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2019年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质得到集合，根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得集合，又由，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，以及指数函数的性质的应用，其中解答中根据指数函数的性质，准确求解集合B是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.瑞士著名数学家欧拉发现公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】令，则，又由，根据复数的表示，即可得到答案.【详解】由题意，根据公式（为虚数单位），令，则，又由，所以复数表示点位于第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及三角函数的符号的应用，其中解答中合理赋值，根据复数的几何意义及复数的表示求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.函数，那么的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，令，则，即可求解.【详解】由题意，函数，令，则，故选C.【点睛】本题主要考查了函数值的求解，以及特殊角的三角函数值的应用，其中解答中合理赋值，根据特殊角的三角函数求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A. 40B. 50C. 60D. 70【答案】B【解析】【分析】可分为两类情况：（1）其中2人乘坐一辆汽车，另外4乘坐一辆汽车，（2）其中3人乘坐一辆汽车，另3人乘坐一辆汽车，利用分类计数原理，即可求解.【详解】由题意，6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，可分为两类情况：（1）其中2人乘坐一辆汽车，另外4乘坐一辆汽车，共有种，（2）其中3人乘坐一辆汽车，另3人乘坐一辆汽车，共有种，由分类计数原理可得，不同的乘车方法数为种，故选B.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的应用，其中解答认真审题，合理分类，利用排列、组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算与求解能力，属于基础题.5.已知椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，若的最大可以取到120°，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的几何性质，得当点P与短轴的端点B重合时，此时角的最大，在中，得到，再根据离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，根据椭圆的几何性质，可得当点P与短轴的端点B重合时，此时角的最大，即的最大，此时120°，如图所示在中，，所以所以椭圆的离心率为，故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的计算，以及椭圆的几何性质的应用，其中解答中得到点P与短轴的端点重合时角的最大是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.已知某种品牌的节能灯使用寿命超过的概率为，而使用寿命超过的概率为，某家庭的该品牌节能灯已经使用了，则其寿命超过的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用条件概率计算公式，，即可求解.【详解】由题意，设某种品牌的节能灯使用寿命超过10000h为事件A，则，使用寿命使用超过12000h为事件B，则，可得，又由条件概率的计算公式可得，故选B.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故答案为：k≤7故答案为：C.8.设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数.的最小值为1.则（）A. 若确定，则唯一确定B. 若确定，则唯一确定C. 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，得，令，利用二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，根据向量的运算可得，令，则，由二次函数的性质，可得恒成立，且当时，最小，且最小值为1，即，所以当唯一确定时，唯一确定，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，构造关于的二次函数，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以运算与求解能力，属于基础题.9.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得出底面直角的外接圆直径，然后利用公式，计算得到外接球的半径，再利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，在直三棱柱中，因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径，又由，所以直三棱柱的外接球的直径，所以，所以外接球的体积为，故选C.【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及球内接组合体的性质，其中解答中根据组合体的结构特征，正确求解外接球的半径，利用球的体积公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.10.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式，化简得到函数的解析式，再根据三角函数的图象变换，得到函数的解析式，再把方程恰好有两个不同的实数解，转化为与有两个不同的交点，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，根据辅助角公式，可得函数，把函数的图象向右平移个单位，得到，再把函数图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数，因为，则，令，解得，即函数在上单调递增，令，解得，即函数在上单调递减，且，要使得方程恰好有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点，结合图象，可得实数的取值范围是，即.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，以及三角函数的图象变换与三角恒等变换的应用，其中解答中合理利用三角函数的图象与性质，把方程恰好有两个不同的实数解，转化为与有两个不同的交点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为、.若，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】过点M作圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A和B，分别连接CA、CB、CM、AB，根据圆的性质可得，要使得，则满足，列出不等式，即可求解.【详解】根据题意，画出图形，如图所示，由圆，可得圆心坐标，半径，过点M作圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A和B，分别连接CA、CB、CM、AB，根据圆的性质可得，当，因为，所以为等腰直角三角形，所以,又由，所以，所以，所以，要使得，则满足，即，整理得，解得或，即的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意得出时，使得，进而得出要使得，则满足，利用两点间的距离公式，列出不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.设函数是定义在上的函数，且对任意的实数，恒有，，当时，.若在在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得函数的奇偶性，对称性和周期性，作出函数的图象，把在上有且仅有三个零点，转化为函数和的图象在上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于y轴对称，又由，则，即，可得，代入可得，所以函数的图象关于对称，且是周期为4的周期函数，又由当时，，画出函数的图象，如图所示，因为在上有且仅有三个零点，即函数和的图象在上有且仅有三个交点，当时，则满足，解得；当时，则满足，解得；综上所述，可得实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的零点的应用，其中解答中根据题意得出函数的基本性质，作出函数的图象，把问题转化为函数和的图象在上有且仅有三个交点，结合图象列出不等式组求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的相应位置.）13.已知，满足不等式，则最大值为________.【答案】11【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，求得目标函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数，可化为直线，当直线过点A时，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.用半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥简，则这个圆锥简的高为________.