赣县中学高中数学竞赛平面几何第7七讲圆内接四边形和四点共圆

第九讲托勒密（Ptolemy）定理一、知识要点：1、托勒密定理：圆内接凸四边形两组对边乘积之和等于两条对角线之积，即已知，如图，四边形ABCD为圆内接凸四边形，则有 AB·CD+AD·BC =A C·BD ADB C托勒密定理的逆定理：如果凸四边形的两组对边的乘积之和等于对角线之积，那么这个四边形是圆内接四边形。

即：如图，若AB·CD+AD·BC =A C·BD，则A、B、C、D四点共圆。

ADB C托勒密定理的推广：在任意凸四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC ≥A C·BD，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

DAB C二、要点分析：托勒密定理可以用于线段长的转换，其逆定理可用于证明四点共圆。

三、 例题讲解：例1、设ABCD 为圆内接正方形，P 为弧DC 上的一点，求证：PA(PA+PC)=PB(PB+PD) PD CA B例2、如图，设P 、Q 为平行四边形ABCD 的边AB 、AD 上的两点，APQ ∆的外接圆交对角线AC 于R ，求证：A P ·AB+AQ ·AD=AR ·RCDA B CQP R例3、已知ABC ∆中，C B ∠=∠2,求证：AC 2=AB 2+AB ·BCAB C例4、如图所示，已知两同心圆O,四边形ABCD 内接于内圆，AB 、BC 、CD 、DA 的延长线交外圆于A 1、B 1、C 1、D 1，若外圆的半径是内圆的半径的2倍，求证：四边形A 1B 1C 1D 1的周长≥四边形ABCD 的周长的2倍，并确定等号成立的条件。

D 1例5、已知ABC ∆中，AB>AC,A ∠的一个外角平分线交ABC ∆的外接圆于点E,过E 作EF ⊥AB,垂足为F （如图），求证：2AF=AB-ACABC EF第九讲 托勒密（Ptolemy ）定理练习1、 如图，已知圆内接正五边形ABCDE,若P 为弧AB 上一点，求证：PA+PD+PB=PE+PC AB C D EP2、 ABCD 为圆内接四边形，DC=BC ，对角线DB 与AC 交于E,若CE ：EA=1：3，AB+AD=m,求BD 的长。

