重庆中考数学第16题专题训练

概率一.选择题1. （2021·广西梧州·3分）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出1个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色都不相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】画出树状图，利用概率公式计算即可．【解答】解：如图，一共有27种可能，三人摸到球的颜色都不相同有6种可能，∴P（三人摸到球的颜色都不相同）==．故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图，解题的关键是学会利用树状图解决概率问题．2.（2021·四川省攀枝花·3分）布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A．B．C．D．解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∴两次都摸到白球的概率为．故选A．3．（2021·辽宁省沈阳市）（2.00分）下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D．明天一定会下雨【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【解答】解：A.“任意买一张电影票，座位号是2的倍数”是随机事件，故此选项错误；B.“13个人中至少有两个人生肖相同”是必然事件，故此选项正确；C.“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项错误；D.“明天一定会下雨”是随机事件，故此选项错误；故选：B．【点评】考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（2021·辽宁省阜新市）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，则这个点取在阴影部分的概率是=．故选C．5. （2021•呼和浩特•3分）（3.00分）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9解：A.袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；故选：D．6．（2021·辽宁大连·3分）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A．B．C．D．解：列表得：123 123423453456所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为．故选D．7．（2021·江苏镇江·3分）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（）A．36 B．30 C．24 D．18【解答】解：∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，∴=，解得：n=24，故选：C．二.填空题1. （2021·广西贺州·3分）从﹣1.0、、π、5.1.7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是．【解答】解：∵在﹣1.0、、π、5.1.7这6个数中无理数有、π这2个，∴抽到无理数的概率是=，故答案为：．2. （2021·湖北江汉·3分）在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为．【分析】根据概率公式进行计算即可．【解答】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为：=，故答案为：．3.（2021·浙江省台州·5分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是=，故答案为：．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．(2021·辽宁省葫芦岛市) 有四张看上去无差别的卡片，正面分别写有“兴城首山”、“龙回头”、“觉华岛”、“葫芦山庄”四个景区的名称，将它们背面朝上，从中随机一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是．【解答】解：∵在这4张无差别的卡片上，只有1张写有“葫芦山庄”，∴从中随机一张卡片正面写有“葫芦山庄”的概率是．故答案为：．5．（2021·辽宁省盘锦市）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是．【解答】解：如图所示：连接O A．∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是；故答案为：．6．（2021·辽宁省抚顺市）（3.00分）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从中随机摸出1个球是红球的概率为，则m的值为2．【分析】根据题目中的数据可以计算出总的球的个数，从而可以求得m的值．【解答】解：由题意可得，m=3÷﹣3﹣4=9﹣3﹣4=2，故答案为：2．【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的值．7. （2021•呼和浩特•3分）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为．解：当2k﹣1＞0时，解得：k＞，则＜k≤3时，y随x增加而增加，故﹣3≤k＜时，y随x增加而减小，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为：=．故答案为：．8．（2021·江苏常州·2分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是．【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等，根据概率公式计算即可．【解答】解：∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，∴在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是，故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式、中心对称图形，掌握概率公式是解题的关键．9.（2021·湖北咸宁·3分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3.随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是_________。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题16三角形及全等三角形（共40题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A 、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B 、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C 、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D 、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B【分析】 根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∠AB ∠CD ，∠∠ABC =∠BCD ，∠CB 平分∠DCE ，∠∠BCE =∠BCD ，∠∠BCE =∠ABC ，∠∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°，∠∠ABC =20°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．3．（2021·陕西中考真题）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B【分析】 由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∠25B ∠=︒，50C ∠=︒，∠在Rt ∠BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∠35A ∠=︒，∠170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 4．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线1l 、2l 、3l 两两相交，且13l l ⊥．若50α=︒，则β的度数为（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒【答案】C【分析】 由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得510α∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求得140β∠=︒．【详解】∠13l l ⊥，∠∠2=90°；∠510α∠=∠=︒，∠125090140β∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选C ．【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键．5．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∠//BC EF ，∠45FDB F ∠=∠=︒，∠180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】 连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∠∠BCD =100°，∠∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，∠∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：.B【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．8．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA=3，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 603c R C ===︒，∠3R = ∠S 圆=2221633R OA ππππ⎛=== ⎝⎭．方法二：设∠ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ∠AB 于D ，∠∠A =75°，∠B =45°，∠∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∠∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∠OA =OB ，∠∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∠OD ∠AB ，AB 为弦，∠AD =BD =122AB =，∠AD =OA cos30°，∠OA =343cos30223AD ÷︒=÷=， ∠S 圆=222431633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．9．（2021·重庆中考真题）如图，在ABC 和DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明ABC 和DCB 全等的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠【答案】B【分析】 根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A ，添加ABC DCB ∠=∠，在ABC 和DCB 中，ABC DCB BC CBACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠ABC ∠DCB （ASA ），选项B ，添加AB DC =， 在ABC 和DCB 中，AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明ABC ∠DCB ； 选项C ，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （SAS ）；选项D ，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ABC ∠DCB （AAS ）；综上，只有选项B 符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．10．（2021·重庆中考真题）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断∠ABC ∠∠DEF的是（ ）A ．AB =DE B ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∠FD【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】 解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断∠ABC ∠∠DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∠FDACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤∠至∠折叠两次得图∠，然后剪出图∠中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．矩形D ．菱形【答案】D【分析】 此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．【详解】解：由题可知，AD 平分BAC ∠,折叠后AEO △与AFO 重合，故全等，所以EO =OF ;又作了AD 的垂直平分线，即EO 垂直平分AD ，所以AO =DO ，且EO ∠AD ；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF 为平行四边形；又AD ∠EF ，所以平行四边形AEDF 为菱形．故选：.D【点睛】本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．12．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（ ）A ．角平分线上的点到角两边的距离相等B ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，x π，42b a+是分式 D ．若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4【答案】A【分析】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C.在代数式1a ，2x ，x π，985，42b a +，13y +中，1a ，42b a +是分式，故选项错误； D.若一组数据2、3、x 、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；故选：A ．【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4 【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简． 14．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D【分析】 根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∠∠6=∠7=45°；A 、∠∠1=60°，∠6=45°，∠∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∠∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∠∠7=45°，m ∠n ，∠∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∠∠8=75°，∠∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∠∠7=45°，∠∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．15．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∠//,140m n ∠=︒，∠∠4=∠1=40°，∠230∠=︒，∠34270∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．16．（2021·海南中考真题）如图，已知//a b ，直线l 与直线a b 、分别交于点AB 、，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，若140∠=︒，则ACB ∠的度数是（ ）A ．90︒B ．95︒C ．100︒D ．105︒【答案】C【分析】 根据题意可得直线MN 是线段AB 的垂直平分线，进而可得CB AC =，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得40CAB CBA ∠=∠=︒，所以可求得100ACB ∠=︒．【详解】∠已知分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M N 、，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，∠直线MN 垂直平分线段AB ，∠CB AC =，∠//a b ，140∠=︒，∠140CBA ∠=∠=︒，∠40CAB CBA ∠=∠=︒，∠180100ACB CBA CAB ∠=︒-∠-∠=︒．故选：C．【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线MN垂直平分线段AB 是解题关键．17．（2021·四川广元市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段CD为ABC的角平分线的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．【详解】A：所作线段为AB边上的高，选项错误；B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；C：CD为ACB的角平分线，满足题意。

