北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习数学(理)试题word版 含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（理工类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ACDD中, 因为cos14CAD?，所以sin14CAD?,由正弦定理得，sin sinAC CDADC CAD=行,即2sinsin14CD ADCACCAD´仔===Ð……………………………………6分（Ⅱ）在ACDD中, 由余弦定理得，22422cos120AC AD AD=+-⨯⨯o，整理得22240AD AD+-=，解得4AD=(舍负).过点D作DE AB⊥于E,则DE为梯形ABCD的高.因为AB P CD，120ADC?o，所以60BAD?o.在直角ADED中，sin60DE AD==o即梯形ABCD的高为……………………………………………………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可得：4分（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优.依题意131()1355P M =⨯⨯=．………………………………………………8分 （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X :1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===；11451280(1)()()33243P X C ===； 22351280(2)()()33243P X C ===；33251240(3)()()33243P X C ===；44151210(4)()()33243P X C ===；5505121(5)()()33243P X C ===． 随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF I 平面ABCD AB =，所以FA⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-u u u r u u u r，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-u u u r，所以sin cos ,BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .所以直线BD 和平面BCE 9分 (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，AD HC BENM(0,0,0)A ,(1,0,0)D ,(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设()01DM k k DF =<?， 即DM k DF =uuu u r uuu r .(),0,DM k k =-uuu u r,则(1,0,)M k k -， 1(,1,)2MH k k =--uuu r ，(1,0,1)FD =-u u u r .若FD ^平面MNH ，则FD MH ^.即0FD MH ?uu u r uuu r. 102k k -+=,解得14k =. 则11(,1,)44MH =--uuu r,4MH =uuur .…………………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b =，1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m D -+-=2248(43)0k m -+>. 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =代入判别式大于零中，解得1122k -<<. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．…………4分 （Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()xf x x a =-在()1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a =-，(2)8g a =-.因为函数()g x 在()1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ì=-<ïïíï=->ïî，即当38a <<时，函数()g x 在()1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x Î时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 为减函数； 当0(,2)x x Î时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 为增函数，满足在()1,2上不为单调函数.当3a £时，(1)0g ³，(2)0g >，所以在()1,2上()g x 0>成立（因()g x 在()1,2上为增函数），所以在()1,2上()0f x '>成立，即()f x 在()1,2上为增函数，不合题意. 同理8a ³时，可判断()f x 在()1,2上为减函数，不合题意.综上38a <<. …………………………………………………………9分(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x ¢有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时122x x +=-，12x x a =-. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-因为1a >-，所以224e4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．……………………………………………………………… 14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈L ，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 为{}121222222121222221212122222=e [()]=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x x x a x x a x x a x x x x a a a a a a ）++---++-+-+-++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1Λ=k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1Λ=k ）…… 8分（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =.由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-. …… 13分。

北京市朝阳区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}解答：解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞﹣2}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题解答：解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对∀x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．点评：本题综合考查了复合命题的真假，简单命题的真假判断等知识，属于中档题，解题的关键是：准确理解两个命题的真值情况．3．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．120 B．105 C．15 D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的k值是什么．解答：解：第一次循环得到：k=1，i=3；第二次循环得到：k=3，i=5；第三次循环得到：k=15，i=7；满足判断框中的条件，退出循环∴k=15故选C点评：本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，是基础题．4．曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是（）A．e2B．e2﹣1 C．e D．2分析：确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．解答：解：由题意，由曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是S===2．故选：D．点评：本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．5．设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）①若•=0，则有|+|=|﹣|；②|•|=||||；③若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||+||；④若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．①③B．①④C．②③D．②④分析：①当•=0时，判断|+|=|﹣|成立；②利用数量积判断|•|=||||不一定成立；③当=λ时，判断|+|=||+||不一定成立；④当|+|=||﹣||时，得出、共线，即可判断正误．解答：解：对于①，当•=0时，|+|===|﹣|，∴①正确；对于②，∵•=||||cos＜，＞，∴|•|=||||不一定成立，②错误；对于③，当=λ时，则|+|=|λ+|=|||λ+1|，||+||=|λ|+||=||（|λ|+1），|+|=||+||不一定成立，∴③错误；对于④，当|+|=||﹣||时，∴+2•+=﹣2||||+，∴•=﹣||||，∴共线，即存在实数λ，使得=λ，∴④正确．综上，正确的是①④．故选：B．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握平面向量的有关概念，是基础题．