专题一（2）裂项相消法求数列前n 项和
学习目标 1裂项相消法求和的步骤和注意事项 2使学生能用裂项相消法来解决分式数列的求和
探究（一）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
例1、
说明：（1）裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。 即：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和． 适合于分式型数列的求和。
（2）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
（3）一般地若{a n }是等差数列，
则1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，1a n ·a n ＋2＝12d (1a n －1a n ＋2
)．（4）此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．
变式练习:项和的前)
2(1，，531，421，311求数列n n n +??????.
变式与拓展：1、项和的前)
13)(23(1
，，,741，411求数列n n n +-?????
例2、设{a n }是等差数列，且a n ≠0.求证1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n a n ＋1＝n
a 1a n ＋1.
证明：设{a n }的公差为d ，则1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1
a n a n ＋1
＝? ????1a 1－1a 2·1a 2－a 1＋? ????1a 2－1a 3·1a 3－a 2＋…＋? ????1a n －1a n ＋1·1a n ＋1－a n
＝1d ? ????1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1d ? ????1a 1－1a n ＋1＝1d ·a 1＋nd －a 1a 1a n ＋1＝n
a 1a n ＋1. 所以1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1.
常见的拆项公式有：
例3、已知数列｛a n ｝：11
，211+，3211++，…
1123n
+++，…，求它的前n 项和。
解:∵a n =2
)1(1+n n =2（1
1
1+-n n ），
∴S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =2[(1－
21)+(21－3
1
)+(31－41)+…+（111+-n n ）]
=2（1－
11+n ）=1
2+n n
。 评析：如果数列的通项公式可转化为f(n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n 的分式形式时，可尝试采用此法。
()()()
2222
22461335572121n n n ++++???-?+练习：
1
1
1)1(1.
1+-=+n n n n )1
1(1)(1.
2k
n n k k n n +-=+)121
121(21)12)(12(1.3+--=+-n n n n ])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1.
4++-
+=++n n n n n n n )
(1
1.
5b a b
a b a --=+1111++++133557(21)(21n n ???-?+求）
三、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?
?=++++?
…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……
例4、已知2
2
()1x f x x =+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??
??
??
++++
++= ? ? ???
??
??
由2
222222
111()111111x x x f x f x x x x x ?? ?????+=+=+= ?+++????
+ ???
∴原式1111
1(1)(2)(3)(4)11132342
2f f f f f f f ?
??
??
???????=++
++++=+++= ? ? ???????????????????
说明：如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着
写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，
课堂小结：这节课你学到了什么？ 各小组表现如何 课后作业：
专题一（3）错位相减法求数列前n 项和
学习目标：错位相减法求数列前n 项和 探究问题（一）错位相减法求数列前n 项和 说明：（1）使用错位相减法的条件：
数列{a n }是由项数相同的等差数列{b n }与等比数列{c n }的对应项乘积组成的新数列,即a n =b n .c n 那么这个数列的前n 项和则采用“错位相减法” 求和.
如：a n =n.2n ,an=(2n-1).
1
-n 3
1）（ ,
说明：（2）使用错位相减法的步骤：展开，乘公比，错位，相减 ①展开：将Sn 展开;
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比q;得新式qSn ；
③错位：让式子qSn 往后错一位，与Sn 式子次数相同的相对齐;
④相减：左侧为（1-q ）Sn ，右侧中间一般有n-1项可用等比数列求和； ⑤解出Sn 。 例4：{}{}{}项和的前求数列,2,a ，且b ，数列n n n b a b n a n n n
n
n ?==
变式：求数列 ?
??
???n n b a 前n 项和
课堂练习：求和： 1.
2.
3.求和
（2）求数列{2n .3n }的前n 项和。
例5、(17·高考山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列?
???
??????b n a n 的前n
项和T n .
解：(1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2
.
又a n >0，解得：a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知：S 2n ＋1＝
（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）
2
＝(2n ＋1)b n ＋1，
又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n
a n ，则c n ＝2n ＋1
2n
， 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋1
2n ，
又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋1
2
n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋? ????12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋5
2n .
