赣县中学高中数学竞赛数论第10讲不定方程(中)

第一讲 因式分解（一）1、 几种常用的因式分解方法①、拆项和添项：把代数式中的某项拆成两项或更多项的代数和，叫做拆项；把代数式添上两个符号相反的项，叫做添项。

一般情况下，如何拆项或添项，依赖于对题目特点的观察和分析。

例1、分解因式：⑴、2426923+++x x x ⑵、15++x x例2、分解因式：24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+例3、分解因式：abc c b a 3333-++例4、若a 为正整数，则9324+-a a 是质数还是合数？给出你的证明。

②、按一个变量降次排列：按一个变量降次排列在代数式变换中，是常用的方法之一，按一个变量降次排列的方法，常有利于因式分解的进行。

例5、分解因式：1+++++++z y x zx yz xy xyz例6、分解因式：a x a x a x +++++)12()2(23③、换元法：在作代数式变换时，常常要考虑把一个式子看成一个数（或字母），从而应用基本知识解决问题。

例7、分解因式：2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+例8、分解因式：333)42()323()(a b c c b a c b a -++--+++例9、证明：四个连续自然数的积与1之和必是一个完全平方数。

④、待定系数法：待定系数法也是代数式变换的一个常用方法，这个方法的特点是假设变换已经完成，然后再去求出那些尚未确定的系数。

例10、分解因式：35825322-+--+y x y xy x例11、化简912104234++++x x x x例12、分解因式：4925322-++-+y x y xy x例13、求证：y x y xy x +++-22不能分解成两个一次因式的乘积。

例14、求证：1234++++x x x x 可表示成两个多项式的平方差第一讲 因式分解（一）练习1、分解因式：①、32422+++-b a b a =___________________________.②、.____________________262793223=-+-a x a ax x③、._____________________20)5)(3)(1(2=-++-x x x④、._________________________2414723522=-+--+y x y xy x⑤、.__________________________12)2)((42222=-++++y y xy x y xy x ⑥、.___________________________)1)(1)(1(=++++xy y x xy⑦、._______________________)1()2)(2(2=++++-+ab b a ab b a⑧、.___________________________)(3333=---++c b a c b a2、m 为何值时，多项式m y x y xy x +-++-5112101222能分解成两个一次因式的积？3、求满足19832222=-++-x x y xy y x 的整数对),(y x .4、在实数范围内分解因式：1)2(3+++-a x a x .5、已知33332222,,c z y x b z y x a z y x =++=++=++，求xyz 。

高中数学解题技巧之不定方程求解不定方程在高中数学中是一个重要的概念，涉及到求解方程中的未知数的取值范围。

本文将介绍不定方程的求解方法和一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。

一、不定方程的定义和基本概念不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的取值范围不确定，需要通过一定的条件来求解。

常见的不定方程包括线性不定方程、二次不定方程等。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7，其中x和y为未知数。

这个方程的解是指满足条件的x和y的取值，使得等式成立。

二、线性不定方程的求解方法1. 列举法：对于简单的线性不定方程，可以通过列举的方法来求解。

例如，解线性不定方程3x + 4y = 7，我们可以列举出一些满足条件的整数解，如(1, 1)、(3, 1)等。

通过观察这些解的规律，我们可以发现解的特点，进而得到一般解。

2. 欧几里得算法：对于形如ax + by = c的线性不定方程，可以利用欧几里得算法来求解。

首先，我们需要找到一个特殊解(x0, y0)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7。

我们可以先找到一个特殊解(3, -2)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。

具体步骤如下：步骤一：利用欧几里得算法求出3和4的最大公约数d，同时求出一组整数解(u0, v0)，使得3u0 + 4v0 = d。

步骤二：将方程两边同时除以d，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。

步骤三：将特殊解(3, -2)代入上式，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。

通过观察我们可以发现，方程的通解为x = 3 + 4k，y = -2 - 3k，其中k为整数。

三、二次不定方程的求解方法二次不定方程是指含有二次项的不定方程，例如x^2 + y^2 = 25。

对于这类方程，我们可以利用一些特定的方法来求解。

1. 分类讨论法：对于形如x^2 + y^2 = n的二次不定方程，我们可以通过分类讨论的方法来求解。

竞不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例1 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例2 (第14届美国数学邀请赛题)证明方程无整数解证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例3 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）. （A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例4 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例5 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≥3,∴≤1，∴＜1.∴a＜b.例6（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例7求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例8 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≥0，解得≤y≤.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例9 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例9（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26·31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x 是完全平方数.∵x＜1984，∵1≤t≤7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≤x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习1.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.2．求的整数解.3．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.4.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习1.不妨设x≤y≤z,则,故x≤3.又有故x≥2.若x=2,则,故y≤6.又有,故y≥4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≤y≤4,y=3或4,z都不能是整数.2.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得3.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≥0及y为整数可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).4.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.。