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（）A．3000 B．3300 C．3500 D．4000考点：函数最值的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N），则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x），利用基本不等式求最值时的x的值即可．解答：解：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N）则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x）=（2900+50x）（70﹣x）=50（58+x）（70﹣x）≤50（）2，当且仅当58+x=70﹣x，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000+300=3300（元），故选B．点评：本题考查了学生由实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．7．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b（其中ω＞0，＜φ＜π），则估计中午12时的温度近似为（）A．30℃B．27℃C．25℃D．24℃考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而其求得x=12时的值．解答：解：由函数的图象可得b=20，A=30﹣20=10，根据•=10﹣6，可得ω=．再根据五点法作图可得，×6+φ=，求得φ=，∴y=10sin（x+）+20．令x=12，可得y=10sin（+）+20=10sin+20 10×+20≈27℃，故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．8．设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个命题：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．②③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：既然对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2），那么分别令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根据不等式即可得④解答：解；对于①结论是正确的．∵对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g （0）﹣1]=0解方程组得对于②结论是不正确的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g （﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1 对于③结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于④结论是正确的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|f n（x）|≤f2（x），|g n（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1综上，①③④是正确的．故选：D点评：本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．已知平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，则向量的坐标是或．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，可得=1，x﹣y=0．解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，∴=1，x﹣y=0．解得．∴=或．故答案为：或．点评：本题考查了向量模的计算公式、向量共线定理，属于基础题．10．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．解答：解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．点评：本题考查两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，属于中档题．11．若f（x）=，是奇函数，则a+b的值是﹣1．考点：函数奇偶性的性质．分析：不妨设x＜0，则﹣x＞0，根据所给的函数解析式，利用f（﹣x）=﹣f（x），由此可得a、b的值，即可得到a+b．解答：解：函数f（x）=，是奇函数，任意x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x），则﹣2x+3=﹣ax﹣b，则a=2，b=﹣3．则a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的定义是解题的关键，属于基础题．12．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和．若a1+a3+a5+a7=﹣4，S8=﹣16，则公差d=﹣2；数列{a n}的前3项和最大．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，可得S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解之可得d=﹣2，进而可得a1=5，可得a n=7﹣2n，解不等式可得等差数列{a n}的前3项为正数，从第4项起为负数，故数列{a n}的前3项和最大．解答：解：∵a1+a3+a5+a7=﹣4，∴a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，∴S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解得d=﹣2，∴a1+a3+a5+a7=4a1+12d=﹣4，解得a1=5，∴等差数列{a n}的通项公式a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n，令a n=7﹣2n≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前3项为正数，从第4项起为负数，∴数列{a n}的前3项和最大故答案为：﹣2；3点评：本题考查等差数列的前n项和公式，属基础题．13．已知x，y满足条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（2，0）处取得最大值，则a的取值范围是（，+∞）．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此时目标函数的斜率k=﹣a＜0，要使目标函数z=ax+y仅在点A（2，0）处取得最大值，则此时﹣a≤k AB=﹣，即a＞，故答案为：（，+∞）点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1．已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为；塔BB1的高为45m．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，利用从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，可得△A1AC∽△CBB1，即可求出结论．解答：解：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴，∴AA1•BB1=900，∴3600tanαtan2α=900，∴tanα=，tan2α=，BB1=60tan2α=45．故答案为：，45点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣acosx（x∈R）的图象经过点（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）代点可求a值，可得解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，易得周期为T=2π，解可得单调递减区间．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过点，∴，即﹣a=1，解得a=1．∴==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．∴函数f（x）的最小正周期为T=2π．由，k∈Z．可得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为：[]，k∈Z点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数公式和三角函数的单调性和周期性，属基础题．16．（13分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分）点评：本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用．17．（13分）在递减的等比数列{a n}中，设S n为其前n项和，已知a2=，S3=．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，试比较与b n+1的大小关系，并说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a2=，S3=，建立方程组，即可求a n，S n；（Ⅱ）b n+1=log2S n+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与S n+1的大小关系．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，解得q=2或．由上面方程组可知a1＞0，且已知数列{a n}为递减数列，所以．代入求得，则.…．（6分）（Ⅱ）依题意，=；b n+1=log2S n+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与S n+1的大小关系，即比较S n•S n+2与S2n+1的大小关系，=，=，由于，即，所以．