课堂小结：1.这节课学到了什么 2.各小组表现如何
易错点1.写求和展开式时习惯算出每一项。 2.出现某些项的遗漏现象。 3.项数的计算错误。
4.两式相减时，等比数列前面的系数出错。
5.第四步中 前面的系数没有除尽。 课后作业：求下面数列的前n 项和
)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n
开一数学组教研材料 （裂项相消法求和之再研究 ） 张明刚 一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项 基本类型： 1.形如 )1 1(1)(1k n n k k n n +-=+型。如1n n ＋1＝1n －1n ＋1； 2.形如a n ＝ 1 2n －1 2n ＋1 ＝ )1 21121(21+--n n 型； 3.)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n 4.]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n 5.n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 )1(1 1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++= -则 6.形如a n ＝n ＋1 n 2 n ＋22型． 7.形如a n ＝ 4n 4n －1 4 n ＋1 －1＝13?? ? ??---+1411411n n 型； ＝ 2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n － 1－1 n · 2n . 9.形如a n ＝ ( ) n k n k k n n -+= ++1 1 型；1 )1(1 +++= n n n n a n 10. ( ) b a b a b a --= +1 1 11.()!!1!n n n n -+=? 12.m n m n m n C C C -=+-11 13.()21≥-=-n S S a n n n 14.1) tan(tan tan tan tan ---= βαβ αβα 15.利用两角差的正切公式进行裂项 把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 可以 另一方面，利用()[]k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(1tan 1tan ?+--+= -+=，得
裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。 （1）若是{a n }等差数列，则)11.(111 1++-=n n n n a a d a a ,)11.(21122n ++-=n n n a a d a a （2）11 111+-=+n n n n ）（ （3）)1 1 (1 )(1k n n k k n n +-=+ （4）)121 121 (21 12)121 +--=+-n n n n ）（（ （5）] )2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++111 （7）)(1 1n k n k k n n -+=++ 1.已知数列的前n 项和为， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n 项和为． [解析] (1) ……………① 时, ……………②
①②得: 即……………………………………3分 在①中令, 有, 即，……………………………………5分 故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8． （Ⅰ）求公差d的值； （Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分 ∴ =．…………………………………………6分 ∴ T n= = =≥，…………………………………………8分 又∵ 不等式T n≥对所有的n∈N*恒成立， ∴ ≥，…………………………………………10分 化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6． ∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分 3.)已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.
错位相减法求和 如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例1． 已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。 例2 求和S n = n n n n 2 12232252321132-+-++++- 例3：求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。 例4设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且 1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．求数列n n a b ?????? 的前n 项和n S ．
例5.设数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3 n-1a n ＝ 3n ,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项; (2)设n n a n b = ,求数列{b n }的前n 项和S n . 分组求和 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1：S n =-1+3-5+7-…+(-1)n (2n-1) 例2已知数列{}n a 的前五项是111111,2,3,4,5,392781243 （1）写出该数列的一个通项公式； (2)求该数列的前n 项和n S . 例3 求下面数列的前n 项和： 1147(3n 2)＋，＋，＋，…，＋－，…11121a a a n -
例4 求数列:1223 131311,,31311,311,1n +++++++ 的前n 项的和. 例5求2222121234(1)n S n -=-+-+ +-（n N +∈） 例6、求和:??? ? ??+++???? ??++???? ?? +n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 例7 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列?的前 项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上? (I)求数列的通项公式; (n)设，,■是数列的前」项和，求?’? ［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般 ［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点， 则设, 又点「均在函数的图象上， 二当心时,?、、= J ；：? ；?■■■ L］ 5 T
又忙：=.：「=乜，适合上式,
I ............................................... （7 分） （n）由（i）知 - 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2 ? ? ：' - 'I+（2?+ l）^"kl,上面两式相减得 =3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】 卜2* 4屮一才丨, , : ■ . 1=2 整理得：，?................. 2.已知数列’的各项均为正数，是数列’ （14 分）的前n项和，且 （1）求数列’的通项公式； （2）二知二一- ［答案］查看解析 解出a i = 3, ［解 析］ 又4S n = a n? + 2a n —3 ①
数列经典例题(裂项相消法)
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；
