2017-2018高中数学选修2-2当堂检测：6-2-2间接证明：反证法湘教版

2．2.2 反 证 法著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？ 提示：实质运用了反证法的思想． 问题2：反证法解题的实质是什么？提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．1．反证法一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法．2．应用反证法证明数学命题的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．反证法常见的矛盾类型 (1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾．[对应学生用书P42][对应学生用书P42][例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[思路点拨]此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法，证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用之．[精解详析]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．[一点通](1)对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．(2)常见否定词语的否定形式如下表所示：1．用反证法证明，若a>b>0，那么a>b.证明：假设a不大于b，则a≤b.∵a>0，b>0，∴()a2≤()b2，即a≤b.这与已知条件a >b >0矛盾，所以a >b .2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证a ，b ，c 不可能都是奇数． 证明：假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数． 左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数， 得偶数＝奇数，矛盾．∴假设不成立，∴a ，b ，c 不可能都是奇数.[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点． [思路点拨][精解详析] 设两直线为a 、b ，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点．(1)若直线a ，b 无交点，那么a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a ，b 不只有一个交点，则至少有两个交点设为A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．3．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根． 证明：因为a ≠0，所以方程至少有一个根x ＝ba.假设方程不是一个根，那么不妨设x 1、x 2是它的两个不同根，即ax 1＝b ，① ax 2＝b ，②①－②得a (x 1－x 2)＝0.∵x 1≠x 2，∴x 1－x 2≠0，∴应有a ＝0，这与已知相矛盾．故假设不成立，∴当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．4．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．证明：①存在性，在a上任取一点A，过A作直线c∥b.∵a与b异面，∴c与a相交．过相交的a与c作平面α，则b∥α.②唯一性：假设过a还有平面β与b平行．过b与点A作一个平面γ，β∩γ＝d.由线面平行的性质有d∥b，又c∥b，∴c∥d.这与c，d相交于点A矛盾．∴过a与b平行的平面有且仅有一个.[例3](12分)已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx ＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．[精解详析]假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．(2分)由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.(5分)同向不等式相加得：4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，(7分)∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，(9分) ∴a ＝b ＝c .(10分)这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证．(12分)[一点通](1)用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：5．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明：假设a ，b ，c 都不大于0，则a ≤0，b ≤0，c ≤0， 所以a ＋b ＋c ≤0， 而a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个大于0.6．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明：假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，不妨设α，β为其两个实根，且α＜β，则f (α)＝f (β)＝0.因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，又α＜β，所以f(α)＜f(β)，这与假设f(α)＝f(β)＝0相矛盾．所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．[对应课时跟踪训练(十五)]1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用()①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④解析：除原结论不能作为推理条件外其余均可．答案：C2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除解析：用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“一个也没有”，故B 正确．答案：B3．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是()A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：(1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确．答案：D5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②6．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①因7个奇数之和为奇数，故有(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为______．②而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝______.③②与③矛盾，故p为偶数．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．答案：①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0 7．如果非零实数a 、b 、c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ， 证明：2b ＝1a ＋1c不成立．证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac ，故b 2＝ac ，又b ＝a ＋c 2，所以(a ＋c 2)2＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c .这与a ，b ，c 两两不相等矛盾， 因此2b ＝1a ＋1c不成立．8．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列． (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3， 即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)， ∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2， 解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾， 故数列{S n }不是等比数列． (2)当q ＝1时，{S n }是等差数列． 当q ≠1时，{S n }不是等差数列． 假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列， 即2S 2＝S 1＋S 3，则2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2， ∵q ≠1，∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾．综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．。

第6章 6.2 6.2.21．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A．无解B．有两个解C．至少有两个解D．无解或至少有两个解解析：“唯一”的意思是“有且只有一个”，其反面是“没有”或“至少两个”．答案：D2．有甲、乙、丙、丁四名歌手参加比赛，其中只有一名获奖．有人走访了四名歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人说得正确，则获奖歌手是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四人的话都是错的；同理，可推出乙、丙、丁的获奖情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b B．3a＜3bC.3a＝3b，且3a＜3b D．3a＝3b，或3a＜3b解析：3a与3b包括3a＞3b，3a＝3b，3a＜3b三方面的关系，所以3a＞3b的反面应为3a＝3b或3a＜3b.答案：D4．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”时，应假设________________________________________________________________________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”．因此它的否定为“a≠0或b≠0”．答案：a，b不全为0(a，b为实数)5．求证：两条相交直线有且只有一个交点．证明：假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点．设两条直线为a，b.①若a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．②若a，b至少有两个交点，设两个交点为A和B，这样同时经过A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．。

