全国初中数学竞赛试题及答案河南区

全国初中数学联合竞赛试题第一试4月13日上午8：30—9：30一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1、设a 2 + 1 = 3 a ，b 2 + 1 = 3 b ，且a ≠ b ，则代数式21a +21b的值为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 2、如图，设AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE 的长为（ ） （A ）185 （B ）4 （C ）215 （D ）2453、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ） （A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）124、在△ABC 中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）（A ）BM > CN （B ）BM = CN （C ）BM < CN （D ）BM 和CN 的大小关系不确定 5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ） （A ）(98) 3 （B ）(98) 4 （C ）(98) 5 （D ）986、已知实数x ，y 满足( x 22008x -y 22008y -) = 2008， 则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）（A ）– 2008 （B ）2008 （C ）– 1 （D ）1CBFDA E二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1、设a 512-5432322a a a a a a a +---+-= 。

2、如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5∠MAN = 135°，则四边形AMCN 的面积为 。

1、若一个正多边形的每个内角都等于150度，则这个正多边形是（）边形。

A. 六B. 七C. 八D. 九解析：正多边形的内角和外角互补，即内角加外角等于180度。

已知内角为150度，则外角为180-150=30度。

正多边形的所有外角之和为360度，因此这个正多边形有360/30=12个边，但考虑到是内角为150度，实际应为正多边形的边数n满足(n-2)*180/n=150，解得n=12/3+2=6。

（答案：A）2、在直角坐标系中，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标是（）。

A. (-3,-4)B. (3,-4)C. (-3,4)D. (4,-3)解析：在直角坐标系中，任意一点关于原点对称的点的坐标，横纵坐标都会变成相反数。

因此，点A(3,4)关于原点对称的点B的坐标应为(-3,-4)。

（答案：A）3、若一个数的平方等于它本身，则这个数是（）。

A. 1B. -1C. 0或1D. 0，1或-1解析：设这个数为x，则x2=x，移项得x2-x=0，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1。

因此，这个数是0或1。

（答案：C）4、下列四个数中，最大的是（）。

A. 1/2B. -1/2C. 0D. -1解析：正数总是大于0，0总是大于负数。

在给出的四个数中，1/2是正数，-1/2和-1是负数，0是零。

因此，1/2是最大的。

（答案：A）5、若a，b，c为三角形的三边，且a=3，b=4，则c的取值范围是（）。

A. 1<c<7B. 3<c<4C. 4<c<7D. 无法确定解析：根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

因此，a+b>c，a-b<c，即3+4>c，4-3<c，所以1<c<7。

（答案：A）6、下列哪个选项中的两个数互为相反数（）。

A. 2和-3B. -2和-2C. 3和-3D. 2和1/2解析：相反数的定义是，如果两个数的和等于零，那么这两个数互为相反数。

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正OAB CED整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。

新安县2019届初中数学竞赛试卷九年级温馨提示：1.本试卷共 8 页，三大题，满分 150 分。

考试时间 120 分钟。

2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题（每小题4分，满40分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确 答案的代号字母填入题前小括号内1.下列说法中不正确的是（ ） A.若 a 为任一有理数，则 a 的倒数是 B.若∣a ∣＝∣b ∣，则 a ＝±b C.x2＝（－2）2，则 x ＝±2 D.x2＋1 一定是正数2.图中从三个方向看所得的图形所对应的直观图是（ ）3.mm m m m m 15462-+的值（）A.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负4.四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC;②AD ＝BC;③OA ＝OC;④OB ＝OD,从中任选两个条件，能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有（ ） A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种5.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ） A.41B.31C.21D.436.如图所示，半径为 5 的☉A 中，弦 BC 、ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD.已知 DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦 BC 的弦心距等于（ ） A.241B.234 C.4D.37.如图所示，P 为☉o 的直径 BA 延长线上一点，PC 与☉O 相切.切点为 C.点 D 是☉O 上一点，连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论：①PD 与☉O 相切；②四边形 PCBD 是菱形；③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为（ ） A.4 B.3 C.2D.18.如图，在平面直角坐标系中，放置一个半径为 1 的圆，与两坐标轴相切，若该圆沿 x 轴正方向滚动 2016 圈后（滚动时在 x 轴上不滑动），则该圆的圆心坐标为（ ）A.（4032π＋1，0）B.（4032π＋1,1）C.（4032π－1，0）D.（4032π－1,1）9.如图所示，平行四边形 ABCD 中，AB ：BC=3:2，∠DAB=60°，E 在 AB 上，且 AE ：EB=1：2，F 是 BC 的中点，过 D 分别作 DP ⊥AF 于 P ，DQ ⊥CE 于 Q ，则 DP ：DQ 等于（ ） A.3:4 B. 13 : 25 C. 13 : 26 D. 23 : 1310.如图，菱形 ABCD 中，AB ＝2，∠B ＝60°，M 为 AB 的中点，动点 P 在菱形的边上从点 B 出发，沿 B → C →D 的方向运动，到达点 D 时停止。

