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1.3 探索三角形全等的条件◆三角形的稳定性：三角形具有稳定性.◆全等三角形的概念：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）◆全等三角形的表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。
【注】找对应角对应边的方法：①图形特征法；②字母顺序确定法◆全等三角形的概念：①对应边、对应角相等②周长、面积相等③对应边上的中线、角平分线、高相等【注】①平移、翻折、旋转都是全等变换；②缩放不是全等变换◆全等三角形的判定定理：①SSS②SAS③ASA④AAS⑤HL 斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL ）．题型一 三角形具有稳定性1.（2023秋•五莲县期中）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )A．两点之间线段最短B．矩形的对称性C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．【解答】解：工人盖房时常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形这种做法的根据是三角形的稳定性，故选：D．2.（2023秋•梁山县期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是( )A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【分析】根据三角形的稳定性解答即可．【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．3.（2023秋•岚山区期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的( )A．全等性B．对称性C．稳定性D．美观性【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案．【解答】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性．故选：C．4.（2024春•青州市校级月考）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．故选：A．5.（2024•沂源县二模）杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 ．【分析】杜师傅这样做是为了构成三角形，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性来解决问题．【解答】解：杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做就构成了三角形，利用的数学原理是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．题型二利用全等三角形的性质求度数Ð的度数为( )1.（2024•张店区二模）如图所示的两个三角形全等，则EA ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【分析】根据题意和图形，可知E Ð是边DF n =的对角，由第一个三角形可以得到E B Ð=Ð的度数，本题得以解决．【解答】解：Q 图中的两个三角形全等，180456570E B \Ð=Ð=°-°-°=°，故选：B ．2.（2024春•长清区期中）如图，ABC BAD D @D ，如果35CAB Ð=°，30CBD Ð=°，那么DAB Ð度数是( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．85°【分析】先根据全等三角形的性质得到35DBA CAB Ð=Ð=°，DAB CBA Ð=Ð，然后计算出65CBA Ð=°，从而得到DAB Ð的度数．【解答】解：ABC BAD D @D Q ，35DBA CAB \Ð=Ð=°，DAB CBA Ð=Ð，353065CBA DAB CBD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，DAB \Ð的度数是65°．故选：B ．3.（2023秋•定陶区期末）如图，已知ABC DBE D @D ，点D 恰好在AC 的延长线上，20DBE Ð=°，41BDE Ð=°．则BCD Ð的度数是( )A ．60°B ．62°C ．61°D ．63°【分析】由全等三角形的对应角相等，得到20ABC DBE Ð=Ð=°，41A BDE Ð=Ð=°，由三角形外角的性质等到61BCD A ABC Ð=Ð+Ð=°．【解答】解：ABC DBE @D Q ，20ABC DBE \Ð=Ð=°，41A BDE Ð=Ð=°，61BCD A ABC \Ð=Ð+Ð=°．故选：C ．4.（2023秋•金乡县期末）已知图中的两个三角形全等，则1Ð等于( )A ．50°B ．58°C ．60°D ．72°【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出50A D Ð=Ð=°，72F C Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：ABC D Q 和DEF D 全等，AC DF b ==，DE AB a ==，1B \Ð=Ð，50A D Ð=Ð=°，72F C Ð=Ð=°，118058D F \Ð=°-Ð-Ð=°，故选：B ．