一次函数的几何应用，一次函数的实际问题一、选择5、（陕西省）如图，直线对应的函数表达式是（）答案： A9、( 江苏常州 ) 甲、乙两同学骑自行车从 A 地沿同一条路到 B 地, 已知乙比甲先出发 , 他们离出发地的距离 s(km) 和骑行时间 t(h) 之间的函数关系如图所示 , 给出下列说法 : 【】(1)他们都骑行了 20km;(2)乙在途中停留了 0.5h;(3)甲、乙两人同时到达目的地 ;(4)相遇后 , 甲的速度小于乙的速度 .根据图象信息 , 以上说法正确的有A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案： B10、 ( 湖北仙桃等 ) 如图，三个大小相同的正方形拼成六边形，一动点从点出发沿着→→→→ 方向匀速运动，最后到达点. 运动过程中的面积（）随时间（ t ）变化的图象大致是（）答案： B11、( 黑龙江哈尔滨 )9 ．小亮每天从家去学校上学行走的路程为900 米，某天他从家去上学时以每分 30 米的速度行走了 450 米，为了不迟到他加快了速度，以每分 45 米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程 S（米）与他行走的时间 t （分）之间的函数关系用图象表示正确的是（）．答案： D12、(黑龙江)5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400 吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除 3 次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过 80 小时到达成都．描述上述过程的大致图象是（）答案： D13、(湖北天门)均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示 ( 图中 OABC为一折线 ) ，这个容器的形状是图中（）．答案： A14、( 湖南怀化 ) 如图 1，是张老师晚上出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是()答案：D15、（山东济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用 4 小时，调进物资 2 小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）. 储运部库存物资 S（吨）与时间 t （小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A.4 小时 B.4.4小时 C.4.8小时D.5 小时答案： B16、( 重庆 ) 如图，在直角梯形 ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点 M从点 D 出发，以 1cm/s 的速度向点 C 运动，点 N 从点 B 同时出发，以 2cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点2也随之停止运动 . 则四边形 AMND的面积 y（cm）与两动点运动的时间 t （s）的函数图象大致答案： D二、填空1、（江苏省南通市）将点A（， 0）绕着原点顺时针方向旋转45°角得到点B，则点 B 的坐标是 ________.答案：（ 4，－ 4）2、（江苏省无锡市）已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为答案：．3、（江苏省苏州市） 6 月 1 日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保．．购物袋，每只售价分别为 1 元、 2 元和 3 元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 公斤、 5 公斤和 8 公斤． 6 月 7 日，小星和爸爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 公斤散装大米，他们选购的 3 只环保购物袋至少应付．．给超市元．答案： 8、湖北荆门 ) 如图，l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系， l 24 (反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利 ( 收入大于成本 )时，销售量必须 ____________．答案：大于 45、（山东烟台）如图是某工程队在“村村通”工程中，修筑的公路长度（米）与时间（天）之间的关系图象. 根据图象提供的信息，可知该公路的长度是______米.答案： 504三、解答题1、（湖北襄樊）我国是世界上严重缺水的国家之一. 为了增强居民的节水意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费 . 即一月用水 10 吨以内 ( 包括 10 吨 ) 用户 , 每吨收水费 a 元 ; 一月用水超过 10 吨的用户 ,10 吨水仍按每吨 a 元水费 , 超过的部分每吨按 b 元(b>a) 收费 . 设一户居民月用水 y 元 ,y 与 x 之间的函数关系如图所示 .(1) 求 a 的值 , 若某户居民上月用水8 吨 , 应收水费多少元 ?(2)求 b 的值 , 并写出当 x 大于 10 时 ,y 与 x 之间的函数关系 ;(3)已知居民甲上月比居民乙多用水 4 吨, 两家共收水费 46元 , 求他们上月分别用水多少吨 ?解：（ 1）当 x≤ 10 时，有 y=ax.将x=10，y=15代入，得a=1.5用水 8 吨应收水费 8×1.5=12 （元）（2）当 x＞10 时，有（3）将 x=20，y=35 代入，得 35=10b+15. b=2（4）故当 x＞10 时， y=2x－ 5（5）因 1.5 ×10＋1.5 ×10＋2×4＜46.所以甲、乙两家上月用水均超过10 吨则解之，得故居民甲上月用水16 吨，居民乙上月用水12 吨2、（湖北孝感）某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金m元；（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表 1 的办法分段处理：表 1分段方式处理办法不超过 150 元（含 150 元）全部由个人承担超过 150 元，不超过 10000 元（不含 150个人承担n%，剩余部分由公司承担元，含 10000 元）的部分超过 10000 元（不含 10000 元）的部分全部由公司承担设一职工当年治病花费的医疗费为x 元，他个人实际承担的费用（包括医疗费个人承担的部分和缴纳的医疗公积金m元）为 y 元（ 1）由表 1 可知，当时，；那么，当时，y=；（用含 m、 n、x 的方式表示）（2）该公司职工小陈和大李 2007 年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表 2：职工治病花费的医疗费 x（元）个人实际承担的费用 y（元）小陈300280大李500320请根据表 2 中的信息，求 m、n 的值，并求出当时， y 关于 x 函数解析式；（3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？（直接写出结果）解： 1）（2）由表2 知，小陈和大李的医疗费超过150 元而小于10000 元，因此有：（ 3）个人实际承担的费用最多只需2220 元。

