(word完整版)七年级下册-全等三角形证明经典题

完整版)全等三角形基础练习证明题1.已知三角形ABC中，AD为中线，BE⊥AD，CF⊥AD，证明BE=CF。

2.已知四边形ACBD中，AC=BD，AE=CF，BE=DF，证明AE∥CF。

3.已知四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE=CF，证明AB∥CD。

4.已知四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，证明AB∥CD。

5.已知两个三角形中，∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，证明三角形ABD≌三角形ACE。

6.已知四边形ABED中，CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，证明AF=CE。

7.已知四边形BEFC中，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，证明AF=DE。

8.已知四边形ABED中，AD=CB，∠A=∠C，AE=CF，证明EB∥DF。

9.已知三角形ABC中，M为AB的中点，∠1=∠2，MC=MD，证明∠C=∠D。

10.已知四边形ABFE和CDFE中，AE=DF，BF=CE，AE∥DF，证明AB=CD。

11.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，证明AC=AD。

12.已知四边形ABCD中，∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，证明AE=DF。

13.已知四边形ABCDEF中，ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，证明BM=ME。

14.已知三角形ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，证明三角形BHD≌三角形ACD。

15.已知四边形ABCDE中，∠A=∠D，AC∥FD，AC=FD，证明AB∥DE。

16.已知三角形ABC和三角形ADE中，AC=AB，AE=AD，∠1=∠2，证明∠3=∠4.17.已知三角形ABC和三角形DEF中，EF∥BC，AF=CD，AB⊥BC，DE⊥EF，证明三角形ABC≌三角形DEF。

18.已知四边形ABED中，AD=AE，∠B=∠C，证明AC=AB。

19.已知三角形ABC中，AD⊥BC，BD=CD，证明AB=AC。

20.已知三角形ABC和三角形BAD中，∠1=∠2，BC=AD，证明三角形ABC≌三角形BAD。

（完整版）三⾓形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐⽂档第⼀章三⾓形的证明⼀、全等三⾓形（1）定义：能够完全相等的三⾓形是全等三⾓形。

（2）性质：全等三⾓形的对应边、对应⾓相等。

（3）判定：SAS、SSS、ASA、AAS、HL注：SSA,AAA不能作为判定三⾓形全等的⽅法，判定两个三⾓形全等时，必须有边的参与，若有两边⼀⾓相等时，⾓必须是两边的夹⾓证题的思路：）找任意⼀边（）找两⾓的夹边（已知两⾓）找夹已知边的另⼀⾓（）找已知边的对⾓（）找已知⾓的另⼀边（边为⾓的邻边任意⾓（若边为⾓的对边，则找已知⼀边⼀⾓）找第三边（）找直⾓（）找夹⾓（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS例题解析：⼆、等腰三⾓形1. 性质：等腰三⾓形的两个底⾓相等（等边对等⾓）.2. 判定：有两个⾓相等的三⾓形是等腰三⾓形（等⾓对等边）．3. 推论：等腰三⾓形顶⾓的平分线、底边上的中线、底边上的⾼互相重合（即“三线合⼀”）．4. 等边三⾓形的性质及判定定理性质定理：等边三⾓形的三个⾓都相等，并且每个⾓都等于60°；等边三⾓形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形；三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形.5. 含30°的直⾓三⾓形的边的性质定理：在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半.例题解析：三、.直⾓三⾓形1. 勾股定理及其逆定理定理：直⾓三⾓形的两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅．逆定理：如果三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形．2. 命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3. 直⾓三⾓形全等的判定定理定理：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等要点诠释：①勾股定理的逆定理在语⾔叙述的时候⼀定要注意，不能说成“两条边的平⽅和等于斜边的平⽅”，应该说成“三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅”例题解析四、线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三⾓形三边的垂直平分线的性质三⾓形三条边的垂直平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三个顶点的距离相等3. 如何⽤尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆⼼，以⼤于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；②利⽤线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析五、.⾓平分线1. ⾓平分线的性质及判定定理性质：⾓平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等；判定：在⼀个⾓的内部，且到⾓的两边的距离相等的点，在这个⾓的平分线上2. 三⾓形三条⾓平分线的性质定理性质：三⾓形的三条⾓平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三条边的距离相等.3. 如何⽤尺规作图法作出⾓平分线要点诠释：①注意区分⾓平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；③⼏何语⾔的表述，这也是证明线段相等的⼀种重要的⽅法.遇到⾓平分线时，要构造全等三⾓形例题解析：【课堂练习】1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最⼩边BC=4 cm，最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm2、如图，已知∠1＝∠2，则不⼀定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA3 、如上图，点,,,B C F E 在同⼀直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠（填“是”或“不是”） 2∠的对顶⾓，要使ABC DEF ，还需添加⼀个条件，这个条件可以是（只需写出⼀个）． 4、已知实数x ，y 满⾜，则以x ，y 的值为两边长的等腰三⾓形的周长是（）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对5、如图所⽰的正⽅形⽹格中，⽹格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三⾓形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6 B ．7C ．8D ．96、⼀个等腰三⾓形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三⾓形的周长是．7、等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边为_______________。