数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10 9 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距 为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622 3219,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1 { n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足 ,,2 1 1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1 1*2 N n a b n n ∈-= 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n a a 2 11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；
姓名：___________ 班级：_____________ 数列求和（1）—— 裂项相消法 目标： 1 理解裂项相消法思想。 2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。 3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。 一、复习巩固 1 公式求和法： 2 倒序相加法： 二、自学讨论 学习以下例题，完成填空。（限时8分钟） 思考与讨论： 什么数列可用裂项相消法求和？ 如何裂项？你有好的方法吗？ 如何相消？你能发现其中的规律吗？ 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？ 例一：n n S n n a 求已知,) 1(1 += 解：1 1 1)1(1+-=+= n n n n a n Θ n n n a a a a a S +++++=∴-1321Λ ) 1(1)1(1431321211++-++?+?+?= n n n n Λ )1 11()111( )4131()3121()211(+-+--++-+-+-=n n n n Λ 1111+= +-=n n n 1 += ∴n n S n 裂项相消法求和的一般步骤： _____________ ____________ _____________ ____________ 裂项： ○ 1你能证明1 1 1)1(1+-=+n n n n 吗？ ○ 2猜想：()2 1 +n n =_____________________ 验证： =+-2 11n n ___________________ 结论： =+) 2(1 n n ____________________ ○ 3一般地； () k n n +1 =________________ 相消：怎么消？ 哪些项是不能消去的？
1 裂项相消法求和基本类型： 一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项（相邻、间隔相消） 1.如1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； 2.形如a n ＝1 (2n －1)(2n ＋1)＝)121121(21+--n n 型； 3.)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-= n n n n n a n 4.]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++= n n n n n n n a n 5.n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121 )1()1(221)1(21+-=+-?=? +-+=?++= -则 6.形如a n ＝n ＋1n 2(n ＋2)2 型．=___________________ 7.形如a n ＝4n (4n －1)(4n ＋1 －1)＝13?? ? ??---+1411411n n 型； 8. n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2 n －1－1 n ·2n . 9.形如a n ＝ ( ) n k n k k n n -+= ++1 1型； 1 )1(1 +++= n n n n a n =_____________________ 10. ( ) b a b a b a --= +1 1 11.()21≥-=-n S S a n n n 12.1) tan(tan tan tan tan ---= βαβ αβα 13.利用两角差的正切公式进行裂项 把两角差的正切公式进行恒等变形， 例如 β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - 可以利用 ()[]k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(1tan 1tan ?+--+= -+=， 得,11 tan tan )1tan(tan )1tan(--+= ?+k k k k 14 利用对数的运算性质进行裂项对数运算有性质 N M N M a log log log -=，有些试题则可以构造这种形式进行裂项 .
七、 裂项相消法求和 基本方法： 1. 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 2. 常见的裂项方法(其中n 为正整数) ) k 为非零常数111) k k n n k 2141 n 21111 41 22121 n n n 1 (1)(2) n n n 111 2(1) (1)(2)n n n n 1n n k 11 ()n k n k n n k 1log 1 a n 0,1a a 11 log (1)log a a a n n n 一、典型例题 1. 已知数列n b n N 是递增的等比数列，且135b b ，134b b ，若2log 3n n a b ，且1 1 n n n c a a ，求 数列n c 的前n 项和n S . 2. 已知数列n a 是等比数列，且14a ，358a a a ，令111 n n n n a b a a ，求数列n b 的前n 项和n T . 二、课堂练习 1. 已知数列n a 的前n 项和为n S ，且满足2*12,n n S a n n n N ，求证： … 1 2 11134 n S S S . 2. 已知等比数列n a 的前n 项和为n S ，12a ，*0n a n N ，66S a 是44S a 和55S a 的等差中项. （1）求数列n a 的通项公式； （2）设1212 log n n b a ，数列 1 2n n b b 的前n 项和为n T ，求n T . 三、课后作业 1. , ,, ,1 22 31 n n 的前n 项和. 2. 已知数列n a 的通项为1 lg n n a n ，若其前n 项和为2n S ，求n 的值. 3. 设212 n b n n ，记数列n b 的前n 项和为n T ，求使24 25 n T 成立的n 的最大值.
数列求和之错位相减法专项练习 一、解答题 1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2?a4=6，a6=4． (1)求数列{a a}的通项公式； }的前n项和． (2)求数列{a a 2a?1 2.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a? a a?1(a≥2)． (1)设a a=a a?1，求证：{a a}为等比数列． (2)求{(a+1)a a}的前n项和a a． 3.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a?1) (1)求数列{a a}的通项公式； (2)若a a=a(a a?1)，求数列{a a}的前n项和a a．
4.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列． ~ (1)求数列{a a}的通项公式； }的前n项和a a． (2)求数列{a a 2a a 5.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的 等比中项，a a为{a a}的前n项和． (1)求a a及a a； (2)若a a=a a ?3a a，求数列{a a}的前n项和． +1 6.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且 a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公 式； (Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a． 7.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+ a a+1.
