专题13 导数(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

新高考导数知识点总结随着教育改革的不断深入，新高考已成为教育改革的重要一环。

新高考的改革目标是培养具有创新精神和实践能力的高中生，因此，对于数学这门基础科目的要求也是极高的。

在新高考数学中，导数是一个重要的知识点，本文将对新高考导数知识点进行总结和分析，以帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、导数的概念和定义导数是微积分学中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。

在新高考中，导数的定义是：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x趋近于x0时，函数值变化量与自变量变化量之比的极限值（如果存在），则称这个极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。

二、导数的计算方法1. 导数的基本定义根据导数的定义，我们可以使用极限的方法来计算导数。

例如，对于函数f(x)，若导数f'(x)在点x0处存在，则导数的计算公式为：f'(x0) = lim(x→x0) (f(x) - f(x0))/(x - x0)。

2. 导数的四则运算法则导数的四则运算法则是一个重要的计算方法，它包括导数的加减法、乘法、除法。

根据这些规则，我们可以根据已知函数的导数求得新函数的导数。

3. 特殊函数导数的计算在新高考中，我们需要掌握一些特殊函数导数的计算方法，例如多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

这些函数的导数计算方法是我们在解题过程中经常遇到的。

三、导数的几何意义导数不仅仅是一个概念，它还有深刻的几何意义。

当我们将函数图像与导数图像进行比较时，可以得到一些有趣的结论。

例如，函数的导数可以表示函数曲线上某一点的切线斜率，还可以表示函数曲线的凹凸性，以及函数的最值点等。

四、导数的应用导数作为微积分的基础，具有广泛的应用领域。

在新高考中，导数的应用题目是必不可少的，因此我们需要掌握导数在求函数的极值、函数的单调性和曲线的凹凸性等方面的应用。

掌握这些应用技巧将帮助我们更好地解题。

五、导数的局限性导数虽然有着重要的几何意义和应用，但在一些情况下也具有一定的局限性。

新高考导数知识点总结一、导数的定义导数是微积分中的一个重要概念，它是用来描述函数在某一点处的变化率的。

假设有一条曲线上的一点P(x, y)，如果这一点处的函数y=f(x)的变化率存在且有限，则称函数f(x)在点x处可导，其导数记为f'(x)，即f'(x) = lim（Δx→0）[f(x+Δx) - f(x)] / Δx。

导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率。

二、导数的求法1. 利用导数的定义求导利用导数的定义可以直接求出函数在某一点处的导数。

例如，对于函数f(x) = x^2，要求其在点x=2处的导数，可以按照定义计算出（f(2 + Δx) - f(2)）/ Δx的极限值。

2. 利用导数的基本公式求导对于一些常见的函数，我们可以利用导数的基本公式来求导。

例如，对于常数函数，导数恒为0；对于幂函数f(x) = x^n，其导数是f'(x) = nx^(n-1)；对于指数函数f(x) = a^x，其导数是f'(x) = a^x * ln(a)等。

3. 利用导数的运算法则求导利用导数的运算法则可以对复杂函数进行求导。

导数的运算法则包括和差法则、积法则、商法则、复合函数求导法则等。

通过这些法则，我们可以对复合函数、多项式函数、分式函数等进行求导。

三、导数的应用1. 切线和法线导数可以用来确定曲线在某一点处的切线的斜率，进而求出切线方程。

对于曲线y=f(x)，在点(x0, f(x0))处的切线方程为y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)。

同时，切线的法线斜率为-1/f'(x0)。

2. 凹凸性和拐点通过求取函数的二阶导数，我们可以判断函数在某一点处的凹凸性和是否存在拐点。

如果函数的二阶导数大于0，则函数在该点处是凹的；如果二阶导数小于0，则函数在该点处是凸的。

拐点则是指函数曲线从凹转凸，或者从凸转凹的点。

3. 极值和最值导数可以用来求函数的极值和最值。

新高考导数知识点导数是高中数学中的重要概念，它在数学和科学中有广泛的应用。

导数的概念和方法是新高考数学中需要掌握的知识点之一。

本文将介绍导数的概念、性质以及一些常用的求导法则。

一、导数的概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数图像上某一点的切线斜率。

设函数y=f(x)，则函数在某点x=a的导数记作f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡(f(a+h)-f(a))/h其中，h为自变量x的增量。

这一定义可以解释为函数图像上某一点处的切线斜率。

二、导数的性质1. 导数的存在性：如果函数在某一点处可导，则导数存在；反之，如果导数存在，则函数在该点可导。

2. 导数的代数运算：导数具有线性性质，具体表现为：(1) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(2) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。

3. 导数的乘法法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则(uv)' = u'v+uv'。

4. 导数的链式法则：设函数y=f(u)和u=g(x)都在某一点x处可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且其导数为：(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)。

三、常用的求导法则在求解导数时，有一些常用的求导法则是非常有用的。

下面介绍几种常见的求导法则：1. 幂函数求导法则：设常数a和自然数n，函数y = xⁿ，则有y' = nxⁿ⁻¹。

2. 指数函数求导法则：设常数a，函数y = aˣ，则有y' = aˣlna。

新高考数学导数基础知识点导数是高中数学中的重要内容之一，也是新高考数学中的基础知识点。

导数作为数学中的一种数值与函数关系的表示方式，对于理解函数的变化趋势和性质具有重要作用。

本文将从导数的定义、导数的计算方法以及导数的应用三个方面，对新高考数学中的导数基础知识点进行详细讲解。

定义：导数是函数变化率的极限导数的定义是描述函数在某一点的变化率的极限。

设函数y=f(x)，x0为定义域内的一个点，若当自变量x在x0附近取值时，函数值变化量Δy与自变量变化量Δx之比的极限存在，则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim(x→x0)⁡(Δy/Δx)。

导数的计算方法导数的计算方法包括用定义法直接计算以及利用导数的运算法则计算两种常见方法。

1.定义法直接计算定义法是根据导数的定义，将变化量Δx趋近于0，根据极限的性质计算导数。

例如，对于函数y=x^2，可以通过求该函数的导数，即f'(x)，来得到变化率的具体值。

依据导数的定义，有f'(x)=lim(x→x0)⁡((f(x)−f(x0))/(x−x0))=lim(x→x0)⁡((x^2−x0^2)/(x−x0))=lim(x→x0)⁡(x+x0)=2x0。

因此，函数y=x^2在任意一点x0处的导数为2x0。

2.导数的运算法则利用导数的运算法则可以简化计算。

导数的运算法则包括求和法则、常数法则、乘积法则、商法则和复合函数求导法则。

这些法则可以在对导数的具体计算中根据题目的要求灵活运用，从而简化计算步骤。

导数的应用导数在实际问题中具有广泛的应用，下面将从函数的单调性、函数的极值以及函数图像的描绘三个方面进行讨论。

1.函数的单调性导数可以帮助判断函数在定义域内的单调性。

根据导数的定义，若f'(x)>0，则函数递增；若f'(x)<0，则函数递减；若f'(x)=0，则函数可能存在极值点。

新高考导数知识点总结大全随着新高考改革的实施，导数已经成为高中数学领域的重要知识点。

导数是微积分的基础，它在物理学、经济学等领域都有着广泛的应用。

在新高考中，导数作为一种数学工具，被广泛应用在各个领域的问题求解中。

本文将对新高考导数知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握导数。

一、导数的定义和性质导数的定义是导数是函数在某一点的变化率。

具体来说，对于函数y = f(x)，在x点处的导数可以表示为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h)-f(x))/h导数具有许多重要的性质，包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。

熟练掌握这些性质是解题的基础。

二、基本导数公式在新高考中，一些基本的导数公式需要掌握。

比如：1. 常数函数的导数为0，即对于常数c，有f'(x)=0；2. 一次函数y = kx的导数为k，即f'(x) = k；3. 幂函数y = x^n的导数为nx^(n-1)，即f'(x) = nx^(n-1)；4. 指数函数y = a^x的导数为a^x * ln(a)，即f'(x) = a^x * ln(a)；5. 对数函数y = ln(x)的导数为1/x，即f'(x) = 1/x。

这些基本的导数公式是解题的基础，同学们在备考新高考时务必熟练掌握。

三、导数的应用导数在各个领域的应用广泛。

在新高考中，导数常被应用于函数的极值、函数的单调性、函数的凹凸性等问题的求解。

1. 极值问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的极值点。

具体来说，对于函数y = f(x)，当f'(x) = 0时，x就是函数的极值点。

再通过二阶导数的符号确定是极大值还是极小值。

2. 单调性问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的单调性。

具体来说，如果在一个区间上，函数的导数始终大于0（或始终小于0），那么函数在这个区间上是递增（或递减）的。

3. 凹凸性问题通过求解函数的导数，我们可以确定函数的凹凸性。

新高考导数知识点总结归纳导数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。

在新高考的数学教学中，导数是必修内容之一。

本文将对新高考导数的知识点进行总结归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、导数的定义和基本性质1. 导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，可以用极限的方法定义为函数在该点处的切线斜率。

