △ABE⊥OC =AC ，CD ⊥OA⊥OD =AD⊥反比例函数1yx=的图象经过点C⊥S△OCD=S△CAD=12⊥S平行四边形OCBA=4S△OCD=2⊥S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形⊥S△OBE=S△OBA+S△ABE=13 122 +=⊥3232k=⨯=．故答案为3．【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．16．3或3【分析】画出图形，分⊥ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当⊥ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H⊥⊥B=45°⊥⊥ABH为等腰直角三角形⊥363322ABAH BH在Rt⊥ACH中由勾股定理可知：2236273CH AC AH⊥333BC BH CH．情况二：当⊥ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：363322ABAH BH2236273CH AC AH⊥333BC BH CH ．故答案为：3或3．【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将⊥ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．17．【分析】根据坡面AB 的坡比以及AC 的值，求出BC ，再利用勾股定理即可求出斜面AB 的长．【详解】解：⊥大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1：2，AC=12米⊥1212BC BC AC == ⊥BC=6⊥AB =故答案为：【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，能根据坡度求出BC 是解题关键． 18．55°，60°，65°．【分析】通过旋转AOB 至CDB △，可得BOD 是等边三角形，将,,OA OB OC 放在一个三角形中进而求出各角大小。

专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应用中考真题的综合问题的所有类型！一．解答题（共50题）1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= 4．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，5C，D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：2≈1.41,3≈1.73）俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．根据题意得：∠ACD=30°，∠设AD=x，则BD=BA+AD=1000+在Rt三角形ACD中，CD=在Rt三角形BCD中，BD=CD ∴1000+x=3x⋅tan68°，解得：x=10003⋅tan68°―1=1.7×AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m 到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）由题意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m设AG＝x m，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，=x（m），∴FG=AGtan45°念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A 处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C 的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD 为10m ，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）善．某市政府为了实现5G 网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G 基站3000个，如图，在斜坡CB 上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan 53°≈43）(1)求坡面CB的坡度；(2)求基站塔AB的高．根据他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为∴CD=50（米），DM=30（米），根据勾股定理得：CM=CD2―DM2=40（米）∴坡面CB的坡度为；DMCM =3040=34,即坡面CB的坡度比为3:4；船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,3≈1.73）地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G 处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin 31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】6.9m【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．∴OD=AG=4.5m．答：OD的长为4.5m．【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解12．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC 长为260m．(1)求该滑雪场的高度h；(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．：根据题知坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为30°，测得白塔顶部C的仰角的为37°．索道车从A 处运行到B处所用时间的为5分钟．(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60, cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73）的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度由题意得BD=a，CD∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形，则BE=CD=b，BD=在Rt∆ACE中，tan得AE=CE=CE×tanα15．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC 的坡度为i1=1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：测量项目测量数据从A处测得路灯顶部P的仰角αα=58°从D处测得路灯顶部P的仰角ββ=31°测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60）【答案】3.5米【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，∵AB=DC=1.6，AB//DC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，同理：四边形CDFE是矩形；∴AD=BC=2，EF=CD=1.6，在直角△PDF中，有PF=DF·tanβ=(AD+AF)·tanβ，在直角△PAF中，有PF=AF·tanα，∴(AD+AF)·tanβ=AF·tanα，即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°，∴(2+AF)×0.6=AF×1.6，解得：AF=1.2；∴PF=1.2×1.6≈1.9；∴PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．17．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？【答案】(1)小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米(2)小欢15分钟内能到达公共汽车站【分析】（1）过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB＝2000米可得AD的长度；（2）根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．，∵DC ⊥AM 于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM =30°（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43，3≈1.73）【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：∠CAE =15°，AB =30米，根据三角形的外角性质可求出∠ACB =15°，从而得出AB =BC =30米，即可得出答案．（2）在Rt △CBE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE ，BE 的长，然后在Rt △DEB 中，利轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，∴BD= BC sin50°≈20×0.766=15.32(海里)，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（2022·山东青岛·中考真题）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【答案】观光船从C处航行到D处的距离为462.5米【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据题意利用正切函数可得AB=496，由矩形的判定和性质得出CF=BE=296，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可．