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误差、精度与不确定度一、误差的基本概念：1.误差的定义：误差＝测得值－真值；因此，误差是一个值，数学上就是坐标轴上的一个点，是具有正负号的一个数值。
2.误差的表示方法：2.1 绝对误差：绝对误差＝测量值－真值（约定真值）在检定工作中，常用高一等级准确度的标准作为真值而获得绝对误差。
如：用一等活塞压力计校准二等活塞压力计，一等活塞压力计示值为100.5N/cm2，二等活塞压力计示值为100.2N/cm2，则二等活塞压力计的测量误差为-0.3N/cm2。
2.2 相对误差：相对误差＝绝对误差/真值X100％相对误差没有单位，但有正负。
如：用一等标准水银温度计校准二等标准水银温度计，一等标准水银温度计测得20.2℃，二等标准水银温度计测得20.3℃，则二等标准水银温度计的相对误差为0.5%。
2.3 引用误差：引用误差＝示值误差/测量范围上限（或指定值）X100％引用误差是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对误差。
如测量范围上限为3000N的工作测力计，在校准示值2400N处的示值为2392.8N，则其引用误差为-0.3%。
3.误差的分类：3.1 系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
3.2 随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。
3.3 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。
二、精度：1.精度细分为：准确度：系统误差对测量结果的影响。
精密度：随机误差对测量结果的影响。
精确度：系统误差和随机误差综合后对测量结果的影响。
精度是误差理论中的说法，与测量不确定度是不同的概念，在误差理论中，精度定量的特征可用目前的测量不确定度（对测量结果而言）和极限误差（对测量仪器仪表）来表示。
对测量而言，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确度高的准确度与精密度都高，精度是精确度的简称。
目前，不提倡精度的说法。
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
第六节、误差的基本概念由于人们认识能力的局限，科学技术水平的限制，以及测量数值不能以有限位数表示（如圆周率∏）等原因，在对某一对象进行试验或测量时，所测得的数值与其真实值不会完全相等，这种差异即称为误差。
但是随着科学技术的发展，人们认识水平的提高，实践经验的增加，测量的误差数值可以被控制到很小的范围，或者说测量值可更接近于其真实值。
一，真 值真值即真实值，是指在一定条件下，被测量客观存在的实际值。
真值通常是个未知量，一般所说的真值是指理论真值、规定真值和相对真值。
理论真值：理论真值也称绝对真值，如平面三角形三内角之和恒为18O0。
规定真值：国际上公认的某些基准量值，如1960年国际计量大会规定“1m等于真空中氪86原子的2P10和5d5能级之间跃迁时辐射的1650 763.73个波长的长度”。
1982年国际计量局召开的米定义咨询委员会提出新的米定义为“米等于光在真空中1／299792458 秒时间问隔内所经路径的长度”。
这个米基准就当作计量长度的规定真值。
规定真值也称约定真值。
相对真值：计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，此真值称为相对真值）例如，在力值的传递标准中；用二等标准测力机校准三等标准测力计，此时二等标准测力机的指示值即为三等标准测力计的相对真值。
二、误 差根据误差表示方法的不同，有绝对误差和相对误差。
1．绝对误差绝对误差是指实测值与被测之量的真值之差，即但是，大多数情况下，真值是无法得知的；因而绝对误差也无法得到。
一般只能应用一种更精密的量具或仪器进行测量，所得数值称为实际值，它更接近真值，并用它代替真值计算误差。
绝对误差具有以下一些性质：（1）它是有单位的，与测量时采用的单位相同；（2）它能表示测量的数值是偏大还是偏小以及偏离程度；（3）它不能确切地表示测量所达到的精确程度。
2．相对误差相对误差是指绝对误差与被测真值（或实际值）的比值，即：相对误差不仅表示测量的绝对误差，而且能反映出测量时所达到的精度。