2. 导数的几何意义：导数可以表示函数在某一点的瞬时变化率，也就是函数图像在该点处的切线斜率。

3. 导数的基本性质：导数具有线性性、求导法则（如乘法法则、链式法则等）和导数的和差乘商法则等基本性质。

二、导数的计算方法1. 使用导数定义计算导数：根据导数的定义，可以通过计算函数的极限来求导。

2. 利用基本求导法则计算导数：基本求导法则包括常数法则、幂函数求导法则、指数函数和对数函数求导法则等。

3. 高级求导法则的应用：高级求导法则包括乘法法则、除法法则、链式法则和隐函数求导等，可用于求解更复杂的函数导数。

三、导数的应用1. 导数与函数的单调性和极值：通过导数的正负可以判断函数的单调性，导数为零的点可以反映函数的极值。

2. 导数与函数的图像：函数的导数可以提供有关函数图像的信息，如切线的斜率、凹凸性和拐点等。

3. 导数与函数的最值问题：通过导数与函数的最值问题可以求解函数的最大值和最小值。

4. 导数与函数的图像绘制：通过分析函数的一、二阶导数的符号和零点，可以描绘函数的大致图像。

四、导数的应用举例1. 弹簧振子的数学模型：通过建立弹簧振子的微分方程，可以求解振动的周期和振幅等参数。

2. 无人机的轨迹规划：通过优化导数计算，可以规划无人机在空中的最佳轨迹，实现高效的航行。

3. 经济学中的边际效应：导数在经济学中常用于计算边际成本和边际效益，为决策提供依据。

综上所述，导数作为高中数学的重要内容，在新高考中占据着重要的地位。

掌握导数的定义和基本性质，熟练掌握导数的计算方法以及灵活运用导数的应用是提高数学水平的关键。

新高考导数知识点归纳总结随着新高考制度的实施，越来越多的学生开始接触到导数这一概念。

导数在数学中具有重要的地位，不仅仅是高考数学的考点，更是解决实际问题的有力工具。

为了帮助学生更好地掌握导数的知识，本文将对新高考导数知识点进行归纳总结，并提供相关的解题技巧和注意事项。

一、导数的定义和求导法则1. 导数的定义：导数是函数在某一点处的变化率，即斜率。

用数学符号表示为f'(x)，或者dy/dx。

2. 求导法则：- 常数法则：如果f(x) = C，其中C为常数，则f'(x) = 0。

- 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。

- 乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，则f'(x)= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

- 除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)为函数，v(x) ≠ 0，则f'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/v(x)^2。

- 反函数法则：如果f(x)和g(x)互为反函数，则f'(x) = 1/g'(f(x))。

二、导数的计算和性质1. 高阶导数：- 一阶导数：f'(x)表示函数f(x)的一阶导数。

- 二阶导数：f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。

- 高阶导数：f^n(x)表示函数f(x)的n阶导数。

2. 导数的计算：- 函数的和、差、积的导数：如果f(x)和g(x)的导函数存在，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)，(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)，(fg)'(x) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。

- 复合函数的导数：如果y = f(g(x))，其中f(x)和g(x)均可导，则y' = f'(g(x))g'(x)。

导数高考大题知识点总结一、导数的定义1. 函数的导数函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，h表示x的增量，表示x的变化量；lim表示极限。

2. 几何意义函数f(x)在点x处的导数，表示函数在该点处的切线斜率。

3. 导数的记号函数f(x)关于x的导数通常记为f'(x)或y'，也读作f关于x的导数或者y的导数。

4. 导数的存在性对于给定的函数f(x)，在某一点x处可能存在导数，也可能不存在。

二、导数的运算法则1. 基本导数法则常数函数的导数等于零；幂函数的导数规律：(x^n)'=nx^(n-1)；指数函数的导数规律：(a^x)'=a^x * ln(a)；对数函数的导数规律：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))；三角函数的导数规律：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx。

2. 基本函数的导数导数的和、差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；导数的积法则：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)；导数的商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2；复合函数的导数：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，导数为：y'=f'(g(x)) * g'(x)。

3. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则有：y'=f'(u) * g'(x)。

4. 隐函数的导数当函数关系式不显式的写出y=f(x)，而是通过x和y的方程来确定时，求导的方法。

三、导数的应用1. 切线方程在点(x,f(x))处的切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-a)。

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+ C．y= x+1D．y= x+
【答案】D
解析：设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，设直线 的方程为 ，即 ，
【小问2详解】 ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，则 ，整理得 ，令 ，则 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
4.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数 和 有相同 最小值．
2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
基本题型：
1．设 为可导函数，且满足 ，则 为（）
A．1B．
C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义进行求解.
【详解】因为 ，所以 ，即
所以 .
2．已知函数 ，且 ，则 的值为（）
A． B．2C． D．
【答案】D
【分析】利用导数定义，可求得 ，代入 ，即得解
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x .
∵点A在曲线上，∴y0＝x ，∴ ＝3x ，∴x －3x ＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.

新高考导数知识点归纳总结导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在新高考中，导数的知识点归纳总结主要包括以下几个方面：1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的瞬时变化率。

如果函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，则导数定义为：\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]2. 导数的基本公式：对于基本的初等函数，如多项式、三角函数、指数函数和对数函数，我们有一套基本的导数公式。

例如：- 常数函数的导数为0。

- 幂函数\( x^n \)的导数为\( nx^{n-1} \)。

- 正弦函数\( \sin(x) \)的导数为\( \cos(x) \)。

- 余弦函数\( \cos(x) \)的导数为\( -\sin(x) \)。

3. 导数的运算法则：包括和差法则、乘积法则、商法则和链式法则。

例如：- 和差法则：\( (f \pm g)' = f' \pm g' \)- 乘积法则：\( (fg)' = f'g + fg' \)- 商法则：\( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g -fg'}{g^2} \)- 链式法则：\( (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) \)4. 高阶导数：如果函数的导数本身也是可导的，那么可以继续求导，得到二阶导数、三阶导数等。

