高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标17定积分与微积分基本定理理04150144
- 格式:doc
- 大小:112.51 KB
- 文档页数:5
定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·长沙模拟)定积分错误!未找到引用源。
(3x+e x)dx的值为( )A.e+1B.eC.e-错误!未找到引用源。
D.e+错误!未找到引用源。
【解析】选D.错误!未找到引用源。
(3x+e x)dx =错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
+e-1=错误!未找到引用源。
+e.2.(2016·石家庄模拟)直线y=x+4与曲线y=x2-x+1所围成的封闭图形的面积为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选C.因为x+4=x2-x+1的解为x=-1或x=3,所以封闭图形的面积为S=错误!未找到引用源。
[x+4-(x2-x+1)]dx=错误!未找到引用源。
(-x2+2x+3)dx=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
.【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.3.(2016·太原模拟)定积分错误!未找到引用源。
|x2-2x|dx= ( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.|x2-2x|=错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
|x2-2x|dx=错误!未找到引用源。
(x2-2x)dx+错误!未找到引用源。
(-x2+2x)dx=错误!未找到引用源。
+错误!未找到引用源。
=8.【加固训练】若f(x)=错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
f(x)dx= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选 C.错误!未找到引用源。
f(x)dx=错误!未找到引用源。
(x3+sinx)dx+错误!未找到引用源。
2dx=0+2x错误!未找到引用源。
=2.4.已知f(x)为偶函数且错误!未找到引用源。
第17讲 定积分与微积分基本定理1.定积分的定义及相关概念一般地,如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b ,将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2,…,n ),作和式∑i =1nf (ξi )Δx =∑i =1nb -anf (ξi ),当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛ab f (x )d x 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间__[a ,b ]__叫做积分区间,函数f (x )叫做被积函数,x 叫做__积分变量__,__f (x )d x __叫做被积式.2.定积分的几何意义3.微积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x =__k ⎠⎛ab f (x )d x __(k 为常数);(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x =__⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x __;(3)__⎠⎛a b f (x )d x __=⎠⎛a c f (x )d x +⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么⎠⎛ab f (x )d x =__F (b )-F (a )__,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S =⎠⎛ab f (x )d x ;(2)S =__-⎠⎛ab f (x )d x __;(3)S =__⎠⎛a c f (x )d x -⎠⎛cb f (x )d x __;(4)S =⎠⎛a b f (x )d x -⎠⎛a b g (x )d x =⎠⎛ab [f (x )-g (x )]d x .6.定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s =__⎠⎛a b v (t )d t __;(2)W =__⎠⎛ab F (s )d s __.7.奇偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[-a ,a ]上连续,则有 (1)若f (x )是偶函数,则⎠⎛-a a f (x )d x =2⎠⎛a 0f (x )d x ;(2)若f (x )是奇函数,则⎠⎛-aa f (x )d x =0.1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)设函数y =f (x )在区间[a ,b ]上连续,则⎠⎛a b f (x )d x =⎠⎛ab f (t )d t .( √ )(2)定积分一定是曲边梯形的面积.( × )(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0,那么由y =f (x ),x =a ,x =b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.( × )解析 (1)正确.定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关,与积分变量用什么字母表示无关.(2)错误.不一定是,要结合具体图形来定.(3)错误.也有可能是在x 轴上方部分的面积小于在x 轴下方部分的面积. 2.若s 1=⎠⎛12x 2d x ,s 2=⎠⎛121xd x ,s 3=⎠⎛12e xd x ,则s 1,s 2,s 3的大小关系为( B )A .s 1<s 2<s 3B .s 2<s 1<s 3C .s 2<s 3<s 1D .s 3<s 2<s 1解析 因为s 1=13x 3|21=13(23-13)=73<3,s 2=ln x |21=ln 2-ln 1=ln 2<1,s 3=e x |21=e 2-e>3,所以s 2<s 1<s 3.3.直线y =4x 与曲线y =x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D ) A .2 2 B .4 2 C .2D .4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =4x ,y =x 3,得交点为(0,0),(2,8),(-2,-8),所以S =⎠⎛02(4x -x 3)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-14x 42=4,故选D .4.