(1)求数列{a a }的通项公式； (2)令a a = (a a +1)(a a +2) a a +1 ，求数列{a a }的前n 项和． 8. 已知等比数列{a a }的前n 项和为a a ，且a a +1=2a a +1(a ∈a ?)． (1)求数列{a a }的通项公式； " (2)若数列{a a }满足a a =3a a ?1，求数列{a a a a }的前n 项和a a ． 9. 各项均为正数的数列{a a }满足a 1=1，a a +12?a a 2 =2(a ∈a +).(1)求数列 {a a }的通项公式; (2)求数列{ a a 22a }的前n 项和a a ． 10. 已知数列{a a }的前n 项和为a a ，且满足3a a =2a a +1． (1)求数列{a a }的通项公式；
数列求和（1） --裂项相消法的应用 教学内容：从每年的广东高考题可以看到，数列不管是从选择、填空和解答题中都是必考题型，并且数列考点有：数列几何性质的应用、数列的通项公式、数列求和问题。这三类问题是高考的必考点，更是热点。对于数列求和问题又是重点中的重点，本节课我们就数列求和中的裂项相消法做重点学习。 教学重难点：对于裂项相消法的基本形式和基本题型熟练掌握和应用，要识别清裂项相消法和其它求和方法的区别，真正会识别裂项相消法的本质面目，且灵活运用进行解题，达到高考要求。 一、基础练习： 1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 答案 B 2．在数列{a n }中，a n ＝1n n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为2 013 2 014 ，则项数n 为( )． A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013 D ．2 014 答案 C 3．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列? ???????? ?1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________. 答案 n n ＋1 对于数列求和问题要稳扎稳打。 二、基本题型讲解和运用
总结：（1）中式子的变形方向很重要，这种形式在数列和函数问题中都是很常见，要学会。（2）中的裂项求和很是常规，要熟练。 练习：
（2）中的1/Sn变形为裂项相消很重要，所以要认清裂项相消的真面目。对于Tn的范围求解，完全是借助和式和数列的单调性完成。
一、解答题 1．已知等差数列的前项和为，且，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，，求数列的前项和． 【详解】 （Ⅰ），∴ ，∴ 则， . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， , -（ （）（） = = ∴ 2．已知数列的前n项和为，且，， 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和． 【答案】（1）（2） 【详解】 ，，， 即，， 两式相减，得，即， 又，， 即数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； 设，则， ， ， 两式相减，得： ． 【点睛】 本题考查数列的递推关系，通项公式，前n项和，错位相减法，利用错位相减法是解决本题的关键，属于中档题．
3．已知等差数列的前项和为，满足.数列的前项和为 ，满足. （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）,；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，求得，然后求得公差，即可求出数列的通项，再利用 求得的通项公式； （2）先求出的通项，然后利用数列求和中错位相减求和. 【详解】 解：（1）由，得，解得. 由，解得或. 若，则，所以.所以，故不合题意，舍去. 所以等差数列的公差， 故. 数列对任意正整数，满足. 当时，，解得； 当时，， 所以. 所以是以首项，公比的等比数列， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，① 所以，② ①-②，得
， 所以. 4．已知数列的首项，且满足 求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 记，求数列的前项和为． 【答案】（1）证明见解析，（2） 【解析】 【分析】 由，得，由此可判断为等差数列，可求，进而得到; 求出，利用错位相减法可求． 【详解】 由，得， 又， 为等差数列，首项为1，公差为2， ， ． ， ， ， 得， ， ． 【点睛】 5．已知等差数列的前项的和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数. 【分析】 （1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可； （2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可. 【详解】
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 对于本题通项公式类型的数列，采用的“求前n项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。 很多题目要善于进行这种“拆分” 请看几例： （1）本题： ()() 22 11 1 11 n n n n n a n n n n ++ === - ++-+ （变形过程中 用了“分子有理化”技巧） 得 122334111 11 11111 n n n n S n ++ =++++==+ ----- … 【往下自己求吧！答案C 】 （2）求和 1111 122334(1) n S n n =++++ ???+ …
解：通项公式：()()()11 11111 n n n a n n n n n n +-= = =-+++ 所以 111111*********n S n n ????????=- +-+-++- ? ? ? ?+???????? … 111 1 n n n =-+= + （3）求和 1111 377111115(41)(43) n S n n = ++++ ???-+… 解：()() ()()()()43411 111141434414344143n n n a n n n n n n +--?? = = =- ?-+-+-+?? 得 1111 377111115(41)(43) n S n n = ++++???-+ (11111111) 143771111154143n n ??????????= -+-+-++- ? ? ? ???-+?????????? … 1114343n ??= - ?+?? () 343n n = + （4）求和 1111 132435(2) n S n n = ++++ ???+… ()()()21111122222n n n a n n n n n n +-??= ==- ?+++?? ()()()() 11111111 13243546572112n S n n n n n n = ++++++++?????--++… 1111111111111112132435462112n n n n n n ????????????????=-+-+-+-++-+-+- ? ? ? ? ? ? ???--++???????????????? …