5.（2023秋•嘉祥县期末）如图，ABC DBE D @D ，45C Ð=°，35D Ð=°，40ABD Ð=°，则ABE Ð的度数是( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【分析】根据题意求出100EBD Ð=°，利用角之间的关系计算即可．【解答】解：ABC DBE D @D Q ，45E C \Ð=Ð=°，Q，35Ð=°D\Ð=°-Ð-Ð=°，EBD D E180100Q，Ð=°ABD40\Ð=Ð-Ð=°，ABE DBE ABD60故选：A．Ð+Ð+Ð= )6.（2023秋•海阳市期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则123(A．160°B．180°C．200°D．240°Ð=Ð，56【分析】由全等三角形的性质得到4DÐ=Ð，由三角形内角和定理得到6180Ð+Ð+Ð=°，D BCD因此45180Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°，即可求出BCD Ð+Ð+Ð=°，由三角形外角的性质推出14352360BCDÐ+Ð+Ð=°．123180Ð=Ð，56【解答】解：由全等三角形的性质得到4DÐ=Ð，Q，Ð+Ð+Ð=°D BCD6180BCD\Ð+Ð+Ð=°，45180Q，Ð+Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°BCD14352360\Ð+Ð+Ð=°．123180故选：B．7.（2023秋•费县期末）如图，ABC DECÐ=°，则ACDÐ的度数为( )BD@D，点E在线段AB上，75A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【分析】由全等三角形的性质可得ACB DCE Ð=Ð，BC EC =，可求得BCE ACD Ð=Ð，75BEC B Ð=Ð=°，由三角形的内角和可求得30BCE Ð=°，从而得解．【解答】解：ABC DEC D @D Q ，ACB DCE \Ð=Ð，BC EC =，ACB ACE DCE ACE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BCE ACD Ð=Ð，75BEC B Ð=Ð=°，18030BCE B BEC \Ð=°-Ð-Ð=°，30ACD \Ð=°．故选：C ．8.（2023秋•成武县期末）如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，125Ð=°，230Ð=°，则3Ð= ．【分析】求出BAD EAC Ð=Ð，证BAD CAE D @D ，推出230ABD Ð=Ð=°，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：BAC DAE Ð=ÐQ ，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，1EAC \Ð=Ð，在BAD D 和CAE D 中，AB AC BAD CAEAD AE =ìïÐ=Ðíï=î()BAD CAE SAS \D @D ，230ABD \Ð=Ð=°，125Ð=°Q ，31253055ABD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，故答案为：55°．题型三 利用全等三角形的性质求长度1.（2024春•济南期中）如图，点B 、C 、D 在同一直线上，若ABC CDE D @D ，4DE =，13BD =，则AB 等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10【分析】由全等三角形的性质推出AB CD =，4BC DE ==，求出1349CD BD BC =-=-=，即可得到AB 的长．【解答】解：ABC CDE D @D Q ，AB CD \=，4BC DE ==，13BD =Q ，1349CD BD BC \=-=-=，9AB CD \==．故选：C ．2.（2023秋•夏津县期末）如图，点B 、C 、D 在同一直线上，若ABC CDE D @D ，9AB =，13BD =，则DE 等于( )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【分析】根据全等三角形的性质可得BC DE =，9CD AB ==，然后由BC BD CD =-求出BC 的值，即可获得答案．【解答】解：ABC CDE D @D Q ，9AB =，13BD =，BC DE \=，9CD AB ==，Q 点B 、C 、D 在同一直线上，1394BC BD CD \=-=-=，4DE BC \==．故选：C ．3.（2023秋•宁津县期末）如图，ACE DBF D @D ，8AD =，2BC =，则(AC = )A ．2B ．8C ．5D ．3【分析】根据全等三角形的对应边相等可得AC DB =，再求出1()32AB CD AD BC ==-=，那么AC AB BC =+，代入数值计算即可得解．【解答】解：ACE DBF D @D Q ，AC DB \=，AC BC DB BC \-=-，即AB CD =，8AD =Q ，2BC =，11()(82)322AB AD BC \=-=´-=，325AC AB BC \=+=+=．