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2024新高考I卷高考真题物理二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1.一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（）A. B. C. D.2.福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。

借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。

调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。

忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的（）A.0.25倍B.0.5倍C.2倍D.4倍3.天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（）A.0.001倍B.0.1倍C.10倍D.1000倍4.三位科学家由于在发现和合成量子点方面的突出贡献，荣获了2023年诺贝尔化学奖。

不同尺寸的量子点会发出不同颜色的光。

现有两种量子点分别发出蓝光和红光，下列说法正确的是（）A.蓝光光子的能量大于红光光子的能量B.蓝光光子的动量小于红光光子的动量C.在玻璃中传播时，蓝光的速度大于红光的速度D.蓝光在玻璃中传播时的频率小于它在空气中传播时的频率5.如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。

则（）A.两绳中的张力大小一定相等B.P的质量一定大于Q的质量C.P的电荷量一定小于Q的电荷量D.P的电荷量一定大于Q的电荷量6.位于坐标原点O的波源在0=t时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿x轴正方向传播。

平衡位置在 3.5mx=处的质点P开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则（）A.波的周期是0.1sB.波的振幅是0.2mC.波的传播速度是10m/sx=处的质点Q开始振动时，质点P处于波峰位置D.平衡位置在 4.5m7.电动汽车制动时可利用车轮转动将其动能转换成电能储存起来。

新课标二卷2024年高考新课标二卷语文真题带参考答案(11篇) 2024年高考新课标二卷语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。

如下是爱岗敬业的小编帮大家找到的2024年高考新课标二卷语文真题带参考答案【较新11篇】，希望可以帮助到有需要的朋友。

新课标二卷高考满分作文赏析：谁较具风采篇一新课标二卷高考满分作文赏析：谁较具风采【作文真题】新课标全国二卷：创新、技术、爱好(材料作文)材料一：老李带领公司走进了国际化的领域。

材料二：老王是普通焊接技工，通过自己努力变成了国际大牌工匠。

材料三：一个摄影师拍摄一组照片发到自己微博，受到广泛赞扬。

(新课标全国二卷适用地区：青海、西藏、甘肃、贵州、内蒙、新疆、宁夏、吉林、黑龙江、云南、广西、辽宁、海南)【优秀作文】风采，其实恰如其分大李执着于科学研究，笃学敏思、矢志创新，沉醉科学的魅力之中；老王化钢铁焊接演绎为工业艺术，大国工匠实至名归。

然而，论及风采，倒是小刘的生命轨迹更使人动心。

虫鸣鸟叫、花草人间，大自然留下的每一瞬美丽都是神的恩旨，小刘行走在青山绿水间，用相机记录下这动人点滴，他将每一帧的美丽定格为文字和影像，留下了游子美丽乡愁，也凝滞了各地风情百态。

网络上有一档叫《侣行》的纪录片节目很受欢迎，讲述的是一对冒险情侣游历世界的经历，完全的真人真景，所到之处既有宁静质朴的异域村落，也有惊心动魄的索马里海湾或是枪声不绝于耳的中东小镇。

他们去的是常人想去而去不了或是不敢去的地方，看他们的节目，就好像置身在世界各地，满足之余，也会心怀感佩——毕竟不是所有人都能像他们一样能满足于草木山川，走出去看看这世界的气象万千。

如果你不出去看看，你会以为这就是世界。

之所以有了景观介绍节目，背包客还是要穷游世界，是因为要亲眼所见红霞盛开在天边才能领略一手的绚烂；之所以有了图册画报，还是有人亲往沙漠探险，是因为纸上只能展现奇景，而沙粒的灼热和驼铃声声并不能通过画册传达至读者的感官。