【答案】【解析】【分析】先求得扇形的弧长，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，求得圆锥的底面半径，进而利用勾股定理，即可求解圆锥筒的高，得到答案.【详解】如图所示，半径为，圆心角为的扇形，所以扇形的弧长为，设卷成圆锥的底面圆的半径为，则，解得，所以这个圆锥筒的高为.【点睛】本题主要考查了圆锥的计算问题，其中解答中熟知圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，合理应用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，的面积为，则的值等于________.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式，求得，利用余弦定理求得，再根据正弦定理，即可求解的值，得到答案.【详解】在中，因为，所以，又由的面积为，且，所以，解得，由余弦定理可得，解得，又由正弦定理得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．16.以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题、、满足“或”真，“或”也真，则“或”假；③若，则使得恒成立的的取值范围为{或}；④将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为.其中真命题的序号为________.【答案】①③④【解析】分析】①中，根据对数函数的运算性质，即可判定；②中，根据复合命题的真假判定方法，即可判定；③中，令，转化为在恒成立，即可求解；④中，根据几何体的结构特征和椎体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，①中，当，根据对数函数的运算性质，可得，反证，当时，可得，所以“”是“”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““或”真”，可得命题中至少有一个是真命题，当为真命题，则假命题，此时若“或”真，则命题为真命题，所以“或”真命题，所以不正确；③中，令，则不等式恒成立转化为在恒成立，则满足，即，解得或，所以是正确的；④中，如图所示，O为AC的中点，连接DO，BO，则都是等腰直角三角形，，其中也是等腰直角三角形，平面，为三棱锥的高，且，所以三棱锥的体积为，所以是正确的，综上可知真命题的序号为①③④【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充要条件的判定、复合命题的应用，不等式的恒成立问题的求解，以及折叠问题求几何体的体积等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.设是等比数列的前项和.已知，，成等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设.若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，求得，再由，求得，即可得到等比数列的通项公式；（2）由（1），得到，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意知，即，即，解得：，又由，解得，所以（2）由（1），所以所以，数列的前项和为.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数（单位：人）各年份的数据如下表：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与时间（单位：年）的关系，请通过计算相关系数加以说明，（若，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式参考数据（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表①求该样本数据的平均数；②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间近似服从正态分布，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间的人数.（附：若随机变量服从正态分布则，【答案】（1）见解析；（2）42065人【解析】【分析】（1）根据公式，准确求解的值，即可作出判断，得到答案.（2）由样本平均数，且网购时间服从正态分布，且，即可推理相应的概率，得到的答案. 【详解】（1）由题知，而，所以可算得，，则故与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）由题意，样本平均数因为网购时间服从正态分布，而所以所以50000人中，估计的人数大约为人【点睛】本题主要考查了回归分析的应用，以及正态分布的应用，其中解答中利用公式准确求解相关系数的值，以及熟记正态分布曲线的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，，，为的中点.（1）平面平面（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由四边形为矩形，所以，再由勾股定理，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，又由平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解，得到结论.【详解】（1）证明：由题意知，四边形为矩形，所以，又∵四边形为菱形，为中点，所以，，，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面（2）假设线段上存在点，使二面角的大小为，在上取一点，连接，.由于四边形是菱形，且，是的中点，可得.又四边形是矩形，平面平面，∴平面，所以建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，则，，设平面的法向量为，则，∴，令，则，又平面的法向量，所以，解得，所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然.如图所示，今有抛物线，一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点，反射后，又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点.设，两点的坐标分别是，.（1）证明：；（2）若四边形是平行四边形，且点的坐标为.求直线的方程.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的性质及题意，设，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，即可求解.（2）由题意，求得，设，则，求得，得到直线的斜率为，即可得到直线的方程.【详解】（1）由抛物线的性质及题意知，则光线必过抛物线的焦点，设，代入抛物线方程得：，所以.（2）由题意知，，，所以，关于直线对称与直线重合，设，则，解得，所以直线的斜率为，.所以直线的方程为【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的标准方程及其简单的几何性质，合理应用直线的斜率和倾斜角的关系，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.21.已知函数，.（Ⅰ）令①当时，求函数在点处的切线方程；②若时，恒成立，求的所有取值集合与的关系；（Ⅱ）记，是否存在，使得对任意的实数，函数在上有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数，若不存在，请说明理由.【答案】（1）①；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①根据导数的几何意义，即可求解切线的方程；②由，即，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.（Ⅱ）令，，根据题意，由和，及存在，使得，分类讨论，即可求解.【详解】（1）①由题意，可得，则，所以，所以在处的切线方程为②由，即则，，因为在上单调递减，所以，存在，使得，函数在上单调递增，在上单调递减，，由得，，∴，所以的所有取值集合包含于集合.（Ⅱ）令，（1），，由于，，，，，由零点存在性定理可知，，函数在定义域内有且仅有一个零点.（2），，，，，同理可知，函数在定义域内有且仅有一个零点.（3）假设存在，使得，则，消，得.令，，所以单调递增.∵，，∴，此时，所以满足条件的最小正整数.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，（l）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.【答案】（1）（为参数）；（2）1【解析】【分析】（1）由直线的极坐标方程为，求得，进而由，代入上式得，得到直线的参数方程；（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）直线的极坐标方程为即，因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）（2）由，得，由，代入，得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.（*）则且，，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.则，，，由题设得.则有，得或.因为，所以【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；.（2）对，，，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，分类讨论去掉绝对值，得分段函数，进而可求解不等式的解集. （2）由绝对值的三角不等式，求得，转化为对任意，总有，即，即可求解.【详解】（1）当时，，即，当时，不等式的解集为空集；当时，由，即，解得，所以解集为；当时，不等式恒成立，所以解集为，故不等式的解集为.（2）由已知：，则，对任意，总有，则对任意，总有，即，解得实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值的三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，合理应用绝对值的三角不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。
