相似三角形的判定相似模型

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。

（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。

2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。

专题03 利用常见模型证明三角形相似【考情说明】相似三角形的证明是中考数学中常考的考点，尤其在压轴题中需要证明三角形相似，再利用相似三角形的性质得到角或线段的数量关系，本专题主要为考生总结一些三角形相似的模型，在考试中如果看到常见的三角形相似的模型可以直接利用，或帮助考生打开思路，以证明三角形相似。

【知识重构】1.“A”字模型①条件：DE//BC；②结论：△ADE∽△ABC。

2.反“A”字模型①条件：∠AED=∠B；②结论：△ADE∽△ACB。

3.共边反“A”字模型①条件：∠ACD=∠B；②结论：△ADC∽△ACB。

4.剪刀反“A”字模型1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！①条件：∠AED=∠ACB；②结论：△ACB∽△AED。

5.“8”字模型①条件：AB//CD；②结论：△EBA∽△ECD。

6.反“8”字模型①条件：∠A=∠C；②结论：△AEB∽△CED。

7.母子模型①条件：AD是Rt△ABC斜边上的高；②结论：△ADB∽△CDA∽△BAC。

8.母子模型2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3①条件：AD 是Rt △ABC 斜边上的高； ②结论：△ADB ∽△CDA ∽△BAC 。

9.一线三等角型①条件：∠ABC=∠ACE=∠CDE ； ②结论：△ABC ∽△CDE 。

【例题透析】11．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AEFE EC． （1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝63．求证△ADE ∽△AEB ．12．如图，CE 与BD 交于点A ，AC =2，AE =3，AB =4，AD =6，求证：ADE ABC △△∽．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！413．（2021·北京房山·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ． 求证：ACD ABC △∽△．【巩固训练】一、单选题1．如图，以下四个条件中不能判定△ABC ∽△ACD 的是（ ）A ．∠B =∠ACD B ．∠ACB =∠ADC C ．AB •CD =AC •BC D ．AC 2=AD •AB2．（2021·四川兴文·九年级期中）如图，AB CD ∥，AE FD ∥，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则图中的相似三角形共有（ ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对3．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，添加下列条件仍不能判定△ADE 与△ABC 相似（ ）A ．DE ∥BCB ．∠ADE=∠ACBC ．AD AEAC AB= D ．AD DEAB BC= 4．（2021·山东高新技术产业开发区·九年级期中）如图，△ABC 中，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，CE 与BD 交于点F ，则图中相似三角形有几对（ ）A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对5．如图，D 、E 分别是AB AC 、上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中能使ABE △和ACD △相似的是（ ）．A ．BE CD =B ．BOD COE ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．::AD AB AE AC =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！66．已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于O 点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）A ．只有（1）相似B ．只有（2）相似C ．都相似D ．都不相似二、填空题7．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）如图，AB 、CD 相交于点O ，添加一个条件 ___，可以使△AOD 与△BOC 相似．8．（2021·云南·昆明市第三中学九年级期中）如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形有___________对．9．如图，AB BC ⊥，DC BC ⊥，垂足分别为B 、C ，且8AB =，6DC =，14BC =，点P 在BC 上，且使得ABP △与△DCP 相似，则BP =__________．10．如图，已知C B ∠=∠，则______∽______，______∽______．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7三、解答题11．（2021·上海市新泾中学九年级期中）如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BD ＝2，CE ＝5，求证：△AED ∽△ABC ．12．如图，在△ABC 中，//DE BC ，且3AD =，2DB =．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．13．如图，Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△； （2）CBD ABC ∽△△． 14．（2021·福建周宁·九年级期中）如图，F 为四边形ABCD 边CD 上一点，连接AF 并延长交BC 延长线于原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8点E ，已知D DCE ∠=∠．（1）求证：ADF ECF ∽△△； （2）若ABCD 为平行四边形，6AB =，2EF AF =，求FD 的长度．15．如图，点M 是AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：△AMF ∽△BGM ； （2）请你再写出两对相似三角形．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，过点C 任作一直线l ，过点A 作AD l ⊥于点D ，过点B 作BE l ⊥于点E ．（1）指出图中的一对相似三角形并证明；（2）当△ABC ∽△CBE 时，需添加一个条件，这个条件可以是___ (只要求写出一种情况即可)17．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F .∆≅∆；(1)求证：APD CPD(2)求证：△APE∽△FPA；EF=，求PC的长.(3)若2PE=，618．（2021·四川·隆昌市第二初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；EF=，BD＝6．求AD的长．（2）若CE＝5，25【挑战压轴】19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，(1)求DE的长；(2)过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；(3)过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．9原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10。