实验一误差的基本概念一、实验目的通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。
二、实验原理1、误差的基本概念所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示误差=测得值-真值（一）绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。
绝对误差=测得值-真值（二）相对误差绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。
相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值（三）引用误差所谓引用误差指的是一种简化和使用方便的仪器仪表表示值的相对误差，它以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得的比值称为引用误差。
引用误差=示值误差/测量范围上限2、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
精度可分ⅰ准确度它反映测量结果中系统误差的影响程度ⅱ精密度它反映测量结果中随机误差的影响程度ⅲ精确度它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可以用测量的不确定度来表示。
3、有效数字与数据运算含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
数字舍入规则如下：①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。
②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。
③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。
三、实验内容1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。
2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。
误差的基本概念测量值与真值之差异称为误差，物理实验离不开对物理量的测量，测量有直接的，也有间接的。
由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就是测量误差。
误差与错误不同，错误是应该而且可以避免的，而误差是不可能绝对避免的。
基本概述【英文】：an error; inaccuracy deviation【中文拼音】：wù chā【基本解释】：一个量的观测值或计算值与其真值之差;特指统计误差，即一个量在测量、计算或观察过程中由于某些错误或通常由于某些不可控制的因素的影响而造成的变化偏离标准值或规定值的数量释义误差，物理实验离不开对物理量的测量，测量有直接的，也有间接的。
由于仪器、实验条件、环境等因素的限制，测量不可能无限精确，物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在着一定的差异，这种差异就是测量误差。
设被测量的真值（真正的大小）为a，测得值为x，误差为ε，则：x－a=ε误差与错误不同，错误是应该而且可以避免的，而误差是不可能绝对避免的。
从实验的原理，实验所用的仪器及仪器的调整，到对物理量的每次测量，都不可避免地存在误差，并贯穿于整个实验始终。
测量值与真值之差异称为误差。
测量时，由于各种因素会造成少许的误差，这些因素必须去了解，并有效的解决，方可使整个测量过程中误差减至最少。
测量时，造成误差的主要有系统误差和随机误差，而系统误差有下列情况：视差、刻度误差、磨耗误差、接触力误差、挠曲误差、余弦误差、阿贝 (Abbe) 误差、热变形误差等。
系统误差的大小在测量过程中是不变的，可以用计算或实验方法求得，即是可以预测，并且可以修正或调整使其减少。
这些因素归纳成五大类，详细内容叙述如下：由于人为因素所造成的误差，包括误读、误算和视差等。
而误读常发生在游标尺、分厘卡等量具。
游标尺刻度易造成误读一个最小读数，如在10.00 mm处常误读成10.02 mm或9.98 mm。
