《基本不等式》教学设计方案
人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册
【教学目标】
1、知识与技能目标
（12
a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；
（3）能够利用基本不等式求简单的最值。
2、过程与方法目标
（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。
3、情感、态度和价值观目标
（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。
【能力培养】
培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】
2
a b +≤的证明过程。
【教学难点】
2
a b +≤等号成立条件。
【教学方法】
教师启发引导与学生自主探索相结合
【教学工具】
课件辅助教学、实物演示实验
【教学过程设计】
一、 创设情景，引入新课
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？
赵爽弦图
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形
的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，
正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正
方形的面积，我们就得到了一个不等式：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正
方形EFGH缩为一个点，这时有。
2．得到结论：一般的，如果
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为
当
所以，，即
4．基本不等式
1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 (1)
只要证≥
+b
a ab
2 (2)要证（2），只要证 a+b-ab
20 （3）要证（3），只要证（a-b）0
≥（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）理解基本不等式的几何意义
如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。
你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤()
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
几何意义：半弦长不大于半径长。
我们称ab为正数b
a,的几何平均数，称
2b
a+
为正数b
a,的算术平均数。
代数意义：几何平均数小于等于算术平均数
5.随堂练习
已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
分析：对于此类题目，选择定理：（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果。 解：∵a ，b ，c 都是正数
∴a ＋b ≥2＞0
b ＋
c ≥2＞0
c ＋a ≥2＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2·2·2＝８abc
即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
【课时小结】
本节课，我们学习了重要不等式；两正数a 、b 的算术平均数（），几何平均数（ab ）及它们的关系（）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：
222b a ab +≤,2)2
(b a ab +≤. 思想方法技巧：
（1）数形结合思想、“整体与局部”
（2）换元法、分析法
（3）配凑等技巧