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CDAB B A CDF2 1 EAC D E F 21 A D BC A6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB15. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BED C B A FE PD A CB16. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．F AEDCB P E D CB A DC B A23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．证明：25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

全等三角形练习题及答案1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A、两条直角边对应相等。

B、斜边和一锐角对应相等。

C、斜边和一条直角边对应相等。

D、两锐角相等。

2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B或∠C3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A.已知两边和夹角B.已知两角和夹边C.已知两边和其中一边的对角 D.已知三边4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断△ABC与△DEF全等的是（）.A． BC=EF B．AC=DFC．∠B=∠E D．∠C=∠F5、使两个直角三角形全等的条件是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'，⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（）A、①②③B、①②⑤C、①②④D、②⑤⑥7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是（）A、∠ADB=∠ADCB、∠B=∠CC、DB=DCD、AB=AC8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为A. 40°B. 80°C.120°D. 不能确定9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（）A．600 B．700C．750D．85010、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( )A. 150°B.40°C.80°D. 90°11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( )A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（）A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（）（A）（B）（C）（D）∥14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°，则∠D的度数为（）.A．50° B．30° C．80° D．100°15、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC的度数是．16、在△ABC和△中，∠A=44°，∠B=67°，∠=69°，∠=44°，且AC=则这两个三角形全等（填“一定”或“不一定”）17、如图,,,,在同一直线上，，，若要使，则还需要补充一个条件：或．18、（只需填写一个你认为适合的条件）如图，已知∠CAB=∠DBA，要使△ABC≌△BAD，需增加的一个条件是。

七年级数学下---全等三角形之动点问题练习1、如图，在直角三角形ABC中，/ B= 90°, A吐5cm BO6cm 点P从点B开始沿BA以1cm/s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cn/s的速度向点C运动•几秒后，△ PBQ 的面积为9亦？2、如图所示，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题:(1)填空: △ ABC的面积为;(2)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由.(3)在点P与点Q的运动过程中，△ BPC是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由.(4)当厶BPQ是直角三角形时，求t的值。

3、如图(1)，AB= 4cm, AC丄AB BD丄AB AOBD= 3cm 点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动•它们运动的时间为t (s)(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1时，△ ACP与△ BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2）,将图（1）中的“AC丄AB BD L AB'为改“/ CAB=Z DBA= 60°”，其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△人。

卩与厶BPC全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，请说明理由.4、如图，△ ABC中，/ ACB=90，AC=6 BC=8点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点.点P和Q分别以1和3的运动于E,QHl速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE丄l5、如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24S米,BC=16，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上从4厘米/秒的速度由B向C运动,同时，点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的运动速度为多少厘米/秒时，能在某一时刻使三角形BPD与三角形CQP全等.6 如图，在长方形ABCD中, BC=8cm AC=10cm动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ设点P的运动时间为t秒，当t为多少秒时，△ PQC是以PQ 为底的等腰三角形.7、已知：如图，在△ ABC中, AB=AC=18 BC=12点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3 个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A点匀速运动，连接DP QP设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：8、（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为（）、A. 0€（壬4 B. c. 0€£壬12 D.910、（2）若某一时刻△ BPD与△ CQP全等，贝U t的值与相应的CQ的长为（）A.t=2 ，CQ=9B.t=1 ，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1 ，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1 ，CQ=3(3) 若某一时刻△ BPD^A CPQ 贝U a=( )A. J B.2 C.3 D.七年级数学下---全等三角形之动点问题练习答案：2、(1)当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 垂直，即△ BPC 为直角三角形.理由是:••• AB=AC=BC=6，V.当点Q 到达点C 时，BP=3cm •••点P 为AB 的中点.••• QPL BA (等边三角形三线合一的性质).(2)假设在点P 与点Q 的运动过程中，△ BPQ 能成为等边三角形，二BP=PQ=BQ •••6-t=2t ，解得t=2 .•••当t=2时，△ BPC 是个等边三角形.3、( 1)当 t=1 时，AP=BQ=,1 BP=AC=3 又/ A=Z B=90°,在厶 ACP^P ^ BPQ 中,AP=BQZA=ZBAC 二BF •••△ ACP^A BPQ( SAS . ACP M BPQ /-Z APC # BPQ M APC V ACP=90 .•••/ CPQ=90，即线段PC 与线段PQ 垂直.广―P=2综上所述，存在I *二1或I 巳使得△ ACP 与△ BPQ 全等4、解：•••△ PEC 与 QFC 全等，•斜边 CP=CQ 有三种情况：① P 在 AC 上, Q 在 BC 上, CP=6-t ，CQ=8-3t ，/ 6-t=8-3t ，•/ t=1 ;② P 、Q 都在 AC 上，此时 P 、Q 重合，• CP=6-t=3t-8，•/ t=3.5 ;③ Q 在 AC 上, P 在 BC 上, CQ=CP 3t-8=t-6，•/ t=1，AC+CP=1，答：点P 运动1或3.5或12时，△ PEC 与 QFC 全等。

