3.1.1数系的扩充和复数的概念(公开课)

实数 b 0 非0实数(a 0，b 0)
复数z a bi (a,b R)
虚数
纯虚数 a 0，b 0
b
0
非纯虚数
a 0，b 0
复数集 虚数集
实数集 纯虚数集
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
R C
NZ QRC
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部。
a c
a bi c di b d
注：1) a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
等，而不能比较大小了.
例2: 已知 (2x 1) i y (3 y)i ，
其中 x, y R, 求 x与y.
解题思考：
复数相等 转化 求方程组的解
的问题
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
a bi
c di
a c b d
计数的需要 自然数（正整数与零）
表示相反意义的量 解方程 x+3=1
整数
测量、分配中的等分 解方程 3 x=5
有理数
RQ Z N
度量的需要 解方程 x2=2
实数 C
但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存 在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即 虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学 家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这
种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作 用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系 的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足
(1) i 21；
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算

(3)要使 z 为纯虚数，必须有 m2－4≠0， m2－3m＋2＝0. 所以mm≠ ＝－1或2m且＝m≠ 2，2， 所以 m＝1，即 m＝1 时，z 为纯虚数．
探究三 复数相等
[典例 3] 根据下列条件，分别求实数 x，y 的值． (1)x2－y2＋2xyi＝2i； (2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i. [解析] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，x，y∈R， ∴2xx2－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11，， 或xy＝＝－－11.， (2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且 x，y∈R，
－2i. 答案：A
3．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 解析：当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对； 若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则xx22－ ＋13＝ x＋0， 2≠0， 即 x＝1，故②错． 答案：③
解析：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为 b，故选 B.
答案：B
2．下列复数中，和复数－1＋i 相等的复数为( )
A．－1－i
B．1－i
C．1＋i
D．i2＋i
解析：∵i2＝－1，∴i2＋i＝－1＋i，故选 D.
答案：D
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1
A．0
B．1
C．
D．3
解析：27i，(1－ 3)i 是纯虚数，2＋ 7，0,0.618 是实数，8＋5i 是虚数． 答案：C
2．以－ 5＋2i 的虚部为实部，以 5i＋2i2 的实部为虚部的复数是( )

abi
RQZ N
扩
b0虚数
集
特别地，a0 纯虚数
复数集C和实数集R之间有什么关系？
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7
数
系 充
的
虚数 复？数
无理数 实数
扩
分数 有理数
负数
整数
自然数
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8
练习：说明下列数是否是虚数，
并说明各数的实部与虚部.
1 3i
1i
1 3
7
(1)i 5i 8
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9
在复数集 C a b|a i,b R 任
求实x数 , y的值 .
固题
巩 变：已知 x2 y2 2xyi00,
求 实x数 , y的 值 .
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13
1.若复数(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i
(mR) 表示纯虚数的充要条件是_____
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14
2.以2i－5的虚部为实部，以 5 2i
的实部为虚部的复数是______
等 复 取两个数 a b与 ic d（ a i,b ,c,d R )
数 a b c i d ia c,b d
相 特别地，abi0 a0,b0
作用
1.判断两个复数是否相等； 2.求复数值的依据.
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10
例 例1 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i
固 题 是（1）实数？
的i
引 （1）i2 1
入
（2）可以和实数一起进行的四 则运算,原有的加法乘法运算律
仍成立
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5
念复 数 的 概
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）

把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，
你得到什么样的数？ 把实数a与新引入的数i相加，结果记作a+i；把 实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加， 结果记作a+bi,等等.
由于加法和乘法的运算律仍然成立，从而这些运
算的结果都可以写成 a bia,b R 的形式，
所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是
一、教材第106页，A组1、2
x 0 b 3 x x 0,b 3
x 0, y 3i
数系的扩充
复数
z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
2020/2/15
2020/2/15
问题解决:
新知
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
思考 (a, b, c, d R)

a c b d
若a

bi

0(a、b

R)
ba

0 0
2020/2/15
口答
1.若2-3i=a-3i，求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi，求实数b的值；
（3）当m 1 0 ，且 m 1 0，m即m1 m1010时0，复
数 z 是纯虚数．
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变式1：实数m取什么值时，复数 m2 5m 6 m2 3m i是
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）零