已知t >1,若⎠⎛1t (2x +1)d x =t 2,则t =__2__.,解析 ⎠⎛1t (2x +1)d x =(x 2+x )|t 1=t 2+t -2从而得方程t 2+t -2=t 2,解得t =2.5.汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以减速度a =2 m/s 2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是__25__m.,解析 t =0时,v 0=36 km/h =10 m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v (t )=v 0-at =10-2t ,由v (t )=0得t =5 s ,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t =⎠⎛05(10-2t )d t =(10t -t 2)|50=25(m).,,一 定积分的计算,计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差. (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分. (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值. (5)计算原始定积分的值. 【例1】 计算下列定积分.(1)⎠⎛01(-x 2+2x )d x ;(2)⎠⎛0π(sin x -cos x )d x ;(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x +1x d x ;(4)∫π201-sin 2x d x .解析 (1)⎠⎛01(-x 2+2x )d x =⎠⎛01(-x 2)d x +⎠⎛012x d x=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13x 3|10+(x 2)|10=-13+1=23.(2)⎠⎛0π(sin x -cos x )d x =⎠⎛0πsin x d x -⎠⎛0πcos x d x ,=(-cos x )|π0-sin x |π0=2.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x +1x d x =⎠⎛12e 2xd x +⎠⎛121xd x =12e2x 21+ln x |21,=12e 4-12e 2+ln 2-ln 1=12e 4-12e2+ln 2.(4) ⎠⎜⎛0π21-sin 2x d x =⎠⎜⎛0π2|sin x -cos x |d x ,=⎠⎜⎛0π4 (cos x -sin x )d x +⎠⎜⎜⎛π4π2 (sinx -cos x )d x ,=(sin x +cos x )⎪⎪⎪⎪π4+(-cos x -sin x )⎪⎪⎪π2π4,=2-1+(-1+2)=22-2.二 定积分几何意义的应用,(1)利用定积分求平面图形面积的步骤: ①根据题意画出图形;②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定定积分的上、下限; ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; ④计算定积分,写出答案.(2)根据平面图形的面积求参数的方法:先利用定积分求出平面图形的面积,再根据条件构造方程(不等式)求解.【例2】 (1)由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A .103B .4C .163D .6(2)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为__1.2__.解析 (1)作出曲线y =x 和直线y =x -2的草图(如图所示),所求面积为阴影部分的面积.,由⎩⎨⎧y =x ,y =x -2得交点A (4,2).因此y =x 与y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x -(x -2)]d x =⎠⎛04(x -x +2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32-12x 2+2x 4=23×8-12×16+2×4=163.,(2)建立如图所示的平面直角坐标系由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y =225x 2-2,抛物线与x 轴围成的面积S 1=⎠⎛-55⎝ ⎛⎭⎪⎫2-225x 2d x =403,梯形面积S 2=(6+10)×22=16,最大流量比为S 2∶S 1=6∶5.三 定积分在物理中的应用定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v =v (t ),那么从时刻t=a 到t =b 所经过的路程s =⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功:一物体在变力F (x )的作用下,沿着与F (x )相同的方向从x =a 移动到x =b 时,力F (x )所做的功是W =⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t +251+t(t 的单位:s ,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是( C )A .1+25ln 5B .8+25ln 113C .4+25ln 5D .4+50ln 2(2)一物体在力F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N)的作用下沿与力F 相同的方向,从x=0处运动到x =4(单位:m)处,则力F (x )做的功为__36__J.解析 (1)由v (t )=7-3t +251+t =0,可得t =4⎝ ⎛⎭⎪⎫t =-83舍去,因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ,此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t =⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7-3t +251+t d t =⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t -32t 2+25ln (1+t )|40,=4+25ln 5 (m).,(2)由题意知,力F (x )所做的功为,W =⎠⎛04F (x )d x =⎠⎛025 d x +⎠⎛24(3x +4)d x =5×2+⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2+4x 42,=10+⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42+4×4-⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22+4×2=36 J.1.