《怎样判定三角形相似》知识清单三角形相似是初中数学中的重要知识点，在解决几何问题中经常会用到。

下面我们来详细了解一下怎样判定三角形相似。

一、定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。

二、判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似这是判定三角形相似最常用的方法之一。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似当两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等时，这两个三角形相似。

比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝AC ／ A'C'，则三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

三、常见的相似三角形模型1、“A”字型在图形中，如果有一条直线平行于三角形的一边，与另外两边或其延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

例如，在三角形 ABC 中，DE 平行于 BC，交 AB、AC 于 D、E 两点，那么三角形 ADE 相似于三角形 ABC。

2、“8”字型在图形中，如果两个三角形的对顶角相等，且两组对边分别交叉成比例，那么这两个三角形相似。

本文为word版资料，可以任意编辑修改本文为word版资料，可以任意编辑修本文为word版资料，可以任意编辑修模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：12 OF OE ODOA OC OB===．解答：证法一：如图①，连接DE ．∵D 、E 是中点，∴12DE BC =．，DE //BC ∴△EOD ∽△COB （8模型）∴12OE DE OC BC ==．同理：12OF OA =，12OD OB =．∴12OF OE OD OA OC OB ===．证法二：如图②，过F 作FG //AC 交BD 于点G ，∵F 是中点，∴12GF BF AD BC ==． ∵AD ＝CD ，∴12GF AD =．∵FG //AD ，∴△GOF ∽△DOA （8模型） ∴12OF GF OA AD ==．同理12OE OC =，12OD OB =．∴12OF OE OD OA OC OB ===．【例2】如图，点E 、F 分别在菱形ABCD 的边AB 、AD 上，且AE ＝DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于H ，若AF DF ＝2，求HFBG的值．解答：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ．设DF ＝a ，则DF ＝AE ＝a ，AF ＝EB ＝2a ．∵HD //AB ，∴△HFD ∽△BF A∴12HD DF HF AB AF FB ===，∴HD ＝1．5a ，13FH BH =，∴FH ＝13BH ∵HD //EB ，∴△DGH ∽△EGB ，∴ 1.5324HG HD a GB EB a ===，∴47BG HB =∴BG＝47HB，∴1734127BHHFBG BH==练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴15 DE AC=∵DE//AC，∴15BE DEBC AC==，∴14BEBC=，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．证明：连接DE 交AF 于点G ，则DE//BC ，DE=12BC ，∴G 为AF 中点 ∴12EG BF =，12EG OE DE FC OC BC ===，∴BF=FC ，即点F 是BC 的中点4．在△ABC 中，AD 是角平分线，求证：AB ACBD CD=．方法一：过点C CE//AB 交AD 延长线于点E ，∴∠1=∠3，∴△ABD ∽△ECD ，∴AB BDCE CD=∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE ，∴AB BDAC CD=方法二：设ABC 中BC 边上的高为h ，则，12ABD SBD h =，12ACDS CD h = 过D 分别作DEAB ，于E ，DFAC 于F ，则12ABD S AB DE =，12ACD S AC DF =11221122ABD ACD BD h AB DES S CD h AC DF ==，又∵1=2，∴DE=DF ，∴AB BDAC CD =5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且AE ：EB ＝2:1，求证：CE ⊥AD ．证明：过点B 做BF//AC ，交CE 延长线于点F ，则∠CBF=90°，△AEC ∽△BEF ∵AE ：EB=2：1，∴BF=12AC=12BC=CD ，又AC=CB ，∠ACD=∠CBF=90° ∴△ACD ≌△CBF ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°∴∠4=90°，∴CE ⊥AD以上董明伟录入模型2 共边共角型已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABCDACB12模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC 进而可以得到：AC 2=AD AB 模型实例例1 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB =4，AD =2，∠DAC =∠B ，如果△ABD 的面积为15．那么△ACD 的面积为 ．ACDB解答：∵∠DAC =∠B ，∠C =∠C ，∴△ACD ∽△BCA ．∵AB =4，AD =2，∴14ACDABCSS∆∆=，∴13ACDABDSS∆∆=，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5例2如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BD BC，AC2=CD CB，AD2=BD CD（3）求证：AB AC=BC ADD CBA解答（1）三对．