内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得求得集合B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】解：，或，，．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，，即．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P 落在该圆中的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出圆落在正方形中的面积为，正方形的面积为4，再由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。
【详解】解：如图所示，因为，圆的半径为1所以，圆落在正方形中（阴影部分）的面积为，而正方形的面积为4，由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。
【点睛】本题考查几何概型的概念与概率公式，几何概型有两大特征：1.无限性，2.等可能性，几何概型的概率公式为（构成事件的区域长度（面积、体积））÷（试验的全部结果所构成的区域长度（面积、体积））。
4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，，排除B，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为A. 9B. 27C. 54D. 81【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列的通项公式代入化简为，解得q，又，即，，分析可得、q的值，可得数列的通项公式，将代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为q，若为和的等差中项，则有，变形可得，即，解得或3；又，即，则，，则，则有；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为，，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得得解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数（其中，，）的图象，可得，，．再利用五点法作图可得，求得，为了得到的图象，只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，属于基础题．8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下： 输入，，，；，；，；，；输出，结束； 令，解得.故选C.9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【详解】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积．故选：C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【答案】C【解析】【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙丙、丙乙是否成立当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面相交，则平面与平面至少有一个公共点，故相交相交反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面相交，则，由已知矛盾，故乙成立．【详解】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l、m中至少有一条与平面相交”也成立故选：C．【点睛】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为与的图象，和的图象，和的图象，利用数形结合研究，，的范围即可得到结论．【详解】解：由得，即，作出函数与的图象如图，黑色图象，由图象知两个图象交点的横坐标满足，由得，作出和的图象如图红色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，作出和，的图象如图蓝色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，综上，，的大小关系为，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究，，的范围是解决本题的关键．12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先设与圆相切于点E，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：设与圆相切于点E，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，所以又，由可得，即为，即，，则双曲线的渐近线方程为，即为故选：B．【点睛】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于______．【答案】3【解析】14.在的展开式中，的系数为______．【答案】80【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论．【详解】解：的展开式中，通项公式，令，解得．的系数．故答案为：80．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义，，设F在l上的射影为，依题意，可求得，，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得．进而求得圆的方程【详解】解：抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，，准线l的方程为：；设F在l上的射影为，又，依题意，，，，轴，点P的纵坐标为，设点P的横坐标为，，，．故以PF为直径的圆的圆心为，半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．【答案】【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．则：，解得：，所以：，所以：，所以：，，故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共7小题）17.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】Ⅰ，或Ⅱ【解析】【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．Ⅰ证明：面ABC；Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，面面BCD，，面平面，面BCD，，又，，，，，，，平面ABC．解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，是AD的中点，，，，令平面BCE的一个法向量为y，，则，取，得，面ABC，平面ABC的一个法向量为，，，二面角的大小为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，，，，的分布列为：．Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，时，Y的数学期望值为：不是最大值，时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【答案】ⅠⅡ见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，故椭圆C的方程为，证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，，直线PA的方程为，即联立，得．，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明【解析】【分析】首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.【详解】解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．Ⅰ当时，求；Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．【答案】ⅠⅡ，去掉，【解析】【分析】Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【详解】Ⅰ当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有．Ⅱ由已知令，，，，，P为AB的中点，，即，所以P点的轨迹的直角坐标方程为，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉，【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数．Ⅰ在给出的直角坐标系中画出函数的图象；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】ⅠⅡ【解析】【分析】，画图即可；关于x的不等式的解集包含，可得在上恒成立，解得即可.【详解】，其图象为关于x的不等式的解集包含，即在上恒成立，，即，，上恒成立，，故．【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