部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。

知道反比例函数的图象是双曲线，。

会分象限利用增减性。

能用待定系数法确定函数解析式。

会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。

?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。

第16课时三角形与全等三角形【例题分析】【例1】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【例2】如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（）A．40°B．45°C．50°D．55°【针对训练】1.（2020·宿迁中考）在△ABC中，AB＝1，BC＝5，下列选项中，可以作为AC长度的是（）A．2 B．4 C．5 D．62.（2020·包头中考）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB.若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（）A．50°B．55°C．70°D．75°3.△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（）A．4 B．4或5C．5或6 D．6【例3】如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．【针对训练】4.（2020·黄石中考）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°.（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC.【考点训练】1.下列图形具有稳定性的是（）2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（）A．5，5，10 B．4，5，6C．4，4，4 D．3，4，53.（源于沪科八上P73）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D4.（2020·丹东中考）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为（）A.100°B．110°C．125°D．135°5.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DB D．AB＝DC6.（源于沪科八上P109）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF ＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．15°C．25°D．20°7.（2020·龙东中考）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．8.（2019·梧州中考）如图，已知在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是cm.9.（2020·江西中考）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE 的度数为．10.（2019·桂林中考）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）求证：BE＝DE.11.已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F.（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1＝65°，求∠B的大小．答案第16课时 三角形与全等三角形【例题分析】【例1】已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ C ） A ．1 B ．2 C ．8 D ．11【解析】根据三角形的三边关系求解即可．设三角形第三边的长为x ，由题意得7－3＜x ＜7＋3，即4＜x ＜10，由此可选出满足条件的正确选项．【例2】如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD ，若∠A ＝60°，∠B ＝40°，则∠ECD 等于（ C ） A ．40° B ．45° C ．50° D ．55°【解析】根据三角形外角性质求出∠ACD 的度数，根据角的平分线定义即可求出∠ECD 的度数． ∵∠A ＝60°，∠B ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝100°.∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD ＝12∠ACD ＝50°.【针对训练】1.（2020·宿迁中考）在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝5 ，下列选项中，可以作为AC 长度的是（ A ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．62.（2020·包头中考）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE ∥AB .若∠ACB ＝75°，∠ECD ＝50°，则∠A 的度数为（ B ）A ．50°B ．55°C ．70°D ．75° 3.（2015·百色中考）△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（ B ） A ．4 B ．4或5 C ．5或6 D ．6【例3】如图，点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AD ＝CF ，AB ＝DE ，BC ＝EF . （1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）若∠A ＝55°，∠B ＝88°，求∠F 的度数． 【解析】（1）证出AC ＝DF ，结合已知条件根据“SSS ”就可以推出△ABC ≌△DEF ； （2）由（1）中结论利用全等三角形的性质得到∠F ＝∠ACB ，进而得出结果．【解答】（1）证明：∵AC ＝ AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ， 且AD ＝CF ，∴AC ＝DF . 在△ABC 和△DEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；（2）解：由（1）可知，∠F ＝∠ACB .∵∠A ＝55°，∠B ＝88°，∴∠ACB ＝180°－（∠A ＋∠B ）＝180°－（55°＋88°）＝37°. ∴∠F ＝∠ACB ＝37°.【针对训练】4.（2020·黄石中考）如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠DAB ＝70°，∠E ＝40°. （1）求∠DAE 的度数；（2）若∠B ＝30°，求证：AD ＝BC .（1）解∵AB ∥DE ，∠E ＝40°， ∴∠EAB ＝∠E ＝40°. ∵∠DAB ＝70°， ∴∠DAE ＝30°；（2）证明：在△ADE 和△BCA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE ＝∠B ＝30°，AE ＝BA ，∠E ＝∠BAC ，∴△ADE ≌△BCA （ASA ）. ∴AD ＝BC . 【考点训练】1.下列图形具有稳定性的是（ A ）2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ A ）A ．5，5，10B ．4，5，6C ．4，4，4D ．3，4，53.（源于沪科八上P 73）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ A ）A B C D 4.（2020·丹东中考）如图，CO 是△ABC 的角平分线，过点B 作BD ∥AC 交CO 延长线于点D ，若∠A ＝45°，∠AOD ＝80°，则∠CBD 的度数为（ B ）A.100° B ．110° C ．125° D ．135°5.（源于沪科八上P 102）如图，已知∠ABC ＝∠DCB ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（ C ） A ．∠A ＝∠D B ．∠ACB ＝∠DBC C ．AC ＝DB D ．AB ＝DC6.（源于沪科八上P 109）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，∠CAD ＝25°，则∠ABE 的度数为（ D ）A ．30°B ．15°C ．25°D ．20°7.（2020·龙东中考）如图，Rt △ABC 和Rt △EDF 中，BC ∥DF ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB ＝ED （BC ＝DF 或AC ＝EF 或AE ＝CF 等） ，使Rt △ABC 和Rt △EDF 全等．8.（2019·梧州中考）如图，已知在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，点F ，G 分别是AD ，AE 的中点，且FG ＝2 cm ，则BC 的长度是 8 cm.9.（2020·江西中考）如图，AC 平分∠DCB ，CB ＝CD ，DA 的延长线交BC 于点E ，若∠EAC ＝49°，则∠BAE 的度数为 82° ．10.（2019·桂林中考）如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，点E 在AC 上． （1）求证：AC 平分∠BAD ； （2）求证：BE ＝DE .证明：（1）在△ABC 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）. ∴∠BAC ＝∠DAC ， 即AC 平分∠BAD ；（2）由（1）知，∠BAE ＝∠DAE . 在△BAE 和△DAE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAE ，AE ＝AE ，∴△BAE ≌△DAE （SAS ）. ∴BE ＝DE .11.已知平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD 且交AD 于点E ，AF ∥CE ，且交BC 于点F . （1）求证：△ABF ≌△CDE ；（2）如图，若∠1＝65°，求∠B 的大小．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝∠D .∴∠1＝∠ECB .∵AF ∥CE ，∴∠AFB ＝∠ECB . ∴∠AFB ＝∠1.在△ABF 和△CDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠AFB ＝∠1，AB ＝CD ，∴△ABF ≌△CDE （AAS ）；（2）解：由（1）知，∠1＝∠ECB . ∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠ECB . ∴∠1＝∠DCE ＝65°.∴∠B ＝∠D ＝180°－2×65°＝50°.。

