方向导数讲解

什么是全导数、偏导数、方向导数？展开全文全导数是多元函数中的一个概念。

我们知道一元函数的情况下，导数就是函数的变化率，从几何意义上看就是：但是在多元的情况下比一元的复杂，下面我用二元函数来举例子（三元我也画不出来），比如这样一个曲面上的一点：在曲面上可以做无数条过点的曲线（图上随便画了三根）：每根曲线都可能可以（也有作不出来的情况，你想想一元的时候也有作不出切线的情况）作一根切线，比如（随便挑了一根切线来画，都画出来太乱了）：全导数的意义：每一根切线都和一个全导数“相关”，点有无数个全导数。

最精简的回答已经完了，后面我就要讲一些细节了，主要阐述下面两个细节：•方向导数、偏导数是特殊的全导数•每一根切线都和一个全导数“相关”，这个“相关”是什么意思？难道不就是切线的斜率就是全导数吗？顺便说一下，如果所有这些切线共面的话，那么这个平面就是切平面（全微分），可以参考我之前的回答如何直观理解全微分？。

1 参数方程为了继续讲下去，我们需要了解下所需要的技术手段：参数方程。

参数方程的用处很多，下面讲解下我们需要了解的部分。

1.1 通过参数方程来描述所有的曲线要描述所有这些曲线，我们就需要一些数学手段，这就是参数方程。

我们来看一下，随便画一条过点的曲线：这条曲线也是一个关于的函数，因此它与平面上的曲线具有一一对应的关系：因此我们只需要描述上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的，这时候就很自然的可以使用参数方程了。

举个具体的例子，对于这个二元函数，函数图像是这样的：注意此时的都可以自由改变：但是如果增加参数方程：这有什么意义？此时的的变化就受到的约束：我们来把这根参数方程决定的直线放到三维空间去：根据之前的描述，这根直线可以决定一根曲面上的曲线：这根曲面上的曲线就是刚才说过的：1.2 参数方程可以拍扁三维图像从另外一个角度看，参数方程可以把三维的图像一巴掌拍扁：什么意思，我们来看看，还是这个二元函数：增加参数方程约束：把代入到里面去，可以得到：这就好比把空间的立体图形拍扁到了平面，这个特性在后面会用到，所以在这里先预热下。

第八章第七节方向导数与梯度,PlϕP lαT lz =f (x ,y )•Mρ本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算14 1414)e ()()e (i i f i if l l r rr rr −=−∂∂=∂∂存在，且时，当i l r r =e ;x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(xf i f ∂∂−=−∂∂)e ()()e (i i fi ifl l r r r r −=−∂∂=∂∂存在可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向在)0,0(),(22y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1oα=5π/4的方向导数达沿梯度相反方向，∂f ∂l取得最小值： min (∂f ) = l ∂l− gradf (x, y)≤0f ( x, y)减小最快 .方向：是函数值增加最快的方向 grad f :模 : 等于函数的方向导数最大值2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)处的梯度。

解grad uM= ⎜⎛ ⎝∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z⎟⎞ ⎠(1,2,−2)令r=x2 +y2 + z2,则∂u = ∂x1 r2⋅ 2x注意 x , y , z 具有轮换对称性= ⎜⎛ ⎝2 rx2,2 ry2,2z r2⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)= 2 (1, 2, − 2) 93. 梯度的几何意义(1) 等高线z对函数 z = f ( x, y),曲线⎧ ⎨ ⎩z z= =f c(x,y)xoyL*在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .z z =2−(x2+y2)z =c2ygrad f ( x, y)o xz =c1yf (x, y) =c1 f (x, y) =c2o x(c1 < c2 )(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量等高线 L∗：f ( x, y) = c⎩⎨⎧x y= =x y(x)L∗在点 P ( x, y)处的切向量：r T={1,d y } = {1, −fx }dxfy=1 fy{fy,−fx}( fy ≠ 0)L∗在点 P ( x , y )处的法向量：nr = ± { f x , f y }(nr ⋅r T=0)(3) 等高线上的法向量与梯度的关系L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则① nr // grad f ( x, y)②∂f=gradf ( x, y) cos(gradf(x,y)∧,nr)∂n = ± grad f ( x, y)= 0或π当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，∂f ∂n=gradf(x,y)=maxl∂f ∂l当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，∂f = ∂ngradf(x,y)=maxl∂f ∂l≥0沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．梯度为等高线上yf ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，P其指向为：从数值较低的等高线f ( x, y) = c1到数值较高的等ox高线.(c1 < c2 )f (x, y) = c等高线同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.类似地,设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.4. 梯度的基本运算公式grad (1)r=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=uu f u f grad )()(grad (5)′=5. 梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：U k q grad −=r(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：E ruE grad −=r这说明场强:垂直于等位面,且指向电位减少的方向.),z y 沿方向l (γzfβcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为可微时方可用。