故选：C ．4.（2023秋•长汀县期中）如图，ABC DEC D @D ，B 、C 、D 在同一直线上，且5CE =，7AC =，则BD 长( )A．12B．7C．2D．14【分析】由全等三角形的性质得到7=+即可得解．==，再根据BD DC CBCB CE==，5AC DC【解答】解：ABC DECD@DQ，\=，CB CE=，AC DCAC=，Q，7CE=5DC=，\=，7CB5\=+=+=．BD DC CB7512故选：A．5.如图，ABC DCBBE=，则DE的长为( )AC=，5D@D，若7A．2B．3C．4D．5【分析】根据全等三角形的对应边相等推知7==，然后根据线段的和差即可得到结论．BD AC【解答】解：ABC DCBD@DQ，\==，7BD ACQ，BE=5\=-=，DE BD BE2故选：A．6.（2023秋•定陶区校级月考）如图，EFG NMHD@D，E，H，G，N在同一条直线上，EF和NM，=，则线段HG的长为( )FG和MH是对应边，若 1.1NH cm=， 3.3EH cmA．1.1cm B．2.2cm C．3.3cm D．4.4cm【分析】由全等三角形的对应边相等得到 3.3EG NH cm ==，而 1.1EH cm =，即可求出HG 的值．【解答】解：EFG NMH D @D Q ，3.3EG NH cm \==，1.1EH cm =Q ，2.2HG EG EH cm \=-=．故选：B ．题型四 判定三角形全等1.（2023秋•邹平市期末）如图，AB AC =，若要使ABE ACD D @D ，则添加的一个条件不能是( )A ．BC Ð=ÐB ．BE CD =C ．BD CE =D ．ADC AEBÐ=Ð【分析】已知条件AB AC =，还有公共角A Ð，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．【解答】解：A 、添加B C Ð=Ð可利用ASA 定理判定ABE ACD D @D ，故此选项不合题意；B 、添加BE CD =不能判定ABE ACD D @D ，故此选项符合题意；C 、添加BD CE =可得AD AE =，可利用利用SAS 定理判定ABE ACD D @D ，故此选项不合题意；D 、添加ADC AEB Ð=Ð可利用AAS 定理判定ABE ACD D @D ，故此选项不合题意；故选：B ．2.（2023秋•任城区期末）如图，在ABC D 和DEC D 中，已知AB DE =，B E Ð=Ð，添加一个条件，不能判定ABC DEC D @D 的是( )A ．ECB DCA Ð=ÐB ．BC EC =C ．AD Ð=ÐD ．AC DC=【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：AB DE =Q ，B E Ð=Ð，\当添加ECB DCA Ð=Ð，则ACB DCE Ð=Ð，则可根据“AAS ”判断ABC DEC D @D ；当添加BC EC =，则可根据“SAS ”判断ABC DEC D @D ；当添加A D Ð=Ð，则可根据“ASA ”判断ABC DEC D @D ．故选：D ．3.（2024春•市中区校级期中）如图，已知12Ð=Ð，要说明ABD ACD D @D ，还需从下列条件中选一个，错误的选法是( )A ．ADB ADC Ð=ÐB ．B C Ð=ÐC ．DB DC =D ．AB AC=【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C 、AB AC =与12Ð=Ð、AD AD =组成了SSA 是不能由此判定三角形全等的．【解答】解：A 、加ADB ADC Ð=Ð，12Ð=ÐQ ，AD AD =，ADB ADC Ð=Ð，()ABD ACD ASA \D @D ，是正确选法；B 、加12BC Ð=ÐÐ=ÐQ ，AD AD =，B C Ð=Ð，()ABD ACD AAS \D @D ，是正确选法；C 、加DB DC =，满足SSA ，不能得出ABD ACD D @D ，是错误选法；D 、加AB AC =，12Ð=ÐQ ，AD AD =，AB AC =，()ABD ACD SAS \D @D ，是正确选法．故选：C ．4.（2024春•天桥区期中）如图：OB OD =，添加下列条件( )不能保证AOB COD D @D ．A ．OA OC =B ．AB CD =C ．A C Ð=ÐD ．B DÐ=Ð【分析】由全等三角形的判定，即可判断．【解答】解：A 、OA OC =，又AOB COD Ð=Ð，OB OD =，由SAS 判定AOB COD D @D ，故A 不符合题意；B 、AB CD =，AOB Ð，COD Ð分别是AB 和CD 的对角，不能判定AOB COD D @D ，故B 符合题意；C 、A C Ð=Ð，又AOB COD Ð=Ð，OB OD =，由AAS 判定AOB COD D @D ，故C 不符合题意；D 、B D Ð=Ð，OB OD =，AOB COD Ð=Ð，由ASA 判定AOB COD D @D ，故D 不符合题意．故选：B ．5.（2023秋•无棣县期末）如图，点E ，F 在BC 上，BE CF =，BED AFC Ð=Ð，添加一个条件，不能完全证明ABF DCE D @D 的是( )A ．BC Ð=ÐB ．AD Ð=ÐC ．AF DE =D ．AB DC=【分析】先根据BED AFC Ð=Ð得出DEC AFB Ð=Ð，再根据全等三角形的判定定理解答即可．