2018年八年级升九年级数学 暑假衔接班讲义 第7讲 角的平分线(无答案) 沪科版

2018年八年级升九年级数学暑假衔接班讲义第7讲角的平分线（无答案）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年八年级升九年级数学暑假衔接班讲义第7讲角的平分线（无答案）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第7讲、角的平分线考点讲解：1. 角的平分线定义：在角的内部，从角的顶点引出的一条射线，把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做角的平分线。

2. 角的平分线作图：如图（1)，射线OC 就是∠AOB 的角平分线。

PNMCBOAPNMCBOA图（1） 图(2）3. 角的平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.如图(2）， ∵∠AOC=∠BOC ，PM⊥OA，PN⊥OB ,∴PM=PN 。

4. 角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图(2）,∵PM⊥OA，PN⊥OB ,PM=PN ，∴∠AOC=∠BOC 。

5. 三角形的三条角平分线的性质:如图，三角形的三条角平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.（三角形的内心）【典型例题】例1. 如图（1）,∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC∥OB 交OA 于点C ，PM⊥OB 于点M 。

求证：PC=2PMCM PBAOE FNM A图(1）图（2)例2. 如图（3），PA=PB，∠A+∠B=180°.求证：点P在∠AOB的角平分线上。

P图（3）图（4）例3。

如图(5）△ABC的外角∠CBM和∠BCN的角平分线相交于点P。

2018年八年级升九年级数学暑假衔接班讲义第6讲线段的垂直平分线（无答案）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年八年级升九年级数学暑假衔接班讲义第6讲线段的垂直平分线（无答案）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第6讲线段的垂直平分线考点讲解：1。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.如图,∵AC BC MN AB，，点P在直线MN上，=⊥∴PA PB=2. 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

∵PA PB=，∴点P在线段AB的垂直平分线上。

3。

三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

(三角形的外心)如图,△ABC中,边AB和BC的垂直平分线MN和GH相交于点P，根据线段垂直平分线的性质定理则有PA=PB=PC，根据线段垂直平分线的判定定理，点P在线段AC的垂直平分线上,因此，△ABC三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

【典型例题】例1.如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D。

求∠DBC的度数．例2.已知：如图所示，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A．求证：点M在BN的垂直平分线上．例3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证:CM=2BM．例4. 如图，河的同侧有A、B两个村庄，要在河边修一扬水站向两个村庄铺设管道供水，若铺设的管道最短，扬水站应建在哪个位置?说明理由.例5。

2018 年人教版八年级数学暑期同步提升课程第六讲角均分线的性质讲义（word版无答案）第六讲角均分线的性质教课目的：1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角均分线2.能利用角均分线的性质解决简单问题3.角均分线的性质及判断定理的运用要点难点：1.角均分线的性质的运用与逆用。

2.利用角均分线结构全等三角形。

3.持续学习证明及综合法证明的格式。

知识导航：1.角均分线的画法（ 1）已知∠ AOB，求作∠ AOB 的角均分线：AM①以 O 为圆心，适合长为半径画弧，交OA 于 M，交 OB 于 N。

C1②分别以 M， N 为圆心，以大于MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交2O N B于点 C。

③过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角均分线。

2．角均分线的性质及判断（1）角均分线的性质：角的均分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角均分线的判断：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角均分线上。

3．三角形的角均分线的性质（1）三角形的三条角均分线交于一点，这点到三边的距离相等。

（2）三角形两个外角的角均分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。

（3）三角形外角均分线交点共有三个，因此到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。

考点 / 易错点 1角均分线是一种对称模型，一般状况下，有以下三种作协助线的方式：1．由角均分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角均分线上的一点作角均分线的垂线，进而形成等腰三角形；1 / 83． OA=OB，这类对称的图形应用得也较为广泛。

