【配套K12】高中数学 第三章不等式 基本不等式教案学生版2 新人教A版必修5

基本不等式教学设计案例教材人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题基本不等式授课类型新授课教学目标1、知识与技能了解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式取等号的条件；能够初步运用基本不等式及其取等条件解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。

2、过程与方法通过公式推导过程的教学，培养学生观察、猜想、归纳的思维能力，使学生体会数形结合的思想方法，并引导学生从不同角度解释基本不等式。

3、情感态度与价值观通过基本不等式的推导，培养学生严密的逻辑推理能力，通过运用基本不等式，使学生领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

教学重、难点重点：基本不等式的推导以及其取等的条件，运用基本不不等式解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。

难点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度解释基本不等式。

课前准备多媒体课件的制作教学过程设计一、课题导入观察图片，找关系师：同学们，现在开始上课，首先我想请大家欣赏一张图片。

（稍有停顿）请问有谁见过这张图片吗？生：……师：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色明暗使它看起来像一个风车，代表中国人民热情好客。

（稍作停顿）观察图片，能从中找出一些相等或者不相等的关系吗？生：图片中四个直角三角形的面积之和小于大正方形的面积。

师：非常好，那么是否存在其他的情况，比如说等于呢？生：……师：让我们带着问题一起进入今天的新课学习—基本不等式（设计意图：让学生观察图形，从图形中抽象出不等关系，并提出问题，激发学生的习兴趣，引入学习课题。