【解答】解：BED AFC Ð=ÐQ ，DEC AFB \Ð=Ð，BE CF =Q ，BE EF CF EF \+=+，即BF CE =，当B C Ð=Ð时，符合ASA 定理，可以判定ABF DCE D @D ，故A 不符合题意；当A D Ð=Ð时，符合AAS 定理，可以判定ABF DCE D @D ，故B 不符合题意；当AF DE =时，符合SAS 定理，可以判定ABF DCE D @D ，故C 不符合题意；当AB DC =时，不符合判定三角形全等的定理，不能判定ABF DCE D @D ，故D 符合题意．故选：D ．6.（2023秋•滨城区期末）如图，若AB AC =，则添加下列一个条件后，仍无法判定ABE ACD D @D 的是( )A ．BC Ð=ÐB ．AE AD =C ．BE CD =D ．AEB ADCÐ=Ð【分析】根据ASA 即可判断A ；根据SAS 即可判断B ；根据SSA 两三角形不一定全等即可判断C ；根据AAS 即可判断D ．【解答】解：A 、根据(ASA A A Ð=Ð，C B Ð=Ð，)AB AC =能推出ABE ACD D @D ，正确，故本选项错误；B 、根据(SAS A A Ð=Ð，AB AC =，)AE AD =能推出ABE ACD D @D ，正确，故本选项错误；C 、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；D 、根据(AAS A A Ð=Ð，AB AC =，)AEB ADC Ð=Ð能推出ABE ACD D @D ，正确，故本选项错误；故选：C ．7.（2023秋•曲阜市期末）如图，AB 平分DAC Ð，增加下列一个条件，不能判定ABC ABD D @D 的是( )A ．CBA DBA Ð=ÐB ．BC BD =C ．AC AD =D ．C DÐ=Ð【分析】根据角平分线的定义得出CAB DAB Ð=Ð，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：AB Q 平分DAC Ð，CAB DAB \Ð=Ð，A ．CAB DAB Ð=Ð，AB AB =，CBA DBA Ð=Ð，符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出ABC ABD D @D ，故本选项不符合题意；B ．CAB DAB Ð=Ð，AB AB =，BC BD =，不符合全等三角形的判定定理，不能推出ABC ABD D @D ，故本选项符合题意；C ．AC AD =，CAB DAB Ð=Ð，AB AB =，符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出ABC ABD D @D ，故本选项不符合题意；D ．C D Ð=Ð，CAB DAB Ð=Ð，AB AB =，符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出ABC ABD D @D ，故本选项不符合题意；故选：B ．题型五 全等三角形的综合题1.（2023秋•临沭县期末）如图，在ABC D 中，AB AC =，40B Ð=°，D 为线段BC 上一动点（不与点B 、点C 重合），连接AD ，作40ADE Ð=°，DE 交线段AC 于点E ．以下四个结论：①CDE BAD Ð=Ð；②当D 为BC 中点时，DE AC ^；③若AD DE =，则BD CE =；④当ADE D 为等腰三角形时，30EDC Ð=°．其中正确的结论有 .（填写正确结论的序号）【分析】①由三角形外角的性质可得出结论；②由等腰三角形的性质可得出结论；③证明()ABD DCE AAS D @D ，得出AB DC =；④由等腰三角形的性质可得出结论．【解答】解：①ADC B BAD Ð=Ð+ÐQ ，40B ADE Ð=Ð=°，BAD CDE \Ð=Ð，故①正确；②D Q 为BC 中点，AB AC =，AD BC \^，90ADC \Ð=°，40ADE Ð=°Q ，50CDE \Ð=°，40C Ð=°Q ，90DEC \Ð=°，DE CE \^；③AB AC =Q ，40B C \Ð=Ð=°，由①知：DEC BDA Ð=Ð，AD DE =Q ，()ABD DCE AAS \D @D ，AB DC \=，故③正确；④40C Ð=°Q ，40AED \Ð>°，ADE AED \йÐ，ADE D Q 为等腰三角形，AE DE \=或AD DE =，当AE DE =时，40DAE ADE Ð=Ð=°，1804040100BAC Ð=°-°-°=°Q ，60BAD CDE \Ð=Ð=°，当AD DE =时，70DAE DEA Ð=Ð=°，30BAD CDE \Ð=Ð=°，故④不正确．故答案为：①②③．2.（2023秋•高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，BD 是高，E 是ABC D 外一点，BE BA =，E C Ð=Ð，若25DE BD =，16AD =，20BD =，求BDE D 的面积．同学们可以先思考一下¼，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD 上截取BF DE =，（如图2)．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得BDE D 的面积为 ．【分析】由ABF BDE D @D ，求出BF ，DF 的长，再由面积公式求得即可．