第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试试题

贺信在全省各地教研部门的精心组织和各参赛学校领导、教师的大力支持下，第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛已经圆满结束。

经“希望杯”全国数学邀请赛组委会审定，福建赛区共有393名同学获奖，我们向获奖学生及优秀教练员、优秀辅导员表示最热烈的祝贺！福建省特级教师协会福建省数学学会初等数学分会杰出（福建）教育网络开发有限公司2011年5月26日获奖名单公布如下一等奖（3名）年级学校（全称）姓名指导教师初一漳州立人学校蔡伟华涂开能初二福州第十九中学林克廉黄巧红高一仙游县私立第一中学严江鹏李志明二等奖（28名）年级学校（全称）姓名指导教师初二长乐航城中学陈诚许碧容高一福建师范大学附属中学吴秉杰连信榕高一福建师范大学附属中学涂霁原连信榕高一福建师范大学附属中学林弘韬连信榕初一福州第十八中学林瀚峣韩振卿初一福州第十八中学高奕飞韩振卿初二福州第十八中学林心乔陈立羽初二福州第十八中学杨家璇郭炜颖初一福州华伦中学陈潘钺胡春来初一福州时代中学翁家翌戴炜初一福州时代中学陈晔林晶初二福州时代中学潘君坦范达铭初二福州时代中学林铖陈宏文初二福州第十九中学庄子安刘钟初二福州屏东中学叶冀平赵觅初二福州延安中学张瑞喆陈钦初二福州延安中学黄超陈碧初一连江启明中学余心乐张立群高一仙游第一中学胡群学刘金星高二仙游第一中学曾林陈凤龙高二仙游县私立第一中学彭潜陈凤灿高二云霄第一中学孙泗泉庄泽海高二漳州第一中学胡泓昇林良勇初一漳州立人学校刘锦平涂开能初一漳州立人学校杨锦昌涂开能初一漳州立人学校吴楚红涂开能初一漳州立人学校林绍锐韩建山高二漳州平和正兴学校庄勇临杨泽望三等奖（共362名）年级学校（全称）姓名指导教师初一长乐第二中学林锦航叶玉娟初一长乐第二中学杨心语陈传述高一长乐第二中学王嘉铭黄春生初二长乐航城中学陈明旭黄英初二长乐航城中学林梓航魏锦红初一福建东侨经济开发区中学周国锦阮慧初一福建东侨经济开发区中学陈友文章杰初一福建闽江学院附属中学陈辉宇郭妮亚初一福建闽江学院附属中学张寒琼李霞初一福建闽江学院附属中学陈见非郭妮亚初二福建闽江学院附属中学陈杨鄢坚初二福建闽江学院附属中学杨骏涵余秀莲初二福建闽江学院附属中学翁杭鄢坚初二福建师范大学第二附属中学叶锦辉陈文磊初二福建师范大学第二附属中学倪钰超蔡文萍初二福建师范大学第二附属中学张煜奇林燕高一福建师范大学第二附属中学程林鑫林瑞菊高二福建师范大学第二附属中学叶志辉林钊、陈莺高一福建师范大学附属中学叶韫盛连信榕高一福建师范大学附属中学吴志鹏连信榕高一福建师范大学附属中学杨志灿连信榕高一福建师范大学附属中学陈群连信榕高一福建师范大学附属中学朱睿连信榕初一福州八中鳌峰初级中学严若诗丁一意初二福州八中鳌峰初级中学林冰颖刘健初二福州八中鳌峰初级中学黄宇恒刘健初一福州八中江南水都分校曾宇涵黄智灵初二福州八中江南水都中学王星慧陈恩敏初一福州城门中学章文长龙小华初一福州第二十四中学张恩泽吴件灯初一福州第二十四中学魏杰陈雯初一福州第二十四中学章逸舟陈永清初一福州第二十四中学郑翔鹏陈永清初一福州第二十四中学林炜吴件灯初二福州第二十四中学陈泽安林艳群初二福州第二十四中学吴嘉伟游益初二福州第二十四中学陈锦榕林艳群初二福州第二十四中学余成明林森初二福州第二十四中学刘郭蕙游益初二福州第二十四中学江志鸿赵梅霞初二福州第二十四中学杨文婷赵梅霞初二福州第二十四中学郭逸菲林森初一福州第二十五中学陈孝强郑咏初一福州第二十中学陈奇俞铭初二福州第二十中学林斌辜敏霞初一福州第六中学何明城林燕云初一福州第六中学兰文国宋晓洁初一福州第七中学林东邹广华初一福州第七中学邱志勇吴红初一福州第七中学王衍舒邹广华初一福州第七中学李强魏道耀初一福州第三十六中学张毓琦陈英平初二福州第三十六中学陈嘉晞郑晚霞初二福州第三十六中学练云杉徐鉴明初二福州第三十六中学陈鸿锐徐鉴明初二福州第三十六中学林雪翎徐鉴明初二福州第十八中学陈德郭炜颖初二福州第十八中学林乐德郭炜颖初一福州第十八中学黄松睿詹春华初一福州第十八中学黄悦冬吴毓星初一福州第十八中学林晗璇吴毓星初一福州第十八中学孙宋源韩振卿初一福州第十八中学余佳秀陈英初二福州第十八中学林翰桢郭炜颖初二福州第十八中学游志航陈露初二福州第十八中学张旸帆郭炜颖初二福州第十八中学曾豪陈露初二福州第十八中学赖子萱郭炜颖初二福州第十八中学王渝婧陈露初二福州第十八中学陈颖峰陈立羽高一福州第十八中学陈天元于倩倩初一福州第十二中学张铖祥张云锋初一福州第十二中学陈晓桐张黎初二福州第十二中学江磊思林李初二福州第十二中学吴燕金阮佩洁初二福州第十二中学江心如林李初二福州第十二中学李龙翔阮佩洁初二福州第十二中学王柄基林李初一福州第