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(一) 矢量基本概念定义既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。
表示法定义有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度），记做AB，a。
特殊的向量零矢量：长度为0的向量。
零向量的方向是不确定的。
单位矢量：长度为1的矢量。
向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。
反矢量：长度相同，方向相反的矢量。
共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。
共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。
关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；共线矢量必共面；两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。
(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b ac。
矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b ac 。
一般地：矢量的加法还满足多边形法则：nn n A A A A OA OA 1211...运算规律：1）1）交换律：a b b a ；2）2）结合律：)()(c ba cb a 。
矢量的差若a cb ，则称c 为矢量a 与b 的差，并记作b ac。
由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a （2）||||||b a b a （3）||||||b a b a （4）||||||2121a a a a an ||n a （二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数与矢量a 的乘积a 是一个矢量，（1）（1）其模为||||||a a ；（2）（2）其方向由下列规则决定：当0时，a 与a 方向相同；当0时，a 与a 方向相反；当或0a时，是零向量，方向不定。
定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称a 为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。
由定义，||aa a ||0a a a数量乘法的运算规律1）结合律：a a )()(2）第一分配律：aaa)(3）第二分配律：ba b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。
高一物理矢量和标量归纳知识点在高一物理学习中，矢量和标量是重要的概念。
矢量是具有大小和方向的物理量，而标量只有大小没有方向。
深入理解和掌握这些概念对于学习物理非常关键。
下面将对高一物理矢量和标量的相关知识点进行归纳。
1. 矢量和标量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示，如力、速度、位移等。
它们在运算中需考虑方向和大小的综合作用。
而标量只有大小，没有方向，常用数字表示，如时间、温度、质量等。
标量在运算中只需考虑大小的计算。
2. 矢量的表示方法矢量可以使用多种表示方法，包括数值法、文字法和图示法。
数值法是指使用数值和单位来表示矢量，如10 m/s的速度矢量。
文字法是使用字母符号和单位来表示矢量，如V表示速度矢量。
图示法是通过箭头图示来表示矢量的大小和方向，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向。
3. 矢量的运算矢量的运算包括矢量相加和矢量相减。