分厘卡刻度易造成误读一个螺距的大小，如在10.20 mm常误读成10.70 mm或9.70 mm。
误算常在计算错误或输入错误数据时所发生。
视差常在读取测量值的方向不同或刻度面不在同一平面时所发生，两刻度面相差约在0.3~0.4 mm之间，若读取尺寸在非垂直于刻度面时，即会产生的误差量。
为了消除此误差，制造量具的厂商将游尺的刻划设计成与本尺的刻划等高或接近等高，(游尺刻划有圆弧形形成与本尺刻划几近等高，游尺为凹V形且本尺为凸V形，因此形成两刻划等高。
由于量具因素所造成的误差，包括刻度误差、磨耗误差及使用前未经校正等因素。
刻度分划是否准确，必须经由较精密的仪器来校正与追溯。
量具使用一段时间后会产生相当程度磨耗，因此必须经校正或送修方能再使用。
由于测量时所使用接触力或接触所造成挠曲的误差。
依据虎克定律，测量尺寸时，如果以一定测量力使测轴与机件接触，则测轴与机件皆会局部或全面产生弹性变形，为防止此种弹性变形，测轴与机件应采相同材料制成。
其次，依据赫兹 (Hertz) 定律，若测轴与机件均采用钢时，其弹性变形所引起的误差量测量因素测量时，因仪器设计或摆置不良等所造成的误差，包括余弦误差、阿贝误差等。
余弦误差是发生在测量轴与待测表面成一定倾斜角度，通常，余弦误差会发生在两个测量方向，必须特别小心。
阿贝原理(Abbe’Law)为测量仪器的轴线与待测工件之轴线需在一直在线。
否则即产生误差，此误差称为阿贝误差。
通常，假如测量仪器之轴线与待测工件之轴线无法在一起时，则需尽量缩短其距离，以减少其误差值。
若量表之探针和工件均为平面时，若两平面倾斜一定角度时，其接触的误差为正弦误差。
测量时受环境或场地之不同，可能造成的误差有热变形误差和随机误差为最显着。
热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下，因此必须在温湿度控制下，不可用手接触工件及量具、工件加工后待冷却后才测量。
但为了缩短加工时在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料之热胀系数作为补偿，以因应温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差。
常用各种材料的热膨胀系数如表2-4-2所示。
通常，必须应用下列公式修正：CMR: 工件在20℃时的长度根据误差产生的原因及性质可分为系统误差与偶然误差两类。
系统误差由于仪器结构上不够完善或仪器未经很好校准等原因会产生误差。
例如，各种刻度尺的热胀冷缩，温度计、表盘的刻度不准确等都会造成误差。
由于实验本身所依据的理论、公式的近似性，或者对实验条件、测量方法的考虑不周也会造成误差。
例如，热学实验中常常没有考虑散热的影响，用伏安法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等。
由于测量者的生理特点，例如反应速度，分辨能力，甚至固有习惯等也会在测量中造成误差。
以上都是造成系统误差的原因。
系统误差的特点是测量结果向一个方向偏离，其数值按一定规律变化。
我们应根据具体的实验条件，系统误差的特点，找出产生系统误差的主要原因，采取适当措施降低它的影响。
偶然误差在相同条件下，对同一物理量进行多次测量，由于各种偶然因素，会出现测量值时而偏大，时而偏小的误差现象，这种类型的误差叫做偶然误差。
产生偶然误差的原因很多，例如读数时，视线的位置不正确，测量点的位置不准确，实验仪器由于环境温度、湿度、电源电压不稳定、振动等因素的影响而产生微小变化，等等，这些因素的影响一般是微小的，而且难以确定某个因素产生的具体影响的大小，因此偶然误差难以找出原因加以排除。
但是实验表明，大量次数的测量所得到的一系列数据的偶然误差都服从一定的统计规律，这些规律有：（1）绝对值相等的正的与负的误差出现机会相同（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多（2）误差不会超出一定的范围。
实验结果还表明，在确定的测量条件下，对同一物理量进行多次测量，并且用它的算术平均值作为该物理量的测量结果，能够比较好地减少偶然误差。
绝对误差设某物理量的测量值为x,它的真值为a,则x－a=ε；由此式所表示的误差ε和测量值x具有相同的单位，它反映测量值偏离真值的大小，所以称为绝对误差。
有了绝对误差以后．通常把测量结果表示成的形式，为多次测量的平均值。