2023年全国统一高考英语试卷（新高考Ⅰ）ABike Rental &Guided ToursWelcome to Amsterdam，welcome to MacBike.You see much more from the seat of a bike!Cycling is the most economical，sustainable and fun way to explore the city，with its beautiful canals，parks，squares and countless lights.You can also bike along lovely landscapes outside of Amsterdam.Why MacBikeMacBike has been around for almost 30 years and is the biggest bicycle rental company in Amsterdam.With over 2，500 bikes stored in our five rental shops at strategic locations，we make sure there is always a bike available for you.We offer the newest bicycles in a wide variety，including basic bikes with foot brake（刹车），bikes with hand brake and gears （排挡），bikes with child seats，and children's bikes.PricesThe 2.5-hour tour covers the Gooyer Windmill，the Skinny Bridge，the Rijksmuseum，Heineken Brewery and much more.The tour departs from Dam Square every hour on the hour，starting at 1：00 pm every day.You can buy your ticket in a MacBike shop or book online.1. What is an advantage of MacBike？______A. It gives children a discount.B. It offers many types of bikes.C. It organizes free cycle tours.D. It has over 2，500 rental shops.2. How much do you pay for renting a bike with hand brake and three gears for two days？______A. €15.75.B. €19.50.C. €22.75.D. €29.50.3. Where does the guided city tour start？______A. The Gooyer，Windmill.B. The Skinny Bridge.C. Heineken Brewery.D. Dam Square.BWhen John Todd was a child，he loved to explore the woods around his house，observing how nature solved problems.A dirty stream，for example，often became clear after flowing through plants and along rocks where tiny creatures lived.When he got older，John started to wonder if this process could be used to clean up the messes people were making.After studying agriculture，medicine，and fisheries in college，John went back to observing nature and asking questions.Why can certain plants trap harmful bacteria（细菌）？Which kinds of fish can eat cancer-causing chemicals？With the right combination of animals and plants，he figured，maybe he could clean up waste the way nature did.He decided to build what he would later call an eco-machine.The task John set for himself was to remove harmful substances from some sludge（污泥）.First，he constructed a series of clear fiberglass tanks connected to each other.Then he went around to local ponds and streams and brought back some plants and animals.He placed them in the tanks and waited.Little by little，these different kinds of life got used to one another and formed their own ecosystem.After a few weeks，John added the sludge.He was amazed at the results.The plants and animals in the eco-machine took the sludge as food and began to eat it!Within weeks，it had all been digested，and all that was left was pure water.Over the years，John has taken on many big jobs.He developed a greenhouse-like facility that treated sewage （污水）from 1，600 homes in South Burlington.He also designed an eco-machine to clean canal water in Fuzhou，a city in southeast China. "Ecological design"is the name John gives to what he does."Life on Earth is kind of a box of spare parts for the inventor，"he says."You put organisms in new relationships and observe what's happening.Then you let these new systems develop their own ways to self-repair."4. What can we learn about John from the first two paragraphs？______A. He was fond of traveling.B. He enjoyed being alone.C. He had an inquiring mind.D. He longed to be a doctor.5. Why did John put the sludge into the tanks？______A. To feed the animals.B. To build an ecosystem.C. To protect the plants.D. To test the eco-machine.6. What is the author's purpose in mentioning Fuzhou？______A. To review John's research plans.B. To show an application of John's idea.C. To compare John's different jobs.D. To erase doubts about John's invention.7. What is the basis for John's work______A. Nature can repair itself.B. Organisms need water to survive.C. Life on Earth is diverse.D. Most tiny creatures live in groups.CThe goal of this book is to make the case for digital minimalism，including a detailed exploration of what it asks and why it works，and then to teach you how to adopt this philosophy if you decide it's right for you. To do so，I divided the book into two parts.In part one，I describe the philosophical foundations of digital minimalism，starting with an examination of the forces that are making so many people's digital lives increasingly intolerable，before moving on to a detailed discussion of the digital minimalism philosophy. Part one concludes by introducing my suggested method for adopting this philosophy：the digital declutter.This process requires you to step away from optional online activities for thirty days.At the end of the thirty days，you will then add back a small number of carefully chosen online activities that you believe will provide massive benefits to the things you value.In the final chapter of part one，I'll guide you through carrying out your own digital declutter.In doing so.I'll draw on an experiment I ran in 2018 in which over 1，600 people agreed to perform a digital declutter.You'll hear these participants' stories and learn what strategies worked well for them，and what traps they encountered that you should avoid.The second part of this book takes a closer look at some ideas that will help you cultivate a sustainable digital minimalism lifestyle.In these chapters，I examine issues such as the importance of solitude and the necessity of cultivating high-quality leisure to replace the time most now spend on mindless device use.Each chapter concludes with a collection of practices，which are designed to help you act on the big ideas of the chapter.You can view these practices as a toolbox meant to aid your efforts to build a minimalist lifestyle that words for your particular circumstances.8. What is the book aimed at？______A. Teaching critical thinking skills.B. Advocating a simple digital lifestyle.C. Solving philosophical problems.D. Promoting the use of a digital device.9. What does the underlined word" declutter"in paragraph 3 mean？______A. Clear-up.B. Add-on.C. Check-in.D. Take-over.10. What is presented in the final chapter of part one？______A. Theoretical models.B. Statistical methods.C. Practical examples.D. Historical analyses.11. What does the author suggest readers do with the practices offered in part two？______A. Use them as needed.B. Recommend them to friends.C. Evaluate their effects.D. Identify the ideas behind them.DOn March 7，1907，the English statistician Francis Galton published a paper which illustrated what has come to be known as the "wisdom of crowds" effect.The experiment of estimation he conducted showed that in some cases，the average of a large number of independent estimates could be quite accurate. This effect capitalizes on the fact that when people make errors，those errors aren't always the same.Some people will tend to overestimate，and come to underestimate.When enough of these errors are averaged together，they cancel each other out，resulting in a more accurate estimate.If people are similar and tend to make the same errors，then their errors won't cancel each other out.In more technical terms，the wisdom of crowds requires that people's estimates be independent.If for whatever reasons，people's errors become correlated or dependent，the accuracy of the estimate will go down.But a new study led by Joaquin Navajas offered an interesting twist （转折）on this classic phenomenon.The key finding of the study was that when crowds were further divided into smaller groups that were allowed to have a discussion，the averages from these groups were more accurate than those from an equal number of independent individuals.For instance，the average obtained from the estimates of four discussion groups of five was significantly more accurate than the average obtained from 20 independent individuals.In a follow-up study with 100 university students，the researchers tried to get a better sense of what the group members actually did in their discussion.Did they tend to go with those most confident about their estimates Did they follow those least willing to change their minds？This happened some of the time，but it wasn't the dominant response.Most frequently，the groups reported that they "shared arguments and reasoned together." Somehow，these arguments and reasoning resulted in a global reduction in error. Although the studies led by Navajas have limitations and many questions remain，the potential implications for group discussion and decision-making are enormous.12. What is paragraph 2 of the text mainly about？______A. The methods of estimation.B. The underlying logic of the effect.C. The causes of people's errors.D. The design of Galton's experiment.13. Navajas' study found that the average accuracy could increase even if ______A. the crowds were relatively smallB. there were occasional underestimatesC. individuals did not communicateD. estimates were not fully independent14. What did the follow-up study focus on？______A. The size of the groups.B. The dominant membersC. The discussion process.D. The individual estimates.15. What is the author's attitude toward Navajas' studies？______A. Unclear.B. Dismissive.C. Doubtful.D. Approving.Personal ForgivenessTaking responsibility for mistakes is a positive step，but don't beat yourself up about them.To err （犯错）is human.（1）______ You can use the following writing exercise to help you do this.In a journal or on a piece of paper，put the heading "Personal strengths."（2）______ Are you caring？Creative？Generous？A good listener？Fun to be around？They don't have to be world -changing，just aspects of your personality that you're proud of.At the top of a second page，put the heading"Acts of kindness." On this one，list all the positive things you've done for others.It might be the time when you helped a friend with their homework，when you did the ironing without being asked，or when you baked cookies after the family had had a tiring day.（3）______You could ask a friend or family member to help add to your list.（4）______ That way，you could exchange thoughts on what makes each of you special and the aspects of your personality that shine through.In fact，don't wait until you've made a mistake to try this—it's a great way to boost self-confidence at any time.It's something of a cliché（陈词滥调）that most people learn not from their successes but their mistakes. The thing is，it's true.（5）______ We' re all changing and learning all the time and mistakes are a positive way to develop and grow.A.A little self-forgiveness also goes a long way.B.Now list all the characteristics you like about yourself.C.They might even like to have a go at doing the exercise.D.It's just as important to show yourself some forgiveness.E.It doesn't mean you have to ignore what's happened or forget it.F.Whatever it is，no matter how small it might seem，write it down.G.Whatever the mistake，remember it isn't a fixed aspect of your personality.16. A. A B. B C. C D. D E. EF. FG. G17. A. A B. B C. C D. D E. EF. FG. G18. A. A B. B C. C D. D E. EF. FG. G19. A. A B. B C. C D. D E. EF. FG. G20. A. A B. B C. C D. D E. EF. FG. GOn Oct.11，hundreds of runners competed in a cross-country race in Minnesota.Melanie Bailey should have（1）______ the course earlier than she did.He（2）______ came because she was carrying a（3）______ across the finish line.As reported by a local newspaper，Bailey was more than two-thirds of the way through her（4）______ when a runner in front of her began crying in pain.She（5）______ to help her fellow runner，Danielle Lenoue.Bailey took her am to see if she could walk forward with（6）______ .She couldn't.Bailey then （7）______ to let Lenoue climb onto her back and carried her all the way to the finish line，then another 300 feet to where Lenoue could get（8）______ attention.Once there，Lenouc was（9）______ and later taken to a hospital，where she learned that she had serious injuries in one of her knees.She would have struggled with extreme（10）______ to make it to that aid checkpoint without Bailey's help.As for Bailey，she is more（11）______ about why her act is considered a big（12）______ " She was just crying.I couldn't（13）______ her，" Bailey told the reporter."I feel like I was just doing the right thing. Although the two young women were strangers before the（14）______ ，they've since become friends.Neither won the race，but the（15）______ of human kindness won the day.21. A. designed B. followed C. changed D. finished22. A. delay B. chance C. trouble D. excuse23. A. judge B. volunteer C. classmate D. competitor24. A. race B. school C. town D. training25. A. agreed B. returned C. stopped D. promised26. A. courage B. aid C. patience D. advice27. A. went away B. stood up C. stepped aside D. bent down28. A. medical B. public C. constant D. equal29. A. interrupted B. assessed C. identified D. appreciated30. A. hunger B. pain C. cold D. tiredness31. A. worried B. ashamed C. confused D. discouraged32. A. game B. problem C. lesson D. deal33. A. leave B. cure C. bother D. understand34. A. ride B. test C. meet D. show35. A. secret B. display C. benefit D. exchange36. Xiao long bao（soup dumplings），those amazing constructions of delicate dumpling wrappers，encasing hot，（1）______ （taste）soup and sweet，fresh meat，are far and away my favorite Chinese street food.The dumplings arrive steaming and dangerously hot.To eat one，you have to decide whether（2）______ （bite）a small hole in it first，releasing the stream and risking a spill（溢出），（3）______ to put the whole dumpling in your mouth，letting the hot soup explode on your tongue.Shanghai maybe the （4）______ （recognize）home of the soup dumplings but food historians will actually point you to the neighboring canal town of Nanxiang as Xiao long bao's birthplace.There you will find them prepared differently-more dumpling and less soup，and the wrappers are pressed （5）______ hand rather than rolled.Nanxiang aside，the best Xiao long bao have a fine skin，allowing them （6）______ （lift）out of the steamer basket without allowing them tearing or spilling any of （7）______ （they）contents.The meat should be fresh with （8）______ touch of sweetness and the soup hot，clear and delicious.No matter where I buy them，one steamer is （9）______ （rare）enough，yet two seems greedy，so I am always left （10）______ （want）more next time.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)37. 假定你是李华，外教Ryan准备将学生随机分为两人一组，让大家课后练习口语，你认为这样分组存在问题。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的・请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知z = —1 —i,则（）A. 0B. 1C. V2D. 22. 已知命题p ： Vx e R , x +11> 1 ；命题 q ： > 0 , x 3 = x ，贝I （ ）A. p 和q 都是真命题B. ~^P 和q 都是真命题C. p 和「0都是真命题D. F 和「0都是真命题3. 已知向量口,直满足|4 = 1J q + 2，= 2,且— 则料=（）A. |B. —C.匝D. 12 2 24. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表据表中数据，结论中正确的是（）亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(歹>0),从。