矢量相加时，可以使用平行四边形法则或三角形法则。
平行四边形法则是将矢量按照顺序排列，然后把它们的起点连起来构成平行四边形，连接对角线得到结果矢量。
三角形法则是将矢量按照顺序排列，然后从第一个矢量的尾部画一条线到第二个矢量的尾部，再从第二个矢量的尾部画一条线到第三个矢量的尾部，连接第一个矢量的起点和第三个矢量的终点得到结果矢量。
矢量相减可以通过将被减矢量取反后再进行矢量相加来实现。
4. 矢量的分解矢量的分解是将一个矢量分解为数个分量，常用直角坐标系进行分解。
例如，将一个力矢量分解为水平和垂直方向上的分量。
分解后的矢量之和等于原矢量。
分解矢量使计算和分析更方便和准确。
5. 标量的运算标量的运算较为简单，只需考虑标量的大小即可。
标量相加时，只需将各个标量相加即可；标量相减时，只需用被减数减去减数即可。
标量的乘除法也是类似的，只需进行相应的数值计算即可。
6. 矢量和标量的关系矢量和标量之间有一种特殊的关系，即矢量可以表示为标量与方向的乘积。
例如，力可以表示为施力大小乘以施力方向的矢量。
主矢知识点总结矢量是一个重要的概念，在物理学、数学、工程学等各个领域都有广泛的应用。
矢量是一个同时包含大小和方向信息的量，它可以用来描述物理量的运动、力的方向和大小、电场的方向和强度等。
本文将从数学、物理和工程角度总结矢量的基本概念和相关知识点。
一、矢量的基本概念1.1 矢量的定义矢量是指具有大小和方向的物理量。
在数学上，矢量通常用箭头表示，并且箭头所指方向表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，最常见的表示方法有点表示、分量表示和矩阵表示。
点表示是将矢量的起点和终点坐标表示出来；分量表示是将矢量在坐标轴上的投影表示出来；矩阵表示是将矢量表示为一个列向量。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积等。
矢量的加法是将两个矢量的对应分量相加；减法是将一个矢量减去另一个矢量；数量乘法是将一个矢量的每个分量都乘以一个实数；点积是将两个矢量的对应分量相乘再相加。
1.4 矢量的性质矢量具有平行四边形法则、共线性、可加性等性质。
平行四边形法则指出两个矢量的和等于构成这两个矢量的两条边的平行四边形的对角线。
二、矢量的物理应用2.1 力的矢量表示在物理学中，力是一个矢量量，它包含有大小和方向的信息。
力的方向对物体的运动方向和速度有重要的影响。
2.2 运动的矢量表示在描述物体的运动时，使用矢量来表示物体的位移、速度和加速度。
位移的方向和大小都可以用矢量来表示，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
2.3 矢量叠加原理矢量叠加原理是指当一个物体同时受到多个力的作用时，可以将这些力的矢量相加得到合力的矢量。
2.4 矢量的分解矢量的分解是指将一个矢量分解为相互垂直的两个分量的过程。
这个过程在解析力学和物体的平衡问题中经常用到。
三、工程中的矢量应用3.1 电场的矢量表示在电学中，电场是一个矢量量，它包含有方向和大小的信息。
电场矢量可以用来描述电荷粒子受到的力和电场的分布情况。
高中物理矢量物理学家薛定谔提出的波动理论，与爱因斯坦的相对论共同推动了20世纪的物理学发展。
在物理学中，矢量又称为向量。
它是实数的一种推广。
它可以表示一个物体上任意两点之间的距离。
它也可以表示力、位移、速度、加速度等等。
在电磁学里，矢量就代表了所有的场，无论是有形的还是无形的。
矢量可以用有限数量的点来表示，也可以用无限数量的线段来表示。
矢量和标量相互转化，矢量和矢量相加仍然是矢量。
1。
在空间中，矢量的大小和方向都是不变的。
矢量的长度用符号“ s”表示，单位是米；高度用符号“ h”表示，单位是米；重力用符号“ g”表示，单位是牛顿。
矢量的大小和方向用大写字母表示。
2。
正交和斜交：两条直线在同一平面内如果不垂直（即两条直线不成一条直线），这两条直线互相正交或斜交，其夹角的正切记为cos （θ）。
