2020年重庆市中考数学第18题专题突破

专题18 概率初步一、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

二、随机事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。

要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。

所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

三、概率的意义与表示方法1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

2、事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P四、确定事件和随机事件的概率之间的关系1、确定事件概率(1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1(2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=02、确定事件和随机事件的概率之间的关系事件发生的可能性越来越小0 1概率的值不可能发生必然发生事件发生的可能性越来越大五、列表法求概率1、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

六、树状图法求概率1、树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

【例1】(2019•上海)一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：Q在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为21 63 =，故答案为：13．【例2】(2018•上海)从27，π，3这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为．【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中无理数有π、3共2种情况，则可利用概率公式求解．【解答】解：Q在27，π，3这三个数中，无理数有π，3这2个，∴选出的这个数是无理数的概率为23，故答案为：23．1．(2019•虹口区二模)下列事件中，必然事件是()A．在体育中考中，小明考了满分B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1D．四边形的外角和为180度．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、在体育中考中，小明考了满分是随机事件；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；C、抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；D、四边形的外角和为180度是不可能事件，故选：C．2．(2019•青浦区二模)将分别写有“创建”、“智慧”、“校园”的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“创建智慧校园”的概率是．【分析】根据题意画出三张卡片排列的所有等可能结果，再由树状图确定恰好排列成“创建智慧校园”的结果数，依据概率公式可得答案．【解答】解：根据题意，画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能排列的方式，其中恰好排列成“创建智慧校园”的只有1种，∴恰好排列成“创建智慧校园”的概率是16，故答案为16．3．(2019•浦东新区二模)从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是．【分析】列举出所有情况，看末位是2的情况占所有情况的多少即可．【解答】解：共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为13，故答案为：13．4．(2019•静安区二模)从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是．【分析】利用列举法展示所有4种等可能的结果数，再确定取得的3个数中不含2的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：从0，1，2，3这四个数字中任取3个数有0、1、2；0、1、3；0、2、3；1、2、3四种等可能的结果数，所以取得的3个数中不含2的概率14 =．故答案为14．5．(2019•虹口区二模)一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有个．【分析】设红球有x个，根据摸到白球的概率为0.4列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设红球有x个，根据题意得：40.44x=+， 解得：6x =，答：红球有6个；故答案为：6．6．(2019•嘉定区二模)不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为 ．【分析】用红色小球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：Q 袋子中共有8个小球，其中红色小球有2个，∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为2184=， 故答案为：14． 7．(2019•松江区二模)在不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是13，那么白色棋子的个数是 ． 【分析】设白色棋子的个数为x ，利用概率公式得到4143x =+，然后利用比例性质求出x 即可． 【解答】解：设白色棋子的个数为x ， 根据题意得4143x =+， 解得8x =，即白色棋子的个数为8．故答案为8．8．(2019•徐汇区二模)在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和15个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ．【分析】直接利用概率公式求解． 【解答】解：任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率515154==+． 故答案为14．9．(2019•金山区二模)从方程20x =1-，2240x x -+=中，任选一个方程，选出的这个方程无实数解的概率为 ．1-，再计算2240x x -+=的△0<，因此也无实数解，再利用概率可得答案．【解答】解：Q 11x -=-，2240x x -+=无实数解，∴无实数解的概率为23， 故答案为：23． 10．(2019•普陀区二模)如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是 ．【分析】直接利用轴对称图形的性质进而结合概率公式得出答案．【解答】解：如图所示：在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3，4，5共5个，故这个事件的概率是：57． 故答案为：57．11．(2019•闵行区二模)从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是 ．【分析】直接利用概率求法进而得出答案．【解答】解：从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是：415213=． 故答案为：113． 12．(2019•黄浦区二模)掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是 ．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是2的倍数有2、4和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是2的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4，6，故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是：31 62 =．故答案为：12．13．(2019•长宁区二模)掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为31 62 =，故答案为：12．14．(2019•杨浦区三模)在“石头、剪刀、布”的游戏中，两人打出相同标识手势的概率是．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人打出相同标识手势的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：Q共有9种等可能的结果，两人打出相同标识手势的有3种情况，∴两人打出相同标识手势的概率是：31 93 =．故答案为：13．15．(2019•崇明区二模)从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是素数的概率是．【分析】根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．【解答】解：1Q，2，3，4，5，6，7，8这8个数有4个素数，2∴，3，5，7；故取到素数的概率是12．故答案为：12．。

2020重庆中考数学18题专题及答案二中考数学18题专题及答案二1. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 240 吨．解：设货物总吨数为x吨．甲每次运a吨，乙每次运3a吨，丙每次运b吨．，=，解得x=240．故答案为：240．2.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了4380 朵．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．3.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开 40 分钟．考点：三元一次方程组的应用．解：设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，则有：，两式相除得：，解得：x=40，即出水管比进水管晚开40分钟．故答案为：40．4. 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的20%（毛利润=售出价-买入价），二月份该商场将每台售出价调低10%（买入价不变），结果销售台数比一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月份毛利润总额的比是11∶10 。

中考数学18题专题及答案 1． 含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa-+-+=去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 6 千克。

设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，=，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤 ）设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．1、四川省安岳县，是我国的柠檬生产基地。

超市里有一种柠檬水，由水和柠檬汁混合配制。

中考数学18题专题及答案1．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克设A种饮料的浓度为a，B种饮料的浓度为b，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()() 40604060x a xb x b xa-+-+=去分母()()604060406040x a xb x b xa-+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa-+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a-++-=-合并得：()()1002400b a x b a-=-所以：24x=2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 6 千克。

设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，= ，整理得（b-a）x=6（b-a），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤）设含铜量甲为a乙为b，切下重量为x．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．1、四川省安岳县，是我国的柠檬生产基地。

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购买1吨柠檬汁的钱可以购买20吨的水。

2020重庆中考复习数学第18题专题训练（含答案）例1、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值．练习：在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连CF交DE于P，则CP的最大值为．例2、如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝4，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC 一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．练习：如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝2，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．例3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB 的下方作等边△ABC，则线段OC的最小值为．练习：1、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值为．2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．参考答案解析例1、（2019秋•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值．解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠F AQ+∠AFQ＝90°，∵四边形ADEF是正方形，∴F A＝AD，∠F AD＝90°，∴∠F AQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，在△AFQ和△DAO中，，∴△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝6，又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ADO+∠CDP＝90°，且∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠OAD＝∠CDP，且∠PCD＝∠AOD＝90°，∴△AOD∽△DCP，∴，设OD＝x，则CD＝6﹣x（2≤x≤6），∴，∴PC＝﹣（x﹣3）2+，∴CP的最大值为，练习：（2016春•武汉校级月考）在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连CF交DE于P，则CP的最大值为1．解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠F AQ+∠AFQ＝90°，∵四边形ADEF是正方形，∴F A＝AD，∠F AD＝90°，∴∠F AQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，在△AFQ和△DAO中，，∴△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝4，又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴△AOD∽△DCP，∴＝，设OD＝x，则CD＝4﹣x（1≤x≤4），则＝，即PC＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，PC最大＝1，例2、（2017•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝4，BC＝3，∠BCA ＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF 的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．解：如图，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAF中，，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝4，∴由勾股定理得AQ＝CQ＝4．设CD＝x，∴DQ＝4﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在Rt△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°，∴△AQD∽△DCP，∴，∴．∴CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1．∴当x＝2时，CP有最大值1．练习：如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝2，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．解：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG，可证△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝2，∴由勾股定理可求得AQ＝CQ＝2．设CD＝x，∴DQ＝2﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°，∴△AQD∽△DCP，∴＝，∴＝．∴CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+．∴当x＝1时，CP有最大值．例3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB 的下方作等边△ABC，则线段OC的最小值为．解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝4，∴点P在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，∴OC＝OF＝2，则OC的最小值为2．练习：如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．以AB 为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值为．解：以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．可得△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，则OP的最小值为．2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为2．解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝4，∴点C在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，∴OC＝OF＝2，则OC的最小值为2．。

2020重庆中考复习数学第18题专题训练七（含答案解析）例1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最小值为练习：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为例2、如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为例3、（2018秋•鄞州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，点D是BC 上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是．练习：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，D为线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC 外作等边△BDE．若F为DE中点，则CF的最小值为．例4、（2019•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是参考答案解析例1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝5，AC＝，CB的反向延长线上有一动点D，以AD为边在右侧作等边三角形，连CE，CE最小值为解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，在AC的右侧作等边△ACF，连接EF，如图所示：则AC＝AF＝CF＝AC＝5，∠CAF＝∠AFC═60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠CAF，∴∠CAD＝∠F AE，在△DAC和△EAF中，，∴△DAC≌△EAF（SAS），∴∠ACD＝∠AFE＝90°，∴∠CFE＝90°﹣60°＝30°，当CE⊥EF时，CE有最小值，∴CE的最小值＝CF＝；练习：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为解：如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，∴AC＝2，∵△ACF是等边三角形，∴CF＝AC＝AF＝2，∠BCF＝60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠F AC＝∠DAE＝60°，∴∠F AD＝∠CAE，∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小，∵∠FCD'＝90°﹣60°＝30°，D'F⊥CB，∴CD'＝CF＝3，例2、如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为解：如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，∴∠ABC＝60°，BC＝2，∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∵△BCF是等边三角形，∴CF＝BC＝BF＝2，∠BCF＝60°＝∠DCE，∴∠BCE＝∠DCF，且BC＝CF，DC＝CE，∴△BCE≌△FCD（SAS）∴BE＝DF，∴DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，∵∠FBD'＝180°﹣60°﹣60°＝60°，D'F⊥AB，∴BD'＝BF＝1，∴AD'＝AB+BD'＝5，例3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝4，点D是BC上一动点，以BD为边在BC的右侧作等边△BDE，F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是2．解：以BC为边作等边三角形BCG，连接FG，AG，作GH⊥AC交AC的延长线于H，∵△BDE和△BCG是等边三角形，∴DC＝EG，∴∠FDC＝∠FEG＝120°，∵DF＝EF，∴△DFC≌△EFG（SAS），∴FC＝FG，∴在点D的运动过程中，AF+FC＝AF+FG，而AF+FG≥AG，∴当F点移动到AG上时，即A，F，G三点共线时，AF+FC的最小值＝AG，∵BC＝CG＝AB＝2，AC＝2，在Rt△CGH中，∠GCH＝30°，CG＝2，∴GH＝1，CH＝，∴AG＝＝＝2，∴AF+CF的最小值是2．练习：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，D为线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC 外作等边△BDE．若F为DE中点，则CF的最小值为．解：如图，过点D作DG⊥BC于G，过点F作FH⊥BC于H，设等边△BDE的边长为x，∵∠ABC＝30°，∴BG＝x，DG＝x，∵∠ABC＝30°，△BDE是等边三角形，∴∠CBE＝90°，∵F为DE中点，∴FH是梯形BEDG的中位线，∴FH＝（x+x）＝x，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，∴AB＝2×4＝8，BC＝4，又∵BH＝BG＝x，∴CH＝4﹣x，在Rt△CFH中，CF2＝CH2+FH2＝（4﹣x）2+（x）2＝x2﹣6x+48＝（x﹣4）2+36，∵D为线段AB上一个动点，∴0＜x＜8，∴当x＝4时，CF2有最小值36，∴CF的最小值为＝6．例4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC 内一动点，且满足∠APB＝120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是解：如图以AB为边，向左边作等边△ABE，作△ABE的外接圆⊙O，连接OB，则点P在⊙O上．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2，∴AB＝4，则易知OB＝4，OB⊥BC，作点D关于AC的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OD′＝＝，∴PD′≥﹣4，∴PQ+DQ的最小值为﹣4，。