【详解】解：过点C作CF⊥DE于点F，由题意得，∠D=40°,∠ACB=68°，测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m，测速仪C和E之间的距离CE=750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．(1)求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4）天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3:4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4,tan58°≈1.6）【详解】分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为∴∠BEA=∠BFN四边形BENF为矩形，∴BEx，ABE中，分构成如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m，EF=8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）．到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，∴四边形AMCB为矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号）【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．27．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E 处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,3≈1.73）．【答案】58m【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°．京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】70【分析】过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，可得HB=MN，在Rt∵AF=50，∠AFH=40°，在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32（米），∵HG∥BC，∴∠EGF=∠ECB∵∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7米∵FM=EMtan∠EFG,MG=EMtan∠EGF∴EM+EM=7，村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中DHAH≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB=AC=20cm，当∠BAC=120°时，伞完全打开，此时∠BDC=90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：3≈1.732）测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A 处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB 的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面BC的高度．则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10(米)∵MN∥AE，∴∠PAF=∠MPA=60°．∵∠ADE=60°，∴∠PAF=∠ADE．∵∠DAE=30°，∴∠PAD=30°．∵∠APD=75°，∴∠ADP=75°．∴∠ADP=∠APD．∴AP=AD．∴△APF≌△DAE（AAS）．∴PF=AE=100．∴PG=PF+FG=100+10=110(米)∴无人机距离地面BC的高度为110米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．31．（2022·四川自贡·中考真题）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1h20min，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．（1）求该轮船航行的速度．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．古洞古部落”享誉巴渠，被誉为“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40∘，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60∘，CB＝5m,CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.2≈1.41,3≈1.73）【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．33．（2022·广东广州·中考真题）如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处.（1）求之间的距离（2）求从无人机A′上看目标的俯角的正切值.所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【详解】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．35．（2022·重庆·中考真题）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1:1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1．5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52）m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)－，在=0.60，解得x=2.5，答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．考点：解直角三角形．37．（2022·四川巴中·中考真题）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为300和600，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1=1.082，tanθ2 =0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？【答案】支架DC的高应为119cm．【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．【详解】解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm∵Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，∴DE=DF-EF=AF（tanθ1-tanθ2）又∵AF=140cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8，∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．答：支架DC的高应为119cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．40．（2022·四川泸州·中考真题）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距82nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．根据题意可得，∠BAC=∠在Rt△ABC中，AC=BC=8∴AB=2BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10 nmile=∴DE=AD•sin60°=10×32人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【答案】(1)283米(2)经过点B到达点D较近【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到，ACHE是矩形，∴EH=AC=200米，根据题意得：∴DH=EH=200米，∴DE=2EH=30°，在Rt△ABC中，∴AB=2AC∴BC=AB2―BC2=2003（米），+100―200=2003―100（米）B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：3=1.732）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）由题意可得：。