不定方程（组）解读课标如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组）．不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在． 简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是ax by c +=（a ，b ，c 为整数，且0ab ≠），与之相关的性质有： 1．无整数解的判定方法若(),a b d =，而|d c ，则方程ax by c +=没有整数解．2．全部整数解的表示若方程ax by c +=有一组解（特解）．00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax by c +=全部整数解（通解）可表示为：00x x bt y y at =−⎧⎨=+⎩（t 为整数）． 例1 某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱用尽的条件下，有____种购买方案．试一试 设购买甲、乙两种运动服套数为x 套、y 套，则2035365x y +=，即4773x y +=．将问题转化为求不定方程的正整数解的个数．例2 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为34x +、109y +（x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程34109x y +=+的正整数解．例3 （1）求方程254x y −=的全部整数解；（2）求方程537x y −=−的正整数解．试一试 对于（2），先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解．例4 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于32人）试一试 设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，则()()22112332x k x k +=−≤≤，解此不定方程即可．例5 购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需多少元？分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为a 、b 、c ，则7331044a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，需求1152a b c ++的值．解法1 原方程组变形为3374410,b c a b c a +=−⎧⎨+=−⎩，解得132,b a c a =−⎧⎨=⎩ ()115211513225a b c a a a ∴++=+−+⨯=．解法2 把1152a b c ++直接用73a b c ++、104a b c ++的式子表示．()()11523731043345a b c a b c a b c ++=⨯++−++=⨯−=．解法3 ()()11521044a b c a b c a b c a b c ++=+++++=+++，需求出a b c ++，原方程组变形为()()623934a b c a b a b c a b ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩①② ①3⨯−②2⨯，得33421a b c ++=⨯−⨯=，1152415a b c ∴++=+=．例6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？分析与解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x ，y ，z ，则有10053100,3x y z z x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．②3⨯−①，得148200x y +=，即74100x y += ③到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解． 由③得100725244x x y x −==−+，令4x t =，则4x t =， 252258257y x t t t t ∴=−+=−+=−，()1001004257375z x y t t t =−−=−−−=+，这样，得到方程组的通解为4257375x t y t z t =⎧⎪=−⎨⎪=+⎩（t 为非负整数）． 4025703750,t t t ⎧⎪−⎨⎪+⎩≥≥≥043725t t t ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪−⎩≥≤≥ 解得03t ≤≤． 令0t =，1，2，3，得下列四组解：()(),,0,25,75x y z =，()4,18,78，()8,11,81，()12,4,84巩固练习1．若方程36832x y +=有一组解为6026,x y =⎧⎨=−⎩则方程的通解可表示为___________． 2．若方程231x y +=有一组整数解为11,x y =−⎧⎨=⎩则由此得方程236x y +=的通解为___________．3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有______种不同的买法．4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了________朵．5．方程4598x y +=的正整数解的个数是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）．A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支7．三元方程1999x y z ++=的非负整数解的个数有（ ）． A ．20001999个 B ．19992000个 C ．2001000个 D ．2001999个8．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（ ）．A ．15种B ．11种C ．5种D ．3种9．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时祖用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？10．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘()010n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能的少？11．一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完．间盒子里共有多少粒棋子？。

数论中的同余方程与不定方程数论是研究整数的性质和结构的学科，其中同余方程和不定方程属于重要的研究内容。

本文将介绍同余方程和不定方程的概念、性质以及解法。

一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m) 的方程，其中 a、b和m都是整数，≡表示同余，意味着 a与b对于模m同余。

1.1 概念同余方程是用来描述整数之间的关系的方程。

同余方程中的 a、b和m都是整数，其中 a和m是已知的，b是未知的。

解同余方程就是要找到满足这个关系的整数b的值。

1.2 性质同余方程具有一些重要的性质：- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有a+km≡b (mod m) 。