注意：①同一平面内的两条直线是互相正交或互相斜交的；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相正交或互相斜交。
2。
在矢量乘法中，两个矢量的叉积等于两个矢量的矢积。
例如，两个矢量的叉积可以表示为a*b=ab，其中a=-b。
矢量叉积的运算规则：①一个矢量的叉积等于这个矢量的长度乘以这个矢量的指向，即；②一个矢量的叉积还等于这个矢量的大小乘以它的模，即。
3。
速度矢量：矢量表示一个物体沿着一个方向（在该方向上投影）的机械运动的快慢。
速度的方向可以是向前，向后，向左，向右，向上，向下，向东，向西，向南，向北。
速度的单位是米/秒。
速度的大小用大写字母表示。
4。
位移矢量：位移表示一个物体（或几个物体）相对于另外一个物体在某个参考面上（或地面上）的位置的变化。
位移的方向可以是前后，左右，上下，也可以是内外，里外。
位移的大小用大写字母表示。
4。
加速度矢量：加速度表示一个物体（或几个物体）的速度的变化率。
加速度的方向可以是向前，向后，向左，向右，向上，向下，向东，向西，向南，向北。
加速度的单位是米/秒。
加速度的大小用大写字母表示。
矢量相关物理知识点总结矢量是描述物理量的一种数学工具，它可以用来表示物理量的大小和方向。
在物理学中，矢量被广泛应用于描述力、速度、加速度、位移等物理量。
在本文中，我们将总结矢量相关的物理知识点，包括矢量的基本概念、矢量的运算、矢量的坐标表示、以及矢量在物理学中的应用等内容。
一、矢量的基本概念1. 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。
在数学上，矢量可以表示为箭头，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量在物理学中有着广泛的应用，例如表示力、速度、加速度、位移等物理量。
2. 矢量的性质矢量有三个基本性质：大小、方向和起点。
矢量的大小表示为矢量的模，通常用|A|表示；矢量的方向表示为矢量的方向角，通常用θ表示。
起点是矢量的起始位置，通常用A表示。
3. 矢量的分解矢量可以分解为两个或多个分量矢量，分量矢量的和等于原始矢量。
矢量的分解可以帮助我们理解矢量的性质和运算规律。
二、矢量的运算1. 矢量的加法矢量的加法满足平行四边形法则，即两个矢量的和等于这两个矢量构成的平行四边形的对角线。
在坐标表示下，矢量的加法可以表示为A+B=(Ax+Bx, Ay+By)。
2. 矢量的减法矢量的减法可以看作是矢量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
在坐标表示下，矢量的减法可以表示为A-B=(Ax-Bx, Ay-By)。
3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。
数量积的结果是一个标量，表示为A·B=|A||B|c osθ。
4. 矢量的向量积矢量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的正弦值，并且方向垂直于这两个矢量所在的平面。
向量积的结果是一个矢量。
三、矢量的坐标表示1. 矢量的坐标分量矢量在笛卡尔坐标系中可以表示为一个有序实数对(x,y)，其中x表示矢量在x轴上的分量，y表示矢量在y轴上的分量。
高一月考物理知识点矢量物理学中的矢量是一个非常重要且基础的概念，在高一的物理学习中也是一个重要的知识点。
本文将对高一物理学中关于矢量的基本概念、运算规则和常见应用进行详细介绍。
一、矢量的基本概念1. 什么是矢量？矢量是具有大小和方向的物理量。
与矢量相对的是标量，标量只有大小没有方向，如时间、温度等。
而矢量可以表示力、速度、位移等需要同时考虑大小和方向的物理量。
2. 矢量的表示方法矢量可以使用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
在文字表示中，通常用粗体小写字母表示，如a、a，或者用带箭头的小写字母表示，如→a、→a。
3. 矢量的分解任何一个矢量都可以分解为两个或多个分量。