2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题二、多选题四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,10520．如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC (1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA =，求二面角21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．参考答案1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（）（A ）2（B ）1（C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0，因为0A ∈，A B ⊆，所以0B ∈，故20a -=或220a -=，解得：2a =或1，注意0B ∈不能保证A B ⊆，故还需代回集合检验，若2a =，则{0,2}A =-，{1,0,2}B =，不满足A B ⊆，不合题意；若1a =，则{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足A B ⊆.故选B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）（A ）4515400200C C ⋅种（B ）2040400200C C ⋅种（C ）3030400200C C ⋅种（D ）4020400200C C ⋅种答案：D解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x 人，则60400400200x =+，解得：40x =，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）（A ）1-（B ）0（C ）12（D ）1答案：B解法1：偶函数可抓住定义()()f x f x -=来建立方程求参，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即2121()ln ()ln 2121x x x a x a x x ----+=+-++①，而121212121ln ln ln()ln 21212121x x x x x x x x ---+--===--+-++，代入①得：2121()(ln ()ln 2121x x x a x a x x ---+-=+++，化简得：x a x a -=+，所以0a =.解法2：也可在定义域内取个特值快速求出答案，210(21)(21)021x x x x ->⇔+->+，所以12x <-或12x >，因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，故1(1)ln3(1)ln 3a a -+=+①，而11ln ln3ln33-==-，代入①得：(1)ln3(1)ln3a a -+=-+，解得：0a =.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB ∆的面积是F AB ∆面积的2倍，则m =（）（A ）23（B ）3（C ）3-（D ）23-答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB ，故只需分析高的关系，作1FG AB ⊥于点G ，2F I AB ⊥于点I ，设AB 与x 轴交于点K ，由题意，121212212F AB F ABAB F G S S AB F I ∆∆⋅==⋅，所以122F G F I=，由图可知12F KG F KI ∆∆∽，所以11222F K F G F KF I==，故122F K F K =，又椭圆的半焦距c =，所以122F F c ==，从而21212233F K F F ==，故1123OK OF F K =-=，所以2(3K ，代入y x m =+可得203m =+，解得：23m =.6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（）（A ）2e （B ）e （C ）1e -（D ）2e -答案：C解析：()f x 的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，1()e x f x a x '=-，因为()f x 在(1,2)上，所以()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即1e 0x a x-≥①，观察发现参数a 容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于1ex a x ≥，令()e (12)x g x x x =<<，则()(1)e 0x g x x '=+>，所以()g x 在(1,2)上，又(1)e g =，2(2)2e g =，所以2()(e,2e )g x ∈，故21111(,)()e 2e e x g x x =∈，因为1e x a x ≥在(1,2)上恒成立，所以11e e a -≥=，故a 的最小值为1e -.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）（A （B （C （D 答案：D解析：221535cos 12sin sin 2428ααα+-=-=⇒=，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为2，所以222625(51)sin 2164α-==，故51sin 24α-=±，又α为锐角，所以(0,)24απ∈，故51sin 24α-=.8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）（A ）120（B ）85（C ）85-（D ）120-答案：C解法1：观察发现2S ，4S ，6S ，8S 的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q 是否为1-，若{}n a 的公比1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列①，条件中有6221S S =，不妨由此设个未知数，设2S m =，则621S m =，所以425S S m -=--，64215S S m -=+，由①可得242262()()S S S S S -=-，所以2(5)(215)m m m --=+，解得：1m =-或54，若1m =-，则21S =-，424S S -=-，6416S S -=-，所以8664S S -=-，故8664216485S S m =-=-=-；到此结合选项已可确定选C ，另一种情况我也算一下，若54m =，则2504S =>，而2222412341212122()(1)(1)S a a a a a a a q a q a a q S q =+++=+++=++=+，所以4S 与2S 同号，故40S >，与题意不符；综上所述，m 只能取1-，此时885S =-.解法2：已知和要求的都只涉及前n 项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1，若{}n a 的公比1q =，则612162142S a S a =≠=，不合题意，所以1q ≠，故414(1)51a q S q -==--①，又6221S S =，所以6211(1)(1)2111a q a q q q--=⋅--，化简得：62121(1)q q -=-②，又62322411()(1)(1)q q q q q -=-=-++，代入②可得：2242(1)(1)21(1)q q q q -++=-③，两端有公因式可约，但需分析21q -是否可能为0，已经有1q ≠了，只需再看q 是否可能等于1-，若1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故式③可化为24121q q ++=，整理得：42200q q +-=，所以24q =或5-（舍去），故要求的8241118(1)[1()]255111a q a q aS q q q--===-⋅---④，只差11aq-了，该结构式①中也有，可由24q =整体计算它，将24q =代入①可得21(14)51a q-=--，所以1113a q =-，代入④得81255853S =-⨯=-.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，o 120APB ∠=，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为o 45，则（）（A ）该圆锥的体积为π（B ）该圆锥的侧面积为（C ）AC =（D ）PAC ∆答案：AC解析：A 项，因为2PA =，o 120APB ∠=，所以o 60APO ∠=，cos 1OP AP APO =⋅∠=，sin OA AP APO =⋅∠=，从而圆锥的体积211133V Sh ππ==⨯⨯⨯=，故A 项正确；B 项，圆锥的侧面积2S rl ππ===，故B 项错误；C 项，要求AC P O --还没用，观察发现PAC ∆和OAC ∆都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC 中点Q ，连接PQ ，OQ ，因为OA OC =，PA PC =，所以AC OQ ⊥，AC PQ ⊥，故PQO ∠即为二面角P AC O --的平面角，由题意，o 45PQO ∠=，所以1OQ OP ==，故AQ ==，所以2AC AQ ==，故C 项正确；D 项，PQ ==，所以11222PAC S AC PQ ∆=⋅=⨯=，故D 项错误.10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多选）设O 为坐标原点，直线1)y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）（A ）2p =（B ）83MN =（C ）以MN 为直径的圆与l 相切（D ）OMN ∆为等腰三角形答案：AC解析：A 项，在1)y x =-中令0y =可得1x =，由题意，抛物线的焦点为(1,0)F ，所以12p=，从而2p =，故A 项正确；B 项，此处可以由直线MN 的斜率求得MFO ∠，再代角版焦点弦公式22sin pMN α=求MN ，但观察发现后续选项可能需要用M ，N 的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设11(,)M x y ，22(,)N x y，将1)y x =-代入24y x =消去y 整理得：231030x x -+=，解得：13x =或3，对应的y分别为3和-(3,M -，1(,33N ，从而121163233MN x x p =++=++=，故B 项错误；C 项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d 和半径比较，12523x x MN +=⇒的中点Q 到准线:1l x =-的距离8132d MN ==，从而以MN 为直径的圆与准线l 相切，故C 项正确；D 项，M ，N 的坐标都有了，算出OM ，ON即可判断，OM =133ON ==，所以OM ，ON ，MN 均不相等，故D 项错误.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）（A ）0bc >（B ）0ab >（C ）280b ac +>（D ）0ac <答案：BCD解析：由题意，223322()(0)a b c ax bx cf x x x x x x --'=--=>，函数()f x 既有极大值，又有极小值，所以()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，故方程220ax bx c --=在(0,)+∞上有两个不相等实根，所以212120()(()4(2)020)()b a c c x x a b x x a ⎧⎪∆=--->⎪⎪=->⎨⎪⎪+=>⎪⎩保证有两根保证两根同号保证两根只能同③正①②，由①可得280b ac +>，故C 项正确；由②可得0ca<，所以a ，c 异号，从而0ac <，故D 项正确；由③可得a ，b 同号，所以0ab >，故B 项正确；因为a ，c 异号，a ，b 同号，所以b ，c 异号，从而0bc <，故A 项错误.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.（）（A ）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--（B ）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-（C ）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-（D ）当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD解析：A 项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1β-，发送0收到0的概率为1α-，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，故A 项正确；B 项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-，故B 项正确；C 项，采用三次传输方案，由B 项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数~(3,1)X B β-，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P X P X ββββββ=+==-+-=-+-，故C 项错误；D 项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1α-；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数~(3,1)Y B α-，且译码为0的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P Y P Y αααααα=+==-+-=-+-，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，2323(1)(1)(1)(1)[3(1)(1)1](1)(12)ααααααααααα-+---=--+--=--，因为00.5α<<，所以233(1)(1)(1)(1)(12)0ααααααα-+---=-->，从而233(1)(1)1αααα-+->-，故D 项正确.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a ，b满足-=a b 2+=-a b a b ，则=b _____.解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意，22223-=+-⋅=a b a b a b ①，又2+=-a b a b ，所以222+=-a b a b ，故2222244++⋅=+-⋅a b a b a b a b ，整理得：220-⋅=a a b ，代入①可得23=b ，即23=b，所以=b .14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____.