【解答】解：如图所示，连接AF ，18090ABD BDA BAD BAD Ð=°-Ð-Ð=°-Ð，18090C ABC BAD BAD Ð=°-Ð-Ð=°-Ð，ABD C Ð=ÐQ ，E C Ð=ÐQ ，ABD E Ð=ÐQ ，在ABF D 与BED D 中，AB BE ABF BED BF DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF BED SAS \D @D ，ABF BDE S S D D \=，Q 11201616022ABD S BD AD D =×=´´=，22085BF =´=Q ，20812DF BD BF \=-=-=，1112169622AFD S AD DF D \=´×=´´=，ABF ABD AFD S S S D D D =-Q ，1609664BDE ABF S S D D \==-=．故答案为：64．3.（2024春•即墨区期中）如图，点B 、E 在AF 上，已知ABC FED D @D ，A Ð和F Ð是对应角，CB 和DE 是对应边．（1）再写出其他的一组对应边和一组对应角；（2）判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由；（3）若8AF =，2BE =，求AB的长．【分析】（1）根据全等三角形的性质求解即可；（2）根据全等三角形的性质得到A F Ð=Ð，即可判定//AC DF ；（3）根据全等三角形的对应边相等得到AB FE =，进而得出AE BF =，根据线段的和差求解即可．【解答】解：（1）ABC FED D @D Q ，ABC \Ð和DEF Ð是对应角，C Ð和D Ð是对应角，AC 和FD 是对应边，AB 和EF 是对应边；（答案不唯一）（2）//AC DF ．理由：因为ABC FED D @D ，所以A F Ð=Ð，所以//AC DF ．（3）因为ABC FED D @D ，所以AB FE =，所以AB BE FE BE -==，即AE BF =．因为8AF =，2BE =，所以6AE BF AF BE +=-=，所以3AE =，所以5AB AE BE =+=．4.（2024春•乳山市期末）如图，在ABC D 中，AC AB =，AD BC ^，过点C 作//CE AB ，50BCE Ð=°，连接ED 并延长ED 交AB 于点F ．（1）求CAD Ð；（2）证明：CDE BDF D @D ；（3）求证：AC AF CE =+．【分析】（1）根据平行线的性质得到50B BCE Ð=Ð=°，根据等腰三角形的性质得到50ACD B Ð=Ð=°，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到CD BD =，根据平行线的性质得到E EFB Ð=Ð，ECD B Ð=Ð，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（3）根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：//CE AB Q ，50BCE Ð=°，50B BCE \Ð=Ð=°，AC AB =Q ，50ACD B \Ð=Ð=°，AD BC ^Q ，90ADC \Ð=°，905040CAD \Ð=°-°=°；（2）证明：AB AC =Q ，AD BC ^，CD BD \=，//CE AB Q ，E EFB \Ð=Ð，ECD B Ð=Ð，在CDE D 与BDF D 中，E DFBECD B CD BDÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()CDE BDF AAS \D @D ；（3）证明：CDE BDF D @D Q ，CE BF \=，AC AB AF BF ==+Q ，AC AF CE \=+．5.（2024•高青县校级一模）如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB CB =，BE BD =，12Ð=Ð．（1）求证：ABE CBD D @D ；（2）证明：13Ð=Ð．【分析】（1）根据等式的性质得ABE CBD Ð=Ð，再利用SAS 即可证明结论成立；（2）根据全等三角形的对应角相等得A C Ð=Ð，对顶角相等得AFB CFE Ð=Ð，利用三角形内角和定理可得结论．【解答】证明：（1）12Ð=ÐQ ．ABE CBD \Ð=Ð，在ABE D 和CBD D 中，AB CB ABE CBD BE BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE CBD SAS \D @D ；（2）由第一小问得ABE CBD D @D ，A C \Ð=Ð，AFB CFE Ð=ÐQ ，13\Ð=Ð．6.（2024春•郓城县期中）如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，若BD CD =、BE CF =，（1）求证：AD 平分BAC Ð；（2）已知20AC =，4BE =，求AB 的长．【分析】（1）求出90E DFC Ð=Ð=°，根据全等三角形的判定定理得出Rt BED Rt CFD D @D ，推出DE DF =，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AE AF =，BE CF =，即可求出答案．【解答】（1）证明：DE AB ^Q ，DF AC ^，90E DFC \Ð=Ð=°，\在Rt BED D 和Rt CFD D 中，BD CDBE CF =ìí=î，Rt BED Rt CFD(HL)\D @D ，DE DF \=，DE AB ^Q ，DF AC ^，AD \平分BAC Ð；（2）解：90AED AFD Ð=Ð=°Q ，AD AD =，DE DF =，Rt ADE Rt ADF(HL)\D @D AE AF \=，20AC =Q ，4CF BE ==，20416AE AF \==-=，16412AB AE BE \=-=-=．