2023年重庆一中中考数学模拟试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑.1.−3的相反数是A.3B.13C.−13D.−3 2.下列几何体中，俯视图是三角形的是3.a 2·a 3的运算结果正确的是A.a 2+a 3B.a 6C.a 5D.6a4.下列图象是函数图象的是5.如图，在平面直角坐标系中，已知A(6,4)，B(2,3)，D(3,2)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心，则E 点的坐标是A.(1,2)B.(1, 32)C.(32,2)D.(32, 32) 6.下列说法正确的是A.代数式x+4π是分式 B.分式xy x−y 中x ，y 都扩大3倍，分式的值不变 C.分式x+1x 2+1是最简分式 D.分式x+1x−1有意义7.一辆汽车的速度(km/h)与时间(min)之间的变化关系如图所示，则下列说法正确的是A.时间是因变量，速度是自变量B.汽车在3～8min 时匀速行驶C.汽车在8～12min 时匀速行驶D.汽车最快的速度是10km/hB. D. B. A.C.D.8.如果m=3√2−1，那么m 的取值范围正确的是A.1＜m ＜2B.2＜m ＜3C.3＜m ＜4D.4＜m ＜59.如图，等腰直角三角形ABC 两腰与圆相切，底边BC 过圆心O 点，⊙O 的半径为1，则线段BD 的长为A.√2−1B.2−√2C.√2+1D.√2+210.已知a ＞b ＞0＞c ＞d ＞e ，对多项式a −b −c −d −e 任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况)后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：a −|b −c −d|−e ，a −|b −c|−|d −e|等，下列相关说法正确的个数是①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数； ③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果.A.0B.1C.2D.3二、填空题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在答．题卡．．中对应的横线上. 11.计算：sin30°−(1+π)0=_______.12.已知第一组数据：1，3，5，7的方差为S 12；第二组数据：6，6，6，6的方差为S 22；第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为S 32，则S 12，S 22，S 32的大小关系是_______.(用“＜”连接)13.若y=(m+2)x |m|-3是关于x 的反比例函数，则m 的值为_______.7题图(min) 9题图 5题图14.有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“1”、 “2”、“3”、 “6”四个数字，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率是_______.15.如图，正方形ABCD 中，扇形ABC 与扇形BCD 的弧交于点E ，BC=1cm ，则图中阴影部分的面积为_______cm 2.(结果保留π)16.若关于y 的不等式组{y −1≥2y−13−12(y −a)>0无解，且关于x 的分式方程a x+1+1=x+a x−1的解为负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是_______.17.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=5，点E ，F 分别为边AB 与BC 上两点，连接EF ，将△BEF 沿着EF 翻折，使得B 点落在AC 边上的D 处，AD=2，则EO 的值为_______.18.一个各位数字都不为0的四位正整数m ，若千位与个位数字相同，百位与十位数字 相同，则称这个数m 为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m´，并规定F(m)=m−m ´11.则F(8228)=_______；若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，F(m)54是一个完全平方数，则满足条件的m 的最小值为_______. F AE B DOC 17题图15题图三、解答题(本大题共8个小题，19、20每小题8分，21-25每小题10分，26题12分，共78分)解答题时每小题须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括作辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19.(1)y(4x −3y)+(x −2y)2 (2)( a+1a−1+1)÷2aa 2−120.如图，在矩形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，连接CE ，且满足CE=BC.(1)用尺规完成以下基本作图：过点B 作CE 的垂线，垂足为F ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)问所作的图形中，求证：AE=EF.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴①，AD=BC ，∠D=90°.∴∠DEC=∠ECB ，CE=AD.∵BF⊥CE，∴②，∴∠D=∠CFB.在△DCE 和△FBC 中：{∠D =∠CFB∠DEC =∠FCB ③∴△DCE≌△FBC(A AS)，∴④∴AD-DE=CE −CF即AE=EF21.国家利益高于一切，国家安全人人有责，2023年4月15日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(100分制)进行整理、A BD C E描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：不合格0≤x＜60，合格60≤x＜80，良好80≤x＜100，优秀x=100)，下面给出了部分信息：七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，84，85，90，95，98八年级的学生竞赛成绩在良好组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98七年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出a，b的值；(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由(写出一条理由即可)；(3)该校七、八年级各有800人参加此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？22.周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体.若两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地.(1)求小明、小红的跑步速度；(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息).据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟？23.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久， 源远流长.如图是长嘴壶放置在水平桌面上，l 是水平桌面，测得AD=BC=4AE ，AB=30cm ，CD=22cm ，且CD∥AB，∠DAB=60°，壶嘴EF 与水平面的夹角为α(0°＜α＜90°).(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449)(1)如图，当壶嘴EF 与水平面的夹角为45°时，壶嘴口F 离桌面高度恰好为壶身高度的3倍，求壶嘴EF 的长度；(结果保留根号)(2)若长嘴壶放置在水平桌面上，为使得长嘴壶能够装满茶水，求EF 的取值范围.(结果保留两位小数)24.如图，在正方形ABCD 中，AD=4，动点F ，E 分别从点A ，B 出发，F 点沿着A→D→C 运动，到达C 点停止运动，点E 沿着B→A→D 运动，到达D 点停止运动，连接EC ，BF ，己知F 点的速度v F =1且BF⊥CE，令S △AEC =y 1，S △ABF =y 2，运动时间为t ，请回答下列问题：(1)请直接写出y 1，y 2与t 之间的函数关系式以及对应的t 的取值范围；(2)请写出函数y 1的一条性质；(3)在直角坐标系中画出y 1、y 2的图象；并根据图形直接写出当y 1≥y 2时t 的取值范围. B C DFEl25.如图1，抛物线y=a x 2+b x +c(a≠0)与x 轴相交于点A 、B(点B 在点A 左侧)，与y 轴相交于点C(0，3)，已知点A 坐标为(1，0)，△ABC 面积为6.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF∥y 轴交BC 于点F ，求△PEF 周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y ´，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.26.如图，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=120°，点D 为直线AC 右上方一点，且满足∠ADC=6O °，连接BD.(1)如图1，若CD⊥AC，BD 交AC 于点O ，求CO 的长；图2 图1 A DC B EF(2)如图2，点E 为线段BD 上一点，连接EA ，EC ，且满足∠EAD=60°，试证明AD=CD+2AE ；(3)如图3，在(2)的条件下，以AC ，CD 为边构造平行四边形ACDF ，当AE+AF=2时，直接写出△ADF 的面积.参考答案图1D图2 A B C E D 图3 F D C B A E。