方向导数,梯度方向导数和梯度是数学中两个重要的概念，它们在各个领域都有着广泛应用。

本文将对这两个概念进行介绍和解释。

方向导数是向量值函数在某一点沿着某一方向的导数。

简单来说，方向导数描述了函数在某一点上沿着某一方向变化的速率。

在三维空间中，方向导数可以用以下公式进行表示：$$D_{\vec{u}}f=\lim_{h\to0}\frac{f(\vec{P}+h\vec{u})-f(\vec{P})}{h}$$其中，$\vec{P}$表示函数在某一点的位置，$\vec{u}$表示某一方向，$f(\vec{P}+h\vec{u})$表示函数在点$\vec{P}+h\vec{u}$处的取值。

方向导数可以看作是梯度沿着某一方向的投影，可以用以下公式计算：方向导数在物理学、工程学、经济学等各个领域都有着广泛应用。

例如，在物理学中，方向导数可以用来描述电场、热场等物理量的变化规律。

二、梯度$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$其中，$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别表示$x$、$y$、$z$方向的单位向量。

梯度向量的模长表示函数在该点上的变化率最大值，方向与梯度向量相同的方向是函数在该点上变化率最快的方向。

在物理学、计算机图形学、优化等领域中，梯度都有着广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，梯度可以用来计算图像的边缘和纹理，从而实现图像的特征提取和识别。

总结：方向导数和梯度都是向量值函数中非常重要的概念。

方向导数描述了函数沿着某一方向变化的快慢，可以用来描述物理量的变化规律；梯度表示函数变化最快的方向和速率，可以用来计算图像的特征和优化问题的解。

掌握方向导数和梯度的概念和计算方法，可以为各个领域的学习和应用提供重要的数学工具。

方向导数的表达式
方向导数计算公式是方程为x=x(s)，y=y(s)，z=z(s)，函数
u=u[x(s)，y(s)，z(s)]。

方向导数求解方法：先求切线斜率和法线斜率，得到内法线方向，再求z对x和y的偏导数，最后求方向导数。

方向导数
在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。

一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。

求解方法
首先我们要明白方向导数的定义，以三元函数为例：设绵爹三元函数f在点P0（x0，y0，z0）的某邻域内有定义英特，l为从点P0出发的射线，P（x，y，z）为l上且含于邻域内的任一点，以ρ表示P和P0两点间的距离。

若极限lim（（f(P)-f(P0))/ρ）＝lim（△lf/ρ）（当ρ→0时）存在，则爹肥著称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数。

方向导数的相关问题方向导数是一种在几何上表示函数在特定方向上的变化率的概念，在微积分中是一个重要的概念，被广泛应用于物理、数学、工程等各个领域。

在本文中，将讨论方向导数的相关问题，包括它的概念、性质、运算方法以及在不同的领域中的应用。

概念方向导数是指在某特定方向上变化率的函数，它是某一点关于这个方向上某个变量变化量无限小时函数变化量与变量变化量的比值。

简言之，方向导数就是函数在某特定方向上的变化率，即函数f(x)在x该方向上的变化率就是f(x)。

性质方向导数的性质可以总结为以下几点：(1)向导数的值是函数在该方向上变化率的大小，它可以为正、负或零；(2)向导数的值可以大于1；(3)向导数的值的符号是函数在该方向上的变化性质的标志，正表示函数在该方向上是增函数，负表示函数在该方向上是减函数；(4)向导数的值等于1时，函数在该点处是极值。

运算方法方向导数可以使用极限运算来计算，其计算公式如下：f(x)=lim [f(x+h)-f(x)]/h其中h表示该方向上变量变化量，x表示该方向上变量的取值，f(x)表示函数在该点的值。

应用方向导数在不同的领域中有着广泛的应用，其中可以分为两大类： (1)理应用：在物理、力学、电磁学和激光等领域，方向导数经常被用来描述变化的趋势和变化率。

(2)学应用：在数学领域中，方向导数经常被用来求解微分方程，并且在几何上也被用于求解曲面上的极点等问题。

总结从上文中可以看出，方向导数是一个重要的概念，它所描述的内容不仅在几何中有着重要的作用，而且在物理、数学等不同的领域中也有着广泛的应用。

它的特性、运算方法等也有助于我们更好地了解该概念，并且在实际应用中更有效地使用它。