7.（2024•高青县校级模拟）如图，90BAD CAE Ð=Ð=°，AB AD =，AE AC =，AF CB ^，垂足为F ．（1）求证：ABC ADE D @D ；（2）求FAE Ð的度数；（3）求证：2CD BF DE =+．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出ABC ADE D @D 的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到FAE Ð的度数；（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．【解答】证明：（1）90BAD CAE Ð=Ð=°Q ，90BAC CAD \Ð+Ð=°，90CAD DAE Ð+Ð=°，BAC DAE \Ð=Ð，在BAC D 和DAE D 中，AB AD BAC DAE AC AE =ìïÐ=Ðíï=î，()BAC DAE SAS \D @D ；（2）90CAE Ð=°Q ，AC AE =，45E \Ð=°，由（1）知BAC DAE D @D ，45BCA E \Ð=Ð=°，AF BC ^Q ，90CFA \Ð=°，45CAF \Ð=°，4590135FAE FAC CAE \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（3）延长BF 到G ，使得FG FB =，AF BG ^Q ，90AFG AFB \Ð=Ð=°，在AFB D 和AFG D 中，BF GF AFB AFG AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，()AFB AFG SAS \D @D ，AB AG \=，ABF G Ð=Ð，BAC DAE D @D Q ，AB AD \=，CBA EDA Ð=Ð，CB ED =，AG AD \=，ABF CDA Ð=Ð，G CDA \Ð=Ð，45GCA DCA Ð=Ð=°Q ，在CGA D 和CDA D 中，GCA DCA CGA CDA AG ADÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()CGA CDA AAS \D @D ，CG CD \=，22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+Q ，2CD BF DE \=+．8.（2023秋•潍城区期末）如图，ABC D 是等腰三角形，AB AC =，点D 在边BC 上运动（与B ，C 不重合），点E 、F 分别在边AB ，AC 上，且始终有DB DE =，DC DF =，连接BF ，CE ，设BF 与CE 交于点G ．（1）求证：BF CE =；（2）若50BAC Ð=°，随着点D 的运动，EGF Ð的大小是否为定值？如果是定值，请求出EGF Ð的度数；如果不是定值，请说明理由．【分析】（1）设ABC a Ð=，根据等腰三角形得ABC ACB a Ð=Ð=，再根据DB DE =，DC DF =，得DEB ABC a Ð=Ð=，DFC ACB a Ð=Ð=，进而得1802BDE a Ð=°-，1802CDF a Ð=°-，则BDE CDF Ð=Ð，由此可得BDF EDC Ð=Ð，进而可依据“SAS ”判定BDF D 和EDC D 全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论；（2）设DBF b Ð=，DCE q Ð=，由（1）可知BDF EDC D @D ，根据全等三角形的性质得DEC DBF b Ð=Ð=，DFB DCE q Ð=Ð=，再由AB AC =，50BAC Ð=°，得65ABC ACB a Ð=Ð==°，进而得180250BDE a Ð=°-=°，180250CDF a Ð=°-=°，80EDF Ð=°，则130BDF Ð=°，由此可得50b q +=°，然后由三角形的外角定理得65AEC q Ð=°+，65AFB b Ð=°+，则130180AEC AFB b q Ð+Ð=°++=°，最后在四边形AEGF 中，利用四边形的内角和等于180°可求出EGF Ð的度数．【解答】（1）证明：设ABC a Ð=，AB AC =Q ，ABC ACB a \Ð=Ð=，DB DE =Q ，DC DF =，DEB ABC a \Ð=Ð=，DFC ACB a Ð=Ð=，180()1802BDE DEB ABC a \Ð=°-Ð+Ð=°-，180()1802CDF DFC ACB a Ð=°-Ð+Ð=°-，BDE CDF \Ð=Ð，BDE EDF CDF EDF \Ð+Ð=Ð+Ð，即BDF EDC Ð=Ð，在BDF D 和EDC D 中，DB DE BDF EDC DC DF =ìïÐ=Ðíï=î，()BDF EDC SAS \D @D ，BF CE \=；（2）若50BAC Ð=°，随着点D 的运动，EGF Ð的大小为定值．