河南九年级数学竞赛试卷专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 下列函数中，哪一个函数在其定义域内是增函数？（）A. y = -x^2B. y = x^3C. y = -xD. y = 1/x3. 在直角坐标系中，点(2, -3)关于原点的对称点是（）。

A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)4. 若一组数据的平均数为10，中位数为12，则这组数据中至少有一个数（）。

A. 大于10B. 小于10C. 等于10D. 等于125. 若a, b为实数，且a≠b，则下列哪个不等式一定成立？（）A. (a+b)^2 > a^2 + b^2B. (a-b)^2 < a^2 + b^2C. a^2 + b^2 = (a+b)^2D. a^2 + b^2 = (a-b)^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个奇数之和都是偶数。

（）2. 在直角坐标系中，所有第一象限的点都满足x>0且y>0。

（）3. 任何数的平方都是非负数。

（）4. 若a>b，则1/a<1/b。

（）5. 一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = b^2 4ac。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边的夹角为90度，则第三边的长度为______。

2. 在直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离为______。

3. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为______。

4. 若函数y = 2x + 3的图像与x轴相交于点A，则点A的坐标为______。

5. 若一元二次方程x^2 5x + 6 = 0的解为x1和x2，则x1x2的值为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列和等比数列的定义。

2018年河南省初三数学竞赛试题及参考答案（实验区用）一、选择题（每小题5分，本题满分30分）1．已知关于x 的方程（3a+8b ）x=2007无解，则ab 是 （B ）A ．正数B ．非正数C ．负数D ．非负数2．在长方体中，有下列三个命题：（1）存在一个点，使它到长方体的各个顶点的距离相等；（2）存在一个点，使它到长方体的各棱的距离相等；（3）存在一个点，使它到长方体的各面的距离相等；下列选项中，正确的是 （D ）A ．（1）与（2）是真命题B ．（2）与（3）是真命题C ．（1）与（3）是真命题D ．（1）是真命题3．如图，BC 是半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，BF FC =5，又AB=8，AE=2，则AD 的长为 （B ）A ．．12．2D ．4．中国象棋红方棋子共有：1个帅，5个兵，士、象、马、车、炮各2个，•将所有棋子反面朝上放在棋盘上，任取一个不是兵和帅的概率是 （D ）A ．116B ．516C ．38D ．58 5．为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生人数最多有 （C ）A ．180B ．200C ．210D ．2256．平面上一点P 到一个凸四边形的四个顶点的距离都相等，则P•点与此四边形的位置关系是 （D ）A ．在四边形的内部B ．在四边形的外部C．在四边形的边上 D．以上三种情况都有可能二、填空题（每小题5分，本题满分30分）7．一次函数y=ax+a+2的图象在-2≤x≤1的一段都在x轴的上方，那么a•的取值范围是 -1<a<0或0<a<2 ．8．写出一个函数解析式，使其图象只经过下列三点中的两个点：A（0，0），B（2，0），C（1，1），这个解析式可以是 y=x等，此题答案不惟一．9．若实数a，b，c满足a2+b2+c2=9，那么代数式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2的最大值为 27 •．10．如图，将边长为2的正方形ABCD沿EF和ED折叠，使得B、C两点折叠后出重合于点G，则∠EFG的正切值为 2 ．GFE D CBA11．在a克糖水中含糖b克（a>b>0，且a、b为定值），再加入适量的糖t克（t>0），•则糖水更甜，请你据此写一个正确的不等式___b b ta a t+<+_____．12．一个两位数被7除余1，如果交换它的十位数字与个位数字的位置，•所得到的两位数被7除也余1，那么这样的两位数是 29，92，22，99 ．三、解答题（每小题20分，本题满分60分）13．某校学习小组在开展研究性学习中，对同学们常用的两块直角三角板边长之间的关系进行了研究，发现了一个有趣的现象：“如果一个三角形中的∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，当∠A=2∠B时，有a2-b2=bc”．（1）请分别在图1和图2中证明上述结论成立；（2）如图3，△ABC是任意三角形时，上述结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．解：（1）图1中，∠C=90°，∠B=30°，∴，c=2b ．∴a 2-b 2=）2-b 2=2b 2，而bc=b ·（2b ）=2b 2，∴a 2-b 2=bc 成立． 5分图2中，∠A=90°，∠B=45°，∴a 2-b 2=c 2，b=c ．∴bc=c 2．∴a 2-b 2=bc 也成立． 10分（2）在图3中，作∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ． 12分∵∠A=2∠B ，∴∠CAD=∠DAB=∠B ，得AD=BD ．∴△ACD ∽△BCA ，故CD AC AD AC BC AB==． 16分 由等比性质，得,CD AD AC a b AC AB BC b c a +=∴=++，即a 2-b 2=bc ． 20分 14．已知关于x 的方程x 2-4│x │+k=0．（1）若方程有四个不同的整数根，求k 的值并求出这四个根；（2）若方程有三个不同整数根，求k 的值及这三个根．解：（1）方程x 2-4│x │+k=0有四个不同的整数根．则关于│x │的方程│x │2-4│x │+k=0有两个不同的正整数根． 5分∴△=16-4k>0，即k<4且k 为正整数．∴k=1，2，3． 10分当k=1，k=2时，原方程无整数根；当k=3时，│x │2-4│x │+3=0，解得│x │=1或│x │=3．∴当k=3时，原方程有4个不同整数根x 1=1，x 2=-1，x 3=3，x 5=-3．15分（2）原方程有三个不同整数根时，关于方程│x │2-4│x │+k=0必有一根为0．∴k=0， ∴│x │2-4│x │=0．∴│x │=0或│x │=4．∴x 1=0，x 2=4，x 3=-4． 20分15．某高科技发展公司投资500万元，•成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代品，并投入资金1500万元进行批量生产，已知生产每件产品还需再投入40元，•在销售过程发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，•年销售量将减少1万件，设销售单价为x （元），年销售量为y （万件），年获利为z （万元）．（1）写出y 与x 及z 与x 的函数关系式；（2）公司计划：在第一年按年获利最大确定销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元，借助函数的图像说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？解：（1）依题意知，当销售单价为x元时，年销售量减少110（x-100）万件．∴y=20-110（x-100）=-110x+30， 5分z=（30-110x）（x-40）-500-1500=-110x2+34x-3200． 8分（2）∵z=-110x2+34x-3200=-110（x-170）2-310，∴当x=170时，z取得最大值-310． 10分第二年的销售单价定为x元时，则年获利为z=（30-110x）（x-40）-310=-110x2+34x-1510． 14分当z=1130时，1130=-110x2+34x-1510，解得x1=120，x2=220． 18分函数z=-110x2+34x-1510的图象大致如图所示：由图象可看出当120≤x≤220时，z≥1130． 20分。

