苏教版学高中数学必修二立体几何初步棱柱棱锥和棱台讲义

学习目标核心素养１．通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义．（重点）２．掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特点及相关概念．（易错、易混点）３．能运用这些结构特点描述现实生活中简单物体的结构．（难点）１．通过观察棱柱、棱锥、棱台的生成过程，抽象出对应的定义，进一步提升学生的数学抽象素养．２．借助于具体几何体来解决问题，提升学生的直观想象数学素养.１．棱柱的相关概念及特点（１）棱柱的相关概念一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做侧棱．（２）棱柱的特点棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．２．棱锥的概念及特点（１）棱锥的概念当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（２）棱锥的特点棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．３．棱台的概念及特点（１）棱台的概念用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台．即棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．（２）棱台的特点棱台的两个底面是相似的多边形，侧面都是梯形，侧棱延长后都相交于一点．４．多面体的概念棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的几何体．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．１．思考辨析（１）棱柱的侧面是平行四边形．（）（２）棱台的侧棱延长后不一定交于一点．（）（３）棱台的侧面是梯形．（）（４）面数最少的多面体是四面体．（）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）√２．如图所示的几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．１３４⑥５[由棱柱、棱锥和棱台的定义知，１３４符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，２是一个三棱柱被截去了一段，５符合棱台的定义．故１３４是棱柱，⑥是棱锥，５是棱台．]３．下列叙述是棱台性质的是________．（填所有正确的序号）１两底面相似；２侧面都是梯形；３侧棱都平行；４侧棱延长后交于一点．[答案] １２４４．三棱锥是________面体．四[因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体．]棱柱、棱锥和棱台的概念及结构特点１五棱柱中五条侧棱长度相同；２三棱柱中底面三条边长度都相同；３三棱锥的四个面可以都是钝角三角形；４棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于１．（２）下列说法正确的是__________．１棱锥的侧面不一定是三角形；２棱锥的各侧棱长一定相等；３棱台的各侧棱的延长线交于一点；４有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．（３）下列三个命题，其中不正确的是__________．１用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；２两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；３有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．思路探究：判断几何体结构特征的主要依据是棱柱、棱锥、棱台的概念．（１）１３４（２）３（３）１２３[（１）由棱柱的特点知命题１正确；三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题２不正确；如图所示，取以点O为端点的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝１00°，且OA＝OB＝OC，这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于１00°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题３正确；由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题４正确．综上所述，可知１３４正确．（２）棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故１２不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，３正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故４错误．（３）必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故１不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定２正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，３不正确．]对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征．除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断．１棱柱的侧面不可能是三角形；２棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；３多面体至少有４个面；４将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．其中真命题是________．１２３[１２均为真命题；对于３，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有４个顶点，３个顶点只能构成平面图形，当有４个顶点时，可围成４个面，所以一个多面体至少应有４个面，而且这样的面必是三角形，故３也是真命题；对于４，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故４不正确．故填１２３．]简单多面体的结构特点及截面１１１１１１１判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为２的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．思路探究：依据棱柱的定义进行判断．[解] （１）因为这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．（２）在四边形ABB１A１中，在AA１上取E点，使AE＝２；在BB１上取F点，使BF＝２；连结C１E，EF，C１F，则过C１，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC­EFC１，其侧棱长为２；截去部分是一个四棱锥C１­EA１B１F.认识一个几何体，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．２．如图所示，已知长方体ABCD­A１B１C１D１.（１）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（２）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面．如果不是，请说明理由．[解] （１）是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD１A１沿AB方向平移至四边形BCC１B１形成的几何体，符合棱柱的定义．（２）截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB１­CFC１，其中△BEB１与△CFC１是底面．截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA１­DCFD１，其中四边形ABEA１和四边形DCFD１是底面．多面体及多面体的表面展开１．观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体吗？怎样定义多面体？（１）（２）（３）（４）[提示] 这四个几何体都是多面体，多面体是由若干个平面多边形围成的几何体．２．多面体集合的哪些性质可以作为它的特征性质？[提示] 多面体的每一个面都是多边形．３．根据图（１）（２）所给的几何体的表面展开图，画出立体图形．（１）（２）[提示] 将各平面图折起来的空间图形如图所示．（１）（２）【例３】画出如图所示的几何体的表面展开图．（１）（２）思路探究：作出模型，将模型剪开，观察展开图．[解] 表面展开图如图所示：（１）（２）多面体表面展开图问题的解题策略（１）绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．（２）已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．３．给出如图所示的正三角形纸片，要求剪拼成一个正三棱柱模型，使它的表面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标在图中，并写出简要说明．[解] 如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边长为三角形边长的错误!，有一组对角为直角，余下的部分沿虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好可以拼成这个正三棱柱的上底．１．本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．２．本节课要重点掌握的规律方法（１）有关棱柱结构特征的解题策略．（２）判断棱锥、棱台形状的方法．（３）绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．３．本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错．１．下列四个命题中正确的是（）Ａ．棱柱的底面一定是平行四边形Ｂ．棱锥的底面一定是三角形Ｃ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱D[A中棱柱的底面可以是任何平面多边形，B中棱锥的底面可以是任何平面多边形，C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的两部分都是棱锥，D中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱．]２．棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________．[答案] ３相等３．如图所示，不是正四面体的展开图的是________．１２３４３４[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现１２可折成正四面体，３４不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]４．画一个六面体：（１）使它是一个四棱柱；（２）使它由两个三棱锥组成；（３）使它是五棱锥．[解] 如图所示．（１）是一个四棱柱；（２）是一个由两个三棱锥组成的几何体；（３）是一个五棱锥．（１）（２）（３）。