答案：28解析：如图，四棱锥1111P A B C D -与P ABCD -相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥1111P A B C D -的体积，11113112111()4228P A B C D P ABCD V A B AB V --==⇒==，所以11118P ABCD P A B C D V V --=，故所求四棱台的体积11117P A B C D V V -=，由题意，1111212343P A B C D V -=⨯⨯=，所以7428V =⨯=.【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直线10x my -+=与⊙22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，写出满足“ABC∆的面积为85”的m 的一个值_____.答案：2（答案不唯一，也可填2-或12或12-）解析：如图，设圆心(1,0)C 到直线AB 的距离为(0)d d >，则12ABC S AB d ∆=⋅，注意到AB 也可用d 表示，故先由85ABC S ∆=求d ，再将d 用m 表示，建立关于m 的方程，又AB ==，所以12ABC S d ∆=⨯=，由题意，85ABC S ∆=85=，结合0d >解得：d =又d ==，所以==，解得：2m =±或12±.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若6AB π=，则()f π=_____.答案：解法1：6AB π=这个条件怎么翻译？可用12y =求A ，B 横坐标的通解，得到AB ，从而建立方程求ω，不妨设0ω>，令1sin()2x ωϕ+=可得26x k πωϕπ+=+或526k ππ+，其中k ∈Z ，由图知26A x k πωϕπ+=+，526B x k πωϕπ+=+，两式作差得：2()3B A x x πω-=，故23B A x x πω-=，又6B A AB x x π=-=，所以336ππω=，解得：4ω=，则()sin(4)f x x ϕ=+，再求ϕ，由图知23π是零点，可代入解析式，注意，23π是增区间上的零点，且sin y x =的增区间上的零点是2n π，故应按它来求ϕ的通解，所以82()3n n πϕπ+=∈Z ，从而823n πϕπ=-，故82()sin(42sin(4)33f x x n x πππ=+-=-，所以2223()sin(4)sin()sin 3332f πππππ=-=-=-=-.解法2：若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可先分析sin y x =与12y =交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，如图1，直线12y =与函数sin y x =在y 轴右侧的三个I ，J ，K 的横坐标分别为6π，56π，136π，所以52663IJ πππ=-=，1354663JK πππ=-=，:1:2IJ JK =，故在图2中:1:2AB BC =，因为6AB π=，所以3BC π=，故2AC AB BC π=+=，又由图2可知AC T =，所以2T π=，故24Tπω==，接下来同解法1.【反思】①对于函数sin()(0)y x ωϕω=+>，若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点是在增区间还是减区间.“上升零点”用2x n ωϕπ+=来求，“下降零点”用2x n ωϕππ+=+来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的线段长度比例关系不变，当涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.17．（2023·新高考Ⅱ卷·17·★★★）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若3ADC π∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求b ，c .解：（1）如图，因为3ADC π∠=，所以23ADB π∠=，（要求tan B ，可到ABD ∆中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出ABD S ∆，从而得到BD ）因为D 是BC 中点，所以2ABC ABD S S ∆∆=，又ABC S ∆=ABD S ∆=，由图可知112sin 1sin 223ABD S AD BD ADB BD π∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯==2BD =，（此时ABD ∆已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB ，再用正弦定理求角B ）在ABD ∆中，由余弦定理，2222212cos 12212()72AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =由正弦定理，sin sin AB AD ADB B =∠，所以1sin sin AD ADB B AB ⋅∠===，由23ADB π∠=可知B为锐角，从而cos B ==，故sin tan cos 5B B B ==.（2）（已有关于bc 的一个方程，若再建立一个方程，就能求b 和c ，故把面积和中线都用b ，c 表示）由题意，1sin 2ABC S bc A ∆==，所以sin bc A =①，（中线AD 怎样用b ，c 表示？可用向量处理）因为D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+ ，从而2AD AB AC =+ ，故22242AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以222cos 4c b cb A ++=，将228b c +=代入上式化简得cos 2bc A =-②，（我们希望找的是b ，c 的方程，故由①②消去A ，平方相加即可）由①②得222222sin cos 16b c A b c A +=，所以4bc =③，由228b c +=可得2()28b c bc +-=，所以4b c +==，结合式③可得2b c ==.18．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >.解：（1）（给出了两个条件，把它们用1a 和d 翻译出来，即可建立方程组求解1a 和d ）由题意，414632S a d =+=①，31231231111(6)2(6)62()26441216T b b b a a a a a d a d a d =++=-++-=-++++-=+-=②，由①②解得：15a =，2d =，所以1(1)23n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得21()(523)422n n n a a n n S n n +++===+，（要证结论，还需求n T ，由于n b 按奇偶分段，故求n T 也应分奇偶讨论，先考虑n 为偶数的情形）当(5)n n >为偶数时，12n nT b b b =++⋅⋅⋅+12341(6)2(6)2(6)2n n a a a a a a -=-++-++⋅⋅⋅+-+13124()62()2n n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅+-⨯+++⋅⋅⋅+③，因为131,,,n a a a -⋅⋅⋅和24,,,n a a a ⋅⋅⋅分别也构成等差数列，所以211131()(521)32242n n n a a n n n n a a a --++++++⋅⋅⋅+===，2224()(723)52242n n n a a n n n n a a a ++++++⋅⋅⋅+===，代入③化简得：222353732222n n n n n n n T n +++=-+⨯=，（要由此证n n T S >，可作差比较）所以2237(4)022n n n n n n T S n n 2+--=-+=>，故n n T S >；（对于n 为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当(5)n n >为奇数时，2113(1)7(1)2n n n n n T T b +++++=-=-2213(1)7(1)351022(25)22n n n n n a n +++++-=-+=，所以223510(4)2n n n n T S n n +--=-+2310(2)(5)022n n n n --+-==>，故n n T S >；综上所述，当5n >时，总有n n T S >.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+.当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c 的频率为0.5%，可由此求c ）由患病者的图可知，[95,100)这组的频率为50.0020.010.005⨯=>，所以c 在[95,100)内，且(95)0.0020.005c -⨯=，解得：97.5c =；（要求()q c ，再来看未患病者的图，()q c 是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c ）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(10097.5)0.0150.0020.035-⨯+⨯=，所以() 3.5%q c =.（2）（[95,105]包含两个分组，故应分类讨论）当95100c ≤<时，()(95)0.002p c c =-⨯，()(100)0.0150.002q c c =-⨯+⨯，所以()()()0.0080.82f c p c q c c =+=-+，故()0.0081000.820.02f c >-⨯+=①；当100105c ≤≤时，()50.002(100)0.012p c c =⨯+-⨯，()(105)0.002q c c =-⨯，所以()()()0.010.98f c p c q c c =+=-，故()(100)0.011000.980.02f c f ≥=⨯-=②；所以0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩，且由①②可得min ()0.02f c =.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，o 60ADB ADC ∠=∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA = ，求二面角D AB F --的正弦值.解：（1）（BC 和DA 是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设BC DA ⊥，注意到条件中还有DB DC =，所以BC DE ⊥，二者结合可得到BC ⊥面ADE ，故可通过证此线面垂直来证BC DA ⊥）因为DA DB DC ==，o 60ADB ADC ∠=∠=，所以ADB ∆和ADC ∆是全等的正三角形，故AB AC =，又E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，因为AE ，DE ⊂平面ADE ，AE DE E = ，所以BC ⊥平面ADE ，又DA ⊂平面ADE ，所以BC DA ⊥.（2）（由图可猜想AE ⊥面BCD ，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设2DA DB DC ===，则2AB AC ==，因为BD CD ⊥，所以BC ==，故12DE CE BE BC ====AE ==所以2224AE DE AD +==，故AE DE ⊥，所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，D，B ，所以(DA =，AB = ，由EF DA = 可知四边形ADEF 是平行四边形，所以FA ED == ，设平面DAB 和平面ABF 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则111100DA AB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ m m ，令11x =，则1111y z =⎧⎨=⎩，所以(1,1,1)=m 是平面DAB的一个法向量，22200AB FA ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ n n ，令21y =，则2201x z =⎧⎨=⎩，所以(0,1,1)=n 是平面ABF 的一个法向量，从而cos ,⋅<>===⋅m n m n m n D AB F --的正弦值为=21．（2023·新高考Ⅱ卷·21·★★★★）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.解：（1）设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由c e a==可得2a =，4b ==，双曲线方程为221416x y -=.（2）由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<，与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>，则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m m m y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----，由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-，据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（2023·新高考Ⅱ卷·22·★★★★）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos ln(1)f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.解：（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.当0a ≠时，令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin ,1,11x f x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x+-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，所以()()2222201x b x b f x x +-'>>-，即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，则()()3322322201x f x b x b x b x b x'<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；综上所述：22b >，即22a >，解得aa <故a 的取值范围为(),-∞+∞ .。