全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。

20XX年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】（A）2,3,1 （B）2,2,1 （C）1,2,1 （D）2,3,2【答】A．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：一次函数的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以解得．3．如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【】（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答】D．解：因为，所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：，解得．4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】（A）（B）（C）（D）【答】B．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是 .5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个【答】D．解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2= ，可得，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出．6．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【】（A）（B）（C）（D）【答】A．解：的顶点坐标是，设，，由得，所以．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若，则的值为．【答】7．解：．8．方程的解是．【答】．解：.∴，解得 .9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是．【答】．解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△B D．由于点A的坐标是，所以，，所以点的坐标是．10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为．【答】2．解：连接MN，显然将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND的面积，等于．11．已知α、β是方程的两根，则的值为．【答】．解：∵α是方程的根，∴．∴，又∵∴= ．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145，解得≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（20XX年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为，个位数字为（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况：…………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为，依题意，得，整理，得x、y均为0 ~ 9的整数，∴此时∴王亮的出生年份是20XX年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为，依题意，得，整理，得，故x为偶数，又∴∴此时∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁．…………………14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、，点D在线段OA上，BD=BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为．（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．解：（1）直线经过P ，∴．∵B ，A ，BD=BA，∴点D的坐标是，∴BD的解析式是,依题意，得，∴∴解得……………………………………………7分（2）且k为最大整数，∴ .则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为．解方程组得即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，∴．解得．……………………………………15分15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四边形OABC是矩形．∴．∵E、G分别是AB、CO的中点，∴∴四边形AECG为平行四边形.∴……………………………4分连接OB，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．此时∠AED+∠CEB =90°．又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE．………………………………8分∴．设OA=x，AB=y，则∶= ∶，得．…10分又，即．∴，解得．∴当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE交PQ于，则．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．由△PCF∽△PEG得，∴= = AB，= GE= OA，∴．在Rt△中，，即，又，∴，∴ ．……………………………………18分。