典型例题：3【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的倍．（要求：写出已知、求作，保存作图2印迹，在所作图中标上必需的字母，不写作法和结论)已知：求作：【答案】已知： AOB ．求作： AOC ，使AOC 3AOB ．作图如右上所示：2【分析】第一画出∠ AOB 的角均分线，再以OB 为边，画∠ BOC=∠ BOF．【例 2】如图，在Rt△ABC 中，∠ C=90，°BD 均分∠ ABC 交 AC 于点 D， DE⊥ AB 于 E，若 AC=3 cm，则 AD +DE 为（）A． 3cm B． 4cmC． 2cm D．没法确立【答案】 A．【分析】∵ BD 均分∠ ABC，∠ C=90 °，DE ⊥AB，∴DE =DC ，∴ AD+DE=AD+DC=AC，∵ AC=3cm，∴ AD +DE =3cm．【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中， AD∥BC，若∠ DAB 的均分线 AE 交 CD 于 E，连结 BE，且 BE 恰巧平分∠ ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（）A． AB＞AD +BC B． AB＜ AD+BC C． AB=AD+BC D ．没法确立2【答案】 C．【分析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD ，连结 EF ，易证 AE ⊥BE，△ ADE ≌△ AFE（ SAS），因此∠ 1=∠2，又∠2+ ∠ 4=90°，∠ 1+∠ 3=90°，因此∠ 3=∠ 4，因此可证△ BCE≌△ BFE，因此 BC=BF，因此 AB=AF+BF=AD +BC；解法 2：如图，延伸 AE 交 BC 延伸线于 F ，∵ AD ∥ CB，∴∠ CBA+∠ BAD=180°，∵ BE 均分∠ CBA， AE 均分∠BAD ，∴∠ EBA+∠ BAE=90 °，∴∠ BEA=180°﹣ 90°=90°，∴ BE⊥ AF，由△ ABE≌△ FBE（ ASA），可得 BA=BF，AE=FE ，于是可证△ ADE≌△ FCE（ ASA），因此 AD=CF ，因此 AB=BC+CF =BC+AD ．【例 4】如图，在△ABC 中，∠ C=90，°AC=14， BD 均分∠ ABC，交 AC 于 D， AD =10，则点 D 到 AB 的距离为（）A．10B．4C． 7D． 6【答案】 B．【分析】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵ AC=14， AD=10 ，∴ CD =AC﹣AD =14 ﹣10=4，∵BD 均分∠ ABC，∠ C=90°，∴ DE =CD=4．【例 5】如图，在△ ABC 中， AC=CB，∠ C=90°， AD 是∠ BAC 的均分线，∠ E=90°，那么 AD 与 BE 的长度关系为。

P F E D CB 21A P E DC B A EDC BA cbaCB A指南针暑假八升九衔接教材八年级部分直角三角形题型训练（一）1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF ·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。

·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。

求证：点O 在∠A 的平分线上。

2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。

如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。

·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等，且P 到∠MON 两边的距离也相等．3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。

求斜边，则22c a b =+；求直角边，则22a c b =-或22b c a =-。

·如图是拉线电线杆的示意图。

已知CD ⊥AB ，，O CB AONM ·· ABD CG·图6中4张扑克牌如图（1）所示放在桌面上，小敏把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左数起是（）A．第一张 B．第二张 C．第三张D．第四张·在字母C、H、V、M、S中是中心对称图形的是·下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A: 等边三角形 B : 平行四边形C: 等腰梯形 D : 矩形·下列图案是中心对称图形，不是轴对称图形的是（）．四边形题型训练（一）对角线平分且相等的四边形是矩形形集合示意图，请将字母所代表的图形分别填入下表：4、面积公式①S平行四边形=底×高②S矩形=长×宽③S正方形=边长×边长④S菱形＝底×高＝×(对角线的积),即：S=(a×b)÷2·矩形ABCD的对角线相交于O，AB=6，AC=10，则面积为·菱形的周长为20，一条对角线长为6，则其面积为图3相帅炮）上，○相位于点（3，－2）上，则一次函数题型训练（一）1、函数自变量的取值：整式取全体实数，分式则分母不为0，二次根式则根号下的数≥0. ·函数11y x =+的自变量x 的取值范围是 函数21y x =-的自变量x 的取值范围是 ·函数35y x =-+的自变量x 的取值范围是函数211x y x +=-的自变量x 的取值范围是·下列不表示函数图象的是 （ ）2、一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是一条直线(含正比例函数y ＝kx)． ·下列函数解析式2c r p =，21y x =-，3y x =-，21y x =+中是一次函数的 有①求k 的取值： y 随x 增大而增大则k ＞0；y 随x 增大而减小则k ＜0．再解出不等式。

第6讲 线段的垂直平分线考点讲解：1. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

如图，∵AC BC MN AB =⊥，，点P 在直线MN 上，∴PA PB =2. 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

