最新高中数学导数专题讲义(答案版)

专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-. 由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-.令()0g'x =得0x =或83x =. (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围． 注：e=…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a ≤，得0a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x =．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a ．综上所述，所求a 的取值范围是⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]【答案】A【解析】f′(x)=2x −2x =2x 2−2x(x >0)，令f′(x)≤0，解得：0<x ≤1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 2【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立，即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立． 令g （x ）ln x x =-，则g ′（x ）21ln xx -=-， ∴g （x ）ln xx =-在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）ln x x =-的最小值为g （e ）=1e-，∴a ＞1e-． 故选B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x,g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )−e x >0等价为f (e x )e x>f (2)2，即g (e x )>g (2)，故e x <2,即x <ln2， 则所求的解集为(−∞,ln2). 故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题. 21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c【答案】D【解析】依题意，得ln33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令f (x )=ln x x，所以f ′(x )=1−ln x x 2.所以函数f (x )在(0,e )上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以[f (x )]max =f (e )=1e =b ，且f (3)>f (8)，即a >c ， 所以b >a >c . 故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1ex x a +>恒成立， 设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调递减，又∵g (1)=0，∴当0<x <1时，g (x )>g (1)=0，即ℎ′(x )>0； 当x >1时，g (x )<g (1)=0，即ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=1e ，∴a >1e . 故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-，当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-，当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去. 故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--， 即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=， 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-. 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =()g t '= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增；当8t时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥. 当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e(2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ，解f ′(x )=1x −a <0得x >1a ， 所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)，则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k (x )在(0,+∞)上为减函数. 又k (1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x )>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0. 所以ℎ(x )在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx −xe x +ax(a ∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a =1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a ≤2e −1；（2）f(x)max =−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x +1)e x −1x ，则g′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1， 所以a ≤2e −1.（2）当a =1时，f(x)=lnx −xe x +x(x >0). 则f′(x)=1x−(x +1)e x +1=(x +1)(1x−e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0.当x ∈(0,x 0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2] =−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2， 所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2. 令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1). 当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减,所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2；（2）−2e <m <13e 4或m =6e 3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)， 即m e −x −(−x)2+3=m e x −x 2+3对于任意实数x 都成立， 所以m =0. 此时ℎ(x)=xf(x)=−x 3+3x ，则ℎ′(x)=−3x 2+3. 由ℎ′(x)=0，解得x =±1. 当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增. 所以ℎ(x)有极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2. （2）由f(x)=m e x −x 2+3=0，得m =x 2−3e x.所以“f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点”等价于“直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g ′(x)=−x 2+2x+3e x.由g ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=3. 当x 变化时，g ′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(−2,−1)，(3,4)上单调递减，在(−1,3)上单调递增. 又因为g(−2)=e 2，g(−1)=−2e ，g(3)=6e 3<g(−2)，g(4)=13e 4>g(−1)，所以当−2e <m <13e4或m =6e3时，直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点.即当−2e <m <13e 4或m =6e3时，函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.。

