寒假七年级第13讲：全等三角形的综合应用

教学设计十三：《全等三角形的综合应用》
一、教学目标
1.综合运用全等三角形的判定和性质解决问题。

2.培养学生的逻辑思维和推理能力。

3.提高学生解决复杂问题的能力。

二、教学重难点
1.重点：全等三角形知识的综合应用。

2.难点：分析问题、寻找解题思路。

三、教学方法
例题分析法、讨论法、练习法。

四、教学过程
1.导入
回顾全等三角形的主要知识，引出综合应用的主题。

2.例题讲解
（1）复杂图形中的全等三角形证明。

（2）利用全等三角形解决实际问题。

3.小组讨论
讨论例题中的解题思路和方法。

4.课堂练习
学生进行全等三角形综合练习题的训练。

5.总结归纳
总结全等三角形综合应用的方法和技巧。

6.作业布置
布置课后作业，进一步提高综合应用能力。

全等三角形在初中及应用全等三角形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学的研究和实际应用中都有广泛的应用。

全等三角形指的是两个三角形的所有对应边和对应角都相等。

当两个三角形全等时，我们可以说它们形状完全相同，只是大小和位置可能不同。

在初中数学中，我们学习了一些判断三角形全等的方法。

一种常用的判断方法是SAS判定法。

SAS判定法是指当两个三角形的某两边分别相等，且它们的夹角也相等时，就可以判断这两个三角形是全等的。

另一种常用的判断方法是SSS判定法。

SSS判定法是指当两个三角形的三条边分别相等时，就可以判断这两个三角形是全等的。

通过学习全等三角形的判定方法，我们可以解决一些与全等三角形有关的问题。

比如，当我们知道两个三角形的某些边或角相等时，我们可以利用全等三角形的性质，求解其他未知边或角的值。

另外，在几何学的研究中，全等三角形也有许多重要的性质和定理。

比如，对于全等三角形来说，它们的对应角一定相等，对应边也一定成比例。

这些性质使得全等三角形在几何证明中有着重要的地位。

除了在数学中的理论研究，全等三角形在实际应用中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常需要根据给定的尺寸比例来设计建筑物。

这时，我们可以利用全等三角形的性质，通过测量几何图形的一些已知边和角，来确定其他未知边和角的值。

此外，在地理测量中，我们经常需要测量地球上的距离和角度。

利用全等三角形的概念，我们可以通过测量已知长度的地面距离、高度或角度，来计算未知长度的地面距离、高度或角度。

全等三角形在实际应用中的一个重要用途是测量不可达的物体的高度。

例如，当我们需要测量一个高楼大厦的高度时，由于无法直接测量，我们可以利用全等三角形的性质，通过测量大厦底部和顶部的距离以及观察者与大厦的角度，来计算出大厦的高度。