十九中学卢政先周韧初一福州第十九中学叶景晨陈祥初一福州第十九中学邱晧晨张辉初一福州第十九中学刘劭荣吴崧初一福州第十九中学林振宇吴崧初一福州第十九中学徐寅宁赵娟初二福州第十九中学王晨杜石水初二福州第十九中学叶铠逞刘钟初二福州第十九中学洪智源刘钟初二福州第十九中学林昊翔刘钟初二福州第十九中学王乐平刘钟初二福州第十九中学翁才智刘钟初一福州第十六中学林听侯雪花初一福州第十六中学姜希远陈国光初一福州第十六中学陈至桐胡秀碧初二福州第十六中学阮浩椿吴燕初二福州第十六中学陈诗涵郭晓灵初二福州第十六中学陈超然郭晓灵初一福州第十四中学陈新杰高瑜玫初一福州第十四中学李莹钱江初二福州第十四中学林旭珍郑艳媚初二福州第十四中学吴榕彬康萍初二福州第十四中学黄瑜阳康萍初一福州第十一中学仇忱忻陈梅初一福州第十一中学周泽晖林维初一福州第十中学陈柏涛翁燕珠初一福州第十中学陈华卓始裕初一福州第十中学龚洋洋卓始裕初二福州第十中学潘智赟林武初二福州第十中学郑洵张夏英初二福州第十中学冯子鑫张夏英高一福州第四十中学赵旭如林柯高二福州第四十中学郑魁陈永星初一福州第四十中学宋智行俞云妹初二福州第四十中学任筠玉郑秋萍俞云妹初二福州第四十中学陈琳连玉凤俞云妹初二福州第四十中学吴昀皓连玉凤俞云妹高一福州高级中学蔡伯文赖晓晖高一福州高级中学王丹健赖晓晖高一福州格致中学苏涵陈怡高一福州格致中学何捷李颂京高一福州格致中学陈偲尔李颂京高二福州格致中学林志滨王秀桦初一福州格致中学鼓山校区阙慧敏徐朝和初一福州格致中学鼓山校区黄薇徐朝和初二福州格致中学鼓山校区虞黄凯林静初一福州鼓山中学郑榕郭祥镜初二福州鼓山中学贾龙生黄道清初二福州鼓山中学黄嘉嘉严学钦初一福州华伦中学黄宏飞胡春来初一福州华伦中学余秉鸿胡春来初一福州华伦中学黄国是胡春来初一福州华伦中学洪博展胡春来初一福州华伦中学郑琪胡春来初一福州华伦中学林晖虎胡春来初一福州华伦中学杨啸宇胡春来初一福州华伦中学林枢徐婷婷初二福州华伦中学林郁杨景文初二福州华伦中学郑戈言章兴姬初二福州华伦中学吴领峰钟昭初二福州华伦中学杨仕达杨景文初一福州华南实验中学欧树文陈闽旭初一福州华南实验中学陈鸿杰陈闽旭初二福州华南实验中学陈志文侯付兵高一福州华侨中学陈鸿晖叶家旺高一福州华侨中学黄秋远欧延高二福州华侨中学施林侯惠婷高二福州华侨中学魏雄周建梅初一福州屏东中学陈洛晖陈鸿燕初一福州屏东中学余君珺林航初一福州屏东中学林虹灏林航初一福州屏东中学黄嘉宜林航初一福州屏东中学甘露胡碧莲初一福州屏东中学程晓楠林航初一福州屏东中学黄迎松朱爱斌初一福州屏东中学施恭和林航高一福州屏东中学洪延捷吴林津初二福州屏东中学赵新涌陈晶磊初二福州屏东中学陈吉帆叶蓉初二福州屏东中学杨涛叶蓉初二福州屏东中学林乙杰叶蓉初二福州屏东中学赖澄烨翁希凡初二福州屏东中学林位麒叶蓉初二福州屏东中学陈雯孙阳初一福州时代中学陈烨嘉王清初一福州时代中学何辰星林晶初一福州时代中学刘烨镔魏正余初一福州时代中学刘彬立王清初一福州时代中学陈歆萍吴婷初一福州时代中学江典健吴婷初一福州时代中学李浩阳冉爱凤初一福州时代中学吴迪冉爱凤初一福州时代中学林沁炜吴婷初一福州时代中学陈竑屹林晶初二福州时代中学张昊陈宏文初二福州时代中学张鹏超刘昕初二福州时代中学魏旭鹏黄秋超初二福州时代中学叶秉奕周芝峰初二福州时代中学陈楚范达铭初二福州时代中学曾沁杉夏林初二福州时代中学黄乐鋆范达铭初二福州时代中学潘南黄秋超初二福州时代中学余之涵夏林初二福州时代中学林艳艳周芝峰初二福州时代中学蔡子弦周芝峰初二福州时代中学张仑刘昕初一福州树德学校郑阳洋何锦阳初一福州树德学校林晨钮桂桂初一福州树德学校黄凌浩陈登旺初二福州树德中学林清华魏凤金初二福州树德中学陈贵刘梅珠初二福州树德中学林成崴张宇初二福州树德中学张玥郑娟云初一福州四中桔园洲中学张爽高晓晴初一福州四中桔园洲中学刘以荣王玲娟初一福州铜盘中学池丞翁举闻初一福州铜盘中学陈禹睿郑圳杭初二福州铜盘中学林在培俞波初二福州铜盘中学李宇桢俞波初二福州铜盘中学王琪王子楚高二福州铜盘中学李锦如柳榕初一福州外国语学校柯景龙郑球初一福州外国语学校黄河清郑球初一福州秀山中学黄圣杰俞和贞初一福州秀山中学林枭彬俞和贞初二福州秀山中学黄亨利张璇初一福州延安中学杨文韬江烽初一福州延安中学江应丰周惠艳初一福州延安中学李启轩江烽初一福州延安中学史博文欧之海初一福州延安中学柳嘉鸿余盛怀初一福州延安中学陈思怡周惠艳初二福州延安中学江舒媛陈虹初二福州延安中学陈翔倩陈钦初二福州延安中学陈轲陈国平初二福州延安中学林天宇陈国平初二福州延安中学许嘉宜陈钦初二福州延安中学林浚杰刘敦玲初二福州延安中学陈雨淅刘敦玲初二福州延安中学徐鑫翁珠芳初一福州杨桥中学柳林森王娟初一福州杨桥中学方紫薇陈清松初一福州杨桥中学李卓林陈清松初二福州杨桥中学冯子诚邱惠西初二福州杨桥中学张陈怿旸赵凌志初二福州杨桥中学范玮辰邱惠西初