即S n•S n+2＜S2n+1，即＜b n+1…．（13分）点评：本题考查数列的通项，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：本题考察函数的单调性．（Ⅰ）先写出函数的定义域，然后求导数，分a=0，a＞0，a＜0，利用导数的符号讨论函数的单调性即可，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x∈（1，2），分成a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2四种情况进行讨论．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x≠a}.．①当a=0时，f（x）=x（x≠0），f'（x）=1，则x∈（﹣∞，0），（0，+∞）时，f（x）为增函数；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，x＞2a或x＜0，由于此时0＜a＜2a，所以x＞2a时，f（x）为增函数，x ＜0时，f（x）为增函数；由f'（x）＜0得，0＜x＜2a，考虑定义域，当0＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜2a时，f （x）为减函数；③当a＜0时，由f'（x）＞0得，x＞0或x＜2a，由于此时2a＜a＜0，所以当x＜2a时，f（x）为增函数，x＞0时，f（x）为增函数．由f'（x）＜0得，2a＜x＜0，考虑定义域，当2a＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜0时，f （x）为减函数．综上，当a=0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，0），（2a，+∞），单调减区间为（0，a），（a，2a）．当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，2a），（0，+∞），单调减区间为（2a，a），（a，0）．（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．②当0＜2a≤1时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（2a，+∞）单调增，即在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．③当1＜2a＜2时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）上不具有单调性，不合题意．④当2a≥2，即a≥1时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）为减函数，同时需注意a∉（1，2），满足这样的条件时f（x）在（1，2）单调减，所以此时a=1或a≥2．综上所述，或a=1或a≥2．点评：本题易忽略函数的定义域，在讨论函数的性质的题目中一定要先求出函数的定义域，在定义域内讨论；难点是分类讨论较复杂，要做到不重不漏，按照数轴从左向右讨论，还要注意特殊情况．19．（14分）已知函数y=f（x），若在区间（﹣2，2）内有且仅有一个x0，使得f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质M．（Ⅰ）若f（x）=sinx+2，判断f（x）是否具有性质M，说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，试求实数m的取值范围．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．若存在x0∈（﹣2，2），使得f（x0）=1，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（﹣2，2）上有且只有一个实根．设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（﹣2，2）上有且只有一个零点．讨论m的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．理由：依题意，若存在x0∈（﹣2，2），使得f（x0）=1，则x0∈（﹣2，2）时有sinx0+2=1，即sinx0=﹣1，x0=2kπ﹣，k∈Z．由于x0∈（﹣2，2），所以x0=﹣．又因为区间（﹣2，2）内有且仅有一个x0=﹣．使得f（x0）=1成立，所以f（x）具有性质M；（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（﹣2，2）上有且只有一个实根．设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（﹣2，2）上有且只有一个零点．解法一：（1）当﹣m≤﹣2时，即m≥2时，可得h（x）在（﹣2，2）上为增函数，只需解得交集得m＞2．（2）当﹣2＜﹣m＜2时，即﹣2＜m＜2时，若使函数h（x）在（﹣2，2）上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（ⅰ）m=0时，h（x）=x2在（﹣2，2）上有且只有一个零点，符合题意．（ⅱ）当﹣2＜﹣m＜0即0＜m＜2时，需解得交集得∅．（ⅲ）当0＜﹣m＜2时，即﹣2＜m＜0时，需解得交集得．（3）当﹣m≥2时，即m≤﹣2时，可得h（x）在（﹣2，2）上为减函数只需解得交集得m≤﹣2．综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m或m＞2或m=0；解法二：依题意，（1）由h（﹣2）•h（2）＜0得，（4﹣2m）（6m+4）＜0，解得或m＞2．同时需要考虑以下三种情况：（2）由解得m=0．（3）由解得，不等式组无解．（4）由解得，解得．综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是或m＞2或m=0．点评：本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20．（13分）对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，a3，…，a k}（k=1，2，3，…，m），即b k为a1，a2，a3，…，a k中的最大值，则称{b n}是{a n}的“控制数列”，{b n}各项中不同数值的个数称为{a n}的“控制阶数”．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，写出所有的{a n}；（Ⅱ）若m=100，a n=tn2﹣n，其中，{b n}是{a n}的控制数列，试用t表示（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）的值；（Ⅲ）在1，2，3，4，5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．考点：数列的应用．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，可得{a n}；（Ⅱ）确定当n≥2时，总有a n+1＞a n，n≥3时，总有b n=a n．从而只需比较a1和a2的大小，即可得出结论．（Ⅲ）确定首项为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）1，3，1，5；1，3，2，5；1，3，3，5…．（3分）（Ⅱ）因为，所以．所以当n≥2时，总有a n+1＞a n．又a1=t﹣1，a3=9t﹣3．所以a3﹣a1=8t﹣2＞0．故n≥3时，总有b n=a n．从而只需比较a1和a2的大小．（1）当a1≤a2，即t﹣1≤4t﹣2，即时，{a n}是递增数列，此时b n=a n对一切n=1，2，3，…100均成立．所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0．（2）当a1＞a2时，即t﹣1＞4t﹣2，即时，b1=a1，b2=a1，b n=a n（n≥3）．所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0+[（t﹣1）﹣（4t﹣2）]+0+…+0=1﹣3t．综上，原式=…．（9分）（Ⅲ）154．首项为1的数列有6个；首项为2的数列有6+2=8个；首项为3的数列有6+4+2=12个；首项为4的数列有6+6+6+6=24个；所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6+8×2+12×3+24×4=154．…（13分）点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题．。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合{}21A x x =>，集合{}(2)0B x x x =-<，则AB =A ．{}12x x << B. {}2x x > C ． {}02x x << D ． {1x x ≤，或}2x ≥ 【答案】A【解析】由不等式21x >得1x <-或1x >，即{1A x =<-或}1x >;由不等式(2)0x x -<得02x <<，即{}02B x x =<<，所以{}12A B x x =<<，故选A【考点】 集合运算;一元二次不等式 【难度】 22. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值是A ．7B ．10C ．66D ．166【答案】B【解析】初始值：S ＝1，n ＝1第一次循环：4n =，21417S =+= 第二次循环：7n =，217766S =+=第三次循环：10n =，26610166100S =+=>，输出10n =，故选B 【考点】算法与程序框图 【难度】 23. 设i 为虚数单位，m R ∈，“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】“复数(1)+i m m -是纯虚数”等价于(1)0m m -=，所以0m =或1m =;所以“复数(1)+i m m -是纯虚数”是“1m”的必要不充分条件，故选B【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 24.