第1页，总25页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………内蒙古呼和浩特市2019年高三理数第二次质量普查调研考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) A . 40 B . 50 C . 60 D . 702. 设集合 ，集合 ，则（ ）A .B .C .D .3. 函数，那么的值为（ ）A .B .C .D .4. 已知函数，把函数 的图象向右平移 个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数 的图象，当时，方程恰有两个不同的实根，则实数 的取值范围为（ ） A . B .C .D .5. 设函数是定义在 上的函数，且对任意的实数 ，恒有， ，当答案第2页，总25页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………时，.若在在上有且仅有三个零点，则 的取值范围为（ ） A .B .C .D .6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵， ，若，则堑堵的外接球的体积为（ ）A .B .C .D .7. 过坐标轴上一点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 .若 ，则的取值范围是（ ）A .B .C .D .8. 执行如图所示的程序框图，如果输出S ＝3，那么判断框内应填入的条件是 ( )。
2019年4月内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【分析】解一元二次不等式求得求得集合B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】解：，或，，．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，，即．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为A. B. C. D.【答案】B【分析】先求出圆落在正方形中的面积为，正方形的面积为4，再由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。
【详解】解：如图所示，因为，圆的半径为1所以，圆落在正方形中（阴影部分）的面积为，而正方形的面积为4，由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。
【点睛】本题考查几何概型的概念与概率公式，几何概型有两大特征：1.无限性，2.等可能性，几何概型的概率公式为（构成事件的区域长度（面积、体积））÷（试验的全部结果所构成的区域长度（面积、体积））。
4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，，排除B，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为A. 9B. 27C. 54D. 81【答案】B【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列的通项公式代入化简为，解得q，又，即，，分析可得、q的值，可得数列的通项公式，将代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为q，若为和的等差中项，则有，变形可得，即，解得或3；又，即，则，，则，则有；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为，，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得得解+析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数（其中，，）的图象，可得，，．再利用五点法作图可得，求得，为了得到的图象，只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解+析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，属于基础题．8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C模拟程序框图的运行过程，如下：输入，，，；，；，；，；输出，结束；令，解得.故选C.9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【详解】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积．故选：C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【答案】C【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙丙、丙乙是否成立当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面相交，则平面与平面至少有一个公共点，故相交相交反之丙成立时，若l、m 中至少有一条与平面相交，则，由已知矛盾，故乙成立．【详解】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l、m中至少有一条与平面相交”也成立故选：C．【点睛】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】B【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为与的图象，和的图象，和的图象，利用数形结合研究，，的范围即可得到结论．【详解】解：由得，即，作出函数与的图象如图，黑色图象，由图象知两个图象交点的横坐标满足，由得，作出和的图象如图红色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，作出和，的图象如图蓝色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，综上，，的大小关系为，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究，，的范围是解决本题的关键．12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为A. B.C. D.【答案】B【分析】先设与圆相切于点E，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：设与圆相切于点E，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，所以又，由可得，即为，即，，则双曲线的渐近线方程为，即为故选：B．【点睛】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于______．【答案】314.在的展开式中，的系数为______．【答案】80【分析】利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论．【详解】解：的展开式中，通项公式，令，解得．的系数．故答案为：80．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．【答案】【分析】利用抛物线的定义，，设F在l上的射影为，依题意，可求得，，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得．进而求得圆的方程【详解】解：抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，，准线l的方程为：；设F在l上的射影为，又，依题意，，，，轴，点P的纵坐标为，设点P的横坐标为，，，．故以PF为直径的圆的圆心为，半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．【答案】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．则：，解得：，所以：，所以：，所以：，，故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共7小题）17.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】Ⅰ，或Ⅱ【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．Ⅰ证明：面ABC；Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）【分析】推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，面面BCD，，面平面，面BCD，，又，，，，，，，平面ABC．解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，是AD的中点，，，，令平面BCE的一个法向量为y，，则，取，得，面ABC，平面ABC的一个法向量为，，，二面角的大小为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？【答案】（1）见解+析（2）见解+析【分析】Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，，，，的分布列为：．Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，时，Y的数学期望值为：不是最大值，时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x 轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【答案】ⅠⅡ见解+析【分析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，故椭圆C的方程为，证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，，直线PA的方程为，即联立，得．