解直角三角形1．△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( A )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a ta n A ＝bD ．c tan B ＝b2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，c ＝2，则b 的值等于( D )A.55 B.255 C.355 D.455【解析】 ∵tan A ＝a b ＝12，∴a ＝b 2，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋b 2＝4，∴5b 24＝4，∴b ＝45 5.3．如图28－2－1，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于( B ) A ．m ·sin α米 B ．m ·tan α米 C ．m ·cos α米 D.mtan α米图28－2－1图28－2－24．如图28－2－2，△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 5．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高．则下列结论中，正确的是( B ) A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12AB C ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23，则∠B ＝__30°__．【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形，由tan B ＝b a ＝23＝33，得∠B ＝30°.7．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，则a ＝__12__，b ＝__43__．【解析】 本题是已知一锐角和斜边解直角三角形，由sin A ＝a c ，得a ＝sin A ·c ＝32×83＝12.由∠A ＝60°，得∠B ＝30°，所以b ＝12c ＝4 3.8．等腰三角形底边长为26，底边上的高为32，则底角为__60°__． 【解析】 底边上的高将等腰三角形分割成两个直角三角形，通过解直角三角形即可求底角． 9．在△ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形． (1)已知∠A ＝60°，b ＝4，求a ； (2)已知a ＝13，c ＝23，求b ；(3)已知c ＝282，∠B ＝30°，求a ；(4)已知a ＝2，cos B ＝13，求b .解：(1)∵tan A ＝a b，∴a ＝b ·tan A ＝4·tan60°＝4×3＝43；(2)∵a 2＋b 2＝c 2， ∴b ＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝13； (3)∵cos B ＝a c， ∴a ＝c ·cos B ＝282×32＝146； (4)∵cos B ＝a c ，∴c ＝a cos B ＝213＝6.又∵b 2＝c 2－a 2，∴b ＝c 2－a 2＝62－22＝4 2. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. (1)已知a ＝4，b ＝8，求c .(2)已知b ＝10，∠B ＝60°，求a ，c . (3)已知c ＝20，∠A ＝60°，求a ，b .解：(1)c ＝a 2＋b 2＝42＋82＝45；(2)a ＝b tan B ＝10tan60°＝103＝1033，c ＝b sin B ＝10sin60°＝1032＝2033；(3)a ＝c ×sin A ＝20×32＝103，b ＝c ×cos A ＝20×12＝10. 11．根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，∠B ＝60°； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，b ＝ 6.解：(1)∠A ＝90°－∠B ＝30°，c ＝acos B＝16，b ＝a ·tan B ＝83；(2)∠B ＝90°－∠A ＝45°，a ＝b ·tan A ＝6，c ＝bcos A＝2 3.图28－2－312．如图28－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝ 22，解这个直角三角形．解：∵∠C ＝90°，AC ＝2，AB ＝22，∴sin B ＝AC AB ＝12，∴∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.BC ＝AB 2－AC 2＝8－2＝ 6.13．如图28－2－4，已知△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝12，D 是AC 上一点，∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD ＝( A )图28－2－4A.35B.105C.310D.4914．如图28－2－5，已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长(结果保留根号)． 解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝ 60°. 在Rt △ABC 中，∵cos B ＝AB BC ，sin B ＝AC BC，∴BC ＝ AB cos B ＝2cos60°＝4，∴AC ＝BC ·sin B ＝4×sin60°＝23， ∴△ABC 的周长＝AB ＋AC ＋BC ＝6＋2 3.图28－2－5图28－2－615．如图28－2－6，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中，因为sin ∠BDC ＝BC BD， 所以BC ＝BD ×sin ∠BDC ＝102×sin45°＝102×22＝10. 在Rt △ABC 中，因为sin A ＝BC AB ＝1020＝12，所以∠A ＝30°. 16．如图28－2－7，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝23，求AB 的长．图28－2－7第16题答图解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°.∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°，∴CD ＝BD . ∵∠A ＝30°，AC ＝23，∴CD ＝12AC ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理得：AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.17．某学校的校门是伸缩门(如图①)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图②)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图③)．问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.087 2，cos5°≈0.996 2，sin10°≈0.173 6，cos10°≈0.984 8)．图28－2－8 解：如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABC D.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0．3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20≈6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0．3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3＝0．02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为()A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是() A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解； ③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b>0. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________．14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个．16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1. 22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE＝2∠COF.(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．理由：设∠AOC＝β，则∠AOE＝90°－β，又因为OF是∠AOE的平分线，所以∠AOF＝90°－β2.所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE＝2∠COF.25．解：(1)0.5x；(0.65x－15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a度．根据题意，得0.65a－15＝0.55a，解得a＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C在原点右边，则点C表示的数为100÷(3＋1)＝25；若点C在原点左边，则点C表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50.故点C表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D经过的时间为t s，则6t－4t＝130，解得t＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D表示的数为－290.(4)ON－AQ的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。