此外，在计算机图形学和计算机视觉领域，全等三角形也有广泛的应用。

例如，在三维模型的渲染过程中，我们需要根据模型的表面纹理信息来计算光照效果。

全等三角形的综合应用（学案）一、基础知识回顾1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．2、全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．知识网络结构图二、本章学习重难点【本章重点】1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．2．角平分线的性质及判定．3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．【本章难点】1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．2．角平分线的性质和判定的正确运用．3．用综合法证明的格式．三、学法指导1．注意在探究中掌握结论．2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．4．注重联系实际．5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧．四、知识点讲与练专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用S A S，A S A，AA S，SSS，H L中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△AB C的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，C Q＝AB．（1）求证AP＝A Q；（2）求证AP⊥A Q．例2、如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?专题2全等三角形的性质及判定的实际应用 【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大．例3、如图11-116所示，太阳光线AC 与A ′C ′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．专题3 角平分线的性质及判定的应用【专题解读】此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系．例4、如图11-118所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ．交BC 于G ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于F ．（1）说明BE ＝CF 的理由；（2）如果AB ＝a ，AC ＝b ，求AE ．BE 的长．专题4、全等与角度 例5、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.FCDBA EGD CB A例6、在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.专题5、综合分析例7、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；DCB A（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．五、当堂测试（40分钟）一、选择题（共8小题）1、已知O 是锐角△ABC 三边中垂线的交点，∠A=50°，则∠BOC 的度数是（ ） A 、90° B 、95° C 、100° D 、105°2、下列判断中错误的是（ ） A 、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等B 、有两边和一角对应相等的两个三角形全等C 、有三边对应相等的两个三角形全等ADFC GE B图1ADF C GE B 图2 ADFC GE B图3D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论，其中正确的个数是（）①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分ADA、1个B、2个C、3个D、4个3题图5题图6题图7题图4、（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5、（2007•呼伦贝尔）如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E=∠F=90°，∠EAC=∠FAB，AE=AF．给出下列结论：①∠B=∠C；②CD=DN；③BE=CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是（）A、①③④B、②③④C、①②③D、①②④6、（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A、PA=PBB、PO平分∠APBC、OA=OBD、AB垂直平分OP7、（2011•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A、1B、2C、3D、4二、填空题（共6小题）8、（2011•牡丹江）如图，△ABC的高BD、CE相交于点0．请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件，使BD=CE．你所添加的条件是．9题图10题图11题图12题图9、（2005•天津）如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于度．10、（2005•宁德）如图，已知：AC=AB，AE=AD，请写出一个与点D有关的正确结论：_______ ．（例如：∠ADO+∠ODB=180°，DB=EC等，除此之外再填一个）．11、（2004•四川）如图，已知点C是∠AOB平分线上的点，点P、P′分别在OA、OB上，如果要得到OP=OP′，需要添加以下条件中的某一个即可：①∠OCP=∠OCP′；②∠OPC=∠OP′C；③PC=P′C；④PP′⊥OC．请你写出所有可能的结果的序号：12、（2003•广州）如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：（1）∠1=∠2；（2）BE=CF；（3）△ACN≌△ABM；（4）CD=DN，其中正确的结论是（注：将你认为正确的结论都填上）．13题图14题图13、（2011•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．三、解答题（共15小题）14、（2011•江津区）在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．15、（2011•德州）如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．16、（2009•沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜α＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．六、课后作业1、（2008•河北）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．2、（2006•岳阳）如图△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D、E、F、C在同﹣直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE∥AF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．3、（2005•扬州）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关 系，并证明你的结论．5、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请A DA DA写出你的猜想，不需证明．6、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN 交于点F。

三角形全等的判定总课题全等三角形总课时数第 13 课时课题三角形全等的判定〔综合探究〕主备人课型新授时间教学目标1．理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．2．经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理． 3．培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．教学重点运用四个判定三角形全等的方法．教学难点正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法〞进行表达．教学过程教学内容一、回忆反思【课堂演练】1．△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C•′的度数与AB的长．【教师活动】操作投影仪，组织学生练习，请一位学生上台演示．【学生活动】先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∴∠C=180°-〔∠A+∠B〕=99°∵△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′，∴∠C′=99°，∴AB=A′B′=5cm．【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．2．：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．求证：∠B=∠C．【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的方法有：〔1〕两直线平行，同位角或内错角相等；〔2〕全等三角形对应角相等；〔3〕等腰三角形两底角相等〔待学〕．根据此题的图形，应考虑去证明三角形全等，由条件，可知AD=AE，∠1=•∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，那么可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，•而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD〔对顶角〕，∠BEO=∠CDO〔等角的补角相等〕，那么可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD•之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．【教师活动】操作投影仪，巡视、启发引导，关注“学困生〞，请学生上台演示，然后评点．图1【学生活动】小组合作交流，共同探讨，然后解答．【媒体使用】投影显示演练题2．【教学形式】分组合作，互相交流．【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，•这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．证明 在△AEO 与△ADO 中，AE=AD ，∠2=∠1，AO=AO ，∴△AEO ≌△ADO 〔SAS 〕，∴∠AEO=∠ADO ．又∵∠AEO=∠EOB+∠B ，∠AOD=∠DOC+∠C ．又∵∠EOB=∠DOC 〔对应角〕，∴∠B=∠C ．3．如图2，∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE ．求证：AD=AE ．【思路点拨】欲证相等的两条线段AD 、AE 分别在△ABD 和△ACE 中，由于BD=CE ，•∠ABD=∠ACE ，因此要证明△ABD ≌△ACE ，•那么需证明∠BAD=•∠CAE ，•这由条件∠BAC=∠DAE 容易得到．【教师活动】操作投影仪：引导学生思考问题．【学生活动】分析、寻找证题思路，独立完成演练题3．证明：∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE在△ABD 和△ACE 中，∵BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE 〔AAS 〕，∴AD=AE ．【媒体使用】投影显示演练题3．【教学形式】讲练结合． 图2二、随堂练习1．如图3，点E 在AB 上，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，△ACE 与△ADE 全等吗？△ACB•与△ADB 呢？请说明理由．[答案：△ACE ≌△ADE ，△ACB ≌△ADB ，根据“SAS 〞．]图32．如图4，仪器ABCD 可以用来平分一个角，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们落在角的两边上，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线，你能说明其中道理吗？ 小明的思考过程如下：AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩→△ABC ≌△ADC →∠QRE=∠PRE你能说出每一步的理由吗？ 图43．如图5，斜拉桥的拉杆AB ，BC 的两端分别是A ，C ，它们到O 的距离相等，•将条件标注在图中，你能说明两条拉杆的长度相等吗？答案：相等，因为△ABO ≌△CBO 〔SAS 〕，从而AB=CB ．三、布置作业图5课后反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