第 6 讲导数及其应用1.认识导数的实质背景 (如刹时速度、加快度、圆滑曲线切线的斜率等 )，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的观点．2.熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法例，会求某些简单函数的导数 .3.理解可导函数的单一性与其导数的关系，认识可导函数在某点获得极值时的必需条件和充足条件 ( 导数在极值点双侧异号 )，能用导数解决一些实质问题 (一般指单峰函数 )的最大值和最小值等．1.已知 m 为实数，函数 f(x) ＝ x2(x － m)，若 f ′(－1) ＝－ 1，则 f(x) 的单一递减区间为________．4答案：－3，0分析：∵ f ′(x)＝3x2－ 2mx ，f′ (－ 1)＝ 3＋ 2m＝－ 1，m＝－ 2，∴ f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4x＜0，－4＜ x＜ 0.312. 已知某生产厂家的年收益y(万元 )与年产量x(万件 )的函数关系式为3－y＝－ x ＋ 81x3234，则使该生产厂家获取最大年收益的年产量为________万件．答案： 9分析： y′＝－ x2＋ 81＞0，解得 0＜ x＜ 9；令导数y′＝－ x2＋ 81＜ 0，解得 x＞ 9.因此函数y1 3＝－ 3x ＋ 81x－ 234 在区间 (0，9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，因此在x＝ 9 处取极大值，也是最大值．3. 若函数 f(x) ＝ 2x2－ lnx 在其定义域内的一个子区间(k－ 1，k＋ 1)内不是单一函数，则实数 k 的取值范围是 ________．答案： 1，3211分析：因为′(x)＝ 0 ，得f(x) 的定义域为 (0 ，＋∞)， f′ (x)＝ 4x－，由 f x＝ . 据题意得x21 k－1<2<k＋1，解得1≤k＜3.k－ 1≥0，22＋ lnx 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是 ________.4. 若曲线 f(x) ＝ ax答案： a＜ 0分析：由题意知该函数的定义域为(0 ，＋∞)，由 f′ (x) ＝ 2ax＋1x.因为存在垂直于 y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转变为在x＞ 0 范围内，导函数 f′ (x)＝ 2ax＋1存在零点．等价于方程 2ax＋1＝ 0 在 (0，＋∞)内有解，明显可得 a＝－12x x2x∈ (－∞， 0)．题型一利用导数求曲线的切线方程例 1 (2013·浙江卷)已知a∈R ，函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax.(1)若 a＝1，求曲线 y＝ f(x) 在点 (2， f(2)) 处的切线方程；(2)若 |a|>1，求 f(x) 在闭区间 [0， |2a|]上的最小值．解： (1) 当 a＝ 1 时， f(x) ＝ 2x3－ 6x2＋ 6x ，∴ f(2) ＝ 16－ 24＋ 12＝ 4.∵ f ′(x)＝6x 2－ 12x ＋ 6，∴ f ′ (2)＝ 24－ 24＋ 6＝ 6，∴ y ＝f(x) 在 (2， f(2)) 处的切线方程为 y － 4＝ 6(x － 2) 6x － y － 8＝ 0.(2) ∵ f ′＝(x)6x 2－ 6(a ＋ 1)x ＋ 6a ＝ 6[x 2－ (a ＋ 1)x ＋a]＝6(x － 1)(x － a)，① 当 a>1 时， x ∈(－ ∞， 1]∪ [a ，＋ ∞)时， y ＝f(x) 递加， x ∈ (1，a)时， y ＝ f(x) 递减，∴当 x ∈ [0， 2|a|]时，且 2|a|>2， x ∈[0， 1]∪ [a ， 2|a|]时， y ＝ f(x) 递加， x ∈ (1， a)时， y ＝ f(x) 递减， ∴ 最小值是 f(a) ＝2a 3－ 3(a ＋ 1)a 2＋ 6a 2＝ 3a 2－ a 3；再比较 f(0) ＝0 与 f(a) 的大小， ∴ 当 a>3 时， f(x) min ＝ 3a 2－ a 3，当 1<a ≤3时， f(x) min ＝ 0.② 当 a<－ 1 时，且 2|a|>2，在 x ∈[0，2|a|]时， x ∈ (0，1)时， y ＝ f(x) 递减， x ∈ [1，2|a|]时，y ＝ f(x) 递加，∴ 最小值是 f(1) ＝ 3a －1.3a － 1， a ＜－ 1，综上所述： f(x) 在 [0， |2a|]上的最小值g(a)＝ 0， 1<a ≤ 3，3a 2－ a 3， a>3.已知函数 f(x) ＝ ax 3＋ x 2－ ax ，此中 a ∈ R ， x ∈R . (1) 当 a ＝1 时，求函数 f(x) 在 x ＝ 1 处的切线方程；(2) 若函数 f(x) 在区间 (1， 2)上不是单一函数，试求 a 的取值范围；(3) 已知 b>－ 1，假如存在 a ∈ (－ ∞，－ 1]，使得函数 h(x) ＝ f(x) ＋ f ′ (x)(x ∈ [－ 1，b]) 在 x＝－ 1 处获得最小值，试求 b 的最大值．解： (1) 当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 3＋ x 2－ x ，则 f ′(x)＝ 3x 2＋ 2x － 1，故 k ＝ f ′(1)＝ 4. 又切点为 (1， 1)，故所求切线方程为 y － 1＝ 4(x － 1)，即 4x － y － 3＝ 0.(2) 由题意知， f ′ (x) ＝ 3ax 2＋ 2x － a 在区间 (1， 2)上有不重复的零点，由 f ′(x)＝ 3ax 2＋ 2x － a ＝0，得 (3x 2－ 1)a ＝－ 2x.因为 3x 2－ 1≠0，因此 a ＝－2x3x 2－ 1.2x6x 2＋ 22x令 y ＝－ 3x 2－ 1，则 y ′＝ （ 3x 2－1） 2>0 ，故 y ＝－ 3x 2－ 1在区间 (1， 2)上是增函数，因此其值域为 －1，－ 4，114进而 a 的取值范围是 －1，－ 11 .(3) h(x) ＝ f(x) ＋ f ′ (x)＝ax 3＋ (3a ＋ 1)x 2＋ (2－ a)x － a ， 由题意知 h(x) ≥h(－ 1)对 x ∈ [－ 1， b]恒建立，即 ax 3＋(3a ＋ 1)x 2＋ (2－ a)x － a ≥2a － 1 对 x ∈[－ 1， b]恒建立，即(x ＋1)[ax 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ (1－ 3a)] ≥0①对 x ∈ [ － 1， b]恒建立．当 x ＝－ 1 时，①式明显建立；当 x ∈ (－ 1， b]时，①式可化为ax 2＋ (2a ＋1)x ＋(1－ 3a) ≥0 ②，令 φ(x)＝ ax 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ (1－ 3a)，则其图象是张口向下的抛物线，φ（－ 1） ≥0， 即 － 4a ≥0，因此ab 2＋（ 2a ＋ 1） b ＋（ 1－ 3a ） ≥0，φ （b ） ≥0，其等价于 b 2＋ 2b － 3 ≤－ 1③ .b ＋ 1 a b 2＋ 2b － 3因为③在 a ∈ (－∞，－ 1]时有解，因此1＝1，解得－ 1<b ≤17－ 1 ≤ －a ，从b ＋ 1max2而 b 的最大值为17－ 12 .题型二 利用导数研究函数的性质例 2 设函数 f(x) ＝ x(e x － 1)－ ax 2.1(1) 若 a ＝2，求 f(x) 的单一区间；(2) 若当 x ≥0时， f(x) ≥0，求 a 的取值范围．解： (1) a ＝ 12时， f(x) ＝ x(e x － 1)－ 12x 2，f ′ (x)＝ e x － 1＋ xe x －x ＝ (e x － 1)(x ＋1)．当 x ∈ (－ ∞，－ 1)时，f ′ (x)>0 ；当 x ∈ (－ 1，0)时，f ′ (x)<0 ；当 x ∈ (0，＋∞)时，f ′ (x)>0. 故 f(x) 在 (－ ∞，－ 1)， (0，＋ ∞)上单一递加，在 (－ 1，0) 上单一递减．(2) f(x) ＝ x(e x － 1－ ax)，令 g(x) ＝ e x － 1－ax ， g ′ (x)＝ e x － a.若 a ≤1，则当 x ∈ (0，＋ ∞)时， g ′ (x)>0 ， g(x) 为增函数，而 g(0) ＝0，进而当 x ≥0时， g(x) ≥0，即 f(x) ≥ 0.若 a>1，则当 x ∈ (0， ln a)时， g ′(x)<0 ， g(x)为减函数，而 g(0) ＝ 0，进而当 x ∈ (0， ln a)时， g(x)<0 ，即 f(x)<0. 综上， a 的取值范围为 (－∞， 1]．已知 a>0，b ∈ R ，函数 f(x) ＝ x 3＋ ax ，g(x) ＝ x 2＋ bx ，f ′ (x)、g ′(x)是 f(x) 、g(x)的导函数．若 f ′ (x)g ′ (x)≥ 0 在区间 [ － 1，＋ ∞)上恒建立．(1) 务实数 b 的取值范围；(2) 当 b 取最小值时，议论函数 h(x) ＝ f(x) －g(x) 在[ － 1，＋ ∞)上的单一性． 解： (1) ∵ f(x) ＝ x 3＋ ax ， g(x)＝ x 2＋ bx ，∴ f ′(x)＝ 3x 2＋ a ，g ′ (x)＝ 2x ＋ b. x ∈ [ －1，＋ ∞)，f ′(x )g ′(x)≥ 0，即 x ∈[ － 1，＋ ∞)，(3x 2＋ a)(2x ＋ b) ≥0∵.a ＞ 0，∴ 3x 2＋ a ＞ 0，∴ x ∈[ －1，＋ ∞)， 2x ＋ b ≥0，即 x ∈ [－ 1， ＋ ∞)，b ≥－ 2x ，∴ b ≥ 2，故所务实数 b 的取值范围是 [2，＋ ∞)．(2) b 的最小值为 2， h(x) ＝x 3－ x 2＋ ax － 2x ，2127h ′(x) ＝ 3x － 2x ＋ a － 2＝ 3 x － 3 ＋ a － 3.7 2＋a － 2≥0对 x ∈[ －1，＋ ∞)恒建立， h(x) 在 [ － 1，＋ ∞)上单一当 a ≥ 时， h ′ (x) ＝ 3x － 2x 3递加；当 0＜ a ＜ 7时，由 h ′(x)＝ 3x 2－ 2x ＋ a － 2＝ 0，得 x ＝ 1± 7－3a ＞－ 1，3 3∴ h(x) 在 [ － 1， 1－ 7－ 3a [ 1－ 7－ 3a ， 1＋ 7－ 3a3 ] 上单一递加，在3 ] 上单一递减，在 31＋7－ 3a，＋ ∞ 上单一递加．3题型三 利用导数解应用题例 3 某单位决定对本单位员工推行年医疗花费报销制度， 拟拟订年医疗总花费在2 万元至 10 万元 (包含 2 万元和 10 万元 )的报销方案，该方案要求同时具备以下三个条件：① 报销的医疗花费 y(万元 )随医疗总花费 x(万元 )增添而增添；② 报销的医疗花费不得低于医疗总费用的 50%；③ 报销的医疗花费不得超出 8 万元．(1) 请你剖析该单位可否采纳函数模型y ＝ 0.05(x 2＋ 4x ＋ 8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采纳函数模型 y ＝ x － 2lnx ＋ a(a 为常数 )作为报销方案，请你确立整数a的值． (参照数据： ln2 ≈0.69 ， ln10 ≈ 2.3)解： (1) 函数 y ＝ 0.05(x 2＋4x ＋ 8)在 [2， 10]上是增函数，知足条件①； 当 x ＝ 10 时， y 有最大值 7.4 万元，小于 8 万元，知足条件③；但当 x ＝ 3 时， y ＝ 29 3 x20 < ，即 y ≥ 不恒建立，不知足条件② .2 2故该函数模型不切合该单位报销方案．(2) 对于函数模型 y ＝ x － 2lnx ＋ a ，设 f(x) ＝ x － 2lnx ＋ a ，则 f ′ (x)＝ 1－ 2＝x － 2≥0.x x∴ f(x) 在 [2， 10]上是增函数，知足条件①，由条件②，得 x x在 x ∈ [2 ， 10]上恒建立， x － 2lnx ＋ a ≥ ，即 a ≥2lnx －2 2令 g(x) ＝ 2lnx － x 2，则 g ′(x)＝ 2x － 12＝4－2x x ，由 g ′ (x)>0 得 x<4，∴ g(x) 在 (0， 4)上是增函数，在 (4， 10)上是减函数．∴ a ≥ g(4)＝ 2ln4 － 2＝ 4ln2－ 2.由条件③，得 f(10) ＝10－ 2ln10 ＋ a ≤8，解得 a ≤2ln10 － 2.另一方面，由 x － 2lnx ＋ a ≤x，得 a ≤2lnx 在 x ∈ [2，10] 上恒建立，∴ a ≤ 2ln2. 综上所述， a 的取值范围为 [4ln2 － 2， 2ln2] ， ∴ 知足条件的整数 a 的值为 1.两县城 A 和 B 相距 20 km ，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点 C建筑垃圾办理厂，其对城市的影响度与所选地址到城市的距离相关，对城 A 和城 B 的总影响 度为城 A 与城 B 的影响度之和，记C 点到城 A 的距离为x km ，建在 C 处的垃圾办理厂对城A 和城B 的总影响度为 y ，统计检查表示：垃圾办理厂对城 A 的影响度与所选地址到城 A 的 距离的平方成反比，比率系数为 4；对城 B 的影响度与所选地址到城 B 的距离的平方成反比， 比率系数为 k ，当垃圾办理厂建在弧 AB 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.(1) 将 y 表示成 x 的函数；(2) 议论 (1) 中函数的单一性，并判断弧 AB 上能否存在一点， 使建在此处的垃圾办理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明原因．2 24 k 解： (1) 如图，由题意知： AC ⊥BC ，BC ＝ 400－ x ，y ＝ x 2＋ 400－ x 2(0＜ x ＜ 20)，当垃圾办理厂建在弧 AB 的中点时，垃圾办理厂到A 、B 的距离都相等，且为 10 2 km ， 4 k因此有 0.065＝ （ 10 2） 2＋ （10 2） 2，解得 k ＝ 9，因此 y ＝ 4 9x 2＋ 400－x 2(0＜ x ＜ 20)．498 18x10x 4＋ 6 400x 2－ 1 280 000(2)因为 y ′＝ x 2＋ 400－ x 2′＝－ x3＋（ 400－ x 2）2＝x 3（ 400－ x 2） 2，令 y ′＞ 0， 4 2 24 9 得 x ＋ 640x －128 000＞ 0，解得 x ＞ 160，即 x ＞ 4 10.又 0＜x ＜ 20，因此函数y ＝ x 2＋400－ x 2 在 x ∈ (0， 4 10)上是减函数，在 x ∈ (4 10， 20)上是增函数，因此当 x ＝ 4 10时， y 获得最小值，因此在弧AB 上存在一点，且此点到城市 A 的距离为 4 10 km ，使建在此处的垃圾办理 厂对城市 A 、 B 的总影响度最小．题型四 导数的综合应用例 4 已知函数 f(x) ＝ x－ ax(x>0 且 x ≠1)． lnx(1) 若函数 f(x) 在 (1，＋ ∞)上为减函数，务实数 a 的最小值；(2) 若 $ x 1、 x 2∈[e ，e 21) ≤ f ′2(x] ，使 f(x)＋ a 建立，务实数 a 的取值范围．lnx － 1解： (1) 因为 f(x) 在 (1，＋ ∞)上为减函数，故 f ′ (x) ＝（ lnx ） 2－ a ≤0在 (1 ，＋ ∞)上恒建立，因此当 x ∈ (1，＋ ∞)时， f ′ (x) max ≤ 0.lnx － 1 1 2 1 又 f ′(x)＝（ lnx ） 2－ a ＝－ lnx ＋lnx － a1－ 1212 ＋ 4－ a,＝－lnx故当1＝ 1，即 x ＝ e 2时， f ′ (x)max ＝ 1－a.lnx 24因此 1 － a ≤0，于是 1 14 a ≥，故 a 的最小值为44(2) (解法 1)命题 “若x 1、 x 2∈ [e ， e 2]，使 f(x 1) ≤f ′ (x 2)＋a 建立 ”等价于 “当 x ∈[e ， e 2]时，有 f(x) min ≤f ′(x) max ＋ a ”．由(1) ，当 x ∈ [e ， e2]时， f ′ (x)max ＝ 1－ a ，41∴ f ′(x) max ＋ a ＝ .4问题等价于 “当 x ∈ [e ， e 2] 时，有 f(x) min ≤ 1”14 2① 当 a ≥ 时，由 (1)， f(x) 在[e ， e ]上为减函数， 4e22)＝2 11 1则 f(x) min ＝ f(e2 － ae ≤，故 a ≥ －2 .4 2 4e② 当 a<1时，因为 f ′(x)＝－1 －1 2＋ 1－ a 在 [e ，e 2] 上为增函数，4lnx 2 4故 f ′(x)的值域为 [f ′(e)， f ′ (e 2)] ，即 － a ， 1－a . 4(i)′f(x) 在 [e ， e 2] 上为增函数，若－ a ≥0，即 a ≤0， f (x) ≥0在[e ，e 2]恒建立，故 于是， f(x) min ＝ f(e)＝ e － ae ≥ e>1，不合题意． 1 4(ii)2，且若－ a<0，即 0<a< ，由 f ′(x)的单一性和值域知独一 x 0∈(e ， e )，使 f ′0(x)＝ 04知足：2当 x ∈ (e ， x 0)时， f ′ (x)<0 ， f(x) 为减函数；当， f(x) 为增函数；x ∈ (x 0， e )时， f ′ (x)>0x 0 1 2因此， f(x) min ＝ f(x 0)＝ lnx 0 － ax 0≤ 4， x 0∈ (e ， e ).因此， a ≥ 1 － 1 > 1 2－ 1 > 1－1＝ 1，与 0<a<1矛盾，不合题意．lnx 0 4x 0 lne 4e 2 4 4 411综上，得 a ≥ － 2 .2 4e、 x ∈ [e ，e 2) ≤ f ′ (x∈ [e ， e 2(解法2)命题 “若x 12 ] ，使x 1] ，使f(x 12) ＋ a 建立 ”等价于 “＋a ”．f(x 1) ≤ f ′max (x) ＝ 1－ a ，于是 f ′(x) ＋ a ＝ 1由(1) ，当 x ∈ [e ， e 2]时， f ′ (x)max 4 max4.