，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明【分析】首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.【详解】解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．Ⅰ当时，求；Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．【答案】ⅠⅡ，去掉，【分析】Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【详解】Ⅰ当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有．Ⅱ由已知令，，，，，P为AB的中点，，即，所以P点的轨迹的直角坐标方程为，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉，【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数．Ⅰ在给出的直角坐标系中画出函数的图象；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】ⅠⅡ【分析】，画图即可；关于x的不等式的解集包含，可得在上恒成立，解得即可.【详解】，其图象为关于x的不等式的解集包含，即在上恒成立，，即，，上恒成立，，故．【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2020年高考改革过渡期高考会考哪些内容?2020年的高考，注定是不同寻常的一次高考。
随着高考改革的不断深化，考试的内容、考察方向可能会一些改变，同时随着3+3的新高中教育的模式的出现，一些身份今年可能没有办法复读，受疫情影响，高三的同学们也无法正常的返校复习，距离高考只有102天了，那么2020年高考会考什么内容呢？结合17、18、19年三年的高考试卷，以全国一卷为例，对比这三年的考试试题和考试大纲来看，我们的考试越来越基础化，但是考察的方向越来越全面，只要是我们课本出现的不管多么小的知识点，都有可能作为考试题出现在高考考中。
同时语文对阅读能力的考察越来越高，对于英语能力的测试逐渐常规化。
那么各科考试都会考一些什么内容呢？首先对于我们的语文考试，语文考试的考察面越来越广，提醒基本不会有什么变化，而近几年的语文阅读确实不太好做，需要花很长的时间去理解，对比前几年的试卷，文学类文本的话考小说的几率比较大，实用类文本可能会围绕中国的发展讲述，所以我们在这一阶段在做模拟阅读题的时候要将文章的思路理清，提高阅读能力。
作文可能会围绕与此次疫情有关的“中国力量”、“逆行者”、等方向，或者是让你以“全面建成小康社会的决胜年”为背景展开创作。
我们不得不否认的是近些高考作文确实很出乎我们的意料，为了应对此现象，我们平时要多多积累好词好句、名言警句、文化常识和事迹素材。
对于数学考试来说，数学考试考察的范围越来越全面，但是考察的难度确实是降低了，我们发现考试题越来越基础，但是近几年在考场上出现的问题是，同学们在做题时感觉这些题并不是很好做，尤其是去年一道求维纳斯身高的题难倒了无数高考考生，甚至一度将此题抄上了热搜，可回过头来再一看这道题一个普普通通的方程就能解出此题，题中设计的黄金分割率也是课本上的内容。
所用时间不到2分钟就能拿到这五分，可为什么在高考时许多同学为这道题而发愁呢？那是因为我们在复习阶段做了很多的模拟题，可模拟题出题套路大部分都一样，学会了机械的解题，突然出现一道普通的基础题甚至有点无措了。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016届呼和浩特市高三一模考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5 BDCBC 6-10 BBA C B 11-12 DB二、填空题 13.34 14. 43π 15. －108 16.940π 三、解答题17. （1）证明： ∵0≠+n a n ………………………………………………1分 2)1()1(2)1()2(2)1(.11111=-+-+=-++-+=-++∴-----n a n a n a n n a n a n a n n n n n n）或者（0)),1((21≠+-+=+-n a n a n a n n n --------------------------------3分∴{}n a n +是首项为4，公比为2的等比列…………………………………5分(首项和公比各给1分)∴ 11224+-=⋅=+n n n n ana n n -=∴+12- -------------------------------------------------------------------------7分2341(2)(222.......2)(123......)n n S n +=+++-++++……………………9分（会分组给2分） 22822n n n +++=-……………………………………………………………………12分（两个和，每一个和给2分）18.（I ）证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，………………………………………………..2分又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC………………………………….4分（Ⅱ）法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．………………………….5分∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，………………………………………………….6分∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．……………………………………………7分.（Ⅱ）法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，…………………………………………5分∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．…………………………………..6分.分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），33,,cos =⋅>=<→→→→→→n m nm n m 所以二面角Q ﹣PB ﹣A 的余弦值为33-------------------------------------12分19. 解：（1）由已知在[70,80]之间的初中学生的人数为15人…………………1分记至少有1名女同学为事件A 则741)(215210=-=C C A p ……………………………………………………………4分（写出算式2分，结果1分） （2）成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计高中组 7030 100 初中组 5050 100 合计120 80 200 ........ ................. 7分(列联表完全正确才给分) ∴， ............. ........... ........ .10分(公式1分结果2分) ∴有99%的把握认为两个学段的学生对“四大名著”常识了解有差异”． ..... ........ ........ .................... 12分20.（1）设两圆切点为N ，|CN|+|CP|=4，|CN|=|CM|,所以|CP|+|CM|=22>2,所以圆心C 的轨迹是椭圆.且2a=22,2c=2 所以方程为1222=+y x ........................................................................................4分 (2)联立椭圆和直线方程得：0224)12(222=-+++m kmx x k.. ......... ......... ........................... 5分12,08816)22)(12(41622222222<->+-=-+-=∆k m m k m k m k 即 设交点),(),,(2221y x B y x A12222221+-=k m x x ， 124221+-=+k km x x ，...........................................................................7分122))((2222121+-=++=k k m m kx m kx y y所以 21222.2222121-=--==m k m x x y y k k OB OA 即 2122=-k m ......................................................9分12124)(122212212++=-++=k k x x x x k AB ...................... ................................................... 10分 12+=k md ................... ...................... ..................... ................ ................ ............................................ 11分 所以 22.21==d AB s 所以为定值。