记作\( f''(x) \)、\( f'''(x) \)等。

5. 导数的应用：- 求切线的斜率：函数在某点处的导数即为该点处切线的斜率。

- 函数的单调性：如果\( f'(x) > 0 \)，则函数在该区间单调递增；如果\( f'(x) < 0 \)，则函数在该区间单调递减。

专题13导数中对数单身狗指数找基友的应用导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数．而这类问题都有一条经验性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手．考点一对数单身狗【方法总结】在证明或处理含对数函数的不等式时，如f (x )为可导函数，则有(f (x )ln x )′＝f ′(x )ln x ＋f (x )x ，若f (x )为非常数函数，求导式子中含有ln x ，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”．1．设f (x )>0，f (x )ln x ＋g (x )>0⇔ln x ＋g (x )f (x )>0，则(ln x ＋g (x )f (x ))′＝1x ＋(g (x )f (x ))′，不含超越函数，求解过程简单．或者f (x )ln x ＋g (x )>0⇔f (x )(ln x ＋g (x )f (x ))>0，即将前面部分提出，就留下ln x 这个单身狗，然后研究剩余部分．2．设f (x )≠0，f (x )ln x ＋g (x )＝0⇔ln x ＋g (x )f (x )＝0，则(ln x ＋g (x )f (x ))′＝1x ＋(g (x )f (x ))′，不含超越函数，求解过程简单．或者f (x )ln x ＋g (x )＝0⇔f (x )(ln x ＋g (x )f (x ))＝0，即将前面部分提出，就留下ln x 这个单身狗，然后研究剩余部分．【例题选讲】[例1](2016·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2．故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0．(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0．设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0．①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1．由x 2＞1和x 1x 2＝1得0<x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜g (1)＝0．综上，a 的取值范围是(－∞，2]．[例2]已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln xx －1．解析(1)f ′(x )－b x 2(x ＞0)．由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，＝1，＝－12，1，b ＝－12.＝1，＝1.(2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x (x ＞0)，所以f (x )－ln x x －1＝x 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2．所以当x ≠1时，h ′(x )＜0．而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0．从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1＞0，即f (x )＞ln x x －1．【对点精练】1．若不等式x ln x ≥a (x －1))对所x ≥1有都成立，求实数a 的取值范围．1．解析原问题等价于ln x －a (x －1)x≥0对所有x ≥1都成立，令h (x )＝ln x －a (x －1)x (x ≥1)，则f ′(x )＝x －ax 2．(1)当a ≤1时，f ′(x )＝x －ax 2≥0恒成立，即f (x )在[1，＋∞)上单调递增，因而f (x )≥f (1)＝0恒成立；(2)当a >1时，令f ′(x )＝0，则x ＝a ，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝ln a －a ＋1，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0．(1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2．2．解析(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0．因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1．若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x ．当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0．综上，a ＝1．(2)由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ．设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x ．当x h ′(x )<0；当x h ′(x )>0．所以h (x )h (e －2)>0，，h (1)＝0，所以h (x )x 0，在12，＋1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0．因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点．由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)．由x 0∈(0，1)得f (x 0)<14．因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2，所以e －2<f (x 0)<2－2．3．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x ．(1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0；(2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a ．3．解析(1)当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x．设函数g (x )＝ln(1＋x )－x 1＋x ，则g ′(x )＝x(1＋x )2．当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0，且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0．所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．另解当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x (x >－1)，由于2＋x >0．故令g (x )＝ln(1＋x )－2x2＋x ，g ′(x )＝11＋x －4(2＋x )2＝x 2(x ＋1)(x ＋2)，故x ∈(－1，＋∞)，g ′(0)>0．所以g (x )在(－1，＋∞)上单调递增．因为g (0)＝0，所以，当－1<x <0时，gx )<0；当x >0时，g (x )>0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0．(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)，这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾．②若a <0，设函数h (x )＝f (x )2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x 2＋x ＋ax 2．由于当|x |<min2＋x ＋ax 2>0，故h (x )与f (x )符号相同．又h (0)＝f (0)＝0，故x ＝0是f (x )的极大值点，当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点．h ′(x )＝11＋x －2(2＋x ＋ax 2)－2x (1＋2ax )(2＋x ＋ax 2)2＝x 2(a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1)(x ＋1)(ax 2＋x ＋2)2．若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<minh ′(x )>0，故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1，0)，且|x |<minh ′(x )<0，所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3(x －24)(x ＋1)(x 2－6x －12)2，则当x ∈(－1，0)时，h ′(x )>0；当x ∈(0，1)时，h ′(x )<0．所以x ＝0是h (x )的极大值点，从而x ＝0是f (x )的极大值点．综上，a ＝－16．考点二指数找基友【方法总结】在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找基友”．1．由e x ＋f (x )>0⇔1＋f (x )e x >0，则(1＋f (x )e x )′＝f ′(x )－f (x )e x是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．2．由e x ＋f (x )＝0⇔1＋f (x )e x ＝0，则(1＋f (x )e x )′＝f ′(x )－f (x )e x 是一个多项式函数，变形后可大大简化运算．【例题选讲】[例3](2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2．(1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a ．解析(1)当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x －1≤0．设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x －1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x ＝－(x －1)2e －x ．当x ≠1时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1．另解当a ＝1时，f (x )＝e x －x 2，则f ′(x )＝e x －2x ．令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x －2．令g ′(x )＝0，解得x ＝ln2．当x ∈(0，ln2)时，g ′(x )<0；当x ∈(ln2，＋∞)时，g ′(x )>0．∴当x ≥0时，g (x )≥g (ln2)＝2－2ln2>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴f (x )≥f (0)＝1．(2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x ．f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )＞0，h (x )没有零点；(ⅱ)当a ＞0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x ．当x ∈(0，2)时，h ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )＞0．所以h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)＞0，即a ＜e 24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e 24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)＜0，即a ＞e 24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0，2)上有一个零点．由(1)知，当x ＞0时，e x ＞x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a 3(e 2a )2＞1－16a 3(2a )4＝1－1a ＞0，故h (x )在(2，4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e 24．另解(参变分离)若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e x －ax 2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a ＝e x x 2，令φ(x )＝e xx 2，x ∈(0，＋∞)，φ′(x )＝e x (x －2)x 3，令φ′(x )＝0，解得x ＝2．当x ∈(0，2)时，φ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0．∴φ(x )min ＝φ(2)＝e 24．∴a ＝e 24．[例4](2020·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－x ．(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3＋1，求a 的取值范围．解析(1)当a ＝1时，f (x )＝e x ＋x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋2x －1，由于f ″(x )＝e x ＋2＞0，故f ′(x )单调递增，注意到f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2)f (x )≥12x 3＋1等价于(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x ≤1．设函数g (x )＝(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x (x ≥0)，则g ′(x )＝－(12x 3－ax 2＋x ＋1－32x 2＋2ax －1)e －x＝－12x [x 2－(2a ＋3)x ＋4a ＋2]e －x ＝－12x (x －2a －1)(x －2)e －x ．（i ）若2a +1≤0，即a ≤－12，则当x ∈（0，2）时，g ′(x )>0．所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意．（ii ）若0<2a +1<2，即－12<a <12，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0．所以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增．由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7−4a )e −2≤1，即a ≥7－e 24．所以当7－e 24≤a <12时，g (x )≤1．（iii ）若2a +1≥2，即a ≥12，则g (x )≤(12x 3＋x ＋1)e －x ．由于0∈[7－e 24，12)，故由（ii ）可得(12x 3－ax 2＋x ＋1)e －x ≤1．故当时a ≥12，g (x )≤1．综上，a 的取值范围是7－e 24，＋另解(参变分离)由f (x )≥12x 3＋1，得e x ＋ax 2－x ≥12x 3＋1，其中x ≥0，①当x ＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意；②当x ＞0时，分离参数a 得a ≥－e x －12x 3－x －1x2，记g (x )＝－e x－12x 3－x －1x2，g ′(x )令h (x )＝e x －12x 2－x －1(x ≥0)，则h ′(x )＝e x －x －1，h ″(x )＝e x －1≥0，故h ′(x )单调递增，h ′(x )≥h ′(0)＝0，故函数h (x )单调递增，h (x )≥h (0)＝0，由h (x )≥0可得e x －12x 2－x －1≥0恒成立，故当x ∈(0，2)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．因此，g (x )max ＝g (2)＝7－e24，综上可得，实数a 的取值范围是7－e 24，＋【对点精练】1．已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2，当x ≥0时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．1．解析解法一由f ′(x )＝e x －1－2ax ，又e x ≥x ＋1，所以f ′(x )＝e x －1－2ax ≥x －2ax ＝(1－2a )x ，所以当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0，满足题意；又x ≠0时，e x ＞x ＋1，所以可得e －x ＞1－x ，从而当a ＞12时，f ′(x )＝e x －1－2ax ≤e x －e x ·e －x ＋2a (e －x －1)＝(1－e －x )·(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0，不合题意．综上所述，实数a ∞，12．解法二因为e x ≥x ＋1，所以当a ≤0时，e x ≥ax 2＋x ＋1恒成立，故只需讨论a ＞0的情形．令F (x )＝e －x (1＋x ＋ax 2)－1，问题等价于F (x )≤0，由F ′(x )＝e －x [－ax 2＋(2a －1)x ]＝0得x 1＝0，x 2＝2a －1a．当0＜a ≤12时，F (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以F (x )≤F (0)＝0恒成立；当a ＞12时，因为F (x )在[0，x 2]上单调递增，所以F (x 2)≥F (0)＝0恒成立，此时F (x )≤0不恒成立．综上所述，实数a ∞，12．2．已知函数f (x )＝e －x ＋ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的最值；(2)若a ＝0，求证：f (x )>－12x 2＋58．2．解析：(1)依题意，得f ′(x )＝－e －x ＋a ．①当a ≤0时，f ′(x )<0，所以f (x )在R 上单调递减，故f (x )不存在最大值和最小值；②当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝－ln a ．当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故当x ＝－ln a 时，f (x )取得极小值，也是最小值，最小值为f (－ln a )＝a －a ln a ，不存在最大值．综上，当a ≤0时，f (x )不存在最大值和最小值；当a >0时，f (x )的最小值为a －a ln a ，不存在最大值．(2)当a ＝0时，f (x )＝e －x ，要证f (x )>－12x 2＋58，即证e －x >－12x 2＋58，即证(5－4x 2)e x <8．设h (x )＝(5－4x 2)e x ，当5－4x 2≤0，即x ≤－52或x ≥52时，h (x )≤0<8；当5－4x 2>0，即－52<x <52时，h ′(x )＝(－4x 2－8x ＋5)e x ＝－(2x －1)(2x ＋5)e x ，所以当－52<x <12时，h ′(x )>0，h (x )－52，当12<x <52时，h ′(x )<0，h (x )所以当－52<x <52时，h (x )≤4e<8．综上所述，不等式f (x )>－12x 2＋58成立．3．已知函数f (x )＝a (x －1)，g (x )＝(ax －1)·e x ，a ∈R ．(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切；(2)若不等式f (x )＞g (x )有且只有两个整数解，求a 的取值范围．3．解析(1)f ′(x )＝a ，g ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ．设直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )的切点的坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝a (x 0－1)＝(ax 0－1)0e x ，得a (x 00e x －x 0＋1)＝0e x ，①又因为直线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )相切，所以a ＝g ′(x 0)＝(ax 0＋a －1)0e x ，整理得a (x 00e x ＋0e x －1)＝0e x ，②结合①②得x 00e x －x 0＋1＝x 00e x ＋0e x －1，即0e x ＋x 0－2＝0，令h (x )＝e x ＋x －2，则h ′(x )＝e x ＋1＞0，所以h (x )在R 上单调递增．又因为h (0)＝－1＜0，h (1)＝e －1＞0，所以存在唯一实数x 0，使得0e x ＋x 0－2＝0，且x 0∈(0，1)，所以存在唯一实数a ，使①②两式成立，故存在唯一实数a ，使得直线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相切．(2)令f(x)＞g(x)，即a(x－1)＞(ax－1)e x，所以ax e x－ax＋a＜e x，所以－1，令m(x)＝x－x－1e x，则m′(x)＝e x＋x－2e x，由(1)可得m(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，且x0∈(0，1)，故当x≤0时，m(x)≥m(0)＝1，当x≥1时，m(x)≥m(1)＝1，所以当x∈Z时，m(x)≥1恒成立．①当a≤0时，am(x)＜1恒成立，此时有无数个整数解，舍去；②当0＜a＜1时，m(x)＜1a，因为1a＞1，m(0)＝m(1)＝1，所以两个整数解分别为0，1(2)≥1a，(－1)≥1a，解得a≥e22e2－1，即a∈e22e2－1，＋③当a≥1时，m(x)＜1a，因为1a≤1，m(x)在x∈Z时大于或等于1，所以m(x)＜1a无整数解，舍去．综上所述，a的取值范围为e22e2－1，＋考点三指对在一起，常常要分手【方法总结】设f(x)为可导函数，则有(e x ln x－f(x))′＝e x ln x＋e xx－f′(x)，若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，ln x，针对此类型，可以采用作商的方法，构造e x ln x－f(x)e x＝ln x－f(x)e x，从而达到简化证明和求极值、最值的目的，e x ln x腻在一起，常常会分手．【例题选讲】[例5](2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝a e x ln x＋b e x－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝e(x－1)＋2．(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1．解析(1)f′(x)＝a ex＋b e x－1(x－1)x2(x＞0)，由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1，2)，＝2，＝e，＝2，e＝e，＝1，＝2.(2)由(1)知f(x)＝e x ln x＋2e x－1x(x＞0)，从而f(x)＞1等价于x ln x＞x e－x－2e．构造函数g(x)＝x ln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当xg′(x)＜0，当xg′(x)＞0，故g(x)g(x)在(0，＋∞)上的最小值为＝－1e．构造函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e ．综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即f (x )＞1．[例6]已知函数f (x )＝1x ＋a ln x ，g (x )＝e x x ．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：a ＝1时，f (x )＋g (x )x ＞e ．解析(1)f (x )＝1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2．当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ，由f ′(x )>0，得x >1a ，所以函数f (x )(2)a ＝1时，要证f (x )＋g (x )x ＞e ．即要证1x ＋e x x －ex 2ln x －e ＞0⇔e x －e x ＋1>eln x x ，x ∈(0，＋∞)．令F (x )＝e x －e x ＋1，F ′(x )＝e x －e ，当x ∈(0，1)时，F ′(x )＜0，此时函数F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，此时函数F (x )单调递增．可得当x ＝1时，函数F (x )取得最小值F (1)＝1．令G (x )＝eln xx ，G ′(x )＝e(1－ln x )x 2，当0<x <e 时，G ′(x )>0，此时G (x )为增函数，当x >e 时，G ′(x )<0，此时G (x )为减函数，所以x ＝e 时，函数G (x )取得最大值G (e)＝1．x ＝1与x ＝e 不同时取得，因此F (x )＞G (x )，即e x －e x ＋1>eln xx ，x ∈(0，＋∞)．故原不等式成立．【对点精练】1．设函数f (x )＝ln x ＋1x ，求证：当x ＞1时，不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)．1．解析将不等式f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)变形为1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x ＞2e x －1x e x ＋1，分别构造函数g (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x 和函数h (x )＝2e x －1x e x ＋1．对于g ′(x )＝x －ln x x 2，令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x．因为x ＞1，所以φ′(x )＞0，所以φ(x )在(1，＋∞)上是增函数，所以φ(x )＞φ(1)＝1＞0，所以g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以当x ＞1时，g (x )＞g (1)＝2，故g (x )e ＋1＞2e ＋1．对于h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2，因为x ＞1，所以1－e x ＜0，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上是减函数，所以当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝2e ＋1．综上所述，当x ＞1时，g (x )e ＋1＞h (x )，即f (x )e ＋1＞2e x －1(x ＋1)(x e x ＋1)．(第1题)(第2题)2．已知f (x )＝e x －a ln x －a ，其中常数a>0．(1)当a>e 时，求函数f (x )的极值；(2)求证：e 2x －2－e x －1ln x －x ≥0．2．解析(1)当e a =时，()e eln e x f x x =--，()ee xf x x'=-，()10f '=．()2ee 0xf x x ''=+>，()f x '∴在()0, +∞单调递增．()0, 1x ∴∈时，()()10f x f ''<=，()1, x ∈+∞，()()10f x f ''>=．()f x ∴在()0, 1单调递减，在()1, +∞单调递增．∴()f x 的极小值为()10f =，无极大值．(2)由(1)得e eln e 0e eln e x x x x --≥⇒-≥，所证不等式：221e e ln 0x x x x ----≥2e eln ex x x x -⇔-≥．设()22e ex x x g x x --==，()()222e e 1e x x x g x x x ---'=-=-，令()0g x '>可解得：1x <．()g x ∴在()0, 1单调递增，在()1, +∞单调递减．()()max 1e g x g ∴==．()e eln e x x g x ∴-≥≥，即2e eln e x x x x --≥，221e e ln 0x x x x --∴--≥．3．已知函数f (x )＝1x ＋a ln x ，g (x )＝e x x．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：a ＝1时，f (x )＋g (x )x ＞e ．3．解析(1)f (x )＝1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2．当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，由f ′(x )<0，得0<x <1a ，由f ′(x )>0，得x >1a，所以函数f (x )(2)a ＝1时，要证f (x )＋g (x )x ＞e ．即要证1x ＋e x x －e x 2ln x －e ＞0⇔e x －e x ＋1>eln x x，x ∈(0，＋∞)．令F (x )＝e x －e x ＋1，F ′(x )＝e x －e ，当x ∈(0，1)时，F ′(x )＜0，此时函数F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，此时函数F (x )单调递增．可得当x ＝1时，函数F (x )取得最小值F (1)＝1．令G (x )＝eln x x ，G ′(x )＝e(1－ln x )x 2，当0<x <e 时，G ′(x )>0，此时G (x )为增函数，当x >e 时，G ′(x )<0，此时G (x )为减函数，所以x ＝e 时，函数G (x )取得最大值G (e)＝1．x ＝1与x ＝e 不同时取得，因此F (x )＞G (x )，即e x －e x ＋1>eln x x ，x ∈(0，＋∞)．故原不等式成立．。