全等三角形问题中常有的辅助线的作法( 含答案 ) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称今后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

线段垂直均分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角均分线在三种添辅助线4.垂直均分线联系线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特别直角三角形，尔后计算边的长度与角的度数，这样能够获取在数值上相等的二条边或二个角。

进而为证明全等三角形创立边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特别直角三角形，或40-60-80的特别直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样能够获取在数值上相等的二条边或二个角，进而为证明全等三角形创立边、角之间的相等条件。

常有辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角均分线在三种添辅助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。

先做几道基础题：1、如图（1） : AD 丄BC,垂足为 D, BD=CD 求证：△ ABD^A ACD2. 如图（8）: A 、B C 、D 四点在同一直线上， AC=DB BE// CF , AE// DF 。

求证：△ ABE^A DCF 。

3、如图（10）/ BAC=/ DAE / ABD 玄 ACE BD=CE 求证：AB=AC4.女口图：AB=DC BE=CF AF=DE 求证：△ ABE^A DCF 。

一.解答题（共16小题）1. 如图，已知 AB // DE , AB=DE , AF=DC .（1）求证： △ ABF ◎△ DEC ; 2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形.（只要直接写出结果，不要证明）AAE2. 如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 ° AC=BC , D是斜边AB上的一点，AE丄CD于E, BF丄CD交3.如图，点E在厶ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若/仁/ 2= / 3, AC=AE .试说明下列结论正确的理由：/ D= / C .求证：△ AED BFC .(1)/ C= / E;5. 如图，在△ ABC中，AB=AC , D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE , CE . △ ABE与厶ACE全等吗？为什么？6. (2010?顺义区)已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分/ DAE , AE丄BE，垂足为E.37. （2010?十堰）如图， △ ABC 中，AB=AC , BD 丄 AC , CE 丄AB .求证：BD=CE .8 （ 2008?南宁）如图，在 △ ABC 中，D 是BC 的中点，DE 丄AB , DF 丄AC ，垂足分别是 E 、F , （1）图中有几对全等的三角形请一一列出； 2）选择一对你认为全等的三角形进行证明.9. （2005?新疆）在△ ABC 中，/ ACB=90 ° AC=BC ，直线 MN 经过点 C ,且 AD 丄 MN 于 D , 于 E ，求证：DE=AD+BE .10 .如图，AD // BC , / A=90 ° E 是 AB 上的一点，且 AD=BE , / 1 = / 2. 求证：△ ADE △ BEC .BE=CF . BE 丄 MN 11.如图，在 △ ABC 中，AC=BC ，直线I 经过顶点 C , 过A , B 两点分别作I 的垂线AE , BF , E , F 为12. （2002?湛江）如图，有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D，使CD=CA •连接BC并延长到E,使CE=CB •连接DE，那么量出DE 的长，就是A、B的距离.请说明DE的长就是A、B的距离的理由.如图, / 仁/2, BD=BC .求证：/ 3= /4.13. （2010?广安）已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE .15 .如图，△ ABC和厶ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M , BD交AC于点N . 证明：（1）BD=CE ; （2）BD 丄CE .14. （2005?三明）已知:DCD=BE .答案与评分标准一.解答题（共16小题）1. 如图，已知AB // DE, AB=DE , AF=DC .（1）求证：△ ABF ◎△ DEC ;（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形. （只要直接写出结果，不要证明）考点：全等三角形的判定。

全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF S S V V .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型 条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等 . 思路：1、旋转辅助线：①延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得△ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线结论：（1）MN ＝BM ＋DN ；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP ⊥MN 交MN 于点P②将△ADN 、△ABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线 .A 、例题例1、在正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足MN ＝BM ＋DN ， 求证：（1）∠MAN ＝45°；（2）=2CMN C AB V ；（3）AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM .变式：在正方形ABCD 中，已知∠MAN ＝45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动， AH ⊥MN ，垂足为H ，（1）试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系；（2）求证：AB ＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。