如果一个矢量a 在某一方向上的分量为a₁，那么矢量a可以写成a=a₁+a₂，其中a₂为与a₁正交的方向上的分量。
二、矢量的运算规则1. 矢量的加法矢量的加法满足三角形法则。
如果有两个矢量a和a，将它们的起点放在一起，然后将它们的箭头相连，将连接的箭头作为新矢量的箭头，该箭头的起点就是新矢量的起点，终点就是新矢量的终点。
新矢量的大小等于两个原始矢量大小的矢量和。
2. 矢量的减法矢量的减法可以看作是矢量加法的反向操作。
如果有两个矢量a和a，将矢量a颠倒方向，然后将其起点与矢量a的起点放在一起，将它们的箭头相连，连接的箭头即为新矢量的箭头。
新矢量的终点就是矢量a的终点。
新矢量的大小等于两个原始矢量大小的矢量差。
3. 矢量的数量积矢量的数量积，也称为点积，是通过乘法运算得到一个标量。
数量积的结果等于两个矢量之间的夹角的余弦值乘以它们的大小。
4. 矢量的矢量积矢量的矢量积，也称为叉积，是通过乘法运算得到一个新的矢量。
矢量积的结果的大小等于两个原始矢量的大小与它们之间夹角的正弦值相乘，方向垂直于原始矢量所在的平面。
三、矢量的常见应用1. 力的合成在物理学中，力是一个矢量。
当一个物体同时受到多个力的作用时，可以使用矢量的加法规则将各个力合成为一个合力，从而求解物体的运动状态。
高中物理的数学基础——矢量篇（其一）百度贴吧高中物理吧@浪漫主义学派2020年2月8日1绪论物理学中有各种物理量，像质量、密度、能量、温度、压强等，在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小，这类物理量叫做标量；而像位移、速度、加速度、动量、力、力矩等，除数量的大小外还具有一定的方向，这类物理量叫做矢量。
人教版高中物理教科书早在必修一便讲述了位移、速度等矢量，但却没有详细论述这个数学概念的始末。
高中数学教材虽然比较充分地做了这些工作，但大部分同学直到高中二年级才有机会一览其面目。
余是以为此文，以期不使矢量成为众人之拦路虎也。
余在此不打算引入过多的物理背景来介绍这个概念，亦不希望大家被纷繁芜杂的数学公式绕晕。
余愿力求每一个高一新生都看得懂此文。
所以我在参考其他教材的基础上，将矢量的相关知识点进行降维处理。
另一方面，本文也要拓展一些高中数学教材上不曾讲过之物，如矢量的外积等。
本人才疏学浅，难免有错漏或不宜之处，还请各路大神斧正。
本文中大量知识点被放在练习题的位置上，读者请务必认真对待练习题，勿浪费练习之神奇效用。
2矢量及其相关定义数学上，既有大小又有方向的量被称为矢量（或向量）。
我们常常用一条有方向的线段，即有向线段来表示矢量。
图1表示的是以A 点为起点，以B 点为终点的有向线段，其可代表一个矢量，记作−→AB 。
有时也可以用一个带箭头的字母来表示一个矢量，例如 v 。
有些打印稿也使用粗体字母来表示矢量，例如v ，其意义与 v 相同。
但需要注意的是，使用描粗英文字母的方法手写向量是不规范的行为，应改用标于其上的箭头。
其中，有向线段的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
图1:矢量−→AB 如果两个矢量a 和b 的长度相等且方向相同，我们就说这两个矢量是相等的，记作a =b 。
也就是说，经过平行移动后能完全重合的矢量是相等的。
矢量的大小叫做矢量的模，用绝对值符号来表示。
如矢量−→AB 的模记作|−→AB |。
模等于单位长度的矢量叫做单位矢量。
模等于0的矢量叫做零矢量，也记作0或 0。
此时可见矢量符号非常重要，如果省略则意义完全改变。
由于零矢量的起点与终点重合，所以它的方向可以看作任意的。
现在我们来考虑两个矢量之间的夹角。
对于两个矢量a 和b 而言，我们总是可以通过平移的操作使它们的起点重合，如图2所示。
此时图示的角φ即为两个矢量之间的夹角，并记为ˆ(a ,b )。
我们规定0◦≤φ≤180◦。
当两个矢量方向完全相同时，它们的夹角为0◦。
当两个矢量方向完全相反时，它们的夹角为180◦。
若两个矢量同向或者反向，我们称这两个矢量平行。
若两个矢量间的夹角等于90◦，我们称这两个矢量垂直。