已知平面上三点,,A B C 满足=6AB ，=8AC ，=10BC ，则++AB BC BC CA CA ABA. 48B. 48C.100D. 100 【答案】D【解析】因为=6AB ，=8AC ，=10BC ，所以AB AC ⊥，以A 为原点，AB ，AC 所在直线为x ，y 轴建立坐标系，则有(6,0)AB =，(0,8)AC =，所以(6,8)BC =- ，(0,8)CA =-， 所以++(6,0)(6,8)(6,8)(0,8)(0,8)(6,0)AB BC BC CA CA AB 36640100故选D【考点】 平面向量运算 【难度】 25.已知函数()2sin()25f x x ππ=+.若对任意的实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是 A. 2 B.4 C. π D. 2π 【答案】A【解析】依题意1()f x 是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，所以12x x -的最小值为半个周期2，故选A 【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 26.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线24y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P .若52PF =，则双曲线的渐近线方程为 A. 12y x =±B. 2y x =±C. y =D.y = 【答案】C【解析】由抛物线方程可知(,)F 10，因为52PF =，所以P 点横坐标为53122-=，所以纵坐标为 因为点P 为交点，且有公共焦点，所以222296141a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以渐近线方程为by x a=±=，故选C 【考点】 双曲线;抛物线 【难度】 37.已知函数e e()2xxf x ，x R ，若对任意π(0,]2，都有(sin )(1)0f m f m 成立，则实数m 的取值范围是A. 0,1B. 0,2C. ,1D. ,1【答案】D【解析】因为ee e e ()()22xx xxf x f x ，所以()f x 为奇函数;又因为1'()(e e )02x x f x ，所以()f x 为增函数，由(sin )(1)0f m f m 得(sin )(1)(1)f m f m f m所以sin 1m m 对于π(0,]2恒成立，即11sinm 恒成立， 因为π(0,]2，所以sin 0,1，所以1110m，故选D 【考点】 函数的性质 【难度】 48. 如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD 折叠，使得点B 始终落在边AD 上，则折起的部分的面积最小值为A. 14B. 38 C. 25 D. 12【答案】B【解析】如图，设折痕为ME ，过E 作EF AB⊥于F ，连接'BB 交ME 于N ，根据对称性可知'BB M E ⊥，且1'2BN BB =，所以'AB B NMB ∆∆∽，所以'BN BMAB BB =，即'BNBM BB AB= 设'AB x =，则'BB ，BN 21(1)2BM x =+又因为EF AB ⊥，所以'M EF B BA ∠=∠，而EF AB =，所以'M EF B BA ∆∆≌，所以'MF B A x == 所以21(1)2BF BM MF x x =-=+-，即21(1)2EC x x =+-所以折起部分的面积22211(1)(1)122(1)222x x xBM EC S BC x x +++-+=⨯==-+ 因为01x ≤≤，所以当12x =时min 38S =，故选D 【考点】 函数的应用 【难度】 4ACBB 1(B )D C 1(C )NM F E C'B'D A CB第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 41(1)3x展开式中含3x 项的系数是 . 【答案】427【解析】二项展开式通项为114411()()33r r rr r r T C x C x --+=-=-令3r =得3x 项的系数是33414()327C -=-【考点】 二项式定理及性质 【难度】 210.已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，且和两条直线0x y +=和120x y +-=都相切，则圆C 的标准方程是 .【答案】()223(3)18x y -+-=【解析】 设圆心(,)C a b ，因为圆心在直线0x y -=上，所以a b =，即(,)C a a因为和两条直线0x y +=和120x y +-==，解得3a =所以半径为r ==所以圆的标准方程为()223(3)18x y -+-=【考点】 直线与圆的位置关系;圆的标准方程 【难度】 211. 如图，已知圆B 的半径为5，AMN 与ADC 为圆B 的两条割线，且割线AMN 过圆心B .若2AM，60CBD ，则AD = .【答案】3 【解析】因为60CBD，所以5CD =，由割线定理AD AC AM AN ⋅=⋅，即(5)21224AD AD ⋅+=⨯=所以25240AD AD +-=，解得3AD = 【考点】 割线定理 【难度】 212.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为______.A正视图侧视图俯视图【答案】239【解析】四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的菱形，高PO 为3，顶点P 在底面的射影O 为菱形中心，过O 作OE BC ⊥于E ，则32OE =，所以斜高392PE =，所以侧面积为1139424239222BC PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=【考点】 几何体的三视图与直观图 【难度】 313.已知点11(,1)A a ，22(,2)A a ，…，(,)n n A a n （N *n ∈）都在函数13log y x =的图象上.则数列{}n a 的通项公式为_________；设O 为坐标原点，点(,0)n n M a （N *n ∈），则11OA M ∆，22OA M ∆，…，n n OA M ∆中，面积的最大值是_________. 【答案】13nna ;16. 【解析】因为点(,)n a n 在函数13log y x =的图象上，所以13log n n a =，即1()3n n a =;设n n OA M ∆的面积111()223n n n S na n ==，则1111()(1)23n n S n ++=+所以111111()(1)()2323n n n n S S n n ++-=+-1112()233n n-=因为N *n ∈所以10n n S S +-<， 所以当1n =时n S 最大，为16【考点】 等比数列;数列综合运用 【难度】 3 14．设集合123(,,)2,0,2,1,2,3iA m m m m i ，集合A 中所有元素的个数为 ;集合A 中满足条件“12325m m m ”的元素个数为 .【答案】27;18【解析】集合A 中所有元素的个数为11133327C C C =个;因为0i m =或2，所以1m ，2m ，3m 三个数字中只有两种情况（1）一个０，两个2，此时123(,,)m m m 有11132212C C C =种（2）两个０，一个2，此时123(,,)m m m 有11326C C =种共有1８种元素 【考点】 排列组合 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD ，120ADC ，57cos 14CAD. （Ⅰ）求AC 的长; （Ⅱ）求梯形ABCD 的高. 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）在ACD 中，因为57cos 14CAD，所以21sin 14CAD ， 由正弦定理得，sin sin AC CDADC CAD，即32sin 227sin 21CD ADC ACCAD. ……………………………………6分（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得，22422cos120AC AD AD =+-⨯⨯，整理得22240AD AD +-=，解得4AD =(舍负). 过点D 作D E AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高. 因为AB CD ，120ADC ，所以60BAD .在直角ADE 中，sin 6023DEAD .即梯形ABCD 的高为【考点】 解斜三角形【难度】 316．（本小题满分13分）某学科测试中要求考生从,,A B C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试.选择,,A B C 三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答卷中抽出若干份答卷，其中从选择A 题的答卷中抽出了3份，则应分别从选择,B C 题的答卷中抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，,,A B C 三题答卷得优的份数都是2.从被抽出的,,A B C 三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷恰有1份得优的概率;（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望EX ． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：应分别从,B C 题的答卷中抽取5份，2份.（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优. 依题意131()1355P M =⨯⨯=． （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===;11451280(1)()()33243P X C ===;22351280(2)()()33243P X C ===;33251240(3)()()33243P X C ===;44151210(4)()()33243P X C ===;5505121(5)()()33243P X C ===．随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【考点】 古典概率;随机变量的分布列与期望 【难度】 317．