平面几何竞赛基础10 ──圆内接四边形与四点共圆姓名：爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶．自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发jylingbin@邮箱，以便批阅反馈．注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．一、基本知识性质定理：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的外角等于内对角．判定定理：平面上的四个点如果具备下列条件之一，则四点共圆：（1）对角互补（或一个外角等于内对角）的四边形，四个顶点共圆；（2）具有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆；（3）有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等，则它们的四个顶点共圆．二、重要例题例1．两个角的边交于点A、B、C、D，已知这两个角的平分线互相垂直，求证：点A、B、C、D四点共圆．（提示：用外角等于内对角）∵∠BAD=180°－∠AEM－∠AME=180°－12∠AEB－∠FMN=180°－12∠AEB－(90°－12∠BFC)=90°－12∠AEB+12∠BFC∠BCD=12∠BFC+∠FPC=12∠BFC+(90°－12∠AEB)= 90°－12∠AEB+12∠BFC∴∠BAD=∠BCD∴点A、B、C、D四点共圆例2．如图，如果在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE且∠AEC=∠ADB，求证：∠BAC=∠DAE．（提示：连AF，先证A B C F、、、四点共圆）∵∠AEC=∠ADB∴A,F,D,E四点共圆∴∠AFE=∠ADE,而∠ADE=∠ABC∴∠AFE=∠ABC EE∴A,B,C,F 四点共圆∴∠BCA=∠BFA=∠DEA∵∠ABC=∠ADE, ∠BCA=∠DEA ∴∠BAC=∠DAE例3．如图，两圆O 1，O 2相交于A ，B ，圆O 1的弦BC 交圆O 2于E ，圆O 2的弦BD 交圆O 1于F ；求证：（1）若∠DBA =∠CBA ，则DF =CE ；（2）若DF =CE ，则∠DBA =∠CBA ．（提示：按图中辅助线，用好所标的角）（1）∵∠1=∠2 ∴AD=AE∵四边形AFBC 为⊙O 1的内接四边形 ∴∠6=∠5，同理∠3=∠4 ∴△ADF ≌△AEC(AAS) ∴DF=EC(2) ∵四边形AFBC 为⊙O 1的内接四边形 ∴∠6=∠5，同理∠3=∠4 又∵DF=CE∴△ADF ≌△AEC(ASA) ∴AD=AE∴∠DBA=∠CAE例4．梯形ABCD 中(BC ∥AD )对角线交点为O ，在线段AO 和DO 上取点M 和N ，使得：∠BMD =∠ANC ；求证：B 、M 、N 、C 四点共圆．（提示：过B C M 、、画圆）过B,C,M 画圆，交BD 于N ′ ∴∠CBN=∠CMN ′∵BC ∥AD∴∠CBN=∠BDA ∴∠CMN ′=∠BDA ∴M,N ′,D,A 四点共圆 ∴∠CAN ′=∠BDM ∵B,M,N ′,C 四点共圆 ∴∠MBD=∠N ′CA ∴∠BMD=∠CN ′A ∵∠BMD=∠ANC ∴∠ANC=∠AN ′C ∴N,M,B,C 四点共圆例5．在以C 为圆心，以MN 为直径的半圆上有A 、B 两个不同的点，点P 在CN 上，而且∠CAP =∠CBP =10 ，如果 40MA，求 BN 的度数．（提示：连结AB ） 连接AB∵∠CAP=∠CBP ∴A,C,P,B 四点共圆 ∴∠ABP=∠ACM=40° ∴∠ABC=30° ∵AC=BC∴∠ACB=100°PMNCN ′∴∠BCM=20° ∴ BN=20° 例6．四边形ABCD 内接于圆，通过M 和N 分别表示直线AB 和CD ，BC 和AD 的交点；设B 1是已知圆同过点B 、M 、N 三点的圆异于B 的交点；求证：直线B 1D 平分线段MN ．（提示：先平行四边形NDMK ，KD 与过A B C 、、三点的圆交于1B ，连结1BB ）过N 作CM 的平行线与过M 作DN 的平行线交于K ∴NDMK 为平行四边形 ∴∠NKM=∠NDM=∠ADC ∵∠B+∠ADC=180° ∴∠B+∠NKM=180° ∴B,N,K,M 四点共圆又∵∠BB 1D=∠BCD, ∠BB 1K=∠BNK=∠BCD ∴∠BB 1D==∠BCK ∴B 1，D,K 共线∴B 1D 与BK 重合于平行四边形NKMD 的对角线DK 上， ∴B 1D 平分MN三、巩固练习10 （以下两道题的解答要回发到邮箱jylingbin@ ）1．P 是△ABC 的外接圆上一点，由P 向各边BC 、CA 、AB 引垂线PD 、PE 、PF ，求证：三个垂足D 、E 、F 共线．连接PC∵∠BFP=∠BDP=90° ∴F,B,P,D 四点共圆 ∴∠FDB=∠FPB同理D,P,E,C 四点共圆 ∴∠CDE=∠CPE∵四边形ABPC 为内接四边形 ∴∠FBP=∠PCE又∵∠BFP=∠E=90° ∴∠BPF=∠EPC ∴∠FDB=∠CDE∵∠FDB+∠FDC=180° ∴∠CDE+∠FDC=180° ∴D,E,F 共线2．设在△ABC 三边BC 、CA 、AB 所在直线上各任取一点X 、Y 、Z ，求证：三个圆AYZ 、BZX 、CXY 共点． 设⊙AYZ 与⊙BZX 交于异于Z 点的O,连结OX,OZ,OY∵四边形OZBX 为⊙BZX 内接四边形 ∴∠OXC=∠BZO 同理∠BZO=∠AYO ∴∠OXC=∠AYO∴O,X,C,Y四点共圆∴O在⊙CXY上即⊙AYZ, ⊙BZX, ⊙CXY共点。

高中数学竞赛平面几何讲座四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路。

作为判断四点共圆的方法除了定义外，还有以下定理：定理1若四边形的两个对角互补，则四点共圆。

定理2若四边形的一个外角等于它的内对角，则四点共圆。

定理3两三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，则四点共圆。

定理4（相交弦定理的逆定理）若两条线段AB和CD相交于点E，且AE·EB=CE·ED,则A,B,C,D四点共圆。

定理5（切割定理的逆定理）若相交于点P的两条线段PB,PD上各有一点A,C,且PA·PB=PC·PD,则A,B,C,D四点共圆定理6（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积，即AB·CD+BC·DA=AC·BD,则A,B,C,D四点共圆。

1 “四点共圆”作为证题目的2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.(1)证角相等题2．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB .(2)证线垂直题3．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于B 和M .求证：∠BMO =90°..(3)判断图形形状例4．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.题5.凸四边形ABCD 有内切圆,该内切圆切边AB,BC,CD,DA 的切点分别为1111,,,.A B C D 连接11111111,,,,A B B C C D D A 点,,,E F G H 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点。