6．2.2 间接证明：反证法[读教材·填要点]1．反证法的定义先假设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法．2．反证法的一般步骤 (1)反设；(2)归谬；(3)结论．[小问题·大思维]1．用反证法证明命题“若p ，则q ”时，綈q 假，q 即为真吗？提示：是的．在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈q 是q 的反面，若綈q 为假，则q 必为真．2．反证法与逆否命题证明的区别是什么？ 提示：反证法的理论依据是p 与綈p 真假性相反，通过证明綈p 为假命题说明p 为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p ⇒q ”与“綈q ⇒綈p ”是等价命题，通过证明命题“綈q ⇒綈p ”为真命题来说明命题“p ⇒q ”为真命题，证明过程不出现矛盾．直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 4＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．当点B 在W 上且不是W 的顶点时，求证：四边形OABC 不可能为菱形．[自主解答] 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， 设AC 的中点为M ， 则M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2，因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以四边形OABC 不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z)， 而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数， 则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数． ∴n ，an ＋b 均为奇数，又∵a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数， ∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[自主解答] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0， 即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．2．已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. 证明：假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25， 即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25， 则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设错误． 所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行．[自主解答] 由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行．假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾， 所以假设错误，原命题成立．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．3．设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点． 证明：因为a >1， 所以f (0)＝1－a <0，f (ln a )＝(1＋ln 2a )e ln a －a ＝a ln 2a >0， 所以f (0)·f (ln a )<0，由零点存在性定理可知f (x )在(0，ln a )内存在零点． 假设至少有2个零点，则f (x )在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f ′(x )＝(1＋x 2)′e x ＋(1＋x 2)(e x )′＝(1＋x )2e x ≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾， ∴假设不成立，则f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点.证明：对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A ，B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．[巧思] 本题如果直接证明比较困难，但其反面相对来说比较简单，因此可采用反证法证明．[妙解] 假设存在实数k ，使得A ，B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有(1)直线l ：y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A ，B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝ax 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝－1， ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2， ②y 1＋y 22＝a x 1＋x22. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1， 得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.④当k 2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2. ⑤由④知x1＋x2＝2k3－k2，代入⑤整理得：ka＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称．、1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，假设的内容应该是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除解析：至少有一个的反面应是一个都没有．答案：B2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是() A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．答案：B3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案：B4．用反证法证明如果a＞b，那么3a＞3b，假设的内容应是________．解析：3a＞3b的反设为3a≤3b.答案：3a≤3b5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②6．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．一、选择题1．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2解析：因为a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.答案：C2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设() A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三个内角都大于60°”．答案：B3．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a＞b，n∈N＋，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使a n＝b n.答案：A4．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的；②的假设是正确的．答案：D二、填空题5．用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为__________________．解析：“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．答案：a，b不都是奇数6．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a ≠1或b ≠17．完成以下反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：反设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝__________________________________① ＝__________________________________② ＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：将a 1－1，a 2－2，...，a 7－7相加后，再分组结合计算． 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)8．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：两个方程至少有一个方程有实根，考虑起来比较复杂，可以考虑其反面，即“两个方程都无实根”，这样求得a 的集合记为A ，那么原命题所求a 的取值范围即为∁R A ，解法如下：若两个方程都无实根⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2＜0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0⇒－2＜a ＜－1. 则A ＝{a |－2＜a ＜－1}， 故∁R A ＝{a |a ≤－2或a ≥－1}． 答案：(]－∞，－2∪[)－1，＋∞ 三、解答题9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，f (c )＝0，且当0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点； (2)试用反证法证明：1a >c .证明：(1)∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根， 设为x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴c 是f (x )＝0的一个根， 不妨令x 1＝c . 又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a (1a ≠c )， ∴1a 是f (x )＝0的一个根， 即1a 是函数f (x )的一个零点． (2)由(1)知1a ≠c ，故假设1a <c .∵1a >0，又当0<x <c 时，f (x )>0， ∴f ⎝⎛⎭⎫1a >0，与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴假设不成立，∴1a>c .10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解：(1)当n ＝1时， a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2， 所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1， 公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)， 则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．。

6.2.2间接证明：反证法1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设() A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中() A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°答案 B3．“a<b”的反面应是() A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设() A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交答案 D5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.。