故x 1∈ [e ， e 2]，使 f(x 1)＝ x 1 － ax 1≤1，即 x 1∈ [e ， e 2]，使 a ≥ 1－ 1 .lnx 1 4lnx 1 4x 12 1 － 1 min . 因此当 x ∈ [e ， e ] 时， a ≥ 4xlnx － 4x ＋（ lnx ） 2记 g(x) ＝ 1 － 1 ， x 2，则 g ′ (x)＝ － 1 2＋ 1 2＝ lnx 4x ∈ [e ， e ] x （ lnx ） 4x 4x 2 ·（ lnx ） 2 .因为 x ∈ [e ， e 2] ，故 4x ∈ [4e ， 4e 2]， (lnx) 2∈ [1， 4]，于是 g ′ (x)<0x ∈ [e ，e 2]恒建立 .因此， g(x) ＝ 1 － 1 在[e ， e 2] 上为减函数，lnx 4x因此， g(x)min ＝ 1 2 12 1－ 12lne－4e ＝2 4e .因此， a ≥ 1－1224e.已知函数 f(x) ＝ a x ＋ x 2－ xlna(a>0 ， a ≠ 1)．(1) 求函数 f(x) 在点 (0， f(0)) 处的切线方程；(2) 求函数 f(x) 的单一区间；(3) 若存在 x 1， x 2∈[ － 1， 1]，使得 |f(x 1)－ f(x 2 )| ≥e － 1(e 是自然对数的底数 )，务实数 a 的取值范围．x2解： (1) 因为函数 f(x) ＝ a ＋ x － xlna(a>0 ， a ≠1),因为 f(0) ＝ 1，因此函数 f(x) 在点 (0 ，f(0)) 处的切线方程为 y ＝ 1.(2) 由 (1)， f ′ (x)＝ a x lna ＋ 2x － lna ＝ 2x ＋ (a x － 1)lna. 因为当 a>0， a ≠ 1 时，总有 f ′(x)在 R 上是增函数，又 f ′(0)＝ 0，因此不等式 f ′(x)>0的解集为 (0，＋ ∞)，故函数 f(x) 的单一增区间为 (0，＋ ∞)．(3) 因为存在 x 1、x 2∈[ － 1，1]，使得 |f(x 1 2)| e ≥－ 1 建立， 而当 x ∈ [－ 1，1]时， |f(x 1)) －f(x － f(x 2 )| ≤ f(x)max － f(x) min,因此只需 f(x) max － f(x) min ≥ e － 1 即可．因为 x ， f ′ (x)， f(x) 的变化状况以下表所示：x (－ ∞，0) 0(0，＋ ∞)f ′ (x)－＋ f(x)极小值因此 f(x) 在[ － 1， 0]上是减函数，在 [0，1] 上是增函数，因此当 x ∈ [－ 1， 1]时， f(x) 的最小值 f(x) min ＝ f(0) ＝ 1，f(x) 的最大值 f(x) max 为 f( － 1)和 f(1) 中的最大值 .因为 f(1) － f(－ 1) ＝ (a ＋ 1－lna) － 1＋ 1＋ lna ＝ a －1－ 2lna,令 g(a)＝ a －1－ 2lna(a>0)， a aa 1因为 g ′(a)＝ 1 2 2 >0,1＋2－＝1－ aa a因此 g(a)＝ a － 1a － 2lna 在 a ∈ (0，＋ ∞)上是增函数 .而 g(1) ＝ 0，故当 a>1 时， g(a)>0，即 f(1)>f( － 1); 当 0<a<1 时， g(a)<0 ，即 f(1)<f( － 1) .因此，当 a>1 时， f(1) － f(0) ≥e － 1，即 a － lna ≥e － 1，函数 y ＝a － lna 在 a ∈ (1，＋ ∞)上是增函数， 解得 a ≥e ；当 0<a<1 时，f( － 1)－ f(0) ≥e － 1，即 1＋lna ≥ e － 1，函数 y ＝ 1＋ lna 在 a ∈(0，1a a1)上是减函数，解得 0<a ≤ .e综上可知， a 的取值范围为a ∈ 0， 1 ∪ [e ，＋ ∞) .e1. (2013 广·东卷 )若曲线 y ＝ ax 2－ lnx 在点 (1， a)处的切线平行于 x 轴，则 a ＝ ________．答案：1211分析： y ′＝ 2ax － ，由题知，2a － 1＝ 0， a ＝ .x22. (2013 江·西卷 ) 若曲线 y ＝ x α＋ 1( α∈ R )在点 (1 ， 2) 处的切线经过坐标原点，则α＝________．答案： 2α－处的切线方程为 y － 2＝ α (x － 1)，点 (0，0)代入得－ 2＝－ α，分析： y ′＝ αx 1，在点 (1，2) α ＝ 2. 3. (2014 ·全国卷 )若函数 f(x) ＝ kx － lnx 在区间 (1，＋ ∞)上单一递加，则 k 的取值范围是 ________．答案： [1，＋ ∞)分析： f ′(x)＝ k － 1 ，由已知得 1 1x f ′(x) ≥0在x ∈ (1，＋ ∞)上恒建立， 故 k ≥ .因为 x>1 ，因此 0<xx <1，故 k 的取值范围是 [1，＋ ∞)．4. (2013 ·湖北卷 ) 已知函数 f(x) ＝ x(lnx － ax) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是________．1答案： 0，2分析：由题知， x>0 ，f ′ (x) ＝ lnx ＋ 1－ 2ax ，因为 f(x) 有两个极值点，则 f ′(x)＝ 0 有两个不等的正根， 即函数 y ＝ lnx ＋ 1 与 y ＝ 2ax(x>0) 的图象有两个不一样的交点， 则 a>0；设函数 y ＝ lnx＋ 1 图象上任一点 (x 0， 1＋ lnx 0)处的切线为 1 ，当 l 过坐标原点时，1 1＋ lnx 0l ，则 k ＝x 0 x 0＝x 0x 01 1＝ 1，令 2a ＝ 1 得 a ＝，联合图形可知 0<a< .22π5. (2014 北·京卷 )已知函数 f(x) ＝xcosx － sinx ， x ∈ 0，2 .(1) 求证： f(x) ≤0；sinxπ 上恒建立，求 a 的最大值与 b 的最小值． (2) 若 a< x <b 在 0， 2(1) 证明：由 f(x) ＝ xcosx － sinx 得 f ′ (x)＝ cosx － xsinx － cosx ＝－ xsinx.因为在区间 0，π 上 f ′(x)＝－ xsinx ＜0，因此 f(x) 在区间 0，π上单一递减．进而 f(x) ≤f(0) ＝ 0.2 2(2) 解：当 x>0 时，“sinxsinx x>a ”等价于 “sinx －ax>0 ”“ <b ”等价于 “sinx － bx<0 ”．x令 g(x) ＝ sinx － cx ，则 g ′(x)＝ cosx － c ，当 c ≤0时， g(x) ＞0 对随意 x ∈ 0， π 恒建立．2当 c ≥1时， 因为对随意 x ∈ 0， π ，g ′ (x)＝ cosx － c ＜ 0，因此 g(x) 在区间 0， π 上单一22 递减．进而 g(x) ＜ g(0)＝ 0 对随意 x ∈0，π恒建立．2当 0<c<1 时，存在独一的 x ∈π使得 g ′(x＝cosx 0 －c ＝ 0.0， 20)g(x) 与 g ′ (x)在区间 π上的状况以下：0， 2x(0， x 0 ) x 0x 0， π2g ′ (x)＋－g(x)Z极大值]π因为 g(x) 在区间 [0，x 0] 上是增函数，因此 g(x 0)>g(0) ＝ 0.进一步，“ g(x) ＞ 0 对随意 x ∈ 0，2π π 2恒建立 ”当且仅当 g＝ 1－c ≥ 0，即 0＜ c ≤ .22π综上所述， 当且仅当 c ≤2时，g(x)>0对随意 x ∈ 0， π恒建立； 当且仅当 c ≥1时，g(x)<0π2对随意 x ∈ 0， π恒建立．2sinx π2因此，若 a< x <b 对随意 x ∈ 0， 2恒建立，则 a 的最大值为 π ， b 的最小值为 1.a6. (2013 福·建卷 )已知函数 f(x) ＝x － 1＋ x (a ∈ R ， e 为自然对数的底数 )．e(1) 若曲线 y ＝ f(x) 在点 (1， f(1)) 处的切线平行于 x 轴，求 a 的值；(2) 求函数 f(x) 的极值；(3) 当 a ＝1 时，若直线 l ： y ＝ kx － 1 与曲线 y ＝ f(x) 没有公共点，求 k 的最大值．aa解： (1) 由 f(x) ＝ x － 1＋ x ，得 f ′ (x)＝1－ x .ee又曲线 y ＝f(x) 在点 (1， f(1)) 处的切线平行于 x 轴， 得 f ′(1)＝ 0，即 1－ a＝ 0，解得 a ＝ e.ea(2) f ′＝(x)1－e x ， ① 当 a ≤0时， f ′ (x)>0 ， f(x) 为 (－∞，＋ ∞)上的增函数，因此函数f(x) 无极值．② 当 a>0 时，令 f ′(x)＝ 0，得 e x ＝ a ， x ＝lna.x ∈(－∞，lna) ， f ′ (x)<0 ；x ∈ (lna ，＋ ∞)， f ′ (x)>0.因此 f(x) 在 (－ ∞，lna)上单一递减，在 (lna ，＋ ∞)上单一递加，故 f(x) 在 x ＝lna 处获得极小值，且极小值为 f(lna) ＝ lna ，无极大值．综上，当 a ≤0时，函数 f(x) 无极值；当 a>0 时， f(x) 在 x ＝ lna 处获得极小值 lna ，无极大值．1(3) (解法 1)当 a ＝1 时， f(x) ＝ x － 1＋ e x ，1令 g(x) ＝ f(x) － (kx － 1)＝ (1－k)x ＋ e x ，则“直线 l ：y ＝ kx － 1 与曲线 y ＝f(x) 没有公共点 ”等价于 “方程 g(x) ＝0 在 R 上没有实数解 ”．11假定 k>1，此时 g(0)＝ 1>0 ，g k － 1＝－1＋ 1 <0，ek －1又函数 g(x) 的图象连续不停，由零点存在定理，可知g(x) ＝ 0 在 R 上起码有一解，与 “方程 g(x) ＝ 0 在 R 上没有实数解 ”矛盾，故 k ≤1.1又 k ＝ 1 时， g(x) ＝ x >0，知方程 g(x) ＝0 在 R 上没有实数解．e因此 k 的最大值为 1.1 解法 2) 当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x － 1＋e .x“直线 l ： y ＝ kx －1 与曲线 y ＝ f(x) 没有公共点 ”等价于 “对于 x 的方程1 kx － 1＝ x － 1＋ x 在e1R 上没有实数解 ”，即 “对于 x 的方程 (k － 1)x ＝ e x (*) 在 R 上没有实数解” ．① 当 k ＝ 1 时，方程 (*) 可化为 1e x ＝ 0，在 R 上没有实数解；② 当 k ≠1时，方程 (*) 化为1 ＝ xe x.k － 1令 g(x) ＝ xe x ，则有 g ′(x) ＝(1 ＋x)e x . 令 g ′(x)＝ 0，得 x ＝－ 1，当 x 变化时， g ′ (x)的变化状况以下表：x(－ ∞，－ 1) － 1 (－ 1，＋ ∞) g ′ (x) －＋g(x)]1Z－ e当 x ＝－ 1 时， g(x) min ＝－ 1，同时当 x 趋于＋ ∞时， g(x) 趋于＋ ∞，进而 g(x) 的取值范围为 e－ 1，＋∞ . e因此当1 ∈ －∞，－1 k－ 1 e时，方程 (*) 无实数解，解得k 的取值范围是 (1 －e ， 1)．综上，得 k 的最大值为 1.(此题模拟高考评分标准，满分 16 分)(2013 ·迁、徐州三模宿 )已知函数 f(x) ＝ lnx －ax 2－x ， a ∈ R .(1) 若函数 y ＝ f(x) 在其定义域内是单一增函数，求 a 的取值范围；(2) 设函数 y ＝ f(x) 的图象被点 P(2，f(2)) 分红的两部分为 c 1、c 2(点 P 除外 )，该函数图象在点 P 处的切线为 l ，且 c 1、 c 2 分别完整位于直线 l 的双侧，试求全部知足条件的 a 的值．解： (1) f ′＝(x)1－ 2ax － 1＝－ 2ax 2＋ x －1(x>0) ， (2 分 )x x 221 1 1 － 1 1 只需要 2ax ＋ x －1≤0，即 2a ≤ 2－ ＝ x 2 － ，x x 41因此 a ≤－ .(4 分 )8(2) 因为 f ′ (x)＝1－ 2ax － 1，因此切线 l 的方程为 y ＝ － 4a －1(x － 2)＋ ln2 － 4a － 2.x 1 22令 g(x) ＝ lnx －ax－ x － [(－ 4a － )(x － 2)＋ ln2－4a － 2]，则 g(2)＝ 0.2 1）x － 12ax 2－（ 4a －g ′(x) ＝1－ 2ax ＋ 4a －1＝－2 .(6 分)xx2若 a ＝ 0，则 g ′(x)＝ 2－ x，2x当 x ∈ (0， 2)时， g ′ (x)>0 ；当 x ∈(2 ，＋ ∞)时， g ′ (x)<0 ，因此 g(x) ≥g(2)＝ 0， c 1、 c 2 在直线 l 同侧，不合题意； (8 分 )1若 a ≠0， g ′(x) ＝－ 2a （x －2）x ＋4a ， x2x － 1若 a ＝－ 1， g ′ (x) ＝2≥0， g(x) 是单一增函数，8 x当 x ∈ (2，＋ ∞)时， g(x)>g(2) ＝ 0；当 x ∈ (0， 2)时， g(x)<g(2) ＝0，切合题意； (10 分) 若 a<－ 1，当 x ∈ － 1， 2 时， g ′(x)<0 ，g(x)>g(2) ＝0，8 4a当 x ∈ (2，＋ ∞)时， g ′(x)>0 ， g(x)>g(2) ＝ 0，不合题意； (12 分)若－ 1 <a<0，当 x ∈ 2，－ 1 时， g ′ (x)<0 ， g(x)<g(2) ＝ 0，8 4a当 x ∈ (0， 2)时， g ′ (x)>0 ， g(x)<g(2) ＝ 0，不合题意； (14 分) 若 a>0，当 x ∈ (0， 2)时， g ′ (x)>0 ，g(x)<g(2) ＝ 0，当 x ∈ (2，＋ ∞)时， g ′(x)<0 ， g(x)<g(2) ＝ 0，不合题意．故只有 a ＝－18切合题意． (16 分 )1. 函数 f(x) ＝ x 3－ 15x 2－ 33x ＋ 6 的单一减区间为 ________．答案： (－ 1， 11)分析： f ′(x)＝ 3x 2 － 30x － 33＝3(x － 11)(x ＋1) ，由 (x － 11)(x ＋1)＜ 0 得单一减区间为 ( －1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间．2. 已知函数 f(x) ＝ 13ax 3＋ bx 2＋ x ＋ 3，此中 a 、 b ∈R ， a ≠ 0.(1) 当 a 、b 知足什么条件时， f(x) 获得极值？ (2) 已知 a ＞ 0，且 f(x) 在区间 (0 ，1]上单一递加，试用 a 表示出 b 的取值范围．方程解： (1) 由已知得 f ′(x)＝ax 2＋2bx ＋ 1，令 f ′(x)＝ 0，得 ax 2＋ 2bx ＋ 1＝ 0，f(x) 要获得极值，2222ax ＋ 2bx ＋ 1＝ 0 一定有两个不一样解， 因此 ＝ 4b － 4a ＞ 0，即 b ＞ a,此时方程 ax ＋ 2bx－ 2b － 4b 2－ 4a － b － b 2－ a － 2b ＋ 4b 2－ 4a － b ＋ b 2－ a ＋ 1＝ 0 的根为 x 1＝ ＝ ，x 2＝ 2a ＝ ，2a aa 因此 f ′(x)＝ a(x － x 1)(x － x 2)． 当 a ＞ 0 时，x(－ ∞，x 1) x 1 (x 1， x 2) x 2 (x 2，＋ ∞) f ′ (x)＋ 0－ 0 ＋f(x)Z 极大值 ] 极小值Z因此 f(x) 在 x 1 、x 2 处罚别获得极大值和极小值． 当 a ＜ 0 时， x (－ ∞，x 2)f ′ (x) －f (x)]x 2 0极小值(x 2， x 1) x 1 (x 1，＋ ∞) ＋0 －Z 极大值]因此 f(x) 在 x 1 、x 2 处罚别获得极大值和极小值．2(2) 要使 f(x) 在区间 (0 ，1]上单一递加，需使 f ′ (x)＝ax 2＋ 2bx ＋ 1≥0在 (0， 1]上恒建立，即ax － 1，x ∈ (0，1]恒建立， 因此 b ≥ － ax －1ax － 1，g ′(x)＝－ a ＋1b ≥－ 2 2x 2 2x max .设 g(x) ＝－2 2x2 2x2＝－ a x 2－11a 得 x ＝1或 x ＝－1 (舍去 )，当 a ＞1 时， 0＜ 1＜ 1，当 x ∈ 0， 2x 2，令 g ′ (x)＝ 0 时，aaaaax 11 ， 1ax 1g ′ (x) ＞ 0，g(x) ＝－ 2 － 2x 单一递加； 当 x ∈时，g ′ (x)＜ 0，g(x) ＝－ 2 － 2x 单一递减，a 1 ＝－a.因此 b ≥－ a.当 0＜ a ≤1时，1 ≥ 1，此时 g ′(x) ≥0 因此当 x ＝ 1 时，g(x) 获得极大值 ga a a在区间 (0，1]上恒建立，因此 g(x) ＝－ ax 1 在区间 (0，1]上单一递加，当 x ＝ 1 时， g(x) 最大，2 －2x 最大值为g(1)＝－ a ＋ 1，因此 b ≥－ a ＋ 122 .综上，当 a ＞ 1 时， b ≥－a ；当 0＜ a ≤1时，b ≥－ a ＋ 12.评论：此题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单一性和函数的最值，函数在区间上为单一函数，则导函数在该区间上的符号确立，进而转为不等式恒建立，再转为函数研究最值，运用函数与方程的思想、化归思想和分类议论的思想解答问题．3. 已知函数 f(x) ＝ 1 x 3－ 2x 2＋ 3x(x ∈ R )的图象为曲线 C.3 (1) 求过曲线 C 上随意一点的切线斜率的取值范围；(2) 若在曲线 C 上存在两条互相垂直的切线，求此中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解： (1) f ′＝(x)x 2－ 4x ＋ 3，则 f ′(x)＝ (x － 2)2－ 1≥－ 1，即过曲线 C 上随意一点的切线斜率的取值范围是[ － 1，＋ ∞)．k ≥－ 1，2(2) 由 (1)可知 解得－ 1≤k＜0 或 k ≥1，由－ 1≤x － 4x ＋ 3＜0 或 x 2－ 4x ＋ 3≥1，－ 1≥－1，k得 x ∈ (－ ∞， 2－ 2]∪ (1， 3)∪ [2＋ 2，＋ ∞)，即为所求取值范围．。