第四篇图形的性质专题18等腰三角形与直角三角形知识点名师点晴等腰三角形等腰三角形的性质理解等腰三角形的性质,并能解决等腰三角形的有关计算等腰三角形的判定掌握等腰三角形的判定方法,会证明一个三角形是等腰三角形等边三角形等边三角形的性质理解等边三角形的性质等边三角形的判定掌握等边三角形的判定方法,会证明一个三角形是等边三角形直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定掌握直角三角形的判定方法,会证明一个三角形是直角三角形勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理归纳1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°．2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角（或直角）,但顶角可为钝角（或直角）． ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ,底边长为b ,则2b ＜a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ,底角为∠B 、∠C ,则∠A =180°—2∠B ,∠B =∠C =2180A ∠-︒ 注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题,并证明角相等的问题．【例1】（2019内蒙古包头市,第10题,3分）已知等腰三角形的三边长分别为a 、b 、4,且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根,则m 的值是（ ）A ．34B ．30C ．30或34D ．30或36归纳 2：等边三角形基础知识归纳：1．定义三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°3．判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【例2】（2019四川省宜宾市,第7题,3分）如图,∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心,∠EOF 的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．32B．235C．33D．34归纳3：直角三角形基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余．（2）在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半．基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形．（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定,在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,它的逆命题不能直接使用．【例3】（2019山东省东营市,第14题,3分）已知等腰三角形的底角是30°,腰长为23,则它的周长是．归纳4：勾股定理基础知识归纳：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即：a2+b2=c2；基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形．注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法,通常与直角三角形的性质结合起来考查．【例4】（2019北京,第12题,2分）如图所示的网格是正方形网格,则∠P AB+∠PBA= °（点A,B,P是网格线交点）．【2019年题组】一、选择题1．（2019四川省内江市,第9题,3分）一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一根,则此三角形的周长是（）A．16B．12C．14D．12或162．（2019宁夏,第5题,3分）如图,在△ABC中AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE．连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°3．（2019山西省,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,直线a∥b,顶点C在直线b上,直线a交AB于点D,交AC与点E,若∠1=145°,则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°4．（2019衢州,第7题,3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°5．（2019湖北省荆州市,第5题,3分）如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．（2019湖南省常德市,第7题,3分）如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．267．（2019湖南省长沙市,第12题,3分）如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD55BD的最小值是（）A．25B．45C．53D．108．（2019辽宁省丹东市,第7题,3分）等腰三角形一边长为2,它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,则k的值是（）A．8B．9C．8或9D．129．（2019台湾,第4题,3分）图1的直角柱由2个正三角形底面和3个矩形侧面组成,其中正三角形面积为a,矩形面积为b．若将4个图1的直角柱紧密堆叠成图2的直角柱,则图2中直角柱的表面积为何？（）A．4a+2b B．4a+4b C．8a+6b D．8a+12b10．（2019甘肃省天水市,第8题,4分）如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为（）A．（1,1）B．（3C．3,1）D．33）11．（2019内蒙古赤峰市,第14题,3分）如图,小聪用一张面积为1的正方形纸片,按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠,使四个顶点重合,展开后沿折痕剪开,把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作,当完成第2019次操作时,余下纸片的面积为（）A ．22019B ．201812C ．201912 D ．20201212．（2019台湾,第9题,3分）公园内有一矩形步道,其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式,其中正方形地砖为连续排列且总共有40个．求步道上总共使用多少个三角形地砖？（ ）A ．84B ．86C ．160D ．16213．（2019四川省内江市,第10题,3分）如图,在△ABC 中,AB =2,BC =3.6,∠B =60°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△ADE ,当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时,则CD 的长为（ ）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.614．（2019四川省成都市,第5题,3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起,若∠1=30°,则∠2的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°15．（2019四川省眉山市,第11题,3分）如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ,交BC 于点F ,则DE 的长是（ ）A．1B．74C．2D．12516．（2019四川省绵阳市,第10题,3分）公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则（sinθ﹣cosθ）2=（）A．15B．55C．355D．9517．（2019滨州,第10题,3分）满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为（）A．AB41=,BC=4,AC=5B．AB：B C：A C=3：4：5C．∠A：∠B：∠C=3：4：5D．|cosA12-|+（tanB33-）2=018．（2019聊城,第11题,3分）如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是（）A．AE+AF=AC B．∠BEO+∠OFC=180°C．OE+OF2=BC D．S四边形AEOF12=S△ABC19．（2019江苏省苏州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB．过点D作DE⊥AD,DE交AC于点E．若DE=1,则△ABC的面积为（）A．42B．4C．25D．820．（2019浙江省宁波市,第9题,4分）已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1=25°,则∠2的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°21．（2019浙江省宁波市,第12题,4分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和22．（2019浙江省湖州市,第9题,3分）在数学拓展课上,小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点,则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形,P是其中4个小正方形的公共顶点,小强在小明的启发下,将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀,把它剪成了面积相等的两部分,则剪痕的长度是（）A．22B．5C．352D．1023．（2019海南,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4．点P是边AC上一动点,过点P 作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为（）A．813B．1513C．2513D．321324．（2019湖北省咸宁市,第2题,3分）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A．B．C．D．25．（2019湖北省黄石市,第8题,3分）如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=（）A．125°B．145°C．175°D．190°26．（2019辽宁省朝阳市,第7题,3分）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°27．（2019辽宁省锦州市,第7题,2分）在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M是对角线BD上的动点,过点M作ME ⊥BC于点E,连接AM,当△ADM是等腰三角形时,ME的长为（）A．32B．65C．32或35D．32或65二、填空题28．（2019四川省宜宾市,第16题,3分）如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上,AD 与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N．下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）．①AM=BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC=180°；④111 MN AC CE=+29．（2019自贡,第18题,4分）如图,在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中,∠α、∠β如图所示,则cos（α+β）= ．30．（2019江苏省连云港市,第15题,3分）如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始,按顺时针方向）,如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点B的坐标可表示为（4,1,3）,按此方法,则点C的坐标可表示为．31．（2019江苏省镇江市,第8题,2分）如图,直线a∥b,△ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形,∠A=20°,则∠1= °．32．（2019浙江省温州市,第16题,5分）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG=FE=6分米,且HO=FO=4分米．当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时,点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处,则B'E'﹣BE为分米．33．（2019湖北省荆门市,第15题,3分）如图,在平面直角坐标系中,函数ykx（k＞0,x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为．34．（2019湖北省黄冈市,第16题,3分）如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是．35．（2019辽宁省锦州市,第16题,3分）如图,边长为4的等边△ABC,AC边在x轴上,点B在y轴的正半轴上,以OB为边作等边△OBA1,边OA1与AB交于点O1,以O1B为边作等边△O1BA2,边O1A2与A1B交于点O2,以O2B为边作等边△O2BA3,边O2A3与A2B交于点O3,…,依此规律继续作等边△O n﹣1BA n,记△OO1A的面积为S1,△O1O2A1的面积为S2,△O2O3A2的面积为S3,…,△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n,则S n=．（n≥2,且n为整数）36．（2019广安,第13题,3分）等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm．37．（2019四川省成都市,第12题,4分）如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为．38．（2019广西桂林市,第17题,3分）如图,在平面直角坐标系中,反比例ykx=（k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC52=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为（3,5）．若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为．39．（2019新疆,第14题,5分）如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°,得到△ACD,延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为．40．（2019江苏省徐州市,第18题,3分）函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个．41．（2019湖南省常德市,第14题,3分）如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠BAC=45°,点D在AC边上,将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD',且点D'、D、B三点在同一条直线上,则∠ABD的度数是．42．（2019甘肃省白银市,第17题,4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中,∠A=80°,则它的特征值k= ．43．（2019贵州省毕节市,第17题,5分）如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD．若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为度．44．（2019内蒙古通辽市,第15题,3分）腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为．45．（2019四川省巴中市,第15题,4分）如图,等边三角形ABC内有一点P,分別连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10．则S△ABP+S△BPC=．46．（2019四川省广元市,第13题,3分）如图,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是．47．（2019四川省泸州市,第16题,3分）如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,点E在边CB上,CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为．48．（2019山东省威海市,第13题,3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1=23°,则∠2=°．49．（2019山东省威海市,第17题,3分）如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接AC,BD．若∠ACB=90°,AC=BC,AB=BD,则∠ADC=°．50．（2019枣庄,第17题,4分）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上．若AB=2,则CD= ．51．（2019山东省淄博市,第17题,4分）如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D（不与点A,C重合）处,折痕是EF．如图1,当CD12=AC时,tanα134=；如图2,当CD13=AC时,tanα2512=；如图3,当CD14=AC时,tanα3724=；……依此类推,当CD11n=+AC（n为正整数）时,tanαn= ．52．（2019山西省,第15题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=10cm,点D为△ABC内一点,∠BAD=15°,AD=6cm,连接BD,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为cm．53．（2019广西,第18题,3分）如图,AB与CD相交于点O,AB=CD,∠AOC=60°,∠ACD+∠ABD=210°,则线段AB,AC,BD之间的等量关系式为．54．（2019江苏省宿迁市,第17题,3分）如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C 在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是．55．（2019湖北省鄂州市,第15题,3分）如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP= ．56．（2019湖南省株洲市,第13题,3分）如图所示．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB= ．57．（2019湖南省株洲市,第18题,3分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A（0,1）,点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为．58．（2019湖南省邵阳市,第17题,3分）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是．59．（2019西藏,第15题,3分）若实数m 、n 满足|m ﹣3|4n +-=0,且m 、n 恰好是直角三角形的两条边,则该直角三角形的斜边长为 ．60．（2019贵州省毕节市,第19题,5分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置,点C 在FD 的延长线上,点B 在ED 上,AB ∥CF ,∠F =∠ACB =90°,∠E =45°,∠A =60°,AC =10,则CD 的长度是 ．61．（2019贵州省铜仁市,第16题,4分）如图,在△ABC 中,D 是AC 的中点,且BD ⊥AC ,ED ∥BC ,ED 交AB 于点E ,BC =7cm ,AC =6cm ,则△AED 的周长等于 cm ．62．（2019辽宁省丹东市,第13题,3分）如图,在△ABC 中,∠C =90°,DE 是AB 的垂直平分线,AD 恰好平分∠BAC ．若DE =1,则BC 的长是 ．63．（2019辽宁省大连市,第13题,3分）如图,△ABC 是等边三角形,延长BC 到点D ,使CD =AC ,连接AD ．若AB =2,则AD 的长为 ．64．（2019辽宁省抚顺市,第17题,3分）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CA =CB =2,D 是△ABC 所在平面内一点,以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,则BD 的长为 ．65．（2019黑龙江省鸡西市,第9题,3分）一张直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D为BC边上的任一点,沿过点D的直线折叠,使直角顶点C落在斜边AB上的点E处,当△BDE是直角三角形时,则CD的长为．66．（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第16题,3分）等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D,且BD12=AC,则等腰△ABC底角的度数为．三、解答题67．（2019内蒙古呼和浩特市,第18题,6分）如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a=6,b=8,c=12,请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若()12a b caa b c c++=-+,求证：△ABC是直角三角形．68．（2019四川省巴中市,第18题,8分）如图,等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上,分别过点A、B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D．（1）求证：EC=BD；（2）若设△AEC三边分别为a、b、c,利用此图证明勾股定理．69．（2019四川省达州市,第20题,7分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3．（1）尺规作图：不写作法,保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线,交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线,垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中,求DE的长．70．（2019山东省菏泽市,第23题,10分）如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证：B P⊥CD；（2）如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=62,AD=3,求△PDE的面积．【2018年题组】一、选择题1．（2018浙江省湖州市,第5题,3分）如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2018兰州,第5题,4分）如图,AB∥CD,AD=CD,∠1=65°,则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°3．（2018贵州省安顺市,第6题,3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是（）A．12B．9C．13D．12或94．（2018辽宁省丹东市,第5题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB与点E,已知△BCE的周长为10,且BC=4,则AB的长为（）A．3B．4C．5D．65．（2018辽宁省营口市,第6题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面内,将△ABC绕点A 顺时针旋转到△AB1C1的位置,连接BB1,若BB1∥AC1,则∠CAC1的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°6．（2018台湾省,第11题,3分）如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1307．（2018山东省德州市,第12题,4分）如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于433；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2018四川省达州市,第8题,3分）如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）A．32B．2C．52D．39．（2018广西梧州市,第7题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,△AB'C'与△ABC关于直线EF对称,∠CAF=10°,连接BB',则∠ABB'的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°10．（2018江苏省宿迁市,第6题,3分）若实数m、n满足等式|m﹣4n =0,且m、n恰好是等腰△ABC 的两条边的边长,则△ABC的周长是（）A．12B．10C．8D．611．（2018广西玉林市,第9题,3分）如图,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC 为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直12．（2018浙江省台州市,第10题,4分）如图,等边三角形ABC边长是定值,点O是它的外心,过点O任意作一条直线分别交AB,BC于点D,E．将△BDE沿直线DE折叠,得到△B'DE,若B'D,B'E分别交AC于点F,G,连接OF,OG,则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B'FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值13．（2018兰州,第7题,4分）如图,边长为4的等边△ABC中,D、E分别为AB,AC的中点,则△ADE的面积是（）A3333B C24 ． ．D．314．（2018福建省A,第5题,4分）如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°15．（2018辽宁省鞍山市,第7题,3分）如图,在等边三角形ABC中,AE=CD,CE与BD相交于点G,EF⊥BD于点F,若EF=2,则EG的长为（）A．334B．433C．332D．416．（2018内蒙古包头市,第8题,3分）如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE．若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°17．（2018吉林省长春市,第8题,3分）如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90°,CA⊥x轴,点C在函数y=kx（x＞0）的图象上,若AB=2,则k的值为（）A．4B．22C．2D．218．（2018四川省内江市,第12题,3分）如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为（2,1）,（6,1）,∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为（）A．（﹣4,﹣5）B．（﹣5,﹣4）C．（﹣3,﹣4）D．（﹣4,﹣3）19．（2018四川省凉山州,第3题,4分）如图,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB 长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为（）A．3B．2C．3D．520．（2018四川省南充市,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F分别为AB,AC,AD 的中点,若BC=2,则EF的长度为（）A．12B．1C．32D321．（2018四川省攀枝花市,第4题,3分）如图,等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上,若a∥b,∠1=30°,则∠2的度数为（）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°22．（2018四川省泸州市,第8题,3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ,较短直角边长为b ．若ab =8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．323．（2018四川省绵阳市,第11题,3分）如图,△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA =CB ,CE =CD ,△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上,若AE 2=,AD 6=,则两个三角形重叠部分的面积为（ ）A ．2B ．32-C ．31-D ．33-24．（2018山东省东营市,第10题,3分）如图,点E 在△DBC 的边DB 上,点A 在△DBC 内部,∠DAE =∠BAC =90°,AD =AE ,AB =AC ．给出下列结论：①BD =CE ；②∠ABD +∠ECB =45°；③BD ⊥CE ；④BE 2=2（AD 2+AB 2）﹣CD 2．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④25．（2018山东省枣庄市,第10题,3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形,线段AB 的端点都在小矩形的顶点上,如果点P 是某个小矩形的顶点,连接P A 、PB ,那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个26．（2018山东省枣庄市,第12题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F．若AC=3,AB=5,则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8527．（2018山东省淄博市,第11题,4分）如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为（）A．4B．6C．43D．828．（2018山东省淄博市,第12题,4分）如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为（）A．25394+B．25392+C．18253+D．3182+29．（2018山东省滨州市,第1题,3分）在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为（）A．5B．6C．7D．830．（2018山东省莱芜市,第8题,3分）在平面直角坐标系中,已知△ABC为等腰直角三角形,CB=CA=5,点C（0,3）,点B在x轴正半轴上,点A在第三象限,且在反比例函数y=kx的图象上,则k=（）A．3B．4C．6D．1231．（2018山东省菏泽市,第3题,3分）如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是（）A．45°B．30°C．15°D．10°32．（2018山东省青岛市,第6题,3分）如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点．沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F．已知EF=32,则BC的长是（）A．322B．32C．3D．3333．（2018山西省,第8题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为（）A．12B．6C．62D．6334．（2018广西贺州市,第10题,3分）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,E是边BC的中点,AD=ED=3,则BC的长为（）A．32B．33C．6D．6235．（2018江苏省南通市,第5题,3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3,4,5B．2,3,4C．4,6,7D．5,11,1236．（2018江苏省扬州市,第7题,3分）在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC37．（2018江苏省扬州市,第8题,3分）如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③38．（2018浙江省温州市,第10题,4分）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）A．20B．24C．994D．53239．（2018海南省,第12题,3分）如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠BAC=30°,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,连接BC1,则BC1的长为（）A．6B．8C．10D．1240．（2018湖北省孝感市,第10题,3分）如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE ⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（3﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5B．4C．3D．241．（2018湖北省荆州市,第4题,3分）如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上,∠1=20°,则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°42．（2018湖北省荆门市,第11题,3分）如图,等腰Rt△ABC中,斜边AB的长为2,O为AB的中点,P为AC边上的动点,OQ⊥OP交BC于点Q,M为PQ的中点,当点P从点A运动到点C时,点M所经过的路线长为（）。