第15讲 全等三角形的综合应用（3）综合应用1．如图所示，在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，EF 垂直CD 于F ，EG 垂直AD 于G ，求证：BE=FG ．证明：如图，连接DE ，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAC=∠DAC ， ∵在△ABE 和△ADE 中，AB=AD ∠BAC=∠DAC AE=AE∴△ABE ≌△ADE （SAS ）， ∴BE=DE ，∵EF ⊥CD 于F ，EG ⊥AD 于G ，∠ADC=90°， ∴四边形EFDG 是矩形， ∴DE=FG ， ∴BE=FG ．2．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，AE ，BF 交于点O ，∠AOF=90°．求证：BF=AE ．（2）如图2，正方形ABCD 边长为12，将正方形沿MN 折叠，使点A 落在DC 边上的点E 处，且DE=5，求折痕MN 的长． （3）已知点E ，H ，F ，G 分别在矩形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上，EF ，GH 交于点O ，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：①如图3，矩形ABCD 由2个全等的正方形组成，则GH=______； ②如图4，矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成，则GH=______．（用n 的代数式表示）（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°．∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，在△ABE和△BCF中，∠EAB＝∠FBCAB＝BC，∠DAE＝∠MNHAD＝NH12+5=13，∴MN=13；（3）解：如图3、4，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，∵∠FOH=90°，∴∠MFE=∠NAH，又∵∠EMF=∠HNG=90°，∴△EFM∽△HNG，∴GHEF = GNFM ，图3，GN=2FM ， ∴GH=2EF=2×4=8， 图4，GN=nFM ， ∴GH=nEF=4n ． 故答案为：8，4n ．3．如图，D 是△ABC 的BC 边上一点且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． 求证：∠C=∠BAE ．证明：延长AE 到F ，使EF=AE ，连接DF ， ∵AE 是△ABD 的中线 ∴BE=ED ，在△ABE 与△FDE 中 ∵BE ＝DE∠AEB＝∠DEF AE ＝EF∴△ABE ≌△FDE （SAS ）， ∴AB=DF ，∠BAE=∠EFD ， ∵∠ADB 是△ADC 的外角， ∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD ，∴∠BAE+∠EAD=∠BAD ，∠BAE=∠EFD ， ∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD ， ∴∠ADF=∠ADC ， ∵AB=DC ，∴DF=DC ， 在△ADF 与△ADC 中 ∵AD ＝AD∠ADF＝∠ADC FD ＝DC∴△ADF ≌△ADC （SAS ） ∴∠C=∠AFD=∠BAE ．4.如图，已知点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△BCN 是等边三角形． （1）求证：AN=BM ； （2）求∠NOB 的度数．（3）若把原题中“△ACM 和△BCN 是两个等边三角形”换成两个正方形（如图），AN 与BM 的数量关系如何？请说明理由．中AC＝CM∠ACN＝∠MCBAC＝CM∠ACN＝∠MCB＝90°CN＝CB，∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM．5.已知如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于点E，BM 交CN于点F，求证：（1）CE=CF；（2）EF∥AB．＝∠CMFCA＝CM∠ACE＝∠MCF∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形．∴∠CEF=∠MCA=60°∴EF∥AB6.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三角形证明(1):∵△ACM，△CBN是等边三角形∴AC="MC,BC=NC," ∠ACM="60°," ∠NCB="60°在△CAN和△MCB中AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=" BC"∴△CAN≌△MCB(SAS)∴AN="BM(2) ∵△CAN≌△MCB∴∠CAN=∠MCB又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB="180°-60°-60°=60°"∴∠MCF=∠ACE在△CAE和△CMF中∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF∴△CAE≌△CMF(ASA)∴CE="CF" ∴△CEF为等腰三角形,又∵∠ECF="60°"∴△CEF为等边三角形.8.如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．(1)说明AN= MB.(2)将△ACM绕点C按逆时针旋转180°，使A点落在CB上，请对照原题图画出符合要求的图形．(3)在(2)所得到的图形中，结论“AN=BM”是否成立，若成立，说明理由；若不成立，也请说明理由．(4)在(2)所得到的图形中，设AM的延长线与BN相交于点D，请你判断△ABD的形状，并说明你的理由．解：（1）证明：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，ACM+ MCN= MCN+ NCB．即ACN= MCB，AC= CM，BC= CN，ACM= MCN= NCB=60°∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM.（2）如图所示：（3）成立理由：∵△ACM，△CBM是等边三角形，∴NCB= ACM，CM =AC，BC= CN，∴△CMＢ≌△CAN∴BM=AN．（4）△ABD为等边三角形，∵NBC= 60°，NAB=CAM =60°．∴ADB= 60°∴△ABD为等边三角形．9．（1）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，求证：AN=BM，这时可以证明≌，得到AN=BM；（2）如果去掉“点C为线段AB上一点”的条件，而是让△CBN绕点C旋转成图2的情形，还有“AN=BM”的结论吗？如果有，请给予证明．分析：（1）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN 与∠MCB相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；（2）AN=BM，理由为：由△ACM和△CBN都是等边三角形，根据等边三角形的边长相等分别得到边长相等，三个内角相等，由∠ACM和∠NCB相等，两边加上∠MCN，得到∠ACN与∠MCB 相等，利用SAS即可得到三角形ACN与三角形MCB全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．解：（1）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中AC=MC∠ACN=∠MCBCN=CB∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM；（2）相等．证明如下：∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=CM，CN=BC，∠ACM=∠BCN=60°，又∠ACN=∠MCN+∠ACM=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+∠BCN=∠MCN+60°，在△ACN和△MCB中AC=MC∠ACN=∠MCBCN=CB∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM．10、已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．分析：（1）可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明AN=BM，只要求出三角形ACN 和MCB全等即可，这两个三角形中，已知的条件有AC=MC，NC=CB，只要证明这两组对应边的夹角相等即可，我们发现∠ACN和∠MCB都是等边三角形的外角，因此它们都是120°，这样就能得出两三角形全等了．也就证出了AN=BM．（2）我们不难发现∠ECF=180-60-60=60°，因此只要我们再证得两条边相等即可得出三角形ECF是等边三角形，可从EC，CF入手，由（1）的全等三角形我们知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此时三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我们再根据∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等边三角形的结论．（3）判定结论1是否正确，也是通过证明三角形ACN和BCM来求得．这两个三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此两三角形就全等，AN=BM，结论1正确．根据图1，当把MC逆时针旋转90°后，AC也旋转了90°，因此∠ACB=90°，很显然∠FCE ＞90°，因此三角形FCE绝对不可能是等边三角形．证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即：∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC，∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．（2）∵△CAN≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB．又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE．在△CAE和△CMF中∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，∴△CAE≌△CMF（ASA）．∴CE=CF．∴△CEF为等腰三角形．又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形．（3）如右图，∵△CMA和△NCB都为等边三角形，∴MC=CA，CN=CB，∠MCA=∠BCN=60°，∴∠MCA+∠ACB=∠BCN+∠ACB，即∠MCB=∠ACN，∴△CMB≌△CAN，∴AN=MB，结论1成立，结论2不成立．11.如图所示，已知△ACM和△CBN都是等边三角形，点A、C、B在同一直线上，连接AN、MB．（1）求证：AN=BM．（2）若等边三角形CBN绕顶点C顺时针旋转后（旋转角），此时AN与BM是否还相等?若相等，给出证明；若不相等，说明理由．（1）证明：在三角形ACM和NCB中，因为，△ACM和△CBN是等边三角形，所以，AC=MC，CB=CN．∠ACM=∠NCB=60°，∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB=120°．所以△ACN≌△MCB．所以，AN=BM．（2）AN与BM相等．旋转角为，当时，如下图因为，△ACM和△CBN是等边三角形，所以，AC=MC，CB=CN．∠ACN=60°+∠MCN∠MCB=60°+∠MCN∠ACN=∠MCB．所以，△ACN≌△MCB．所以，AN=BM．当时，A、C、N三点共线，M、C、B三点共线，AN=AC+CN，BM=MC+CB=AC+CN所以，AN=BM．当时，如下图，因为，△ACM和△CBN是等边三角形，所以，AC=MC，CB=CN．∠ACN=60°+∠ACB．∠MCB=60°+∠ACB∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB∴AN=BM．12、已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，可以说明：△ACN ≌△MCB，从而得到结论：AN=BM．现要求：（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）在（1）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论的正确性．分析：（1）可以C为圆心以CA为半径，画弧交BC于A，然后分别以C，A为圆心，以CA 长为半径，画弧在BC下方交于M连接CM，AM，三角形ACM就是所求的三角形．（2）还成立，可通过证明三角形ACN和BCM来实现，这两个三角形中，CN=BC，CA=CM，这两组对应边的夹角都等于60°，因此两三角形全等，即可得出AN=BM．（3）MA的延长线与BN相交于D点，那么对顶角DAB和CAM都应该是60°，∠NBC也是60°，那么三角形ABD是等边三角形．∠DAB=∠NCB=60°，因此MD∥CN，∠MCB=∠NBC=60°，因此CM∥NB，因此四边形CMDN就是个平行四边形．证明：（1）如下图．（2）结论“AN=BM”还成立．证明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴△ACN≌△MCB．∴AN=BM．（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形，证明：∵∠DAB=∠MAC=60°，∠DBA=60°，∴∠ADB=60°．∴△ABD是等边三角形，∵∠ADB=∠AMC=60°，∴ND∥CM，∵∠ADB=∠BNC=60°∴MD∥CN∴四边形MDNC是平行四边形．延长DG交AB于点F线段DG的长始终相等．并以图2为例说明理由．分析：（1）根据已知证明△DGF≌△BEF．（2）观察DG的位置，找包含DG的三角形，要使两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段．解答：（1）证明：∵四边形AEFG是正方形∴GF=EF=AG=AE∠DGF=∠BEF=90°∵四边形ABCD是正方形∴AD=AB∴AD-AG=AB-AE即DG=BE∴△DGF≌△BEF∴BF=DF（2）BF≠DE 连接BE 有BE=DG理由如下：∵∠DAB=∠GAE=90°∴∠DAG=∠BAE又AD=AB AG=AE∴△DAG≌△BAE∴BE=DG ．15.已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF ⊥AB，且AE=BD，BF=AD．（1）如图1，当点D恰是AB的中点时，请你猜想并证明∠ACE与∠BCF的数量关系；（2）如图2，当点D不是AB的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF的度数（用含α的式子表示）．（1）猜想：∠ACE=∠BCF．证明：∵D是AB中点，∴AD=BD，又∵AE=BD，BF=AD，∴AE=BF．∵CD⊥AB，AD=BD，∴CA=CB．∴∠1=∠2．∵AE⊥AB，BF⊥AB，∴∠3=∠4=90°．∴∠1+∠3=∠2+∠4．即∠CAE=∠CBF．∴△CAE≌△CBF．∴∠ACE=∠BCF．…（2）∠ACE=∠BCF仍然成立．证明：连接BE、AF．∵CD⊥AB，AE⊥AB，∴∠CDB=∠BAE=90°．又∵BD=AE，CD=AB，△CDB≌△BAE．…∴CB=BE，∠BCD=∠EBA．在Rt△CDB中，∵∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°．∴∠EBA+∠CBD=90°．即∠CBE=90°．∴△BCE是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°．…同理可证：△ACF是等腰直角三角形．∴∠ACF=45°．…∴∠ACF=∠BCE．∴∠ACF-∠ECF=∠BCE-∠ECF．即∠ACE=∠BCF．…（3）∠ECF的度数为90°-α．…分析：（1）D恰是AB的中点时，则AD是AB的中垂线，则CA=CB，易证∠CAE=∠CBF，则易证△CAE≌△CBF，得到∠ACE=∠BCF；（2）连接BE、AF，则易证△CDB≌△BAE，则△BCE和△ACF都是等腰直角三角形，则∠ACF=∠ECB=45°，即可证得：∠ACE=∠BCF；（3）根据∠ACF=∠ECB=45°，再依据∠ECF=∠ACF-∠ACE=∠ACF-（∠ACB-∠BCE）即可求解．。