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：FA BC ⊥;（Ⅱ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值;（Ⅲ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段,FD AD 上的点（都不与点D 重合）.若直线FD平面MNH ，求MH 的长.【答案】见解析【解析】 证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF平面ABCD AB =，所以FA ⊥平面ABCD ， 由于BC ⊂平面ABCD ， 所以FA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，ADHCBEFMN ADH CBEN M所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-， 设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ， 因为(1,2,0)BD =-，所以1sin cos ,3BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅n n n . 所以直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值为15． (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系Axyz 中，(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设01DMk k DF， 即DMkDF .,0,DMk k ，则(1,0,)M k k ，1(,1,)2MHkk ，(1,0,1)FD .若FD平面MNH ，则FDMH .即0FD MH .102kk ，解得14k. 则11(,1,)44MH，324MH . 【考点】立体几何综合 【难度】 318．（本小题满分13分）已知点M 为椭圆22:3412C x y +=的右顶点，点,A B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及焦点坐标;（Ⅱ）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标;若否，说明理由． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b 1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-．（Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m =2248(43)0k m .所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++， 化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-． 4m k =代入判别式大于零中，解得1122k. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去． 故直线AB 过定点(4,0)-． 【考点】 圆锥曲线综合 【难度】 419.（本小题满分14分）已知函数2()()e xf x x a =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ，使()()f m f n 成立，求a 的取值范围;（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-.当(,2)x ∈-∞-时，f '(x)＞0，f (x)单调递增;当(2,0)x ∈-时，f '(x)＜0，f (x)单调递减;当(0,)x ∈+∞时，f '(x)＞0，f (x)单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-（Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()x f x x a =-在1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a ，(2)8g a .因为函数()g x 在1,2上为增函数， 当(1)30(2)80g a g a ，即当38a 时，函数()g x 在1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x 时，()0g x <，即()0f x ，()f x 为减函数; 当0(,2)x x 时，()0g x >，即()0f x ，()f x 为增函数，满足在1,2上不为单调函数. 当3a 时，(1)0g ，(2)0g ，所以在1,2上()g x 0成立（因()g x 在1,2上为增函数），所以在1,2上()0f x '>成立，即()f x 在1,2上为增函数，不合题意.同理8a时，可判断()f x 在1,2上为减函数，不合题意. 综上38a. (Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x 有两个不同的零点，即方程220x x a 的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=-此时122x x +=-，12x x a =-.随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()x x f x f x x a x a =-⨯-12222221212=e [()]x x x x a x x a +-++{}122222121212=e [()2]x x x x a x x x x a +-+-+222=e [(42]a a a a --++）2=4e .a --因为1a >-，所以224e 4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．【考点】 导数的综合应用【难度】 420.（本小题满分13分）已知数列n n a a a A ,,,:21 2,n n N 是正整数n ,,3,2,1 的一个全排列.若对每个{}2,3,,∈k n ，都有12--=k k a a 或3，则称n A 为H 数列．（Ⅰ）写出满足55=a 的所有H 数列5A ;（Ⅱ）写出一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 的通项公式;（Ⅲ）在H 数列2015A 中，记5(1,2,,403)k k b a k ==.若数列{}k b 是公差为d 的等差数列，求证：5d =或5-． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5;与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55 ==k k a k 的H 数列2015A 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1 =k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1 =k ） （Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =. 由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-． 所以5d =或5-.【考点】 数列综合【难度】 5。

北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的1） （A）（B） （C）（D） （2）设，，，则，，的大小关系是 （A）（B） （C）（D） （3）已知各项数的等比数列若 （A）（B） （C） D） （4）甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有 （A）， （B）， （C）， （D）， （5），是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （6）满足不等式组则的取值范围是 （A）（B） （C）（D） （7）定义在上的函数满足.当时,当时，则 A）（B） （C）（D） （8）为提高在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息原信息为（），传输信息为，，运算规则为：，，．例如原信息为则传输信息为在传输过程中到干扰导致接收信息，则信息一有误的是A）（B） （C）（D）第二部分（非选择题的二项展开式中各项的二项式数的是则展开式中项数字作答0）数，那么的最小值为11）若直线为参数为参数有且有一个公共点，． （12）截抛物线的准线所得线段长为，则． （13）零向量，与的夹角为则取值围是． （14）平面中两条直线相交于点上任意一点若是直线和的距离，则称有序非负实数对是点“距离坐标” 给出下列个命题： ，则“坐标”的点有且仅有，且则“坐标”的点有且仅有，则“坐标”的点有且仅有 ④若，则的轨迹是条点的命题序号为三、解答题（共6小题，共80分。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+B ．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是A ．14 B ．34 C ．2D ．24+7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ．72 B ． 3 C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --，试判断点F 在边BC 上的位置，并说明理由.DPCBFAE0.0217．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”． （Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值； （Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分）三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15. 所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15. 