2020重庆中考复习第18题《七类最值问题的求解策略》类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段.EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值．2、（2019秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .A类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．练习如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为．3、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为 .A例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为．例5、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE 的最大值为 ．练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．练习如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，若AC ＝AD ，且∠ACD ＝60°，则对角线BD 的长的最大值为 ．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C 的最小值为 ．练习:如图，在矩形ABCD 中，AB =，1BC =，将ABD ∆沿射线DB 平移到A B D '''∆，连接B C D C ''、，则+B C D C ''的最小值为 .类型七：利用基本不等式求最值参考答案类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，（即将△EAF绕点E逆时针旋转60°得△ENG）作EH ⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC ＝＝22、（2019秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .AA解：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB +GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP∠+PBC,∴∠DBE∠+PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝.练习如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是．解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，CG的最小值为．练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC ＝＝，故答案为：．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为．F解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动,将△EFB绕点E旋转45°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等腰直角三角形，点G在垂直于HE的直线HG上，作CM⊥HG，则CM即为CG的最小值，作EN⊥CM，可知四边形HENM为矩形，则CM＝MN+CN＝HE EC＝123、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB 上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A∠+B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ） ∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线， ∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝4，HM ⊥AD ， ∴EM ＝2，MH ＝EM ＝2，∴线段GD 长度的最小值为2，类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为 .AA解：过E 作EF ⊥AC 于点F . 则∠EFD ＝90°，∵090ACB ∠=，∴∠EFD=∠C ，∵ED=DB ，∠FED =∠CDB ，∴△EFH ≌△EDC ， ∴DF ＝CB =2，EF CD =，设AD x =，则2AF x =+，5EF CD x==-， ∴AE ===32x =时，AE 有最小值2. 例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为．解：过A 作AM ⊥BC 于M ，EN ⊥AM 于N ，如图，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，∴∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，∴∠NAE ＝∠ADM ， 易证得Rt △AMD ≌Rt △ENA ，∴NE ＝AM ，∵∠ACB ＝45°，∴△AMC 为等腰直角三角形，∴AM ＝MC ，∴MC ＝NE ，∵AM⊥BC，EN⊥AM，∴NE∥MC，∴四边形MCEN为平行四边形，∵∠AMC＝90°，∴四边形MCEN为矩形，∴∠DCF＝90°，∴Rt△AMD∽Rt△DCF，∴＝，设DC＝x，∵∠ACB＝45°，，∴AM＝CM＝3，MD＝3﹣x，∴＝，∴CF＝﹣x2+x，∴当x＝1.5时有最大值，最大值为0.75．例5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED，∴AF＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为3 .2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中，∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝2＝1，∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，∴S△BDE＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，∴当BD＝1.5时，S△BDE有最大值为，类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．CA解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF ⊥BC，∴BF ＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF ，∴DF ＝BC＝×4＝2，∴AC ＝DE ≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为 ．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．解法一：∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴AB ＝CD ＝1，∠ABD ＝30°， ∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，∴A ′B ′＝AB ＝1，A ′B ′∥AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠BAD ＝120°，∴A ′B ′＝CD ，A ′B ′∥CD ， ∴四边形A ′B ′CD 是平行四边形，∴A ′D ＝B ′C ，∴A 'C +B 'C 的最小值＝A ′C +A ′D 的最小值，∵点A ′在过点A 且平行于BD 的定直线上， ∴作点D 关于定直线的对称点E ，连接CE 交定直线于A ′，则CE 的长度即为A 'C +B 'C 的最小值，∵∠A ′AD ＝∠ADB ＝30°，AD ＝1，∴∠ADE ＝60°，DH ＝EH ＝AD ＝，∴DE ＝1，∴DE ＝CD ，∵∠CDE ＝∠EDB ′+∠CDB ＝90°+30°＝120°，∴∠E ＝∠DCE ＝30°，∴CE ＝2×CD ＝．解法二：练习:如图，在矩形ABCD 中，AB =，1BC =，将ABD ∆沿射线DB 平移到A B D '''∆，连接B C D C ''、，则+B C D C ''的最小值为 .解法一： 解法一：解法三： 解法四：类型七：利用基本不等式求最值解：原式=1111+12a a++⨯=11+12a a a ++=2222+32a a a a +++=2232+32a a a a a ++-+=21+32aa a -+=112+3a a -+12a a +≥ ，1+35a a ∴+≥，1513a a ∴≤++，1513a a ∴-≥-++， 1142+3a a∴-≥-+.当2a a =，即a =时有最小值4-，此时2b =.。

重庆中考数学第18题专题1（几何部分）1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是.2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________.3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________．4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点 B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________.6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。

7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是.8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为.9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．10、.如图，等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∠CAB的平分线分别交BO，BC于点E，F，BP⊥AF于H，PC⊥BC，AE=1，PG= .11、如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为。