圆的内接四边形和四点共圆（学生版）【知识展示】圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．模块一：辅助圆思想平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．几何条件：OA OB OC ==．辅助圆：以O 为圆心、OA 为半径作圆O ⊙．∵OA OB OC ==，∴点B 、C 在O ⊙上．几何条件：OC OD =,2COD CAD ∠=∠．辅助圆：以O 为圆心、OC 为半径作圆O ⊙．∵OC OD =，2COD CAD ∠=∠，∴点A 、D 在O ⊙上．模块二：四点共圆的判定（一）若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABD ACD ∠=∠=90︒，则A 、B 、C 、D 在以AD 中点E 为圆心、EA 长为半径的圆上（可证EA EB EC ED ===）．若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABC ADC ∠=∠=90︒，则A 、B 、C 、D 在以AC 中点E 为圆心、EA 为半径的圆上（可证EA EB EC ED ===）．若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ADB ACB ∠=∠，则A 、B 、C 、D 四点共圆．证明条件：线段同侧张角相等．若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ABC ADC ∠+∠=180︒，则A 、B 、C 、D 四点共圆．证明条件：1．四边形对角互补；2．四边形外角等于内对角．模块三：四点共圆的判定（二）两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于H ，若AH CH BH DH ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.四边形ABCD 的对边BA 、CD 的延长线交于P ，若PA PB PD PC ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.模块四：四点共圆的应用模块五：四点共圆的构造【典型例题】【例1】（1）如图1-1，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ∠=︒，13BDC ∠=︒，则CBD ∠=_____，BAC ∠=__________．（2）如图1-2，已知四边形ABCD ，AB//CD ，AB AC AD a ===，BC b =，且2a b >，求BD 的值．图1-1图1-2【例2】如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦，且CD AB ⊥于K ．E 为劣弧AC 上的一点，连接AE 交DC 延长线于F ．求证：E 、F 、B 、K 四点共圆．【例3】（1）如图6-1，BC AE ⊥，ED AB ⊥，且BC 、DE 相交于G ．H 为AE 延长线上的一点，CH AC =．求证：B 、G 、E 、H 四点共圆．（2）如图6-2，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 边上，已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 也四点共圆．图6-1图6-2【例4】AD 、BE 、CF 是ABC △的三条高，相交于垂心H ，在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七点中，有六组四点共圆，试逐一举出，并问各圆心在何处？【例5】（1）如图1-1，若过相交两圆的公共弦上一点P 作一个圆的弦CD ，另一圆的弦EF ．求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．（2）如图1-2，AD 为ABC △中BC 边上的高线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：B 、C 、F 、E 四点共圆．图1-1图1-2【例6】（1）如图3-1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 上一点，ME AM ⊥交BCD ∠的外角平分线于E ，求证：AM EM =．（2）如图3-2，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且45OPB ∠=︒，:5:14PA PB =，求PB 的长．图3-1图3-2【例7】（1）如图4-1，在五边形ABCDE 中，ABC ADE ∠=∠，AEC ADB ∠=∠．求证：BAC DAE ∠=∠．（2）如图4-2，锐角ABC △，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线，DG CE ⊥于G ，EF BD⊥于F ．求证：FG//BC ．图4-1图4-2【例8】（1）如图6-1，在四边形ABCD 中，98DAC ∠=︒，82DBC ∠=︒，70BCD ∠=︒，BC AD =，则ACD ∠=______________．（2）如图6-2，在ABC △的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得12PBC QCB A ∠=∠=∠．求证：BQ CP =．图6-1图6-2【经典练习】1.（1）如图5-1，四边形ABCD 内接于O ⊙，P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、AD 的中点．连接PQ 与DA 的延长线交于S ，连接PR 与CB 延长线交于T ．求证：S 、T 、Q 、R 四点共圆．（2）如图5-2，ABC △中，以AB 为直径作圆，交BC 于H ，交BAC ∠的平分线于D ，作CK AD ⊥于K ，M 为BC 中点．求证：D 、M 、K 、H 四点共圆．图5-1图5-22.如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，点M 、E 、N 、F 分别为AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，下列说法：①当AC BD =时，M 、E 、N 、F 四点共圆．②当AC BD ⊥时，M 、E 、N 、F 四点共圆．③当AC BD =，且AC BD ⊥时，M 、E 、N 、F 四点共圆．其中正确的是_____________．3.过两圆交点A 、B 之一的点A ，引两条直线CAD 、PAQ ，分别与两圆交于C 、D 、P 、Q ，设CP 与DQ 的交点为R ，求证：B 、C 、R 、D 四点共圆．4.如图，P 是O ⊙外一点，PA 和PB 是O ⊙的切线，A 、B 为切点，PO 与AB 交于点M ，过M 任作O ⊙的弦CD ．求证：C 、O 、D 、P 四点共圆．5.在四边形ABCD 中，25BAC ∠=︒，20BCA ∠=︒，50BDC ∠=︒，40BDA ∠=︒，求DBA ∠．6.如图，已知ABC △中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD AB ⊥，TE AC ⊥．求证：（1）AHD AHE ∠=∠；（2）BH CH BD CE=．7.圆内接四边形ABCD 为平行四边形，则cos A ＋cos B ＋cos C ＋cos D ＝______.8.(创新拓展)试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．。