图28-3练习9 解直角三角形一、自主学习1.如图28-3所示，Rt △ABC 中 (1)它三边之间的关系是_________. (2)它两锐角之间的关系是________. (3)它的边角之间的关系是：___________________,____________________； ___________________，__________________； ___________________，____________________； 二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________.3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________.4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________.5.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.6.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.7.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________8.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________.9.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=____.10.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.11.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21C.1D.)32(21+13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.23514.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的图28-4影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5 图28-6 图28-7A.3m B.3 m C.2 m D.1.5 m15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( ) A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-) D.(23,21-)16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32m C.3 m ，1 mD.1 m,3m17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33m C.3+32 m D.32 m18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552C.553D.3219.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m图28-8 图28-920.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66cm B.68 cm C.38 cm D.154cm21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53B.55C.51 D.52四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-1023.小华所在的学校A位于某工地O的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O出发，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m，问小华所在的学校A是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-1124.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12图28-13参考答案一、自主学习1.如图28-3所示，Rt△ABC中(1)它三边之间的关系是_________.(2)它两锐角之间的关系是________.(3)它的边角之间的关系是：__________________________,_______________________ ______；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；图28-3答案：(1)a 2+b 2=c 2 (2)∠A+∠B=90° (3)sinA=ca ，cosA=cb ，tanA=bacotA=ab ，sinB=cb ，cosB=ca ，tanB=ab ，cotB=ba二、基础巩固2.等腰三角形的周长为2+3，腰长为1，则它的底角等于________. 答案：30°3.在离地面5 m 处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线的长为_______________. 答案：3310m4.一个梯形的两个下底角分别为30°和45°，较大的腰长为10 cm ，则它另一腰长为________. 答案：255.△ABC 中，BC=2，AC=3+3，∠C=30°，则sinA=_________.答案：10106.在高度为93 m 的建筑物上，观察一楼房的顶端和底部的俯角分别为30°，60°，则这栋楼房的高度为___________m.答案：627.Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AB=10，则BC=________，cosB=________ 答案：8548.△ABC 中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=22，则S △ABC =_________. 答案：2329.如图28-4所示，△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，且BD=2AD ，若CD=34，tan ∠BCD=33，则高AE=__________.图28-4答案：3310.Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8 cm ，AC=34cm ，则AD=_____________cm.答案：611.Rt △ABC 中,∠C=90°，∠A 、∠B 、∠c 所对的边分别为a 、b 、c ，若a=25，b=215，则c=________，∠A_______，∠B________. 答案：530° 60°三、能力提高12.Rt △ABC 斜边上的中线CD 长为1，周长是2+6，则它的面积是( ) A.2B.21 C.1D.)32(21+答案：B13.正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别在边BC 、CD 上，若△AEF 为等边三角形，则BE 的长是( ) A.3255-B.3310C.3510-D.235答案：C14.如图28-5所示，一束平行的光线从教室窗射入教室，测得光线与地面所成的∠AMC=30°，窗户的高在教室地面的影长MN=32m ，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1 m ，(点M 、N 、C 在同一直线上)，则窗户高AB 为( )图28-5A.3m B.3 m C.2 mD.1.5 m 答案：C15.在平面直角坐标系内，坐标原点为O ，点M 在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，则点M 的坐标是( )A.(21,23-) B.(21,23--) C.(21,23-)D.(23,21-)答案：A16.如图28-6所示，在山坡上种树，已知相邻两株树的坡面距离AB 为4 m ，∠B=60°，则这两株树的水平距离和高度差分别为( ) A.32m ，2 m B.2 m ，32 m C.3 m ，1 mD.1 m,3m图28-6答案：A17.大风刮断一根废弃的木电线杆，如图28-7所示，杆的顶端B 落到地面离其底部A 的距离为3m处，若两截电线杆的夹角为30°，则电线杆刮断前的高度为( ) A.6 m B.33 m C.3+32mD.32m图28-7答案：C18.Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC 的长等于斜边上的中线长的34，则较大锐角的余弦值是( )A.35B.552 C.553D.32 答案：D19.如图28-8所示，将-矩形纸片ABCD 折起一个角，使点C 恰好落在AB 边，若AD=m ，∠CDE=α，则折痕DE=( )图28-8A.αα2sin cos •mB.ααcos sin 2•mC.ααcos sin •mD.ααsin cos 2•m 答案：A20.已知平行四边形两邻边长分别是64cm和34cm ，一角为45°，则这个平行四边形的较长对角线长是( ) A.66 cm B.68 cm C.38cmD.154cm答案：D21.如图28-9所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，∠ACB=135°，AC ⊥CD ，则sinA=( ) A.53 B.55C.51 D.52图28-9答案：B 四、模拟链接22.小明家在花园小区某栋楼AD 内，他家附近又新建了一座大厦BC ，已知两栋楼房间的水平距离为90 m ，AD 楼高60 m ，小明爬上自家所在楼房顶测得大厦顶部C 的仰角为30°，求大厦BC 的高.(精确到1 m ，如图28-10所示)图28-10答案：112 m23.小华所在的学校A 位于某工地O 的正西方向，如图28-11所示，且OA=200 m.一拖拉机从工地O 出发，以5m/s 的速度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪音影响半径为130 m ，问小华所在的学校A 是否受拖拉机噪音影响?若受影响，请求出学校受拖拉机噪音影响的时间.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)图28-11答案：受影响的时间为20 s24.阅读下列材料，并解决后面的问题：在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，作AD ⊥BC 于D(如图28-12)，则sinB=cAD ，sinC=bAD ，即AD=c·sinB ，AD=b·sinC ，于是c·sinB=b·sinC ，即C cB b sin sin =，同理有A a C c sin sin =，即Cc B b A a sin sin sin == 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.[来源:学+科+网Z+X+X+K](1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论和有关定理就可求出其余三个元素c 、∠B 、∠C ，请按照下列步骤填空，完成求解过程.第一步：由条件a 、b 、∠A −−−→−有关系式_________−−→−求出∠B ； 第二步：由条件∠A 、∠B −−−→−有关系式________−−→−求出∠C ； 第三步：由条件_______−−−→−有关系式__________−−→−求出∠c (2)一货轮在C 处测得灯塔A 在其北偏西30°的方向上，随后货轮以284海里/时的速度沿北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西70°的方向上(如图28-13)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0.1，参考数据：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).图28-12 图28-13答案：(1)略(2)约为21.3海里(提示：用题目中的结论)。