3.1.3 导数的几何意义导数的几何意义(1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线．(2)导数f′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f′(x 0)．(3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)． 思考1：是否任何曲线的割线均有斜率？[提示] 不是，当曲线的割线垂直于x 轴时，此割线的斜率不存在． 思考2：当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？[提示] k n 无限趋近于切线PT 的斜率k .1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8D ．2C [f′(2)＝lim Δx →02(2＋Δx )2－8Δx＝8.]2．函数y ＝－1x 在()12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4B [先求y ＝－1x 的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )，Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )，lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →01x (x ＋Δx )＝1x 2，即y ′＝1x 2，所以y ＝－1x 在点()12，－2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝4.所以切线方程是y ＋2＝4()x －12，即y ＝4x －4.]3．若函数f (x )在x 0处的导数f′(x 0)＝3，则函数f (x )在x 0处的切线的倾斜角为________．60° [设倾斜角为θ，则tan θ＝f′(x 0)＝3，所以θ＝60°.](1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .∴limΔx→0ΔyΔx＝4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan 45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为⎝⎛⎭⎪⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求导函数f′(x).(3)求切线的斜率f′(x0).(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.1．若曲线y＝x2＋2ax与直线y＝2x－4相切，求a的值并求切点坐标．[解]设切点坐标为(x0，y0)．∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)2＋2a(x0＋Δx)－x20－2ax0＝2x0·Δx＋(Δx)2＋2a·Δx，∴ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝2x0＋2a＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝2x0＋2a，∴f′(x0)＝2x0＋2a，∴2x0＋2a＝2. ①又y0＝2x0－4，②y0＝x20＋2ax0，③联立①②③消去a，y0得x0＝±2，当x0＝2时a＝－1，切点坐标为(2,0)；当x0＝－2时a＝3，切点坐标为(－2，－8).1．曲线的割线与切线有什么关系？[提示](1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线．(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．2．曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系？[提示](1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率．(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导．【例2】已知曲线C：y＝f(x)＝x3.求曲线C上在点(1，f(1))处的切线方程．[思路探究]求f′(x)→求f′(1)，f(1)→写出切线方程[解]∵Δy＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3(Δx)，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[(Δx)2＋3(Δx)＋3]＝3.又f(1)＝1，∴曲线C上在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(1)求曲线在某点处的切线方程的三个步骤(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程：①设切点为(m，f(m))；②求函数y＝f(x)在点m处的导数f′(m)；③根据直线的点斜式方程，写出切线方程为y－f(m)＝f′(m)(x－m)；④代入P(x0，f(x0))求出m的值，回代③即可求出切线方程．提醒：求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，点P(x0，y0)不一定是切点．【例3】如图所示表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝4t－2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t＝2时的切线方程．[思路探究]本题考查导数几何意义的应用，明确导数的几何意义是解题的关键．f′(x0)表示曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率，要比较f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，即比较切线的倾斜程度．[解]用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t1附近单调递减；(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2附近曲线下降，即函数f(t)在t＝t2附近也单调递减．由图象可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；(4)当t＝2时，f(2)＝0.在t＝2时的切线的斜率k＝f′(2)＝limΔt→0f(2＋Δt)－f(2)Δt＝limΔt→04(2＋Δt)－2(2＋Δt)2－8＋8Δt＝limΔt→04Δt－2(Δt)2－8ΔtΔt＝limΔt→0(－2Δt－4)＝－4.所以切线的方程为y＝－4(x－2)，即4x＋y－8＝0.导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合.3．(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()(2)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)(1)B(2)k1＞k3＞k2[(1)由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．(2)由导数的几何意义，可得k1>k2.∵k3＝f(2)－f(1)2－1表示割线AB的斜率，∴k1＞k3＞k2.]1．思考辨析(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点．()(3)设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴平行或重合．() [提示](1)×(f(x0))′＝0，而f′(x0)可以为任意实数．(2)√(3)√2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1A[f′(0)＝limΔx→0(Δx)2＋a(Δx)＋b－bΔx＝limΔx→0(Δx＋a)＝a＝1.又(0，b)在x－y＋1＝0上，所以b＝1.故选A.]3．如图所示的是y＝f(x)的图象，则f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)＞f′(x B) B．f′(x A)＜f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B) D．不能确定B[分别过A，B两点曲线的切线，由切线的斜率知k B＞k A，∴f′(x B)＞f′(x A)．故选B.]4．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x ＋2，则f (1)＋f′(1)＝________.4 [∵f (1)＝1＋2＝3，f′(1)＝k ＝1， ∴f (1)＋f′(1)＝4.]5．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求曲线在点P 处的切线方程．[解] 记y ＝f (x )，因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83在曲线y ＝13x 3上，所以曲线在点P 处的切线的斜率即为f′(2)，而f′(2)＝lim Δx →013(2＋Δx )3－13×23Δx＝13lim Δx →03×22×Δx ＋3×2×(Δx )2＋(Δx )3Δx＝13lim Δx →0[3×22＋3×2×Δx ＋(Δx )2]＝22＝4，故曲线y ＝13x 3在点P 处的切线方程为y －83＝4(x －2)， 即12x －3y －16＝0.。