设DBF b Ð=，DCE q Ð=，由（1）可知：BDF EDC D @D ，DEC DBF b \Ð=Ð=，DFB DCE q Ð=Ð=，AB AC =Q ，50BAC Ð=°，11(180)(18050)6522ABC ACB BAC \Ð=Ð=°-Ð=°-°=°，即65ABC ACB a Ð=Ð==°，由（1）可知：180250BDE a Ð=°-=°，180250CDF a Ð=°-=°，180180505080EDF BDE CDF \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，5080130BDF BDE EDF \Ð=Ð+Ð=°+°=°，180********DBF DFB BDF \Ð+Ð=°-Ð=°-°=°，即50b q +=°，65AEC ABC DCE q Ð=Ð+Ð=°+Q ，65AFB ACB DBF b Ð=Ð+Ð=°+，6565130180AEC AFB q b b q \Ð+Ð=°++°+=°++=°，在四边形AEGF 中，360AEC AFB BAC EGF Ð+Ð+Ð+Ð=°，18050360EGF \°+°+Ð=°，130EGF \Ð=°．即随着点D 的运动，130EGF Ð=°为定值．题型六 全等三角形的动点问题1.（2024春•垦利区期末）如图，AE 与BD 相交于点C ，AC EC =，BC DC =，6AB cm =，点P 从点A出发，沿A B A ®®方向以3/cm s 的速度运动，点Q 从点D 出发，沿D E ®方向以1/cm s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发．当点P 到达点A 时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t s ．（1）求证：//AB DE ；（2）连接PQ ，当线段PQ 经过点C 时，求t 的值．【分析】（1）由SAS 证明()ABC EDC SAS D @D ，得A E Ð=Ð，即可得出结论；（2）先证()ACP ECQ ASA D @D ，得AP EQ =，再分两种情况：当02t ……时，36t t =-；当24t <…时，1236t t -=-，分别解出t 即可．【解答】（1）证明：在ABC D 和EDC D 中，AC EC ACB ECD BC DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ABC EDC SAS \D @D ，A E \Ð=Ð，//AB DE \；（2）由（1）得：A E Ð=Ð，6ED AB cm ==，在ACP D 和ECQ D 中，A E AC CEACP ECQ Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ACP ECQ ASA \D @D ，AP EQ \=，当02t ……时，36t t =-，解得： 1.5t =；当24t <…时，1236t t -=-，解得：3t =；综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为1.5s 或3s．2.（2023秋•铁锋区期末）综合与实践：已知：如图，在ABC D 中，12AB AC ==厘米，9BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，运动的时间t 秒．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1t =时，BPD D 与CQP D 是否全等 （填“是”或“否)；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当BPD D 与CQP D 全等时，请直接写出点Q 的运动速度为 ．（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC D 三边运动，则经过多长时间，点P 与点Q 第一次在ABC D 的哪条边上相遇？此时相遇点距离B 点的路程是多少？【分析】（1）①先求得3BP CQ ==厘米，6PC BD ==厘米，然后根据等边对等角求得B C Ð=Ð，最后根据SAS 即可证明；②因为P Q V V ¹，所以BP CQ ¹，又B C Ð=Ð，要使BPD D 与CQP D 全等，只能 4.5BP CP ==厘米，根据全等得出6CQ BD ==厘米，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ 的长即可求得Q 的运动速度；（2）因为Q P V V >，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB AC +的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【解答】解：（1）①1t =Q ，3BP CQ \==厘米，12AB =Q 厘米，D 为AB 中点，6BD \=厘米，又936PC BC BP =-=-=Q （厘米），PC BD \=，AB AC =Q ，B C \Ð=Ð，在BPD D 与CQP D 中，BP CQ B C BD PC =ìïÐ=Ðíï=î，()BPD CQP SAS \D @D ；故答案为：是；②P Q V V ¹Q ，BP CQ \¹，又B C Ð=ÐQ ，要使BPD CPQ D @D ，只能 4.5BP CP ==厘米，BPD CPQ D @D Q ，6CQ BD \==厘米．\点P 的运动时间 4.5 1.533BP t ===，此时641.5Q CQ V t ===（厘米/秒）．\当BPD D 与CQP D 全等时，点Q 的运动速度为4厘米/秒．