相对误差误差还有一种表示方法，叫相对误差，它是绝对误差与测量值或多次测量的平均值的比值，即或，并且通常将其结果表演示成非分数的形式，所以也叫百分误差。
绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度，而相对误差则可以比较不同测量结果的可靠性。
例如，测量两条线段的长度，第一条线段用最小刻度为毫米的刻度尺测量时读数为10．3毫米，绝对误差为0．1毫米（值读得比较准确时），相对误差为0.97%，而用准确度为0．02毫米的游标卡尺测得的结果为10．28毫米，绝对误差为0．02毫米，相对误差为0．19%；第二条线用上述测量工具分别测出的结果为19．6毫米和19．64毫米，前者的绝对误差仍为0．1毫米，相对误差为0．51%，后者的绝对误差为0．02毫米，相对误差为0．1%。
比较这两条线的测量结果，可以看到，用相同的测量工具测量时，绝对误差没有变化，用不同的测量工具测量时，绝对误差明显不同，准确度高的工具所得到的绝对误差小。
然而相对误差则不仅与所用测量工具有关，而且也与被测量的大小有关，当用同一种工具测量时，被测量的数值越大，测量结果的相对误差就越小。
引用误差仪表某一刻度点读数的绝对误差Δ比上仪表量程上限Am ，并用百分数表示。
最大引用误差：仪表在整个量程范围内的最大示值的绝对误差Δm比仪表量程上限Am ，并用百分数表示。
标称误差标称误差=（最大的绝对误差）/量程 x 100%—测量仪器的〔示值〕误差1.测量仪器的示值误差是指“测量仪器示值与对应输入量的真值之差”(7.20条)。
这是测量仪器的最主要的计量特性之一，其实质就是反映了测量仪器准确度的大小。
示值误差大则其准确度低，示值误差小，则其准确度高。
示值误差是对真值而言的。
由于真值是不能确定的，实际上使用的是约定真值或实际值。
为确定测量仪器的示值误差，当其接受高等级的测量标准器检定或校准时，则标准器复现的量值即为约定真值，通常称为实际值，即满足规定准确度的用来代替真值使用的量值。
所以指示式测量仪器的示值误差=示值-实际值；实物量具的示值误差=标称值-实际值。
例如：被检电流表的示值I为40A，用标准电流表检定，其电流实际值为Io=41A，则示值40A的误差Δ为Δ=I-Io=40-41=-1A则该电流表的示值比其真值小1A。
如一工作玻璃量器的容量其标称值V为1000ml，经标准玻璃量器检定，其容量实际值Vo为1005ml，则量器的示值误差Δ为:Δ=V-Vo=1000-1005=-5ml即该工作量器的标称值比其真值小5ml。
要正确区别误差、偏差和修正值的概念。
偏差是指“一个值减去其参考值”(5.17条)，对于实物量具而言，偏差就是实物量具的实际值对于标称值偏离的程度，即偏差=实际值-标称值。
例如有一块量块，其标称值为10mm，经检定其实际值为10.1mm，则该量块的偏差为10.1-10=+0.1mm，说明此量块相对10mm标准尺寸大了0.1mm；则此量块的误差为示值(标称值)-实际值，即误差=10-10.1=-0.1mm，说明此量块比真值小了0.1mm，故此在使用时应加上0.1mm修正值。
修正值是指为清除或减少系统误差，用代数法加到未修正测量结果上的值。
从上可见这三个概念其量值的关系：误差=-偏差；误差=-修正值；修正值=偏差。
在日常计算和使用时要注意误差和偏差的区别，不要相混淆。
测量仪器的示值误差可简称为测量仪器的误差，按照不同的示值、性质或条件，测量仪器的误差又具有专门的术语。
如基值误差、零值误差、固有误差、偏移等。
〔测量仪器的〕基值误差它是指“为核查仪器而选用在规定的示值或规定的被测量值处的测量仪器误差”(7.22条)。
为了检定或校准测量仪器，人们通常选取某些规定的示值或规定的被测量值，则在该值上测量仪器的误差称为基值误差。
例如:选用规定的示值，如对普通准确度等级的衡器，载荷点50e和200e 是必检的(e是衡器的检定分度值)，它们在首次检定时基值误差分别不得超过±0.5e和±1.0e。
如对于中准确度等级的衡器，载荷点500e和2000e是必须检的，它们在首次时的基值误差分别不得超过±0.5e和±1.0e。
规定被测量值，如对于标准热电偶的检定或分度，通常选用锌、锑及铜三个温度固定点进行示值检定或分度，则在此三个值上标准热电偶的误差，即为基值误差。
测量仪器的基值误差可简称为基值误差。
〔测量仪器的〕零值误差它是指“被测量为零值的基值误差”(7.23条)。
是指被测量为零值时，测量仪器示值相对于标尺零刻线之差值。