押中考数学第15-16题（填空中档题2：相似、位似求长度与面积）专题诠释：相似在中考里是每年必考的知识点。

在单独命题时，一般以考察线段长、周长和三角形面积为主，难度不大。

但相似可以与任何几何图形进行综合，综合性较强，难度较大。

在做题的时候，掌握题型的特征，准确计算是关键。

知识点一：根据相似求线段长2．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，若AE:DE=1:2，3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB、AC上，∠1=∠2．若知识点二：相似与面积17．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若18．（2021·辽宁营口·统考中考真题）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并〖考前预测〗2．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，已知矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，3．（2023·四川成都·统考二模）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O．已知4．（2023·河南洛阳·统考一模）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E是CD的动点，若5．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若6．（2023·河北承德·校联考模拟预测）如图，在△ABP中，B、P两个顶点在x轴上，点A在x轴的上方，以点P为位似中心作△ABP的位似图形△CDP，其中点B、P、D在x轴上对应的数分别为−3、−1和3．（1）△ABP与△CDP的位似比为______；（2）若点A的纵坐标为a，则点C的纵坐标为______．7．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，点E在边CD上，且CE=4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则CP的长为____________．8．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）在△ABC中，∠ABC=60°，AB=9，点D是AB 边上一点，BD=BC，连接CD，将△ADC沿CD翻折得到△A1DC，其中A1C与AB边交于点E，BE=4，连接A1B，则A1B的长为______．9．（2023·山东滨州·统考一模）如图，点P是△ABC的重心，过点P作DE∥AC交BC，AB于D，E，EF∥BC交AC于点F，若AC=8，BC=11，则四边形CDEF的周长为_____．10．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知AD、BE是△ABC的中线，AD和BE交于点G，11．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E点为BC边延12．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=13．（2023·山东淄博·统考一模）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与点M，14．（2023·浙江杭州·统考一模）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线．若CD=AE，∠BAD=2∠BCE，AC=a，则BC=________（用含a的代数式表示）．15．（2023·河南开封·统考一模）如图，方形ABCD中，AB=8，点P为射线BC上任意一点（与点B、C不重合），连接AP，在AP的右侧作正方形APGH，连接AG，交射线CD于E，当ED长为2时，点BP的长为________.。

专题16 截长补短问题【规律总结】“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“a ＋b ＝c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。