初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8，这个数是：A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根等于它本身，这个数是______。

7. 如果一个数的绝对值等于5，那么这个数可以是______。

8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。

9. 一个数的平方是25，这个数可以是______。

10. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体的体积。

12. 一个圆的半径是r，求圆的面积。

13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a，底边长为b，求三角形的面积。

四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

15. 证明：如果一个角的余弦值等于1/2，那么这个角是60°。

五、应用题（每题20分，共20分）16. 某工厂生产一种零件，每个零件的成本是5元，售价是10元。

如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少个这种零件？初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。

全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】（A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ．解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1.∴201520132014c b a ++=201520131020141+⨯+-）（=0.2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，则代数式144+-z x 的值是【 】（A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ．解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】（A ）a （B ）b （C ）c （D ）d图2图1d cb aNM【答】C ．解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图NM B A B A 图2图1dc b aNM （第3题图）2，首先确定B 点，所以线段d 与AM 重合，MN 与线段c 重合.4. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列7个代数式ab ，ac ，bc ，ac b 42-，c b a ++，c b a +-，b a +2中，其值为正的式子的个数为【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）4个以上【答】C ．解：由图象可得：0>a ，0<b ，0>c ，∴0<ab ，0>ac ，0<bc . 抛物线与x 轴有两个交点，∴042>-ac b .当x =1时，0<y ，即0<++c b a .当x =1-时，0>y ，即0>+-c b a .从图象可得，抛物线对称轴在直线x =1的左边，即12<-ab，∴02>+b a .所以7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个. 5. 如图，Rt △OAB 的顶点O 与坐标原点重合，∠AOB =90°，AO =2BO ，当A 点在反比例函数xy 1= （x >0）的图象上移动时，B 点坐标满足的函数解析式为【 】（A ）x y 81-= （x <0） （B ）x y 41-=（x <0）（C ）x y 21-= （x <0） （D ）xy 1-=（x <0）【答】B ． 解：如图，分别过点,A B 分别做y 轴的垂线,AN BM ，那么ANO ∆∽OMB ∆，则.4)(2==∆∆OBOA S S OMB ANO .81,2121=∴=⨯=∆∆OMB ANO S AN ON S （第5题图）-11O yxOABxy41=⨯∴BM OM ，故xy 41-=.6．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为【 】（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）6【答】B ．解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点, 即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分） 7．已知223<<-x ，化简2)9(32--+x x 得 . 【答】6-3x ． 解：∵223<<-x ，∴032>+x ，09<-x ， 原式=63932-=-++x x x .8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为52，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为 . SDC GFEPN Q【答】256． 解：设口袋中蓝色玻璃球有x 个，依题意，得5296=++x x ，即x =10，所以P （摸出一个红色玻璃球）=25610966=++. 9. 若214x x x ++=，则2211x x++== . 【答】8．解：∵412=++x x x ，∴31=+xx . 则9)1(2=+x x ，即7122=+xx .∴.81122=++x x10．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，将Rt △OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ，则AB 扫过的面积为 .【答】π．解：∵Rt △OAB 中，∠AOB =30°，AB =2，∴AO =CO =32，BO =DO =4，∴阴影部分面积=AOB COD OBD OAC S S S S +--△△扇形扇形=OBD OAC S S -扇形扇形=360)32(9036049022⨯⨯-⨯⨯ππ=π.11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上时，CA 1= .【答】122±． 