2020重庆中考复习数学第18题专题训练四（含答案解析）例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为 .练习： （2019秋•玄武区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接P A ，PB ，则P A +PB 的最小值为 ．例2、（2019秋•川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为．练习：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△CEF为直角三角形时，CF的长为．例3、（2020•郑州一模）如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC ＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为．练习：（2019•中原区校级三模）如图所示，正方形ABCD中，AB＝8，BE＝DF＝1，M是射线AD上的动点，点A关于直线EM的对称点为A′，当△A′FC为以FC为直角边的直角三角形时，对应的MA的长为．例4、（2019•南京模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．在动点P在射线AD上运动的过程中，使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为．练习：如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝a，点P是A D上一动点，点E是点A关于直线BP的对称点，在点P运动过程中，有且只有一个点E到直线BC的距离等于4，则符合条件的a的取值范围是．例5、（2018秋•奉化区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（，0），C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE＝90°，连结CE．当CE 为最小值时，此时△ACE的面积是．练习：如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，连结CE，当CE达到最小值时，则点E的横坐标等于，例6、（2019秋•大东区期末）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为．例7、（2018春•永嘉县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠CBD＝30°，点E，F分别在边CD 和射线BD上运动，BF＝5CE．设CE＝m．连结EF，把△DEF沿EF翻折得到△D′EF．若D′F与矩形ABCD的边平行，则点D′到直线BC的距离是．练习：如图,在R△ABC中,∠C=90°，AC=10，BC=16，点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动,直线l从与AC重合的位置开始，以相同的速度沿CB方向平行移动，且分别与CB、AB边交于E、F两点，点P 与直线l同时出发，设运动的时向为t秒，当点P移动到与点C重合时，点P和直线l同时停止运动，在移动过程中，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在直线l上，点F的对应点记为点N，连接BN.当BN∥PE时，t的值为2020重庆中考复习数学第18题专题训练四（含答案解析）例1、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M ，且BM=2.在线段AC 上有一动点N ，连接MN ，BN.将BMN ∆沿BN 翻折得到BM N '∆.连接AM '、.CM '则223CM AM ''+的最小值为4373. 解：在BM 上截取BQ=23， 2,3BQ BM QBM M BA BM BA '''==∠=∠'Q ，.BQM BM A ''∴∆∆∠: 1,3QM BQ M A BM '∴==''1,3QM M A ''∴= 2122()2()33CM AM CM AM CM QM ''''''∴+=+=+ 当Q M C '、、三点共线时，=CM QM QC ''+有最小值为：22222237=()4.33QC BQ BC +=+= 223CM AM ''∴+的最小值为4373. 练习： （2019秋•玄武区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接P A ，PB ，则P A +PB 的最小值为 ．解：如图，在BC 上截取CF ＝，连接PF ，CP ，AF ，∵DE ＝4，P 是DE 的中点，∴CP ＝DE ＝2，∵，＝∴，且∠FCP ＝∠BCP ，∴△BCP ∽△PCF ，∴，∴PF ＝BP ，∵P A +PB ＝P A +PF ，∴当点A ，点P ，点F 共线时，P A +PB 的最小值为AF ，∴AF＝＝＝例2、（2019秋•川汇区期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为4或2．解：连接BB′，∵BE＝B′E＝EC，∴∠BB′C＝90°，∴∠B′CD＜90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，∴BC＝2AB＝4，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′，D三点共线，设AE，BB′交于F，∵AB＝AB′，EB＝EB′，∴AE垂直平分BB′，∴BF＝B′F，∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，∵∠BAF＝∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，∴∠BAF＝∠DCB′，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDB′，∴BF＝D′D，∴F，B′是对角线BD的三等分点，∵△BCB′∽△CDB′，∴＝＝，∴＝，∴BC＝CD＝2，故答案为：4或2．练习：如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△CEF为直角三角形时，CF的长为4或2．解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，∴∠AFE＝∠B＝90°，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC＝90°，∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，∴EB＝EF，AB＝AF＝6，∴CF＝10﹣6＝4；②当点F落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEF为正方形，∴BE＝AB＝6，CE＝8﹣6＝2，∴CF＝2．综上所述，CF的长为4或2．例3、（2020•郑州一模）如图，在矩形ABMN中，AN＝1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC ＝2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF．当EF⊥AC时，AE的长为或．解：∵四边形ABMN是矩形，∴AN＝BM＝1，∠M＝∠N＝90°，∵CM＝CN，∴△BMC≌△ANC（SAS），∴BC＝AC＝2，∴AC＝2AN，∴∠ACN＝30°，∵AB∥MN，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF＝60°，∵DA＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴∠AFD＝60°，∵∠DFE＝∠DAE＝30°，∴EF平分∠AFD，∴EF⊥AD，此时AE＝．②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF＝．综上所述，满足条件的EF的值为或．练习：（2019•中原区校级三模）如图所示，正方形ABCD中，AB＝8，BE＝DF＝1，M是射线AD上的动点，点A关于直线EM的对称点为A′，当△A′FC为以FC为直角边的直角三角形时，对应的MA的长为或．解：（1）如图，若∠FCA'＝90°，即点A'在BC上，过点M作MN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝8，∠D＝∠C＝90°，且MN⊥BC∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD＝8，∵AB＝8，BE＝DF＝1，∴AE＝CF＝7∵点A关于直线EM的对称点为A′，∴AE＝A'E＝7，AM＝A'M，∠A＝∠EA'M＝90°∴A'B＝＝4，∵∠BA'E+∠MA'N＝90°，∠BA'E+∠A'EB＝90°，∴∠BEA'＝∠MA'N，且∠B＝∠MNA'＝90°，∴△A'BE∽△MNA'，∴∴，∴A'M＝＝MA（2）如图，若∠A'FC＝90°，过点A'作HG⊥AD，过点E作EN⊥HG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝8，∠D＝∠C＝90°，且HG⊥AD∴四边形HGCD是矩形，∴HG＝CD＝8，同理可得NG＝BE＝1，DF＝A'H＝1，AE＝HN∵AB＝8，BE＝DF＝1，∴AE＝CF＝7∵点A关于直线EM的对称点为A′，∴AE＝A'E＝7＝HN，AM＝A'M，∠A＝∠EA'M＝90°∴A'N＝HN﹣A'H＝6，∴EN＝＝∵∵∠NA'E+∠MA'H＝90°，∠NA'E+∠A'EN＝90°，∴∠NEA'＝∠MA'H，且∠ENA'＝∠MHA'＝90°∴△A'NE∽△MHA'，∴∴∴A'M＝＝MA故答案为：或例4、（2019•南京模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．在动点P在射线AD上运动的过程中，使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值为．解：（1）当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图2，则EM＝3，EN ＝1，BE ＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，在Rt△EBM中，AN＝BM＝＝＝，∵点A、E关于直线BP对称，∴∠PEB＝∠PAB＝90°，∵∠ENP ＝∠EMB ＝∠PEB＝90°，∴∠PEN＝∠EBM，∴△BME∽△ENP，∴＝，即＝，∴NP＝，∴t＝AP＝AN﹣NP＝﹣＝；（2）当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图3，则BH＝3，BE＝AB ＝4，AH＝AB+BH＝7，在Rt△BHE中，HE＝＝＝，∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，∴∠APB +∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，∴∠HAE＝∠APB ，∴△AHE∽△PAB，∴＝，即＝，解得：t＝AP＝4，综上所述，t＝或4．练习：如图，已知矩形ABCD中，AB＝5，AD＝a，点P是A D上一动点，点E是点A关于直线BP的对称点，在点P运动过程中，有且只有一个点E到直线BC的距离等于4，则符合条件的a的取值范围是．BE图1ON MAB CD（P）EQ图2 图3解:（1）当AD取最大值时，存在两个时刻使E到BC距离等于4，①若点E在BC上方，则显然存在点E到BC距离等于4（如图1），②若点E在BC下方时，此时P与D重合（如图2）, 则存在点E到BC距离等于4,理由：连接BE，作EM BC⊥于点M，作EN AB⊥的延长线于点N,在Rt BME∆中易得3BM=,在矩形BMEN 中3,4NE BM BN ME====,∴在Rt ANE∆中可求310AE=，ANE DAB∆∆Q:93,5AN NEDA AB DA∴=∴=，15AD∴=（2）当AD取得最小值时，点P与点D重合，且点E在BC上方（如图3），则存在点E到BC距离等于4,理由：AEQ BDA∆∆Q:，31,5AQ EQBA DA DA∴=∴=，53AD=,综合（1）（2）知a的范围是5153a≤<例5、（2018秋•奉化区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），B（，0），C是线段AB的中点，D是x轴上的一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，其中∠DAE＝90°，连结CE．当CE 为最小值时，此时△ACE的面积是．解：如图，把线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，则C′为定点（﹣，）在△ACE和△AC′D中，∴△ACE≌△AC′D（SAS），∴C′D＝CE．当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为，此时△ACE面积等于△AC′D＝××＝.练习：如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，0），C是线段AB的中点，D为x轴上一个动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE（点A，D，E以顺时针方向排列），其中∠DAE＝90°，连结CE，当CE达到最小值时，则点E的横坐标等于﹣4．解：如图，把线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AC′，连接C′D，则C′为定点（2，），在△ACE和△AC′D中，∴△ACE≌△AC′D（SAS），∴C′D＝CE．当C′D⊥OD时，C′D最小，CE最小值为，∴OD＝2，过E作EG⊥OA于G，EH⊥x轴于H，则四边形EHOG是矩形，∴EG＝OH，∵∠AGE＝∠AOD＝∠EAD＝90°，∴∠AEG+∠EAO＝∠EAO+∠OAD＝90°，∴∠AEG＝∠OAD，∵AE＝AD，∴△AEG≌△DAO（AAS），∴AG＝OD＝2，EG＝OA＝4，∴点E的横坐标等于﹣4，∴EH＝OG＝2，DH＝2+4＝6，∴DE＝＝2，故答案为：﹣4，2．例6、（2019秋•大东区期末）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为2﹣或2+或．解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．例7、（2018春•永嘉县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠CBD＝30°，点E，F分别在边CD 和射线BD上运动，BF＝5CE．设CE＝m．连结EF，把△DEF沿EF翻折得到△D′EF．若D′F与矩形ABCD的边平行，则点D′到直线BC的距离是或（5﹣5）或3．①如图3，点F在线段BD上且D'F∥CD，设D'F与BC相交于点G，∴∠BGF＝∠C＝90°∴D'F⊥BC，即D'G为点D'到直线BC的距离，∵△DEF沿EF翻折得到△D′EF∴DE＝D'E，DF＝D'F，∠DEF＝∠D'EF，∠DFE＝∠D'FE∵D'F∥CD，∴∠DEF＝∠D'FE，∴∠D'EF＝∠DEF＝∠D'FE＝∠DFE，∴D'E＝DE＝DF＝D'F ∵DE＝CD﹣CE＝BD﹣CE＝4﹣m，DF＝BD﹣BF＝8﹣5m，∴4﹣m＝8﹣5m，解得：m＝1∴D'F＝DE＝4﹣1＝3，BF＝5m＝5，∴FG＝BF＝，∴D'G＝D'F﹣FG＝3﹣②如图4，点F在线段BD上且D'F∥BC，延长D'F交CD于点H∴D'H⊥CD，CH为点D'到直线BC的距离，∵∠DFH＝∠DBC＝30°，DF＝8﹣5m∴∠FD'E＝∠FDE＝60°，DH＝DF＝∵D'E＝DE＝4﹣m，∴EH＝DE﹣DH＝4﹣m﹣＝m∵Rt△D'HE中，sin∠FD'E＝，∴，解得：m＝2﹣2∴CH＝CD﹣DH＝4﹣m＝5﹣5③如图5，点F在线段BD延长线上且D'F∥CD，延长FD'与BC延长线交于点G由①得D'G为点D'到直线BC的距离，且D'E＝DE＝DF＝D'F∵DF＝5m﹣8，DE＝4﹣m，∴4﹣m＝5m﹣8，解得：m＝2，∴D'F＝10﹣8＝2，BF＝10∴FG＝BF＝5，∴D'G＝FG﹣D'F＝5﹣2＝3综上所述，若D′F与矩形ABCD的边平行，则点D′到直线BC的距离是或（5﹣5）或3．练习：如图,在R△ABC中,∠C=90°，AC=10，BC=16，点P以每秒3个单位的速度从点A开始向点C移动,直线l从与AC重合的位置开始，以相同的速度沿CB方向平行移动，且分别与CB、AB边交于E、F两点，点P 与直线l同时出发，设运动的时向为t秒，当点P移动到与点C重合时，点P和直线l同时停止运动，在移动过程中，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在直线l上，点F的对应点记为点N，连接BN.当BN∥PE时，t的值为。