动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。

动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。

本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角 三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?BCPA CQBPA QDBCPAA变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

完整版)全等三角形经典例题(含答案)全等三角形证明题精选1.在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

证明：△ADE≌△CBF；若AC与BD相交于点O，证明：AO=CO。

2.已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。

证明：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长。

3.在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE。

证明：BE=CD。

4.点O是线段AB和线段CD的中点。

证明：△AOD≌△BOC；AD∥BC。

5.点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD。

证明：∠B=∠D。

6.已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC。

证明：AE=BC。

7.在△ABE和△DEF中，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF。

证明：AF=DF。

8.点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。

证明：AB∥DE。

9.在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

证明：AE=CE。

10.点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF。

证明：DE=CF。

11.点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD。

证明：AE=FB。

12.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.证明：BD=CE；∠M=∠N。

13.在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD。

证明：AB=AC。

14.在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。

证明：∠B=∠E。

15.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

证明：AB=AC；若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长。

16.已知直角三角形ABC和直角三角形DBF，且它们相似，∠D=28°，求∠GBF的度数。

第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。

例如：图13-1和图13—2就是全等图形图13-1图13—2(2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形,则称为全等多边形。

例如：图13—3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形,经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（4）全等多边形的表示例如：图13—5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

图13—5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置.（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。

（6)全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别 (1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

(2)根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.相似三角形的识别法中有一个与(SSS ）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时,就成为全等三角形。

(3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS ）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等.A BDC E B'A’ C ’D ’E’（5)根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别(1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

数学50题1.已知：如图E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC。

(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=5，AC=8，求DC的长。

2.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．3.如图,已知: AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．4.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．5.如图，在ΔABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线。

求证：AD⊥BC，6.如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC。

求证：∠EFD=∠BCAFGE DC BAAB C D EF AB CD7.如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。

8.已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

9.如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE ＝DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

ABCDEH10.已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．11.如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．12.在△ABC 中，,AB=AC ， 在AB 边上取点D ，在AC 延长线上了取点E ，使CE=BD ， 连接DE 交BC 于点F ，求证DF=EF .P D AC M NF E DCB AB13.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.求证：EG=EF;请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。

全等三角形证明题全等三角形证明题第一篇：全等三角形证明题全等三角形证明题1在直角坐标系中,有两个点a△ab≌△aed；ob＝oe .e8.如图，在△ab和△db中，ab = d，a = db，a与db交于点m．（1）求证：△ab≌△db ；（2）过点作n∥bd，过点b作bn∥a，n与bn交于点n，试判断线段bn与n的数量关系，并证明你的结论．bn9.在⊿ab中，∠b＝60。

，∠ba和∠ba的平分线ad和f交于i 点。

试猜想：af、d、a三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。

10. 在?ab中，ab=a，de∥b.（1）试问?ade是否是等腰三角形，说明理由.（2）若m为de上的点，且bm平分?ab，m平分?ab，若?ade的周长20，b=8.求?ab的周长.amdeb11. 如图, 已知: 等腰rt△oab中,∠aob=900, 等腰rt△eof 中,∠eof=900, 连结ae、bf. 求证:ae=bf;ae⊥bf.1如图，△ab中，d是b的中点，过d点的直线gf交a于点f，交a的平行线bg于点g，de⊥gf交ab于点e，连接eg。

（1）求证：bg=f；（2）请你判断be+f与ef的大小关系，并证明。

13.如图:△ab和△ade是等边三角形.证明：bd=e.bg dabde14. 如图，一艘轮船从点a向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛p在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点b，小岛p此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛p的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。

北b15.如图若直线ae绕a点旋转到图若直线ae绕a点旋转到图.a. 全等三角形周长相等b. 全等三角形能够完全重合. 形状相同的图形就是全等图形d.全等图形的形状和大小都相同9.如图，已知△ab ≌△def，且ab＝4，b＝5，a＝6，则de的长为.ａ.４ｂ.５ｃ.６ｄ.不能确定10．如图，若△oad≌△ob，且∠0=65°，∠=20°，则∠oad等于（）.ａ. 85°ｂ. 95°ｃ. 65°ｄ.105°11. 如图，已知∠1＝∠2，要使△ab≌△ade，还需条件（）.a. ab＝ad，b＝deb. b＝de，a＝ae. ∠b＝∠d，∠＝∠ed.a＝ae，ab＝adaeebdbfbd1如图，△ab≌△aef，ab＝ae，∠b＝∠e，则对于结论①a＝af；②∠fab＝∠eab；③ef＝b；④∠eab＝∠fa，其中正确结论的个数是（）.a. 1个b. 2个. 3个d. 4个13.如图，已知△ab中，ab＝a，它的周长为24，又ad⊥b于d，△abd的周长为20，则ad的长为（）.a. 6b.8. 10d. 12三、证明题1．已知：如图点是ab的中点，d∥be，且d=be.求证：∠d=∠e.adbe、f是ab上的两点，ae=bf，又a∥db，且a=db.求证：f=de。