依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C === 1231448(1)()()55125P X C ===2231412(2)()()55125P X C ===3303141(3)()()55125P X C === 所以，随机变量X 的分布列如下表：因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………..13分 16. （本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以EF //平面PAC ．………..4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥． 又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB平面ABCD =AB ，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥． 由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥． 又因为=PBBC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．……………..9分 （Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，PB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即AD PA ⊥，AD AB ⊥ . 所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m =. 设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =，得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A =,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =．根据题意，||||4AP AP ⋅==⋅n n ，解得23m =．由于2BC AB ==，所以13BF BC =. 即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．………..14分 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=. 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c == 所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n . 综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)xx x f x x -+'=+． 由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >；由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<． 所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3．……..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+，又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方， 所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立． 又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<． 又210x +>，所以2211x a x -<+． 设22()1x h x x =+，则min1()a h x -<1([,2e])ex ∈即可． 又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<； 由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤． 所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减．所以()h x 的最小值为1()eh 或(2e)h ． 因为212e ()e e 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e 4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+． 所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得2241a b ⎧=⎨=⎩． 所以椭圆的标准方程为2214x y +=．………..4分（Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ． 由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=．42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+． 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k kM k k--++． 因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k=--． 同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-．所以点222284(,)1414k k N k k -++． 所以，当M N x x ≠时，即12k ≠±时，2214MN kk k=-. 直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k--=-+-+． 整理得2214ky x k =-．显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ． 综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况： （1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0). 所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根. ………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-， 所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦.由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根. ………8分 （Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下： 由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++．()()22121212=044x x x x x x +--=-<.即12()2x x f +'=12123()()022x x x xαβ++--<, 由αβ<，得122x x αβ+<<． ………13分。

北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第二学期统一考试数学试卷（理工类）2016．5（考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合 A = {x 1 < 2x< 4}， B = {x x -1 ≥ 0}，则 A I B ＝A ．{x 1 ≤ x < 2}iB ．{x 0 < x ≤ 1}C ．{x 0 < x < 1}D ．{x 1 < x < 2}2．复数 z =1- i（ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A ．6 B ．10 C ．14D ．154．已知非零向量 a ， b ，“ a ∥ b ”是 “ a ∥ (a + b ) ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是 π ； ②图象关于直线 x = π对称；3③在区间⎡ 5π , π⎤上是单调递增函数”的一个函数可以是⎢⎣ 6⎥⎦ A ． y = cos( x + π)2 6C ． y = cos(2x - π)3B ． y = sin(2x+ 5π)6D ． y = sin(2x - π)63 A BODE ⎪ ⎧ 6．已知函数 f (x ) = ⎨x -1, x ≤ 2,(a > 0 且 a ≠ 1) 的最大值为1,则 a 的取值范围是 ⎩2 + log a x , x > 21 A ．[ ,1)2B ． (0,1)1C ． (0, ]2D ． (1, )7． 某学校高三年级有两个文科班， 四个理科班， 现每个班指定 1 人， 对各班的卫生进行检 查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不 同安排方法的种数是A ． 48B ． 72C ． 84D ．1688．已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2， E 是棱 D 1C 1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的表面上，且 EF ∥平面 A 1BC 1 ，则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是9 A ．B ． 2 2C ． 3D ． 4 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．9．双曲线 C : x - y 2= 1 的渐近线方程是；若抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点与3双曲线 C 的一个焦点重合，则 p =．10．如图， P 为⊙ O 外一点， PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，割线PBC与 ⊙ O 相 交 于 B , C 两 点 ， 且 PC = 3PA ， D 为 线 段 BC 的 中 P C点，AD 的延长线交⊙ O 于点 E ．若 PB 1，则 PA 的长为 ；AD DE 的值是 ．11．已知等边 ∆ABC 的边长为 3， D 是 BC 边上一点，若 BD = 1，则u u u r u u u rAC ⋅ AD 的值是．