二福州杨桥中学许佳明赵凌志初二福州英才中学林威高丽丽初一福州英才中学潘梓明蓝菊华初一福州则徐中学方玮江淹初二福州则徐中学张睫茹杨怀宇初一蕉城区教师进修学校附属中学王建锋林挺锋初一蕉城区教师进修学校附属中学林悦林挺锋初一连江凤城中学董梁立方圆初一连江凤城中学郑思远吴兆强初一连江凤城中学孙新胜方圆初一连江凤城中学林大海陈节长初一连江启明中学林乾喜陈祖强初一连江启明中学陈理键陈祖强初一连江启明中学詹志坚游姗初一连江启明中学林泽胤翁孝团初一连江启明中学李崧张立群初二连江启明中学陈祖栋谢建凤初二连江启明中学周耕宇缪伟初二连江启明中学连天虹谢建凤初二连江启明中学江鸿轩谢建凤初一连江文笔中学黄毅王先锋初一连江文笔中学林辛怡陈武用初二连江文笔中学杨先航肖良宇初二连江文笔中学蔡若琛郑维高初二连江文笔中学杨浩郑锋初二连江文笔中学陈桂冰陈勇彬高一罗源第一中学郭丽超张贵根高一罗源第一中学郑俊杰张贵根高二罗源第一中学郑赐灵尤永礼高二罗源第一中学郑剑韬尤永礼初一宁德第十中学卢嵩蔡作斌初一宁德第十中学吴倩雯陈新军初二宁德第十中学章晓婷陈云玉初二宁德第十中学林凡琳魏玉生初二宁德第十中学游以琳彭光清初二宁德第十中学刘东祚陈云玉初二宁德蕉城中学陈子楠陈序述高二宁德市柘荣第一中学缪宇杰陈坤其高二宁德市柘荣第一中学吴余群袁诗钟初一宁德树德学校陈曦张翔飞初一宁德树德学校林省建张翔飞初一宁德树德学校傅永浩杨鼎莺高一仙游第一中学陈集懿刘金星高一仙游第一中学林毓斌黄开云高一仙游第一中学张鑫黄秀平高一仙游第一中学张钊颖刘金星高一仙游第一中学郭帅李新岳高一仙游第一中学李阳李新岳高一仙游第一中学郑依依刘金星高二仙游第一中学郑汉极陈凤龙高二仙游第一中学柯逸臻陈凤龙高二仙游第一中学柯延钊许世敬高二仙游第一中学王玮铭陈凤龙高二仙游第一中学郑侃炜陈凤龙高二仙游第一中学陈晓煜陈凤龙高一仙游县华侨中学张杰林朝辉高二仙游县华侨中学吴进喜林朝辉高一仙游县私立第一中学吴江峰陈明辉高一仙游县私立第一中学张煌舜陈明辉高一仙游县私立第一中学陈承响李志明高二仙游县私立第一中学杨伟康陈凤灿高二仙游县私立第一中学张达陈凤灿高二仙游县私立第一中学吴宇雳陈凤灿高二仙游县私立第一中学黄健男陈凤灿初二仙游现代中学柯延宇郑绍红初二仙游现代中学林伟郑绍红初二仙游现代中学岳建理郑绍红初二仙游现代中学郑哲蔚郑绍红初二仙游现代中学张之山张金标初一漳州程溪中学王艺军陈林云初一漳州程溪中学许淑君叶舒文高一漳州程溪中学蒋凌欣林荣耀初一漳州第三中学王毅航林艺彬高二漳州第三中学李捷英徐桂锦高二漳州第三中学林莉莉吴攀高一漳州第一中学陈炳森胡彩霞高一漳州第一中学游宇铭李彬高二漳州第一中学姚秋黄林良勇高二漳州第一中学程曦林良勇高二漳州第一中学陈虹婷林良勇高一漳州港尾中学江宗棋杨锡鑫初二漳州广兆中学林宏锴谢荣玉初一漳州华安第一中学赵凌杰郑荣坤初一漳州华安第一中学李勋虎郑荣坤初一漳州华安第一中学廖陆枭郑荣坤初二漳州华安第一中学王彦哲张旺金初二漳州华安第一中学李靖张旺金高一漳州华安第一中学戴琦炜汤炜国高二漳州华安第一中学林杰超吴德发初一漳州立人学校朱天培吴洋辉初一漳州立人学校罗东阳吴洋辉初一漳州立人学校邱德志吴洋辉初二漳州立人学校李燕婷李幼华初二漳州立人学校薛文溢李幼华初二漳州立人学校林任奇许亚梅高一漳州龙海二中蔡艺玲郭文俊高一漳州龙海二中徐昱群郭文俊高一漳州龙海二中苏志鹏郭文俊高二漳州龙海二中黄安庆姚惠美高二漳州南靖第一中学黄欣培许耀德高二漳州南靖第一中学戴国雄许耀德高二漳州南靖第一中学陈朴许耀德高二漳州南靖第一中学洪权许耀德高二漳州南靖第一中学卢菁华许耀德高一漳州南靖一中黄睿阮宏忠高一漳州南靖一中沈讷宏阮宏忠高二漳州平和第一中学张荣杰吴建来高一漳州平和第一中学黄慧华赖平民初一漳州平和正兴学校吴婕庄文超初一漳州平和正兴学校李鸿庄文超初一漳州平和正兴学校张志祥游斗忠初二漳州平和正兴学校林子童赖清峰初二漳州平和正兴学校罗文源叶炳耀初二漳州平和正兴学校李姝彦叶炳耀高一漳州平和正兴学校林文智周可忠高一漳州平和正兴学校赖美榕周可忠高二漳州平和正兴学校卢明炷杨泽望高二漳州平和正兴学校林艺杨杨泽望高二漳州平和正兴学校杨文杰杨泽望初一漳州五寨中学林鹏煌庄燕瑜高一漳州云霄一中汤灿伟陈文芳高二漳州云霄一中吴鑫辉庄泽海高一漳州云霄一中吴伟鑫陈文芳高一漳州云霄一中吴泽桂陈文芳初一漳州平和正兴学校李靖豪游斗忠初一漳州平和正兴学校陈炎生游斗忠初一漳州平和正兴学校陈柏宏游斗忠初一漳州平和正兴学校吴日恒庄文超初一漳州平和正兴学校卢泽宾游斗忠初一漳州平和正兴学校李泉贵游斗忠初一漳州平和正兴学校林书煜庄文超初一周宁县第十中学叶国文蒋学坚初二周宁县第十中学詹斌谢蔡忠高一周宁县第十中学陈英玉周文文初一周宁县狮城中学陈书琪叶宝才初一周宁县狮城中学许含颖汤胜周初二周宁县狮城中学吴文杰詹妙芳初二周宁县狮城中学郑宇萍郑木森。