内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. B. 2 C. D.【答案】D3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P 落在该圆中的概率为A. B. C. D.【答案】B4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为A. 9B. 27C. 54D. 81【答案】B6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C10.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【答案】C11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】B12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为A. B.C. D.【答案】B二、填空题（本大题共4小题）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于______．【答案】315.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．【答案】16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．【答案】三、解答题（本大题共7小题）17.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】Ⅰ，或Ⅱ【解析】【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．Ⅰ证明：面ABC；Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，面面BCD，，面平面，面BCD，，又，，，，，，，平面ABC．解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，是AD的中点，，，，令平面BCE的一个法向量为y，，则，取，得，面ABC，平面ABC的一个法向量为，，，二面角的大小为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，，，，的分布列为：．Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，时，Y的数学期望值为：不是最大值，时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【答案】ⅠⅡ见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，故椭圆C的方程为，证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，，直线PA的方程为，即联立，得．，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明【解析】【分析】首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.【详解】解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．Ⅰ当时，求；Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．【答案】ⅠⅡ，去掉，【解析】【分析】Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【详解】Ⅰ当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有．Ⅱ由已知令，，，，，P为AB的中点，，即，所以P点的轨迹的直角坐标方程为，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉，【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数．Ⅰ在给出的直角坐标系中画出函数的图象；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】ⅠⅡ【解析】【分析】，画图即可；关于x的不等式的解集包含，可得在上恒成立，解得即可.【详解】，其图象为关于x的不等式的解集包含，即在上恒成立，，即，，上恒成立，，故．【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
内蒙古呼和浩特市2019届高三3月第一次质量普查调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.设全集为R，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得求得集合B，再根据补集、交集的定义即可求出．【详解】解：，或，，．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．【详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，，即．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出圆落在正方形中的面积为，正方形的面积为4，再由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。
【详解】解：如图所示，因为，圆的半径为1所以，圆落在正方形中（阴影部分）的面积为，而正方形的面积为4，由几何概型的概率公式可得点落在该圆中的概率为。
【点睛】本题考查几何概型的概念与概率公式，几何概型有两大特征：1.无限性，2.等可能性，几何概型的概率公式为（构成事件的区域长度（面积、体积））÷（试验的全部结果所构成的区域长度（面积、体积））。
4.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【详解】函数，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，，排除B，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5.在等比数列中，，且为和的等差中项，则为A. 9B. 27C. 54D. 81【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等比数列的公比为q，由为和的等差中项，可得，利用等比数列的通项公式代入化简为，解得q，又，即，，分析可得、q的值，可得数列的通项公式，将代入计算可得答案．【详解】解：根据题意，设等比数列的公比为q，若为和的等差中项，则有，变形可得，即，解得或3；又，即，则，，则，则有；故选：B．【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【详解】由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为，，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得得解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数（其中，，）的图象，可得，，．再利用五点法作图可得，求得，为了得到的图象，只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，属于基础题．8.九章算术是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为A. 7B. 4C. 5D. 11【答案】C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入，，，；，；，；，；输出，结束；令，解得.故选C.9.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【详解】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积．故选：C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交．当甲成立时A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【答案】C【解析】【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙丙、丙乙是否成立当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面相交，则平面与平面至少有一个公共点，故相交相交反之丙成立时，若l、m 中至少有一条与平面相交，则，由已知矛盾，故乙成立．【详解】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l、m中至少有一条与平面相交”也成立故选：C．【点睛】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.已知函数与的零点分别为，，且，则，，的大小关系为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为与的图象，和的图象，和的图象，利用数形结合研究，，的范围即可得到结论．【详解】解：由得，即，作出函数与的图象如图，黑色图象，由图象知两个图象交点的横坐标满足，由得，作出和的图象如图红色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，作出和，的图象如图蓝色图象由图象知两个图象交点的横坐标满足，综上，，的大小关系为，故选：B．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究，，的范围是解决本题的关键．12.已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且倾斜角为锐角的直线1与圆相切，与双曲线的上支交于点若线段的垂直平分线过点，则该双曲线的渐近线的方程为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先设与圆相切于点E，利用，及直线与圆相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：设与圆相切于点E，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，，所以又，由可得，即为，即，，则双曲线的渐近线方程为，即为故选：B．