⎧ 12．已知关于 x , y 的不等式组 ⎪ x ≥ 0, y ≥ x ,所表示的平面区域 D 为三角形区域，则实数 k 的取值范围是 ．⎨ x + y ≤ 2, ⎪⎩2x - y ≥ k13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地.第3223 6 频率组距一年支出各种费用 8 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的收入为 26 万元. 设 f (n ) 表示前 n 年的纯利润（ f (n ) =前 n 年的总收入－前 n 年的总费用支出－投资额），则f (n ) =（用 n 表示）；从第年开始盈利.14．在平面直角坐标系x O y 中，以点 A (2, 0) ，曲线 y = 上的动点 B ，第一象限内的点 C，构成等腰直角三角形 ABC ,且 ∠A = 90︒ ，则线段 OC 长的最大值是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）在 ∆ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 是 a ， b ， c ， 已 知cos 2 A = - 1， 3c = , s in A = sin C ．(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ) 若角 A 为锐角，求b 的值及 ∆ABC 的面积．16．（本小题满分 13 分） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为(0，10) ，五个级别规定如下： 交通指数 (0, 2)[2, 4)[4, 6)[6,8)[8,10)级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的 40 个工作日 早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)的交通指数(平 均值)，其统计结果如直方图所示． （Ⅰ）据此估计此人 260 个工作日中早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的 天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似 为：畅 通 时 30 分 钟 ， 基 本 畅 通 时 35 分0.250.20 0.150.100.05钟，1 2 3 45 6 7 89 101- x 21 轻度拥堵时 40 分钟，中度拥堵时 50 分钟，严重拥堵时 70 分钟，以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间 X 的数学期望．17．（本小题满分 14 分）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， BC // AD ， BC = 1AD = 2 ， ∠A = 60︒， 2E 为 AD中点，点 O , F 分别为 BE , DE 的中点．将 ∆ABE 沿 BE 折起到 ∆A 1BE 的位置，使得平面 A 1BE ⊥ 平面 BCDE （如图 2）．（Ⅰ）求证： A 1O ⊥ CE ；（Ⅱ）求直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱 A C 上是否存在点 P ，使得 BP // 平面 A OF ? 若存在，求出A 1P的值；若不11AC 存在，请说明理由．BB图 1图 218． （本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = - 1x 2+ (a +1)x +（1- a ) ln x ， a ∈ R ．2（Ⅰ）当 a = 3 时，求曲线C : y = f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；⎬ 1 2 1 2⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, （Ⅱ）当 x ∈[1, 2]时，若曲线 C : y = ⎪f (x ) 上的点 (x , y ) 都在不等式组 ⎨ ⎪x ≤ y , 所表示的⎪ y ≤ x + 3⎩ 2平面区域内，试求a 的取值范围．19．（本小题满分 14 分）x 2 在平面直角坐标系 x O y 中，点 P (x 0 , y 0 )( y 0 ≠ 0) 在椭圆 C : + y 2= 1上，过点P 的直线 l 的 2x x方程为 0 + y y = 1．2（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A , B 两点，试求 ∆OAB 面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称，求证：点 Q , P , F 2三点共线．20．（本小题满分 13 分）⎧⎪ 已知集合 S = ⎨k 1 ≤ k ≤3n -1, k ∈ N * ⎫⎪ (n ≥ 2 ，且 n ∈ N * ) ．若存在非空集合 S , S , , S ⎩⎪ 2 ⎪⎭，使 得S = S 1 S 2 S n ，且S i S j = ∅ (1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j ) ，并∀x , y ∈ S i (i = 1, 2, , n ), x > y ，都有 x - y ∉ S i ，则称集合 S 具有性质 P ， S i （ i = 1, 2, , n ）称为集合 S 的 P 子集．（Ⅰ）当 n = 2 时，试说明集合 S 具有性质 P ，并写出相应的 P 子集 S , S ；（Ⅱ）若集合 S 具有性质 P ，集合 T 是集合 S 的一个 P 子集，设 T ' = {s + 3n| s ∈T } ，n3 6 6 3 2 求证： ∀x , y ∈T T '， x > y ，都有 x - y ∉T T ' ；（Ⅲ）求证：对任意正整数 n ≥ 2 ，集合 S 具有性质 P ．北京市朝阳区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）2016．5一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBCDADC二、填空题：（满分 30 分） 题 号 91011121314答 案y = ±3 x ， 433 ，166(-∞, -2] [0,1)-n 2 +19n - 60 , 52 2 +1（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15．（本小题满分 13 分）解：(Ⅰ) 因为cos 2 A = 1- 2 s in 2A = - 1，且 30 < A < π ，所以 sin A =6 ．3因为 c =由正弦定理 , s in A = a=c sin C ，，得 a = ⋅ c = ⨯ = 3．…………………6 分 sin A sin C(Ⅱ) 由 sin A =6, 0 < A < π 得 cos A =3． 3 2 3由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得 b 2 - 2b -15 = 0 ．6EFO解得 b = 5 或 b = -3 （舍负）．所以 S∆ABC= 1 bc sin A =5 2． …………………13 分2 2解: （Ⅰ）由已知可得：上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25，据此估计此人 260 个工作日早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的天数为 260×0.25=65 天.……………………………………………………5 分（Ⅱ）由题意可知 X 的可能取值为 30, 35, 40, 50, 70 ．且 P ( X = 30) = 0.05 ； P ( X = 35) = 0.10 ； P ( X = 40) = 0.45 ；P ( X = 50) = 0.25 ； P ( X = 70) = 0.15 ；所以 EX = 30 ⨯ 0.05+35⨯ 0.1+40 ⨯ 0.45+50 ⨯ 0.25+70 ⨯ 0.15=46 ．…………………………………13 分17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AED由 BC //AD ， BC = 1AD = 2 ， ∠A = 60︒， E 为2AD 中点，所以 ∆ABE 为等边三角形．如图 2, BC图 1因为 O 为 BE 的中点，所以 A 1O ⊥ BE ．A 1又因为平面 A 1BE ⊥ 平面 BCDE ，且平面 A 1BE 平面 BCDE = BE ，D所以 A 1O ⊥ 平面 BCDE ，所以 A 1O ⊥ CE ．………4 分BC （Ⅱ）连结 OC ，由已知得 CB = CE ，又 O 为 BE 的中点，图 2所以 OC ⊥ BE ．由（Ⅰ）知 A 1O ⊥ 平面 BCDE ，z所以 A 1O ⊥ BE , A 1O ⊥ OC ， A 1所以 OA 1 , O B , O C 两两垂直．PEFOB Cxy3 3 3 33 - 3 - 3 2 ⨯ 53 5 1515以 O 为原点， OB , O C , O A 1 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为 BC = 2 ，易知 OA 1 = OC = ．所以 A 1 (0，0，3), B (1，0，0), C (0，3，0), E (-1，0，0) ，所以 A 1B = (1，0，- ), A 1C = (0，3，- ), A 1E = (-1，0，- ) ．设平面 A 1CE 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，⎧⎪ n ⋅ A 1C = 0, 由 ⎪⎧ 3y - 得z = 0, ⎧⎪ y - z = 0, 即⎨ ⎨⎨⎪⎩n ⋅ A 1E = 0⎪⎩-x - z = 0. ⎪⎩x + z = 0.取 z = 1，得 n = (- ,1,1) ．设直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角为，则 sin = cos 〈 A 1B , n 〉 = = = ．5所以直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角的正弦值为． …………………9 分 5（Ⅲ）假设在侧棱 A 1C 上存在点 P ，使得 BP // 平面 A 1OF ．