圆的内接四边形与四点共圆教学设计与反思word 文档可自由复制编辑例题 1、在梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，AB >CD ，K ，M 分别在 AD ， BC 上， ∠ DAM ＝∠CBK 。

求证： ∠DMA ＝ ∠ CKB 。

（教师引导分析，学生完成证明）课堂练习 2 正方形 ABCD 的中心为 O ，面积为 1989CM 2 , P 为正方形内一点，且∠ OPB=4°5 ， PA ：PB=5：14。

则 PB= _____ _。

（教师引导分析，学生完成证明）分析：连接 OA ，OB. 易知 O ，P ，A ，B 。

四点共圆，则有 ∠APB=∠AOB=教师点拨 问题解答 思路 例2、例1、 例3、E例4、90 °。

故 PA 2 +PB 2=AB 2=1989 。

由于 PA:PB=5:14 ，可求 PB 。

答案是 PB通过定 =42 ㎝。

理的应 用，进 word 文档 可自由复制编辑过教师 讲授，学 生倾听 方式认 识新知识。

通过教 师指导 运用合 情推理 与演绎 推理认 知新事 物，构建 新知识 。

word 文档可自由复制编辑2、定理法、圆内接四边形的判定定理法定理1 对角互补的四边形内接于圆。

定理2 外角等于内对角的四边形内接于圆。

定理3同底同侧张等角四点共圆。

即：且都在△ABC 和△ABD 的公共边AB 的同侧，则A、B、C、D 共圆交弦定理逆4 即MA·MC=M·B MD ，则A、B、C、D 共圆．九、教学反思本节课让学生置身于知识的发生、发展、形成过程中，让学生在观察、猜测、验证、推理、交流等数学活动中感悟和体会，体现了以问题解决为中心的自主、合作、探究的学习方式，真正实现了“以生为本”的教学理念。

具体说，有以下特点：1. 通过问题探究，突出过程教学，为学生自主探索、合作交流搭建多彩舞台。

圆内接四边形判定的学习，是学生类比角平分线的性质与判定；线段垂直平分线的性质与判定得到的，该节课运用了讲授法，学生探究的时空少了一点，学困生显得难以接受。

平面几何（四点共圆）冲刺讲义________班 _______ 号姓名 ________________一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：1. 欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线.此线称为欧拉线，且有关系：2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。

此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.①的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点②九点圆的半径是的外接圆半径的.3. 三角形内心与旁心的性质：的内心为，而边外的旁心分别为；分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于，交于，则：①三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直；②，；③（角平分线定理）；④（“鸡爪”定理）.二、例题分析例1.是的外接圆的直径，过作圆的切线交于，连接并延长分别交、于、，求证：.证明：过作取中点而是的平行线分别交、于、，连接、、、.，四点共圆，而由，有，四点共圆 .，而，的中点，是的中点，.，则..，.. .例 2. 等腰梯形的一点，中，，∥ ，，的外接圆交分别是的延长线于，.的内心，是直线上证明：．证明：，故共圆，则，因此，而，所以，，由此，．例是3.在关于点中，的对称点，，内心为是关于点，内切圆在的对称点.，边上的切点分别为，，设求证：四点共圆.证明：设直线交的外接圆于点，易知是的中点，记的中点为，则．设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，又所以∽，且相似比为，熟知：。