教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析2023年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷。

高考数学全国卷全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。

一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。

一是重点考查逻辑推理素养。

如新课标Ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。

又如新课标Ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。

再如全国乙卷理科第21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。

二是深入考查直观想象素养。

如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。

又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。

再如新课标Ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。

三是扎实考查数学运算素养。

试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。

如新课标Ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。

【高考真题】2024年高考英语真题试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

第二部分阅卷人一、阅读(共两节，满分50分)第一节(共15小题；每小题2.5分，满分37.5分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

得分阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

HABITAT RESTORATIONTEAMHelp restore and protect Marin's natural areas from the Marin Headlands to Bolinas Ridge.We'll explore beautiful park sites while conducting invasive(侵入的)plant removal,winter planting,and seed collection.Habitat Restoration Team volunteers play a vital role in restoring sensitive resources and protecting endangered species across the ridges and valleys.GROUPSGroups of five or more require special arrangements and must be confirmed in advance.Please review the List of Available Projects and fill out the Group Project Request Form.AGE,SKILLS,WHAT TO BRINGVolunteers aged10and over are welcome.Read our Youth Policy Guidelines for youth under the age of15.Bring your completed Volunteer Agreement Form.Volunteers under the age of18must have the parent/guardian approval section signed.We'll be working rain or shine.Wear clothes that can get dirty.Bring layers for changing weather and a raincoat if necessary.Bring a personal water bottle,sunscreen,and lunch.No experience necessary.Training and tools will be provided.Fulfills(满足)community service requirements. UPCOMING EVENTSTime Meeting LocationSunday,Jan.1510:00am-1:00pm Battery Alexander TrailheadSunday,Jan.2210:00am-2:30pm Stinson Beach Parking LotSunday,Jan.299:30am-2:30pm Coyote Ridge Trailhead 1．What is the aim of the Habitat Restoration Team?A．To discover mineral resources.B．To develop new wildlife parks.C．To protect the local ecosystem D．To conduct biological research.2．What is the lower age limit for joining the Habitat Restoration Team?A．5.B．10.C．15.D．18.3．What are the volunteers expected to do?A．Bring their own tools.B．Work even in bad weather.C．Wear a team uniform D．Do at least three projects.阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I 绝密★启用前卷）1. 项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦数（适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江、江西、安徽、河南）学注意事项：干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选.已知集合=−<<=−−A xx B 3}{∣55,{3,1,0,2,3}，则A B =（）A−{1,0} B.{2,3} C. −−{3,1,0} D. 2. −{1,0,2}若z −z1=+1i ，则z =（）A.−−1i B.−+1i C. −1i D. 3. +1i 已知向量a b x ==(0,1),(2,)，若b b a ⊥−(4)，则x =（）A. −2 B. 4. D. C. −112已知 αβαβ+==mcos(),tan tan 2，则cos()αβ−=（）A. −3m B. −m 3C.m 3D. 5. 3m，则圆锥的体积为（）AB.C.D.6. 已知函数⎩++≥−−−<⎧x x x ax a x x e ln(1),0f x ()=⎨2,0在R 上单调递增，则a 的2取值范围是（）A.−∞(,0] B.−[1,0] C. −[1,1] D. 7. +∞[0,)当[0,2]πx 时，曲线y x =sin 与⎝⎭⎪⎛⎫y x π=−6 D. C. B. 2sin 3的交点个数为（）468f x ()的定义域为R A. 38. 已知函数，，>−+−f x f x f x ()(1)(2)且当x <3时f x x ()=，则下列结论中一定正确的是（）.A. f >(10)100B. f >(20)1000C.f <(10)1000 D. 要求. 全部选对得6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分. f <(20)10000在每小题给出的选项中，有多项符合题目为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x =2.1，样本方差s =0.012，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N )(1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N x s ,2)(，则（）（若随机变量Z 服从正态分布N)(μσ,2， P Z <+≈μσ()0.8413）A. P X >>(2)0.2 B. P X ><(2)0.5 C.P Y >>(2)0.5 D. 10. P Y ><(2)0.8设函数 f x x x ()(1)(4)=−−2，则（）A.x =3是f x ()的极小值点 B. 当<<x 01时，f x f x()<2)C. (当<<x 12时，−<−<f x D. 4(21)0当x−<<10时，11. 设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:−>f x f x (2)()横坐标大于−2，到点F (2,0)的距离与到定直线 x a a =<(0)的距离之积为4，则（）A. B. a =−2点D. C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为在C 上1当点,)在C (x y 00上时，x 0+4212. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分y 0≤.设双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222左右焦点分别为、F F 12，过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若||13,||1013. ，则C F A AB 1==的离心率为___________．若曲线=+y x e x 在点(0,1)处的切线也是曲线=++y x a ln(1)的切线，则张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________分别标有数字2，4，6，81，3，5，714. a =__________.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一.的15. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin =C B，a b c （1）求B ；（2）222+−=若ABC的面积为16. c 3．已知A (0,3)和⎝⎭⎪⎛⎫P 23,3椭圆+=>>a bC a b x y :1(0)22（1）求C 的离心率;（2）若过P 上两点22.的直线l 交C 于另一点B ，且ABP17. 的面积为9，求l 的方程．如图，四棱锥−P ABCD 中，底面ABCD PA ⊥，PA AC ==2，BC AB == （1）1,．若⊥AD PB ，证明：（2）PBC AD //平面；若⊥AD DC ，且二面角−−A CP D正弦值为7，求AD ．为18. 已知函数 2−=++−f x ax b x x()ln(1)（1）x3若b =0，且 x ≥f '()0，求（2）a 的最小值；证明：曲线（3）y f x =()是中心对称图形；若f x >−()2当且仅当<<x 12，求19. 设m b 的取值范围．为正整数，数列a a a a 1242,,...,m +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i 和a i j j (<)后剩余的4m 项可被平均分为 组，且每组的m 个数都能构成等差数列，则称数列a a a 1242,,...,m +是（1）(i j ,)−可分数列．写出所有的(i j ,)，≤<≤i j 16，使数列 ,,...,a a a 126是（2）(i j ,)−可分数列；当m ≥3时，证明：数列,,...,m +a a a 1242是（3）(2,13)−可分数列；从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和<j i j )(，记数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的概率为P m ，证明：P >m 81．1.【答案】A 【详解】参考答案因为=<<=−−A x x B |,3,1,0,2,3{}{，且注意到<<12从而AB ，=故选：A.2.【答案】C 【详解】{−1,0}.因为−−−==+=+z z z 11111i z z −+111，所以z =+=−i 11i (4故选：C.3【答案】D 1.【详解】因为)b b a ⊥−，所以)b b a (40⋅−= ，所以b a b −⋅=240即+−=440x x 2，故 故选：D.4.【答案】A x =2，【详解】因为cos (αβ+=)m ，所以 cos cos sin sin αβαβ−=m ，而tan tan 2αβ=，所以= ααβsin sin 2cos cos ，故cos cos 2cos cos αβαβ−=m 即cos cos αβ=−m ，从而sin sin 2αβ=−m ，故cos 3αβ−=−m )故选：A.5. 