在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。

①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。

即延长a ，得到b ，证：a ＋b ＝c 。

②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。

即延长a ，得到c ，证：b ＝c-a 。

【典例分析】例1．（2020·广州大学附属中学八年级月考）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，2B ADB ∠=∠，5AB =，6CD =，则AC 的长为（ ）A ．3B ．9C ．11D ．15【答案】C【分析】 在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD△△AED ，得到△B=△AED ，AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．【详解】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，△AD 平分△BAC ，△△BAD=△DAC ，在△ABD 和△AED 中，BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△AED （SAS ），△△B=△AED ，△ADB =△ADE ， AB=AE ，又△B=2△ADB△△AED=2△ADB ，△BDE=2△ADB ，△△AED=△C+△EDC=2△ADB ，△BDE=△C+△DEC=2△ADB ，△△DEC =△EDC ，△CD=CE ，△5AB =，6CD =，△AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 例2．（2021·上海九年级专题练习）如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF△AB 于F ，△B ＝△1+△2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【答案】8 3【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题．【详解】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．△EB=ET，△△B=△ETB，△△ETB=△1+△AET，△B=△1+△2，△△AET=△2，△AE=CD，ET=CK，△△AET△△DCK(SAS)，△DK=AT，△ATE=△DKC，△△ETB=△DKB，△△B=△DKB，△DB=DK，△BD=AT，△AD=BT，△BT=2BF=83，△AD=83，故答案为：83．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．例3．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足△BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使△AEC＝60°，求证：△AEC△△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作△AFH ＝120°，且AF＝HF，△HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明△BCD=△EAC，然后利用AAS即可证明△AEC△△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使△AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC△△CDB和△HGF△△FEA 即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使△AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE△△CBM和△HGF△△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：△△ABC是等边三角形，△AC=BC，△ACB=60°，△△BCD+△ACE=120°，△△AEC=60°，△△ACE+△EAC=120°，△△BCD=△EAC，在△AEC和△CDB中△60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,△△AEC△△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使△AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC△△CDB，△BD=CE，△△AEC=60°，△△AEF =120°，△△AFH ＝120°，△△AFE+△FAE=△AFE+△GFH=60°，△△FAE=△GFH，△△HGF=△AEF=120°，AF=FH，△△HGF△△FEA（AAS），△GH=EF，△CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使△AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，△△BDC=60°，△△BDM是等边三角形，△△BMD=60°，△△AED=60°，△△AEC=△CMB=120°，△△ACB=60°，△△ACE+△BCE=△ACE+△CAE=60°，△△CAE=△BCE，△AC=BC，△△ACE△△CBM（AAS），△CE=BM=BD，由（2）可证△HGF△△FEA（AAS），△GH=FE，△EF=CF+CE△HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·济南高新区第一实验学校八年级期中）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．152B ．152C ．3D ．125【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF△在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4△AB=5，△△CAD＝△BAD，AE＝AE，△△AEF△△AEG（SAS）△FE＝GE，△要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值，故当C、E、G三点共线时，符合要求，此时，作CH△AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，AC BC AB CH，△CH=·AC ABBC=125，即：CE+EF的最小值为125，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．2．（2019·湖北黄冈市·八年级期中）如图，已知四边形ABCD中，AD△BC，若△DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分△ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（）A ．AB ＞AD+BCB ．AB ＜AD+BC C ．AB ＝AD+BCD ．无法确定【答案】C【分析】 在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，易得△AEB=90°和△ADE△△AFE ，再证明△BCE△△BFE ，利用全等三角形对应边相等即可得出三条线段之间的关系.【详解】解：如图所示，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF ，△AD△BC ，△△ABC+△DAB=180°，又△BE 平分△ABC ，AE 平分△DAB △△ABE+△EAB=()1ABC DAB 2∠+∠=90°， △△AEB=90°即△2+△4=90°，在△ADE 和△AFE 中，AD=AF DAE=FAE AE=AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ADE△△AFE （SAS ），所以△1＝△2，又△2+△4＝90°，△1+△3＝90°，所以△3＝△4，在△BCE 和△BFE 中，CBE=FBE BE=BE3=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩△△BCE△△BFE （ASA ），所以BC ＝BF ，所以AB ＝AF+BF ＝AD+BC ；故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，截长补短是证明线段和差关系的常用方法.二、填空题3．（2020·山西九年级期中）如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．【答案】6【分析】在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，由,,,A B C D 四点共圆得△ABE ACD =∠，再证明ABE ACD ≅∆，△ADE 是等边三角形，得AD DE AE ==，再由线段的和差关系可得结论．【详解】解：在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，△180BAD BCD ∠+∠=︒△,,,A B C D 四点共圆，△△ABD ACD =∠△△ABE ACD =∠△△ABC 是等边三角形，△AB AC BC ==，60DAE ∠=︒，△△ABE ACD ≅∆，△60BAE CAF +∠=︒，△,BAE CAD BAF CAD ∠=∠∠=∠，△△60CAD CAE +∠=︒，即60DAE ∠=︒，△△ADE 是等边三角形，△AD DE AE ==，△=8BD ，2CD =，△6DE BD BE BD CD =-=-=，△6AD DE ==．【点睛】=∠是此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明△ABE ACD解答此题的关键．4．（2020·无锡市羊尖中学八年级月考）如图，四边形ABCD中，△BAD＝120°，△B＝△D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则△AMN＋△ANM的度数是________．【答案】120°【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN 的周长最小，则三角形的三边要共线，根据△BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N如图所示，此时△AMN的周长最小△△ABM=90°△△EBM=90°在△AMB和△EMB中AB BE ABM EBM MB MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AMB△△EMB△△BEM=△BAM△△AMN=2△BAM同理可得：△AND△△FDN△△NAD=△NFD△△ANM=2△NAD设△BAM=x ，△MAN=z ，△NAD=y△△BAD=120°△12022180x y z x y z ++=︒⎧⎨++=︒⎩解得：60x y +=︒即△AMN+△ANM=2×60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．三、解答题5．（2021·安徽合肥市·八年级期末）如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D 作DM△AB 于M ，由 CA ＝CB ，90ACB =︒，得ABC 是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD ＝MD ，△ABC ＝45°，根据全等三角形的性质得到AC ＝AM ，于是得到结论；（2）如图2，设△ACB ＝α，则△CAB ＝△CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，根据角平分线的定义得到△CAD ＝△KAD ，根据全等三角形的性质得到△ACD ＝△AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，根据等腰三角形的性质得到△CAB ＝△CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到△HAD ＝△CAD ＝20°，求得△ADH ＝△AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，根据全等三角形的性质得到△ACB ＝△AKD ＝100°，CD ＝DK ，根据等腰三角形的性质得到DH ＝BH ，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D 作DM△AB 于M ，△在ABC 中，AC BC =，△△ABC ＝45°，△△ACB ＝90°，AD 是角平分线，△CD ＝MD ，△△BDM ＝△ABC ＝45°，△BM ＝DM ，△BM ＝CD ，在RT△ADC 和RT△ADM 中，CD MD AD AD ⎧⎨⎩＝＝， △RT△ADC△RT△ADM （HL ），△AC ＝AM ，△AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设△ACB ＝α，则△CAB ＝△CBA ＝90°−12α， 在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，△AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK△BK ＝BD ，△AD 是角平分线，△△CAD ＝△KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ △△CAD△△KAD （SAS ），△△ACD ＝△AKD ＝α，△△BKD ＝180°−α，△BK ＝BD ，△△BDK ＝180°−α，△在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12α＝180°， △α＝108°，△△ACB ＝108°；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，△△ACB＝100°，AC＝BC，△△CAB＝△CBA＝40°，△AD是角平分线，△△HAD＝△CAD＝20°，△△ADH＝△AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD△△KAD，△△ACB＝△AKD＝100°，CD＝DK，△△DKH＝80°＝△DHK，△DK＝DH＝CD，△△CBA＝40°，△△BDH＝△DHK -△CBA =40°，△DH＝BH，△BH＝CD，△AB＝AH＋BH，△AB＝AD＋CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．6．（2020·全国九年级课时练习）如图，A、P、B、C是△O上四点，△APC=△CPB=60°．（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．（3）求证：PA+PB=PC．【答案】（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA 是菱形，理由见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）利用圆周角定理可得△BAC=△CPB，△ABC=△APC，而△APC=△CPB=60°，则可得△BAC=△ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，通过证明△OAP和△OBP均为等边三角形，得到OA=AP=OB=BP即可得证；（3）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB△△ADC，证明BP=CD即可得证结论．【详解】（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在△O中，△△BAC与△CPB是BC所对的圆周角，△ABC与△APC是AC所对的圆周角，△△BAC=△CPB，△ABC=△APC，又△△APC=△CPB=60°，△△ABC=△BAC=60°，△△ABC为等边三角形；（2）当点P位于AB中点时，四边形PBOA是菱形，如图1，连接OP．△△AOB=2△ACB=120°，P是AB的中点，△△AOP=△BOP=60°又△OA=OP=OB，△△OAP和△OBP均为等边三角形，△OA=AP=OB=PB，△四边形PBOA是菱形；（3）如图2，在PC上截取PD=AP，又△△APC=60°，△△APD是等边三角形，△AD =AP =PD ，△ADP =60°，即△ADC =120°．又△△APB =△APC +△BPC =120°，△△ADC =△APB ．在△APB 和△ADC 中，APB ADC ABP ACD AP AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△APB △△ADC （AAS ），△BP =CD ，又△PD =AP ，△CP =BP +AP ．【点睛】本题考查圆内接多边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键．。