又∽，所以，即是的中点进而，所以都在以为圆心的同一个圆周上．例 4. 设 A、B 为圆上两点，X为在A和B处切线的交点，在圆上选取两点C、 D 使得 C、D 、X 依次位于同一直线上，且CA⊥BD ，再设 F 、 G 分别为CA 和 BD 、 CD 和 AB 的交点， H为 GX 的中垂线与 BD 的交点．证明： X、 F、 G、 H 四点共圆．证明：设 O 为圆心， AB∩XO = M．∵△XOA∽△XAM，∴OX·XM = XA 2 = XC·XD ．∴O、M、 C、D 四点共圆．∴∠XMO = ∠OCD = ∠ODC = ∠OMC ．∴∠CMG = ∠GMD ．在 CM 上选取一点 E 使 MX∥DE，则 MD = ME．．在 GX 上取点 X ，使∠GFD = ∠DFX ，在 X F 上取 W 使 CF∥GW．由得 CG·X D = X C·GD．由上面两式得= ，故 X = X ．∴∠GFD = ∠XFD．又∵= < 1 和∠XPB = ∠CDF < 1．∴H 和 B 在 CX 的同一侧．设 H 为直线 BF 与△GFX 外接圆的交点，则∠H XG=∠H FG=∠H FX=∠H GX．∴H G=H X，∴H =H．∴X、 F、 G、 H 四点共圆，得证．注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知为调和点列，又，可得为的平分线，设外接圆交于点，由“鸡爪”定理知，从而在的中垂线上，本题得证 .例 5. △ABC 中， E、 F 分别为 AB、 AC 中点， CM 、 BN 为高， EF 交 MN 于 P， O、H 分别为三角形的外心与垂心．求证：AP⊥OH．证明：由∠BMC = ∠BNC = 90 知 B、 C、 N、M 四点共圆．∴AM·AB = AN·AC．又 AE = AB, AF = AC，∴AM ·AE = AN·AF，即 E、 F、 N、 M 共圆．注意到由∠AMH = ∠ANH = ∠AEO = ∠AFO = 90 知AH 、 AO 分别为△AMN 、△AEF 外接圆的直径．过 AH 中点 H 与 AO 中点 O 分别为△AMN 与△AEF 的外心，且易知O H ∥OH．∴只需证 AP ⊥O H ，只需证A、 O 为△AMN 、△AEF 外接圆的等幂点即可．注意到 A 为两圆公共点，而由E、F 、 N、 M 共圆知PM·PN = PE·PF ．故 P 也为等幂点．综上所述，原命题成立．例 6. 设△ABC 内接于圆O，过 A 作切线 PD， D 在射线 BC 上， P 在射线 DA 上，过 P 作圆 O 的割线PU，U在BD上， PU交圆O 于Q、T且交AB、 AC于R、 S．证明：若QR = ST，则PQ = UT ．证明：过 O 作 OK⊥PU = K， OF⊥BU = F，连结 AK 延长交⊙O 于另一点E，过 C 作 CH∥PU 交 AE 于 G，交 AB 于 H，连 GF、 OP、 OU 、 OA、 OE．由垂径定理知BF = FC, QK = KT，且 QR = ST．∴RK = KS 即 K 是 RS 的中点，且 CH∥PU．∴====1HG = GC．由中位线定理知FG ∥BH ．∴∠FGE = ∠BAE = ∠BCE F、 G、C、 E 共圆．∴∠EFC = ∠EGC = ∠AGH = ∠UKG ．∴∠EFO + ∠OKE = ∠OFC + ∠CFE + ∠OKE=90 + ∠UKG + ∠OKE=90 +90 =180 ．∴K 、O、 F、 E 四点共圆①又∵∠OKU + ∠OFU = 2 ×90 = 180 ，∴K 、O、 F、 U 四点共圆②结合①②知 K 、O、F、 E、 U 五点共圆，∴∠KUO = ∠KEO．又∵PA 为⊙O 切线OA⊥PA，且 OK ⊥PU∠KEO =∠KAO．∴∠KPO = ∠KUO OP = OU ．又∵OK⊥PU，∴PK = UK ．而 QK = TU，∴PQ = UT，得证．例 7. AB 、AC 为⊙O 切线， ADE 为一条割线， M 为 DE 中点， P 为一动点，满足M、 O、 P 三点共线，⊙P 为以 P 点为圆心、 PD 为半径的圆．证明： C 点在△BMP 外接圆与⊙P 的根轴上．证明：作 PR⊥AC，其延长线交BC 延长线于S．∵∠OMA = ∠OBA = ∠OCA = 90 ，∴A、 C、 O、 M、 B 五点共圆．∴∠BMP = ∠BMA + 90 = ∠BCA + 90= 180 －∠RSC．∴B、 M、P、 S四点共圆．∴C 对△BMP 外接圆的幂为－CB·CS =－2CA·CR．而 C 对⊙P 的幂为CP 2－PD 2 = CP 2－ AP 2－ AD·AE = CP 2－AP 2 + AC 2=CR2+ RP2－PR2－AR2+ AC 2=CR2－ CR+CA 2+CA2=－ 2RC·CA．∴C 点对⊙P 的幂等于 C 点到△BMP 外接圆的幂．∴C 点在上述两圆根轴上，得证．例 8. 设 H 为△ABC 的垂心， D 、E、 F 为△ABC 的外接圆上三点，使AD∥BE∥CF ，S、 T、 U 分别为D 、E、 F 关于边 BC、 CA、 AB 的对称点．求证：S、 T、 U、 H 四点共圆．证明：先证引理： ABC 外接圆⊙O 与它的九点圆引理的证明：设AH 、BH、 CH 分别交边⊙V 关于△ABC 的垂心 H 位似，且位似比为．BC、CA、AB 于 O、E、F，交⊙O 于 D 、E 、 F ．易知HD =HD ,HE=HE ,HF =HF ．∴△D E F 与△DEF 关于 H 位似，位似比为．∴△D E F 外接圆与△DEF 外接圆关于H 位似，即⊙O 与⊙V 关于 H 位似，位似比为．回到原题：设BC、 CA 、AB 中点分别为X、 Y、Z，过 D 作 DP ∥BC，交⊙O 于 P，设 PH 中点为 W．易知 SD⊥BC，设 PS 交 BC 于 X ，则由 SD 关于 BC 对称知 SX = X D ．∴X 为 BC 中点，即X 与 X 重合，即P与 S关于 X 对称．同理 P 与 U、T 分别关于 Z、Y 对称．∴四边形 USHT 与四边形 ZYWX 对称．由引理知Z、 X、 Y、 W 四点共圆．∴U 、T、 H、 S 四点共圆，得证．例 9. 给定锐角△ABC ，过 A 作 BC 的垂线，垂足为 D ，记△ABC 的垂心为H，在△ABC 的外接圆上任取一动点P，延长 PH 交△APD 的外接圆于Q．求 Q 点的轨迹．解： Q 点轨迹为△ABC 的九点圆．如图，取AH、 BH 、 PH 的中点 M、 N、K ，延长 AD 交△ABC 外接圆于G．则熟知 HD = DG，连接 KN、MN、KD 、PB、PG．因为各取中点有∠NKD = ∠BPG, ∠NMD = ∠BAG．∴K 、N、 M、D 四点共圆．又 Q 在△APD 的外接圆上，∴PH·HQ = AH·HD ，即2KH ·HQ = 2MH ·HD ．∴KH ·HQ = MH ·HD．于是有 K、 D、 Q、 M、 N 五点共圆．又△DMN 外接圆为九点圆，所以Q 在九点圆上．反之，在如上所述九点圆上任取一点Q ，设 Q H 延长线交△ABC外接圆于P ，取P H中点R，同上可证R在九点圆上．故 2RH·HQ = 2 MH ·HD ，即 P H·HQ = AH·HD ．因此 Q 在△AP D 外接圆上．得证．。