【答案】B (，【详解】设圆柱的底面半径为r，而它们的侧面积相等，所以=π2πr r=，故r =3，故圆锥的体积为3故选：B.6. 【答案】B 【详解】π⨯=91.因为f x ()在R 上单调递增，且x ≥0时，f x x x)(()=++e ln 1单调递增，则需满足()⎩−≤+⎪⨯−⎪ ⎨⎧−≥21a e ln1−2a0−≤≤10a 0，解得，.即a 的范围是T =2πy x =sin 故选：B.7. 【答案】C 【详解】−[1,0].因为函数的的最小正周期为，函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3π的最小正周期为 T =32π，所以在x ∈[0,2π]上函数⎝⎭⎪y x ⎛⎫=−62sin 3x <8. 【答案】B 【详解】由图可知，两函数图象有6个交点.故选：π有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：C 因为当3时 f x x()=，所以f f (1)1,(2)2==，又因为>−+−f x f x f x ()(1)(2)，则f f f f f f (3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5>+=>+>，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21，>+>>+>>+>f f f f f f f f f (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89，f f f f f f f f f >+>>+>>+>11)377(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(>+>>+>f f f f f f (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987，>+>>f f f (16)(15)(14)15971000，则依次下去可知且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.9. 【答案】，则B f >(20)1000正确；BC【详解】依题可知，x s ==2.1,0.012，所以(2.1,0.1YN)，故P Y P Y P Y )() ()，C 正确，D (>=>−=<+≈>2 2.10.1 2.10.10.84130.5错误；因为(1.8,0.1XN )，所以P X P X )()(>=>+⨯2 1.820.1，因为P X )(<+≈1.80.10.8413，所以 P X )(>+≈−=<1.80.110.84130.15870.2，而P X P X P X )()()故选：BC ．10. 【答案】ACD 【详解】对A ，B 正确，A (>=>+⨯<>+<2 1.820.1 1.80.10.2错误，，因为函数f x 的定义域为R ()，而'f x x x x x x 2))(())()((()=−−+−=−−2141313，易知当x ∈(1,3)时，'f x ()<0，当x ∈−(∞,1)或x ∈+(3,∞)时，'f x ()>0函数f x ()在(−∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，故x =3是函数f x 点，正确；对B ()的极小值，当<<x 01时，x x x x −=−>2)(10，所以>>>10x x 2，而由上可知，函数f x ()在(0,1)上单调递增，所以f x f x2)对C ()>(，错误；，当<<x 12时，<−<x 1213，而由上可知，函数 f x ()在(1,3)上单调递减，所以f f x f ())()>−>(1213，即−<−<f x 4210)对D (，正确；，当x −<<10时，−−=−−−−−−=−−>f x f x x x x x x x (2)()12141220222))()()()(()(，所以故选：ACD.11. 【答案】ABD 【详解】对于A −>f x f x (2)()，正确；：设曲线上的动点P x y (,)，则x >−2x a −=4，a04−=，解得对于B ，故A 正确a =−2.x +=24，而x >−2，x +=24)(.当x y ==0=−=2844)(，故)对于C 在曲线上，故B 正确(.：由曲线的方程可得()x +y x =−−216222(2)，取x =23，则494y 2641=−，而⨯−−=−=>−49449449410641645256245，故此时y 2>1，故对于D 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误C .：当点,)在曲线上时，由C (x y 00的分析可得()()++x x 2216160022y x 00=−−≤22(2)，故 −≤≤x x 00++4422故选：ABD.12. ，故D 正确y 0.【答案】2【详解】3由题可知,,A B F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将=x c 代入a b −=x y12222得a y =±b 2，即⎝⎭⎝⎭−⎛⎫⎛⎫a a A c B c ⎪ ⎪,,,b b 22，故a AB ==102b 2，a AF ==52b 2，又AF AF a −=212，得AF AF a a 12=+=+=22513，解得a =4，代入a=5b 2得b 2=20，故c a b 222=+=36,，即c =6，所以a e ===c 4263.故答案为：213. 3【答案】【详解】ln 2由=+y x e x得y '|e 12x =0=+=0y '=+e 1x ，，故曲线=+y xe x在(0,1)处的切线方程为y x =+21；由=++y x a ln 1)(得 x +y '=11，设切线与曲线=++y x a ln 1) (相切的切点为,ln 100()(x x a )++，由两曲线有公切线得y '==x 0+112，解得2x 01=−，则切点为⎝⎭ ⎪−+ ⎛⎫a 22,ln 11，切线方程为⎝⎭ ⎪=+++=++− ⎛⎫y x a x a 222ln 21ln 211，根据两切线重合,所以 a −=ln 20，解得a =ln 2.故答案为：14. ln 2【答案】2【详解】1##0.5设甲在四轮游戏中的得分分别为,,,X X X X 1234，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率⨯===P X k 448163)(，所以 E X k k (1,2,3,4))==83(.从而==E X E X X X X E X k k k823311123444)( )∑∑(()=+++===.记p P X k k k ===)(0,1,2,3)如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8(.，所以A 24114如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6p 0==4；，所以A 24114p 3==4.而的所有可能取值是0，1，2，3X ，故p p p p 0123+++=1，223p p p E X 1233++==().所以12p p 12++=11，822p p 1213++=，两式相减即得242p 211+=，故 2所以甲的总得分不小于2p p 231+=.的概率为 2p p 231+=.故答案为： 215.【答案】（11.） B =3（2π）a b c ab C +−=【小问1详解】由余弦定理有2cos 222，对比已知a b c 222+−=，可得+−ab ab a b c 222cos C ===222，因为C ∈(0,π)，所以sin 0C >，从而C ===2 sin ，又因为sin =C B ，即 2cos B =1，注意到B ∈(0,π)，所以 B =3【小问2详解】由（1π.）可得B =3π，2cos C =，C ∈0,π()，从而C =4π，A =−−=3412 π5πππ，而⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫A ==+=+⨯=124622224sin sin sin 1ππ5π，由正弦定理有==a b c1234sin sin sin ππ5π，从而==== +a c b c 4222,1，由三角形面积公式可知，ABCSab C c c c 的面积可表示为ABC==⋅⋅= +222228sin 由已知21113，ABC的面积为+3，可得 c 8=332所以16. 【答案】（1c =）2（2）1直线l 的方程为3260【解析】【小问1x y −=x y −−=或20.详解】由题意得⎪+=⎪⎪⎪⎧14⎨99⎩a b b =322⎩a ，解得=⎨212⎧b 2=9，所以e ===21【小问2.详解】法一：−k AP==−03223−AP 13，则直线的方程为 y x =−+231，即x y +−=260，==AP ，由（1）知+= x y 129C :122，设点B 到直线AP的距离为d，则d ==25，则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移5单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：x y C ++=20，=5，解得C =6或C =−18，当C =6时，联立⎪⎩x y ++=⎪260⎨129+=1⎧x y 22，解得⎩y =−⎨3⎧x =0或⎩⎪⎨y ⎧=−23⎪x =−3，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，当B (0,3−)时，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即3260x y −−=，当⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3时，此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，当C =−18时，联立⎪⎩x y +−=⎪2180⎨129+=1⎧x y 22得2271170，此时该直线与椭圆无交点27421172070y y 2−+=，∆=−⨯⨯=−<2.综上直线 l 的方程为x y −−=3260或x y −=20.法二：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP 的距离 d =5，B x y ,00)(，则⎩⎪⎪=129+=1x y 0022，解得⎩⎪⎨⎧2y 0=− 3⎪x 0=−3或⎩y 0=−⎨3⎧x 0=0，设即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,，以下同法一3.法三：同法一得到直线AP 的方程为B x y +−=260，点到直线AP的距离 d =5，设B ,3sin θθ)(，其中θ∈π[0,2)= 5，联立cos sin 1θθ+=22，解得⎩⎪⎨⎪⎧2⎪sin θ=−21⎪cos θ=−或⎩θ⎨=−θ=sin 1⎧cos 0，即B (0,3−)或⎝⎭⎪−−⎛⎫23,3，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B SPAB(0,3−)，=⨯⨯=26391，符合题意，此时k l =23，直线l 的方程为2y x =−33，即x y −−=3260，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx =+3，联立椭圆方程有⎪⎩⎪129+=1⎨x y ⎧y kx =+322，则43240k x kx 22++=)(，其中k k ≠AP ，即k ≠−21，解得x =0或x =43k 2−24k +，k ≠0， k ≠−21，令x =43k 2−24k +，则+k y =k 43−+12922，则⎝⎭++ ⎪−−+⎛⎫k k B k k 4343 ,24129222同法一得到直线AP 的方程为x y +−=260，点B 到直线AP的距离 d =5，=，解得32 k，此时⎝⎭ ⎪−−⎛⎫B 23,3，则得到此时k l=21，直线l 的方程为 =y x 21，即x y −=20，综上直线 l 的方程为3260x y −=20x y −−=或.法五：当l 的斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当l 的斜率存在时，设−=−2PB y k x :(3)3，令P x y B x y ,,,1122))((，⎪⎪⎪⎪x y ⎩⎧y k x =−+129+=12(3)⎨322，消y 可得+−−+−−=2222 ))(Δ(4324123636270k x k k x k k ，=−−+−−>2222)(()k k ≠)(24124433636270k kk k k ，且AP ，即k ≠−21，⎩+⎪⎨⎪−⎧k 43363627,432⎪x x 12=k k 2−−PB ==k 2+⎪x x 12+=2412k k 2，A 到直线PB 距离9PABd S===21 ，∴=k 21或23，均满足题意，∴=l y x 2:1或2y x =−33，即x y −−=3260或x y −=20.法六：当l斜率不存在时，⎝⎭⎪=−=⎛⎫l x B PB A 2:3,3,,3, 3到PB 距离d =3，此时SABP=⨯⨯=≠ 22339不满足条件19.