分数的拆分问题【讲义]

分数的基本性质例1、分数38的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？分析： 38 =3+98+（ ），分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。

拓展：分数154的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是34 ，求分子和分母都加上的这个数是几？分析：方法一 试一试：将34的分子、分母同时扩大相同的倍数34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与47 的分子、分母相减，结果相同的就是。

方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 1612交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = dc 时，a×c=b ×d 。

解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 34(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数4111的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83，求分子和分母都加上的这个数是几？原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于321，求原分数。

方法：【利用分母与分子差不变】例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成12 ，那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”看分子减2倍 可以不可以变成1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成12，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2方程法：一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成38 ，那么原来的分数是多少？方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成35 ，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是15 ，求原来的分数是多少？利用和变拓展：分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 134 ，求某数是多少？ 利用和不变例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43，如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是21。

【小学五年级奥数讲义】分数的拆分1.概念单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。

分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆2．解题方法与技巧。

（1）把单位分数拆分成单位分数相加的和方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和再拆分：拆分成约数作分子的分数。

后约分：约分成最简分数方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。

把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。

（3）把假分数分拆成单位分数相加的和方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。

例题一在错误!未找到引用源。

的括号里填入适当的自然数，使等式成立。

分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。

分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。

分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。

解析一：8的约数有1、2、4、8。

①错误!未找到引用源。

②错误!未找到引用源。

③错误!未找到引用源。

④错误!未找到引用源。

⑤错误!未找到引用源。

⑥错误!未找到引用源。

以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。

如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。

，共有四组解。

解法二：错误!未找到引用源。

(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)练习一将下列各分数写成两个单位分数：1.错误!未找到引用源。

2. 错误!未找到引用源。

3. 错误!未找到引用源。

4.错误!未找到引用源。

5. 错误!未找到引用源。

6. 错误!未找到引用源。

例题二:将错误!未找到引用源。

第十三讲 分数的拆分〈精讲〉一、知识要点：1、把一个分数写成两个或两个以上分数单位的和，通常称之为分数拆分。

2、一般地，设A 为大于1的自然数，在A 1＝）（ 1＋）（ 1的括号里填入不同的自然数，使等式成立的解法是：⑴任选A 的两个不同的约数a 和b ；⑵将A 1的分子、分母同时乘以(a ＋b )，得：A1＝)(b a A b a +⨯+）（； ⑶将上面式子拆成两个分数之和A 1＝)(b a A a +⨯＋)(b a A b +⨯； ⑷再将这两个分数化简，便可以得到结果。

3、形如下面的分数可以直接拆分：)1(1+⨯n n ＝n 1－11+n ；)(d n n d +⨯＝n 1－dn +1。

4、看起来很复杂的分数计算题，如果用一般的常规方法做，就很复杂。

结合题目的特点，掌握一些分数拆分的方法，可以使计算巧妙、简便。

二、典型例题解析：例1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立：151＝）（ 1＋）（ 1例2、已知181＝A 1＋B 1＋C 1，A ，B ，C 是不同的自然数，求A ，B ，C 的值。

例3、计算21＋61＋121＋201＋301＋421＋561。

例4、计算：411⨯＋741⨯＋1071⨯＋13101⨯＋16131⨯。

分数的拆分〈精练〉1、在下面的括号里填入两个不同的自然数，使等式成立。

⑴201＝）（ 1＋）（ 1；⑵51＝）（ 1＋）（ 1。

2、在下面的括号里填入三个不同的自然数，使等式成立。

241＝）（ 1＋）（ 1＋）（ 1。

3、计算：211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋50491⨯。

4、计算：61＋121＋201＋…＋721＋901＋1101。

5、计算：13112⨯＋15132⨯＋17152⨯＋19172⨯＋1916、计算：614⨯＋1164⨯＋16114⨯＋…＋76714⨯＋81764⨯姓名 学校 学号________________ 成绩 分数的拆分〈作业〉1、已知71＝A 1＋B1，A ，B 是不同的自然数，求A ，B 的值。

第一讲——分数拆分【知识要点】分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位（单位分数） 把一个分数分拆成几个分数单位之和或者差的形式叫做分数的拆分具体步骤如下：（以拆成2个位例子）1、 找分母的因数2、 扩分：把分数单位的分子、分母分别乘以分母的任意两个因数之和或差3、 拆分：把所得分数拆成两个分数之和或差，使两个因数恰好是两个分数的分子4、 约分：把所得两个分数约成最简分数【例题选讲】 一、yx n 111+=型 例题1、在等式1116x y =+中，求出所有整数解。

在这些解中，找出两个分数单位之差最小的，和两个分数单位中分母的和最大的分别四多少？例题2、已知两个不同的单位分数之和是201，则这两个单位分数之差（较大分数为被减数）的最小值是多少?例题3、已知等式B A 11181+=，其中A,B 是非0自然数，求A+B 的最大值。

二、111()()A =-型例题4、求出112的所有形如11a b -的表达式（其中a 、b 为自然数）。

三、11()()B A =+型 ；11()()B A =-型 例题5、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()1-1152= （2）()()112110+=四、111+()()B A =++……（）型 例题6、在括号内填上合适的不同自然数，使等式成立（1）()()()1111211++= （2）()()()1112313++=（3）()()()()111194+++=五、应用例题7、四个连续的自然数的倒数之和等于1920，则这四个自然数两两乘积的和等于多少？例题8、已知：21111=+++育教人巨，其中不用的汉字代表不同的整数，问：巨×人×教×育=？例题9、在1到100这100个自然数中，找出10个不同的自然数，使得它们的倒数和为1.例题10、651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯【练习巩固】1、 把21拆成两个不同的单位分数之和。