第三章 导 数1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．4．能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．①常见的基本初等函数的导数公式：(C )′＝0(C 为常数)； (x n )′＝nx n －1(n ∈N ＋)； (sin x )′＝cos x; (cos x )′＝－sin x ； (e x )′＝e x; (a x )′＝a xln a (a >0，且a ≠1)；(ln x )′＝1x ； (log a x )′＝1xlog a e (a >0，且a ≠1)．②常用的导数运算法则：法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )． 法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．法则3： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）(v (x )≠0)．5．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．7．会用导数解决实际问题． 8．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．9．了解微积分基本定理的含义．§3.1 导数的概念及运算1．导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处____________，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作____________或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ 0lim →∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx(2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆xf （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法 ①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆x ΔyΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应的切线方程为 ．3．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝ (c 为常数)， (x α)′＝ (α∈Q *)；(2)(sin x )′＝____________， (cos x )′＝____________；(3)(ln x )′＝ ， (log a x )′＝ ；(4)(e x )′＝____________， (a x)′＝ .4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________________. (2)[f (x )g (x )]′＝____________________； 当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝________.(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝(g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为______________．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．自查自纠：1．(1)可导 f ′(x 0) (3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2．f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)3．(1)0 αx α－1(2)cos x －sin x (3)1x1x ln a(4)e x a xln a4．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x )(3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25．y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( )A ．3a 2＋10ax 2B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2xC ．10a 2x D ．以上都不对解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝1ln x在x ＝e 处的切线方程为( )A ．x ＋ey －e ＝0B ．ex ＋y －e ＝0C ．x －ey －2e ＝0D ．x ＋ey －2e ＝0解：y ′＝－1x （ln x ）2＝－1x （ln x ）2，y ′|x ＝e ＝－1e ，故所求方程为y －1＝－1e(x －e )，整理得x ＋ey －2e ＝0.故选D .已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D .12解：y ′＝x 2－3x ，令x 2－3x ＝－12，解得x ＝2或x＝－3(舍去)．故选B.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 ．解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3，故填3.(2014·新课标Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________.解：y ′＝a －1x ＋1，根据已知，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.故填3.类型一 导数的概念已知函数f (x )＝x 2＋1.用定义的方法求：(1)f (x )在x ＝2处的导数； (2)f (x )在x ＝a 处的导数．解：(1)因为Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝（2＋Δx ）2＋1－（22＋1）Δx＝4＋Δx ，当Δx →0时，4＋Δx →4， 所以f (x )在x ＝2处的导数是4.(2)因为Δy Δx ＝f （a ＋Δx ）－f （a ）Δx＝（a ＋Δx ）2＋1－（a 2＋1）Δx＝2a ＋Δx ，当Δx →0时，2a ＋Δx →2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数是2a .点拨：利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx ，再化简平均变化率，最后判断当Δx →0时，ΔyΔx无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．航天飞机发射后的一段时间内，第t s时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4(单位：m )．(1)求航天飞机在第1 s 内的平均速度； (2)用定义方法求航天飞机在第1 s 末的瞬时速度．解：(1)航天飞机在第1 s 内的平均速度为 h （1）－h （0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80 m /s .(2)航天飞机第1 s 末高度的平均变化率为 h （1＋Δt ）－h （1）Δt＝错误!＝5Δt 3＋45Δt 2＋120Δt Δt＝5Δt 2＋45Δt ＋120，当Δt →0时，5Δt 2＋45Δt ＋120→120， 所以航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度为120 m /s .类型二 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝5x 2－4x ＋1； (2)y ＝x ln x ；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)；(4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2)．解：(1)y ′＝10x －4；(2)y ′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1；(3)y ′＝cos(πx ＋φ)·(πx ＋φ)′＝πcos(πx ＋φ)；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋2′＝－1（x ＋2）2.点拨：求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)； (2)y ＝xe x－1(x ≠0)； (3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1)．解：(1)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3；(2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x－1（e x －1）2； (3)y ′＝－sin2x ·(2x )′＝－2sin2x ；(4)y ′＝[ln(x ＋3)－ln(x ＋1)]′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.类型三 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程．解：(1)y ′＝x 2，设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.点拨：曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；(2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程．解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. ∴切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.(2)∵f ′(x )＝3x 2＋1，且(2，－6)在曲线f (x )＝x 3＋x －16上， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线方程为y ＝13x －32.(3)解法一：设切点为(x 0，y 0)，∵直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得x 0＝－2， ∴斜率k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x . 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则斜率k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1， ∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2，∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .1．弄清“函数在一点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的．函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )；(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0)．3．正确区分“曲线在某点处的切线”与“过某点的曲线的切线”的含义，前者的“某点”即切点，后者的“某点”是否为切点则须检验．4．求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．如果切点未知，要先求出切点坐标．1．函数f (x )＝x 3＋sin2x 的导数f ′(x )＝( )A ．x 2＋cos2xB ．3x 2＋cos2xC ．x 2＋2cos2xD ．3x 2＋2cos2x解：f ′(x )＝3x 2＋(2x )′cos2x ＝3x 2＋2cos2x .故选D.2．已知f (x )＝(x －2)(x －3)，则f ′(2)的值为( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3 解：∵f ′(x )＝(x －3)＋(x －2)＝2x －5，∴f ′(2)＝－1.故选B.3．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解：由y ′|x ＝1＝3，得在点P (1，12)处的切线方程为3x －y ＋9＝0，令x ＝0，得y ＝9，故选C.4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)解：∵f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x＞0，x ＞0，∴x －2＞0，解得x ＞2.故选C.5．(2014·湖北八市高三3月调考)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．－12C .12D ．－1解：因为f ′(x )＝e x －ae －x，由奇函数的性质可得f ′(0)＝1－a ＝0，解得a ＝1.故选A .6．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278 B ．－2 C ．2 D ．－278解：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )，②将点(1，0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t＝32代入①式，得k ＝－a 或k ＝274－a ，由它们互为相反数得a ＝278.故选A.7．(2014·江西)若曲线y ＝e －x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln2，2)．故填(－ln 2，2)．8．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.解：令e x ＝t ，则x ＝ln t .∵f (e x )＝x ＋e x，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.故填2.9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程．解：设切点坐标为(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，∴x 0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10．设函数f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx2＋2b －1.若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，求实数a ，b 的值，并写出切线l 的方程．解：因为f (x )＝13x 3－ax (a ＞0)，g (x )＝bx 2＋2b －1，所以f ′(x )＝x 2－a ，g ′(x )＝2bx .因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有相同的切线，所以f (1)＝g (1)，且f ′(1)＝g ′(1)，即13－a ＝b ＋2b －1，且1－a ＝2b ， 解得a ＝13，b ＝13，得切点坐标为(1，0)．切线方程为y ＝23(x －1)，即2x －3y －2＝0.11．已知函数f (x )＝x －1＋a ex (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．解：(1)f ′(x )＝1－a ex ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－a e＝0，解得a ＝e .(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e，f ′(x )＝1－1ex .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋1ex 0＝kx 0－1，①f ′(x 0)＝1－1ex 0＝k ，②①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0.若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e . ∴l 的直线方程为y ＝(1－e )x －1.(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x解：对于①，y ′＝(x 3)′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，l ：x ＝－1显然不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝(sin x )′＝cos x ，y ′|x ＝0＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝sin x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，y ′|x ＝0＝1cos 20＝1，曲线在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C ：y ＝tan x 在点P (0，0)附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝(ln x )′＝1x，y ′|x ＝1＝1，在点P (1，0)处的切线为l ：y ＝x －1，令h (x )＝x －1－ln x (x ＞0)，可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以h (x )min＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，可知曲线C ：y ＝ln x 在点P (1，0)附近位于直线l 的下方，⑤错误．故填①③④.§3.2 导数的应用(一)1．函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内____________．2．函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当f ′(x 0)＝0时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧_________，右侧_________，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程_________的根；③检查f ′(x )在上述方程根的左右对应函数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得_________；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得_________．3．函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则____________为函数在[a ，b ]上的最小值，_________为函数在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则_________为函数在[a ，b ]上的最大值，_________为函数在[a ，b ]上的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值______，______比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．自查自纠：1．单调递减2．(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0(2)②f ′(x )＝0 ③极大值 极小值3．(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b )关于函数的极值，下列说法正确的是( )A ．导数为0的点一定是函数的极值点B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y ＝x 3，在x ＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D.已知函数f (x )＝12x 2－x ，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解：f ′(x )＝x －1，令f ′(x )＞0，解得x ＞1.故选D.若在区间[1，2]内有f ′(x )＞0，且f (1)＝0，则在[1，2]内有( )A ．f (x )≥0B ．f (x )≤0C ．f (x )＝0D ．f (x )≥1 解：∵f ′(x )＞0，∴f (x )在[1，2]内单调递增． ∵f (1)＝0，∴在[1，2]内f (x )≥0.故选A.若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x －1)的单调递减区间是________．解：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，所以函数f (x )的单调递减区间为(1，3)，函数y ＝f (x －1)的图象由函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位得到，故函数f (x －1)的单调递减区间是(2，4)．故填(2，4)．函数f (x )＝x ＋2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝12，从而x ＝π6，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝π6处取得极大值，即最大值π6＋ 3.故填π6＋ 3.类型一 导数法判断函数的单调性设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：当x ＜0时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )先增后减，再增，对应f ′(x )先正后负，再正．故选D.点拨：导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．(2014·北京联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是()A ．在(－2，1)上f (x )是增函数B ．在(1，3)上f (x )是减函数C ．当x ＝2时，f (x )取极大值D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 解：由y ＝f ′(x )的图象可得y ＝f (x )的大致图象如图．由图可知，A ，B ，D 均错．故选C .类型二 导数法研究函数的单调性已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得a ＝3.(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1.所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1， ＋∞)，单调递减区间是[－1，1]．点拨：①用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号．②注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．如，本例中[－1，1]也可以写成(－1，1)．③写单调区间时，一般不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立．如，本例中(－∞，－1)，(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)，不妨取x 1＝－32∈(－∞，－1)，x 2＝32∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，而f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98，f (x 2)＝－98，这时f (x 1)＜f (x 2)不成立．(2014·山东)设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k ≤0，k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，求函数f (x )的单调区间．解：函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2xe x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝xe x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x－kx ）x 3.由k ≤0可得e x－kx ＞0， 所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．类型三 导数法研究函数的极值问题已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)f ′(x )＝32x 2＋c ，当x ＝1时，f (x )取得极值，则f ′(1)＝0，即32＋c ＝0，得c ＝－32. 故f (x )＝12x 3－32x .(2)f ′(x )＝32x 2－32＝32(x 2－1)＝32(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或1.f (1)＝－1.点拨：找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如y ＝x 3)，还要保证该零点为变号零点．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2.(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)f ′(x )＝2a (x －5)＋6x，依题意，f ′(1)＝6－8a ＝2，得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x.令f ′(x )＝0，得x ＝2或3.单调减区间为(2，3)．f (x )的极大值f (2)＝92＋6ln2，极小值f (3)＝2＋6ln3.类型四 导数法研究函数的最值问题已知函数f (x )＝ax 2＋2，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，1]上的最大值．解：(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ， ∵f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)，∴a ＋2＝1＋b ，且2a ＝3＋b ，解得a ＝4，b ＝5.(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋4x 2＋5x ＋2，则h ′(x )＝3x 2＋8x ＋5＝(3x ＋5)(x ＋1)．所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3，(－1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，－1上单调递减． ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝427，h (1)＝12，12＞427，∴f (x )＋g (x )在(－∞，1]上的最大值为12.点拨：函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点或极大值点取得，最小值一般是在端点或极小值点取得．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．解：(1)f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 函数y ＝f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－a6.∵－a 6＝－12，∴a ＝3.∵f ′(1)＝0，∴6＋2a ＋b ＝0，得b ＝－12.故a ＝3，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．∴所以f (x )在[－2，2]上的最大值为21，最小值为－6.类型五 实际应用问题(优化问题)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm )．(1)若广告商要求包装盒侧面积S (cm 2)最大，x 应取何值？(2)若厂商要求包装盒容积V (cm 3)最大，x 应取何值？解：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2，0＜x ＜30，S ′＝240－16x ，令S ′＝0，得x ＝15. 当0＜x ＜15时，S ′＞0，S 递增； 当15＜x ＜30时，S ′＜0，S 递减． 所以x ＝15 cm 时包装盒侧面积S 最大． (2)根据题意有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )，0＜x ＜30，V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 递增； 当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 递减． 所以x ＝20 cm 时包装盒容积V 最大．点拨：本题主要考查学生的空间想象能力、阅读能力、运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题．注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．用长为15 cm ，宽为8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x cm 的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0＜x ＜4，容积V ＝(15－2x )·(8－2x )·x ＝4x 3－46x 2＋120x ，V ′＝12x 2－92x ＋120＝4(3x －5)(x －6)．令V ′＝0，得x ＝53或6(舍去)．当0＜x ＜53时，V ′＞0，V 递增；当53＜x ＜4时，V ′＜0，V 递减． 所以高x ＝53cm 时容器的容积最大．1．用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．2．极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．3．实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．1．(2014·新课标Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解：由条件知由q 可推出p ，而由p 推不出q .故选C .2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是()解：当x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．故选C.3．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0，3)C ．(1，4)D ．(2，＋∞)解：f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.4．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A . x ＝12为f (x )的极大值点B . x ＝12为f (x )的极小值点C . x ＝2为 f (x )的极大值点D . x ＝2为 f (x )的极小值点解：f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋m 在区间[－1，1]上的最大值是2，则常数m ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为m ，m ＝2.故选C.6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列判断正确的是()A ．a <0，b <0，c <0B ．a >0，b >0，c <0C ．a >0，b <0，c >0D ．a >0，b >0，c >0 解：因为x >0时，f (x )>0恒成立，所以a >0；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2均小于零，所以x 1＋x 2＝－2b 3a <0，则b >0；x 1x 2＝c3a>0，则c >0，所以a ，b ，c 同为正．故选D.7．函数f (x )＝x 3＋2xf ′(－1)，则函数f (x )在区间[]－2，3上的值域是____________．解：f ′(x )＝3x 2＋2f ′(－1)，令x ＝－1，则f ′(－1)＝3＋2f ′(－1)，得f ′(－1)＝－3，因此f (x )＝x 3－6x ，f ′(x )＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)，∵f (－2)＝4， f (－2)＝42，f (2)＝－42，f (3)＝9，∴f (x )在区间[]－2，3上的值域为[－42，9]．故填[－42，9]．8．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝________cm 时，圆柱的表面积最小．解：圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝16π⇒r 2h ＝16，圆柱的表面积S ＝2πrh ＋2πr 2＝32πr＋2πr 2＝2π⎝ ⎛⎭⎪⎫16r＋r 2， 由S ′＝2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－162＋2r ＝0，得r ＝2.因此r(0，2) 2 (2，＋∞)S′－ 0＋S↘极小值，也是最小值↗填2.9．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋ax －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5.10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0. (1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：f ′(x )＝2x ＋a x，x ＞0.(1)因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2， 经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点．(2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．11．(2014·天门、仙桃、潜江高三期末)某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，AB ＝BC ＝2AO ＝4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB ，BC 上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积(精确到0.1 km 2)．解：以O 为原点，AO 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图)．依题意可设抛物线的方程为 x 2＝2py ，且C (2，4)．∴22＝2p ·4，∴p ＝12.故曲线段OC 的方程为y ＝x 2(0≤x ≤2)．设P (x ，x 2)(0≤x ＜2)，则|PM |＝2＋x ，|PN |＝4－x 2. ∴工业园区的用地面积S ＝|PM |·|PN |＝(2＋x )(4－x 2)＝－x 3－2x 2＋4x ＋8.∴S ′＝－3x 2－4x ＋4，令S ′＝0⇒x 1＝23，x 2＝－2(舍去)，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23时，S ′＞0，S 是x 的增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，S ′＜0，S 是x 的减函数． ∴x ＝23时，S 取到最大值，此时|PM |＝2＋x ＝83，|PN |＝4－x 2＝329，S max ＝83×329＝25627≈9.5(km 2)．答：把工业园区规划成长(PN )为329km ，宽(PM )为83km 时，矩形工业园区的用地面积最大，最大用地面积约为9.5 km 2.(2014·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4，由题设知1－k ＞0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0，g (x )单调递增，g(－1)＝k－1＜0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x＞0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x＞h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞h(x)≥h(2)＝0，所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．§3.3 导数的应用(二)1．当f ′(x )在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f (x )在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(x )＝_________，当x ≠0时，f ′(x )＞0，而f (x )＝x 3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．可导函数求最值的方法f ′(x )＝0⇒x ＝x 1，x 2，…，x n ，x ∈[a ，b ]． 直接比较f (a )，f (b )，f (x 1)，…，f (x n )，找出__________和____________即可．在此基础上还应注意：(1)结合____________可减少比较次数． (2)含参数的函数求最值可用： ①按____________分类； ②按____________分类． 3．实际问题中的导数，常见的有以下几种情形： (1)加速度是速度关于________的导数； (2)线密度是质量关于________的导数； (3)功率是功关于________的导数；(4)瞬时电流是电荷量关于________的导数； (5)水流的瞬时速度是流过的水量关于________的导数；(6)边际成本是成本关于________的导数． 4．N 型曲线与直线y ＝k 的位置关系问题如图，方程f (x )＝0有三个根x 1，x 2，x 3时，极大值f (a )＞0且极小值f (b )＜0.曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有一个交点时，见图中的直线①或直线②，极大值f (a )______k 或极小值f (b )______k ；曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直线④，极大值f (a )______k 或极小值f (b )______k ；曲线y ＝f (x )与直线y ＝k (k 是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤.以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．自查自纠： 1．02．最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性极值点3．(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间 (5)时间 (6)产量 4．＜ ＞ ＝ ＝函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 解：y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递增．故选B.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1在x ＝－1处有极值，则a 的值为( )A ．1B ．0C ．－13D ．－12解：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f ′(－1)＝3a ＋1＝0，∴a ＝－13.故选C.已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．2解：f ′(x )＝3ax 2＋b ，f ′(－1)＝f ′(1)＝2.故选D.已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则a 的取值范围是________．解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ＜0)在区间(1，2)是增函数，则a 的取值范围是________．解：f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，当a ＜0时，f (x )在区间(1，2)是增函数，当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0.类型一 函数单调性的进一步讨论 已知实数a ＞0，函数f (x )＝a (x －2)2＋2ln x .(1)当a ＝1时，讨论函数f (x )的单调性； (2)若f (x )在区间[1，4]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－4x ＋4＋2ln x ，f ′(x )＝2x －4＋2x ＝2（x －1）2x，∵x ＞0，∴f ′(x )≥0，∴f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f ′(x )＝2ax －4a ＋2x ＝2ax 2－4ax ＋2x，又f (x )在区间[1，4]上是增函数，∴f ′(x )＝2ax 2－4ax ＋2x≥0对x ∈[1，4]恒成立，即2ax 2－4ax ＋2≥0对x ∈[1，4]恒成立，令g (x )＝2ax 2－4ax ＋2，则g (x )＝2a (x －1)2＋2－2a ，∵a ＞0，∴g (x )在[1，4]上单调递增，只要使g (x )min ＝g (1)＝2－2a ≥0即可，∴0＜a ≤1.点拨：函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解．设函数f (x )＝xe kx(k ≠0)．(1)若k ＞0，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx.若k ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＞－1k，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k .(2)∵f (x )在区间(－1，1)内单调递增， ∴f ′(x )＝(1＋kx )e kx≥0在(－1，1)内恒成立，∴1＋kx ≥0在(－1，1)内恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k ·（－1）≥0，1＋k ·1≥0， 解得－1≤k ≤1. 因为k ≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．类型二 极值与最值的进一步讨论(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．解：(1)∵当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x.∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1.∴所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.若a ≤0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )不存在极值．若a ＞0，则x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下点拨：本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤．分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：①分类标准统一，层次分明；②不重不漏．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x， 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.；单调递增区间是(k －1，＋∞)，(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e .类型三 方程根的讨论已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝ex 有唯一公共点．解：(1)∵f ′(0)＝e 0＝1，f (0)＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即x －y ＋1＝0.(2)证法一：设g (x )＝e x－ex ，曲线y ＝e x与y ＝ex 的公共点的个数等于函数g (x )＝e x －ex 零点的个数．∵g ′(x )＝e x－e ，令g ′(x )＝0，得x ＝1， ∴g (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )的最小值g (1)＝e 1－e ＝0，g (x )＝e x －ex ≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴曲线y ＝f (x )与直线y ＝ex 有唯一公共点．证法二：⎝⎛⎭⎪⎫由于方程e x ＝ex 等价于x ex ＝1e .设h (x )＝x ex ，分析方法类似证法一．点拨：本题通过作差或作商构造出新的函数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、特殊点(如图象与x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现．若a ＞1e，则方程ln x －ax ＝0的实根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解法一：由于方程ln x －ax ＝0等价于ln xx＝a .设f (x )＝ln xx.∵f ′(x )＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e ，∴f (x )在(0，e )上单调递增；在(e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )的最大值f (e )＝1e，f (x )＝ln x x ≤1e(仅当x ＝e 时，等号成立)．∵a ＞1e，∴原方程无实根．解法二：设g (x )＝ln x －ax ，分析单调性、极值可得结论．故选A.类型四 导数法证明不等式已知函数f (x )＝e x，当x ∈[0，1]时，求证：(1)f (x )≥1＋x ；(2)(1－x )f (x )≤1＋x .证明：(1)设g (x )＝e x－x －1，x ∈[0，1]．∵g ′(x )＝e x－1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数，g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0. ∴e x≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .(2)设h (x )＝(1－x )e x－x －1，x ∈[0，1]．∵h ′(x )＝－xe x－1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数，h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.∴(1－x )e x－x －1≤0， 即(1－x )f (x )≤1＋x .点拨：①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差构造函数，分析其单调性、最值，得出函数值恒大于或小于0，使问题得证．(2013·江西模拟)设函数f (x )＝x 1＋x ，g (x )＝ln x ＋12.求证：当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．证明：设h (x )＝x 1＋x －ln x －12，0＜x ≤1.∵h ′(x )＝1＋x －x （1＋x ）2－1x ＝1（1＋x ）2－1x＝－x 2－x －1（1＋x ）2x＜0，∴h (x )在(0，1]上单调递减．∵h (1)＝12－0－12＝0，h (x )≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．2．求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值．3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，。