导数知识点归纳总结高三一、导数的定义和基本概念导数的定义：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果极限①若存在，称函数f(x)在点x0处可导，该极限值称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。

②若极限不存在，称函数f(x)在点x0不可导。

基本性质：①导数存在的必要条件是函数在该点连续；② f(x)在x0（闭区间内）可导，则f(x)在x0（闭区间内）连续；二、常见函数的导数1. 幂函数幂函数f(x) = xn，其中n为常数，x为自变量。

导数有如下规律：① f'(x) = nx^(n-1)；2. 指数函数和对数函数指数函数f(x) = a^x (a>0，a≠1)，对数函数f(x)=loga(x) (a>0，a≠1，x>0)。

导数有如下规律：① (a^x)' = a^x * ln(a)；② (loga(x))' = 1 / (x * ln(a))；3. 三角函数和反三角函数三角函数包括sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)，反三角函数包括arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)，arccot(x)，arcsec(x)，arccsc(x)。

导数有如下规律：三角函数的导数：① (sin(x))' = cos(x)；② (cos(x))' = -sin(x)；③ (tan(x))' = sec^2(x)；④ (cot(x))' = -csc^2(x)；⑤ (sec(x))' = sec(x) * tan(x)；⑥ (csc(x))' = -csc(x) * cot(x)；反三角函数的导数：⑦ (arcsin(x))' = 1 / sqrt(1-x^2)；⑧ (arccos(x))' = -1 / sqrt(1-x^2)；⑨ (arctan(x))' = 1 / (1+x^2)；⑩ (arccot(x))' = -1 / (1+x^2)；⑪ (arcsec(x))' = 1 / (x * sqrt(x^2-1))；⑫ (arccsc(x))' = -1 / (x * sqrt(x^2-1))；4. 反函数的导数若y = f(x)是函数f(x)在区间I上的可逆函数，导数可表示为：①若f'(x0)≠0，则(g(f(x)))' = g'(y0) * f'(x0)；②若f'(x0)=0且g'(y0)≠0，则(g(f(x)))'在x=x0时取不到导数；③若f'(x0)=0且g'(y0)=0，要结合极限来研究(g(f(x)))'的存在性。

新高考导数知识点归纳导数是数学中的一个重要概念，主要用于描述函数的变化率。

在新高考中，导数是数学考试中的一个重要知识点。

本文将对新高考导数知识点进行归纳和总结。

一、导数的定义导数的定义是函数的变化率的极限，表示函数在某一点处的切线斜率。

对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

导数的定义公式为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)] / h二、导数的求法1. 基本函数的导数求法①常数函数的导数为0；②幂函数的导数为其指数乘以底数的幂函数；③对数函数的导数为其自变量在底数的导数乘以1/x；④指数函数的导数为其底数的自然对数乘以指数函数本身。

2. 基本运算的导数求法①和差的导数等于各项的导数之和；②积的导数等于各项的导数分别乘积再求和；③商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子的导数乘以分母的导数再除以分母的平方。

3. 复合函数的导数求法复合函数的导数求法可以使用链式法则。

设有函数y=f(g(x))，则其导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx4. 反函数的导数求法反函数的导数可以通过反函数与原函数的斜率互为倒数来求得。

5. 隐函数的导数求法隐函数的导数可以通过对函数方程两边同时求导，并将未知函数的导数视作隐函数的导数来求得。

三、导数的应用导数在各个学科都有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用：1. 切线和法线导数可以用来求函数在一点处的切线和法线。

切线的斜率等于函数在该点的导数值，法线的斜率等于切线斜率的相反数。

2. 函数的极值点函数的导数可以用来求函数的极值点。

当导数在某一点处为0时，该点可能为函数的极值点。

通过求导数的一阶和二阶导数判断极值类型。

3. 函数的增减性和凸凹性函数的导数可以用来判断函数的增减性和凸凹性。

当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函数单调递减；当导数的符号变化时，函数可能存在极值点；当导数的二阶导数大于0时，函数凸；当导数的二阶导数小于0时，函数凹。