）二、基本不等式推导过程及其理解1、公式推导师：将图1的“风车”抽象成如图2的正方形中有四个全等的直角三角形。

师：如果我们设直角三角形的边长分别为a，b，那么正方形的边长22+，四个直角三角形的面积之a b和为22a b+>22+。

那么这个关系是+根据前面的讨论，我们有22a ba b否恒成立的呢？生：还可以取等。

第三章 不等式3.4.2 基本不等式第二课时（王乙橙）一、教学目标1.核心素养: 通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2.学习目标（12a b+≤（2）熟练应用基本不等式求最值；（3）能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 3.学习重点通过师生共同研究，进一步掌握基本不等式2a b+≤，并会用此不等式求最大、最小值. 4.学习难点基本不等式求最值中取等的条件；“一正二定三相等”中定值的运用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1.基本不等式ab ≤a+b2及其应用，注意常用的一些结论：(1)a 2+1 2a (2)a +1a 2(a >0) (3)b a +a b 2(a,b 同号) （4）2___()2a b ab +2.预习自测1、已知x 、y 都是正数，xy =15，则x ＋y 的最小值为答案：2、已知x 、y 都是正数，x +y =15，则xy 的最大值为 答案：22543、已知x 、y ＞0，且x +y =1,则P =x +1x +y +1y 的最小值为 .答案：5 二、解答题3、设x 、y 满足x +4y =40,且x,y ∈R +,求lg x +lg y 的最大值. 解析：2,,4404040,10.lg lg lg(404)lg lg(404)lg 4(10)0,10.100(10)lg 4(10)lg 4lg1002210,5,20lg lg 2.x y R x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y +∈+=∴=-><∴+=-+=-⋅=-><∴->-+⎡⎤∴-≤⨯==⎢⎥⎣⎦-===∴+即又等号成立时的最大值为 （二）课堂设计 1.知识回顾比较两个不等式222a b ab +≥2a b+≤的异同点 2.问题探究问题探究一 如何利用函数单调性求最值●活动一 例1 已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0).(1)证明：f (x )在区间(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数； (2)求f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值. 【解析】 (1)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)＋(a x 2－ax 1)＝(x 2－x 1)＋a (x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－ax 1x 2)＝(x 2－x 1)x 1x 2(x 1x 2－a )，当0<x 1<x 2≤a 时，x 1x 2<a . ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). 当x 2>x 1≥a 时，x 1x 2>a .∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1).故f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. ∴函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的图像如图所示.(2)由(1)可知f (x )在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (a )＝2a .【点拨】基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b 均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解.为了解决这个问题，我们引进一个函数f (x )＝x ＋ax (a >0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充. ●活动二 思考：函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？ 【解析】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1，但此式不成立.应用单调性求解：设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322. ●活动三 思考：求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t ＝sin x ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1].由例1(1)知函数f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,2]上是单调减函数，∴f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,1]上也单调递减.∴f (t )≥f (1)＝5，故y min ＝5.问题探究二 如何利用基本不等式求代数式的最值●活动一 思考：x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值. 【解析】 ∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(x ＋2y )＝3＋x y ＋2y x ≥3＋2x y ·2yx ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝2－1y ＝1－22时取等号.故1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.●活动二 思考：x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.方法一 【思路分析】 减少元素个数.根据条件1x ＋9y ＝1解出y ，用只含x 的代数式表示y ，代数式x ＋y 转化为只含x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值. 【解析】 由 1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.∵x >0，y >0，∴y >9. x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0， ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号. 又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 【思路分析】 在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法.【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号.又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【点拨】(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小.多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.(2)注意“1”的代换技巧.(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2 4.∴1x＋1y≥2xy≥82＝4 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.●活动三及时回馈：(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值.【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋2 2.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.问题探究三●活动一思考：若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围.【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.令t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 【点拨】利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. 第②问也可用如下方法解之：由已知b ＝a ＋3a －1>0， ∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6. ●活动二 思考：正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.【解析】 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 问题探究四 利用基本不等式证明不等式●活动一 思考：已知a,b,c,d 都是实数，且+=1,+=1,求证：≤1.【证明】 ∵a,b ，c ，d 都是实数，所以22222222222a cb d ac bd ac bd ac bd ++++++≤+≤+=又∵+=1,+=1,∴≤1.●活动二 思考：a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.【解析】 b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ). ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.同理，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2. ∴b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.【点拨】解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧.在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律.●活动三 思考：(1)已知a 、b 、c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . (2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】（1） 左边＝a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)≥a ·2bc ＋b ·2ca ＋c ·2ab ＝6abc ＝右边，∴不等式成立. （2）∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 3.课堂总结 【思维导图】【重难点突破】利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”. 4.随堂检测1.下列函数中，最小值为4的函数是( )A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81 【知识点：基本不等式，取等条件】 解：C2.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2则1x ＋13y 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3【知识点：基本不等式，对数运算性质】 解：C3. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C.5D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.4.已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：(－∞，94]5.设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，对数运算性质】解：[6，＋∞)（三）课后作业基础型自主突破1.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值()A.10B.6 3C.4 6D.18 3 【知识点：基本不等式，指数式】解：D2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）.A.－3B.2C.3D.8 【知识点：基本不等式，取等条件】解：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C3.若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为_____.【知识点：基本不等式】解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号.答案94.已知a>3，求a＋4a－3的最小值为.【知识点：基本不等式，配凑】解：75.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.【知识点：基本不等式】 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立. 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 能力型 师生共研1. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.2.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为（ ）A.72B.4C.16136D.172【知识点：基本不等式】解：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号.又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D3.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【知识点：基本不等式】解 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案：64.设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324.探究型 多维突破1.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94 【知识点：基本不等式综合应用】解：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值. z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C2.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.1B.6C.9D.16【知识点：基本不等式综合应用】解：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B自助餐1.设0,0a b >>，若2是22a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为( ) A.8B.4C.2D.1【知识点：基本不等式，等比数列】解：D2.（2013·重庆卷）(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92 C.3 D.3 22【知识点：基本不等式】解：B因为－6≤a≤3，所以(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时等号成立，故选B.3.设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【知识点：基本不等式】解：A4.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n使得a m a n＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32 B.53 C.94 D.256【知识点：基本不等式，等比数列】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). 因为a m a n＝4a1，所以q m＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32.答案：A6.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.6，＋∞)【知识点：基本不等式，恒成立】解：D7.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：由a ＋b 2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤ 2×(3x )2＋(2y )2＝2×3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号. 答案：2 58.若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：因为不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，所以16≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y min .令f (x )＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y (a >0)，则f (x )＝a ＋4＋ay x ＋4xy ≥a ＋4＋2ay x ·4xy ＝a ＋4＋4a ，当且仅当x y ＝a2时取等号，所以a ＋4a ＋4≥16，解得a ≥4， 因此正实数a 的最小值为4. 答案：49.下列命题中正确的是________(填序号). ①y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ②y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ③y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. 【知识点：基本不等式综合应用】解：①正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立.②不正确，令sin 2x ＝t ，则0＜t ≤1，所以g (t )＝t ＋4t ，显然g (t )在(0,1]上单调递减，故g (t )min ＝g (1)＝1＋4＝5.③不正确，因为x ＜0，所以－x ＞0，最小值为2＋43，而不是2－4 3. 答案：① 10.已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值. 【知识点：基本不等式】 解：方法一 ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c，且a >b >c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c ).∵对a 、b 、c 上式都成立， ∴n ≤[(a －c )2(a －b )(b －c )]min.又∵(a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2[(a －b )＋(b －c )2]2＝4.∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 方法二 ∵a >b >c ，∴a －c a －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4. ∴n ≤4，∴n 的最大值为4.11.（2015高考重庆）设,0,5a b a b >+=,. 【知识点：基本不等式】 解：23由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得： a b +0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）.12.为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10。