第十三讲三角形全等的判定定理4（“HL”）【学习目标】1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．【新课讲解】知识点1：直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）1.文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）.2.几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL).方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）【例题】如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.【答案】见解析。

【解析】证明：∵ AC⊥BC， BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.三角形全等的判定定理4问题新课程过关检测满分100分，答题时间60分钟一、选择题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一直角边对应相等D. 两个直角三角形的面积相等【答案】D【解析】如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，那么根据AAS可判断两三角形全等，故选项B正确；如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，那么根据HL可判断两三角形全等，故选项C正确；如果两个直角三角形的面积相等，那么无法判定两个直角三角形全等，故D错误；故选：D．2．要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】根据全等三角形的判定，逐个分析即可.①有两条直角边对应相等;根据SAS，可判定两个直角三角形全等；②有两个锐角对应相等; 没有边，不能判定两个直角三角形全等；③有斜边和一条直角边对应相等; 根据HL，可判定两个直角三角形全等；④有一条直角边和一个锐角相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑤有斜边和一个锐角对应相等; 根据AAS，可判定两个直角三角形全等；⑥有两条边相等.边位置不确定，不能判定两个直角三角形全等.故选C3．如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．SSS【答案】A 【解析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP=∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选择：A.4．如图，∠ACB=90°，AC=BC ．AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．B ．2C ．2D ．【答案】B ．【解析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB ≌△ADC ，就可以得出BE=DC ，就可以求出DE 的值．∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠EBC+∠BCE=90°．∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠EBC=∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE=DC=1，CE=AD=3．∴DE=EC﹣CD=3﹣1=25.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】△AEH≌△CEB，EH=BE=3CE=AE=4CH=CE-HE=4-3=1二、填空题（每空4分，共28分）6．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．【答案】AC=BC．【解析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC 可利用AAS判定△ADC≌△BEC．添加AC=BC，∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS）7．如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．【答案】AB=ED．【解析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC ≌△DEF．添加AB=ED，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）8.如图，，，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，，，，则________．【答案】7解析：，，，，在和中，≌，，，．故答案为7．9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的关系是_______。