解：过A 1作A 1M ⊥BC ，垂足为M ，设CM =A 1M =x ，则BM =4－x ，在Rt △A 1BM 中，（第10题图）A 1E D CBA （第11题图）222121)4(9x BM B A M A --=-=，∴2)4(9x --=2x ，∴x =A 1M =222±， ∴在等腰Rt △A 1CM 中，C A 1=122±.12．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m 是关于x 的方程（x －a ）（x －b ）（x －c ）（x －d ）=2014中大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，则m 的值为 .【答】20．解：∵（m －a ）（m －b ）（m －c ）（m －d ）=2014，且a 、b 、c 、d 是四个不同的整数，因为m 是大于a 、b 、c 、d 的一个整数根，∴（m －a ）、（m －b ）、（m －c ）、（m －d ）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m －a ）+（m －b ）+（m －c ）+（m －d ）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x 本，大笔记本y 本，钢笔z 支，则有3461075=++z y x ，z y 2=.易知0＜x ≤69，0＜y ≤49，0＜z ≤34, ……………………………………4分∴34610145=++z z x ，346245=+z x ，即524346zx -=.∵x ，y ，z 均为正整数，z 24346-≥0，即0＜z ≤14∴z 只能取14，9和4. …………………………………………………8分①当z 为14时， 524346zx -==2，z y 2==28. 44=++z y x .②当z 为9时， 524346zx -==26，z y 2==18. 53=++z y x .③当z 为4时， 524346zx -==50，z y 2==8. 62=++z y x .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD 中，AD =8，直线DE 交直线AB 于点E ，交直线BC 于F ，AE =6.（1）若点P 是边AD 上的一个动点（不与点A 、D 重合），,H DE PH 于⊥设DP 为x ,四边形AEHP 的面积为y ,试求y 与x 的函数解析式； （2）若AE =2EB .①求圆心在直线BC 上，且与直线DE 、AB 都相切的⊙O 的半径长； ②圆心在直线BC 上，且与直线DE 及矩形ABCD 的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt AED ∆中，.10,8,6=∴==ED AD AE290,,.43.,.108655624.25AED PHD PHD EAD PDH EDA PHD EAD x DH PH DH x PH x y S S x ∆∆∠=∠=︒∠=∠∴∆≅∆∴==∴==∴=-=-…………………………………………………………5分（2）①//,AD BC EBF ∴∆∽EAD ∆.3.1068EF BF∴== 5, 4.EF BF ∴==………………………7分若⊙1O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心1O 在AB 的左侧，过点1O 作DF G O ⊥11于1G ，则可设.1111r B O G O ==1111111,5334222EO F EBO EBF S S S r r ∆∆∆+=∴⋅+⋅=⋅⋅. 解得.231=r …………………10分若⊙2O 与直线DE 、AB 都相切，且圆心2O 在AB 的右侧，过点2O 作DF G O ⊥22于2G ，则可设.2222r B O G O ==.5102136)4(21.2121222222r r G O DF DC FO S D FO ）（）（+=++∴⋅⋅=⋅⋅=∆解得.62=r即满足条件的圆的半径为23或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC 的底边OC 在x 轴上，AB ∥OC ，O 为坐标原点，OA = AB =BC ，∠AOC =60°，连接OB ，点P 为线段OB 上一个动点，点E 为边OC 中点.（1）连接P A 、PE ，求证：P A =PE ；（2）连接PC ，若PC +PE =32，试求AB 的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB 取最大值时，如图2，点M 坐标为（0，－1），点D 为线段OC 上一个动点，当D 点从O 点向C 点移动时，直线MD 与梯形另一边交点为N ，设D 点横坐标为m ，当△MNC 为钝角三角形时，求m 的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.....22.90.30,60.,//.,PE PA AE OB OAE OA BC OC OC E OBC BOC AOB AOC BOC ABO OC AB ABO AOB AB OA =∴∴∴==∴︒=∠∴︒=∠=∠∴︒=∠∠=∠∴∠=∠∴=垂直平分线段为等边三角形的中点，为…………………………………………………………5分(2)∵PC +PE =32，∴PC +P A =32.显然有OB=AC ≤PC +P A =32.……………7分在Rt △BOC 中,设AB =OA =BC=x ，则OC=2x ，OB =x 3， ∴x 3≤32，∴x ≤2.即AB 的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB 取最大值时，AB =OA =BC =2，OC =4. 分三种情况讨论：①当N 点在OA 上时，如图2，若CN ⊥MN 时，此时线段OA 上N 点下方的点（不包括N 、O ）均满足△MNC 为钝角三角形. 过N 作NF ⊥x 轴，垂足为F ， ∵A 点坐标为（1，3），∴ 可设N 点坐标为（a ，a 3），则DF =a －m ，NF =a 3，FC =4－a . ∵△OMD ∽△FND ∽△FCN ，.FC NF NF DF OM OD ==∴ ∴aa a m a m -=-=4331. 解得，13434+-=m ，即当0<m <13434+-时，△MNC 为钝角三角形；…14分②当N 点在AB 上时，不能满足△MNC 为钝角三角形；………………15分③当N 点在BC 上时，如图3，若CN ⊥MN 时，此时BC 上N 点下方的点（不包括N 、C ）均满足△MNC 为钝角三角形..3,1.30.//,,==∴=︒=∠=∠∴∴⊥⊥m OD OM BOC ODM OB MN MN CN BC OB ∴当3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. 综上所述，当0<m <13434+-或3<m <4时，△MNC 为钝角三角形. …18分。