新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节?根本不等式?教学设计根本不等式教学设计案例教材人教版?普通高中课程标准实验教科书·数学〔A版〕?必修5课题根本不等式授课类型新授课教学目标1、知识与技能了解根本不等式的推导过程，掌握根本不等式取等号的条件；能够初步运用根本不等式及其取等条件解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。

2、过程与方法通过公式推导过程的教学，培养学生观察、猜测、归纳的思维能力，使学生体会数形结合的思想方法，并引导学生从不同角度解释根本不等式。

3、情感态度与价值观通过根本不等式的推导，培养学生严密的逻辑推理能力，通过运用根本不等式，使学生领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。

教学重、难点重点：根本不等式的推导以及其取等的条件，运用根本不不等式解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。

1/11新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节?根本不等式?教学设计点：用数形合思想理解不等式，并从不同角度解根本不等式。

前准多媒体件的制作教学程一、入察片，找关系：同学，在开始上，首先我想大家欣一片。

〔稍有停〕有片？生：⋯⋯：1是在北京召开的第24届国数学家大会的会，会是根据中国古代数学家爽的弦的，色明暗使它看起来像一个，代表中国人民情好客。

〔稍作停〕察片，能从中找出一些相等或者不相等的关系？生：片中四个直角三角形的面之和小于大正方形的面。

2/11：非常好，那么是否存在其他的情况，比方等于呢？生：⋯⋯：我着一起入今天的新学—根本不等式〔意：学生察形，从形中抽象出不等关系，并提出，激学生的趣，引入学。

〕二、根本不等式推程及其理解1、公式推：将1的“〞抽象成如2的正方形中有四个全等的直角三角形。

：如果我直角三角形的分a，b，那么正方形的a2b2，于是正方形的面a2b2，四个直角三角形的面之和a2b2根据前面的，我有a2b2>a2b2。

那么个关系是否恒成立的呢？生：可以取等。

《§基本不等式》的教学设计一、教材解析本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等关系与不等式”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。

在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

求最值又是高考的热点。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

二、学生学情分析对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，但是在利用基本不等式求最值方面暴露对“一正”，“二定”，“三相等”不理解。

三、教学目标知识目标： 1探索并了解基本不等式的证明过程；2了解基本不等式的代数及几何意义；3会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题能力目标： 1通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2通过了解基本不等式的证明，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