当直线l 斜率存在时，设2l y k x :(3)=−+3，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则⎝⎭⎪ ⎛⎫Q k 20,3−+3，联立⎪⎨⎩⎪y kx k ⎧=−+343623x y 223+=，则有⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k x k k x k k ，⎛⎫ ⎪⎝⎭32222)(34833636270+−−+−−=k xk k x k k ，其中⎝⎭ ⎪⎛⎫2834343636270Δ=−−+−−>k k k k k 3222)2()(，且k ≠−21，则==++−−−−k kx x B B 3434 3,3636271212922k k k k 22，则+=−=+=S AQ x x k k +P B 2223439k 11312182，解的k =21或32 的，经代入判别式验证均满足题意k .则直线l 为=y x 21或y x =−233，即x y −−=3260或（217. 【答案】（1）x y −=20.证明见解析PA 【解析】【小问1详解】（1）因为⊥平面ABCD ，而 AD ⊂平面ABCD ，所以⊥PA AD ，又⊥AD PB ，PBPA P =，⊂PB PA ,平面PAB ，所以AD ⊥平面 PAB ，而PAB AB ⊂平面，所以 ⊥AD AB .因BC AB AC +=222，所以，⊥BC AB 根据平面知识可知AD BC //，又⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以AD //平面【小问2详解】如图所示，过点D PBC ．作⊥DEAC E ，再过点E 作⊥EF CP 于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面=ABCD AC ，所以⊥DE 平面 PAC ，又⊥EF CP ，所以 CP ⊥平面DEF ，根据二面角的定义可知，∠DFE 即为二面角−−A CP D 的平面角，即DFE 7sin ∠=，即 ∠=DFE tan 因为⊥AD DC ，设=AD x，则=CD，由等面积法可得，DE =2，又CE ==24−x2，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =2，故∠==DFE tan 22x =AD =．为18. 【答案】（1）（3（2）−2证明见解析）b ≥−3b =0【解析】【小问12详解】时，−xf x ax ()=+ln2x，其中x ∈(0,2)，则()− '−x x x x f x a a x ,0,2()()=++=+∈11222，因为⎝⎭x x ⎛⎫⎪2−+2x x2)(21−≤=，当且仅当x =1时等号成立，故=+'f x a 2min ()，而'f x ()≥成立，故a +≥20即a ≥−2，所以a 的最小值为【小问2.−2，详解】−xf x ax b x 3) (()=++−ln12x 的定义域为(0,2)，设P m n(,)为=y f x ()图象上任意一点，P m n (,)关于(1,a )的对称点为Q m a n (2,2−−)，因为P m n ,)(在=y f x ()图象上，故=++−n am b m 2−m mln 1 3)(，而⎣⎦⎢⎥⎡⎤−m m 2f m a m b m am b m a −2m m 33)())(()=−+(2ln221ln 12−=+−+−−=−++−+，n a 2，所以Q m a n(2,2−−)也在=y f x ()图象上，由P 的任意性可得=y f x ()图象为中心对称图形，且对称中心为【小问3(1,a ).详解】因为f x ()>−2当且仅当<<x12，故x =1为f x ()=−2的一个解，所以f)=−(12即a =−2，先考虑<<x12时，f x 恒成立()>−2.此时f x ()>−2即为+−+−>2−x x ln21103) )((x b x 在(1,2)上恒成立，设t x =−∈10,1()，则1−−+>tln 20t bt t +13(0,1)上恒成立，设−g t t bt t 3()()=−+∈ln 2,0,11t +1t，则−'−t tg t bt 112−++32322232 t bt b 22)()(=−+=，当b ≥0，−++≥−++=>32332320bt b b b 2，故'g t ()>0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00 ()>=即f x 上恒成立(1,2()>−2在).当−≤<3b 0 2时，−++≥+≥323230bt b b 2，故'g t ()≥0恒成立，故 g t ()在(0,1)上为增函数，故g t g )(00()>=即 f x ()>−2在上恒成立(1,2).当b <−32，则当<<<t 01时，'g t ()<0故在⎝ ⎛上g t ()为减函数，故g t g)(00()<=，不合题意，舍；综上，f x ()>−2在(1,2)上恒成立时 b ≥−2.3而当 b ≥−32时，而b ≥−32时，由上述过程可得g t ()在(0,1)递增，故 g t ()>0的解为(0,1)，即 f x >−2()的解为(1,2).综上， b ≥−19. 【答案】（12.3） )()()（3）(1,2,1,6,5,6证明见解析（2(i j ,)−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可；）根据(i j ,)−可分数列的定义即可验证结论；在（3）证明使得原数列是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有2),,...,m 【小问1详解】个，再使用概率的定义(m m +−1.首先，我们设数列+a a a 1242的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形'=+=+da k m ka a k 11,2,...,42−1)(，得到新数列a k k m '==+k(1,2,...,42)，然后对,,...,m '''+进行相应的讨论即可a a a 1242.换言之，我们可以不妨设a k k m ==+k 回到原题，第1，此后的讨论均建立在该假设下进行(1,2,...,42).小问相当于从中取出两个数 i 和j i j ，使得剩下四个数是等差数列(<).那么剩下四个数只可能是 1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(i j ,)就是)()()m 【小问2详解】(1,2,1,6,5,6.由于从数列+1,2,...,42中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,61,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14}}{}{{，共3组；②{m m m m −++}} }{{15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42，共m −3组.（如果，则忽略②m −=30）故数列m +1,2,...,42是【小问3可分数列(2,13)−.详解】定义集合=+==+A k k m m }}{{410,1,2,...,1,5,9,13, (41)=+==+B k k m m}}{ {420,1,2,...,2,6,10,14,...,42.下面证明，对≤<≤+i j m 142，如果下面两个命题同时成立，则数列 1,2,...,42m +一定是 命题1(i j ,)−可分数列：：∈∈i A j B ,或命题2∈∈i B j A ,；：我们分两种情况证明这个结论j i −≠3..第一种情况：如果∈∈i A j B ,，且j i −≠3.此时设j k =+422i k =+411，，∈,0,1,2,...,k k m 12}{.则由i j <可知4142k k 12+<+，即 4k k 211−>−，故k k ≥21.此时，由于从数列 m +1,2,...,42中取出i k =+411和 j k =+422后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②++++++++−−+111111112222}}{}{{42,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ，共k k −21组；③++++++++−++22222222}}{ }{ {43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共组m k −2.（如果某一部分的组数为 0，则忽略之）故此时数列m +1,2, (42)可分数列(i j ,)−.第二种情况：如果∈∈i B j A ,，且j i −≠3.此时设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,..., k k m 12}{.则由<i j 可知4241k k 12+<+，即 4k k 211−>，故k k >21.由于j i −≠3，故+−+≠21))((41423k k ，从而k k 21−≠1，这就意味着k k 21−≥2.此时，由于从数列m +1,2,...,42中取出i k =+421和j k =+412后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①−−−1111}}{k k k k}{{1,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4，共k 1组；②+++++++1121212}{41,31,221,31k k k k k k k ，+++++++1212122 }{32,222,32,42k k k k k k k ，共③2组；全体+++++++1121212} {4,3,22,3k p k k p k k p k k p ，其中3,4,...,21=−p k k ，共k k 21−−2组；④++++++++−++22222222}}{ }{{43,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ，共m k −2组.（如果某一部分的组数为这里对②和③进行一下解释：将③0，则忽略之）中的每一组作为一个横排，排成一个包含4k k 21−−2个行，个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：+++1112}{43,44,...,3k k k k ，+++++121212}{33,34,...,22k k k k k k ，+++++121212}{223,223,...,3k k k k k k ，++++33,34,...,412122}{k k k k k . 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍+++112}{41,42,...,42k k k 中除开五个集合++11}{41,42k k ，++++1212}{31,32k k k k ，221,222k k k k 1212++++}{，++++31,321212}{k k k k ，++22}中的十个元素以外的所有数{41,42k k .而这十个数中，除开已经去掉的42 k 1+和41以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数k 2+.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列m +1,2,...,42是可分数列(i j ,)−.至此，我们证明了：对≤<≤+i j m ，如果前述命题1和命题2142同时成立，则数列的个数(i j ,可分数列.(i j ,)m +1,2,...,42一定是−然后我们来考虑这样的).首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有个元素，故满足命题1m +1的(i j ,)总共有2(m +1)个；而如果j i −=3，假设∈∈i A j B ,，则可设i k =+411，j k =+422，代入得+−+=21 ))((42413k k .但这导致 2k k 211−=，矛盾，所以∈∈i B j A ,.设i k =+421，j k =+412，∈,0,1,2,...,k k m 12}{，则+−+=21) )((41423k k ，即k k 21−=1.所以可能的,)(k k 12恰好就是(0,1,1,2,...,1,)()(m m −)，对应的m m (i j ,)分别是−+2,5,6,9,...,42,41)()()(，总共个m .所以这2个满足命题1(m +1)的)中，不满足命题2(i j ,的恰好有这就得到同时满足命题1和命题2个m .的(i j ,)的个数为2)(m m +−1.当我们从m +1,2,...,42中一次任取两个数i 和j i j (<)时，总的选取方式的个数等于=++2)((2141m m))()(4241m m ++.而根据之前的结论，使得数列,,...,m +a a a 1242是(i j ,)−可分数列的(i j ,)至少有 2)个(m m +−1.所以数列a a a 1242,,...,m +是(i j ,)−可分数列的概率))))P m 一定满足(()(()(()(()⎝⎭ ⎪P ⎛⎫≥=>==m m ++214121412142221218m m m m m m m m m +m ++++++++42m m ++11122212)这就证明了结论(m m +−1..。