定积分⎠⎛01x (2-x ) d x 的值为( A )A .π4B .π2C .πD .2π解析 令y =x (2-x ),则(x -1)2+y 2=1(y ≥0),由定积分的几何意义知,⎠⎛01x (2-x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x -1)2+y 2=1(y ≥0),0≤x ≤1的面积,即为π4. 2.计算:⎠⎛-33 (x 3cos x )d x =__0__.解析 ∵y =x 3cos x 为奇函数,∴⎠⎛-33 (x 3cos x )d x =0.3.如图,由两条曲线y =-x 2,y =-14x 2及直线y =-1所围成的平面图形的面积为!!!43###. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y =-x 2,y =-1,得交点A (-1,-1),B (1,-1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =-14x 2,y =-1,得交点C (-2,-1),D (2,-1).所以所求面积S =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫-14x 2+x 2d x +⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫-14x 2+1d x =43. 4.如图,圆O :x 2+y 2=π2内的正弦曲线y =sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分),随机向圆O 内投一个点A ,则点A 落在区域M 内的概率为!!!4π3 ###.解析 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x =2(-cos x )|π0=4,圆的面积为π3,所以点A落在区域M 内的概率是4π3.易错点 定积分的几何意义不明确错因分析:⎠⎛ab f (x )d x 不一定表示面积,也可能是面积的相反数,它可正,可负,也可为零.【例1】 求曲线f (x )=sin x ,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,54π与x 轴围成的图形的面积.解析 当x ∈[0,π]时,f (x )≥0,当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π,54π时,f (x )<0. 则所求面积S =⎠⎛0πsin x d x +⎝ ⎛⎭⎪⎫-∫54ππsin x d x =-cos x ||π0+cos x 54ππ=2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-22+1=3-22. 【跟踪训练1】 (2018·山东淄博一模)如图所示,曲线y =x 2-1,x =2,x =0,y =0围成的阴影部分的面积为( A )A .⎠⎛02|x 2-1|d xB .⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2-1)d xC .⎠⎛02(x 2-1)d xD .⎠⎛01(x 2-1)d x +⎠⎛12(1-x 2)d x解析 由曲线y =|x 2-1|的对称性知,所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等,即⎠⎛02|x 2-1|d x .课时达标 第17讲[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积,常与导数、概率相结合命题,通常以选择题的形式呈现,题目难度中等.一、选择题1.⎠⎛01e xd x 的值等于( C )A .eB .1-eC .e -1D .12(e -1) 解析 ⎠⎛01e xd x =e x |10=e 1-e 0=e -1,故选C .2.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫2x +1x d x =( C )A .e 2-2 B .e -1C .e 2D .e +1解析 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫2x +1x d x =(x 2+ln x )|e 1=e 2.故选C .3.求曲线y =x 2与直线y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( A ) A .S =⎠⎛01(x -x 2)d xB .S =⎠⎛01(x 2-x )d xC .S =⎠⎛01(y 2-y )d yD .S =⎠⎛01(y -y )d y解析 由图象可得S =⎠⎛01(x -x 2)d x .第3题图 第4题图4.曲线y =2x与直线y =x -1及直线x =4所围成的封闭图形的面积为( D )A .2ln 2B .2-ln 2C .4-ln 2D .4-2ln 2解析 由曲线y =2x与直线y =x -1及x =4所围成的封闭图形,如图中阴影部分所示,故所求图形的面积为S =⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1-2x d x =(12x 2-x -2ln x )|42=4-2ln 2.5.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x ∈[0,1],1x,x ∈(1,e](其中e 为自然对数的底数),则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( A )A .43 B .1π C .12D .π-2π解析 ⎠⎛0e f (x )d x =⎠⎛01x 2d x +⎠⎛1e 1x d x =13x 3|10+ln x |e1=13+1=43,故选A .6.如图,设D 是图中所示的矩形区域,E 是D 内函数y =cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分),向D 中随机投一点,则该点落入E 中的概率为( D )A .2π B .1π C .12D .π-2π解析 因为⎠⎜⎛0π2cos x d x =sin x ⎪⎪⎪⎪π2=1故所求概率为π-1×2π=π-2π.二、填空题7.⎠⎜⎛0π2 (cos x -sin x )d x =__0__. 解析 ⎠⎜⎛0π2 (cos x -sin x )d x =(sin x +cos x ) ⎪⎪⎪⎪π2=0.8.若函数f (x )=x +1x ,则⎠⎛1e f (x )d x =!!! e 2+12 ###.解析 ⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22+ln x |e 1=e 2+12.9.由曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)解析 由图可得阴影部分面积S =2⎠⎜⎛0π4(cos x -sin x )d x =2(sin x +cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4=2(2-1).三、解答题10.求下列定积分.,(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x -x 2+1x d x ;(2)⎠⎛0-π(cos x +e x)d x .解析 (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -x 2+1x d x =⎠⎛12x d x -⎠⎛12x 2d x +⎠⎛121xd x =x 2221-x 3321+ln x |21=32-73+ln2=ln 2-56.(2) ⎠⎛-π0(cos x +e x )d x =⎠⎛-π0cos x d x +⎠⎛-πe x d x =sin x |0-π+e x |0-π=1-1eπ. 11.已知函数f (x )=x 3-x 2+x +1,求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )=x 2围成的图形的面积.解析 ∵(1,2)为曲线f (x )=x 3-x 2+x +1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k 则k =f ′(1)=(3x 2-2x +1)|x =1=2∴在点(1,2)处的切线方程为y -2=2(x -1),即y =2x ,y =2x 与函数g (x )=x 2围成的图形如图.,由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,y =2x可得交点A (2,4).∴y =2x 与函数g (x )=x 2围成的图形的面积S =⎠⎛02(2x -x 2)d x =⎝⎛⎭⎪⎫x 2-13x 3|20=4-83=43.,12.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c ,直线l 1:x =2,直线l 2:y =-t 2+8t (其中0≤t ≤2,t 为常数),若直线l 1,l 2与函数f (x )的图象以及l 2,y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示.,(1)求a ,b ,c的值;,(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式.,解析 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f (x )的最大值为16,则⎩⎪⎨⎪⎧c =0,a ·82+b ·8+c =0,4ac -b 24a =16,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =8,c =0.(2)由(1)知,函数f (x )的解析式为f (x )=-x 2+8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y =-t 2+8t ,y =-x 2+8x ,得x 2-8x -t (t -8)=0,∴x 1=t ,x 2=8-t .∵0≤t ≤2,∴直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ,-t 2+8t ),由定积分的几何意义知:S (t )=⎠⎛0t [(-t 2+8t )-(-x 2+8x )]d x +⎠⎛t2[(-x 2+8x )-(-t 2+8t )]d x =⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-t 2+8t )x -⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 33+4x 2|t 0+⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 33+4x 2-(-t 2+8t )x |2t=-43t 3+10t 2-16t +403.。
课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练第33页一、选择题1.设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于( )A. B. C. D.答案:A解析:由于f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=.2.设a=d x,b=1-d x,c=x3d x,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案:A解析:由题意可得a=d x=;b=1-d x=1-=1-;c=x3d x=,综上知a>b>c,故选A.3.设f(x)=f(x)d x的值是( )A.x2d xB.2x d xC.x2d x+2x d xD.2x d x+x2d x答案:D解析:由分段函数的定义及积分运算的性质知,f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=2x d x+x2d x.4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A. B. C. D.答案:A解析:s=(t2-t+2)d t=.5.如图,由函数f(x)=e x-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.D.e2-2e+1答案:B解析:面积S=f(x)d x=(e x-e)d x=(e x-e x)=(e2-2e)-(e1-e)=e2-2e.6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分所示),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B. C. D.答案:D解析:由题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)d x=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,故选D.二、填空题7.d x=.答案:π解析:设y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x=×4π=π.8.(2013湖南高考)若x2d x=9,则常数T的值为.答案:3解析:∵'=x2,∴x2d x=x3T3-0=9,∴T=3.9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n=d x(n∈N*),则S100=.答案:ln101解析:由题意知a n=ln x=ln(n+1)-ln n,故S100=a1+a2+…+a100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln101-ln100)=-ln1+ln101=ln101.三、解答题10.