情感目标： 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、合作探究、严谨论证的良好的学习习惯和勇于探索精神重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并掌握基本不等式的证明过程； 2a b ab +求最值 四、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的AD C H F GE 自主探究与合作交流为前提，通过设置的不同问题，引导学生层层递进，逐步加深对基本不等式的理解。

在探究的过程中为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力五、教学过程：（一）创设情境、体会感知：第24届国际数学家大会于2021年8月在北京举行，大会会标看上去像一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。

《基本不等式》（第一课时）教材：高中数学必修5（人教版）第三章教学目标：★知识与技能：引导学生从问题中发现基本不等式，让学生理解、掌握基本不等式，并能运用它解决一些简单问题；培养他们的探究能力以及分析问题解决问题的能力。

★过程与方法：1.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生观察、分析、猜想等能力；2.通过引导学生用多种方法证明推导基本不等式，培养学生的创新思维和探索精神；3.通过不等式的应用培养学生的应用意识。

引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法。

★情感、态度与价值观：在教学中发挥学生学习的主体作用，培养学生勇于探索的精神，激发他们学习数学的兴趣。

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式2ba ab +≤的证明过程及应用。

教学难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、用基本不等式求最大值和最小值。

教学方法：采用启发式教学和探究式教学的方法让学生掌握本节课的内容，并通过讲练结合的方法让学生巩固课堂所学的内容。

教学手段：借助PowerPoint课件整合教材内容，利用几何画板作出动画营造轻松生动的课堂学习氛围。

教学过程：板书设计《基本不等式》教案说明教材：高中数学必修5（人教版）第三章一、教材分析本课内容为普通高中课程标准实验教科书（人教A 版）数学必修5第三章不等式中的3.4 基本不等式。

新课标对该内容的相关要求为：①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

基本不等式是不等式证明和应用的重要依据和工具，要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，基本不等式是必不可缺的。

本节内容预计为两课时，第一课时侧重于基本不等式的理解及证明；第二课时侧重于基本不等式的应用。

二、教学目的分析本节课是在学生已经系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。

学生通过之前的学习已经掌握了证明不等式的基本方法，同时初步具备了从实际问题中抽象出不等式并运用数学方法解决实际问题的能力。

2.2 基本不等式 (2)【学习目标】1. 掌握基本不等式及变形的应用（逻辑推理）2. 能利用基本不等式解决最值问题（数学运算）3. 能利用基本不等式解决实际生活中的应用问题（数学建模）【重点难点】重点：基本不等式及其应用；难点：实际问题的转化。

导问引领，新知生成：基本不等式是解决最值问题的有力工具，在实际问题中也有广泛的应用。

导问1：基本不等式中的a,b 只能是具体的某个数吗？导问2： 利用基本不等式常用公式有哪些？问题1：上一节我们学习的基本不等式内容是什么？而且积定和有最 值，和定积有 值，并且只有当 取得最值。

1、 条件最值问题导问：已知正数x 、y 满足且1x +16y+1=1，能直接利用“1”代换求“x+y ”的最小值吗？怎样变换才能求得最值？思维提升：求解这类问题常用常值代换法，步骤：确定定值 将定值变形称“1”将“1”的表达式与所求表达式相乘或相除 利用基本不等式求解。

展示交流，新知应用：例题1.已知191,0,0=+>>yx y x 且，求y x +的最小值. 变式：若将“191,0,0=+>>y x y x 且”改成“xy x x y x =+>>82,0,0且”，求y x +的最小值。

方法总结：条件最值问题的解决方法步骤：（1） 根据已知条件或其变形，确定定值（常数）；（2） 把确定的定值（常数）变形成“1”；（3） 把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构成和或积的形式；（4） 利用基本不等式求解最值。

导问引领，新知生成：问题2：用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？2、基本不等式在实际问题中的应用：应用基本不等式解决实际问题时的方法：理解题意，设出变量将所求量用所设变量在定义域内，利用基本不等式求出最值。