M
P E
D C B F A 初等几何研究补讲：圆内接四边形和四点共圆
一、 知识点
1. 定义：四个顶点都在圆上的四边形是圆内接四边形.
2. 圆内接四边形对角互补，外角等于它的内对角.
3. 证明四点共圆的一般方法：①证明四点和一定点距离相等；②过其中三点作辅助圆，再证另一点在所作圆上；③对角互补的四边形是圆内接四边形；④任一外角等于它的内对角的四边形是圆内接四边形；⑤若P 、Q 在直线AB 同侧，且∠APB =∠AQB ，则P 、A 、B 、Q 四点共圆；⑥相交弦定理的逆定理；⑦割线定理的逆定理；⑧利用转化思想，将圆共点的问题转化为共圆点的问题.
二、例题
例1 求证：三角形三边的中点,三高线的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆.通常称这个圆为九点圆（nine -point circle ），或欧拉圆、费尔巴哈圆.
例2 正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，CE ⊥BF ，BE =BM .求证：P 、M 、C 、D 四点共圆.
例3 如图，△ABC 的高AD 的延长线交外接圆于H ，以AD 为直径作圆和AB 、AC 分别交于E 、F 点，EF 交 AD 于 G ，若 AG =16cm ，AH =25cm ，求 AD 的长．
例4 PC 、PD 为⊙O 的切线，M 为CD 的中点.AB 为过M 的任一弦.求证：PO 平分∠APB .
P。

赣县中学北校区高二数学竞赛平几讲义（三）整理人：彭福星 2015-11-15一、托勒密定理及其逆定理1．托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。

已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD=AC·BD2．托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。

