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模糊分析法解足球队排名问题摘要：本文解答了93年全国大学生数学建模竞赛B题，运用模糊聚类分析法，讨论了足球队比赛的排名问题。
首先，我们将数据进行预处理，求出每队的胜,负,平以及总场数，归一化处理后作为建模的影响因子，然后由相似系数构建模糊相似矩阵，最后构建模糊等价矩阵截取进行排名，并将得到的结果从12支队推广到了N支队的情况。
本文中所用的方法经过验证，得到的结果合理，可信。
关键词：模糊分析法，相似系数，比赛排名一问题分析根据题目所给的表格，我们能得到的数据是残缺和不整齐对称的，这样就给排名造成了困难。
例如在图表中，T1队和T2队打了三场比赛，和T5只打了一场比赛，和T11没打比赛。
这样如果只是单纯的利用胜利的场数来进行排名，所得到的结果必定是不完善的，同时也是不准确的。
因此为了得到较完善的结果，我们可以先将每个队所参加的比赛中，胜，负和平的场数列表如下，得到每个队实力的大概了解。
表一接着，我们分析各队在每场比赛中的平均进球数，失球数和进失球数差数，这些数据也有助于我们进一步了解各队的实力。
列表如下：表二通过表一，二的分析，我们可以确定T7是最好的，T4是最差的，但是对于其他的球队仅以上述数据还是无法得出准确可信的排名。
为了得出合理可信的排名，我们还应该考虑，Ti与其余各队的比赛成绩，由于有的对和其余的对没有比赛，其成绩难以确定。
为了解决这个难题，我们准备先制定一个规则，为各队定义一组特征数据，同时计算各队之间的模糊相似度。
最后综合表一二，即可得出合理的排名出来。
二模型假设1,基本假设1) 参赛各队存在客观的真实实力,这是任何一种排名算法的基础2) 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面实力对比是以它们的真实实力对比为中心的互相独立的正态分布,这条假设保证了我们可以以比赛成绩为依据对球队的真实实力进行排名,3) 每场比赛对于排名的重要性相同，每个进失球对于排名也同样重要。
4) 确定各队的特征数据时，仅计算进失球的差数。
多种思路解决足球赛排名次问题摘要本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。
模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。
对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。
由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0<CI ,可靠度较高。
然后再确定三者的权重，分别建立判断矩阵，再求出组合权重，最终可排出最后的名次。
用这种方法给足球队排得名次为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T可见，两种方法得出的结论是一致的，可互相验证两种模型的正确性。
题中的比较矩阵均为一致阵，所以可以推广到n 支球队的情况，而且对数据没有要求。
但是比赛场次越多，数据残缺越少，越能反映各队的真实实力。
一．问题重述本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。
（2）符号X 表示两队未曾比赛。
（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.二． 模型假设1. 比赛的结果真实可靠2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数3.三． 符号说明模型一：1. j i ij T T a 表示两球队的实力之比2. ij m 为i T 与j T比赛，平均每场的净胜球数 3. A 表示判断矩阵4. A~表示辅助矩阵 模型二：1. k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3. 2C 表示因素：场均净胜球 4. 3C 表示因素：场均进球数5. A 表示准则层对目标层的判断矩阵6. i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,37. 1W 表示准则层对目标层的权重；8. 2W 表示方案层对准则层的权重；⎪⎩⎪⎨⎧==+≠≠=0a ，0的个数0行为第,,10a 且,a ~ij i i ij ij ij i m j i m j i a 9. W 表示方案层对目标层的组合权重；四． 模型建立与求解模型一：利用层次分析法中的成对比较阵排序Step1:构造判断矩阵 元素确定原则：令i=1,2, ...12；j=1,2, (12)⑴若i T 与j T 比赛时互胜场次相等，则 a. 净胜球等于0，直接令ij a =ji a =1； b. i T 净胜球多于j T ，则认为i T 胜j T 一场； ⑵i T 胜j T k 场，k>0,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤=4,941,2k k k b ijij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0,120,02,1ij ij ij ijm m m c ij a =ij b +ij cji ij a a 1=若两队无成绩，则令0a ==ji ij aStep2:构造辅助矩阵A~ 令Step3：求最大特征根和特征向量 用MATLAB 编程可得()0015.0,0996.0,0546.0,0089.0,0869.0,3867.0,0404.0,0416.0,1526.0,1853.0,0964.0,1680.0-----=WStep3：排序根据求出的最大特征向量，可得12个队的排名为：411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T模型二：层次分析法层次分析法中，要确定目标层，准则层，决策层。