高中数学导数讲义完整版第一部分 导数的背景一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。

1．1.3 导数的几何意义如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4，……)，P 的坐标为(x 0，y 0)，直线PT 为在点P 处的切线．问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？ 提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n＝f (x n )－f (x 0)x n －x 0.问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与在点P 处的切线PT 有什么关系？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于在点P 处的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得在点P 处的切线PT 的斜率？提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)．1．曲线的切线设函数y ＝f (x )的图像如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线．由此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线．[对应学生用书P7]2．导数的几何意义曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于f ′(x 0)，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.利用导数的几何意义，可知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为f ′(x 0)，从而由点斜式可写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．[例1] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[思路点拨] (1)先求出切点坐标，再根据导数的几何意义，求出函数y 在切点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，最后由直线方程的点斜式，写出切线方程；(2)只需将(1)中求出的切线方程与曲线C 的方程联立求解即可．[精解详析] (1)将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4. ∴切点P (2,4)． f ′(2)＝lim Δx→0ΔyΔx＝lim Δx →013(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤4＋2Δx ＋13(Δx )2＝4. ∴k ＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，可得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0.解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2,4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)． [一点通](1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：[对应学生用书P7]①求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； ②写出切线方程，即y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)曲线的切线与直线和圆相切时的切线不一样，直线与圆相切时，直线与圆有且只有一个公共点，而曲线在某点处的切线与曲线只是在切点附近区域上只有一个公共点．1．抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线l 的斜率为________． 解析：因为f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →02(1＋Δx )2－2Δx＝lim Δx →(4＋2Δx )＝4， 所以抛物线y ＝2x 2在点P (1,2)处的切线的斜率为4. 答案：42．求曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线方程．解：曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线斜率为f ′(1)＝lim Δx →011＋Δx －11Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx ＝－1，所以曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.[例2] 抛物线y ＝x 2在点P 处的切线与直线4x －y ＋2＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．[思路点拨]设切点坐标P (x 0，y 0)―→求导函数y ′＝f ′(x )―→由斜率k ＝f ′(x 0)＝4，求x 0―→求P 点坐标(x 0，y 0)―→求切线方程[精解详析] 设P 点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx＝lim Δx →(2x ＋Δx )＝2x . ∴f ′(x 0)＝2x 0，又由切线与直线4x －y ＋2＝0平行， ∴2x 0＝4，∴x 0＝2，∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4， ∴点P 的坐标为(2,4)， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.[一点通] 根据切线斜率求切点坐标的步骤为： (1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．3．已知曲线y ＝2x 2－7在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标． 解：设切点P (x 0，y 0)，由y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx＝lim Δx →(4x ＋2Δx )＝4x ， 得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0，根据题意4x 0＝8， x 0＝2，代入y ＝2x 2－7得y 0＝1. 故所求切点为P (2,1)．4．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件．(1)平行于直线y ＝x ＋1； (2)垂直于直线2x －16y ＋1＝0.解：设点P 坐标为(x 0，y 0)， 则Δy ＝4(x 0＋Δx )2－4x 20＝4x 20－4(x 0＋Δx )2x 20(x 0＋Δx )2＝－8x 0Δx －4(Δx )2x 20(x 0＋Δx )2. ∴Δy Δx ＝－8x 0－4Δx x 20(x 0＋Δx )2， ∴lim Δx→0Δy Δx＝－8x 0x 40＝－8x 30，即f ′(x 0)＝－8x 30.(1)∵切线与直线y ＝x ＋1平行，∴由导数的几何意义知f ′(x 0)＝1，即－8x 30＝1，∴x 0＝－2，则y 0＝1，即P (－2,1)． (2)∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴有f ′(x 0)·216＝－1，即－8x 30·18＝－1，∴x 0＝1，则y 0＝4，即P (1,4).[例3] (12分)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h (m)与时间t (s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，求烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．[精解详析] 烟花在t ＝2 s 时的瞬时速度就是h ′(2)． 而Δh Δt ＝h (2＋Δt )－h (2)Δt＝－4.9－4.9Δt ，(4分)所以h ′(2)＝lim Δt→0ΔhΔt ＝lim Δt →0(－4.9－4.9Δt )＝－4.9， 即在t ＝2 s 时，烟花正以4.9 m/s 的瞬时速度下降．(6分) 如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：在t ＝1.5 s 附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；(8分)在0～1.5 s 之间，曲线在任何点的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；(10分)在1.5 s 后，曲线在任何点的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．(12分)[一点通] 导数的几何意义是曲线的切线的斜率．反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度．5．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )解析：由y ＝f (x )的图像及导数的几何意义可知，当x ＜0时f ′(x )＞0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x ＞0时f ′(x )＜0，故B 符合．答案：B6．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y ＝－x 2＋4x ⎝⎛⎭⎫32≤x ≤2来刻画，试分析该段斜坡的坡度的变化情况．解：因为Δy Δx ＝[－(x ＋Δx )2＋4(x ＋Δx )]－(－x 2＋4x )Δx＝－2x ·Δx ＋4Δx －(Δx )2Δx ＝－2x ＋4－Δx ，所以y ′＝lim Δx→0ΔyΔx＝－2x ＋4⎝⎛⎭⎫32≤x ≤2. 由于y ′＝－2x ＋4在区间⎣⎡⎦⎤32，2上是减函数，所以0≤y ′≤1.故该段斜坡的坡度最开始很接近45°，随着高度慢慢上升，坡度在慢慢变小，在x 达到2时坡度接近0°.1．求过某点曲线的切线方程的类型及求法．(1)若已知点(x 0，y 0)为切点，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不是切点，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，则切线与y 轴平行或重合；若f ′(x 0)＞0，则切线与x 轴正方向夹角是锐角；若f ′(x 0)＜0，则切线与x 轴正方向夹角为钝角；若f ′(x 0)＝0，则切线与x 轴平行或重合．1．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：根据导数的几何意义，f (x )在x 0处的导数即f (x )在x 0处切线的斜率，故f ′(x 0)＝－12＜0. 答案：B2．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116D.⎝⎛⎭⎫12，14解析：k ＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，∴2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12.从而y＝14. 答案：D3．已知曲线y ＝－12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－52，则在点P 处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．165°解析：∵点P (1，－52)在曲线y ＝f (x )＝－12x 2－2上，∴在点P 处的切线斜率为k ＝f ′(1)[对应课时跟踪训练(三)]＝－1，∴在点P 处的切线的倾斜角为135°. 答案：C4．设曲线y ＝ax 2在点(2,4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝( ) A ．2 B ．－116C.12D ．－1解析：由y ＝ax 2得： Δy ＝a (x ＋Δx )2－ax 2 ＝2ax Δx ＋a (Δx )2， 则ΔyΔx＝2ax ＋a Δx ，所以y ′＝2ax ， 则f ′(2)＝4a ，又y ＝ax 2在点(2,4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直， ∴4a ＝－14，∴a ＝－116.答案：B5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6.如图所示，函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝________，f ′(5)＝________.解析：由图像知f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)等于在该点P 切线的斜率，故f ′(5)＝－1.答案：3 －17．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎫－1，12. 求：(1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解：将P (2，－1)代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x.∴y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →011－(x ＋Δx )－11－x Δx＝lim Δx →0Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝lim Δx→01(1－x －Δx )(1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线斜率为 f ′(2)＝1(1－2)2＝1；在Q 处的切线斜率为： f ′(1)＝1[1－(－1)]2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为 y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0. 在Q 处的切线方程为： y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0. 8．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：存在． 由导数的定义知y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(x＋Δx)2＋1－(x2＋1)Δx＝2x，设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x，所以切线的斜率为f′(t)＝2t，于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)．将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，即t2－2t＋(a－1)＝0，因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．。

