高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标17定积分与微积分基本定理理04150144

定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·长沙模拟)定积分错误!未找到引用源。

(3x+e x)dx的值为( )A.e+1B.eC.e-错误!未找到引用源。

D.e+错误!未找到引用源。

【解析】选D.错误!未找到引用源。

(3x+e x)dx =错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

+e-1=错误!未找到引用源。

+e.2.(2016·石家庄模拟)直线y=x+4与曲线y=x2-x+1所围成的封闭图形的面积为( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

【解析】选C.因为x+4=x2-x+1的解为x=-1或x=3,所以封闭图形的面积为S=错误!未找到引用源。

[x+4-(x2-x+1)]dx=错误!未找到引用源。

(-x2+2x+3)dx=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和.3.(2016·太原模拟)定积分错误!未找到引用源。

|x2-2x|dx= ( )A.5B.6C.7D.8【解析】选D.|x2-2x|=错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

|x2-2x|dx=错误!未找到引用源。

(x2-2x)dx+错误!未找到引用源。

(-x2+2x)dx=错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

=8.【加固训练】若f(x)=错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。

f(x)dx= ( )A.0B.1C.2D.3【解析】选 C.错误!未找到引用源。

f(x)dx=错误!未找到引用源。

(x3+sinx)dx+错误!未找到引用源。

2dx=0+2x错误!未找到引用源。

=2.4.已知f(x)为偶函数且错误!未找到引用源。

第17讲 定积分与微积分基本定理1．定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间__[a ，b ]__叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做__积分变量__，__f (x )d x __叫做被积式．2．定积分的几何意义3．微积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝__k ⎠⎛ab f (x )d x __(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝__⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x __；(3)__⎠⎛a b f (x )d x __＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝__F (b )－F (a )__，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．5．定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝__－⎠⎛ab f (x )d x __；(3)S ＝__⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x __；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s ＝__⎠⎛a b v (t )d t __；(2)W ＝__⎠⎛ab F (s )d s __.7．奇偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛a 0f (x )d x ；(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( √ )(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( × )(3)若⎠⎛ab f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( × )解析 (1)正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字母表示无关．(2)错误．不一定是，要结合具体图形来定．(3)错误．也有可能是在x 轴上方部分的面积小于在x 轴下方部分的面积． 2．若s 1＝⎠⎛12x 2d x ，s 2＝⎠⎛121xd x ，s 3＝⎠⎛12e xd x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( B )A ．s 1<s 2<s 3B ．s 2<s 1<s 3C ．s 2<s 3<s 1D ．s 3<s 2<s 1解析 因为s 1＝13x 3|21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x |21＝e 2－e>3，所以s 2<s 1<s 3.3．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)，所以S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 42＝4，故选D ．4.已知t >1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__2__.,解析 ⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )|t 1＝t 2＋t －2从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.5．汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a ＝2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__25__m.,解析 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)|50＝25(m)．,,一 定积分的计算,计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值． 【例1】 计算下列定积分．(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(4)∫π201－sin 2x d x .解析 (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3|10＋(x 2)|10＝－13＋1＝23.(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ,＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x ＝12e2x 21＋ln x |21,＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e2＋ln 2.(4) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x ,＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sinx －cos x )d x ,＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4,＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.二 定积分几何意义的应用,(1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．【例2】 (1)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A ．103B ．4C ．163D ．6(2)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为__1．2__.解析 (1)作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．,由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 4＝23×8－12×16＋2×4＝163.,(2)建立如图所示的平面直角坐标系由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x 轴围成的面积S 1＝⎠⎛－55⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，梯形面积S 2＝(6＋10)×22＝16，最大流量比为S 2∶S 1＝6∶5.