求由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积.解:在平面直角坐标系内,画出曲线y=x2+2x和直线y=x围成的封闭图形,如图所示,由得曲线与直线的两个交点的坐标分别为(-1,-1)和(0,0),故封闭图形的面积为S=[x-(x2+2x)]d x==-.11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b.因为f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2,所以即解得所以f(x)=6x2-4.(2)f(x)=6x2-4,x∈[-1,1],当x=0时,f(x)取得最小值-4;当x=1或x=-1,f(x)取得最大值2.12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影部分所示.(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分面积S关于t的函数S(t)的解析式.解:(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1),得f(x)=-x2+8x,由得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t.∵0≤t≤2,∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t).由定积分的几何意义知:S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]d x+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]d x =-(-t2+8t)x=-t3+10t2-16t+.所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2).希望对大家有所帮助,多谢您的浏览!。
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b ,将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i -1,x i ]上任取一点ξi (i =1,2,…,n ),作和式∑ni =1f (ξi )Δx =∑ni =1b -anf (ξi ),当n →∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作ʃb a f (x )d x ,即ʃba f (x )d x =lim n →∞∑ni =1b -anf (ξi ). 在ʃb a f (x )d x 中,a ,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数f (x )叫做被积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 2.定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x =k ʃb a f (x )d x (k 为常数);(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x =ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ;(3)ʃb a f (x )d x =ʃc a f (x )d x +ʃb c f (x )d x (其中a <c <b ).3.微积分基本定理一般地,如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,且F ′(x )=f (x ),那么ʃb a f (x )d x =F (b )-F (a ),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式.为了方便,常把F (b )-F (a )记作F (x )|b a ,即ʃb a f (x )d x =F (x )|b a =F (b )-F (a ).【知识拓展】1.定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的值为负;当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零. 2.若函数f (x )在闭区间[-a ,a ]上连续,则有(1)若f (x )为偶函数,则ʃa -a f (x )d x =2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数,则ʃa -a f (x )d x =0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数,则()A.2 B.1 C.D.【解答】解:由于函数为奇函数,则,得a=1,因此,.故选:D.【再练一题】计算(cos x+e x)dx为()A.e B.e 2 C.e D.e【解答】解:(cos x+e x)dx=(sin x+e x)()﹣(sin0+e0)=11.故选:A.思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:(1)对被积函数要先化简,再求积分.(2)若被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再求积分.【题型二】定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】(π)dx=.【解答】解:依题意,(π)dx()dx(﹣π)dx()dx﹣πx|()dx﹣4π.而()dx的几何意义为圆x2+y2=4(y≥0)在x轴上方的面积,所以()dx﹣4π4π=﹣2π.故填:﹣2π.【再练一题】,则T的值为()A.B.C.﹣1 D.1【解答】解:根据题意,M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积,则M dx,则T sin2xdx cos2x;故选:A.命题点2求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y=sin x所围成封闭图形的面积为()A.B.C.D.【解答】解:作出对应的图象,则封闭区域的面积S=﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx=﹣(﹣cos x)|(﹣cos x)|(﹣cos x)|=cos0﹣cos()﹣cosπ+cos0+cos cosπ=11+11=4,故选:B.【再练一题】如图是函数y=x与函数在第一象限的图象,则阴影部分的面积是()A.B.C.D.【解答】解:由,得两函数的交点为(0,0),(1,1).所以阴影部分的面积S()|.故选:A.思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分.