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)题31 Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of Mis .(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .解 在椭圆18922=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率31==a c e ，右准线9:2==ca x l ，显然点P （6，2）在椭圆18922=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有184920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（223±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展 将此题引伸拓广，可得定理 M 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca -2；当F 是左焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则F 是右焦点，且0≤m≤c a 2，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2-.F 是左焦点，且c a 2-≤m≤0，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是ca m 2--.简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=e1|MF|. ∴e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m ca +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.m图1图2如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.如图5，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca +2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.如图6，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2--，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.题32 已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于（ ）A 、32 B 、34 C 、45 D 54 （第十五届高二培训题第19题）解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-22上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为图3 图4图5图6P’（x,y ）,则12200=+-+y y x x ①，又10-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得 0011x y y x =+⎧⎨=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值.拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++⋅++⋅)()(022********x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.题33 21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________-.（第四届高二第二试第15题）解 双曲线3322=-y x ,即1322=-y x ，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN取最小值21232=-，这时，22BF AF +取得最小值322=MN e ,从而11BF AF +取最小值33143234=+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得定理 1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是ab a 224+.仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342=⨯+⋅. 题34 方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是( )A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题）解法1 由()()|3|2222+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，即()()9322222-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.解法2 已知方程就是()()2|3|22222+-⋅=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C.评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若()()||22C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且BA 、不全为零），则（1）当1022<+<B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的椭圆.（2）当122>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线.（3）当122=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直线.（4）当122=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的抛物线.读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x 1,1与点B（1，0）的距离的最小值是_________-.（第七届高二第一试第23题）解法1 由已知得2222111101AB x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦214x x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2111723222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将此式看作以xx 1+为自变量的二次函数，111,22x x x x x≥∴+≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函数，∴当21=+xx 时，1,1272122m i n 22mi n=∴=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AB .解法 2 令24,tan πθπθ<≤=x ，则112tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ+=+==≥ 112,x x x ⎛⎫≥⇒+≥ ⎪⎝⎭112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-AB ∴=== ∴当12csc =θ，即4πθ=时，12741182min=-⎪⎭⎫⎝⎛-=AB .解法 3 设11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 1≥）,两式平方并相减，得),0,2(422≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半支在x 轴上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =2min ||AB ，并将xx 1+看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.题36 抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1 设抛物线2x y =上的点的坐标是()2,xx ，则它到直线02=++y x 的距离是271()24x d ++==，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()11,24-. 解法 2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2x y =，得02=-+k x x .由o =∆，即041=+k ，得14k =-.解214y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得1214x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故所求点的坐标是()11,24-.解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为02y y x x +=，故120-=x ，012x =-.20014y x ∴==. 故所求点的坐标为()11,24-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线c bx ax y ++=2上一点P ()00,y x 的切线方程是00022y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2的切线的方程为()00x x k y y -=-①. b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/20，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，()()000022222ax b x x y y y +-+=+，200000022y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴0200，c bx ax y =--0200，代入②，得切线方程为000y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的22,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成00,22x x y y++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的切线方程是0000000222x y xy x x y yAx x BCy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，所求切线方程为23322234348300222y x yx x y +++⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-=，即0922213=-+y x .题37 在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为M ()00,y x ，则k y y y 22210-=+=.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 ()3222++=-m k k k .kk k k k k m 32223232++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162>+=∆m k .再将m 的式子代入，经化简得0323<++kk k ，即 ()()0312<+-+kk k k ，因为032>+-k k ，所以01<<-k .解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12884321++=-=.因为212212y y y y >⎪⎭⎫ ⎝⎛+，所以k k k k 1288432++>，解得01<<-k . 解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点，且BC 中点为M ()00,y x .因为2221214,4x y x y ==，所以()1221224x x y y -=-，即()4211212=+⋅--y y x x y y ，所以k y y k 2,42100-==⋅-.又300+=kx y ,所以k k x 320+-=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，解得01<<-k .解法4 设B 、C 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设M()00,y x ，B()y x ,，C()y y x x --002,2,则xy 42=①，()()x x y y -=-020242②.①-②，得0220200=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线3+=kx y 上，003y kx ∴=+④.④代入③得直线BC的方程为()()023320200=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32,000kx x x ，同理得直线3+=kx y 的方向向量()00,kx x v =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以0=⋅，即()0,32,00000=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+kx x kx x x ，化简得 ()03320020=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或020=x （舍去）.显然0≠k ，解得k kx y kk x 23,32000-=+=+-=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，3223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k .评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.练习 若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D 、⎪⎭⎫⎝⎛-43,41 答案：B题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．（第十三届高二培训题第73题）解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，︒≠90α，代入抛物线方程，消去x 得)4(2a y k y -=，即042=--ak y y k ． (弦长)2=)cot 1(2α+()222416161cot 16tan a a k αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22csc 16cot 16a αα=+ =α4csc 16，即2216cot 1616csc a αα+=21616cot α=+，由此得1=a ．当︒=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由⎩⎨⎧==x y ax 42，得⎩⎨⎧==a y a x 2或⎩⎨⎧-==ay ax 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2πα=，则弦长为42csc42=π，此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入x y 42=，得a y 42=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2πα=时，弦所在直线方程为1=x ．再令4πα=，则弦长为84csc42=π，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得b y x -+=1，代入x y 42=并整理，得04442=-+-b y y ，弦长⋅+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--⋅=b ，解得0=b ，所以4πα=时，弦所在直线方程为1-=x y ．解⎩⎨⎧-==11x y x ，得定点为（1，0）．评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是α2csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这是合情合理的常规思维．然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2πα=与4πα=，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2πα=与4πα=，而不令713πα=与325πα=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．拓展 原题中弦长α2csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.定理 若抛物线)0(22>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2c s c 2p PQ =的充分必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2(pF ． 证明 先证必要性:由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(︒≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22=，得-22x k)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得[]21221224)()1(x x x x k PQ -+⋅+=②．将①的两根之和与积代入②，得()2242241c s c 2k p p a p k kθ+=+，从而得2442csc tan sec p θθθ=（222tan p ap θ+），解得2p a =，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．再证充分性：由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2py k x k θθ︒=-=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．应用该定理，可解决下面的问题：1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）答案：1. 82. 3.30︒或150︒题39 长为)1(<l l 的线段AB 的两端在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 .（第13届高二第二试第20题）解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐标为(),x y αβ--，于是有以下关系成立：22222()()()2y x y x l βαβααβ⎧+=+⎪⎪-=-⎨⎪⎪+=⎩ ①+②，得22α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4)41)((222l x x y =+-，即2222221[(14)1]4(14)4(14)l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2x 是单调增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值24l .评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？果然，可以消去βα、，得到①, ②, ③.222)41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2422164164xx x l y +++=，再令2x u =，得到 22416416l u u y u++=⇒+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实数解求出y 的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考虑到⑥式中的0412>+x ，故将⑥式变形为]1)41(41[41222-+++=x xl y ⑧，由于2241x l +与241x +的积是定值，故当2241xl +=241x +，即214x l +=时,有y 最小值..然而，因为1<l ，所以l x >+241，即214x +取不到l ，故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当时，0=x 42minl y =. 注：形如)0()(2>+=a xa x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若(0)x ab b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则()f x单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论)拓展 将此题推广，可得定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22>=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距离为d ，则（1） 当;8202minpl d p l =≤<时， （2） pl d p l d p l 8,222max min=-=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(00222211y x M px x B p x x A 则22121222ABx x p pk x x -=- 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20002()x pyx y y x x p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去y ，得22x -2000220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即202x y p>，所以200420py x ∆=->（），又212012002,22x x x x x x py +==-，所以12|l x x =-=.于是,2)(82020220p x x p pl y d ++==对x 求导数，得2'2220001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++2202220[1]4()x p l p p x =-+ 22002220[2()]4()x p x pl p p x =+++])(2[202pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0'0x d =，得00x =，易知00x =，是d的唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2min8l d p=； （2）若2l p >，令0'0x d =，得00x =或0x =，易知当00x =时，2ma x 8l d p=；当0x =2min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为24l .此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡.此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22max 22)2(22b a l a a d a l a b --=≤≤时，当； （2）当bl b a d a b l 24222max 2-=<时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右（或左）分支上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22min 22)2(2b a l a a d a b l ++=≥时，当； （2）当bl b a d a b l 24222min 2+=<时， . 为证定理2、3，可以先证引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，其中e 表示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ，因为12,1cos 1cos()1cos ep ep epe e e ρρθπθθ===--++，所以12||AB ρρ=+1cos ep e θ=-+θcos 1e ep +=θ22cos 12e ep-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.下面运用引理证明定理2 .证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线ca x 2=的距离分别是,22121t t t t t t +=，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a ce et =，|AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当ab l a b 222,2≥线段AB 可以过焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ，因此222max 2)2(2)2(2ba l a a c l a a e l c a d --=-=-=. （2）时，当ab l 22<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设∠AMF=α，由余弦定理知222||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+-22211||cos 42FM l l α=+-，在△BFM 中，222211||||cos 42BF FM l l α=++，所以22221||||2||2AF BF FM l +=+，所以||FM =22||a b FM t c c c+≥-=，所以cb l BF AF t 2222||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又222||||2l BF AF -+）（2221222)(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（,4222l t e -=故c b l t e t 222241≥-+ ②.解此不等式，得bl b a c a t 24222--≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 24222mi n --=，bl b a b l b a c a c a d 24)24(222222max-=---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述.题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的双曲线的一支.在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.综上，可知选D.评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了.O。