平均数，中位数，众数，方差一、选择题1.（浙江省衢州市）为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了 6 次测试，成绩如下表：甲和乙两位同学 6 次测试成绩 ( 每分钟输入汉字个数 ) 及部分统计数据表有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，其中说法正确的是( )A、甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定；B、甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定；C、乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定；D、乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定；答案： C2.（淅江金华）金华火腿闻名遐迩。

某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分别装质量为500 克的火腿心片。

现从它们分装的火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如表所示，你认为包装质量最稳定的切割包装机是（）A、甲B、乙C、丙 D 、不能确定答案： A3.(浙江义乌 )国家实行一系列惠农政策后，农村居民收入大幅度增加．下表是2003 年至 2007 年我市农村居民年人均收入情况（单位：元），则这几年我市农村居民年人均收入的中位数是()A．6969 元B．7735 元C．8810 元D．10255元答案： B4.（湖南益阳）某班第一小组 7 名同学的毕业升学体育测试成绩 (满分 30 分 )依次为： 25,23,25,23,27,30,25，这组数据的中位数和众数分别是A. 23,25B. 23,23C. 25,23D. 25,25答案： D5.(浙江省绍兴市 )在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同，而方差分别为 8.7，6.5， 9.1， 7.7，则这四人中，射击成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案： B6.（四川巴中市）下列命题是真命题的是（）A．对于给定的一组数据，它的平均数一定只有一个B．对于给定的一组数据，它的中位数可以不只一个C．对于给定的一组数据，它的众数一定只有一个D．对于给定的一组数据，它的极差就等于方差答案： A7.（四川巴中市）用计算器计算数据13.49，13.53，14.07，13.51，13.84，13.98，14.67，14.80，14.61，14.60，14.41，14.31，14.38，14.02，14.17 的平均数约为 () A． 14.15B．14.16C．14.17D．14.20答案： B8．（陕西省）在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中 8 位工作者的捐款分别是 5 万， 10 万， 10 万， 10 万， 20 万， 20 万，50 万， 100 万．这组数据的众数和中位数分别是（）A．20 万， 15 万B．10 万，20 万C．10 万，15 万D．20万，10万答案： C9．(北京)众志成城，抗震救灾．某小组7 名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30， 50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A．50，20B． 50，30C．50，50D．135，50答案： C10.（湖北鄂州）数据的众数为，则这组数据的方差是（）A． 2B．C．D．答案： B11.（浙江省嘉兴市）已知甲、乙两组数据的平均数分别是，，方差分别是，，比较这两组数据，下列说法正确的是（）A．甲组数据较好B．乙组数据较好C．甲组数据的极差较大D．乙组数据的波动较小答案：D12．（山东省枣庄市）小华五次跳远的成绩如下（单位：m）： 3.9， 4.1, 3.9, 3.8, 4.2．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．极差是 0.4B．众数是 3.9C．中位数是 3.98D．平均数是 3.98答案： B13．（山东济南）“迎奥运，我为先” 联欢会上，班长准备了若干张相同的卡片，上面写的是联欢会上同学们要回答的问题 . 联欢会开始后，班长问小明：你能设计一个方案，估计联欢会共准备了多少张卡片？小明用20 张空白卡片（与写有问题的卡片相同），和全部写有问题的卡片洗匀，从中随机抽取10 张，发现有2 张空白卡片，马上正确估计出了写有问题卡片的数目，小明估计的数目是（）A.60 张B.80 张C.90张D.110答案： B14．（湖北黄石）若一组数据2， 4，， 6，8 的平均数是 6，则这组数据的方差是（）A．B．8C．D．40答案： B15.( 湖南益阳 )某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩(满分 30 分)依次为： 25,23,25,23,27,30,25，这组数据的中位数和众数分别是 ( )A. 23,25B. 23,23C. 25,23D. 25,25答案： D16.( 重庆 )数据2，1，0，3，4的平均数是（）A、0B、1C、 2D、3答案： C17．（ 08 厦门市）某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差答案： C18．（08 乌兰察布市）十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（）A．B．C．D．答案： B19．（08 绵阳市）某校初三·一班 6 名女生的体重（单位：kg）为：353638 404242 则这组数据的中位数等于（）．A．38B．39C．40D．42答案： B20．（浙江金华）金华火腿闻名遐迩。