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）（适用地区:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江、江西、安徽、河南）语文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读1（本题共5小题，19分）阅读下列文字，完成下面小题。

材料一：（四五）中国由劣势到平衡到优势，日本由优势到平衡到劣势，中国由防御到相持到反攻，日本由进攻到保守到退却——这就是中日战争的过程，中日战争的必然趋势。

（四六）于是问题和结论是：中国会亡吗？答复：不会亡，最后胜利是中国的。

中国能够速胜吗？答复：不能速胜，必须是持久战。

这个结论是正确的吗？我以为是正确的。

（四七）讲到这里，亡国论和妥协论者又将跑出来说：中国由劣势到平衡，需要有同日本相等的军力和经济力；由平衡到优势，需要有超过日本的军力和经济力；然而这是不可能的，因此上述结论是不正确的。

（四八）这就是所谓“唯武器论”，是战争问题中的机械论，是主观地和片面地看问题的意见。

我们的意见与此相反，不但看到武器，而且看到人力。

武器是战争的重要的因素，但不是决定的因素，决定的因素是人不是物。

力量对比不但是军力和经济力的对比，而且是人力和人心的对比。

军力和经济力是要人去掌握的。

如果中国人的大多数、日本人的大多数、世界各国人的大多数是站在抗日战争方面的话，那末，日本少数人强制地掌握着的军力和经济力，还能算是优势吗？它不是优势，那么，掌握比较劣势的军力和经济力的中国，不就成了优势吗？没有疑义，中国只要坚持抗战和坚持统一战线，其军力和经济力是能够逐渐地加强的。

而我们的敌人，经过长期战争和内外矛盾的削弱，其军力和经济力又必然要起相反的变化。