第二届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第2试一、选择题1.映射:(,,,)(1,2,3)f a b c d →，如果10()()()()20f a f b f c f d <<，这样的映射共有A．23个 B．24个 C．25个 D．26个 2.曲线22116x y k k−=−与曲线22925225x y +=的焦距相等的充要条件是 A．16k <且0k ≠ B．0k >且16k ≠ C．016k << D．0k <或16k >3.定义在全体实数上的函数()f x ，满足：（1）33()()f x f x =（2）对任意12x x ≠，都有12()()f x f x ≠.则(1)(0)(1)f f f −++的值是A．0 B．1 C．-1 D．不能确定4.正方体表面正方形的对角线所在直线中有两条直线的距离是1，则此正方体的体积是A．1 B．或5. 33{(,)862,,}M x y x y xy x y R ==++≥∈，222{(,)8,,0}P x y x y t t R t ==+≤∈≠，若P M =∅∩，则有A．11t −<< B．44t −<< C．55t −<< D．1122t −<< 6.函数()arcsin(cos )arccos(sin )f x x x =+的值域是 A．3[,]22ππ− B．3[0,]2π C．[,]2ππ− D．[0,]π 7.把函数1()y f x −=的图象在坐标轴内以原点为旋转中心按逆时针方向旋转90度，得到A．()y f x =− B．()y f x =− C．1()y fx −=− D．()y f x =−− 8.过(,0)A p 作抛物线222(0)y p px p +=>的与对称轴垂直的弦12,PP O 为原点，则12POP ∠是A．直角 B．钝角 C．锐角 D．不确定9.设()arccos 2arcsin f x x x =+，则1()fx −是 A．sin ,[,]22x x ππ∈− B．cos ,[0,]x x π∈ C．sin ,[,]22x x ππ−∈− D．cos ,[0,]x x π−∈ 10.设,,||1,||1x y R x y ∈<<，记[]x 表示不超过x 实数的最大整数，则不等式[][][]x y x y +≤+的解集区域图是（此题改为作图题，选项略去）二、填空题11．集合{(,)||6||12||12|2|3|15,,}M x y x y x y x y R =−++=−++=∈中的元素的个数是_____.12．已知台体上、下底的面积分别为12,S S ，若与底面平行的平面把台体截成体积相等的两部分，则截面面积为_____.13．方程330x −=的全部负根之和是_____.14．以实数,x y 为自变量的函数2(,)u x y x =+15．过圆222610x y x y ++−+=与圆2266170x y x y +−−+=的交点的直线方程可表示为_____.16．{}x 表示不小于实数x 的最小整数，则222{log 1}{log 2}{log 1991}+++= _____. 17．函数arcsin arccos x y x=的值域是_____. 18．()f x 对任意12,x x R ∈都有1212()()()f x x f x f x −=+，则它的奇偶性是_____.19．定义在正整数上且函数值总是自然数的严格增函数()f n ，对任意,m n N +∈，当,m n 的最大公约数是1时，()()()f mn f m f n =×．若(180)180f =，则(1991)f =_____.20．正十二面体有20个顶点，30条棱，每一个顶点是3条棱的交点，这三条棱的另一个端点是正十二面体的另外3个顶点，我们称这3个顶点与前一个顶点是相邻的．在每个顶点处放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是该顶点相邻的3个顶点处所放实数的算术平方值．设,M m 分别是这20个实数中最大的和最小的，则M m −的取值范围是_____.三、解答题21．直角三角形ABC 中AB AC =．用C 点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且椭圆过,A B 点．求这个椭圆的离心率．22．已知正四面体ABCD ，考察下列集合．X ：与四面体四个顶点的距离都相等的平面； Y ：X 中任意两平面的交线；Z ：Y 中任意两直线的交点；求：Z 中包含的元素数目，并指出Z 中各元素在空间的位置（也可画出Z 中各元素的空间位置并加以说明）．。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛获奖名单黑龙江省哈尔滨市文化学校一等奖（7名）初一：松雷中学李云泽哈工大附中韩昊辰哈工大附中李奕兴初二：松雷中学李佳明哈工大附中刘畅高一：师大附中于鹏飞高二：哈三中学苏宇鸿二等奖（13名）初一：松雷中学张文慧松雷中学于泊远哈工大附中朱健宇哈69中学赵天睿松雷中学刘泓松雷中学张峭铭兴才中学武文博兴才中学李国昕初二：松雷中学李雨阳哈工大附中孙铄高一：师大附中李菁华高二：师大附中蒋胜千哈三中学刘策三等奖（191名）初一：松雷中学刘川楷哈工大附中孙博文松雷中学秦家琰哈工大附中孙浩卿松雷中学董俊良松雷中学钟博元哈工大附中宿禹祺兴才中学金祉樵松雷中学武序洲松雷中学卢天成松雷中学程墨松雷中学王泽豪哈工大附中张与之69中崔泽邦哈工大附中魏兰69联中彭雨竹松雷中学宋若冲松雷中学龚柏芃风华中学冯家铭松雷中学李金儒兴才中学于泽哈工大附中李逸萱松雷中学李宇航松雷中学常敬东哈76中学苏春博松雷中学郁琪松雷中学刘梓铭松雷中学刘诺奇兴才中学毕翔宇哈工大附中刘立北哈工大附中陶铭绪哈工大附中刘睿哈工大附中杨博凯哈工大附中郝志博哈工大附中周逸哈工大附中李彦泽哈工大附中史宇辰松雷中学缪艺兵松雷中学杨金朔松雷中学侯欣然松雷中学陈楚元哈工大附中芦云昊哈工大附中李浩然哈工大附中周卓哈工大附中刘洺毓松雷中学张未松雷中学马平川松雷中学耿睿彤哈工大附中贺麟惠哈工大附中付警锋松雷中学赵子昊哈工大附中索德森秋实中学张宝梁松雷中学张雨晴哈工大附中戴瑞函哈工大附中王如意秋实中学卜奇松雷中学付尧松雷中学宁擎113中金锡涵哈工大附中于海博秋实中学金松柏松雷中学李洪宇松雷中学白钰哈工大附中岳一伦哈工大附中杜瑶哈工大附中钟一铭松雷中学李宏举松雷中学胡金泉69中吴畏哈工大附中王树鹏松雷中学朱元英杰德强中学曹轩铭松雷中学王格非荣智学校刘思源69中王瑞阳松雷中学孙添69中张新我松雷中学吴蔷哈工大附中单逸飞德强中学李文圣松雷中学赵思琦旭东中学张岩松雷刘洋松雷杨琪璘47中罗凯方剑桥三中尹子豪松雷中学王泽锋工附于卓洋荣智学校陆春雷剑桥三中李潘洋荣智学校闫家贺荣智学校周琛哈76中学贾志鑫剑桥三中罗嘉滨绥化六中吴同七十中王硕剑桥三中张建旭东中学孙诣宸荣智学校程泽俊旭东中学于新歌荣智学校冯鹳霖黑大附中赵炜祎七十中关善元荣智学校王靖博荣智学校孙悦荣智学校鲁一鸣荣智学校王悦荣智学校宿浩荣智学校时宇荣智学校赵一瑾荣智学校郭雨欣荣智学校付乐瑶荣智学校孙欣月荣智学校马凯迪黑大附中宋金峰黑大附中于浩然黑大附中宋闻笛医大逸夫学校鞠雨晴医大逸夫学校吴思思医大逸夫学校刘毓初二：69联中马竞恒松雷中学付饶松雷中学张健瑀哈工大附中许镭瀚哈工大附中刘博156中李思煊德强中学周子沛松雷中学葛靖暄松雷中学孟冠含哈工大附中陈文浩哈工大附中刘雨桐松雷中学郑松林哈工大附中李昕泽秋实中学姜旭松雷中学李百双松雷中学刘梦哲松雷中学高建华松雷中学孙睿瑄德强中学银大成秋实中学许健宇69中学刘洋松雷中学李烜博松雷中学冯西洋松雷中学曹琬靖秋实中学李欣宇秋实中学郭庆秋秋实中学张敖楠秋实中学丁家鹏松雷中学季正秋实中学武诗杰荣智学校罗艺涵七十中学刘仕丰旭东中学邹云鸿剑桥三中白冰童黑大附中车雪峰哈76中王嘉宝哈76中纪澜荣智学校周昊楠荣智学校孙胜男荣智学校王海琦荣智学校戴秉泽高一：师大附中林彤哈三中学殷鉴远师大附中孔德申哈三中学郭赫哈九中谭立璘哈三中学郎福泽哈三中学刘自晓哈三中学那瑞师大附中郭宝迪哈三中学熊万峰哈三中学肖天泽哈三中学郎睿哈三中学姚帅哈九中郭鹏博师大附中赵昱师大附中许孙武师大附中汤沛雯师大附中李雪玮哈九中刘一平哈九中宋宏飞哈九中姜百伦哈九中郭珊高二：师大附中邓迪哈三中学张翰驰哈三中学李莹雪优秀辅导教师名单吕国胜、刘利益、曲伟成、范莹、赵峰明、韩长城、侯翠华、李英敏、李建华、潘铁柱、王东升姜昕金石、张治宇、张树军、姜同启、曲晋华、姜殿军、魏广忠、王雪松、宋彬、郝淑芬、贾洪霞、何淑华、程丽敏、杨婕、张训伟、王凤伟、耿鑫、胡军、刘博宇、程丽敏、黄健、刘莹、苏佳怡、刘淑芳、王秀芳、关颖、黄玉明、郑国、潘伟超、周宏、马东娜、程金波、王清芳、马卓、战利超、白艳超、张双庆、李成、董海萍、岳振、吕喜平、杜江龙、张明爽、朱卫东、李新阳、李成、阴艳梅、张丽丽、经红、董海萍、王金玉、郑志贤、景宏宇、客仪香、邵继桂、何丽梅、白广全、李新阳、景宏宇、杜江龙、高金、陈忠祥、张洪梅、高峰、武树明、李新阳、马娜、张明星、王雪莲、杨丽娜、毕彦维、刘旭飞、张成广、张亚芬、康凯、原义春、孙熙君、刘丹阳、姜树财、石波、何秋艳、于立波、祁兴刚、潘兴梅、陈永春、汝玉坤、王忠堂、崔瑶、贾秀琴、李洋、蔡运生、孙文录、何威、陆婷、李振武、张岩、王琳、张焕英、孔琳、。