∵PA PB =，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上。

3. 三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（三角形的外心）如图，△ABC 中，边AB 和BC 的垂直平分线MN 和GH相交于点P ，根据线段垂直平分线的性质定理则有PA=PB=PC ，根据线段垂直平分线的判定定理，点P 在线段AC 的垂直平分线上，因此，△ABC 三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

【典型例题】例1. 如图所示，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AC 于点D 。

求∠DBC 的度数．例2. 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，过直角边AC 上的一点P 作直线交AB于点M ，交BC 的延长线于点N ，且∠APM ＝∠A ．求证：点M 在BN 的垂直平分线上．例3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证：CM=2BM．例4. 如图，河的同侧有A、B两个村庄，要在河边修一扬水站向两个村庄铺设管道供水，若铺设的管道最短，扬水站应建在哪个位置？说明理由。

例5.如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点，点E 是BC边的中点，当点P运动到AC上的什么位置时，PB+PE的值最小？最小值是多少？【模拟试题】一、选择题1. 如左下图，AC=AD，BC=BD，则（）A、CD垂直平分ABB、AB垂直平分CDC、CD平分∠ACBD、以上结论均不对2. 如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是 ( )A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等边三角形3. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是 ( )A、6 cmB、7 cmC、8 cmD、9 cm4. 三角形三边垂直平分线的交点的位置一定在（）A、三角形内部B、三角形外部C、三角形的一条边上D、三种情况都有可能二、填空题5. 三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________6. 如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上．7. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+DC=_____cm；△ABC的周长是__________cm.8. 如图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=__________度．三、解答题9. 已知：如图所示，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线．求证：△ADE是等边三角形．10．已知：如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：点D在线段BE的垂直平分线上．。

第七讲角平分线一、学习目标1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.二、知识精讲知识点1：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等。

几何表达：∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．【例1】如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路。

现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处。

A. 1B. 2C. 3D. 4【例2】如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是___.【例3】如图所示,AB∥CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于___.【例4】如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF.知识点2：角平分线的判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

几何表达：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【例1】如图，已知AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE相交于点P，求证：点P在∠C的平分线上．【例2】已知：如图,∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠DAB.(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系?并证明你的结论。

【例3】如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF. 求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的角平分线上。

知识点3：角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．【例1】尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的根据是()A. SASB. ASAC. AASD. SSS【例2】如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；②别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为__________．【例3】某学习小组在设计一个矩形时钟钟面时,使钟的中心在矩形对角线的交点上,数字2、4、6、8、10在矩形的顶点上,数字3标在所在边的中点上,(如图所示).且时钟从12转到1与从1转到2的旋转角度相同,请在图上分别标出1,3的位置.(要求,尺规作图,保留作图痕迹,不写已知、求作、作法及证明)【题组训练】：1.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．73.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．2 C．3 D4. △ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：25.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P 到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3【第1题图】【第2题图】【第3题图】【第5题图】6.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=12，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=4，则△ABD的面积为________ ．8. 如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是_________．9.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=______________．10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是___________cm．11.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是________________________________.【第8题图】【第9题图】【第10题图】【第11题图】12.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：（1）S；（2）AC的长．13.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．14.已知，如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BD 为∠ABC 的角平分线交AC 于D ，过点D 作DE 垂直AB 于点E ， （1）求AE 的长； （2）求BD 的长．15.已知，如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.16.已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.A B C D P 12NDCBA 1217.某校七年级数学兴趣小组对"三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系"进行了探究.（1） 如图1 ,△ABC 两内角∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点E .则 . (阅读下面证明过程,并填空.)证明:∵BE ,CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ,∴ ∠EBC=12∠ABC, ∠ECB=12∠ACB (角平分线的定义)∴∠BEC=180-(∠EBC+∠ECB) (_________)=180-(12∠ABC +12∠ACB)=180- 12(∠ABC +∠ACB)=180- 12 (180-∠A)=90- 12∠A（2） 如图2 ,△ABC 的内角∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACM 的平分线交于点E .请你写出∠BEC 与∠A 的数量关系,并证明. 答:∠BEC 与∠A 的数量关系式:_________. 证明:（3） 如图3 ,△ABC 的两外角∠CBD 与∠BCF 的平分线交于点E ,请你直接写出∠BEC 与∠A 的数量关系,不需证明.18.在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.(1) ①如图(1),当∠B=60°,∠ACB=90°，则∠AFC=______；②如图(2),如果∠ACB不是直角,∠B=60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。