- 如果a≡b (mod m) ，那么对于所有的整数k，有ak≡bk (mod m) 。

- 如果a≡b (mod m) 且b≡c (mod m) ，那么a≡c (mod m) 。

1.3 解法一般而言，我们可以通过穷举法或代入法求解同余方程。

- 穷举法：我们可以从 0开始，依次将整数代入方程，判断是否满足同余关系。

这种方法比较直观，但对于大数目的解比较复杂。

- 代入法：我们可以将 b 替换成一个待定整数 x，然后通过一定的数学变换，将原方程转化为一个简化的同余方程。

然后我们可以通过简化后的方程来求解。

二、不定方程不定方程是指形如 ax+by=c 的方程，其中 a、b和c都是整数，且给定整数解x和y。

2.1 概念不定方程是一种用来描述整数之间的关系的方程。

不定方程中的a、b和c都是整数，其中 a和b是已知的，c是未知的。

我们需要找到满足该关系的整数解x和y。

2.2 性质不定方程具有一些重要的性质：- 如果 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是不定方程 ax+by=c 的解，那么(x₁+x₂, y₁+y₂) 也是其解。

- 不定方程 ax+by=c 只有有限多个整数解，当且仅当 c 是 a和b的公倍数。

2.3 解法解决不定方程一般有以下几种方法：- 整数分拆法：我们可以通过对方程逐项进行整数分拆，得到不同的解。

第6讲 同 余（一）一、知识要点：1、同余①、定义：设+∈N m ,如果两个整数b a ,除以m 的余数相同，那么称b a 与对模m 同余，记作：)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ，否则记为a b ）（m mod②、同余的基本性质⑴、反身性：)(mod m a a ≡；⑵、对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；⑶、传递性：若)(mod m b a ≡，),(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡；⑷、定理1：设)(mod 11m b a ≡，)(mod 22m b a ≡，则（ⅰ）、)(mod 2121m b b a a ±≡±；（ⅱ）、)(mod 2121m b b a a ≡；⑸、推论1：若)(mod m b a k k ≡，n k ,2,1=，则（ⅰ）、)(mod 11m b a n k k n k k ∑∑===；（ⅱ）、)(mod 11m b a nk kn k k ∏∏==≡； ⑹、推论2：若)(mod m b a ≡，则)(mod m b a n n ≡ ；⑺、定理2：若)(m o d 2121m b b a a ≡，)(mod 22m b a ≡且1),(2=m a ，则)(m o d 11m b a ≡； ⑻、推论3：若,1),()(mod =≡c m m bc ac 且则)(mod m b a ≡；⑼、定理3：若)(mod ),(mod ),(mod 21n m b a m b a m b a ≡≡≡ 且],,[21n m m m M =则)(mod M b a ≡(10)、定理4：（费马小定理）：设p 为素数，且pa ，则)(mod 11p a p ≡-（11）、推论：设p 为素数，则)(mod p a a p ≡二、要点分析：三、例题讲解：例1、试证：n n n n 25744920020001992-+-例2、求20001992被29除的余数例3、求使12-n为7的倍数的所有正整数n例4、求3除余2且7除余4的二位数和三位数之和例5、试求不定方程159********=+++x x x 的所有整数解例6、设p 为大于5的素数，求证在数列1,11,111,1111，……中有无穷多项是p 的倍数 第6讲 同余（一）练 习班级：_____________姓名：_________________1、 当1002被13整除时，余数是_________.2、 2005531 ⨯⨯⨯的末三位数字为_______.3、 若),3(mod 022≡+b a 则（ ）A 、a 3且3 bB 、a 3且3 bC 、a 3且3 bD 、a 3且3 b4、 )7d _______(mo 5555222222225555≡+5、 数列}{n a 定义如下：21210,2,1+++===n n n a a a a a ，则204a 除以7的余数是_____.6、 试证明：任何大于5的质数的平方除以30时，余数只能是1或197、 求最小的正整数a ，使得存在正奇数n ，满足)3255(2009n n a ⋅+。

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不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数)的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题。

1．几类不定方程 （1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程。

一次不定方程解的情况有如下定理。

定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。

(2）沛尔)(pell 方程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数)的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解,则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+--⎪⎩（1,2,3,n =）给出.①只要有解),(11y x ,就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x ,满足的关系：1(nn x y x y ++；11211222n n n nn n x x x x y x y y ----=-⎧⎨=-⎩ ， （3）勾股方程222z y x =+这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解,此时易知z y x ,,实际上两两互素。