专题13 导数运算法则在抽象函数中的应用导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质求解.(一) 抽象函数的奇偶性及应用若()()f x f x -=两边求导得()()f x f x ¢¢--=，即()()f x f x ¢¢-=-，即若可导函数()f x 是偶函数，则()f x ¢是奇函数，同理可得：若可导函数()f x 是奇函数，则()f x ¢是偶函数.【例1】（2024届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R 的函数()y f x =，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为R 的导函数()y f x =¢.(1)求函数()e e x xf x -=+在点()()0,0f 的切线方程；(2)已知()cos sin f x a x b x =+，当a 与b 满足什么条件时，存在非零实数k ，对任意的实数x 使得()()f x kf x -=-¢恒成立？(3)若函数()y f x =是奇函数，且满足()()23f x f x +-=.试判断()()22f x f x +=¢-¢对任意的实数x 是否恒成立，请说明理由.【解析】（1）由题可知，()e e x x f x -¢=-，所以切线的斜率为(0)0f ¢=，且(0)2f =，所以函数在点()()0,0f 的切线方程为()200y x -=-，即2y =；（2）由题可知()sin cos f x a x b x ¢=-+，又因为定义域上对任意的实数x 满足()()f x kf x ¢-=-，所以cos sin sin cos a x b x ak x bk x -=-，即b aka bk -=ìí=-î，当R k Î且0k ¹时，0a b ==，当1k =时，0a b +=，当1k =-时，0a b -=；（3）因为函数()y f x =在定义域R 上是奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()()f x x f x ¢¢¢-×-=-，所以()()f x f x ¢¢-=，所以()y f x ¢=是偶函数，因为()()23f x f x +-=，所以()()()()223f x f x x ¢¢¢¢+-×-=，即()()20f x f x ¢¢--=，即()()2f x f x ¢¢=-，因为()()f x f x ¢¢-=，所以()()2f x f x ¢¢-=-，即()()2f x f x ¢¢=+，所以()y f x ¢=是周期为2的函数，所以()()()22f x f x f x ¢¢¢=+=-，所以()()()()22f x f x f x f x ¢¢¢¢-=-==+. (二)和差型抽象函数的应用解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构造的函数的单调性求解．如给出式子()f x k ¢-,可构造函数()()y f x kx b =-+，给出式子()f x kx ¢-,可构造函数()212y f x x b =-+ ，一般地，若给出()()f x g x ¢¢±通常构造函数()()y f x g x c =±+.【例2】已知()()y f x x =ÎR 的导函数()f x ¢满足()3f x ¢>且(1)3f =，求不等式()3f x x >的解集．【解析】令()()3F x f x x =-，则()()30F x f x ¢¢=->，∴()F x 在R 上为单调递增．又∵(1)3f =，∴(1)(1)30F f =-=，则()3f x x >可转化为()0(1)F x F >=，根据()F x 单调性可知不等式()3f x x >的解集为(1,)+∞．(三)积型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢+的式子通常构造函数()()y f x g x c =+ ，如给出()()xf x nf x ¢+可构造函数()ny x f x =，如给出()()f x nf x ¢+，可构造函数()e nx y f x =，如给出()()tan f x f x x ¢+，可构造函数()sin y f x x =.【例3】（2024年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数()f x 在[],a b 上满足()()()0g x f x f x ¢=³且不恒为0，则称函数()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，()g x 称为函数()f x 的特征函数，称任意的实数(),c a b Î为绝对增点（()f x ¢为函数()f x 的导函数）．(1)若1为函数()()e xf x a x =-的绝对增点，求a 的取值范围；(2)绝对增函数()f x 的特征函数()g x 的唯一零点为0x ．（ⅰ）证明：0x 是()f x ¢的极值点；（ⅱ）证明：()g x 不是绝对增函数．【解析】（1）因为函数()()e x f x a x =-，所以()()1e xf x a x =--¢，则()()()()21e xf x f x x a x a =--+¢．由()()0f x f x ¢³得()()10x a x a --+³，解得1x a £-或x a ³，所以()f x 为区间(],1a -∞-及区间[),a +∞上的绝对增函数．又1为函数()f x 的绝对增点，所以11a <-或1a >，解得2a >或1a <，所以a 的取值范围为()(),12,-∞+∞U ．（2）（ⅰ）设()f x 为区间[],a b 上的绝对增函数，由题意知()00g x =，当0x x ¹时，()()00,,g x x a b >Î．①若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递增，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x >¢<，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上单调递减，则在区间()00Δ,x x x -上，()()0,0f x f x ¢<>，则()0g x <，与()0g x >矛盾．若()00f x =，存在Δ0x >，且()f x 在区间()00Δ,x x x -上不单调，则存在()'000Δ,x x x x Î-，且()00f x ¢¢=，此时()00g x ¢=与()g x 有唯一零点0x 矛盾．所以()00f x ¹．②若()00f x ¹，不妨设()00f x >，则()00f x ¢=，且存在1Δ0x >，使得当()0101Δ,Δx x x x x Î-+时，()0f x >，且当()()010001Δ,,Δx x x x x x x Î-+U 时，()0f x ¢>，即1Δ0x $>，使()f x ¢在()010Δ,x x x -上单调递减，在()001,Δx x x +上单调递增．所以0x 为()f x ¢的极值点．同理，当()00f x <时也成立．（ⅱ）若()g x 为绝对增函数，则()()0g x g x ×¢³在[],a b 上恒成立，又()0g x ³恒成立，所以()0g x ¢³恒成立．令()()e x x g x j =×，所以()0x j ³，且()()()()e 0xx g x g x j ¢¢=×+³，所以()x j 在(),a b 上单调递增．又()00x j =，所以当()0,x a x Î时，()0x j <，则()0g x <，与()0g x ³矛盾，所以假设不成立，所以()g x 不是绝对增函数．【例4】定义在π(0,2上的函数()f x ，其导函数是()f x ¢，且恒有()()tan f x f x x <¢×成立，比较π6æöç÷èø与π3f æöç÷èø的大小.【解析】因为π(0,)2x Î，所以sin 0x >，cos 0x >．由()()tan f x f x x <¢，得()cos ()sin f x x f x x <¢．即()sin ()cos 0f x x f x x ¢->．令()()sin f x g x x =，π(0,2x Î，则2()sin ()cos ()0f x x f x xg x sin x ¢-¢=>．所以函数()()sin f x g x x =在π(0,2xÎ上为增函数，则π()(6g g <π3，即ππ()()63ππsin sin63f f <，所以π()612f <ππ(()63f <．(四)商型抽象函数的应用若给出形如()()()()f x g x f x g x ¢¢-的式子通常构造函数()()f x y cg x =+ ，如给出()()xf x nf x ¢-可构造函数()n f x y x =，给出()()f x nf x ¢-，可构造函数()nx f x y e =，给出()()tan f x f x x ¢-，可构造函数()sin f xy x=.【例5】（2024届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在[],a b 上是一条连续不断的曲线；②在(),a b 内可导;③对(),x a b "Î，()0g x ¢¹，则(),a b x $Î，使得()()()()()()f b f a fg b g a g x x --¢¢=.特别的，取()g x x =，则有：(),a b x $Î，使得()()()f b f a f b ax -¢=-，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x ¢在()0,+∞上单调递增，证明：函数()f x y x=在()0,∞+上为增函数.(2)若(),0,e a b "Î且a b >，不等式ln ln 0a b b a m b a a b æö-+-£ç÷èø恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）由题()()()00f x f x f xx -=-，由柯西中值定理知：对0x ">，()0,x x $Î，使得()()()()001f x f f f x x x -==¢¢-，()()f x f xx =¢，又()f x ¢在()0,∞+上单调递增，则()()f x f x ¢>¢，则()()f x f x x¢>，即()()0xf x f x ->¢，故()f x y x=在()0,∞+上为增函数；（2）22ln ln ln ln 0a b b a a a b b m m b a a b a b -æö-+-£Û£ç÷-èø，取()ln f x x x =，()2g x x =，因为a b >，所以由柯西中值定理，(),b a x $Î，使得()()()()()()22ln ln 1ln 2f a f b f a a b b g a g b a b g x xx x--+===-¢-¢，由题则有：1ln 2m xx+£，设()()1ln 0e 2x G x x x+=<<，()2ln 2xG x x -¢=，当01x <<时，()0G x ¢>，当1e x <<时，()0G x ¢<，所以()G x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，所以()()max 112G x G ==，故12m ³，所以实数m 的取值范围是1,2éö+∞÷êëø.【例6】已知函数()f x 在()0,1恒有()()2xf x f x ¢>，其中()f x ¢为函数()f x 的导数，若a ，b 为锐角三角形两个内角，比较22cos (sin ),sin (cos )f f b a a b 的大小.【解析】设()()2()01f x g x x x =<<，则()()()()()243220x f x x f x x f x f x g x x x ¢¢×-××-×¢==>所以函数()g x 在()0,1上单调递增.a ，b 为锐角三角形两个内角,则π2a b +>所以ππ022b a <-<<，由正弦函数sin y x =在π0,2æöç÷èø上单调递增.则π0cos sin sin 12b b a æö<=-<<ç÷èø所以()()cos sin g g b a <，即()()22cos sin cos sin f f b a b a<所以()()22sin cos cos sin f f a b b a ×<×.(五)根据()()()f x f x g x ±-=构造函数若给出形如()()()f x f x g x ¢±=的式子通常构造偶函数或奇函数.【例7】设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ,x R "Î,有3()()f x f x x --=,在(0,)+∞上有22'()30f x x ->,若2(2)()364f m f m m m --³-+-,求实数m 的取值范围.【解析】因为()()3f x f x x --=,所以33()()()22x x f x f x --=-- 令3()()()()2x g x f x g x g x =-\=- 即函数()g x 为偶函数,因为()0,∞+上有()22'30f x x ->,所以23()()02x g x f x ¢¢=-> 即函数()g x 在(0,)+∞单调递增；又因为()()22364f m f m m m --³-+-所以33(2)(2)()(2)()22m m g m g m f m f m ---=---+2(2)()3640f m f m m m =--+-+³即(2)()g m g m -³,所以2m m -³,解得1m £ ,故选B.(六)信息迁移题中的抽象函数求解此类问题关键是如何利用题中的信息.【例8】已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()1f x ¢£对任意x ÎR 恒成立，则称函数()f x 为“线性控制函数”.(1)判断函数()sin f x x =和()e xg x =是否为“线性控制函数”，并说明理由；(2)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 在R 上严格增，设A B ､为函数()f x 图像上互异的两点，设直线AB 的斜率为k ，判断命题“01k <£”的真假，并说明理由；(3)若函数()f x 为“线性控制函数”，且()f x 是以(0)T T >为周期的周期函数，证明：对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.【解析】（1）()cos 1f x x =£¢，故()sin f x x =是“线性控制函数”；()1e 1g ¢=>，故()e x g x =不是“线性控制函数”.