已知四边形ABCD 满足AB·CD+BC·AD=AC·BD ，求证：A 、B 、C 、D 四点共圆。

3．托勒密定理的推广：在四边形ABCD 中，恒有AB·CD+BC·AD≥AC·DB ，当且仅当四边形ABCD 内接于圆时等号成立。

二、应用托勒密定理以其简介而优美的形式著称，在有关圆内接四边形问题及证四点共圆时有其独特的功效。

（1）证线段的和、差关系。

例1．在△ABC 中，AB<AC<BC ，D 点在BC 上，E点在BA 的延长线上，且BD=BE=AC ，△BDE 的外接圆与△ABC 的外接圆交于F 点，求证：BF=AF+CF 。

（2）求最值例2.已知圆周被其上二定点A 、B （A ≠B ）分成两端狐，试指出弧上的动点P 在其中指定一段弧的哪个位置时，P A+PB 取最大值？证明你的结论并求出这个最大值。

（3）证四点共圆例3．已知D 为正△ABC 。

的∠ABC 内一点，且DA=DB+DC ，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。

（4）解方程例4．若a ≥b ≥c ＞0，且a ＜b +c ，解方程ax b x c c x b =-+-2222。

（5）证定值问题例5．如图，圆O 外接于正方形ABCD ，P 为弧AD 上的任意一点，求证PB PC PA +为定值。

（6）证不等关系例6．设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，21A A 延长交圆2C 于2B ，32A A 交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证：四边形4321B B B B 的周长≥2×四边形4321A A A A 的周长，并请确定等号成立的条件。

高中数学竞赛辅导（证共圆问题）一、利用圆的定义（找到某一点，证明四点到这一点的距离相等，则此四点共圆）1．K 为△ABC 内任一点，在△ABC 内作三条直线，AL 、BM 、CN ，使∠BAL=∠CAK, ∠ABM=∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且AL=AK ，BM=BK ，CN=CK ，求证：K 、L 、M 、N 四点共圆。

2．给定锐角三角形△ABC ，在BC 边上取点A 12,A （2A 位于1A 与C 之间），在AC 边上取点B 12,B （2B 位于1B 与A 之间），在AB 边上取点C 12,C （2C 位于1C 与B 之间），使得∠122112211221AA A AA A BB B BB B CC C CC C =∠=∠=∠=∠=∠，直线1AA 、1BB 和1CC 可构成一个三角形，直线2AA 、2BB 和2CC 可构成另一个三角形，直线1AA 、1BB 和1CC ，证明：这两个三角形的六个顶点共圆。

3．设1234A A A A 为圆的内接四边形，1234,,,H H H H 分别为234341412123,,,A A A A A A A A A A A A的垂心，求证：1234,,,H H H H 四点共圆。

二、利用角的关系（1）证明四点为顶点的四边形的内对角互补，则四点共圆；（2）证明四点为顶点的丝包线的一外角等于其内对角，则四点共圆；（3）线段同旁张等角，则四点共圆。

4．凸四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，作垂足E 关于AB 、BC 、CD 、DA 的对称点P 、Q 、R 、S ，求证：P 、Q 、R 、S 四点共圆。

5．已知O 是⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3的公共点，点A 、B 、C 分别是⊙O 2与⊙O 3、⊙O 1与⊙O 3、⊙O 1与⊙O 2的交点，若A 、B 、C 三点共线，求证：O 、O 1、O 2、O 3四点共圆。

6．已知在凸五边形ABCDE 中，03,,1802BAE BC CD DE BCD CDE αα∠===∠=∠=-，求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共圆。

赣县中学北校区高二数学竞赛平几讲义（一）整理人：彭福星 2015-11-07 第一讲：平面几何——梅涅劳斯定理、塞瓦定理在中国数学奥林匹克(CMO)的六道试题中，以及国际数学奥林匹克（IMO ）的六道试题中，都至少有一道平面几何试题的存在。

同样，在每年十月份进行的全国高中数学联赛加试的三道试题中，必有一道是平面几何题，占全国高中数学联赛总分300 分中的50 分，因此有人曾说：“得几何者，得一等奖”。