图2:矢量a 和b 之间的夹角零矢量是个特殊的矢量。
由于零矢量的方向任意，所以零矢量和任意矢量的夹角大小均可以在0◦到180◦间任意取值。
可以认为，零矢量与任意其他向量平行，也可以认为零矢量与任意其他向量垂直。
在三维空间下，有关矢量的定义照样成立。
我们仍可将待讨论的所有矢量之起点平移至同一点。
特殊地，若如是平移后起点和所有终点在同一个平面上，则称这些矢量共面；若起点和所有终点在同一条直线上，则称这些矢量共线。
可见，两个平行的矢量是共线的，两个共线的矢量也必定平行。
、用直角坐标系来描述空间和表示其中的矢量是基本的方法之一。
我们先从二维平面说起。
在建立O-xy 直角坐标系之后，对于某矢量v ，我们总可以通过平移的方法将其起点平移至坐标原点，经此操作后若矢量的终点坐标为(x 0,y 0)，则我们记v =(x 0,y 0)，并分别称x 0和y 0为矢量v 的x 轴分量大小和y 轴分量大小。
如图3所示，在该O-xy 坐标系下，矢量−→OA 满足−→OA=(1,2)，且其x 轴分量大小等于1，y 轴分量大小为2。
使用勾股定理进行简单计算可知该矢量的模满足|−→OA |=√5。
图3:矢量的直角坐标示例练习题21.判断矢量(1,2)是否和矢量(2,4)平行，并说明理由。
2.判断矢量(-1,1)是否和矢量(-3,-3)共线，并说明理由。
3.判断矢量(-2,1)是否和矢量(1,2)垂直，并说明理由。
4.判断矢量(-2,1)是否和矢量(1,2)垂直，并说明理由。
5.若某矢量(x 0,y 0)既与矢量v 平行又与其垂直，且x 0=0，试计算v 的模。
6.判断题：(x 1,y 1)=(x 2,y 2)当且仅当x 1=x 2和y 1=y 2同时成立。
3二维矢量的数乘设矢量v =(x 0,y 0)，则对于某实数λ，数乘λv 定义为另一个矢量，其坐标为λv =(λx 0,λy 0).当λ>0时，矢量的数乘相当于如下操作：保持矢量的方向不变，将其长度扩大或缩小至原长的λ倍。
当λ<0时，该操作不仅改变了矢量的长度，还使矢量反向。
当λ=0时，运算结果恒为零矢量。
我们可以举一些例子。
如v =(1,2)，它的两倍2v 就等于(2,4)，它的三倍3v 就等于(3,6)，他的负一倍−1v 就等于(−1,−2)。
另如a =(√3,23)，它的两倍2a 等于(2√3,43)，它的三倍3a 等于(3√3,2)，他的负一倍−1a 就等于(−√3,−23)。
练习题31.证明1乘以任何矢量都等于该矢量本身。
2.判断题：两个矢量相等当且仅当它们的模相等且它们的方向相同。
你能否根据本题结果证明如下等式？−1−→AB=−→BA3.证明矢量数乘满足结合律，即对任意的矢量v 、实数λ和µ，都有如下等式成立。
λ(µv )=µ(λv )=(λµ)v4二维矢量的加减设矢量a =(x 1,y 1)，矢量b =(x 2,y 2)，他们的和a +b 定义为另一个矢量，其坐标为a +b =(x 1+y 1,x 2+y 2).(1)他们的差a −b 也定义为一个矢量，其坐标为a −b =(x 1−x 2,y 1−y 2).(2)若矢量v =(1,2)，矢量a =(√3,23)，则有如下两式。
a +b =(1+√3,83)a −b =(1−√3,43)说白了，矢量的加减就是把对应分量进行相应加减。
容易看到，等式a −b =a +(−1b )成立。
这个等式中同时出现了加减和数乘，但却没什么毛病，这意味着矢量加减和数乘的定义非常细致。
可见，两个矢量相减等同于前一个矢量加上后一个矢量的“反向矢量”。
取矢量a =(1,2)，b =(2,3)，则显然a +b =(3,5)，而b +a =(3,5)也成立。
换而言之，等式a +b =b +a 是成立的。
这不免让人好奇矢量的加法是否也满足加法交换律。
事实上，只要稍微把这些计算改写一下，把确定的数字改成字未知量，我们就能证明加法交换律。
下面我们来证明矢量加法满足交换律，即a +b =b +a ：设a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(x 2+x 1,y 2+y 1)=b +a证毕。