第十二章 全等三角形第Ⅰ卷（选择题 共30 分）一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是（ )A.形状相同的两个三角形全等 B 。

面积相等的两个三角形全等 C 。

完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等2。

如图所示，a ，b ，c 分别表示△ABC 的三边长,则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ）3.如图所示，已知△ABE≌△ACD ，∠1=∠2，∠B=∠C，下列不正确的等式是（ )A 。

AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE4。

在△ABC 和△A /B /C /中,AB=A /B /，∠B=∠B /,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A /B /C /,则补充的这个条件是( )A ．BC=B /C / B ．∠A=∠A / C ．AC=A /C /D ．∠C=∠C /5。

如图所示,点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是( )A.△ACE≌△BCD B。

△BGC≌△AFC C 。

△DCG≌△ECF D.△ADB≌△CEA 6. 要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离,先在AB 的垂线BF 上取两第3题图第5题图第2题图第6题图ABCD点C,D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE,使A,C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，判定△EDC≌△ABC 最恰当的理由是（ ）A.边角边 B 。

角边角 C 。

边边边 D 。

边边角7。

已知：如图所示，AC=CD ，∠B=∠E=90°，AC⊥CD,则不正确的结论是( ）A ．∠A 与∠D 互为余角B ．∠A=∠2C ．△ABC≌△CED D．∠1=∠28. 在△ABC 和△FED 中,已知∠C=∠D,∠B=∠E，要判定这两个三角形全等，还需要条件（ ） A 。

1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数,求AD解：延长AD至【J E,使AD=DE• D是BC中点••• BD=DC在左ACD和左BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC••• A ACD^A BDE. .AC=BE=2•在△ ABE 中AB-BE < AE< AB+BE••AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3•••AD=21 2.已知：D是AB中点，Z ACB=90 ,求证：CD —AB延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP.BP ••DP=DC,DA=DB• •ACBP为平行四边形又/ ACB=90平行四边形ACBP为矩形•••AB=CP=1/2AB证明：连接BF和EF. • BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）••• BF=EF, Z CBF= / DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/ EBF= / BEF。

. • Z ABC= Z AED。

••• Z ABE= Z AEB。

AB=AE 。

在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= Z AEB+ Z BEF= Z AEF三角形ABF和三角形AEF全等。

Z BAF= Z EAF （ Z 1 = Z 2）。

EF=AC 4,已知：/ 1 = Z 2, CD=DE , EF//AB ,求证:过C作CG // EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE=Z GDC （对顶角）. EFD^A CGDZCGD=Z EFD又，EF// AB. Z EFD=Z 1/ 1= / 2•••Z CGD=Z 2AGC为等腰三角形,AC= CG又EF= CGEF= AC证明：延长AB取点E,使AE = AC,连接DE . • AD 平分Z BAC••• Z EAD = Z CAD. . AE = AC , AD = AD. AED^A ACD (SAS)Z E= Z C. . AC = AB+BDAE = AB+BD. . AE = AB+BE. .BD = BE•••Z BDE = / E. Z ABC = Z E+ Z BDE•••Z ABC = 2 / E•.•Z ABC = 2 Z C6. 已知：AC 平分Z BAD , CE± AB , Z B+ / D=180 °,求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF = EB,连接CF. • CE ± ABCEB = Z CEF = 90°. • EB = EF, CE = CE,. CEB^A CEF•••Z B=Z CFE. Z B+Z D= 180° , Z CFE + Z CFA = 180°•••Z D = Z CFA. • AC 平分Z BAD/ DAC = / FAC. . AC = AC. ADC^A AFC (SAS)AD = AFAE = AF + FE= AD + BE7, 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC. ACD^A BDE••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE. . AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 v AD v 3AD=21—8. 已知：D是AB中点，/ACB=9,求证：CD-AB2 解：延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC. ACD^A BDE ••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE . . AB=4即4-2 V 2AD V 4+2 1 v AD v 3AD=2证明：连接BF和EF。