【点睛】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题）13.已知，是单位向量，且与夹角为，则等于______．【答案】3【解析】14.在的展开式中，的系数为______．【答案】80【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，化简后求得的值，进而求得结论．【详解】解：的展开式中，通项公式，令，解得．的系数．故答案为：80．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.设抛物线的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义，，设F在l上的射影为，依题意，可求得，，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得．进而求得圆的方程【详解】解：抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，，准线l的方程为：；设F在l上的射影为，又，依题意，，，，轴，点P的纵坐标为，设点P的横坐标为，，，．故以PF为直径的圆的圆心为，半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为.故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.已知等差数列的公差为2，前n项和为，且，，成等比数列令，则数列的前100的项和为______．【答案】【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：设等差数列的首项为，公差为2，前n项和为，且，，成等比数列．则：，解得：，所以：，所以：，所以：，，故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共7小题）17.如图，D是直角斜边BC上一点，．Ⅰ若，求的大小；Ⅱ若，且，求AD的长．【答案】Ⅰ，或Ⅱ【解析】【分析】Ⅰ由已知可求，在中，由正弦定理可得，即可解得．Ⅱ由已知在中，由勾股定理可得，，，令，由余弦定理，即可解得AD的值．【详解】Ⅰ，，，在中，由正弦定理可得：，，，或，又，Ⅱ，，在中，由勾股定理可得：，可得：，，，，令，由余弦定理：在中，，在中，，可得：，解得：，可得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，平面四边形ABCD，，，，将沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．Ⅰ证明：面ABC；Ⅱ若E为AD中点，求二面角的大小．【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】推导出面BCD，从而，再求出，，，由此能证明平面ABC．以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：平面四边形ABCD，，，，面面BCD，，面平面，面BCD，，又，，，，，，，平面ABC．解：面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，，是AD的中点，，，，令平面BCE的一个法向量为y，，则，取，得，面ABC，平面ABC的一个法向量为，，，二面角的大小为．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．Ⅰ求六月份这种饮料一天的需求量单位：瓶的分布列，并求出期望EX；Ⅱ设六月份一天销售这种饮料的利润为单位：元，且六月份这种饮料一天的进货量为单位：瓶，请判断Y的数学期望是否在时取得最大值？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．Ⅱ六月份这种饮料的进货量n，当时，求出，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当时，，故当时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元由此能求出时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【详解】解：Ⅰ由题意知X的可能取值为100，300，500，，，，的分布列为：．Ⅱ由题意知六月份这种饮料的进货量n满足，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当时，若最高气温不低于25，则，若最高气温位于，则，若最高气温低于20，则，，此时，时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，时，Y的数学期望值为：不是最大值，时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C：过点，其左右焦点分别为，，三角形的面积为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若的角平分线总垂直于x 轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【答案】ⅠⅡ见解析【解析】【分析】Ⅰ由题意可得，解得，，则椭圆方程可求；Ⅱ设直线PA的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【详解】Ⅰ由题意可得，解得，，故椭圆C的方程为，证明Ⅱ：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为，设，，直线PA的方程为，即联立，得．，即设直线PB的方程为，同理求得，直线AB的斜率，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.已知函数，．Ⅰ当时，讨论函数的单调性；Ⅱ若函数有两个极值点，，且，求证．【答案】（1）函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）见证明【解析】【分析】首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；首先确定，的范围，化简的表达式为．构造函数，利用导数求得函数的最小值，并由极限证得，由此证得不等式成立.【详解】解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为，设1与曲线，异于极点的交点分别为A，B．Ⅰ当时，求；Ⅱ求AB中点轨迹的直角坐标方程．【答案】ⅠⅡ，去掉，【解析】【分析】Ⅰ用直线l的极坐标方程分别代入，的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；Ⅱ先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【详解】Ⅰ当时，联立得；同理得，由极径的几何意义有．Ⅱ由已知令，，，，，P为AB的中点，，即，所以P点的轨迹的直角坐标方程为，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉，【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.已知函数．Ⅰ在给出的直角坐标系中画出函数的图象；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求m的取值范围．【答案】ⅠⅡ【解析】【分析】，画图即可；关于x的不等式的解集包含，可得在上恒成立，解得即可.【详解】，其图象为关于x的不等式的解集包含，即在上恒成立，，即，，上恒成立，，故．【点睛】本题考查绝对值函数的图像的画法，考查绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
呼和浩特市2019届高三一模理科数学参考答案二、填空题13. 3 14. 8015. 4)3()2(22=+++y x 16.201200 三、解答题 分6......6060分5...12060又分4...60或120分3. (2)3sin ,sin 分2sin sin 中，由正弦定理有ADC 在'13090,60)1(17 ︒=∠∴︒=∠∴︒=∠∴︒=∠︒︒=∠∴=∠=∠∴∠=∠∆︒=∠∴︒=∠︒=∠B ADB ADC BAD ADC DAC DC AC ADC ADCAC DAC DC DAC BAC BAD 分122,2分11cos 213cos 446即分10 )cos(2中：ADC 在分9 cos 2中：ADB 在由余弦定理：,令分8 3,2,1369即中，由勾股定理有：ABC 在3,2）2（22222222222222 ==∴⎩⎨⎧++=-+=-⋅-+=∆⋅-+=∆=∠==∴=∴+=+=∆=∴=AD AD AD AD AD AD CD AD CD AD AC BD AD BD AD AB ADB AC BD DC DC DC AC AB BC DCBC DC BD θθθπθθ(注：第二问用直角三角形算出算出cosC ，利用余弦定理再求AD ，参照答案给分即可)18.