第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日 上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f ( x ) = log 13( 2 x 2 + 2 + 1 ) x 是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ）（A ）24 （B ）25 （C ） （D ）263、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A ）– 6 （B ）– 3 （C ）3 （D ）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆）4、直线y = x + 3和曲线 –||4x x +29y= 1的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ∙ f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f + … +(2000)(1999)f f =（ ） （A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）20026、定义在R 上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (13) = 0，则不等式f ( log 18x ) > 0的解是（ ）（A ）(12，1 ) （B ）( 2，+ ∞ ) （C ）( 0，12)∪( 2，+ ∞ ) （D ）(12，1 )∪( 2，+ ∞ )7、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x 的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断：⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{21()f n }的前n 项和是2(237)6n n n ++；⑶ lim n →+∞(1(1)f n +–1()f n ) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 9、已知x 、y 、z ∈R +，且1x +2y +3z = 1，则x +2y +3z 的最小值是（ ）。

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第一试一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内）1、已知关于x 的方程x 2-4x+a=0和x 2-4x+b=0 (a,b ∈R,a ≠b)的四个根组成首项为–1的等差数列，则a+b 的值等于 ( ) A.2 B.-2 C. 4 D. – 4 2、函数y=g(x)的图象与y=f(x)=arccos(x-1)图象关于原点对称，则y=g(x)解析式是（ ） A.arccos(x+1)-π B.arccos(x+1)+π C.π-arccos(x+1) D.-arccos(x+1) 3.在以下关于向量的命题中，不正确的命题是 （ ）A.若向量()y x a ,= ，向量()x y b ,-= ，则b a⊥B.四边形ABCD 是菱形的充要条件是DC AB == C.若点G 是△ABC 的重心，则0=++D. △ABC 中，和的夹角等于180°-A4.某个命题与自然数n 有关.如果当n=k(k ∈N)时,该命题成立,m 则可推出n=k+1时该命题也成立。