(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象;②借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限;③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和;④计算定积分,写出答案.【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V=3t+1(单位:m/s)作变速直线运动时,在第1s至第2s间的1s内经过的位移是()A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m【解答】解:根据题意,汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S(3t+1)dt=(t) 5.5;故选:C.【再练一题】一物体在变力F(x)=5﹣x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)作的功为()A.1J B.J C.J D.2J【解答】解:由于F(x)与位移方向成30°角.如图:F在位移方向上的分力F′=F•cos30°,W=∫12(5﹣x2)•cos30°dx∫12(5﹣x2)dx(5x x3)|12故选:C .思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为v =v (t ),那么从时刻t =a 到t =b 所经过的路程s =ʃb a v (t )d t .(2)变力做功:一物体在变力F (x )的作用下,沿着与F (x )相同方向从x =a 移动到x =b 时,力F (x )所做的功是W =ʃb a F (x )d x .基础知识训练1.【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考(期中)】已知函数,则( )A .16B .8C .2cos2D .2cos2-【答案】A 【解析】,故选:A2.【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为,2y x =,314y x =,则阴影部分的面积为( )A .1ln2+B .ln 2C .1D .2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =;由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选:B3.【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰,函数()f x 的导数,若()f x 在xa 处取得极大值,则a 的取值范围是( )A .1a <B .10a -<<C .1a >或0a <D .01a <<或0a <【答案】C 【解析】,即1m =则当0a =或1a =时,()f x 不存在极值,不合题意 当0a <时或时,()0f x '<,此时()f x 单调递减时,()0f x '>,此时()f x 单调递增则()f x 在x a 处取得极大值,满足题意当01a <<时或时,()0f x '>,此时()f x 单调递增时,()0f x '<,此时()f x 单调递减则()f x 在x a 处取得极小值,不满足题意当1a >时或()1,x ∈-+∞时,()0f x '>,此时()f x 单调递增 时,()0f x '<,此时()f x 单调递减则()f x 在xa 处取得极大值,满足题意综上所述:1a >或0a <4.【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是( ) A .B .C .D .11edx x【答案】 A 【解析】 A :,函数y=2sin x x 为奇函数,故,,B:,C:表示以原点为圆心,以2为半径的圆的面积的14,故,D:,通过比较可知选项A 的积分值最大, 故选:A5.【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =,1y x=,2x =围成的封闭图形的面积为( )A .172ln 22- B .152ln 22- C .15+2ln 22D .17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意,联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得12x =, 所以曲线4y x =,1y x=,2x =围成的封闭图形的面积为 ,故选B .6.【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A .14B .15C .16D .71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率,故答案为:A.7.【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设1d a x x =⎰,,12d c x x =⎰,则,,a b c 的大小关系A .a b c >>B .a c b >>C .b a c >>D .b c a >>【答案】C 【解析】 ∵,由定积分的几何意义可知,表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积,等于4π, ,∴b a c >>,故选C.8.【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知,则22()d f x x -⎰的值为( )A .等于0B .大于0C .小于0D .不确定【答案】A 【解析】由题意,.故选A9.【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为( ) A .2 B .4C .5D .6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x=⎧⎨=⎩,解得:1100x y =⎧⎨=⎩,2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项:B10.【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】( )A .πB .2πC .2D .1【答案】A 【解析】 因为定积分表示直线与曲线24y x =-围成的图像面积,又24y x =-表示圆224x y +=的一半,其中0y ≥;因此定积分表示圆224x y +=的14,其中,故.故选A11.【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域,区域,在Ω内随机投掷一点M,则点M落在区域A内的概率是()A.1112e⎛⎫-⎪⎝⎭B.1114e⎛⎫-⎪⎝⎭C.1118e⎛⎫-⎪⎝⎭D.11e-【答案】B【解析】由题意,对应区域为正方形区域,其面积为224S==;对应区域如下图阴影部分所示:其面积为,所以点M落在区域A内的概率是.故选B12.