特定数列求和法一错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归 纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求 和的方法一一错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学 习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过 程： 数列a n 是由第一项为a i ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 由已知有 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简 化了，从而得到等比数列的求和公式， 这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇 到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过 程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的 复杂数列的。可以归纳数学模型如下： S n a i a i q a i q 2 a i q n i ，求S n 的通项公式。 两端同乘以 q ，有 i 时, i 时, 于是 S n a i a i q a i q 2 ... qs n aiq 2 aiq 3 a i q n ... (1 q)s n a i n a i q 由①可得 由③可得 S n s n S n n a i (q i)或者 na i i)
已知数列4是以a i 为首项，d 为公差的等差数列，数列 0是以b i 为首 项，q(q 1)为公比的等比数列，数列C n a n b n ，求数列C n 的前n 项和. 解 由已知可知 许许多多的高考试题以及课后习题证明了不是所有的数列题目都会很直接 地写明所求数列是一个等比数列乘以一个等差数列的形式， 通过对最近几年高考 中的数列题的分析总结出了以下几种错位相减法求和类型： 所求数列中的等差数列是已知 这第一种类型的题顾名思义是所求的复杂数列中直接给出其中一个是等差 数列，则只要证明或者求出另一个是等比数列， 那么就可以用错位相减法来求解 该题，同时如果另一个不能被证明是等比数列就不能用错位相减法来求解， 得另 找他法了 ■ 例1.(2013湖南文)设S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知: a 1 0,2a n a 1 S 1 S n , n N (1)求a 1，并求数列｛a n ｝的通项公式 (2)求数列｛na n ｝的前n 项和. 两端同乘以q 可得 qC n a1?q :a 1b 2 a 2 b 2q a ? b 3 asdq 83 匕4 .. . ...a n 1 b n 1 q a n b n q a n 1b n a n b n q 由①-②得 (1 q)C n a 1 b 1 d(b 2 b 3 ...b n 1 b n ) a n b n q 化简得 C n Cd d(b 2 b 3 ... b n 1 b n ) a n b n q / (q C n a i b 1 a 2b 2 a 3b 3 ■■- i q
特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++
裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1、 特别是对于? ?????+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 1+n n a a c =??? ? ??-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：1 11)1(1+-=+n n n n )1 21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=? )! 1(1!1)!1(+-=+n n n n 例1 求数列1{ }(1)n n +的前n 和n S ． 例2 求数列1{ }(2) n n +的前n 和n S ．
例3 求数列1{ }(1)(2)n n n ++的前n 和n S ． 例4 求数列 ???++???++,11,,321,211n n 的前n 项和. 例5：求数列 311?，421?，531?，…，) 2(1+n n ，…的前n 项和S 例6、 求和) 12)(12()2(5343122 22+-++?+?=n n n S n
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()n n k a a f n +=-=∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)12 (1)(1)1 n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则
数列求和之错位相减法、倒序相加法 1、错位相减法适用于c n =a n ×b n ，其中a n {}是等差数列，b n {}是等比数列。 步骤：此时可把式子 的两边同乘以公比 q (q 10且 q 11)，得到 ，两式错位相减整理即可求出 S n . 2、倒序相加法适用于数列首尾项的和为定值。 【例1】已知数列2 1 1,3,5,,(21)(0)n a a n a a --≠L ，求前n 项和. 【例2】已知 a n { } 是一个公差大于0的等差数列，且满足 a 3a 6 =55,a 2+a 7=16 （Ⅰ）求数列 a n {}的通项公式： （Ⅱ）若数列 a n { } 和数列 b n { } 满足等式:2 n n n a b =，求数列 b n {} 的前n 项和S n . 【例3】求和：22 2 2 sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o L L
【例4】已知函数()()R x x f x ∈+= 2 41，点()111,y x P ，()222,y x P 是函数()x f 图像上 的两个点，且线段21P P 的中点P 的横坐标为2 1． （Ⅰ）求证：点P 的纵坐标是定值； （Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为()m n N m m n f a n ,,2,1,Λ=∈?? ? ??=，求数列{}n a 的前m 项的和m S ； 【变式训练】 1、已知数列26a --，14a --，2-，0,2a ，24a ，...，（-8+2n ）3 n a -求前n 项和. 2、若数列 {}n a 的通项公式为23n a n =+，数列 b n { } 满足等式:2n n n b a =，求数列 b n { } 的 前n 项和S n
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()() *21n n S n a n N =+∈． （1）求{}n a 的通项公式； （2）令()()1422n n n b a a += ++，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，636S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2142 n n b a n =+-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．在数列{}n a 中，1114,340n n a a a +=-+=． （1）证明：数列{}2n a -是等比数列． （2）设()() 1(1)3131n n n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*,n n N m T ∈≥恒成立，求m 的取值范围．
4．正项数列{}n a 的前项和n S 满足：242n n n S a a =+，()*n ∈N ， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()22 1 2n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n ∈N 都有 564 n T < . 5．已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123 n S S S n +++<+++. 6．已知数列{}n a 满足15a =，2123n n a a n +=+-. （1）求证：数列{}22n a n n --为等比数列； （2）若数列{}n b 满足2n n n b a =-，求12111n n T b b b =++???+.