人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 1 / 14解直角三角形的应用 测试题时间：100分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等 小明将PB 拉到 的位置，测得 为水平线 ，测角仪 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为A.B.C. D.2. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 为 ，则调整后的楼梯AC 的长为 A. B.C. D. 3. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为 现要在楼梯上铺一条地毯，已知 米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B.米 C.米D. 米4. 上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处 如图 从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东 和北偏东 方向，那么在B 处船与小岛M 的距离为A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里 5. 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长m 为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单位：米为A. B. 61 C. D. 1217.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为A. nmileB. nmileC. nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米10.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则大坝底端增加的长度CF是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 3 / 1411. 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面 米，背水坡面 米， ，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ，，则CE 的长为______ 米12. 如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为 ，测得底部C 的俯角为 ，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米，那么该建筑物的高度BC 约为______ 米 精确到1米，参考数据：13. 小明沿着坡度i 为1： 的直路向上走了50m ，则小明沿垂直方向升高了______ 14. 如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角 为 ，则调整后楼梯AC 长为______ 米15. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，从A 滑行至B ，已知 米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米 参考数据： ， ，16. 如图，为测量某栋楼房AB 的高度，在C 点测得A 点的仰角为 ，朝楼房AB 方向前进10米到达点D ，再次测得A 点的仰角为 ，则此楼房的高度为______ 米 结果保留根号 ．17. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 ，如果此时热气球C 处的高度为200米，点A 、B 、C 在同一直线上，则AB 两点间的距离是______米 结果保留根号 ．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是：，则______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______ 米三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保留根号人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．求的度数．求教学楼的高结果精确到，参考数据：，24.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求大楼AB的高度结果保留根号5 / 14四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为，测得大楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析）7 / 14答案和解析【答案】 1. A 2. B 3. D 4. B5. A6. C7. B8. B 9. D 10. C11. 8 12. 208 13. 2514. 15. 280 16.17. 18. 130 19.20.21. 解：设每层楼高为x 米，由题意得： 米， ， ，在 中， ，，在 中， ，， ，，解得： ，则居民楼高为 米． 22. 解：如图，作 ， 水平线，由题意得： ， ， ，， ， ，， ， ，则 ．23. 解： 过点C 作 ，则有 ， ，；由题意得： ，在 中， ， 在 中， ，教学楼的高 ， 则教学楼的高约为 ．24. 解：在 中， 米， ， ，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．在直角中，，，，．答：障碍物B，C两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 9 / 14， ，．故选：A ．设 ，在 中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在 中，，， 在 中，，．故选B ．先在 中利用正弦的定义计算出AD ，然后在 中利用正弦的定义计算AC 即可．本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成 ：m 的形式 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i 与坡角 之间的关系为： ． 3. 解：在 中， 米 ， 米 ，地毯的面积至少需要 米 ； 故选：D ．由三角函数表示出BC ，得出 的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC 是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B 作 于点N ．由题意得，海里， ．作 于点N ．在直角三角形ABN 中， ． 在直角 中， ，则 ， 所以 海里 ． 故选B ．过点B 作 于点 根据三角函数求BN 的长，从而求BM 的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，． 故选A ．根据三角函数的定义即可求解．本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键． 6. 【分析】根据题意求出CE 的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE 的长，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：，背水坡EF的坡度：4，，，米，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 11 / 14 故选C ．过D 作 于G ， 于H ，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A 、D 作 ， ，垂点分别为F 、G ，如图所示．在 中， 米， ，，， ．在 中， ， 米，．在 中， ，，，．即CE 的长为8米．故答案为8．分别过A 、D 作下底的垂线，设垂足为F 、 在 中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF 的值，也就得到了DG 的长；在 中，由勾股定理求CG 的长，在 中，根据正切函数定义得到GE 的长；根据 即可求解． 本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理 作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：， 解得： ，，解得： ，故该建筑物的高度为： ，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD ，DC 的长，进而求出该建筑物的高度． 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 13. 解：如图，过点B 作 于点E ，坡度： ： ，：， ，，．他升高了25m ．故答案为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1： ，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故答案是：．先在中利用正弦的定义计算出AD，然后在中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280如图在中，，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故答案为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题（含答案及解析） 13 / 14在 中， ， ，，．