除了在初中的课本中已经介绍的重要定理之外，在数学竞赛中，平面几何问题还要用到许多著名的定理，现择其应用较广的几个介绍如下.（一）梅涅劳斯定理定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.三点，则：1=⋅⋅EA DC FB.1）不过顶点的直线与三角形3 边的关系有两种情况：①若直线与三角形的一边交于内点，则必与第二边交于内点，与第三边交于外点（延长线上的点）；②直线与三角形的三边均交于外点，因而本定理的图形有两个.（2）定理的结构是：三角形三边上6条被截线段的比，首尾相连，组成一个比值为1 的等式. （3）这个定理反映了形与数的转化，是几何位置的定量描述：“三点共线”量化为比值等于“1”；反过来，若比值等于“1”成立时，可证“三点共线”（逆定理也成立）.1A C C B =⋅⋅点分点到点到分点点分点到点到分点.（1）简易证法一：（平行线分线段成比例）过A 作BC AG //交DF 延长线于G ，∵BC AG //，∴BD AG FB AF =，AGCDEA CE =， ∴1=⋅⋅=⋅⋅CD BD AG CD BD AG CD BD EA CE FB AF ，∴1=⋅⋅EACEDC BD FB AF . （2）简易证法二：（垂线构造线段成比例）分别过A 、B 、C 作'AA 、'BB 、'CC 垂直已知直线，由直角三角形相似比，易知''BB AA FB AF=、''CC BB DC BD =、''AA CC EA CE =，∴1''''''=⋅⋅=⋅⋅AA CC CC BB BB AA EA CE DC BD FBAF. （3）其它证法：三角形面积比、正弦定理等方法涉及后面解三角形知识（置后）. （常用于证明三点共线）如果有三点D 、E 、F 分别在三角形ABC 的三边或其延长线，且满足：1=⋅⋅EACEDC BD FB AF ，则三点D 、E 、F 在同一直线上. （2）角元形式的梅涅劳斯定理：如果一直线顺次与三角形ABC 的三边BC 、AC 、AB或其延长线交于D 、E 、F三点，则三点DEF共线等价于1sin sin sin sin =∠∠⋅∠⋅∠FCB ACFCBE BAD .例题1：已知过ABC ∆顶点C 的直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证：FBAFED AE 2=. 证明：直线CEF 截ABD ∆，由梅涅劳斯定理，得：1=⋅⋅EA DECD BC FB AF ，又CD BC 2=， ∴21=⋅EA DE FB AF ，则FBAFED AE 2=. [注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等.变式练习１：在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是BC 中点，DG ⊥AG 交AB 于E，交AC延长线与F ，求证：BE=CF=)(21AC AB -．C例题2：已知过ABC ∆重心G 的直线分别交边AB 、AC 及CB 延长线于点E 、F 、D ，求证：1=+FACFEA BE . 证明：连接AG 并延长交BC 于M ，则CM BM =，∵DEG 截ABM ∆，∴由梅氏定理得，1=⋅⋅DBMD GM AG EA BE ； 同理：1=⋅⋅DC MDGM AG FA CF ∴MD DB AG GM EA BE ⋅=，MDDCAG GM FA CF ⋅=， ∴11221)(=⨯=+⋅=⋅+=+MD DC DB AG GM MD AG DC DB GM FA CF EA BE ，即1=+FACFEA BE . 变式练习２：（塞瓦（Ceva ）定理）在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，求证：1=⋅⋅EACEDC BD FB AF ．例题1：若ABC ∆的A ∠的外角平分线交边BC 延长线于P ，B ∠的平分线交边AC 于Q ，C ∠的平分线交边AB 于R ，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：由三角形内、外角平分线定理知：CA BA PC BP =，AB BC QA CQ =，CBCARB AR =， 则1=⋅⋅=⋅⋅ABBC CA BA CB CA QA CQ PC BP RB AR ， 故P 、Q 、R 三点共线.变式练习１：（帕斯卡（Pascal ）定理）圆内接六边形ABCDEF 的三双对边的延长线交于三点P 、Q 、R ，则这三点共线．（此线称为帕斯卡线）例题2：（莱莫恩（Lemoine ）定理）过任意ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线.证明：∵CR 是⊙O 的切线，∴RAC ∆∽RCB ∆，∴CBACRB RC RC RA ==， 则2)(CBAC RB RC RC RA RB RA =⋅=， 同理：2)(AC AB CP BP =，2)(BABC QA CQ = ∴1)()()(222=⋅⋅=⋅⋅ABBC CA BA CB CA QA CQ PC BP RB AR ， 故P 、Q 、R 三点共线.变式练习2：（西姆松（Simson ）定理）若从△ABC 的外接圆上一点P 作BC 、AB 、AC的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（此线常称为西姆松线）C精选例题例题1 在△ABC 中，AG 是角平分线，D 是BC 中点，DG ⊥AG 交AB 于E ，交AC 延长线与F ，求证：BE=CF=)(21AC AB -．例题2 △ABC 中，∠A 的外角平分线交BC 延长线于点D ，∠B 、∠C 的平分线交对边于E 、F ，求证：D 、E 、F 三点共线．例题3 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 交于点E ，BC 、AD 的延长线交于点F,EF 分别交AB 、CD 于N 、M,求证：AN=NB ．例题4过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，交CB于点D 。