第十五组足球队排名次的方法摘 要本文讨论了依据我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级队联赛中的成绩，给他们进行排列名次的问题。
根据全国足球甲级队联赛的比赛规则，符合要求的排名方法是多种多样的，然而都希望实现尽量公平、尽量精确的排名策略。
我们针对排名的问题，建立了从简单到复杂，从粗糙到较为精确的三个模型，分别用了平均积分法、图论的相关知识、比分矩阵法以及层次分析法。
模型一：依次计算出各个队的总积分，按照国家足球甲级队联赛的规则，可知：获胜加3分，平局各得一分，失败就得零分，同时统计每一个队进行的比赛场数，对总积分/比赛的场数进行排序，所得结果就可以近似的作为各队的排名。
模型二：根据比赛的数据，建立了一个1212⨯的数字矩阵1212ij )(a A ⨯=，在合理的假设条件下，进行分析，从而完善矩阵，用C++编程，输入所得矩阵，求出哈密顿开路的路径，再结合模型一的分析，对其排出名次。
模型三：用三分制计算对任意第i 队与第j 队（i 不等于j ）的得分比ij b ，其中ii b =1，得到比分矩阵1212)(⨯=ij b B ,求出比分矩阵的最大特征值，并求出相应的特征向量。
比较分向量的大小，即可求出排名。
模型四：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。
四个模型的运行结果如下的表所示：的条件是不一样的。
关键词：足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析一、 问题描述近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。
题目中给出了1988-1989年全国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。
B题足球比赛的排名问题组号：14足球比赛的排名问题摘要本文讨论问题是足球比赛的排名方案。
本文求解这一问题用到的数学方法主要是是层次分析法。
文中利用层次分析法，根据题中给出的足球比赛成绩求出了足球比赛的排名顺序，并且运用矩阵论、图论等方面的知识验证了利用层次分析法进行足球比赛的排名是较为科学的。
本文考虑了比赛可能出现的两种情况：一种情况是偶然因素，某支球队侥幸获胜或发挥失常，导致比赛成绩不能反映各足球队的真实水平，或者是在比赛成绩中出现了一些相互矛盾的结果，另一种情况是比赛场次安排不够完全，即存在某几个球队之间的优劣无法比较的情况。
前者反映在层次分析法的一致性比率上，后者反映在所构造的图的连通性上。
最后我们应用建立的模型求出了题中所给的12支球队的排名情况，从左到右为第一名至第十二名：7 3 1 9 10 8 2 12 6 5 11 4。
此外，使用本文建立的数学模型的前提是数据必须是不可约的（即构造的判断矩阵是连通的），且数据必须满足层次分析法的一致性比率。
关键词：足球赛排名层次分析法矩阵图论一、问题重述按照题中要求，本文需要依据所给出的足球队比赛成绩给出反映球队真实实力的成绩排名。
这就需要建立一个数学模型，可以根据足球队的比赛成绩得到足球队的实力排名，而且这一模型应该有较好的健壮性。
应该满足以下几点要求：（1） 科学合理；（2） 保持一定的一致性；（3） 能够克服数据残缺；（4） 能够判断成绩表的可约性；（5） 结果具有稳定性。
要求（1）科学合理，即球队的成绩排名是从足球队比赛成绩中得来的，符合比赛结果。
要求（2）保持一定的一致性，即足球队比赛成绩可能存在偶然因素，或数据不完美，导致球队的成绩排名不精确，但是误差应该是在一个可以控制的范围。
要求（3） 能够克服数据残缺，即某两个球队之间并没有直接进行比赛，但是可以通过整体数据判断出两球队能力之别。
要求（4） 能够判断成绩表的可约性，不可约即不会出现有某些球队之间无法比较实力的现象。
排定体育比赛的名次——竞赛图模型目前正规的体育比赛有很多种赛制，有单循环赛，双循环赛，分组循环赛和淘汰赛等等。
譬如乒乓球团体赛，预赛阶段通常采用分组循环赛，每个小组的第一名进入复赛。
复赛的两个小组的胜者进行决赛，决定冠军属于谁。
而单打比赛，由于参赛人数较多，一般采用淘汰赛。
淘汰赛的名次是显而易见的，胜的场次越多名次越靠前，不败者为冠军。
对于各种循环赛的排名，要做到绝对公平合理，并不是那么容易。
我们先来看单循环赛的名次应该如何排定。
例如有5个选手参加乒乓球单打比赛，比赛是按单循环制进行。
每场胜者得一分，负者得零分，5个选手分别用a,b,c,d,e表示，假定比赛结果如下：a胜b,d,负于c,e；b胜d,负于c,e；c负于d,e；d胜e。
为了排出他们的名次，我们计算出他们的得分依此是：2，1，2，2，3，用向量s1=(2,1,2,2,3)表示他们的得分。
如果按此得分排名次，则e第一，a,c,d并列第二，b第五。
这样排名是否合理呢？我们发现在三个并列第二的选手中，d负于得分最少的b，而a,c 均战胜了b，似乎d应排在这三人之尾。
但是d虽然负于b，他却战胜了得分最高的e，而a和c 均负于了e，似乎d又应排在这三人之首。
究竟应怎样排名才合理呢？为此，我们把被某选手打败的所有选手得分之和作为该选手的第二级得分，构造出第二级得分向量s2=(3,2,3,5,5)，s2相当于每个选手的对手分。
如果按对手分排名，则分不出d,e 的先后，也分不出a,c的先后。
再用被某选手打败的所有选手的第二级得分之和构造出第三级得分向量s3=(7,5,5,8,8)，s3相当于每个选手的对手分的对手分。
依此类推，构造出s4=(13,8,12,13,17)，s5=(21,13,21,29,33)，s6=(42,29,34,54,55)。
s3 ，s4，s5中均出现某两个选手得分相同的情况，直到s6才出现各选手的得分都不相同，依照得分从大到小有一个确定的次序。