其中第二个等号来源于练习题2的第6题。
用同样的思路和方法我们可以证明出很多其他的性质，我们把它们留作习题。
总而言之，矢量加减和数乘的运算律和实数的运算律有很高的相似度。
一个定义不是凭空出现的。
矢量加减法的定义具有很强的几何背景，可以归结为三角形法则或者平行四边形法则。
如图4所示，若平面上有三个点A,B,C ,则可以证明总有−→AB +−→BC=−→AC 。
换而言之，若一串矢量首尾相连，则他们的和等于从最初的起点指向最后的结局的有向线段表示的矢量。
如果把这些矢量看作物理中的位移，那么这个法则将显得非常自然：假如小明有一天从A 点走图4:三角形法则到B 点，再从B 点走到C 点，结果就和小明从A 点走到C 点是一样的；第一段过程中小明发生的位移是−→AB ，第二段过程中则是−→BC ，那么两段位移的总和自然是−→AC 。
类似地，我们可以把小明的路分成更多段。
如图5左侧所示，首尾相连的a ,b ,c 的和就是从最初的起点指向最后的结局的矢量a +b +c 。
如图5中部所示，首尾相连图5:三角形法则应用实例的a 1,a 2,a 3,a 4,a 5的和就是从最初的起点指向最后的结局的矢量s 。
图5右侧告诉我们平行四边形法则和三角形法则其实是同一回事。
当矢量a 和b 的起点重合时，若仍然要用三角形法则，则需要进行恰当的平移。
过程中，−→AD 被平移至−→BC ，相当于以线段AD 和线段AB 为邻边构造了一个平行四边形，而我们所需要的a +b 就等于−→AC ，亦即平行四边形的对角线。
这种取对角线的法则被叫做平行四边形法则，它被广泛应用于求合力或者合速度的物理分析之中。
练习题41.试用本节中的(1)式证明三角形法则或平行四边形法则。
可以参考下图。
2.观察等式−→AB −−→AC =−→AB +−→CA =−→CA +−→AB =−→CB 。
试给出每一个等号的依据，并由该等式叙述矢量相减的三角形法则。
3.试证明矢量的加法结合律a +(b +c )=(a +b )+c 。
4.试证明矢量运算的第一分配率(λ+µ)a =λa +µa 。
5.试证明矢量运算的第二分配率λ(a +b )=λa +λb 。
6.试用三角形定则证明|a +b |≤|a |+|b |及|a −b |≤|a |+|b |，并分别指出不等式恰好取等号时两向量应满足的条件。
5小结本篇主要涉及矢量的概念、二维矢量的数乘与加减、二维矢量的直角坐标表示等内容。
所提知识点完全被包含于高中数学教材，实属于最基本之矢量知识内容。
读者需谙熟之，以备将来看下一篇之使用。
6阶段练习题1.设u =a −2b +2c ，v =−a +3b −c ，试用a ,b ,c 表示2u −3v 。
2.试证明：若矢量a =0，则b 与a 平行当且仅当存在唯一实数λ使得b =λa 。
3.如果平面上一个四边形的对角线相互平分，试用向量证明它是平行四边形。
4.平面上有O,A,B,C 四点，其中C 是AB 中点。
求证：−→OC=−→OA +12−→AB 。
4.平面上有O,A,B,C 四点，其中C 是AB 中点。
求证：−→OC=12−→OA +12−→OB 。
5.平面上有O,A,B 三点。
记BC 的五个五等分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,D 5，试用−→OA 和−→AB 分别表示−→OD 1,−→OD 2,−→OD 3,−→OD 4,−→OD 5。
6.平面上有O,A,B 三点。
记BC 的五个五等分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,D 5，试用−→OA 和−→OB 分别表示−→OD 1,−→OD 2,−→OD 3,−→OD 4,−→OD 5。
7.平面直角坐标系O-xy 上，有以下各点：O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)，C(3,-4)，D(-3,0)，E(−12,-1)，F(3,-3)，G(-2,-4)，H(π,e )。