（1）证明：6' 2'5' CD 12AD4' 12AD t 8AC t 222222222 ABC CD CD AB AAB AC BCD AB AC ABD AB CD AC ACD BD AB BD AB ABD R BD BCD ABD BC AB ABC R BCD ABD 面面面中在中在面面中又在面面⊥∴⊥∴=⊥∴⊥∴⊂=+=∆∴⊥=+=∆==+=∆⊥(2) BCD AB 面⊥ ∴如图，过B 在平面BCD 中做BD 的垂线为x 轴，BD ，BA 所在直线为y 、z 轴建立空间直角坐标系 则)0,22,0(),0,2,2(),2,0,0(),0,0,0(D C A BE 为AD 中点，)1,2,0(E ∴...........................7分)1,2,0(),0,2,2(==∴令平面BCE 的一个法向量为),,(1z y x n = 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0202211z y n y x BC n 取⎪⎩⎪⎨⎧=-==211z y x ，所以)2,1,1(1-=n ................9分 由（1）知平面BCA 的一个法向量为)0,2,2(-=.....................................10分22,cos 1=>=<∴n .........................................................................11分 所以所求二面角A BC E --为︒45.....................................................................12分(注：如学生用几何法找出二面角的平面角再计算，阅卷时需要把握两大得分点，第一证明所找角为二面角的平面角，第二计算所找的角)19. 解：（1）由题意知X 的可能取值为100，300，500，P （X ＝100）＝＝0.2，P （X ＝300）＝ P （X ＝500）＝＝0.4，...............................3分所以X 的分布列为：............................ .............................. ............................. .........5分EX=1002.0⨯+3004.0⨯+5004.0⨯=340.........................6分（2）由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100≤n ≤500.............................7分 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝5n ﹣3n ＝2n若最高气温位于区间[20，25），则Y ＝5×300+2（n ﹣300）﹣3n ＝900﹣n若最高气温低于20，则Y ＝5×100+2（n ﹣100）﹣3n ＝300﹣n∴EY ＝2n ×0.4+（900﹣n ）×0.4+（300﹣n ）×0.2＝420+0.2n ，∴此时n ＝500时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．....................... 9分 当100≤n <300时，若最高气温不低于25，则Y ＝5n ﹣3n ＝2n若最高气温位于区间[20，25），则Y ＝5n ﹣3n ＝2n若最高气温低于20，则Y ＝5×100 -（n ﹣100）﹣300＝300﹣n ∴EY ＝2n ×（0.4+0.4）+（300﹣n ）×0.2＝60+1.4n∴此时n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元............................11分所以n=340时Y 的数学期望值为：420+0.2×340=488显然不是最大值，n=500时Y 的数学期望达到最大值520..........................................................12分20. 解：（1）令c F F 221=，则31212121==⨯=∆c F F S F PF ...........................1分 所以322=-b a ①.............................................................................................................2分 又椭圆过点P （2，1）所以11422=+b a ②，由①②解得a 2＝6，b 2＝3，................................................3分 故椭圆C 的方程为+＝1.................................................................................4分（2）证明：由已知直线AP 的斜率与直线BP 的斜率互为相反数............5分 设直线AP 的斜率为k ，则直线BP 的斜率为﹣k ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A 的方程为1-y ＝k （x ﹣2），即y ＝kx +1﹣2k ........................... .........................................................................6分 联立，得（1+2k 2）x 2+4（k ﹣2k 2）x +8k 2﹣8k ﹣4＝0． ∴2x 1＝，即x 1＝...........................7分设直线PB 的方程为1-y ＝﹣k （x ﹣2），同理求得x 2＝.................8分∴x 2﹣x 1＝.................................................................9分 ∴y 1﹣y 2＝k （x 1+x 2﹣4）＝—∴y 2﹣y 1＝.................................................................10分∴直线AB 的斜率k AB ＝＝＝1...................................................1 1分 易知l 与在两坐标轴上的截距绝对值相等且都不为0∴直线AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．........................................12分21.（1）)0(,2ln 221)(2>++-=x x m x x x f xm x x x m x x f +-=+-=∴22)('2；...............1分 令m x x x g +-=2)(2，044,1>-=∆∴<m m令0)('=x f 则m x -±=11...............2分 当011≤--m ，即0≤m 时令0)('<x f 则)11,0(m x -+∈；令0)('>x f 则),11(+∞-+∈m x 此时函数在)11,0(m -+上单调递减；在),11(+∞-+m 上单调递增................3分 当011>--m ，即10<<m 时令0)('<x f 则)11,11(m m x -+--∈；令0)('>x f 则),11()11,0(+∞-+--∈m m x 此时函数在)11,11(m m -+--上单调递减； 在)11,0(m --和),11(+∞-+m 上单调递增.........................................5分（2）由（1）知，若)(x f 有两个极值点，则10<<m 且)1,0(111∈--=m x ，)2,1(112∈-+=m x .........................................6分 又21,x x 是022=+-m x x 的两个根，则211212,2x x m x x -==+...............7分 1111121112121ln )2(212ln )2(2221)(x x x x x x x x x x x f +-=--++-=∴...............8分 令)1,0(,ln )2(21)(∈+-=t t t t t h ，则21ln )('+=t t h 令,0)('<t h 则)1,0(e t ∈；令,0)('>t h 则)1,1(et ∈； 所以)(t h 在)1,0(e 上单调递减；在)1,1(e上单调递增..............................10分 ee h t h 11)1()(-=≥∴；..............................................................................11分 1)(,0;21)1(→→=t h t h ，1)(<∴t h ，得证...........................................12分 22.（1）当πθ430=时，联立⎪⎩⎪⎨⎧==θρπθcos 443得)43,22(π-A ；...............2分 同理得)43,62(πB ，...............3分 由极径的几何意义有2262)22(62+=--=AB ...............5分（2）P 为AB 的中点由已知令),(θρP ，),(1θρA ,),(2θρB θρθρsin 34,cos 421== ...............6分P 为AB 的中点θθρρρsin 32cos 2221+=+=∴...............8分 即θρθρρsin 32cos 22+=...............9分所以P 点轨迹的直角坐标方程为：032222=--+y x y x ...............10分 因为直线l 不与坐标轴重合，所以需去掉 )3,0(),0,1(.（不去点不扣分）23.（1）由已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-=21,32321,43,23)(x x x x x x x f ，...............2分 图象为...............5分（2）关于x 的不等式()f x x m ≥-的解集包含]5,4[， 即213x x x m ++-≥-在]5,4[∈x 上恒成立；...............6分 32x m x ∴-≤-，...............7分即2332x m x x -≤-≤-在]5,4[∈x 上恒成立；...............8分2242x m x ∴-≤≤-在]5,4[∈x 上恒成立...............9分]14,6[-∈∴m ...............10分（注：本卷中所有试题如学生答案与参考答案不一致，教师依据情况可请酌情给分，但标准需要统一）。