（2）命题为真，理由如下：设()()()()1122,,,A x f x B x f x ，其中12x x <由于()f x 在R 上严格增，故()()12f x f x <，因此()()1212f x f x k x x -=>-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢£，即()10f x ¢-£令()()F x f x x =-，故()()10F x f x ¢¢=-£，因此()F x 在R 上为减函数()()()()()()()()112212121212121101f x x f x x f x f x F x F x k k x x x x x x ------=-==£Þ£---，综上所述，01k <£，即命题“01k <£”为真命题.（3）根据（2）中证明知，对任意a b <都有()()1f a f b k a b-=£-由于()f x 为“线性控制函数”，故()1f x ¢³-，即()10f x ¢+³令()()G x f x x =+，故()()10G x f x ¢=+³¢，因此()F x 在R 上为增函数()()()()()()()()()()101f a a f b b f a f b G a G b f a f b a b a b a b a b+-+---+==³Þ³-----因此对任意a b <都有()()[]1,1f a f b a b-Î--，即()()1f a f b a b -£-当12x x =时，则()()120f x f x T -=£恒成立当12x x ¹时，若21x x T -£，则()()()()1212121f x f x f x f x x x T--³³-，故()()12f x f x T-£若21x x T ->时，则存在[)311,x x x T Î+使得()()32f x f x =故1()()()()131313f x f x f x f x x x T--³>-，因此()()()()1213f x f x f x f x T-=-<综上所述，对任意12,x x 都有()()12f x f x T -£.（事实上，对任意12,x x 都有()()122Tf x f x -£，此处不再赘述）【例9】定义：若曲线C 1和曲线C 2有公共点P ，且在P 处的切线相同，则称C 1与C 2在点P 处相切．(1)设()()221,8f x x g x x x m =-=-+．若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点P 处相切，求m 的值；(2)设()3h x x =，若圆M ：()()2220x y b r r +-=>与曲线()y h x =在点Q （Q 在第一象限）处相切，求b 的最小值；(3)若函数()y f x =是定义在R 上的连续可导函数，导函数为()y f x ¢=，且满足()()f x f x ¢³和()f x <都恒成立.是否存在点P ，使得曲线()sin y f x x =和曲线y =1在点P 处相切？证明你的结论．【解析】（1）设点11(,)P x y ，由22()1,()8f x xg x x x m =-=-+，求导得()2,()28f x x g x x ¢¢=-=-，于是11228x x -=-，解得12x =，由11()()f x g x =，得2212282m -=-´+，解得9m =，所以m 的值为9.（2）设切点3222(,),0Q x x x >，由()3h x x =求导得2()3h x x ¢=，则切线的斜率为222()3h x x ¢=，又圆M ：222()x y b r +-=的圆心(0,)M b ，直线MQ 的斜率为322x bx -，则由3222213x x x b -×=-，得32213b x x =+，令31(),03x x x x j =+>，求导得221()33x x xj ¢=-，当0x <<()0x j ¢<，当x >()0x j ¢>，即函数()j x 在上递减，在)+∞上递增，因此当x =()x j ，所以当2x min b =（3）假设存在0(,1)P x 满足题意，则有00()sin 1f x x =，对函数()sin y f x x =求导得：()sin ()cos y f x x f x x ¢¢=+，于是0000()sin ()cos 0f x x f x x ¢+=，即0000()sin ()cos f x x f x x ¢=-，平方得222222000000[()]sin [()]cos [()](1sin )f x x f x x f x x ¢==-，即有2222200000[()]sin [()]sin [()]f x x f x x f x ¢+=，因此2200201[()]1[()][()]fx f x f x ¢×+=，整理得224000[()][()][()]f x f x f x ¢+=，而恒有()()f x f x ¢³成立，则有2200[()][()]f x f x ¢³，从而4200[()]2[()]f x f x ³，显然0()0f x ¹，于是20[()]2f x ³，即0|()|f x ³与()f x <所以假设不成立，即不存在点P 满足条件.【例1】（2024年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数()f x 与()g x 的图象在它们的公共定义域D 内有且仅有一个交点()()00,x f x ，对于1x D "Î且()10,x x Î-∞，2x D Î且()20,x x Î+∞，若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×-<ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互穿；若都有()()()()11220f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，则称()f x 与()g x 关于点()()00,x f x 互回.已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，导函数分别为()f x ¢与()g x ¢，()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ，()f x ¢与()g x ¢的图象在R 上有且仅有一个交点()(),m f m ¢.(1)若()e xf x =，()1g x x =+，试判断函数()f x 与()g x 的位置关系.(2)若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互回，证明：()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.(3)研究表明：若()f x ¢与()g x ¢关于点()(),m f m ¢互穿，则()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互回且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.根据以上信息，证明：23e 126!ixx x x x i ³++++×××+（i为奇数）.【解析】（1）设()()()()e 1e 1x xH x f x g x x x =-=-+=--，则()e 1xH x ¢=-，当0x <时，()0H x ¢<，当0x >时，()0H x ¢>，()H x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00e 10H x H ³=-=，即()()f x g x ³，当且仅当0x =时取等号.又()f x 与()g x 的图象在R 上有且仅有一个交点()0,1，\函数()f x 与()g x 关于点()0,1互回.（2）设1x m <，2x m >，则()()()()11220f x g x f x g x ¢¢¢¢éùéù-×->ëûëû，（互回的定义的应用）设()()()h x f x g x =-，则()()()h x f x g x ¢¢¢=-，故()()120h x h x ¢¢>.①若()()12,h x h x ¢¢均大于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，（提示：()f x ¢与()g x ¢的图象交于点()(),m f m ¢.所以()0h x ¢³，所以()h x 单调递增，又()()()0h m f m g m =-=，（提示：()f x 与()g x 的图象交于点()(),m f m ）所以()10h x <，()20h x >，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.②若()()12,h x h x ¢¢均小于零，因为()()()0h m f m g m ¢¢¢=-=，所以()0h x ¢£，所以()h x 单调递减，又()()()0h m f m g m =-=，所以()10h x >，()20h x <，所以()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x ×=-×-<éùéùëûëû，()()120h x h x ¢×>，所以()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.综上，()f x 与()g x 关于点()(),m f m 互穿且()()()()0f x g x f x g x ¢¢-×->éùéùëûëû在(),m +∞上恒成立.（3）设()e xi f x =，()23126!ii x x x g x x i =+++++L （N *i Î）则()()'1e xi i f x f x -==（2i ³），()()()231'11261!i i i x x x g x x g x i --=+++++=-L （2i ³）（关键：寻找()'i f x 与()1i f x -，()'i g x 与()1i g x -，2i ³之间的关系）易知()1e xf x =，()11g x x =+，由（1）可知()1f x 与()1g x 关于点()0,1互回.因为()()00e 10i i f g ===，所以*N i "Î，()i f x 与()i g x 的图象交于点()0,1.由（2）得()2f x 与()2g x 关于点()0,1互穿，（提示：()()21f x f x ¢=，()()21g x g x ¢=）由（3）得()3f x 与()3g x 关于点()0,1互回，易得当i 为奇数时，()i f x 与()i g x 关于点()0,1互回，所以()1,0x "Î-∞，()20,x Î+∞，有()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû（i 为奇数）.（提示：互回的定义的应用）由题意得()()()()2212120i i i i f x g x f x g x --éùéù-×->ëûëû对任意正整数i 恒成立，（提示：由本问信息可得）所以()()()()121222220i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû()()()()222232320i i i i f x g x f x g x ----éùéù-×->ëûëû，L ，()()()()222212120f xg x f x g x éùéù-×->ëûëû累乘得()()()()()()222121212120i i i i f x g x f x g x f x g x --éùéùéù-×-->ëûëûëûL 所以()()()()2212120i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû易知()()12120f x g x ->，（点拨：()()11f x g x ³，当且仅当0x =时等号成立，又()20,x Î+∞，所以()()1212f x g x >.所以()()220i i f x g x ->.因为()()()()11220i i i i f x g x f x g x éùéù-×->ëûëû，（i 为奇数），所以()()110i i f x g x ->（i 为奇数），因为()()00i i f g =，所以()()i i f x g x ³（i 为奇数），即23e 126!ixx x x x i ³++++¼+（i 为奇数），得证.【例2】（2024届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间I 上连续的可导函数()y f x =，在I 上任取两点()11(,)x f x ，()22(,)x f x ，如果对于任意的1x 与2x 的算术平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的算术平均值，则称该函数在I 上具有“M 性质”.如果对于任意的1x 与2x 的几何平均值的函数值大于等于对于任意的1x 与2x 的函数值的几何平均值，则称()y f x =在I 上具有“L 性质”.(1)如果函数log a y x =在定义域内具有“M 性质”，求a 的取值范围.(2)对于函数ln y ax x =-，若该函数的一个驻点是1=x e ，求a ，并且证明该函数在2,x e éùÎ+∞ëû上具有“L 性质”.(3)设存在,m n I Î，使得()()f m f n =.①证明:取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-②若[,]I a b =，设命题p :函数()y f x =具有“M 性质”，命題:()q f x ¢为严格减函数，试证明p 是q 的必要条件.(可用结论:若函数()f x 在区间I 上可导，且在区间I 上连续，若有(,)a b I Í，且()()f a f b =，则()f x 在区间I 上存在驻点)【解析】（1）由函数()log a f x x =在(0,)+∞上具有“M 性质”，可得对任意()1212121,(0,),log log log log 22aa a a x x x x x x +Î+∞³+=又12x x +³1a >；（2）令1()ln ,()g x ax x g x a x ¢=-=-由10e g æö¢=ç÷èø，得ea =则()e ln g x x x =-，在10,e æöç÷èø上严格减:在1,e æö+∞ç÷èø上严格增.要证()g x 在)2e ,é+∞ë上具有“L 性质”.需证g³即证()()212gg x g x éù³×ëû，而(222212 e ln gx x éù==-ëû()()()()()2121122121221e ln e ln e e ln l n ln ln g x g x x x x x x x x x x x x x ×=--=-++×则()()2212121lnln 4x x x x =-()121221ln ln n e l ln x x x x x x +-³，需证()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x x x +-++³，由()212121ln ln ln ln 4x x x x+³，()()122112e ln ln x x x xx x +-12ln ln x x éù=××ëû2e==故只需证0³，下面给出证明：设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x -¢=，即在(e,)+∞上()0,()h x h x<¢递减，所以0hh éù-£ëû，即0³.