故答案为： ．先根据从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 可求出 与 的度数，再由直角三角形的性质求出AD 与BD 的长，根据 即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．18. 解：作 于E ， 于F ，斜坡CD 的坡比为1：2，即 ，，又 ，， ，由题意得，四边形BEFC 是矩形，， ，斜坡AB 的坡比为1：3，，即 ， ，故答案为：130m ．作 于E ， 于F ，根据坡度的概念分别求出AE 、DF ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解： ： ，则 ．故答案是： ．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作 ， 水平线，由题意得： ， ， ，， ，，， ，，．故答案为： ．作 ， 水平线，根据题意确定出 与 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由 求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．21. 设每层楼高为x 米，由 求出 的长，进而表示出 与 的长，在直角三角形 中，利用锐角三角函数定义表示出 ，同理表示出 ，由 求出AB 的长即可．此题属于解直角三角形的应用 仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22. 如图，作 ， 水平线，根据题意确定出 与 的度数，利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长，由 求出BC 的长，即可求出BH 的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角得到DF的长度；通过解直角得到CE的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．。

新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形及其应用课时作业一、选择题1. 如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为（）A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm答案：C知识点：解直角三角形解析：解答：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC= BCAC，又AC=30cm，tan∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．分析：此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC的对边为BC，邻边为AC，根据∠BAC的正切值，即可求出BC 的长度．2. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（）A．24米 B. 20米 C. 16米 D. 12米答案：D知识点：解直角三角形的应用解析：解答：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，AB≈24×0.51≈12米．故选D．分析：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC·tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．3. 如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（）A.503米B. 1003米C 10031+米D.10031-米答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：在Rt△ABD中,∵∠ADB=45,°∴BD=AB.在Rt△ABC中, ∵∠ACB=30°,∴ABBC=tan30°=33.∴BC=3AB. 设AB=x（米）, ∵CD=100,∴BC=x+100. ∴x+100=3x,∴x=10031米.故选D．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x（米），再利用CD=BC-BD=100的关系，进而可解即可求出答案．4. 某水坝的坡度i=1：3，坡长AB=20米，则坝的高度为（）A．10米B．20米C．40米D．20答案：A．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：如图：∵坡度i=1：3,∴设AC=x，BC=3x.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,则x 2+（3x ）2=202,解得x=10． 故选A ．分析：此题考查了坡比的概念，不仅要熟悉解直角三角形的知识，还要熟悉勾股定理． 画出图形，根据坡度的定义__-直角三角形中，坡角的正切值，然后利用解直角三角形的知识解答．5. 如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ．103米B ．10米C ．203米D ．2033米 答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解析：解答：∵在直角三角形ADB 中，∠D=30°, ∴ABBD=tan30°, ∴BD=tan 30ABo=3AB . ∴在直角三角形ABC 中，∠ACB=60°. ∴BC=tan 60AB o =33AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=3AB-33AB=20. 解得：AB=103． 故选A ．分析：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB 及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503 m 答案：A知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解析：解答：∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3,∴BCAC=33. ∵BC=50m, ∴AC=503m. ∴AB=22AC BC =100m.故选：A ．分析：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比． 根据题意可得BCAC=33，把BC=50m ，代入即可算出AC 的长，再利用勾股定理算出AB 的长即可．7. 如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米 B ．2003米 C ．2203米 D ．100（3+1）米 答案：D知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100, ∵CD ⊥AB 于点D,∴在Rt △ACD 中，∠CDA=90°，tanA=CDAD .∴AD=tan CD A =10033=1003. 在Rt △BCD 中，∠CDB=90°，∠B=45°, ∴DB=CD=100米.∴AB=AD+DB=1003+100=100（3+1）米． 故选D ．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD 为直角△ABC 斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD 与BD 的长． 图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可． 8. 为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ； ②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC ．能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 答案：C知识点：解直角三角形的应用解析：解答：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB 和BC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求AB 的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用EF FDAB BD=，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选C．分析：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据EF FDAB BD=即可解答．9. 如图，△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，则△ABC的面积是（）A. 212B. 12C.14D.21答案：A知识点：解直角三角形的应用解析：解答：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=22，sinC=35，AC=5，∴cosB=22=BDAB．∴∠B=45°．∵sinC=35=AD AC =5AD ，∴AD=3．∴CD=2253 =4． ∴BD=3．则△ABC 的面积是：12×AD ×BC=12×3×（3+4）=212． 故选A ．分析：此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD ⊥BC ，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．根据已知作出三角形的高线AD ，进而得出AD ，BD ，CD ，的长，即可得出三角形的面积． 10. （2011 荆州）在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（ ） A.5714 B. 35 C. 217 D. 2114答案：D知识点：解直角三角形的应用 解析：解答：延长BA 作CD ⊥BD ， ∵∠A=120°，AB=4，AC=2， ∴∠DAC=60°，∠ACD=30°． ∴2AD=AC=2， ∴AD=1，CD=3， ∴BD=5， ∴BC=27， ∴sinB=327=2114．