2020年重庆市初中学业水平考试数学答案解析 一、1.【答案】A【解析】有理数的大小比较法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.3012-∵＜＜＜，∴最小的数是3-，故选：A .【考点】有理数的大小比较2.【答案】A【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.解：A 、是轴对称图形，故本选项正确；B 、不是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A .【考点】轴对称图形的概念3.【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤＜，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值10＞时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数.426000 2.610=⨯，故选：C .【考点】科学记数法的表示方法4.【答案】B【解析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1234n +++++，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数.解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数312=+，第③个图案中黑色三角形的个数6123=++，…… ∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515++++=，故选：B . 【考点】图形的变化规律5.【答案】D【解析】根据切线的性质可得°90OAB ∠=，再根据三角形内角和求出AOB ∠.∵AB 是O 的切线°90OAB ∠=∴°20B ∠=∵°°18070AOB OAB B ∠=-∠-∠=∴故选D . 【考点】切线的性质6.【答案】C【解析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案.解：A 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B .2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C =D .与2-不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C . 【考点】二次根式的混合运算7.【答案】D【解析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案.解：方程两边都乘以6，得：()3162x x +=-，故选：D . 【考点】解一元一次方程8.【答案】D【解析】把A 、C 的横纵坐标都乘以2得到D 、F 的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF 的长. 解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF △，使DEF △与ABC △成位似图形，且相似比为2:1，而()12A ，，()31C ，，()24D ∴，，()62F ，，DF =∴ 故选：D .【考点】位似变换9.【答案】B【解析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE 、EC 、BE 、DF 、AF ，进而求出AB .解：如图，由题意得，°28ADF ∠=，45CD =，60BC =，在Rt DEC △中，∵山坡CD 的坡度1:0.75i =，140.753DE EC ==∴， 设4DE x =，则3EC x =，由勾股定理可得5CD x =，又45CD =，即545x =，9x =∴，327EC x ==∴，436DE x FB ===，602787BE BC EC DF =+=+==∴，在Rt ADF △中，°tan 280.538746.11AF DF =⨯≈⨯≈，46.113682.11AB AF FB =+=+≈∴，故选：B .【考点】直角三角形的边角关系10.【答案】A【解析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出之和即可.解：解不等式3132x x -+≤，解得7x ≤， ∴不等式组整理的7x x a ⎧⎨⎩≤≤，由解集为x a ≤，得到7a ≤，分式方程去分母得：342y a y y -+-=-，即32y a -=， 解得：23a y +=， 由y 为正整数解且2y ≠，得到1a =，7，177⨯=， 故选：A .【考点】分式方程的解11.【答案】B【解析】首先求出ABD △的面积.根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据1122BD h BF DF =，求出BD 即可解决问题. 解：DG GE =∵，2ADG AEG S S ==△△∴，4ADE S =△∴，由翻折可知，ADB ADE ≅△△，BE AD ⊥，4ABD ADE S S ==△△∴，°90BFD ∠=，()142AF DF BF +=∴， ()13242DF +=∴，1DF =∴，DB ===∴设点F 到BD 的距离为h ，则1122BD h BF DF =，h =∴， 故选：B .【考点】翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算12.【答案】B【解析】先证明OB AE ，得出18ABE OAE S S ==△△，设A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求出F 点的坐标和E 点的坐标，可得13182OAE k S a a=⨯⨯=△，求解即可. 解：如图，连接BD ，∵四边形ABCD 为矩形，O 为对角线，AO OD =∴，ODA OAD ∠=∠∴，又AD ∵为DAE ∠的平分线，OAD EAD ∠=∠∴，EAD ODA ∠=∠∴，OB AE ∴，18ABE S =△∵，18OAE S =△∴，设A 的坐标为k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， AF EF =∵，F ∴点的纵坐标为2k a， 代入反比例函数解析式可得F 点的坐标为22k a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， E ∴点的坐标为()30a ，， 13182OAE k S a a=⨯⨯=△， 解得12k =，故选：B .【考点】反比例函数，几何综合，矩形的性质，平行线的判定二、13.【答案】3【解析】设这个多边形的边数为n ，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可.设这个多边形的边数为n ， ()°°21802360n -=⨯∴，解得：6n =，故答案为：6.【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点()P m n ，在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解.解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点()P m n ，在第二象限的结果数为3，所以点()P m n ，在第二象限的概率316=. 故答案为：316. 【考点】列表法，树状图法，点的坐标16.【答案】4π-【解析】根据图形可得S 2ABCD S S =-阴影扇形，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积.由图可知，2ABCD S S S =-阴影扇形，224ABCD S =⨯=，∵四边形ABCD 是正方形，边长为2，AC =∴，∵点O 是AC 的中点，OA =∴2°°903602S ππ==扇形∴，24ABCD S S S π=-=-阴影扇形∴， 故答案为：4π-.【考点】求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质17.【答案】()4160，【解析】先根据CD 段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点E 表示的意义，由此即可得出答案.设乙货车的行驶速度为km/h a由题意可知，图中的点D 表示的是甲、乙货车相遇∵点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40， ∴此时甲、乙货车行驶的时间为2.4h ，甲货车行驶的距离为()40 2.4=96km ⨯，乙货车行驶的距离为()24096144km -=()144 2.460km/h a =÷=∴∴乙货车从B 地前往A 地所需时间为()240604h ÷=由此可知，图中点E 表示的是乙货车行驶至A 地，EF 段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B 地， 则点E 的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即404160⨯=.即点E 的坐标为()4160，故答案为：()4160，.【解析】先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案.解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k ，5k ，2k ，7月份总增加的营业额为m ，则7月份摆摊增加的营业额为2m 5，设7月份外卖还需增加的营业额为x .∵7月份摆摊的营业额是总营业额的720，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8:5， ∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8:5:7，∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a ，5a ，7a ， 由题意可知：3385552275k m x a k x a m k a ⎧+-=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩， 解得：125215k a x a m a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 512857208a x a a a a ==++∴， 故答案为：18. ()()()()()()2233333333m m m m m m m m m ++==+-++-【解析】（1）利用完全平方公式和整式乘法展开后合并同类型即可.具体解题过程参照答案.（2）先把分子分母因式分解，然后按顺序计算即可.具体解题过程参照答案.【考点】整式的运算，分式的混合运算20.【答案】（1）7a =，7.5b =，50%c =（2）根据以上数据，八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的学生掌握垃圾分类知识较好.（3）七年级合格人数：18人八年级合格人数：18人181********%108040+⨯⨯=人答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1 080人.【解析】（1）七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出的a 值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c 的值. 七年级20名学生的测试成绩的众数是：7，7a =∴， 由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：787.52+=， 7.5b =∴，八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50%50%c =∴.（2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论.具体解题过程参照答案.（3）用七八年级的合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以1 200即可得出答案.具体解题过程参照答案.【考点】平均数，众数，中位数，条形统计图21.【答案】（1）解：AE BD ⊥∵，CF BD ⊥AE CF ∴DAC ACB ∠=∠∴°50AOE∵， °50AOE COF ∴°40OCF ∠=∴，∵平行四边形ABCDAD DC ∴，DAC ACB ∠=∠∴°40ACB ∠=∴（2）证明：∵AC 与BD 交于点O ，OA OC =∴，AE BD ⊥∵，CF BD ⊥，°90AEO CFO ∴，AOE COF ∠=∠∵，AEO CFO ≌∴△△，AE CF ∴=.【解析】（1）利用三角形内角和定理求出EAO ∠，利用角平分线的定义求出DAC ∠，再利用平行线的性质解决问题即可.具体解题过程参照答案.（2）证明()AEO CFO AAS △≌△可得结论.具体解题过程参照答案【解析】（1）代入3x =和3x =-即可求出对应的y 值，再补全函数图象即可.解：当3x =-时，261899151x y x -===-++， 当3x =时，261899151x y x ===++， 函数图象如下：（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断.①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；故答案为：×，②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值3-；故答案为：√，③观察函数图象可得：当1x -＜或1x ＞时，y 随x 的增大而减小；当11x -＜＜时，y 随x 的增大而增大； 故答案为：√.（3）根据图象求解即可.具体解题过程参照答案.【考点】一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式23.【答案】（1）49不是“差一数”，74是“差一数”，49594÷=∵；493161÷=，∴49不是“差一数”，745144÷=∵；743242÷=， ∴74是“差一数”（2）314、329、344、359、374、389【解析】（1）直接根据“差一数”的定义计算即可.具体解题过程参照答案.（2）根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9；被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可求得大于300且小于400的所有“差一数”.∵“差一数”这个数除以5余数为4，∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2， ∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389.【考点】带余数的除法运算24.【答案】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，由题意得1002.410 2.41021600y x x y =+⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得400500x y =⎧⎨=⎩. 答：A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克.（2）根据题意得：()()()20244001%241%50012%216001%9a a a a ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭. 令%a m =，则方程化为：()()()20244001241500122160019m m m m ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭. 整理得2100m m -=，解得：10m =（不合题意，舍去），20.1m =所以%0.1a =，所以10a =，答：a 的值为10.【解析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案.具体解题过程参照答案.（2）根据题意分别表示A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于A 品种、B 品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案.具体解题过程参照答案.【考点】二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用25.【答案】（1）∵抛物线过()34A --，，()01B -， 9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴ 41b c =⎧⎨=-⎩∴ 241y x x =+-∴（2）设AB y kx b =+，将点()34A --，()01B -，代入AB y 1AB y x =-∴过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()241P a a a +-，，则()1F a a -，由铅垂定理可得()()22212314123323327228PAB B A S PF x x a a a a a a =-=---+=--⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭△ PAB ∴△面积最大值为278（3）抛物线的表达式为：()224125y x x x =+-=+-，则平移后的抛物线表达式为：25y x =-，联立上述两式并解得：14x y =-⎧⎨=-⎩，故点()14C --，；设点()2D m -，、点()E s t ，，而点B 、C 的坐标分别为()01-，、()14--，； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样()D E 向右平移1个单位向上平移3个单位得到()E D ，即21s -+=且3m t +=①或21s --=且3m t -=②，当点D 在E 的下方时，则BE BC =，即()2222113s t ++=+③，当点D 在E 的上方时，则BD BC =，即()22222113m ++=+④， 联立①③并解得：1s=-，2t =或4-（舍去4-），故点()12E -，； 联立②④并解得：3s =-，4t =-(34E --+，或(34--，； ②当BC 为菱形的对角线时，则由中点公式得：12s -=-且41m t--=+⑤，此时，BD BE =，即()()2222211m s t ++=++⑥，联立⑤⑥并解得：1s =，3t =-，故点()13E -，， 综上，点E 的坐标为：()12-，或(34--，或(34--，或()13-，.【解析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解.具体解题过程参照答案.（2）设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()241P a a a +-，，则()1F a a -，，2133272228PAB B A S PF x x a ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭△，即可求解.具体解题过程参照答案. （3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可.具体解题过程参照答案.【考点】二次函数综合运用，一次函数的性质，菱形的性质、图形的平移、面积的计算四、26.【答案】（1）CF ，证明如下： 90BAC DAE ︒∠=∠=∵，BAD CAE ∠=∠∴，AB AC =∵，AD AE =，∴在ABD △和ACE △中BAD CAE AB ACAD AE =∠⎧⎪=⎨⎪=⎩， ABD ACE ≅∴△△，45ABD ACE ︒∠=∠=∴，90DCE ACB ACE ︒∠=∠+∠=∴，在Rt ADE △中，F为DE 中点（同时AD AE =），45ADE AED ︒∠=∠=，AF DE ⊥∴，即Rt ADF △为等腰直角三角形，AF DF AD ==∴， CF DF =∵，2CF AD =∴；（2）由（1）得ABD ACE ≅△△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，454590DCB BCA ACE ︒︒︒∠=∠+∠=+=∴，在Rt DCB △中，()2DE BD CE CD ====，F ∵为DE 中点，12DE EF DE ===∴， 在四边形ADCE 中，有90CAG DCE ︒∠=∠=，180CZG DCE ︒∠+∠=，∴点A ，D ，C ，E 四点共圆，F ∵为DE 中点，F ∴为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，CF AF =∵，F ∴为CG 中点，即2CG CF =，22AG AC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭∴，即BC =； （3）设点P 存在，由费马定理可得120APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，60BPD ︒∠=∴，设PD 为a ，BD ∴，又AD BD ==，a m +=∴，)1m a =a又BD CE =【解析】（1）先证BAD CAE ≅△△，可得°45ABD ACE ∠=∠=，可求°90BCE ∠=，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论.具体解题过程参照答案.（2）由（1）得ABD ACE △≌△，CE BD =，°45ACE ABD ∠=∠=，推出°°°454590DCB BCA ACE ∠=∠+∠=+=，然后根据现有条件说明在Rt DCB △中，DE ==，点A ，D ，C ，E 四点共圆，F 为圆心，则CF AF =，在Rt AGC △中，推出2AG =，即可得出答案.具体解题过程参照答案.（3）设点P 存在，由费马定理可得°120APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设PD 为a ，得出BD =，AD BD ==，得出a m +，解出a ，根据BD CE =即可得出答案.具体解题过程参照答案.【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数。