C E OD B A21CE DBA2143COB A 全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”）2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．G A B F D ECA O Q M CPBN （4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒练习：1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 图7 求证：AE=CE ．2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上，点 D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ． 求证：BD=CD ．A D C PBHF EG AD CBA DCFB EAD CB图83．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 方法：如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？图94．如图10，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作 GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的 延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图11，点C 、D 在线段 AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明． 所添条件为__________，你得到的一 图11对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要 补充一个直接条件_____（写出一个即可），才能 使△ABC ≌△DEF ．7．如图13，在△ABD 和△ACD 中， AB=AC ，∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．8．如图14，直线AD 与BC 相交于点O ，AODCBAFCGBEAF DCBE且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．图1611．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）﹒(A)带①和②去 (B)带①去(C)带②去 (D)带③去图1712．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．图1813．如图19，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（）43OE DCB A 21F ED C A21A FH D C G B EAD C BE （A ）边角边 （B ）角边角（C ）边边边 （D ）角角边图19（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．例7 已知：如图21，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC ．例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．例9 如图23，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．A FDC BE CF E BADQPCBA例10 如图24，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ． 求证：CD=21BE ．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º， AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F ，DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知：如图28，AD 是△ABC 的中线， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中，∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ．求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中，AD 平分CB A D CE B A D C B A D4321C E B A D CEBAD ∠BAC ，AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线 AD 上一点，AB ＞AC ．求证：AB -AC ＞EB -EC ．图31 6．如图32，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 图32 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交 BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．图338．已知，如图34，△ABC 中，∠ABC=90º， AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．。