故选：D ．分析：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC=60°，∠ACD=30°是解决问题的关键．根据∠A=120°，得出∠DAC=60°，∠ACD=30°，得出AD=1，CD=3，再根据BC=27，利用解直角三角形求出．11. 如图所示，渔船在A 处看到灯塔C 在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B 处，在B 处看到灯塔C 在正北方向上，这时渔船与灯塔C 的距离是（ ）A.123海里B.63海里C. 6海里D. 43海里 答案：D知识点：解直角三角形的应用-方向角问题 解析：解答：由已知得：∠BAC=90°-60°=30°， 在直角三角形ABC 中， BC=ABtan30°=12×33=43（海里）． 故选：D ．分析：此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC=30°，再解直角三角形ABC 即可．此题易得∠BAC=30°，再由直角三角形ABC 运用三角函数求得渔船与灯塔C 的距离BC ． 12. 如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB=α，那么AB 等于（ ）A. msin α米B.mtan α米C.mcos α米D. tan mα米 答案：B知识点：解直角三角形的应用解析：解答：在直角△ABC中，tanα=ABm，∴AB=mtanα．故选B．分析：此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算．在直角△ABC中，已知∠α及其邻边，求∠α的对边，根据三角函数定义即可求解．13. 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A. (533+32)m B. (53+32)m C.533m D.4m答案：A知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：∵AD=BE=5米，∠CAD=30°，∴CD=ADtan30°=5×33=533（米）．∴CE=CD+DE=CD+AB=533+32（米）．故选A．分析：此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力．应先根据相应的三角函数值算出CD长，再加上AB长即为树高．14. 一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A. (303-50,30)B. (30, 303-50)C. (303,30)D.(30, 303) 答案：A知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：过点A作AC⊥x轴于C．在直角△OAC中，∠AOC=30°，OA=4×15=60海里，则AC=12OA=30海里，OC=303海里．因而A所在位置的坐标是（303，30）．小岛B在A的正西50海里处，因而小岛B所在位置的坐标是（303-50，30）．故选A．分析：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．过点A作AC⊥x轴于C，根据已知可求得点A的坐标，从而根据已知求点B的坐标．15. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A. 1033km B.533km C. 52km D. 53km答案：A知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．∵EF∥PQ，∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°，∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4=∠2=30°．∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．∴AC=sin ABACB=532=1033（km）．故选A．分析：本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．二、选择题1. 数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是____答案：103米知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：如图，根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，∵∠A=90°，∴在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×3=103（米）．故答案为：103．分析：本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．由根据题意得：AC=10米，∠ACB=60°，然后再在Rt△ABC中，利用正切函数，即可求得旗杆的高度．2. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是____答案：210cm．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析：解答：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．故答案为：210．分析：此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案．3. 如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°=____答案：2-3．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，∴AD=3x，∴BD=AB-AD=2x-3x=（2-3）x，∴tan15°=BDCD=(23)xx=2-3．故答案为：2-3．分析：此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．此题可设AB=AC=x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．4. 如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是____米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）答案：12知识点：解直角三角形的应用解析：解答：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BCtan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．分析：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．5. 如图，为了测量电线杆AB的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D 处．若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为____（精确到0.1m）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．答案：8.1 m．知识点：解直角三角形的应用解析：解答：如图，在Rt△ACE中，∴AE=CEtan36°=BDtan36°=9×tan36°≈6.57米，∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）． 故答案为：8.1．分析：本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算AE 的值是解题的关键． 根据CE 和tan36°可以求得AE 的长度，根据AB=AE+EB 即可求得AB 的长度，即可解题． 三、解答题1. 为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB ，如图，在山外一点C 测得BC 距离为200m ，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB 的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）答案：隧道AB 的长为245m ． 知识点：解直角三角形 解析：解答：过点C 作CD ⊥AB 于D ， ∵BC=200m ，∠CBA=30°， ∴在Rt △BCD 中，CD=12BC=100m ，BD=BCcos30°=200×32=1003≈173（m ）， ∵∠CAB=54°， 在Rt △ACD 中，AD=tan 45o CD ≈1001.38≈72（m ），∴AB=AD+BD=173+72=245（m ）． 答：隧道AB 的长为245m ．分析：此题考查了解直角三角形的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解．首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．2. 如图所示，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P 室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．（3取1.73，结果保留整数．）答案：建筑物CD的高约为47 m．知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析：解答：过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形．∴PE=BC=30．在Rt△PDE中，∵∠DPE=30°，PE=30，∴DE=PE×tan30°=30×33=103．在Rt△PEC中，∵∠EPC=45°，PE=30，∴CE=PE×tan45°=30×1=30．∴CD=DE﹢CE=30﹢103=30﹢17.3≈47（m）答：建筑物CD的高约为47 m．