三 定积分在物理中的应用定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( C )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为__36__J.解析 (1)由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40,＝4＋25ln 5 (m)．,(2)由题意知，力F (x )所做的功为,W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42,＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36 J.1．定积分⎠⎛01x (2－x ) d x 的值为( A )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解析 令y ＝x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x (2－x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，0≤x ≤1的面积，即为π4. 2．计算：⎠⎛－33 (x 3cos x )d x ＝__0__.解析 ∵y ＝x 3cos x 为奇函数，∴⎠⎛－33 (x 3cos x )d x ＝0.3．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为！！！43###. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1，得交点C (－2，－1)，D (2，－1)．所以所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2＋1d x ＝43. 4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为！！！4π3 ###.解析 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M 内的概率是4π3.易错点 定积分的几何意义不明确错因分析：⎠⎛ab f (x )d x 不一定表示面积，也可能是面积的相反数，它可正，可负，也可为零．【例1】 求曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积．解析 当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π，54π时，f (x )<0. 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－∫54ππsin x d x ＝－cos x ||π0＋cos x 54ππ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋1＝3－22. 【跟踪训练1】 (2018·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( A )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d xC ．⎠⎛02(x 2－1)d xD ．⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .课时达标 第17讲[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．一、选择题1．⎠⎛01e xd x 的值等于( C )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1) 解析 ⎠⎛01e xd x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2．⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝( C )A ．e 2－2 B ．e －1C ．e 2D ．e ＋1解析 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|e 1＝e 2.故选C ．3．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( A ) A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y解析 由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .第3题图 第4题图4．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( D )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析 由曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝(12x 2－x －2ln x )|42＝4－2ln 2.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( A )A ．43 B ．1π C ．12D ．π－2π解析 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 3|10＋ln x |e1＝13＋1＝43，故选A ．6．如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( D )A ．2π B ．1π C ．12D ．π－2π解析 因为⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7．⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d x ＝__0__. 解析 ⎠⎜⎛0π2 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝0.8．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝！！！ e 2＋12 ###.解析 ⎠⎛1e⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x |e 1＝e 2＋12.9．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)解析 由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)．三、解答题10.求下列定积分．,(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)⎠⎛0－π(cos x ＋e x)d x .解析 (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 2221－x 3321＋ln x |21＝32－73＋ln2＝ln 2－56.(2) ⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－πe x d x ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ. 11．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解析 ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k 则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2∴在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A (2,4)．∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3|20＝4－83＝43.,12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．,(1)求a ，b ，c的值；,(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．,解析 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知，函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t [(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－t 2＋8t )x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2|t 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x |2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403.。