【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 ( )A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得,当时,由可得;所以,又,所以在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为.故选B13.【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数,则______.【答案】【解析】由题意,函数是偶函数,则,即,所以,又由定积分的几何意义可知,积分,表示所表示的半径为2的半圆的面积,即,所以,故答案为:.14.【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考(第三次月考)】二项式的展开式中,第三项系数为2,则11adx x=⎰_______ 【答案】ln 2 【解析】展开式的通项为,第三项系数为,因为0a >,所以2a =,,故答案为ln 2.15.【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________.【答案】8π 【解析】 由题表示的几何意义为:以(0,0)为圆心,4为半径的圆在第一第二象限的面积,所以=,440xdx -=⎰所以故答案为8π16.【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知,直线OB 方程为:y x = 则阴影部分面积为:∴所求概率本题正确结果:1417.【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18.【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________.【答案】2π+ 【解析】 因为表示圆224x y +=面积的14,所以;又,所以.故答案为2π+19.【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40,则21ax dx -⎰的值为__________.【答案】3 【解析】二项式(ax ﹣1)5 的通项公式为: T r +15rC =•(ax )5﹣r •(﹣1)r , 故第四项为35C -•(ax )2=﹣10a 2x 2, 令﹣10a 2=﹣40, 解得a =±2, 又a >0, 所以a =2. 则故答案为:3.20.【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y =x 与y =2-x 2,得2-x 2=x ,解得x =-2或x =1, 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积(2x-231123x x -)1-2| ==78+4+2-63= 92; 故答案为:92.能力提升训练1.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图,在正方形OABC 内任取一点M ,则点M 恰好取自阴影部分内的概率为( )A .14 B .13 C .25D .37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为(1,1),由定积分的定义可得:S 阴1=⎰(1x -)dx =(x 3223x -)101|3=,设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A , 由几何概型中的面积型可得:P (A ),故选:B .2.【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图,在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆,则它落在空白部分的概率为( )A .e3B .43e- C .33e- D .13e - 【答案】B 【解析】由题意,阴影部分的面积为,又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形,所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆,则它落在空白部分的概率为.故选B3.【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图,在半径为π的圆内,有一条以圆心为中心,以2π为周期的曲线,若在圆内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .1πB .21πC .22πD .无法确定【答案】B【解析】由题意知:圆的面积为:周期为2π可得:22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为:(),0πϕπ⇒=∴曲线为:∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项:B4.【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图,在矩形中的曲线是的一部分,点,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B。
2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标17
定积分与微积分基本定理 理
[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积,常与导数、概率相结合命题,通常以选择题的形式呈现,题目难度中等.
一、选择题
1.⎠⎛0
1e x
d x 的值等于( C )
A .e
B .1-e
C .e -1
D .1
2
(e -1) 解析:⎠⎛0
1e x
d x =
e x
| 1
0=e 1
-e 0
=e -1,故选C .
2.⎠⎛1e ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x +1x d x =( C )
A .e 2-2
B .e -1
C .e 2
D .e +1
解析:⎠⎛1e ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x +1x d x =(x 2+ln x )| e 1=e 2
.故选C .
3.求曲线y =x 2
与直线y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( A ) A .S =⎠⎛01(x -x 2
)d x
B .S =⎠⎛01(x 2
-x )d x
C .S =⎠⎛0
1(y 2
-y )d y
D .S =⎠⎛0
1(y -y )d y
解析:由图象可得S =⎠⎛0
1(x -x 2
)d x .
第3题图 第4题图
4.曲线y =2
x
与直线y =x -1及直线x =4所围成的封闭图形的面积为( D )
A .2ln 2
B .2-ln 2
C .4-ln 2
D .4-2ln 2
解析:由曲线y =2
x
与直线y =x -1及x =4所围成的封闭图形,如图中阴影部分所示,
故所求图形的面积为
S =⎠⎛2
4⎝
⎛
⎭⎪⎫
x -1-2x d x =(1
2x 2-x -2ln x )| 4
2=4-2ln 2.