现已知当n ＝10时该命题不成立，那么可推得( ) A. 当n=11时,该命题不成立. B.当n=11时,该命题成立 C. 当n=9时,该命题不成立 D.当n=9时, 该命题成立5.如图1,设ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,AB=AC,∠BAC=90°,M,Q 分别是CC 1、BC 的中点，P 点在A 1B 1上且A 1P:PB 1=1:2. 如果AA 1=AB ,则AM 与PQ 所成的角等于( ) A.90° B.31arccosC. 60°D. 30° 6．Let functions xx x g and q px x x f 12)( )(2-=++= attain the equal minimum at thesame point of the interval [1,2],Then minimum of p 2-6q is ( ) A. -9 B. -8 C. not existing D. undetermined.7.函数2sin sin sin 2++=x x xy 的值域是 ( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,21C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,418.等差数列{}n a 中，已知3a 5=7a 10,且a 1<0,则前几项和S n (n ∈N)中最小的是( )A. S 7或S 8B. S 12C. S 13D. S 15 9．在直角坐标平面内，A 点在(4，0)，B 点在圆(x-2)2+y 2=1上，以AB 为边作正三角形ABC(A 、B 、C 按顺时针排列)，则顶点C 的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线的一支 10．过椭圆的一个焦点F 作与椭圆长轴的夹角为43arccos 的直线，交椭圆于A 、B 两点。