综上，()()()212121221121ln ln e ln ln ln ln 4x x x x x x x x p x x +-++成立，故g³，得证.（3）①令()(()())()()g x f m f n x f x m n =---，()()()()()g x f m f n f x m n ¢¢=---，由可用结论，令x x =为该函数的驻点，则0()()()()()g f m f n f m n x x ¢¢==---，即取(,)m n x Î，则有()()()()f m f n f m n x ¢-=-，得证.②取12,(,)x x a b Î，设12,(0,1),{1,2}k x x u k <ÎÎ，记01220012,x x x h x x x x =+=-=-，则1020,x x h x x h =-=+，由①中的结论，则有:()()()0001f x h f x hf x u h ¢+-=+（1）()()()0002f x h f x hf x u h ¢--=-（2）由(1)-(2)，得()()()()()00001022f x h f x h f x h f x u h f x u h ¢¢éù-++-=+--ëû对()f x ¢在区间[]0201,x u h x u h -+使用①中的结论，则：()()()2120102()f u u h h f x u h f x u h x ¢¢¢¢éù+=+--ëû，其中，()0201,x u h x u h x Î-+.由于()f x ¢是严格减函数，则()0f x ¢¢£，即()()()0002f x h f x h f x ++-³，即()()121222f x f x x x f ++æö³ç÷èø.所以p 是q 的必要条件.【例3】已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，导函数为()f x ¢，若()()1f x f x x <¢+恒成立，求证：()()3210f f -<.【解析】设函数()()()01f xg x x x =³+，因为()()1f x f x x <¢+，0x ³，所以()()()10x f x f x ¢+-<，则()'g x ()()()()2101x f x f x x -=+¢+<，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，从而()()13g g >,即()()1324f f >，所以()()3210f f -<.【例4】已知函数()f x 满足()()1'xf x f x e +=，且()01f =，判断函数()()()2132g x f x f x =-éùëû零点的个数.【解析】()()()()1''1x x x f x f x e f x e f x e +=Û+=()'1x e f x éùÛ=ëû，∴()xe f x x c =+，()xx c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e +=.()()()()213002g x f x f x f x =-=Þ=éùëû或()16f x =，()1001xx f x x e +=Þ=Þ=-；()()1116166x x x f x e x e +=Þ=Þ=+，如图所示，函数x y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个.【例5】已知定义在R 上的函数()f x 的导数为()f x ¢,且满足()()2sin f x f x x +-=,当0x ³时()sin cos f x x x x ¢>-- ,求不等式()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x <+的解集.【解析】设()()sin g x f x x =-,则()()sin g x f x x -=-+,所以()()g x g x --=()()f x f x --2sin 0x -=,所以()g x 是偶函数,设()()sin 0h x x x x =-³,则()1cos 0h x x ¢=-³,所以()()0h x h ¢³,即sin 0x x -³,所以0x ³时()sin cos cos f x x x x x ¢>--³- , 所以0x ³时()()cos 0g x f x x ¢¢=+>,()g x 在[)0,+∞上是增函数,所以()π22f x f x æö--ç÷èøsin 2cos x x<+()2sin 2f x xÛ-ππsin 22f x x æöæö<---ç÷ç÷èøèø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èø()π22g x g x æöÛ<-ç÷èøπ22x x Û<-Û()22π22x x æö<-ç÷èøππ3022x x æöæöÛ+-<ç÷ç÷èøèøππ26x Û-<<,故选C.【例6】已知定义域为R 的函数()y f x =，其导函数为()y f x ¢¢=，满足对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<.(1)若()sin 4xf x ax =+，求实数a 的取值范围；(2)若存在0M >，对任意x ÎR ，成立()f x M £，试判断函数()y f x x =-的零点个数，并说明理由；(3)若存在a 、()b a b <，使得()()f a f b =，证明：对任意的实数1x 、[]2,x a b Î，都有()()122b af x f x --<.【解析】（1）若()sin 4x f x ax =+，则cos ()4xf x a ¢=+，由题意，对任意的x ÎR 都有()1f x ¢<，则1cos 4x a +<，即1cos 14xa <+<-，所以cos cos 1441x xa <---<，由于1cos 4x -的最小值为34，cos 14x --的最大值为34-，所以3344a -<<，即实数a 的取值范围为33,44æö-ç÷èø；（2）依题意，()10y f x ¢¢=-<，所以，()y f x x =-在R 上为减函数，所以至多一个零点；()f x M £Þ()M f x M -<<，，当1x M =--时，()()110y f x x f M M =-=--++>，当1x M =+时，()()110y f x x f M M =-=+--<，所以()y f x x =-存在零点，综上存在1个零点；（3）因为()1f x ¢<，由导数的定义得()()12121f x f x x x -<-，即()()1212f x f x x x -<-，不妨设12a x x b £££若122b ax x --£，则()()12122b a f x f x x x --<-£若122b a x x -->，则()()()()()()1212f x f x f x f b f a f x -=-+-()()()()12f x f b f a f x <-+-12b x x a<-+-()22b a b ab a --<--=.1.若定义域为D 的函数()y f x =使得()y f x ¢=是定义域为D 的严格增函数，则称()f x 是一个“T 函数”．(1)分别判断()13=x f x ，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由；(2)已知常数0a >，若定义在()0,∞+上的函数()y g x =是T 函数，证明：()()()()132g a g a g a g a +-<+-+；(3)已知T 函数()y F x =的定义域为R ，不等式()0F x <的解集为(),0∞-．证明：()F x 在R 上严格增．2．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x ¢，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ÎR ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．3．（2024届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y l l =+，其中l 为拉格朗日系数．分别对(,,)L x y l 中的,,x y λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y g x y L x y f x y g x y L x y g x y ll l l l l =+=ìï=+=íï==î，解此方程组，得出解(,)x y ，就是二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点．,x y 的值代入到(,)f x y 中即为极值．补充说明：【例】求函数22(,)f x y x xy y =++关于变量x 的导数．即：将变量y 当做常数，即：(,)2x f x y x y =+，下标加上x ，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的,,x y L L L l 表示分别对,,x y λ进行求导．(1)求函数222(,)2f x y x y xy xy =++关于变量y 的导数并求当1x =处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数,x y 满足22(,)410g x y x y xy =++-=，求(,)2f x y x y =+的最大值．(3)①若,,x y z 为实数，且1x y z ++=，证明：22213x y z ++³．②设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．4．（2024届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>¹，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数x y x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ¢¢¢¢éù====+êúëû.(1)已知()10x xf x xx -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ¹，0x >.研究()112xxm g x æö+=ç÷èø的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2t s s a b æö+ç÷èø和2st t a b æö+ç÷èø大小关系.5．（湖北省八市高三下学期3月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处的()*n n ÎN 阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++¢¢×××+¢+×××．注：()f x ¢¢表示()f x 的2阶导数，即为()f x ¢的导数，()()()3n f x n ³表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.(1)根据该公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：246cos 12!4!6!x x x x =-+-+×××．当0x ³时，试比较cos x 与212x-的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；(3)设*n ÎN ，证明：()111142tannk n n n k n k=>-+++å.6. 函数()f x 满足22()(e )(2)ex f x f x -+=（e 为自然数的底数），且当1x £时，都有()()0f x f x ¢+>（()f x ¢为()f x 的导数），比较20202022(2022)(2020),e ef f 的大小 .7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x ¢，且2()()0f x xf x ¢+>．求证： ()0f x ³.8.已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，()23f x +是偶函数，记()()g x f x ¢=，()2g x +也是偶函数，求()2023f ¢的值.9. 定义在()0,∞+上的函数()y f x =有不等式()()()23f x xf x f x ¢<<恒成立，其中()y f x ¢=为函数()y f x =的导函数，求证：()()2481f f <<.10．已知()f x ¢为定义域R 上函数()f x 的导函数，且()()20f x f x ¢¢+-=，1x ³， ()()()120x f x f x -+>¢且()31f =，求不等式()()241f x x >-的解集11.定义在区间(0,)+∞上函数()f x 使不等式2()'()3()f x xf x f x <<恒成立，（'()f x 为()f x 的导数），求(2)(1)f f 的取值范围.12.设()y f x =是定义在R 上的奇函数.若()(0)f x y x x=>是严格减函数，则称()y f x =为“D 函数”.(1)分别判断y x x =-和sin y x =是否为D 函数，并说明理由；(2)若1112xy a =-+是D 函数，求正数a 的取值范围；(3)已知奇函数()y F x =及其导函数()y F x ¢=定义域均为R .判断“()y F x ¢=在()0,∞+上严格减”是“()y F x =为D 函数”的什么条件，并说明理由.13.设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的导数()f x ¢满足0()1f x ¢<<．（1）试判断函数sin ()24x x f x =+是否集合M 的元素，并说明理由；（2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质：对于任意的区间[],m n ，都存在0[,]x m n Î，使得等式()0()()()f n f m n m f x ¢-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解．（3）设1x 是方程()0f x x -=的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R Î，当211x x -<，311x x -<时，有()()322f x f x -<．14.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()2f x f x ¢+>，()02024f =，求不等式2022()2e xf x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集。