5.设f (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
,x ∈[0,1],1
x
,x ∈,e](其中e 为自然对数的底数),则⎠⎛0
e f (x )d x 的值为
( A )
A .4
3 B .1π C .12
D .π-2π
解析:根据定积分的运算法则,可知⎠⎛0e f (x )d x 可以分为两段,即⎠⎛0e f (x )d x =⎠⎛01x 2
d x +⎠⎛1
e
1
x d x =13
x 3| 10+ln x | e
1 =13+1=4
3
,故选A . 6.如图,设D 是图中所示的矩形区域,E 是D 内函数y =cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分),向D 中随机投一点,则该点落入E 中的概率为( D
)
A .2π
B .1π
C .12
D .π-2π
解析:因为
cos x d x =sin x ⎪⎪⎪
⎪
π
2
=1,
故所求概率为π-1×2π=π-2
π.
二、填空题 7.
(cos x -sin x )d x =0.
解析:
(cos x -sin x )d x =sin x +cos x ⎪⎪⎪
⎪
π
2
=0.
8.若函数f (x )=x +1x ,则⎠
⎛1
e f (x )d x =e 2
+1
2.
解析:⎠⎛1e
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x +1x d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22+ln x | e 1=
e 2
+12.
9.由曲线y =sin x ,y =cos x 与直线x =0,x =π
2所围成的平面图形(图中的阴影部
分)的面积是
解析:由图可得阴影部分面积S =2
(cos x -sin x )d x =2(sin x +cos x )⎪⎪⎪
⎪
π
4
=
2(2-1).
三、解答题 10.求下列定积分.
(1)⎠⎛12⎝
⎛⎭
⎪⎫x -x 2+1x d x ;(2)⎠⎛-π
0(cos x +e x
)d x .
解析:(1)⎠⎛12
⎝ ⎛⎭⎪⎫x -x 2+1x d x =⎠⎛12x d x -⎠⎛12x 2
d x +⎠⎛121x
d x =x 22| 21-x 3
3| 21+ln x | 21=32-73+
ln 2=ln 2-5
6
.
(2)⎠⎛-π0(cos x +e x
)d x =⎠⎛-π0cos x d x +⎠⎛-π
0e x
d x
=sin x | 0-π+e x | 0
-π=1-1e
π.
11.已知函数f (x )=x 3
-x 2
+x +1,求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )=x 2
围成的图形的面积.
解析:∵(1,2)为曲线f (x )=x 3
-x 2
+x +1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k ,则
k =f ′(1)=(3x 2-2x +1)|x =1=2,
∴在点(1,2)处的切线方程为y -2=2(x -1),即y =2x ,y =2x 与函数g (x )=x 2
围成的图形如图.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y =x 2
,y =2x 可得交点A (2,4).
∴y =2x 与函数g (x )=x 2
围成的图形的面积
S =⎠⎛0
2(2x -x 2)d x
=⎝
⎛⎭⎪⎫x 2-13x 3| 2
0=4-83=43.
12.已知二次函数f (x )=ax 2
+bx +c ,直线l 1:x =2,直线l 2:y =-t 2
+8t (其中0≤t ≤2,
t 为常数),若直线l 1,l 2与函数f (x )的图象以及l 2,y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭
图形(阴影部分)如图所示.
(1)求a ,b ,c 的值;
(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式.
解析:(1)由图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f (x )的最大值为16,则
⎩⎪⎨⎪⎧
c =0,
a ·82
+b ·8+c =0,4ac -b 2
4a =16,
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a =-1,
b =8,
c =0,
(2)由(1)知,函数f (x )的解析式为
f (x )=-x 2+8x .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y =-t 2
+8t ,
y =-x 2
+8x ,得x 2
-8x -t (t -8)=0,
∴x 1=t ,x 2=8-t .
∵0≤t ≤2,∴直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ,-t 2
+8t ),由定积分的几何意义知:
S (t )=⎠⎛0t [(-t 2+8t )-(-x 2+8x )]d x +⎠⎛t
2[(-x 2+8x )-(-t 2+8t )]d x =
⎣⎢⎡⎦⎥⎤-t 2+8t x -⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 33+4x 2| t 0+⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 3
3+4x 2--t 2+8t x | 2t =-43t 3+10t 2
-16t
+403.。