展示交流，新知应用：例题2.某工厂要建造一个无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m,如果池底每平方米的造价为150元，池壁造价每平方米120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？例题3.一家货物公司计划建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y 1（单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费y 2（单位：万元）与x 成正比；若在距离10km 出建仓库，则y 1和y 2分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最少？方法总结：解决实际问题时，先审清题意，建立数学模型，利用所学数学知识解决问题，最后要扣题，依题意下结论。

3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ,b ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立． 2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2为a ,b 的算术平均数,ab a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ,y 都是正数,(1)若x ＋y ＝s (和为定值),则当x ＝y 时,积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值),则当x ＝y 时,和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时,我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时,必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误,应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大,积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时,我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时,我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致,若不能同时取等号,则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ,x ∈(0,π2),两个都是正数,乘积为定值．但是由0<sin x <1,且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数,所以sin x ＋4sin x>1＋41＝5,等号不成立,取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧,当不能直接利用不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1, 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0,求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32,求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2,求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0,y >0,且1x ＋9y＝1,求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形使其和或积为定值,再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0,∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x＝236＝12, 当且仅当4x ＝9x,即x ＝32时,f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32,∴3－2x >0,∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ,即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2,∴x －2>0,∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2,即x ＝4时,x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0,y >0,1x ＋9y＝1,∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4,y ＝12时等号成立． ∴当x ＝4,y ＝12时,x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立,不管题目是否要求写出符号成立的条件,都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2,求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0,y >0,且2x ＋3y ＝6,求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2, 即ab ＝100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20, 当且仅当a ＝b ＝10时,a ＋b 取到最小值20. (2)∵x >0,y >0,2x ＋3y ＝6, ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32, 当且仅当2x ＝3y ,且2x ＋3y ＝6时等号成立, 即x ＝32,y ＝1时,xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元,而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升,司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时),y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x,x ∈[50,100]．所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6,x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703,当且仅当130×152x ＝13x6,即x ＝4570∈[50,100]时,等号成立．故当x ＝4570千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为525703元．解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行：(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m,则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元,则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10,即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”,所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2解析：∵a ,b ∈R ,且ab >0, ∴b a >0,a b >0, ∴b a ＋a b≥2b a ×ab＝2. 当且仅当b a ＝ab,即a ＝b 时取等号．3．设a ,b 为实数,且a ＋b ＝3,则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1,则当x ＝12时,x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34,当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0,b >0,c >0,求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号,即若a ≠b 时,则ab ≠a ＋b 2,即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件,a >0,b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件,即“＝”号成立．以上三点缺一不可．若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式．。

教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。

2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。

二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。

●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。

●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。

●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。

2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。

●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。

●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。

3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。

●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。

●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。

基本不等式一、对课标要求和教材特点的分析基本不等式又称均值不等式，是人教A版必修5的第三章第四节的内容。

基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，在高中数学有着重要的地位。

1．课标对本节课的要求：①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

要求中明确提出了探索过程、应用解决等词汇，体现了数学探索发现、应用实际的学科特点。

2. 对教材中本节课的内容安排特点的理解●课程教材十分注重现实问题、实际例子的转化与解决，突出并强调数学的应用性。

●教科书以问题方式代替例题，强化问题意识，促使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系。

●课程教材关注学生的发展，使学生在学习过程中感受、体验、认识、理解，培养学生学习数学的兴趣。

●教科书更加注重学生数学思维的培养，十分注重借助几何直观（即用图形）来分析解决问题能力的培养和提高。

3.学情分析：学生在初中学习了完全平方公式、圆，初步认识了不等式。

同时，在本章前三节学习了一元二次不等式、二元一次不等式（组）与线性规划问题，这些都给学习本节课提供了坚实的基础；。

但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。

（根据以上情况，我制定了如下几点教学目标）二、教学重点、难点、目标1.重点：●应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

依据：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力。

●均值不等式成立的条件及应用。

依据：均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解。

突出重点的方法：我将采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出基本不等式的推导。

2.难点●基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；●利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。