故答案为：4厘米/秒；（2）因为Q P V V >，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB AC +的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得43212x x =+´，解得24x =（秒)，此时P 运动了24372´=（厘米），又ABC D Q 的周长为33厘米，723326\-´=（厘米），\经过24秒，点P 与点Q 第一次在ABC D 的BC 边上相遇；此时相遇点距离B 点的路程是6厘米．3.如图，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在AB 边上，6BE cm =．（1）如果点P 在线段BC 上以4/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPE D 与CQP D 是否全等．请说明理由．②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPE D 与CQP D 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？相遇点在何处？【分析】（1）①由“SAS ”可证BPE CQP D @D ；②由全等三角形的性质可得BP PC =，列出方程可求t 的值，即可求解；（2）设经过x 秒时，点P 与点Q 第一次相遇，由点P 与点Q 的路程差30=，列出方程可求解．【解答】解：（1）①BPE CQP D @D ，理由如下：经过1秒后，4BP cm =，4CQ cm =，BP CQ \=，6PC cm =，BE PC \=，在BPE D 和CQP D 中，90BP CQ B C BE PC =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BPE CQP SAS \D @D ；②设经过t 秒后，PBE PCQ D @D ，当点Q 与点P 速度不相同时，BP PC =，此时PBE PCQ D @D ，4104t t \=-，解得54t =，又6CQ BE cm ==，624(/)554Q v cm s \==；（2）设经过x 秒时，点P 与点Q 第一次相遇，由题意可得：4.8430x x -=，解得：752x =，\点P 运动的路程754150()2cm =´=，\经过752秒点P 与点Q 第一次相遇，相遇点在点A 处．4.（2022春•神木市期末）如图1，AE 与BD 相交于点C ．AC EC =，BC DC =．（1）求证：//AB DE ；（2）如图2，过点C 作PQ 交AB 于P ，交DE 于Q ，求证：CP CQ =；（3）如图3，若8AB cm =，点P 从点A 出发，沿A B A ®®方向以3/cm s 的速度运动，点Q 从点D 出发，沿D E ®方向以1/cm s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发．当点P 到达点A 时，P 、Q 两点同时停止运动，设点P 的运动时间为()t s ．连接PQ ，当线段PQ 经过点C 时，求出t 的值．【分析】（1）证明出全等之后得到一组内错角相等即可求证；（2）利用（1）平行的结论得到一组角度相等，可以求证三角形全等，即可得到结论；（3）由（2）可知，DCQ BCP D @D 始终成立，即DQ BP =，分两种情况，一种是P 从A 到B ，另外一种是P 从B 到A ．【解答】（1）证明：在ABC D 与EDC D 中，Q AC EC ACB ECD BC DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ABC EDC SAS \D @D ，A E \Ð=Ð，//AB DE \．（2）证明：//AB DE Q ，B D \Ð=Ð，在DCQ D 和BCP D 中，B D CD BCDCQ BCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()DCQ BCP ASA \D @D ，CP CQ \=．（3）解：由（2）可知：当线段PQ 经过点C 时，DCQ BCP D @D ，可得DQ BP =，83t t \-=或38t t -=，2t \=或4，\当2()t s =或4()s 时，线段PQ 经过点C ．。
1.3(4)探索三角形全等的条件作业(SAS,ASA,AAS)
1.如图，已知AD 平分∠BAC ，要使△ABD ≌△ACD ，根据“SAS ”需要添加条件 .
2.如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABE ≌△DBC ，则需增加的条件是 .
3．如图，已知；AC =DB ，要使ABC ∆≌DCB ∆，只需增加一个条件是_____ ___.
3.如图，B ，E ，C ，F 在同一直线上，且BC ＝EF ，∠B ＝∠DEF ，
使△ABC ≌△DEF ，需补充的一个条件是_____________.
4.如图，△ABC 中，∠C =900，AD 平分∠CAB ，BC =8cm ，BD =5cm ，
那么D 点到直线AB 的距离是 cm .
5. 已知：∠B=∠E,且AB=AE 。
求证：OD=OC
6. 已知：AD//BC,FC//AE,且FC=AE 。
求证：AB=CD
E C D A B 1 2
F E D C B A
7. 已知：∠3=∠4, AE⊥BC且，B,D,C三点共线。
求证：∠1=∠2
8. 如图，AD=BC且AD//BC，G是BD的中点。
求证：AE=FC
C
9. 已知：AE//DF且，AE=FD,求证：G是BC中点
10. 已知：ED//BF,AB//CD,点G是BD的中点.求证：EM=FN。