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第一试2023年3月13日 上午8：30至10：00 得分一、选择题（每小题4分，共40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是对的的，请将对的答案前的英文字母写在下面的表格内。

1、 将a 公斤含盐10﹪的盐水配制成含盐15﹪的盐水，需加盐x 公斤，则由此可列出方程（ ）（A ）()()().0015100101-+=-x a a （B ）().00150010•+=•x a a（C ）.00150010•=+•a x a （D ）()().0015100101-=-x a 2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，假如汽车行驶的速度增长a ﹪，则所用的时间减少b ﹪，则a 、b 的关系是（ ） （A ）001100a a b +=（B ）001100a b += （C ）a a b +=1 （D ）a a b +=100100 3、当1≥x 时，不等式211--≥-++x m x x 恒成立，那么实数m 的最大值是（ ） （A ）1． （B ）2。

（C ）3。

（D ）4。

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数12-=x y 与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有（ ）个（A ）2． （B ）3。

（C ）4。

（D ）5。

5、（英语意译）已知整数x 满足不等式6122≤-≤x ，则x 的值是（ ） （A ）8． （B ）5。

（C ）2。

（D ）0。

6、若三角形的三条边的长分别为a 、b 、c ，且.03222=-+-b c b c a b a 则这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形7、如图1，点C 在线段BG 上，四边形ABCD 点E 和F ，假如AE=5，EF=3，则FG=（ ） （A ）316。

（B ）38。

（C ）4。

（D ）5。

高二历届“希望杯”全国数学邀请赛第一试考试2————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1990年3月18日 上午8：30—10：00一、选择题1、等差数列的第p 项是1990，第1990项是p ，那么第p + q （q ≥ 1991）项（ ） （A ）是正数 （B ）是负数 （C ）是零 （D ）符号不能确定2、设S k =11k ++12k ++ (12)，则（ ） （A ）S k + 1 = S k +122k + （B ）S k + 1 = S k +121k ++122k +（C ）S k + 1 = S k +121k +–122k + （D ）S k + 1 = S k –121k ++122k +3、函数y =(2)(6)x x +-（ ）（A ）有最小值没有最大值 （B ）有最大值没有最小值 （C ）有最小值也有最大值 （D ）没有最小值也没有最大值 4、a ，b ∈R ，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分也不必要条件 5、α ≠2k π( k ∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan 2α的符号（指正负号）（ ） （A ）总是相同 （B ）总是相异（C ）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号 （D ）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号 6、正四面体内切球的体积是V ，则它的外接球的体积是（ ）（A ）8V （B ）27V （C ）64V （D ）4V7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）（A ）16部分 （B ）14部分 （C ）15部分 （D ）20部分8、设a = arcsin ( sin 17)，b = arccos ( –17)，c = arcsin ( –17)，则（ ）（A ）a > b > c（B ）b > a > c （C ）c > a > b （D ）b > c > a9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 10、在四个数arctan 22，arccos 63，12arcsin 223，2 arctan (2+3)中，与arcsin 33数值相等的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、填空题11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =2π的解集是 。

橙子奥数工作室 教学档案 非卖品第十届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第1试一、选择题（每小题6分） 1、1111arcsin arccos ()()3333arctg arcctg ++−+−= (A) 0 (B) π (C) 2π (D) –π 2、若无穷等比数列{}n a 的公比12q =−，则12242lim n n n a a a a a a →+∞+++=+++"" (A)-1 (B) 1 (C) -4/3 (D) 4/153、某等差数列共2n+1项，其中奇数项的和为95，偶数项的和为90，则第n+1项的和是：(A)7 (B)5 (C) 4 (D) 24、若点M （a,1/b）和点N （b,1/c）都在直线:1l x y +=上，则点P （c,1/a）和点Q （1/c,b）(A)都在l 上 (B)都不在l 上 (C)点P 在l 上，点Q 不在l 上 (D) 点Q 在l 上，点P 不在l 上5、不等式12log )2x −<的解集是（ ） (A) 5[1,)4− (B) 5(1,4−(C) 11(,)22−(D) 1[1,2+− 6、双曲线y = k/x (k>0) 的离心率用e = f (k) 来表示，则f (k)(A) 在（0，+ ∞）上是增函数 (B) 在（0，+ ∞）上是减函数(C) 在（0，1）上是增函数，在（1，+ ∞）上是减函数 (D) 是常数7、当a,b 均为有理数时，称点P（a,b）为有理点，又设）则直线AB 上有理点的个数是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 无穷多个8、方程lg x = sin x 的根的个数是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 79、河中的船在甲、乙两地往返一次的平均速度是V，它在静水中的速度是u,河水的速度是v (u > v > 0),则(A)V = u (B) V > u (C) u > V (D) V 和u 的大小关系不确定10、设32()365f x x x x =−+−，且()1f a =，()5f b =−，则a b +=(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2二、A 组填空题（每小题6分） 11、12,F F 是椭圆221123x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且∠01260F PF =，则的△12F PF 面积是_______。