裂项相消法求和之再研究 撰写人：刘小明 一、多项式数列求和。 （1）用裂项相消法求等差数列前n 项和。即形如n a an b =+的数列求前n 项和 此类型可设22()[(1)(1)]n a An Bn A n B n an b =+--+-=+左边化简对应系数相等求出A,B 。 123222()0(42)()(93)(42)()[(1)(1)] n n S a a a a A B A B A B A B A B An Bn A n B n An Bn =+++=+-++-+++-++++--+-=+ 则 例1：已知数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，求它的前n 项和n S 。 2222 222222 123()[(1)(1)]21 2=21 22110 (1)12132(1)n n n n n a An Bn A n B n n a An B A n A A B A B a n n S a a a a n n n =+--+-=-=+--==??∴???-=-=??∴=--∴=+++=+-+-++--= 解：令 则有 （2）用裂项相消法求多项式数列前n 项和。即形如121210m m n m m a b n b n b n b ----=++++ 的数列求前n 项和。 此类型可111111()[(1)(1)(1)]m m m m n m m m m a c n c n c n c n c n c n ----=+++--+-++- 设 121210m m m m b n b n b n b ----=++++ 上边化简对应系数相等得到一个含有m 元一次方程组。 说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定理，这里不解释。 解出12,,,m c c c 。再裂项相消法用易知111m m n m m S c n c n c n --=+++ 例2：已知数列{}n a 的通项公式为3n a n =，求它的前n 项和n S 。 432432322323 [(1)(1)(1)(1)] (4641)(331)(21)4(63)(432)() 14411630243200n a An Bn Cn Dn A n B n C n D n A n n n B n n C n D An A B n A B C n A B C D n A A A B B A B C C A B C D =+++--+-+-+-=-+-+-++-+=+-++-++-+-+===??-+==?∴??-+=??-+-+=?解：设（） 140D ???????=???=?
裂项相消法求和附答 案
裂项相消法 利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。 （1）若是{a n }等差数列，则)11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)11.(2112 2n ++-=n n n a a d a a （2）1 1111+-=+n n n n ）（ （3） )11(1)(1k n n k k n n +-=+ （4）)1 21121(2112)121+--=+-n n n n ）（（ （5）]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （6）n n n n -+=++111 （7）)(11 n k n k k n n -+=++ 1.已知数列的前n 项和为， ． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n 项和为． [解析] (1) ……………① 时, ……………② ①②得:
即……………………………………3分 在①中令, 有, 即， (5) 分 故对 2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8． （Ⅰ）求公差d的值； （Ⅱ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥ 对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值； [解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d， ∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8， 解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分∴ =． (6) 分 ∴ T n= = =≥，…………………………………………8分
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列；分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn；然后错一位,两式相减即可. 目录 简介 举例 错位相减法解题 编辑本段简介 错位相减较常用在数列的通项表现为一个等差数列与一个等比数列的乘积,如an=(2n-1)*2^(n-1),其中2n-1部分可以理解为等差数列,2^(n-1)部分可以理解为等比数列. 编辑本段举例 例如：求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n；化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 编辑本段错位相减法解题 错位相减法是求和的一种解题方法.在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用.这是例子（格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式）：S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）在（1）的左右两边同时乘上a.得到等式（2）如下：aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）用（1）—（2）,得到等式（3）如下：（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式.（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S 的通用公式了.例子:求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当x不等于1时,Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x 的n-1次方所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方.化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）两式相减1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n