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】专题3.1 导数概念及其运算【考纲解读】内 容要 求备注A B C导数及其应用导数的概念√导数的几何意义√导数的运算√【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 某斜抛物体抛出后相对于水平面的高度h ()m 与抛出后的时间t ()s 的函数关系是h (t )＝－t 2＋6t ＋10，则在3≤t ≤4这段时间内的平均速度为________m/s.【解析】 平均速度为h （4）－h （3）4－3＝18－191＝－1(m/s)．2．[教材改编] 已知函数f (x )＝5－3x ＋2x 2，且f ′(a )＝－1，则a ＝________． 【解析】 由题意可知，f ′(x )＝－3＋4x ，所以f ′(a )＝－3＋4a ＝－1，解得a ＝12.3．[教材改编] 曲线y ＝2x 3－3x ＋5在点(2，15)处的切线的斜率为________． 【解析】 因为y ′＝6x 2－3，所以在点(2，9)处切线的斜率k ＝6×22－3＝21. 题组二 常错题4．若函数f (x )＝4x 3＋a 2＋a ，则f ′(x )＝__________．【解析】 f ′(x )＝(4x 3＋a 2＋a )′＝12x 2.本题易出现一种求导错解：f ′(x )＝12x 2＋2a ＋1，没弄清函数中的变量是x ，而a 只是一个字母常量，其导数为0.5．函数y ＝ln xex 的导函数为____________．【解析】y′＝1x·e x－e x·ln x（e x）2＝1－x ln xx e x.本题易出现用错商的求导法则的情况．题组三常考题6．已知函数f(x)＝ax3－x＋2的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，6)，则a＝________．7．函数y＝e xx在其极值点处的切线方程为________________．【解析】y′＝e x（x－1）x2，令y′＝0，得x＝1，此时y＝e，即极值点为(1，e)，函数在该点处的切线斜率为零，故切线方程为y＝e.【知识清单】1．导数的运算1．基本初等函数的导数公式(sin x)′＝cosx，(cos x)′＝－sinx，(ax)′＝axlna，(ex)′＝ex，(logax)＝1xln a，(ln x)′＝1x.2．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)•g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f x g x′＝f′x g x－f x g′x[g x]2(g(x)≠0)．3．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′•ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．考点2 导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．【考点深度剖析】【重点难点突破】考点1 导数的运算 【1-1】求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x＋1e x －1；(3)y ＝ln(2x －5)．【答案】(1) 2x sin x ＋x 2cos x . (2) －2exe x－12.(3) 22x －5.【1-2】已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.【答案】0【解析】f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. 【思想方法】1． 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2． 复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【温馨提醒】区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异 考点2 导数的几何意义【2-1】 已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为________.【答案】3x －y －2＝0.【2-2】已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于________. 【答案】－2【解析】∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2【思想方法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．【温馨提醒】在解决曲线的切线问题时要注意辨别是求“曲线上某点(一定在曲线上)处的切线方程”，还是求“过某点(可能在曲线上、也可能不在曲线上)的切线方程，前者只有一条，而后者包括了前者，后者可能不止一条【易错试题常警惕】1、知曲线的切线求参数问题，一定要注意所给的点是否是切点． 如：若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a = ． 【分析】设过点()1,0的直线与曲线3y x =相切于点()300,x x ，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又()1,0在切线上，所以2300320x x -=，解得00x =或032x =，当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-，当032x =时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-．综上可得，2564a =-或1-． 【易错点】在解题中，未对()1,0的位置进行判断，误认为()1,0是切点．2、函数的求导问题，一定要先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．如：若()132y x =，则y '= ． 【分析】()1133322y x x ==，所以23332233x y x x-'==． 【易错点】容易出现()()12331223x x -'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的错误．高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin =，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。

5.2 导数的运算考点一 初等函数求导【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+ (2)2()2f x x x a '=-+ (3)()sin 1f x x '=-+ (4)1()23f x x x'=--+ (5)cos y x '= (6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ ，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则 'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【一隅三反】1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【答案】（1）22sin cos y x x x x '=+（2）211y x x'=-（3）2665y x x '=-+【解析】（1）2sin y x x =22sin cos y x x x x '=+（2）n 1l y x x =+211y x x'=-（3）322354y x x x x =-+-2665y x x '=-+2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e x y x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +.【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x xx y x x xx ''=+=+'.3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y x x -'=-++，12x y ='=（2）21sin y x+'=，21ln2x y π==+'考点二 复合函数求导【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.【答案】（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-． 【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =+；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝．【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xxe y e-'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】(1)()()()11'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；（2）1y ⎛=+= ⎝'（3）∵12111xx xe y e e +==+--∴()()222211xxx xe e y e e'-=-=--；（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++.2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：（1）ln(32)y x =-；（2）()212x x f x ee e -+=++（3）y【答案】（1）332y x '=-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.（3）y '=【解析】（1）因为ln(32)y x =-令32t x =-，ln y t =所以()()1332ln 332y x t t x '''=-⋅=⋅=-（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .（3）令212t x =-，则12y t =，所以112211()(4)22y t t t x -'''==⋅=-=；考点三 求导数值【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e【答案】A【解析】()()31ln f x xf x '=+ ，求导得()()131f x f x''=+，则()()1311f f ''=+，解得()112f '=-.故选：A.【一隅三反】1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ）A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-【答案】A【解析】()cos x f x x = ，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．6πC ．3πD ．π【答案】B【解析】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选： B.3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1【答案】A【解析】由题得()21(1)3f x x f ''=+∴=，.故选：A 考点四 求切线方程【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=．【解析】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率2|4x k y ='==，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020|x x k y x =='=，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在该切线上，∴2300244233x x =-+，即320340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =．故所求切线方程为440x y --=或20x y -+=．【一隅三反】1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.2．（2020·河南高三其他（理））曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-=【答案】D【解析】求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.3．（2020·北京高二期末）过点P （0，2）作曲线y ＝1x 的切线，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（2，12）C ．（3，13）D ．（0，1）【答案】A【解析】设切点001(,)x x ,022001112(0)y x x x x '=-∴-=--Q 01x ∴=,即切点(1,1)故选：A4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x －y －4＝0（2）x －y －4＝0或y ＋2＝0【解析】(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0．(2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0．考点五 利用切线求参数【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】D【解析】令()()ln xy f x eax x ==-，则()()1ln x xf x e ax x e a x'=-+-（，所以()12f ea e ='-，因为曲线()ln xy eax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，所以该切线过原点，所以()12f ea e ae ='-=，解得1a =，即k e =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12-【解析】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-，又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线(1)x y ax e =+在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a ＝_____.【答案】1【解析】 (1)x y ax e =+，∴(1)x y ax a e '=++ 012x y a =∴=+='，1a \=.故答案为：1.3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线y x b =+是曲线3x y e =+的一条切线，则b =________.【答案】4【解析】设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上，故4b =.故答案为：4。

5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。

高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念 函数y=f(x), 如果自变量x 在x 0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量 y =f 〔x 0+x 〕 －f 〔x 0〕，比值 y 叫做函数y=f 〔x 〕在x 0x到x 0+x 之间的平均变化率，即y f(x 0 x) f(x 0)。

如果当x0时， x =xy 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点x 0处 x可导，并把这个极限叫做f 〔x 〕在点x 0处的导数，记作f ’〔x 0〕或y ’|xx 0。

即f 〔x 0 〕=limy=lim f(x 0 x)f(x 0)。

x 0xx0x说明：〔1〕函数f 〔x 〕在点x 0处可导，是指 x 0时，y 有极限。

如果y不存在极限，x x就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

〔2〕x 是自变量x 在x 0处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f 〔x 〕在点x 0处的导数的步骤：〔1〕求函数的增量 y =f 〔x 0+x 〕－f 〔x 0〕；〔2〕求平均变化率yf(x 0x)f(x 0)；x =x〔3〕取极限，得导数f ’(x 0)=lim y 。

x 0 x 2．导数的几何意义函数y=f 〔x 〕在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率是f ’〔x 0〕。

/〕〔x －x 0 〕。

相应地，切线方程为y －y 0=f 〔x 0 3．几种常见函数的导数:①C0; ②x nnx n1;③(sinx)cosx ;④(cosx)sinx ;⑤(e x ) e x ;⑥(a x ) a x lna ;4．两个函数的和、差、积的求导法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(u v)' u ' v '. 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)' u 'vuv '.假设C 为常数,(Cu)' C 'uCu ' 0Cu ' Cu '. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数 的导数：(Cu)' Cu '. 法那么 3：两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：u‘=u'v uv'v v 2 v0〕。

完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。

如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。

例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。

变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。

切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。

三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。

题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。

一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a xx ln )(='例题：对下面几个函数求导 （1）、12832++=x x y（2）xxa x x e x f -+=ln 5)((3)22ln 3)(x xe xf x +=3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