2020重庆中考复习数学第18题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是练习：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是．例2、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为.练习：如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为 ．例3、（2019春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．练习：（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D、F在CE所在直线的同侧），H为CD中点，连接FH．点E在运动过程中，HF的最小值为．G例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．练习：1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG的最小值为．例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．练习：在平面直角坐标系中，已知A（4，8）、P（2，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C 在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．例7、（2017秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE 为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是 ．例8、如图，线段AB＝8，D为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE绕点E逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC长度的最大值为 ．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．练习：如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为9.例2、（2016春•青山区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E和点F分别是AC和BC上的动点，在点E和点F运动的过程中，BE+EF的最小值为练习：，∠D＝60°，点P、Q分别是AC 1、（2017春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，则CM+MN的最小值为．例3、（2019春•新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.练习：如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是 ．例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点M，E在AD上，点F在边AB上，并且DM＝1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM最小时，ME的长度为例5、（2019春•张家港市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为练习：（2019春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 ．例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 2．练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 ．例7、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．例8、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是 ．例1、（2018秋•成都期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是 ．例2、（2019春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．例1、如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝1，则四边形ABFE周长的最小值为 ．练习：1、（2018秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 ．G例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连结CF ，则△CEF 面积的最小值是例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB ＝2，以BE 为边画正方形BEFG ，连结CF 和CE ，则△CEF 面积的最小值为 ．例3、（八中定时练习六18题2019•无锡）如图,在△ABC 中，5,AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .例4、（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则△BDE 的面积的最大值为 ．例5、（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．例6、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．当点D在线段BC上时，若BC＝2，CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．六、四边形面积最小值问题例1、如图，已知在菱形ABCD中，AB＝1，且∠A＝30°，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH的面积的最小值为练习：如图，已知在菱形ABCD中，AB＝4，且∠A＝30°，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH的面积的最小值为例2、如图．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是EC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD的面积有最小值时，BF 的长度为．练习：1、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为 ．2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD的面积最小时，BF的长度为．2020重庆中考复习数学第18题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG＝DF＝CD＝．练习：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是2﹣．解：如图，在AC上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2•cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等腰直角△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∵CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2﹣2，∴EG＝AG•sin45°＝（2﹣2）×＝2﹣，∴DF＝2﹣．例2、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为.MN解：如图，过点E作EM⊥CD于M，过点E作EN⊥CB于N．∴=== 设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，BEx=时，BE的值最小，最小值为4．∴当4练习：如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为 ．解：如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，∴EG＝EF，∠GEF＝90°，∴∠NEG+∠FEM＝90°，且∠NGE+∠NEG＝90°，∴∠FEM＝∠NGE，且∠N＝∠FME＝90°，EF＝EG，∴△EGN≌△EFM（AAS）∴NE＝MF＝2，EM＝NG，设AE＝CF＝a，∴EM＝2﹣2a＝NG＝AH，AN＝2﹣a＝GH，∴HD＝AD﹣AH＝2﹣（2﹣2a）＝2a， ∵GD ＝＝∴当a ＝时，GD 有最小值为，例3、（2019春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF 的最小值为3．解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED， ∴AF＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为3练习：（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D、F在CE所在直线的同侧），H为CD中点，连接FH．点E在运动过程中，HF的最小值为．G图1解：如图1，连接DF，过点F作FM⊥AD，交AD延长线于点M，过点F作FN⊥CD的延长线于点N， ∵△EFM≌△CED，∴CD＝EM，DE＝FM，∴CD＝AD＝EM，∴AE＝DM，设AE＝x＝DM，则DE＝4﹣x＝FM，∵FN⊥CD，FM⊥AD，ND⊥AD，∴四边形FNDM是矩形，∴FN＝DM＝x，FM＝DN＝4﹣x∴NH＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△NFH中，HF＝＝＝∴当x＝3时，HF有最小值＝＝3.例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值解法一：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS）， ∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝， ∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P三点共线时，PE最小，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．解：连接OD，如图所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，CG的最小值为．练习：1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝＝，故CG的最小值为：．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG的最小值为．解析：例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴当x＝时，PM有最小值，最小值为．练习：在平面直角坐标系中，已知A （4，8）、P （2，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为 ．解：如图，作AH ⊥y 轴于H ，CE ⊥AH 于E ．则四边形CEHO 是矩形，OH ＝CE ＝8， ∵∠BAC ＝∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABH +∠HAB ＝90°，∠HAB +∠EAC ＝90°， ∴∠ABH ＝∠EAC ，∴△AHB ∽△CEA ，∴＝，∴4=8BH AE，∴AE ＝2BH ，设BH ＝x 则AE ＝2x ，∴OC ＝HE ＝4+2x ，OB ＝8﹣x ， ∴B （0，8﹣x ），C （4+2x ，0）∵BM ＝CM ，∴M （2+x ，82x-），∵P （2，0），∴PM ===∴当85x =时，PM 例7、（2017秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD 中，已知AB ＝6，BC ＝8，点E 是边AD 上一点，以CE 为直角边在与点D 的同侧作等腰直角△CEG ，连结BG ，当点E 在边AD 上运动时，线段BG 长度的最小值是解：如图作GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，EM ⊥HG 于M ，交BC 于N ．则MN ⊥BC ．设AE ＝m ． ∵∠EMG ＝∠ENC ＝∠CEG ＝90°，∴∠MEG +∠CEN ＝90°，∠CEN +∠ECN ＝90°，∴∠MEG ＝∠ECN ，∵EG ＝EC ，∴△MEG ≌△NCE （AAS ），∴EM ＝CN ＝AH ＝8﹣m ，MG ＝EN ＝6， 在Rt △BHG 中，BG ＝＝＝，∴当m ＝4时，BG 有最大值，最大值为10．练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是 5．解：如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四边形ADEF为正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED和△GDA中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．当a＝2时，OE有最小值，最小值为5．例8、如图，线段AB＝8，D为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE绕点E逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC长度的最大值为 6．解：以BD为直角边在BD上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO．则，又∠CBO＝∠EBD，∴△EBD∽△CBO．∴．∵E点运动轨迹是以E为圆心，DE＝2为半径的圆，∴C点运动的轨迹是以O为圆心，OC＝2为半径的圆．∵AC≤AO+OC，AO＝4，OC＝2．∴AC最大值为4+2＝6．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2，∴GN＝GM+MN＝MN+MF＝+2＝．∴MN+MF的最小值为．练习：如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为9.解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小为，则GH+CH的最小值C′G＝10﹣1＝9．例2、（2016春•青山区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E和点F分别是AC和BC上的动点，在点E和点F运动的过程中，BE+EF的最小值为解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′F⊥BC于F，交AC于E，连接CB′交AD 于P，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠P AC，∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC＝∠PCA，∴P A＝PC．令P A＝x，则PC＝x，PD＝4﹣x．在Rt△CDP中，∵PC2＝PD2+CD2，∴x2＝（4﹣x）2+22，∴x＝2.5，∵cos∠B′CF＝cos∠CPD，∴CF：B′C＝DP：CP，∴CF：4＝1.5：2.5，∴CF ＝，∴B′F ＝＝，∴BE+EF 的最小值为＝．练习：1、（2017春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC⊥，∠D＝60°，点P、Q分别是AC 和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值B解：作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FQ BC⊥交AC于点P，则FQ的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），易知△BCF是等边三角形，∴BP+PQ的最小值为2．2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，则CM+MN的最小值为．解：如图，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN ＝EN最小；∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN中，EN＝CE sin∠BCE＝＝；即：CM+MN的最小值为；例3、（2019春•新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称， ∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°， ∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．练习：如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是 2．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC＝＝2例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点M，E在AD上，点F在边AB上，并且DM＝1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM最小时，ME的长度为解：延长AD到M′，使得DM′＝DM＝1，连接PM′，如图．当PB+PM的和最小时，M′、P、B 三点共线．∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴△DPM′∽△CPB，∴＝＝，∴DP＝PC，∴DP＝DC＝．设AE＝x，则PE＝x，DE＝2﹣x，在Rt△PDE中，∵DE2+DP2＝PE2，∴（2﹣x）2+（）2＝x2，解得：x＝，∴ME＝AE﹣AM＝﹣1＝．故选：B．例5、（2019春•张家港市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为解：作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，如图所示：∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，∴EH＝＝＝10，∵点C与点P关于AB对称，∴CP＝PH，∴PF+PC＝PF+PH，∵EF＝DE＝2是定值，∴当E、F、P、H四点共线时，PF+PH值最小，最小值＝10﹣2＝8，∴PF+PC的最小值为8．练习：（2019春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 4．解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DE＝3，DD′＝4，∴ED′＝，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD的最小值为4，例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 2．解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG ∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．∵AB＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC时，AF+EF+CG的值最小，即EG＝1时，AF+EF+CG的最小值为2练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 ．例7、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．如图作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则BO+BA＝+，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小， 作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝＝，故：BO+BA的最小值为．例8、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是 ．解法一：如图，作点D关于BC的对称点G，连接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB交AB的延长线于M．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD中，BD＝＝5，由△BHM∽△DBC，可得＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH中，AH＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为．解法二：如图，作FG⊥AD于G．∵BE＝DF，∴设BE＝DF＝x，∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝4，∴∠BAD＝∠ABC＝90°根据勾股定理得，BD＝，∵FG⊥AD，∴∠FGD＝90°，∴∠BAD＝∠FGD＝90° ∵∠ADB＝∠GDF，∴△BAD∽△FGD，∴ 即∴GF＝x，GD＝x，AG＝4﹣x在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，根据勾股定理得AE＝在Rt△AGF中，∠AGF＝90°，根据勾股定理得AF＝＝，AE+AF＝+可以看成是在平面直角坐标系里点（x，0）和点（0，3）的距离与点（x，0）和点（，﹣）的距离之和.，当点（0，3）、（x，0）、（，﹣）三点共线时，AE+AF值最小，就是点（0，3）、（，﹣）之间的距离，为＝．三、三角形周长最小值问题例1、（2018秋•成都期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是 ﹣+3．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C三点共线时，A′P+PC有最小值，是AC的长，∴AC与MN的交点就是点P，由勾股定理得：AC＝＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，此时，∵M是AD的中点，∴AM＝DM＝1.5，∴MC＝＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC周长的最小值是：﹣+3，例2、（2019春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．∵P A＝8，AH＝5，∴PH＝8﹣5＝3，∵BH＝5，∴PB＝＝＝2，由翻折可知：P A＝P A′＝8，F A＝F A′，∴△BF A′的周长＝F A′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，∴当BA′的周长最小时，△BF A′的周长最小，∵BA′≥PB﹣P A′，∴BA′≥2﹣8，∴BA′的最小值为2﹣8，∴△BF A′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2．练习：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．∵P A＝6，AH＝4，∴PH＝6﹣4＝2，∵BH＝5，PB∴===，由翻折可知：P A＝P A′＝6，F A＝F A′，∴△BF A′的周长＝F A′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝8+BA′，∴当BA′的最小时，△BF A ′的周长最小，∵BA′≥PB﹣P A′，∴BA′≥﹣6，∴BA′的最小值为﹣6，∴△BF A′的周长的最小值为8+6＝．四、四边形周长最小值问题例1、如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝1，则四边形ABFE周长的最小值为 10．解：在AB上截取AM＝EF，作点M关于直线DC的对称点N，连接BN交CD于F，此时四边形AEFB 的周长最小．四边形AEFB的周长的最小值＝AB+EF+AE+BF＝AB+EF+MF+BF＝AB+EF+NF+BF＝AB+EF+NB＝＝10，练习：1、（2018秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 ．G解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小． ∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H 作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝8，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝10， ∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设AE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴HF＝x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF面积＝＝， ∴当x＝1时，△CEF面积的最小值是．例2、（2016•江东区一模）如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB＝2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为 ．解：（方法一）过点F作FM⊥AD延长线于点M，令EF与CD的交点为N点，如图所示．则S△CEF＝CN•ME．∵四边形ABCD为正方形，四边形BEFG为正方形，∴∠A＝90°，∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠MEF+∠MFE＝90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF＝180°，∴∠AEB＝∠MFE，∠ABE＝∠MEF．在△ABE 和△MEF 中，，∴△ABE ≌△MEF （ASA ）．∴MF ＝AE ，ME ＝AB ．∵CD ⊥AD ，FM ⊥AD ，∴ND ∥FM ，∴△EDN ∽△EMF ，∴．设AE ＝x ，则ED ＝AD ﹣AE ＝2﹣x ，EM ＝AB ＝2，MF ＝AE ＝x ，∴DN ＝＝﹣x 2+x ＝﹣（x ﹣1）2+≤．∴CN ＝CD ﹣DN ≥2﹣≥．∴△CEF 面积的最小值为CN •ME ＝××2＝． （方法二）连接CG ，如图所示． 在△ABE 和△CBG 中，，∴△ABE ≌△CBG （SAS ）．设AE ＝x ，则BE 2＝AB 2+AE 2＝4+x 2，∴S 正方形BEFG ＝BE 2＝4+x 2．∴S △CEF +S BCG ＝S 正方形BEFG ＝2+x 2，∴S △CEF ＝S 正方形BEFG ﹣S BCG ＝2+x 2﹣S △ABE ＝2+x 2﹣x ＝（x ﹣1）2+， 当x ＝1时，△CEF 面积最小，最小值为．例3、（八中定时练习六18题2019•无锡）如图,在△ABC 中，5,AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .解：过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝4，∴BM ＝CM ＝2，易证△AMB ∽△CGB ，∴，∴，∴GB ＝8，设BD ＝x ，则DG ＝8﹣x ，易证△EDH ≌△DCG （AAS ），∴EH ＝DG ＝8﹣x ，∴S △BDE ＝＝＝，当x ＝4时，△BDE 面积的最大值为8．例4、（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则△BDE的面积的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.例5、（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3， 设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，。