新高三数学导数知识点归纳导数是高等数学中的重要概念，是微积分中的基础内容。

在高三数学学习中，导数知识点是必学的内容之一。

本文将对新高三数学导数知识点进行归纳和总结，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、导数的定义导数是函数在某一点上的变化率，用数学符号表示为f'(x)，读作"f关于x的导数"，也可以读作"f的导数"。

导数的定义如下：若函数f(x)在点x处有极限lim┬(△x→0)⁡〖(f(x+△x)-f(x) )/△x=lim┬(△x→0)⁡(△f(x)/△x=f'(x)〗其中Δf(x)表示函数f(x)在点x处的增量，Δx表示自变量的增量。

二、常用函数的导数1. 常数函数的导数：对于常数函数f(x)=c (c为常数)，其导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x^n (n为正整数)，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。

3. 指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a^x (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=a^x*lna。

4. 对数函数的导数：对于对数函数f(x)=logₐx (a>0,a≠1)，其导数为f'(x)=1/(x*lna)。

5. 三角函数的导数：常见的三角函数(sin、cos、tan等)的导数如下：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2x。

三、导数的运算法则1. 基本运算法则：（1）常数的导数为0；（2）导数的线性性，即导数与常数的乘积等于常数乘以导数。

2. 加减法法则：（1）两个函数的和(差)的导数等于两个函数的导数的和(差)；（2）即(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。

3. 乘积法则：（1）两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数；（2）即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

【热点聚焦】新课程及新高考对极值（最值）的基本要求是：了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.从高考命题看，往往以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．【重点知识回眸】（一）函数的极值1.函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2.函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点4.极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点5.()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x = 说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点） 6.求极值点的步骤：（1）筛选： 令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点） （2）精选：判断函数通过()'fx 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点. 8、极值点与函数奇偶性的联系：（1）若()f x 为奇函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极小（极大）值点（2）若()f x 为偶函数，则当0x x =是()f x 的极大（极小）值点时，0x x =-为()f x 的极大（极小）值点 （二）函数的最值1.在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．2.若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3.最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点4.最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到.()f x 没有最大值.5.一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个.6．“最值”与“极值”的区别和联系如图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．7.结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．8.最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点. 9.利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 10.最值(点)的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-.x 3x 2x 1baxOy【典型考题解析】热点一 函数极值的辨析【典例1】（重庆·高考真题（理））设函数()f x 在R 上可导，其导函数为 ()'f x ，且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值 (2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值 (2)f -和极小值(2)f【典例2】【多选题】（2022·江苏·常熟市尚湖高级中学高二期中）已知函数221()e 4x f x x x x =---，则（ ）A ．12-和0是函数()f x 的极值点B ．()f x 在1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的极大值为12e-D ．()f x 的极小值为14-【总结提升】1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f (x )的图象还是f ′(x )的图象，若给的是f (x )的图象，应先找出f (x )的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x )的图象，应先找出f ′(x )的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．2.f (x )在x ＝x 0处有极值时，一定有f ′(x 0)＝0，f (x 0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f (x )在x ＝x 0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x 0)＝0，则f (x )未必在x ＝x 0处取得极值，只有确认x 1<x 0<x 2时，f (x 1)·f (x 2)<0，才可确定f (x )在x ＝x 0处取得极值．3.易错提醒：（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．热点二 已知函数（图象），求极值点的个数【典例3】（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数()f x 的定义域为(a ，b )，导函数()'f x 在(a ，b )上的图象如图所示，则函数()f x 在(a ，b )上的极大值点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例4】【多选题】（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【易错提醒】极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 热点三 已知函数（图象），求极值（点）【典例5】（陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上【典例6】（2017·全国·高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（ ）． A ．B ．C ．D ．【典例7】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））函数21()ln 2f x x x =-的极值点是_________. 【方法总结】一般地，有两种类型，即根据函数图象和已知函数求极值（点）问题，已知函数求极值（点）3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =2x =-21()(1)x f x x ax e -=+-()f x 1-32e --35e -1问题，求已知函数的极值，要注意f ′(x)＝0的根是否在定义域内． 热点四 已知极值(点)，求参数的值或取值范围【典例8】（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ） A ．B ．C ．D ．【典例9】（广东·高考真题（文））设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ） A ．B ．C ．D ． 【典例10】（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【典例11】（2022·全国·高考真题（理））已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【典例12】（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））若函数()2x f x e ax =+无极值点，则a 的取值范围是______． 【规律方法】1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2.由函数极值（个数）求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号． 热点五 利用导数求函数的最值【典例13】（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【典例14】（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+． (1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．0a ≠x a =()()()2f x a x a x b =--a b <a b >2ab a <2ab a >a R ∈e x y ax =+x ∈R 1a <-1a >-1a e<-1a e>-【典例15】（2021·北京高考真题）已知函数()232xf x x a-=+． （1）若0a =，求()y f x =在()()1,1f 处切线方程；（2）若函数()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及最大值和最小值． 【规律方法】1.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．2.当导函数y ＝f ′(x )无法判断正负时，可令g (x )＝f ′(x )再求g ′(x )，先判断g (x )＝f ′(x )的单调性，再根据单调性确定y ＝f ′(x )的正负号． 热点六 函数的最值求参数值（范围）【典例16】（2021·全国高三二模）已知直线y kx =与曲线()ln y x b =+相切，当b 取得最大值时，k 的值为_______________________．【典例17】（2022·福建·莆田一中高二期末）已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中R k ∈.(1)当3k =时，求函数()f x 在()0,3内的极值点；(2)若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围. 【易错提醒】1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．热点七 利用导数解决生活中的优化问题【典例18】](2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上)．经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米．(1)求桥AB 的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO ′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点)．桥墩EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价32k (万元)(k ＞0)，问O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？ 【易错提醒】1.利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题，结合实际问题作答．2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点2．（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如图所示，以下结论：①()f x 在区间(2,3)-上有2个极值点 ②()'f x 在1x =-处取得极小值 ③()f x 在区间(2,3)-上单调递减④()f x 的图像在0x =处的切线斜率小于0 正确的序号是（ ） A ．①④B ．②③④C ．②③D ．①②④3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和()3fB ．函数()f x 有极小值()3f -和()3fC ．函数()f x 有极小值()3f 和极大值()3f -D ．函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f4．（2023·全国·高三专题练习）设直线x t =与函数()22f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为（ ） A ．1B ．12C 5D 2 5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数()f x 321132x x cx d =+--有极值，则c 的取值范围为（ ） A ．14c <-B ．14c ≤-C ．14c ≥-D ．14c >-6．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（理））若函数()2ln f x x x=-，满足() f x a x ≥-恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．3ln 2-D ．3ln 2+7．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）若函数2()()2f x x x c x =-=在处有极大值，则常数c 的值为（ ） A ．4B ．26或C ．2D ．68．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππB ．22ππC ．-1D ．09．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期8月数学（理）开学考试巩固试题）已知函数()sin f x x x =-，12,0()e ,0x x x g x x -+≤⎧=⎨>⎩，若关于x 的方程(())0f g x m +=有两个不等实根1x ，2x ，且12x x <，则12x x +的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．1ln2+D ．42ln 2+10．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知1x ，2x 是函数()222ln f x x ax x =-+的两个极值点，且12x x <，当52a ≥时，不等式()12f x mx ≥恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．8ln 2,09⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．8,ln 29⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦C ．8ln 2,09⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．8ln 2,9⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题11．（2022·江西·丰城九中高二期末（理））函数32()132ax ax f x x =-++在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）A ．9,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭C ．1,06a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．19,62a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭12．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）设函数()()24143e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.若()f x 在2x =处取得极大值，a 的值可能为（ ）A ．-2B ．14C ．1D ．2 三、填空题13．（2019·浙江·杭州四中高三开学考试）已知函数()4f x a x a x=-++在区间[]1,4上的最大值是5，则实数a 的取值范围是________．14．（2022·广东广州·高二期末）已知函数()()2ln 21f x x a x =++有两个不同的极值点1x 、2x ，且12x x <，则实数a 的取值范围是___________.15．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知关于x 不等式e x a x b ≥+对任意R x ∈和正数b 恒成立，则a b的最小值为______．16．（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）若1x =-是函数()()221e -=-+x f x x ax 的极值点，则=a ______；()f x 的极大值为______.三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝ax ﹣1﹣ln x （a ∈R ）．(1)讨论函数f （x ）的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f （x ）在x ＝1处取得极值，∀x ∈（0，+∞），f （x ）≥bx ﹣2恒成立，求实数b 的最大值．18.（2018·北京高考真题（文））设函数f(x)=[ax 2−(3a +1)x +3a +2]e x . （Ⅰ）若曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围.。

新高考导数知识点汇总导数是高中数学中的一项重要内容，作为数学分析的基础，它在新高考中也占据着重要的位置。

在新高考改革背景下，导数的考查变得更加全面和细致，要求学生不仅要理解概念，还要掌握运用。

本文将汇总新高考导数知识点，以帮助学生全面理解和掌握导数的相关内容。

一、导数的定义和基本概念在学习导数的过程中，首先要了解导数的定义和基本概念。

导数表示函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。

具体来说，若函数f(x)在点x处的导数存在，则将其记作f'(x)，其定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，Δx表示自变量x的增量。

导数的基本概念还包括导函数、导数的几何意义、导数的符号判定等。

二、求导法则求导法则是导数计算的基础。

常见的求导法则包括：1. 常数求导法则：常数的导数为0。

2. 幂函数求导法则：对于函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

3. 指数函数求导法则：对于函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，其导数为f'(x) = a^x·ln⁡a。

4. 对数函数求导法则：对于函数f(x) = logₐx，其中a为常数且a>0且a≠1，其导数为f'(x) = 1/(x·ln⁡a)。

5. 三角函数求导法则：对于函数f(x) = sinx，f'(x) = cosx；对于函数f(x) = cosx，f'(x) = -sinx；对于函数f(x) = tanx，f'(x) = sec²x。

6. 反三角函数求导法则：对于函数f(x) = arcsinx，f'(x) = 1/√(1-x²)；对于函数f(x) = arccosx，f'(x) = -1/√(1-x²)；对于函数f(x) = arctanx，f'(x) = 1/(1+x²)。