分别是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴AB BDBC AB=．∴AB2=BD BC，∵△ACD∽△BCA∴AC CDCB AC=．∴AC2=CD CB，∵△ABD∽△CAD，∴AD BDCD AD=，∴AD2=BC CD（3）1122ABCS AB AC BC AD==，∴AB AC=BC AD练习：1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有．①∠B =∠DAC②∠BAC=∠ADC③AC2=DC BC④AD2=BD BCB D CA【答案】①②③2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC=120o．求证：（1）AB2=BM BC；（2）AC2=CN CB；（3）MN2=BM NC．CNM BA【答案】证明：∵∠BAC =120o，∴∠B +∠C =60o.∵△AMN 是等边三角形，∴∠B +∠1=∠AMN =60o ，∠C +∠2=∠ANM =60o.∴∠1=∠C ，∠2=∠B . (1)∵∠1=∠C ，∠B =∠B ，∴△BAM ∽△BCA .∴BM AB AB BC=.∴AB 2=BM BC （2）∵∠2=∠B ，∠C =∠C ，∴△CAN ∽△CBA .∴CN AC AC CB =.∴AC 2=CN CB （3）∵∠1=∠C ，∠2=∠B ，∴△BAM ∽△ACN .∴BM AMAN CN=. ∴BM CN =AN AM ∵AN =AM =MN ，∴AB 2=BM BC3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D ，AC =210AD :DB =4:1．求CD 的长．OCBA【答案】连接BC ，设AD =4x ，则DB =x .∴AB =5x .∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =90o又∵CD ⊥AB .∴△ACD ∽△ABC .∴AC 2=AD AB ，即2(210)45x x =，解得：x 2（舍负）.∴AD =42∴CD 2222AC AD -4．如图①，R t △ABC 中，∠ACB =90o ，CD ⊥AB ，我们可以利用△ABC ∽△ACD 证明AC 2=AD AB ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ．（1）试利用射影定理证明△BOF ∽△BED ； （2）若DE =2CE ，求OF 的长．图①DCBA图②OF EDCBA【答案】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD =90o .∴BC 2=BO BD .∵CF ⊥BE ，∴BC 2=BF BE .∴BO BD =BF BE .即BO BFBE BD =，又∵∠OBF =∠EBD ，∴△BOF ∽△BED .（2）∵BC =CD =6，而DE =2CE ，∴DE =4，CE =2.在Rt △BCE 中，BE 2226+210 在Rt △OBC 中，OB 232BC =BOF ∽△BED ， ∴OF BODE BE =，即324210OF =∴65OF =.模型3 一线三等角型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D结论：△ABC ∽△CDEEDCBAEDCBAED C BA模型分析如图①，∵∠ACE ＋∠DCE =∠B ＋∠A ，又∵∠B =∠ACE ，∴∠DCE =∠A ． ∴△ABC ∽△CDE ．图②③同理可证△ABC ∽△CDE ． 在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．模型实例 例1如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD =60o ，BP =1，CD =23．则△ABC 的边长为 ．60oD PCA解答∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∠B =∠C =60o ．∵∠APC =∠B ＋∠BAP ，即∠APD ＋∠DPC =∠B ＋∠BAP ，又∵∠APD =∠B =60o ，∴∠DPC =∠BAP ． 又∵∠B =∠C ，∴△PCD ∽△ABP ．∴DC PCBP AB=． 设AB =x ，则PC =x －1，2131x x-=，解得x =3．例2如图，∠A =∠B =90o ，AB =7，AD =2，BC =3，在边AB 上取一点P ，使得△P AD 与△PBC 相似，则这样的P 点共有 个．PCBDA以上何富华录入解答设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x ，当△PDA ∽△CPB 时，DA PB AP BC =，即273xx -=， 解得：1x =或6x =，当△PDA ∽△PCB 时，AD AP BC PB =，即237xx=-， 解得：145x =，则这样的的点P 共有3个．练习：1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上一动点（不与B 、C 点重合），∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．ED CB A1.解答： 0(1)901ABC BAC AB AC ∆∠===中，，，045.ABC ACB ∴∠=∠=045ADE ∠=，0135BDA CDE ∴∠+∠=，0135BDA BAD ∠+∠=又，.BAD CDE ∴∠=∠.ABD DCE ∴∆∆22222,.,2..22.1(2)2 1.21ABD DCE AB BDCD CE BD x CD BC BD x xCE x CE x x AE AC CE x x x x y x x ∆∆∴==∴=-==-∴=-∴=-=--=-+=+（）即（3）当△ADE 是等腰三角形时，第一种可能是AD =DE .,.1.2 1.,2 2.ABD DCE ABD DCE CD AB BD BD CE AE AC CE ∆∆∴∆≅∆∴==∴==∴=-=-又当△ADE 是等腰三角形时，第二种可能是ED =EA .0045,90.ADE DEA ∠=∴∠=此时有即△ADE 为等腰直角三角形. 