设 A 1P = A 1C ，∈[0,1]．因为 BP = BA 1 + A 1P = BA 1 + A 1C ，所以 BP = (-1，0，3) + (0，3，-) = (-1, 3, 3 - 3) ．易证四边形 BCDE 为菱形，且 CE ⊥ BD ， 又由（Ⅰ）可知， A 1O ⊥ CE ，所以 CE ⊥ 平面 A 1OF ．所以 CE = (-1, - , 0) 为平面 A 1OF 的一个法向量．由 BP ⋅ C E = (-1, 3, 3 -3) ⋅ (-1, - , 0) = 1- 3= 0 ，得= 1∈[0,1]． 3所以侧棱 A 1C 上存在点 P ，使得 BP // 平面 A 1OF ，且A 1P A 1C = 1 ． …………14 分318．（本小题满分 13 分）3 3 33 33⎨解：（Ⅰ）当 a = 3 时,f '(x ) = -x + 4 - 2xf (x ) = - 1 x 2+ 4x - 2 ln x ， x > 0 ． 2．则 f '(1) = -1+ 4 - 2 = 1 ，而 f (1) = - 1 + 4 = 7．2 2所以曲线 C 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y - 7= x -1，即2x - 2 y + 5 = 0 ． 2…………………………………………………………………………4 分⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, （Ⅱ）依题意当 x ∈[1, 2]时，曲线 C 上的点 ( x , y ) 都在不等式组 ⎪⎪x ≤ y , 所表示的平面区域内， ⎪ y ≤ x + 3等价于当1 ≤ x ≤ 2 时，x ≤⎩ 2 f (x ) ≤ x + 3恒成立． 2 设g (x ) = f (x ) - x = - 1x 2 + ax +（1- a ) ln x ， x ∈[1, 2]． 2所以 g '(x )=x +a+ 1a -x 2+ ax + (1- a )= = -(x -1)(x - (a -1)) ．x x x（1）当 a -1 ≤ 1，即 a ≤ 2 时，当 x ∈[1, 2]时， g '(x ) ≤ 0 ， g (x ) 为单调减函数，所以 g (2) ≤ g (x ) ≤ g (1) ． 依题意应有g (1) a13, 2 2g (2) 2 2a(1 a )ln2 0,a 2, 解得a 1.所以1 ≤ a ≤ 2 ．（2）若 1 < a -1 < 2 ，即 2 < a < 3 时，当 x ∈[1, a -1)， g '(x ) ≥ 0 ， g (x ) 为单调增函数，当 x ∈ (a -1, 2]， g '(x ) < 0 ， g (x ) 为单调减函数． 3 由于 g (1) > ，所以不合题意．2（3）当 a -1 ≥ 2 ，即 a ≥ 3 时，注意到 g (1) = a - 1 ≥ 5，显然不合题意．2 2综上所述，1 ≤ a ≤ 2 ．…………………………………………13 分19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）依题意可知 a = ， c = = 1，2 2 -12 1 2 2 x 0 y 0 x 0 y 02 2 x 0 y 02 x 0 y 02 22222所以椭圆 C 离心率为 e = 12 =． …………… 3 分2（Ⅱ）因为直线 l 与 x 轴， y 轴分别相交于 A , B 两点，所以 x 0 ≠ 0, y 0 ≠ 0 ．令 y = 0 ，由x 0 x+ y y = 1得 x =2 2 ，则 A ( , 0) ．2x 0 x 0令 x = 0 ，由x 0 x+ y y = 1得 y = 1 ，则 B (0, 1) ． 2 y 0 y 0所以 ∆OAB 的面积 S∆OAB= 1 OA OB = = 1 ． 2x 2x 0 2因为点 P (x 0 , y 0 ) 在椭圆 C :+ y 2= 1上，所以 2 + y 0 = 1 ．x 2x y 1 所以1 = 0 + y 2≥ 2 0 0 ．即 x y ≤ ，则 ≥ ．2 0 0 0 2所以 S ∆OAB = 1OA OB = 1≥ ． 2 x 2 当且仅当 0 = y 2 ，即 x= ±1, y = ± 时，∆OAB 面积的最小值为 ． … 9 分20 0 02（Ⅲ）①当 x 0 = 0 时， P (0, ±1) ．当直线 l : y = 1时，易得 Q (-1, 2) ，此时 k F P = -1 ， k F Q = -1．22因为 k F Q = k F P，所以三点 Q , P , F 2 共线． 同理，当直线 l : y = -1时，三点 Q , P , F 2 共线．②当 x 0 ≠ 0 时，设点 Q (m , n ) ，因为点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称，⎧ x 0 ⋅ m -1 + y ⋅ n = 1, ⎪ 2 2 0 2 ⎪所以 ⎪ n 0 ⎧x 0m + 2 y 0n - x 0 - 4 = 0, 整理得 ⎨ - ⎪ 2 ⋅ (- ⎪ m -1 +1 x 0 2 y 0) = -1. ⎨ ⎩ 2 y 0m - x 0n + 2 y 0 = 0. ⎩⎪ 22⎨0 00 0 00 n ⎧ x 2 + 4x - 4 y 2⎪m = 0 0 0 , 解得 ⎪⎪ ⎪⎩4 y 2 + x 2 n = 4x 0 y 0 + 8 y 0 . 4 y 2 + x 2x 2 + 4x - 4 y 2 4x y + 8 y所以点 Q ( 0 00 , 0 0 0 ) ．4 y 2 + x 2 4 y 2 + x 2 0x 2 + 4x - 4 y 24x y + 8 y 0 0 0 0 0 0又因为 F 2 P = (x 0 -1, y 0 ) ， F 2Q = ( 4 y 2 + x 2 -1, 4 y 2 + x 2 ) ， 且( 0 0 0 -1) ⋅ y - 0 0 0 ⋅ (x -1) = y ⋅ 0 0 0 04x - 8 y 2 - (4x 2 + 4x - 8)= y 0 ⋅4 y 2 + x2-8 y 2 - 4x 2+ 8 = y ⋅0 0 = y -4(2 y 2 + x 2 ) + 8 ⋅ 0 0 = y ⋅ -4 ⨯ 2 + 8 = 0 ． 0 4 y 2 + x 2 0 4 y 2 + x 2 0 4 y 2 + x 2所以 F 2 P // F 2Q ．所以点 Q , P , F 2 三点共线．综上所述，点 Q , P , F 2 三点共线．…………………………………14 分20．（本小题满分 13 分）证明：（Ⅰ）当 n = 2 时， S = {1, 2, 3, 4} ，令 S 1 = {1, 4} ， S 2 = {2, 3},则 S = S 1 S 2 , 且对 ∀x , y ∈ S i (i = 1, 2), x > y ，都有 x - y ∉ S i ，所以 S 具有性质 P ．相应的 P 子集为 S 1 = {1, 4} ， S 2 = {2, 3}．………… 3 分（Ⅱ）①若 x , y ∈T (1 ≤ y < x ≤ 3n -1) ,由已知 x - y ∉T , 23n -1又 x - y ≤ -1 < 3n ,所以 x - y ∉T ' ．所以 x - y ∉T T' ． 23n -1②若 x , y ∈T ' ,可设 x = s + 3n, y = r + 3n， r , s ∈T ,且1 ≤ r < s ≤ ，2此时 x - y = (s + 3n) - (r + 3n) = s - r ≤ 3-1 -1 < 3n ．2x 2 + 4x - 4 y 2 4x y + 8 y (4x - 8 y 2) - (4x + 8)(x -1) 4 y 2 + x 20 0 0 4 y 2 + x 20 0 0 0 4 y 2 + x 2 0 0i i ) 所以 x - y ∉T '，且 x - y = s - r ∉T ．所以 x - y ∉T T ' ．③若 y ∈T , x = s + 3n∈T ' , s ∈T ，n n n则 x - y = (s + 3n) - y = (s - y ) + 3n≥ (1- 3 -1 + 3n = 3 + 3 > 3 -1 ,2 2 2所以 x - y ∉T ．又因为 y ∈T , s ∈T ，所以 s - y ∉T ．所以 x - y = (s + 3n) - y = (s - y ) + 3n∉T ' ．所以 x - y ∉T T ' ．综上，对于 ∀x , y ∈T T ' ， x > y ，都有 x - y ∉T T ' ． …………… 8 分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当 n = 2 时，命题成立，即集合 S 具有性质 P ．3k -1（2）假设 n = k ( k ≥ 2 )时，命题成立．即 S = {1, 2, 3, , } = S 1 S 2 S k ，2且 S i S j = ∅ (1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j ) ， ∀x , y ∈ S i (i = 1, 2, , k ), x > y ，都有 x - y ∉ S i ．那么 当 n = k +1 时，记 S ' = {s + 3k| s ∈ S } ,，并构造如下 k + 1个集合： S 1'' = S 1 S 1' , S 2'' = S 2 S 2' , , S k'' = S k S k ' ，3k -1 3k -1 3k -1S k ''+1 = { 2 +1, 2 + 2, , 2 ⨯ 2+1} ，显然 S i '' S 'j ' = ∅ (i ≠ j) ．3k +1 -1 3k -1 3k +1 -1 又因为 = 3⨯ +1，所以 S 1'' S 2'' S k '' S k ''+1 = {1, 2, 3, , } ．2 2 2下面证明 S '' 中任意两个元素之差不等于 S '' 中的任一元素 (i = 1, 2, , k +1) ．ii3k -1 3k -1 3k -1①若两个元素 2 + r , 2 + s ∈ S k''+1 ,1 ≤ r < s ≤ +1 , 2kkk则 (3 -1 + s ) - (3 -1 + r ) = s - r ≤ 3 -1,2 2 23k -1 3k -1所以 ( 2 + s ) - ( 2+ r ) ∉ S k ''+1 ．②若两个元素都属于S i'' = S i S i' (1 ≤ i ≤ k ),由（Ⅱ）可知，S i'' 中任意两个元素之差不等于S i'' 中的任一数(i = 1, 2, , k +1) ．从而，n = k +1 时命题成立．综上所述，对任意正整数n ≥ 2 ，集合S 具有性质P ．………………………13分。