分析：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点P作PE⊥CD于E，则四边形BCEP是矩形，得到PE=BC=30，在Rt△PDE中，利用∠DPE=30°，PE=30，求得DE的长；在Rt△PEC中，利用∠EPC=45°，PE=30求得CE的长，利用CD=DE﹢CE即可求得结果．3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1（1）如果∠BCD=30°，求AC；（2）如果tan∠BCD=13，求CD．答案：（1）AC=3；（2）CD=31010知识点：解直角三角形解析：解答：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵∠DCB=30°，∴∠B=60°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴tan60°=ACBC=3，又BC=1，则AC=3；（2）在Rt△BDC中，tan∠BCD=BDCD=13，设BD=k，则CD=3k，又BC=1，利用勾股定理得：k2+（3k）2=1，解得：k=1010或k=-1010（舍去），则CD=3k=310 10．分析：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，比例的性质，以及特殊角的三角函数值，是一道多知识点的综合题．（1）根据直角三角形的两锐角互余，由∠BCD的度数求出∠B的度数，利用锐角三角函数定义表示出tanB，将tanB及BC的长代入，即可求出AC的长；（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用锐角三角函数定义得出BD与CD 的比值为1：3，根据比值设出BD=k，CD=3k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的长．4. 如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据2≈1.41，3≈1.73）答案：A、C之间的距离为10.3海里．知识点：解直角三角形的应用-方向角问题解析：解答：作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°， 设CD=x ，在Rt △ACD 中，可得AD=x ， 在Rt △ABD 中，可得BD=3x ，又∵BC=20，即x+3x=20，解得：x=10(3-1) ∴AC=2x ≈10.3（海里）． 答：A 、C 之间的距离为10.3海里．分析：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD=x ，利用解直角三角形的知识，可得出AD ，继而可得出BD ，结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程，解出x 的值后即可得出答案．5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD=5米，斜坡AB 的坡度i=1：3（指坡面的铅直高度AE 与水平宽度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1.5，已知该拦水坝的高为6米．（1）求斜坡AB 的长；（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 答案：（1）斜坡AB 的长为610m ；（2）拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为（37+610 +313）m ．知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解析：解答：（1）∵AE BE =i=13,AE=6， ∴BE=3AE=18，在Rt △ABE 中，根据勾股定理得： AB=22AE BE=610，答：斜坡AB 的长为610m ；（2）过点D 作DF ⊥BC 于F ，可得四边形AEFD 是矩形，故EF=AD ，∵AD=5，∴EF=5，∵DF CF =i=23， DF=AE=6， ∴CF=32DF=9， ∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32，在Rt △DCF 中，根据勾股定理得：DC=22DF CF=313，∴梯形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+DA=610+32+313+5=37+610+313， 答：拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为（37+610+313）m ．分析：此题主要考查了坡度的定义以及勾股定理的应用，根据已知坡度定义得出BE ，FC 的长是解题关键．（1）根据坡度的定义得出BE 的长，进而利用勾股定理得出AB 的长；（2）利用矩形性质以及坡度定义分别求出CD ，CF ，EF 的长，进而求出梯形ABCD 的周长即可．。

九年级数学（下）《解直角三角形》练习题1、测得某坡面垂直高度为2m,水平宽度为4m,则坡度为 [ ]2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，b=310，则a= ，c= ；3、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34，则底角∠B= ；4．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1∶3，BE 为33米，基面AD 宽2米，求路基的高AE ，基底的宽BEC 及坡角B 的度数.（答案可带根号）5．水坝横断面为等腰梯形，尺寸如图，（单位：米）坡度I=DEAE =1，求坡面倾斜角（坡角），并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？ 6．如图，上午9时，一条船从A 处出发，以20节的速度向正北航行，11时到达B 处，从A ，B 望灯塔C ，测得∠NAC ＝36°，∠NBC ＝72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是多少海里？7．如图，王聪同学拿一把∠ACB ＝30°的小型直角三角尺ABC 目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A 顺着30°角的邻边AC 的方向确定河对岸岸边的一棵树M ．然后，沿30°角的对边AB 的方向前进到点B ′，顺着斜边C B ''的方向看见M ，并测得B A '＝100 m ，那么他目测的宽大约为多少？(结果精确到 1m)8．海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°．如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，有没有触礁的危险？思考·探索·交流1．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°的方向上有一点A，以A为圆心、500 m为半径的圆形区域为居民区．取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东 75°．已知MB＝400 m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？答案：1、D 2、10，20 3、30°4．解：∵3133 AE∴AE=3（米）BC=（2+63）（米）∠B=30°5. 45°,444000土方6．40 海里．7．河宽约 173 m ．8．渔船没有触礁的危险．思考·探索·交流答案：1．输水路线不会穿过居民区．提示：过点A 作MN 的垂线，垂足为C ，求AC。

九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。

28.2解直角三角形（3）一、选择题1. 一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了500m,那么这山的高度是[ ]m.A.230B.240C.250D.2602. 一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到达B点，再从B点出发向南偏东15°方向走了一段距离到C点，则∠ABC的度数为[ ]A.15°B.75°C.105°D.45°3. 为了求河对岸建筑物AB的高,在地平面上测得基线CD=180米,在C点测得A点的仰角为30°,在地平面上测得∠BCD=∠BDC=45°,那么AB的高是[ ]米.4. 如图,一船向正北航行,看见正东有两个相距10海里的灯塔,船航行半小时后,一个灯塔在船的东南,另一个灯塔在船的东22°30′南,则船的速度(精确到0.1米)是[ ]米/时(tg22°30′=0.4142)A.12.1B.13.1C.14.1D.15.15. 一只船向正东航行,上午7时在灯塔A的正北C处,上午9时到达塔的北偏东60°B处,已知船的速度为每小时20千米,那么AB的距离是[ ]千米.6. 如图：B处有一船,向东航行,上午9时在灯塔A的西南58.4千米的B上午11时到达灯塔的南C处,那么这船航行的速度是[ ]千米/时.A.19.65B.20.65C.21.65D.22.657. 如图：一只船以每小时20千米的速度向正东航行,起初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°,2小时后,船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°,则灯塔B到船的航海线AC 的距离是[ ]千米.二、填空题一只船向东航行,上午9点到一座灯塔的西南68海里处,上午11点到达这座灯塔的正南,这只船航行的速度是_____________.(答案可带根号)三、解答题1. 如图：已知一船以每小时20海里的速度向正南行驶,上午10时在A 处见灯塔P 在正东,1小时后行至B 处,观察灯塔P 的方向是北60°东.求正午12时船行驶至C 处距灯塔P 的距离.(答案可带根号)2．如图：东西方向的海岸线上有A 、B 两码头，相距100 )13(-千米，由码头A 测得海上船K 在北偏东30°，由码头B 测得船K 在北偏西15°，求船K 距海岸线AB 的距离（已知tan75°=32+-）参考答案一、选择题1. C2. B3. C4. C5. D6. B7. C二、填空题时海里/217三、解答题 1．米7202．350千米。