专题18 矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。

解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。

问题：根据已知信息，求翻折后各边长。

模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M,点N分别为DC，AB中点思路：模型七：点A’为BC 中点 思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE=A’E=x ，则BE=8-x 由勾股定理解得x=174 ∴BE=154由于△EBA’∽△A’CG ∽△FD’G∴A’G=3415 CG=1615 GD’=2615DF=D’F=AH=134 HE=1 EF=17【培优过关练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在正方形中，，点、分别在边、上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形中，，，，，，，，，又，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形纸片中，点E在边上，沿着折叠使点A落在边上的点F处，若，，则的长为（）A．1B．2C．D．【答案】A【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出，再证明，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明．3．（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线折叠，使点B落在D点的位置，且交y轴交于点E，则点D的坐标是（）A．（）B．（，2）C．（）D．【答案】D【分析】过D作于F，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，设，那么，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知条件可以证明，而，接着利用相似三角形的性质即可求出、的长度，也就求出了点D的坐标．【详解】如图，过D作于F，∵点B的坐标为，∴，根据折叠可知，而∴，∴，设，那么，在中，，∴，解得，∵，∴，∴而，∴，∴，即，∴，∴，∴D的坐标为，故选：D．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4．（2023春·广东广州·九年级专题练习）如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使落在对角线上，折痕为，点的对应点为，那么的长为（）A．1B．C．D．2【答案】C【分析】首先设，由矩形纸片中，，，可求得的长，又由折叠的性质，可求得的长，然后由勾股定理可得方程：，解此方程即可解决问题．【详解】解：设，∵四边形是矩形，∴，∵，，∴，由折叠的性质可得：，，，∴，，，∵在中，，∴，解得：，∴．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5．（2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将△ABG沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】利用折叠性质得，，，，，则可得到，于是可对①进行判断；在中利用勾股定理计算出，则，设，利用勾股定理得到，得到，于是可对④进行判断；接着证明，于是可对②进行判断；根据可对③进行判断．【详解】解：∵沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，∴，，，，，，∴，所以①正确；在中，，∴，设，则，在中，∵，∴，解得，∴，∴，所以④正确；在中，，设，则∴解得∴∵，，∴．所以③不正确．∵，∴∴故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】连接，根据三角形的面积公式求出，得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接，交于H，∵，点E为的中点，∴，又∵，∴，由折叠知，（对应点的连线必垂直于对称轴），∴，则，∵，∴，，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，当与线段交于点H时，则线段的长是（）A．3B．C．4D．【答案】B【分析】连接，证明即可得到，证明，得出，然后列出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：连接，如图所示：∵矩形纸片中，，，∴，，∵，∴，根据折叠可知，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，设，则，∵，∴，解得：，∴，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8．（2022秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，边长为2的正方形的对角线与交于点O，将正方形沿直线折叠，点C落在对角线上的点E处，折痕交于点M，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意先求，再求，进而根据的线段比例关系，即可求出的长．【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴，由折叠的性质可知，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，即，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10．（2022·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（）A．3B．C．D．【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E 为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将沿折叠得到∴与关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根据折叠可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，设，则，在中，，即，解得：，则，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键．12．（2022·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝10B．HG＝2C．D．GF⊥BC【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得，进而判断B，根据折叠的性质可得，进而判断C选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，故A选项正确，将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，，,故B选项正确，,∴EG∥HF，故C正确设，则，，即，同理可得若则，，不平行，即不垂直，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=，∴AB=2=AD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x==，即DF=FO=，GE=a，∴，∴GE=DF；故③正确；∴，∴OC=2OF；故④正确；∵∠FCO与∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14．（2021·广西来宾·统考中考真题）如图，矩形纸片，，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出是的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AD于点H，∵点，的对应点分别为，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．15．（2011·吉林长春·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，在Rt△CEF中，CF==4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．16．（2020·广东深圳·统考中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG 交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C 重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG//BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA) ，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB＝30°，，故④正确．综合，正确的为①②④．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．17．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点E、H在边上，点F，G在边上），使点B和点C落在边上同一点P处，A点的对称点为、D点的对称点为，若，的面积为8，的面积为2，则矩形的长为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′P D′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（负根舍弃），∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故选D.【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=，∴DF=4﹣x=，∴cos∠ADF=，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．19．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为___________．【答案】2【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．20．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则______cm．【答案】##【分析】根据折叠的性质可得DE=DC=4，EM=CM=2，连接DF，设FE=x，由勾股定理得BF，DF，从而求出x的值，得出FB，再证明，利用相似三角形对应边成比例可求出FG．【详解】解：连接如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∵点M为BC的中点，∴由折叠得，∠∴∠，设则有∴又在中，，∵∴∴在中，∴解得，（舍去）∴∴∴∵∠∴∠∴∠又∠∴△∴即∴故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)cm【分析】（1）利用ASA证明即可；（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,设AE=x cm，∴EP=x cm，由知，EP=CF=x cm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC= (cm）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22．（2022·河南·统考中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．【答案】(1)或或或(2)①15，15；②，理由见解析(3)cm或【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．（1）解：，sin∠BME=（2）∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②（3）当点Q在点F的下方时，如图，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，设，即解得：∴；当点Q在点F的上方时，如图，cm，DQ =3cm，由（2）可知，设，即解得：∴．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．【问题解决】(1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)的度数为________度，的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)22.5°，(3)【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论；（2）根据折叠的性质可得证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】（1）证明：四边形是矩形，∴．由折叠可知，，．∴．∴．由折叠得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折叠得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴设则∴∴∴（3）如图，连接∵∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作交AD于点R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值为【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．24．（2021·湖北荆州·统考中考真题）在矩形中，，，是对角线上不与点，重合的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．（1）如图1，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．①求证：；②求．（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②；（2）不全等，理由见解析【分析】（1）①先根据同角的余角相等得出∠DCG=∠AGH，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；②设EF=x，先证得△AEF△ADC，得出===，再结合折叠的性质得出AE=EG=2x，AG=4x，AH=2EF=2x，再由△CDG△GAH，得出比例式==，求出EF的长，从而得出的值，即可得出答案；（2）先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF△ACG，得出比例式=，得出EF=，AE=，AF=，从而判定与是否全等．【详解】（1）①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG△GAH②设EF=x∵△AEF沿EF折叠得到△GEF∴AE=EG∵EF⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF//CD//AB∴△AEF△ADC∴=∴===∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG，EF//AB∴==∴AH=2EF=2x∵△CDG△GAH∴==∴==∴x=∴==∵∠FCG=90°∴tan∠GHC==（2）不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC===由②可知：AE=2EF∴AF==EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF△ACG∴=∴=∴EF=∴AE=，AF=∴FC=AC-AF=2-=∴AE FC，EF FC∴不全等【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE=2EF 是解题的关键．。

专题18 全等形和全等三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1 全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.特征：①形状相同。

②大小相等。

③对应边相等、对应角相等。

全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。

书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。

全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。

变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

1．（2017·四川中考模拟）已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD．则PE的长为（）A．3B．5C．6D．10【答案】D【详解】∵四边形OPEF≌四边形ABCD∴PE=BC=10，故选D.2．（2019·福建中考模拟）如图，若△MNP≌△MEQ，则点Q应是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【详解】∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．3．（2018·广西中考模拟）下列说法中不正确的是（）A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的面积相等C．全等三角形能重合D．全等三角形一定是等边三角形【答案】D【详解】根据全等三角形的性质可知A，B，C命题均正确，故选项均错误；D.错误，全等三角也可能是直角三角，故选项正确.故选D.考查题型一利用全等三角形性质求线段与角1．（2019·武冈市第七中学中考模拟）如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm【答案】A【解析】解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7cm．∵AB=10cm，BC=7cm，∴AE=AB﹣BE=3cm．△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9（cm）．故选A．2．（2017·江苏南京溧水孔镇中学中考模拟）如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，且测得BC=5cm，BF=7cm，则EC长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【详解】解：∵△ABC≌△BAD，∴EF=BC=5cm，∵BF=7cm，BC=5cm，∴CF=EF-CF=3 cm，故选C．3．（2016·广东中考模拟）如图，△ACB≌△A′CB′,∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为( )A．20°B．30°C．35°D．40°【答案】B【详解】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′C′B′，∴∠ACB-∠A′CB=∠A′C′B′-∠A′CB，即∠BCB′=∠ACA′，又∠ACA′=30°，∴∠BCB′=30°，故选：B．4．（2019·沂源县中庄中学初一月考）如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B=∠D=90°，△ABC≌△CDE,AB=6,BC=8,CE=10.（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积.【答案】（1）24；（2）50【详解】解：（1））∵△ABC≌△CDE∴AC=CE∴△ABC的周长=AB+BC+AC=24（2）∵△ABC≌△CDE∴AC=CE，∠ACB=∠CED，∠BAC=∠DCE又∠B=90°∴∠ACB+∠BAC=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°×AC×CE=50∴△ACE的面积=12考查题型二利用全等三角形性质证明线段、角相等1．（2019·湖北黄石十四中初二期中）如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．【答案】见解析【详解】∵△ABC≌△DEC，∴∠B=∠DEC，BC=EC，∴∠B=∠BEC，∴∠BEC=∠DEC，∴CE平分∠BED．2．（2018·颍上县第五中学初二期中）若△ABC≌△DCB，求证：∠ABE=∠DCE.【答案】见解析【详解】证明：∵△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB即∠ABE=∠DCE知识点2：全等三角形的判定（重点）注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形周长、面积相等．证题的思路（重点）：考查题型三 已知一边一角（若边为角的对边，找任意角AAS ）1．（2018·四川中考模拟）如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠C=∠D ．求证:AC=AD ．【答案】见解析 【解析】 详解：∵∠1=∠2∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ∴∠BAC=∠EAD在ΔABC 和ΔAED 中{∠BAC =∠EAD∠C =∠DAB =AE∴ΔABC ≌ΔAED （AAS) ∴AC=AD2．（2014·北京中考模拟）已知：如图，E 是AC 上一点，AB=CE ，AB ∥CD ，∠ACB =∠D ．求证：BC =ED ．【答案】证明见解析. 【详解】∵AB∥CD，∴∠A=∠ECD.在△ABC和△ECD中，∵∠A＝∠ECD，∠ACB＝∠D，AB＝CE，∴△ABC≌△ECD（AAS）.∴BC=DE．3．（2018·四川中考模拟）已知，如图，E、F分别为□ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2,.求证：AE=CF.【答案】详见解析【详解】∵四边形ABCD为平行四边形∴∠B=∠D，AB=CD在△ABE与△CDF中，∠1=∠2，∠B=∠D，AB=CD∴△ABE≌△CDF∴AE=CF4．（2016·福建中考模拟）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE．求证：△ACD≌△CBE．【答案】证明详见解析.【详解】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∵∠B+∠BCE=90°，∴∠B=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠ADC=∠E=90°，∠B=∠ACD，AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）．考查题型四已知一边一角（边为角的邻边（找已知角的另一边SAS））1．（2016·四川中考真题）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．【答案】见解析【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC=CB，∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B，在△ACD和△CBE中，∵AC=CB，∠ACD=∠B，CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠D=∠E．2．（2018·云南中考模拟）如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：∠C＝∠D．【答案】证明见解析【详解】证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，∴AF＝BE，在△ADF与△BCE中，AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△BCE （SAS ）， ∴∠C ＝∠D ．3．（2019·辽宁中考真题）如图，点E ，F 在BC 上，BE =CF ，AB =DC ，∠B =∠C ，求证：AF =DE ．【答案】见解析； 【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ， 在ΔABF 和ΔDCE 中， {AB =DC ∠B =∠C BF =CE， ∴ΔABF ≌ΔDCE (SAS) ∴AF =DE ．考查题型五 已知一边一角（边为角的邻边（找已知边的对角AAS ））1．（2013·浙江中考真题）如图，△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且∠A=∠D ，AB=DC ．（1）求证：△ABE ≌DCE ；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC 的度数。

2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为例2、如图,正方形ABCD的边长为2,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为练习：如图,正方形ABCD的边长为4,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为例3、（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝ ．练习：1、（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于 ．2、（2016•新县校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长．为例4、（2014•锦江区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝2+2，D 是BC边上异于B、C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．练习：（2018秋•锦江区校级期末）如图，在△ABC，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝4+4，D是BC边上异于点B，C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．例5、（2019秋•宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6．点P是AD的中点，点E在BC 上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．练习：1、（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．2、在矩形ABCD中，AD＝3CD＝6，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则PN＝ ．例6、如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，E为对角线BD上一点，且DE＝2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是 ．练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合），过点E作直线MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，将矩形ADNM沿MN折叠，使得点A、D的对应点P、Q分别落在AB、CD所在的直线上，若△ACP为等腰三角形，则BM的长为 ．2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，∴∠DCB＝∠A＝60°，AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠A＝120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F＝∠D＝120°，∴∠FD′M＝180°﹣∠A′D′F＝60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM＝90°，∠M＝90°﹣∠FD′M＝30°，∵∠BCM＝180°﹣∠BCD＝120°，∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠M＝30°，∴∠CBM＝∠M，∴BC＝CM，设CF＝x，D′F＝DF＝y，则BC＝CM＝CD＝CF+DF＝x+y，∴FM＝CM+CF＝2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M＝tan30°＝＝＝，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为（ ）A．4﹣2 B．2﹣2 C．﹣1 D．解：延长FC 、A ′D ′交于M ，设CF ＝x ，FD ＝2﹣x ，∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60°，∴AB ∥CD ，∠DCB ＝∠A ＝60°，∴∠A +∠D ＝180°， ∴∠D ＝120°，由折叠得：∠BD ′F ＝∠D ＝120°，∴∠FD ′M ＝180°﹣120°＝60°， ∵D ′F ⊥CD ，∴∠D ′FC ＝90°，∴∠M ＝90°﹣60°＝30°，在Rt △FOC 中，∠DCB ＝60°，∵∠DCB ＝∠CBM +∠M ，∴∠CBM ＝60°﹣30°＝30°， ∵∠BCD ＝∠CBM +∠M ＝60°，∴∠CBM ＝∠M ＝30°，∴CB ＝CM ＝2，由折叠得：D ′F ＝DF ＝2﹣x ，tan M ＝tan30°＝＝＝，∴x ＝4﹣2，∴CF ＝4﹣2，故选：A ．例2、如图,正方形ABCD 的边长为2,点M 、P 、N 分别在CD 为直径的半圆上、边BC 、边AB 上运动,并且保持PM ⊥PN ，PM ：PN=2：3则线段PM 长的最小值为K解：取CD 中点O ，NP 中点K ，连接BK 、BO 、MO 、KM 。