课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练第33页一、选择题1.设函数f(x)=x m+ax的导函数f'(x)=2x+1,则f(-x)d x的值等于( )A. B. C. D.答案:A解析:由于f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,所以f(x)=x2+x,于是f(-x)d x=(x2-x)d x=.2.设a=d x,b=1-d x,c=x3d x,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a答案:A解析:由题意可得a=d x=;b=1-d x=1-=1-;c=x3d x=,综上知a>b>c,故选A.3.设f(x)=f(x)d x的值是( )A.x2d xB.2x d xC.x2d x+2x d xD.2x d x+x2d x答案:D解析:由分段函数的定义及积分运算的性质知,f(x)d x=f(x)d x+f(x)d x=2x d x+x2d x.4.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A. B. C. D.答案:A解析:s=(t2-t+2)d t=.5.如图,由函数f(x)=e x-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.D.e2-2e+1答案:B解析:面积S=f(x)d x=(e x-e)d x=(e x-e x)=(e2-2e)-(e1-e)=e2-2e.6.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图(阴影部分所示),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. B. C. D.答案:D解析:由题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于-x2)d x=,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于,故选D.二、填空题7.d x=.答案:π解析:设y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知d x的值等于半径为2的圆的面积的.∴d x=×4π=π.8.(2013湖南高考)若x2d x=9,则常数T的值为.答案:3解析:∵'=x2,∴x2d x=x3T3-0=9,∴T=3.9.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n=d x(n∈N*),则S100=.答案:ln101解析:由题意知a n=ln x=ln(n+1)-ln n,故S100=a1+a2+…+a100=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln101-ln100)=-ln1+ln101=ln101.三、解答题10.求由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积.解:在平面直角坐标系内,画出曲线y=x2+2x和直线y=x围成的封闭图形,如图所示,由得曲线与直线的两个交点的坐标分别为(-1,-1)和(0,0),故封闭图形的面积为S=[x-(x2+2x)]d x==-.11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b.因为f(-1)=2,f'(0)=0,f(x)d x=-2,所以即解得所以f(x)=6x2-4.(2)f(x)=6x2-4,x∈[-1,1],当x=0时,f(x)取得最小值-4;当x=1或x=-1,f(x)取得最大值2.12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影部分所示.(1)求a,b,c的值;(2)求阴影部分面积S关于t的函数S(t)的解析式.解:(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1),得f(x)=-x2+8x,由得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t.∵0≤t≤2,∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t).由定积分的几何意义知:S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]d x+[(-x2+8x)-(-t2+8t)]d x =-(-t2+8t)x=-t3+10t2-16t+.所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2).希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D．【再练一题】计算（cos x+e x）dx为（）A．e B．e 2 C．e D．e【解答】解：（cos x+e x）dx＝（sin x+e x）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A．思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣πx|（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则M dx，则T sin2xdx cos2x；故选：A．命题点2求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sin x所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx＝﹣（﹣cos x）|（﹣cos x）|（﹣cos x）|＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+cos cosπ＝11+11＝4，故选：B．【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）|．故选：A．思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t） 5.5；故选：C．【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（5x x3）|12故选：C ．思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .基础知识训练1．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】已知函数，则（ ）A ．16B ．8C ．2cos2D ．2cos2-【答案】A 【解析】，故选：A2．【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，2y x =，314y x =，则阴影部分的面积为（ ）A ．1ln2+B ．ln 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =；由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选：B3．【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数，若()f x 在xa 处取得极大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <【答案】C 【解析】，即1m =则当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时或时，()0f x '<，此时()f x 单调递减时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a 处取得极大值，满足题意当01a <<时或时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a 处取得极小值，不满足题意当1a >时或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在xa 处取得极大值，满足题意综上所述：1a >或0a <4．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是（ ） A ．B ．C ．D ．11edx x【答案】 A 【解析】 A ：，函数y=2sin x x 为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故，D:，通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选：A5．【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( )A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 ，故选B ．6．【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率，故答案为：A.7．【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设1d a x x =⎰，，12d c x x =⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 ∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积，等于4π， ，∴b a c >>，故选C.8．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知，则22()d f x x -⎰的值为（ ）A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定【答案】A 【解析】由题意，.故选A9．【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x=⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项：B10．【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】 因为定积分表示直线与曲线24y x =-围成的图像面积，又24y x =-表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分表示圆224x y +=的14，其中，故.故选A11．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域，区域，在Ω内随机投掷一点M，则点M落在区域A内的概率是（）A．1112e⎛⎫-⎪⎝⎭B．1114e⎛⎫-⎪⎝⎭C．1118e⎛⎫-⎪⎝⎭D．11e-【答案】B【解析】由题意，对应区域为正方形区域，其面积为224S==；对应区域如下图阴影部分所示：其面积为，所以点M落在区域A内的概率是.故选B12．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，由可得；所以，又，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选B13．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数，则______．【答案】【解析】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为：．14．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】二项式的展开式中，第三项系数为2，则11adx x=⎰_______ 【答案】ln 2 【解析】展开式的通项为，第三项系数为，因为0a >，所以2a =，，故答案为ln 2.15．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________．【答案】8π 【解析】 由题表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以=，440xdx -=⎰所以故答案为8π16．【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：∴所求概率本题正确结果：1417．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18．【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________．【答案】2π+ 【解析】 因为表示圆224x y +=面积的14，所以；又，所以.故答案为2π+19．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】二项式（ax ﹣1）5 的通项公式为： T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ， 故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2， 令﹣10a 2＝﹣40， 解得a ＝±2， 又a ＞0， 所以a ＝2． 则故答案为：3．20．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y ＝x 与y ＝2-x 2，得2-x 2=x ，解得x ＝-2或x ＝1， 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-231123x x -）1-2| ＝=78+4+2-63= 92； 故答案为：92．能力提升训练1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A ．14 B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1x -）dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．21πC ．22πD ．无法确定【答案】B【解析】由题意知：圆的面积为：周期为2π可得：22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为：(),0πϕπ⇒=∴曲线为：∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项：B4．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图，在矩形中的曲线是的一部分，点，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B。