第七讲分数的拆分在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。

在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。

比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。

可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。

这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。

例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。

问：最少要切几刀？分析与解答：方法一：1．计算每人得到的根数：11÷12=11／12根；2．考虑一般的情况：由于每人都得到11／12根，所以每根可以分成12份，才能使每人都得到一份。

把一根糖棒平均分成12份，需要切11刀，11根糖棒最多就要切11×11＝121刀。

怎样才能减少切的刀数呢？3．考虑每根切的段数与12的关系。

每人得的块数要尽量少，才能使切的刀数少。

由于每人都得到11/12根，所以也可以说若干个分数的和一定是11/12。

这几个分数在相加时，通分后分母是12，通分前分母必是12的约数，即每根糖棒在平均分时，切出的段数一定是12的约数。

若每根平均分成2段，需要1刀，每段长1/2，即6/12；若每根平均分成3段，需切2刀，每段长1/3，即4/12；若每根平均分成4段，需切3刀，每段长1/4，即3/12；若每根平均分成6段，需切5刀，每段长1/6，即2/12；若每根平均分成12段，需切11刀，每段长1/12。

4．把1/12、2/12、3/12、4/12、6/12通过枚举的方法组成11/12。

（1）11/12=6/12＋4/12＋1/12=1/2＋1/3＋1/12；（2）11/12=6/12＋3/12＋2/12=1/2＋1/4＋1/6；（3）11/12=4/12＋4/12＋3/12=1/3＋1/3＋1/4。

学生课程讲义课程名称六年级奥数上课时间任课老师沈老师第 03 讲，本讲课题：分数的拆分内容概要 分数拆分作为分数计算的前期铺垫内容。

在进行分数计算时，为使计算简便，有时需要将一个分数写成几个分数的和或差的形式。

特别在进行分数的加减运算时，根据分母之间的 一定规律将分数拆开，使其中的部分分数能互相抵消，从而大大简化计算过程。

常见的分数拆分公式有： 1. 1. 1n×（n+1）=1n−1n+12.d n×（n+d ）=1n−1n+d3.1n×（n+d ）=1d×( 1n−1n+d)4.1n×(n+1) ×（n+2） ＝ 12 ×[ 1n×(n+1)− 1(n+1)×（n+2）]将 1A 分拆成两个分数单位和的方法是：先找A 的两个因数a 和b,然后 1A＝1×（a+b ） A×（a+b ）=a A(a+b) +bA×（a+b ）再约分即可。

【例1】将下列分数分成几个分数单位的和。

（可以相同） （1）124 = 1 （ ）+1 （ ）+1（ ）（2）125 = 1 （ ） +1 （ ）+1（ ）（3）19 = 1 （ ） +1 （ ）+1（ ）【例2】将下列分数分成几个不同分数单位的和。

（1）1 17 = 1 （ ）+1（ ）（2）5 8 = 1（ ）+1（ ）（3）1 24 = 1 （ ）+1（ ）【例3】计算：（1）12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8（2）110×11+111×12+112×13+⋯ +119×20【例4】计算：（1）156+172+190+1110+1132+1156+1182（2）1+12+16+112+120+130+142【例5】计算：（1）21×3+23×5+25×7+27×9+29×11（2）31×4+34×7+37×10+310×13+313×16【例6】计算：（1）12×4+14×6+16×8+18×10+⋯+118×20（2）15×8+18×11+111×14+114×17+117×20（3）110×15+115×20+⋯+135×40【例7】计算：1−56 +712−920+1130−1342+1556−1772【例8】计算：1324×6 +1426×8+1528×10+16210×12+17212×14【例9】计算：1 6 +124+160+1120+1210+1336+1112。

分数的基本性质例1、分数38的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？分析： 38=3+98+（ ），分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。

拓展：分数154的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？ 例2、分数47的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是34，求分子和分母都加上的这个数是几？分析：方法一 试一试：将34的分子、分母同时扩大相同的倍数34=68= 912= 1216 =1520用这些分数的分子、分母与47的分子、分母相减，结果相同的就是。

方法二 先观察下面的几组等式：23 =4635= 91543= 1612交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = dc 时，a×c=b ×d 。

解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 34(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5方法三 ：【利用分母与分子差不变】拓展：分数4111的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83，求分子和分母都加上的这个数是几？原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于321，求原分数。

方法：【利用分母与分子差不变】例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34，如果分子减去1，就变成12，那么原来的分数是多少？方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 看分子减2倍 可以不可以变成1/2方法二、通分拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45，如果分子减去1，分母加上1，就变成12，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2方程法：一个分数，如果分母减去2，就变成23，如果分母加上5，就变成38，那么原来的分数是多少？方法一、等值放大两数分母相差7方法二、通子一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成35，那么原来的分数是多少？将分子，分母数字较大的采用“等值放大”将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是15，求原来的分数是多少？利用和变拓展：分数6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为134，求某数是多少？ 利用和不变例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是43，如果分子加上124，分母加上340，那么约分后是21。