专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（ ）m ．A ．4.5B ．C ．D ．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A．B ．C ．6 D ．4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+C ．251825y x x =--D ．21816255y x x =-++ 7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x 轴，AB的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处为18m的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升4m就达到警戒线CD，这时水面宽度为12m．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12,m拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度﹒14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的A B的长度．支柱，防护栏最高点距离底部0.5m（如图），求其中防护支柱1115．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道?16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，32）.(1)点P与水面的距离是________m；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m后，水面的宽变为多少？17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm.（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？21．如图是美国开发西部的标志性建筑如果把拱门看作—条抛物线，其拱高和底宽都是192米，请建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式．三、填空题22．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣13x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．23．如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米．24．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为211020y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是__________米．25．图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为50AB =米和40CD =米（如图2所示），x 轴表示桥面，10BC =米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC的值为__________．26．如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 3D 1和其上方的抛物线D 1OD 3组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB =44米，∠A =45°，AC 1=4米，点D 2的坐标为（-14，-1.96），则桥架的拱高OH =________米．27．如图是抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度增加2米时，水位下降_________米28．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道． 29．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．30．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为2116y x =-，当水面的宽度AB 为16米时，水面离桥拱顶的高度OC 为________m ．31．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是2y x =-，当水位线在AB 位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h 是________米．32．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m【答案】C【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．【详解】解：依题意，设A 点坐标为(8,)y -， 代入抛物线方程得：164164y =-⨯=-，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（）m ．A．4.5B．C．D．【答案】D【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-12．∴抛物线的解析式为y=-12x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-12x2+2，解得：x=±7．-（，∴水面宽度为m．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（）A．B．C．6D．【答案】A【分析】y=-代入解析式结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3求得相应的x的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax =∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B -∴222a -=⋅ ∴12a =- ∴抛物线解析式为：212y x =- ∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=-∴1x =，2x =∴水面的宽度为：．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 【答案】C【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y＝ax2－a．∵OH＝2×15×12＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96aEF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a ∴1＋0.96a＝－0.64a．解得a＝58 -．∴y＝58-x2＋58．∴EF＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+ C ．251825y x x =-- D ．21816255y x x =-++ 【答案】B【分析】根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．【详解】由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为()22016y a x =-+，将原点坐标代入可得400160a +=，解得：a ＝125-， 故该抛物线解析式为y ＝()21201625x --+ ＝218255x x -+ 故选：B ．【点睛】 本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m【答案】C【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：2y ax =，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m 时，求出当x=3时，对应y 值即可解答．【详解】解：设此函数解析式为：2y ax =，0a ≠；那么(2,2)-应在此函数解析式上．则24a -= 即得12a =-， 那么212y x =-．当x=3时，25132 4.y =--⨯=∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）故选：C.根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点． 8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 【答案】B【分析】先确定C 点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C 点的坐标，从而可得到AC 的长；【详解】∠AC x ⊥轴，OA=10米，∠点C 的横坐标为10-，当10x =-时， ∠()218016400y x =--+()21171080164004=---+=-， ∠1710,4C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴桥面离水面的高度AC 为174米．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【答案】（1）21(6)106y x =-+﹣；（2）能安全通过 【分析】（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；（2）令x ＝10，求出y 与6作比较．（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：2(6)10y a x=+﹣， 将点B （0，4）代入，得：36104a +＝， 解得：16a =-， 故该抛物线解析式为21(6)106y x =-+﹣； （2）根据题意，当x ＝6+4＝10时，y 16=-⨯16+10223=＞6， ∴这辆货车能安全通过．【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【答案】能，理由见解析【分析】 首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．【详解】解：以C为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数解析式为y＝kx2．将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴当x＝1.2时y＝﹣1.584，∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处为18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．【答案】（1）21818y x =-+；（2）不能开到桥下 【分析】 （1）设抛物线解析式为()()88y a x x =+-，代入（0,8）即可求解；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可．【详解】（1）∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得()()8012012a =+-，解得118a =- ∴抛物线解析式为21818y x =-+；（2）当x=9时，得2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【点睛】 本题考查了二次函数的拱桥问题，重点是根据题目所给的坐标系求出函数解析式．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ，水位上升4m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为12m ．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h 的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【答案】（1）如图所示，2116y x =-；（2）1252小时 【分析】（1）设所求抛物线的解析式为y=ax 2．把D （6，b ），则B （10，b －4）代入解方程组即可；（2）由（1）可求得点B 坐标，进而可得拱桥顶O 到正常水位AB 的距离，进而求出时间．【详解】（1）如图所示：设所求抛物线的解析式为y=ax 2，设D （6，b ），则B （10，b －4），把D 、B 的坐标分别代入y=ax 2得：364100b a b a =⎧⎨-=⎩， 解得：11694a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为2116y x =-； （2）∵94b =-， ∴b －4= 944--= 254- ∴拱桥顶O 到正常水位AB 的距离为254m ∴2540.1 2510=41⨯ 125=2小时． 所以再持续1252小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB 为12,m 拱桥的最高点C 到水面AB 的距离为6m ．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m ，求水面上涨的高度﹒【答案】（1）2166y x =-+；（2）116m 【分析】（1）根据题意，C 点是抛物线的顶点且位于y 轴上，A 、B 点是抛物线与c 轴交点，所以抛物线的对称轴为y 轴，得A （-6,0）、B （6,0）、C （0，6）然后设二次函数解析式为2y ax k =+，，将点B 、C 带入解析式解出即可.（2）根据题意得，水面宽度的横坐标为5-和5，将其代入解析式求得y 值即可.【详解】解：（1）设二次函数解析式为2y ax k =+ 由题意得，()),6,006,BC （ 26y ax ∴=+2066a ∴=⋅+16a ∴=-∴解析式为2166y x =-+ （2）由题意得，水面宽度的横坐标为5-和5．212511566666y ∴=-⨯+=-+= ∴水面上涨的高度为116m ． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含义是解题的关键14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏最高点距离底部0.5m （如图），求其中防护支柱11A B 的长度．【答案】防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【分析】设抛物线的解析式为：y=ax 2，由待定系数法求得解析式，再将点A 1的横坐标代入解析式，即可得出点B 1的纵坐标，则可得出答案．【详解】解： 如图所示，点C 坐标为（1，-0.5）设抛物线的解析式为：2y ax =，将点C 坐标代入得： 0.5a =-，∴抛物线的解析式为：20.5y x =-，由题意可得点1A 的横坐标为0.6-，∴点1B 的纵坐标为：20.5(0.6)0.18y =-⨯-=-，0.5-0.18=0.32，∴防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【点睛】本题考查了待定系数法在实际问题中的应用，数形结合、正确建立平面直角坐标系以及由待定系数法求得函数解析式是解题的关键．15．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m ，跨度为10m ，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m ，高3.2m 的厢式货车能否安全通过此隧道?【答案】（1）y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由见解析．【分析】（1）先确定抛物线的顶点坐标以及x轴的的交点坐标，然后运用待定系数法解答即可；（2）根据货车宽度求出抛物线解析式中的x值，再求出对应的y的值，再与货车高度比较即可解答．【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，4），与x轴的两个交点坐标为（0，0）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+4，把（0，0）代入，得：0= a（0-5）2+4，解得a=4 25 -所以抛物线解析式为：y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，∴当x=6时，y=425-（6-5）2+4=3.84>3．∴货船能从桥下通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键在于熟练运用二次函数解决实际问题．16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，32）. (1)点P 与水面的距离是________m ；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m 后，水面的宽变为多少？【答案】（1）32（2）y ＝－12x 2＋2x.（3）【分析】∠1）根据点P 的横纵坐标的实际意义即可得；∠2）利用待定系数法求解可得；∠3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】(1)由点P 的坐标为3(3,)2,知点P 与水面的距离为3m 2， 故答案为32； (2)设抛物线的解析式为2y ax bx =+，将点A (4,0)∠P 3(3,)2代入，得： 16403932a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为2122y x x =-+； (3)当y =1时,2121,2x x -+=即2420x x -+=，解得：2x =则水面的宽为2(2+=【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB 为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．【答案】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把y 3=-代入解析式即可求解．【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线过点（6，-4）设抛物线的函数表达式为：2y a x = 把（6，-4）代入2y a x =，可得1a 9=- 则抛物线的函数表达式为：21y 9x =- 当水面上涨1米，水面所在的位置为直线y 3=-令y 3=-，则2139x -=-，解得：x =±∴此时水面的宽为：【点睛】此题主要考查二次函数的实际应用，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式是解题关键． 18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m 时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm. （1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m 、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.【答案】（1）y=-213x （2）能【分析】∠1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；∠2）代入x=2求出y值，用其减去-2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论.【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2∠a≠0∠∠将A∠3∠-3）代入y=ax2∠-3=9a，解得：a=-1 3∠∴抛物线的解析式为y=-13x2∠∠2）当x=2时，y=-13×22=-43∠∠-43-∠-2∠=23∠0.5∠∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.【答案】正确. 22003x y =或236200y x =-+ 【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为y=ax 2，∵图像过（20，6），∴6=a ×202，解得：a=-3200， ∴抛物线的表达式为y=-3200x 2. ②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为y=-3200x 2+6.故正确，抛物线表达式为y=-3200x 2或y=-3200x 2+6. 【点睛】建立适当的坐标系是数学建模的关键，需认真分析图形特征．20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离桥面的高是多少？【答案】（1）二次函数解析式为24(5)425y x =--+；（2）桥洞离桥面的高是1.76米． 【分析】 （1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为y=a （x-5）2+4，将已知坐标代入关系式求出a 的值．（2）对称轴右边1米处即x=6，代入解析式求出y=值．【详解】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为()5,4，所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为2(5)4y a x =-+， 由图象知该函数过原点，将(0,0)O 代入上式，得：20(05)4a =-+，。

专题18三平行相似模型【理论基础】如图，CD EF AB ////，若，则证明：∵AB EF //，∴△DEF ∽△DAB ，∴，即①同理△BEF ∽△BCD ，∴，即②①＋②，得，.【例1】如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②4AOD OCF S S = ；③::7AC BD =；④2FB OF DF =⋅．其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【例2】如图，AC EF DB ，若AC =8，BD =12，则EF =___________．【例3】如图：AD EG BC ∥∥，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，求EG 、FG 的长．一、单选题1．如图，AB 和CD 表示两根直立于地面的柱子，AC 和BD 表示起固定作用的两根钢筋，AC 与BD 相交于点M ，已知12m,15m AB CD ==，则点M 离地面的高度MH 为（）A ．20m 3B ．25m 5C ．5mD ．16m 32．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知树的高度3m AB =，树影4m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离6m AP =，则路灯高PO 的长是（）A ．2mB ．4.5mC ．7.5mD ．12m3．如图1，小明在路灯下笔直的向远离路灯方向行走，将其抽象成如图2所示的几何图形．已知路灯灯泡距地面的距离AB 等于4米，小明CD 身高1.5米，小明距离路灯灯泡的正下方距离BC 等于4米，当小明走到E 点时，发现影子长度增加2米，则小明走过的距离CE 等于（）A ．在3和4之间B ．在4和5之间C ．在5和6之间D ．在6和7之间4．如图，已知AB ⊥BC 、DC ⊥BC ，AC 与BD 相交于点O ，作OM ⊥BC 于点M ，点E 是BD 的中点，EF ⊥BC 于点G ，交AC 于点F ，若AB =4，CD =6，则OM -EF 值为（）A ．75B ．125C ．35D ．255．如图，EF 是一个杠杆，可绕支点O 自由转动，若动力F 动和阻力F 阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力F 阻不变时，则杠杆向下运动时F 动的大小变化情况是（）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定6．如图，ABC 和DCB 中，90ABC DCB ∠=∠=︒，斜边AC 、BD 交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，若2AB =，3CD =，则EF 的长度为（）A ．32B ．53C ．54D ．65二、填空题7．如图，已如矩形ABCD ，将△BCD 绕点B 顺时针旋转90°至△BEF ，连接AC ，BF ，若点A ，C ，F 恰好在同一条直线上，则AB BC=______．8．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x 轴的垂线分别与直线3y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．三、解答题9．如图，一教学楼AB 的高为20m ，教学楼后面水塔CD 的高为30m ，已知BC ＝30m ，小张的身高EF 为1.6m ．当小张站在教学楼前E 处时，刚好看到教学楼顶端A 与水塔顶端D 在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE ．10．如图，////AB EF CD ，E 为AD 与BC 的交点，F 在BD 上，求证：111AB CD EF+=．11．如图，AB ＝4，CD ＝6，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ．(1)若AE ＝3，求ED 的长．(2)求EF 的长．12．如图，圆A 、圆C 为两个不相交的圆，记圆A 的半径为r ，圆C 的半径为R ，有r R <，E 是两圆连心线上的一点，满足关系式EA r EC R=，点F 、G 为圆A 上任意的动点，作直线EF 、EG 分别与圆C 交于H 、I 、J 、K 四点，连接IK(1)设圆A 、圆C 的两条外的公切线分别为12l l 、，证明12l l 、总是在点E 处相交；(2)若固定F 点，让G 点在圆A 上移动，证明：此时EG EJ 的值与G 的位置无关；(3)当IK AC ⊥时，连接FJ 、HG ，设FJ 与HG 交于T ，证明T 在AC 上，且满足··.AT EC CT EA =13．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，此时点A 落在点F 处，线段EF 交CD 于点M ．过点F 作FG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ．(1)求证：BE =FG ；(2)如果AB •DM =EC •AE ，连接AM 、DE ，求证：AM 垂直平分DE ．14．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝米，FQ ＝米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？1.64.86PF PF∴=+，15．如图1，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，16AB DC ==，12AD =，点E 是CD 边的中点，连接AE 交对角线BD 于点F ，EDF FBA ∠=∠，连接CF ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)求CFD △的面积；(3)如图2，连接AC 交BD 于点O ，点P 为EC 上一动点，连接OE 、OP ．将OPD △沿OP 折叠得到OPM ，PM 交OC 于点N ，当PCN △为直角三角形时，求CP 的长．。