3．1.3 导数的几何意义预习课本P76～79，思考并完成以下问题1．导数的几何意义是什么？2．导函数的概念是什么？怎样求导函数？3．怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．Δx→0(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li mf x 0＋Δx－f x0＝f′(x0)．Δx2．导函数的概念(1)定义：当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．(2)记法：f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f xΔx.[点睛] “函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．曲线y ＝x 2在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2x答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2 答案：D4．已知f (x )＝－1x，则f ′(x )＝________.答案：1x2[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 13＋Δx3＋43－13×23－43Δx＝li mΔx →0[4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 )；1．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：∵曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′| x ＝1 ＝li m Δx→0 ＋Δx2－＋Δx ＋2－－4＋Δx＝ li mΔx →0 (3Δx ＋2)＝2， ∴过点P (－1,2)的直线的斜率为2， 由直线的点斜式，得y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0，∴所求直线的方程为2x －y ＋4＝0.2．求抛物线f (x )＝x 2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6的切线方程．解：由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6不在抛物线上，所以可设切点为(x 0，x 20)，因为f ′(x 0)＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li mΔx →0 x 0＋Δx 2－x 2Δx＝li mΔx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0， 所以该切线的斜率为2x 0，又因为此切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，6和点(x 0，x 20)，所以x 20－6x 0－52＝2x 0，即x 20－5x 0＋6＝0，解得x 0＝2或x 0＝3，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)，即y ＝4x －4，y ＝6x －9.[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．已知曲线y ＝x 3＋3x 在点P 处的切线与直线y ＝15x ＋3平行，则点P 为( )A ．(2,14)B ．(－2，－14)C ．(2,14)或(－2，－14)D ．以上都不对解析：选 C 设P (x 0，y 0)，由题意可得 y ′＝li mΔx →0 x 0＋Δx3＋x 0＋Δx －x 30－3x 0Δx＝3x 20＋3，又由题意得3x 20＋3＝15，所以x 0＝±2. 当x 0＝2时，y 0＝23＋6＝14， 当x0＝－2时，y 0＝(－2)3－6＝－14. 所以点P 的坐标为(2,14)或(－2，－14)．层级一 学业水平达标1．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0)处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选A 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)＞0.2．曲线f (x )＝－2x在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－53处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4C.5π4 D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋Δx 3－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋x Δx ＋13Δx2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a＋Δx 2－a ×12Δx＝li mΔx →0 2a Δx ＋a Δx2Δx ＝li mΔx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋Δx －sinπ2Δx ＝li m Δx →0cos Δx －1Δx.当Δx →0时，cos Δx →1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. ∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1.从而切点坐标为(1,3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：2 7．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为Δy ＝－1＋Δx －1＋Δx ＋2－(－1)＝Δx －11＋Δx＋1＝2Δx 1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝2Δx＋Δx Δx ＝21＋Δx， 所以f ′(－1)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 21＋Δx＝2，故曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：y ＝2x ＋18．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li mΔx →0 x 0＋Δx2－x 0＋Δx －x 20＋3x 0Δx＝li mΔx →0 2x 0Δx －3Δx ＋Δx 2Δx＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．求过曲线f (x )＝1x －x 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－74的切线方程．解：因为f ′(4)＝li mΔx →0 f＋Δx －f Δx＝li m Δx →0 14＋Δx －4＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2Δx＝li mΔx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋Δx －14－4＋Δx－Δx＝li m Δx →0 －Δx ＋Δx －Δx4＋Δx ＋2Δx＝li mΔx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋Δx －14＋Δx ＋2＝－516， 所以切线的斜率为－516.所以所求的切线方程为5x ＋16y ＋8＝0.10．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． 解：由题意得f ′(x 0)＝li mΔx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 x 0＋Δx2－7－x 20－Δx＝li mΔx →0 (4x 0＋2Δx )＝4x 0.由于2×32－7＝11≠9，故点P (3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式得 9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)． 解得x 0＝2或x 0＝4. 所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(xA )与f ′(xB )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．曲线f (x )＝2x －1x在x ＝1处的切线的斜率为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝2(1＋Δx )－11＋Δx －()2×1－1＝2Δx ＋1－11＋Δx ＝2Δx ＋Δx1＋Δx ，所以Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝2＋11＋Δx，所以li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋11＋Δx ＝2＋1＝3.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →0 f－f －2Δx2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →0 f－f －2Δx2Δx＝li mΔx →0 f－2Δx －f －2Δx＝f ′(1)＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab为( ) A.13B.23 C ．－23 D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2， ∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li mΔx →0 f＋Δx －fΔx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li mΔx →0 f＋Δx －fΔx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为__________________．解析：由⎩⎨⎧y ＝xy ＝1x，得{ x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(1)＝li m △x →0 1＋Δx －1Δx＝li m △x →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝07．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：联立两曲线方程⎩⎨⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得{ x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)．曲线y ＝1x在点(1,1)的切线斜率为f ′(1)＝li m Δx →0 11＋Δx －1Δx ＝li m Δx →0 －11＋Δx ＝－1，所以曲线y ＝1x在点(1,1)处的一条切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线斜率为 g ′(1)＝li mΔx →0 ＋Δx 2－12Δx ＝li mΔx →0 2Δx ＋Δx2Δx＝li mΔx →0 (2＋Δx )＝2. 所以曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.两条切线y ＝－x ＋2和y ＝2x －1与x 轴所围成的图形如图所示， 所以S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34，故三角形的面积为34.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝x ＋Δx 2＋1－x 2－1Δx ＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条， ∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题自学引导1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为ΔyΔx＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则ΔyΔx＝________，表示函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1答 案2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.如何理解Δx ，Δy 的含义Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．2．求平均变化率的步骤求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.对平均变化率的认识函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π2－sin0π2－0＝2π.在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.典例剖析题型一求函数的平均变化率例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求t＝0到t＝1的平均速度．分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔSΔt就可以得到平均速度．解(1)由于v＝St＝3t－t2t＝3－t.∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1∴v＝ΔSΔt＝21＝2.∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx＝( )A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx.∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3答案D题型二平均变化率的快慢比较例2 求正弦函数y＝sin x在0到π6之间及π3到π2之间的平均变化率．并比较大小．分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．解设y＝sin x在0到π6之间的变化率为k1，则k 1＝sinπ6－sin0π6－0＝3π.y ＝sin x 在π3到π2之间的平均变化率为k 2，则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－32π6＝32－3π.∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1π>0，∴k 1>k 2.答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3π.变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π2之间的平均变化率的大小．解 设函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π3－cos0π3－0＝－32π.函数y ＝cos x 在π3到π2之间的平均变化率是k 2，则k 2＝cosπ2－cos π3π2－π3＝－3π.∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝32π>0，∴k 1>k 2.∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π2之间的平均变化率．题型三 平均变化率的应用例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→ΔsΔt解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．解 质点在[2,2＋Δt ]上的平均速度为v －＝s 2＋Δt －s 2Δt＝[2＋Δt 2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt .又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt >0，∴Δt 的取值范围为(0,1]. § 1.1 函数的单调性与极值 1.1.2 导数的概念自学引导1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．3．掌握函数f (x )在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.课前热身1.瞬时速度．设物体的运动方程为S ＝S (t )，如果一个物体在时刻t 0时位于S (t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt －S t 0Δt.当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0ΔS Δt ＝lim Δt →0S t 0＋Δt －S t 0Δt就是物体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，这个常数A 就是函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.用符号语言表达为f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝________1.平均速度 瞬时速度 答 案2.lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx名师讲解1.求瞬时速度的步骤(1)求位移增量ΔS ＝S (t ＋Δt )－S (t )；(2)求平均速度v ＝ΔS Δt；(3)求极限limΔt→0ΔSΔt＝limΔt→0S t ＋Δt－S tΔt；(4)若极限存在，则瞬时速度v＝limΔt→0ΔS Δt.2．导数还可以如下定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx.3．对导数概念的理解(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：①limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值；②limΔx→0ΔyΔx不存在，则称f(x)在x＝x0处不可导．(3)Δx称为自变量x的增量，Δx可取正值也可取负值，但不可以为0.(4)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x)＝limx→x0f x－f xx－x与定义中的f′(x0)＝limΔx→0f x＋Δx－f x0Δx意义相同．4．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率：ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx；(3)取极限，得导数：f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.典例剖析题型一物体运动的瞬时速度例1 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．分析先求出Δs，再用定义求ΔsΔt，当Δt→0时的极限值．解∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t＋Δt)2－(v0t0－12gt2)＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12g·Δt.∴当Δt→0时，ΔsΔt→v0－gt0.故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.规律技巧瞬时速度v是平均速度v在Δt→0时的极限.因此，v＝limΔt→0v＝limΔt→0ΔsΔt.变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝5t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度。

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3x ln 3，g′(x)＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．a B．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2020·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝lim Δx →0 (4 026x ＋2 013Δx ) ＝4 026x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2020·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

5.2.1基本初等函数的导数要点一 几个常用函数的导数要点二【重点小结】(1)几个基本初等函数导数公式的特点①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． ②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． ③对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数． (2)函数与其导函数奇偶性的关系 ①常数的导数是0.②奇函数的导函数为偶函数． ③偶函数的导函数为奇函数．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2.( ) (2)(log 3x )′＝13ln x.( )(3)⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ′＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x .( ) (4)若y ＝e 3，则y ′＝e 3.( ) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多选题)下列导数运算正确的是( )A ．(ln x )′＝xB ．(a x )′＝xa x －1C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－5x －6 【答案】CD【解析】由导数公式得C 、D 正确．3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x ＋y －2＝0 【答案】C【解析】y ′|x ＝0＝e x |x ＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A (0,1)，故切线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 4．函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 【答案】1【解析】f ′(x )＝cos x ，所以f ′(6π)＝1.题型一 利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x －3； (2)y ＝3x ；(3)y ＝ x x x ； (4)y ＝log 5x ；(5)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ；(6)y ＝sin π6；(7)y ＝ln x ； (8)y ＝e x .【解析】(1)y ′＝－3x －4；(2)y ′＝3x ln 3；(3)y ＝x ·x ·x 12＝xx 32＝x ·x 34＝x 78，∴y ′＝78x1-8；(4)y ′＝1x ln 5；(5)y ＝sin x ，y ′＝cos x ；(6)y ′＝0；(7)y ′＝1x；(8)y ′＝e x .不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导． 【方法归纳】求简单函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 【跟踪训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1. 【解析】(1)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x32)′＝32x12＝32x ； (4)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 【解析】∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e ，即切线斜率为1e .∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程． 【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q (a ，b )．则切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝1a，又k ＝b －0a －0＝b a，且b ＝ln a∴a ＝e ，b ＝1，∴切线方程为x －e y ＝0. 【方法归纳】(1)求过点P 的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．【跟踪训练2】已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 垂直的曲线y ＝x 2的切线方程．【解析】∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|0x x ＝＝2x 0，又∵直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线垂直于直线PQ ，∴2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫－12，14.∴所求的切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.易错辨析 混淆幂函数与指数函数求导公式致错【例3】曲线f (x )＝2x 在点(0,1)处的切线方程为________． 【答案】y ＝x ln 2＋1【解析】∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝2x ln 2，∴f ′(0)＝ln 2 故所求切线方程为y －1＝(x －0)ln 2 即y ＝x ln 2＋1. 【易错警示】 1.出错原因记错导数公式(a x )′＝a x ln a ，与幂函数y ＝x α的求导公式混淆. 2.纠错心得利用导数公式求导时，应先弄清是指数函数，还是幂函数.一、单选题1．若函数5()(2cos )sin 2f x a x x x =-+（其中a 为参数）在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值. 【解析】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+()f x 在R 上单调递增 ()0f x ∴'≥ 在R 上恒成立令cos x t =，[]1,1t ∈-，则 ()f x '可写为 ()[]294,1,12g t at t t =-+∈-根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负()()1010g g ⎧-≥⎪∴⎨≥⎪⎩解得 1122a -≤≤，所以选项B 正确故选：B.2．已知函数()tan f x x =，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭等于（ ）A ．12 BC ．1D ．2【答案】D 【分析】先对函数求导，然后求出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭即可【解析】由()sin tan cos x f x x x ==，得2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+=='，所以2124cos4f ππ⎛⎫=='= ⎪⎝⎭， 故选：D3．已知函数()()2e e ln ex f x f x '=⋅⋅-（e是自然对数的底数），则()e f 等于（ ） A ．e 1- B ．21e-C ．1D ．11e-【答案】C 【分析】利用导数的运算可得出关于()e f '的方程，求出()e f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()e f 的值. 【解析】因为()()2e e ln e xf x f x '=⋅⋅-，则()()2e e 1e f f x x ''=-， 所以，()()1e 2e e f f ''=-，所以，()1e e f '=，故()2ln exf x x =-，因此，()e 2lne 11f =-=. 故选：C.4．函数()ln 25y x x =+的导数为（ ）A ．()2ln 25y x x '=+B ．25xy x '=+ C ．()ln 2525xy x x '=+++ D ．()2ln 2525xy x x '=+++ 【答案】D 【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数()ln 25y x x =+求导即可. 【解析】因为()ln 25y x x =+，所以()()()ln 25ln 25ln 25y x x x x x x ''⎡''=+=⎤⎡+++⎤⎣⎦⎣⎦()()()12ln 2525ln 252525xx x x x x x =++⋅⋅+=++++'. 故选：D.5．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（ ）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C. 6．函数()1f x x=在2x =和3x =处的导数的大小关系是（ ） A ．()()23f f ''< B ．()()23f f ''> C ．()()23f f ''= D ．不能确定【答案】A 【分析】求出函数导数即可比较. 【解析】 ()1f x x =，()21f x x '∴=-，所以()()112,349f f ''=-=-，即()()23f f ''<.故选：A.7．给出下列命题：①ln 2y =，则12y ；②21y x=，则3227x y ==-'；③2x y =，则2ln 2x y '=；④2log y x =，则1ln 2y x '=.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】①中ln 2y =为常数函数，故0y '=，故①错误； 对于②，∵32y x '=-，∵3227x y ==-'，故②正确； 显然③④正确. 故选：C.8．下列导数运算正确的是（ ） A ．()121x x-'=B ．11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．()cos sin x x '=D ．()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】因为()121x x -'=-，11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()cos sin x x '=-，()1ln 1x x x '+=+，所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.二、多选题9．（多选）以下运算正确的是（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()sin cos x x '=C ．()22ln 2x x '=D ．()1lg ln10x x =-' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可 【解析】对于A ，因为1211()x x x -'⎛⎫'==- ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 对于B ，因为()sin cos x x '=，所以B 正确； 对于C ，因为()22ln 2x x '=，所以C 正确； 对于D ，因为()1lg ln10x x '=，所以D 不正确. 故选：BC.10．下列求导运算不正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()555log x x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】ACD 【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解. 【解析】2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误； 2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； ()55ln 5xx'=，故C 错误；()22cos 2cos sin xx x x x x '=-，故D 错误．故选：ACD11．下列各式正确的是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()cos sin x x '=C ．()sin cos x x '=D ．'⎛ ⎝【答案】CD 【分析】直接根据导数的运算公式计算即可. 【解析】对于A ，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误；对于B ，()cos sin x x '=-，故错误； 对于C ，()sin cos x x '=，故正确； 对于D ，'⎛=⎝ 故选：CD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。