某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20%，B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是50%50%．考点：一元一次方程的应用．分析：根据题意计算出涨价后，原A价格为18元，B上涨10%，变为11元，得出总成本上涨12%，即可得出涨价前每100千克成本以及涨价后每100千克成本，进而得出x的值即可得出答案．解答：解：原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克，则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x），涨价后每100千克成本为18x+11（100-x），18x+11（100-x）=[15x+10（100-x）]•（1+12%），18x+11（100-x）=1.12[15x+10（100-x）]，7x+1100=5.6x+1120，1.4x=20，解得：x=千克，100-x=千克，即二者的比例是：A：B=1：6，则涨价前每千克的成本为+=元，销售价为元，利润为7.5元，原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%=3元，保证利润为7.5元，则利润率为：7.5÷（12+3）=50%．故答案为：50%．北关中学实验室有浓度不同的A、B两种酒精，A种酒精重30千克，B种酒精重70千克．现从这两种酒精中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种酒精所倒出的部分与另一种酒精余下的部分混合，若混合后的两种酒精所含的纯酒精浓度相同，则从每种酒精中倒出的相同的重量是21千克．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题．分析：由题意可得现在A种酒精的重量为30千克，B种酒精的重量为70千克，可根据“混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同”来列等量关系．解答：解：设原来A种酒精的浓度为a，原来B种酒精的浓度为b，从每种饮料中倒出的相同的重量是x 千克．由题意，得$\frac{ax+b（70-x）}{70}$=$\frac{bx+a（30-x）}{30}$，化简得（10a-10b）x=210a-210b，即（a-b）x=21（a-b），∵a≠b，∴x=21．∴从每种酒精中倒出的相同的重量是21千克，故答案为：21．小锋骑车在环城路上匀速行驶，每隔5分钟有一辆公共汽车从对面向后开过，每隔20分钟又有一辆公共汽车从后向前开过，若公共汽车也匀速行驶，不计中途耽误时间，则公交车车站每隔88分钟开出一辆公共汽车．考点：三元一次方程组的应用．专题：行程问题．分析：设相邻汽车间距离为L，汽车速为V1，自行车为V2，间隔时间为t．根据题意列出三元一次方程组、并解方程组即可．解答：解：设相邻汽车间距离为L，汽车速为V1，自行车为V2，间隔时间为t．则根据题意，得，由，得V1=V2，④将①、④代入②，解得t=8．故答案是：8．甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了7、11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙7070元．考点：一元一次方程的应用．分析：因为出了同样的钱买所有商品，所以三人在丙买的件数以外还有18件商品的钱也由三个人均摊，就是说又各出了六件的钱．丙出的钱实际上是帮甲垫了一件加帮乙垫了5件，也是甲乙该还的钱．解答：解：（7+11）÷3=6，甲比乙多拿了一件，所以一件是14元．14×（11-6）=70．乙付给丙70元．烧杯甲中盛有浓度为a%的盐水m升，烧杯乙中盛有浓度为b%的盐水m升（a＞b），现将甲中盐水的倒入乙中，混合均匀后再由乙倒回甲，估甲中的盐水恢复为m升，则互掺后甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差与互掺前甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差之比为．考点：列代数式．分析：根据烧杯甲中盛有浓度为a%的盐水m升，烧杯乙中盛有浓度为b%的盐水m升（a＞b），得出两烧杯的纯盐量的差，再表示出甲中盐水的倒入乙中，混合均匀后再由乙倒回甲后，两烧杯的纯盐量，进而得出答案．解答：解：∵烧杯甲中盛有浓度为a%的盐水m升，烧杯乙中盛有浓度为b%的盐水m升（a ＞b），∴两烧杯的纯盐量的差为：ma%-mb%=m（a%-b%），∵将甲中盐水的倒入乙中，混合均匀后再由乙倒回甲，∴盐水倒入乙中后，烧杯乙浓度为：=，再根据混合均匀后再由乙倒回甲，∴倒回甲后，甲的含盐量为：ma%+×m=ma%+b%，乙的含盐量为：m，∴互掺后甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差为：m（a%-b%），∴互掺后甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差与互掺前甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差之比为：，故答案为：．重庆兴华皮鞋厂的一批皮鞋，需要从西部鞋都（重庆璧山）运往相距300千米的四川成都．甲、乙两车分别以80千米/时和60千米/时的速度同时出发，甲车在距成都130千米的A处发现有部分皮鞋丢在B处，立即以原速返回到B处取回皮鞋，甲车为了还能比乙车提前到达成都，开始以100千米/小时的速度加速向成都前进，设A与B的距离为a千米，结果甲车比乙车提前到达成都（不考虑其它因素），则a的取值范围是0＜a＜700＜a＜70．考点：一元一次不等式组的应用．专题：计算题．分析：根据题意，知甲走的路程是2AB 与300的和，根据时间=路程÷速度，分别表示出甲、乙共用的时间，再根据甲车所用的时间小于乙车所用的时间，列不等式进行求解即可解答．解答：解：，解得a＜70．又∵a＞0，所以，a的取值范围为0＜a＜70．．。