11.22AE DE AC ∴=== 当AD =EA 时，点D 与点B 重合，不合题意，所以舍去. 122.2AE 因此的长为或2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝a ，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等；③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或252； ④0 6.4≤CE <其中正确的结论是 ．（把你认为正确的序号都填上） 2.解答：1,.,..AB AC B C ADE B ADE C ADEACD =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∆∆（）又故①正确.4210,,cos .542cos 21016.56,10..,().AB AC ADE B a a BC AB B BD DC AB DC ABD DCE BAD CDE B C AB DC ABD DCE ASA =====∴==⨯⨯==∴=∴=∆∆∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆（）在和中故②正确.（3）当∠AED =900时，由可知：△ADE ∽△ACD . ∴ ∠ADC =∠AED . ∵ ∠AED =900， ∴ ∠ADC =900. 即 AD ⊥BC. ∵ AB =AC ， ∴ BD =CD .4cos 108.5ADE B a a AB BD ∴∠=∠====且，，当∠CDE =900时，易得△CDE ∽△BAD .004cos 108.59090.4cos ,10,54cos .525.2ADE B a a AB BD CDE BAD B a a AB AB B BD BD ∴∠=∠====∠=∴∠=∠===∴∠==∴=且，，，且故③正确.（4）易证△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，αABDEP A BD C O22,,.10.1616646410.(8)6410.0 6.4BD y CE x AB BD DC CE y y xy y x y x x ==∴=∴=--+=--=-∴≤设整理得：即＜故④正确，故答案为：①②③④.3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，折叠与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA ． （1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，求边AB 的长．3.解答0001,,,90.,,,.90.90,,,.214,11.422,2,ABCD AD BC DC AB DAB B C D AP AB PO BO PAO BAO APO B APO APD CPO POC D C APD POC OCPPDA OCP PDA OC OP CP PD PA DA PD OC PA OP D ∴==∠=∠=∠=∠===∠=∠∠=∠∴∠=∴∠=-∠=∠∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆:∴===∴==（）四边形是矩形由折叠可得：（）与的面积比为02222.848.,,8.,90,4,,8,(8)4.5.210.A CP AD CP BC OP x OB x CO x Rt PCDC CP OP x CO x x x x AB AP OP ==∴=====-∆∠====-∴=-+=∴===，，设则在中解得：模型4 倒数型条件：AF ∥DE ∥BC 结论：111AF BC DE+=ABCDEFG H KD A CB E模型分析∵AF ∥DE ∥BC ，∴△BDE ∽△BAF ，△ADE ∽ABC∴DE BD AF AB =，DE ADBC AB=． ∴1DE DE BD AD AB AF BC AB AB AB +=+== 即1DE DE AF BC += ∴111AF BC DE+=（两边同时除以DE ） 仔细观察，会发现模型中含有两个A 型相似模型，它的结论是由两个A 型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．模型实例如图，AF ∥BC ，AC 、BF 相交于E ，过E 作ED ∥AF 交AB 于D ． 求证：111ABFABCABES S S ∆∆∆+=．证明： 分别过点C 、E 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别是K 、H 、G 则111AF BC DE+=（模型结论）． ,.,,.111.111.111.111222111.ABF ABC ABEDEH BCK AF DE BCk FG EH CKAFG AF kFG DE kEH BC kCK kFG kCK kEH FG CK EHAB FG AB CK AB EH S S S ∆∆∆∆∆∴===∴===∴+=∴+=∴+=∆∴+=∽∽设 练习A B CDEFAE图1GHAE图2GHABE1． 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上.求证：111.AB CD EF+= 答案：1、证明： 方法一：如图①∵ 四边形EFGH 是正方形， ∴ EF ⊥AB ∵ CD ⊥AB ， ∴ EF ∥CD ，∴ △AEF ∽△ACD . ∴EF AECD AC=① ∵ EH ∥AB ，∴ △CEH ∽△CAB ∴EH CEAB AC =∵ EH =EF ， ∴EF CEAB AC=② ①+②得，1,EF EF AE CECD AB AC AC+=+= ∴ 111.AB CD EF+=方法二：如图②，构造模型4过点C 作AB 的平行线交AH 的延长线于点K 依题意有，CK ∥EH ∥AB ， ∴ 111.AB CK EH+=∵,,EH AE EFEH EF CK AC CD === ∴ CK =CD . ∴111.AB CD EF+=2．正方形ABCD 中，以AB 为边作等边三角形ABE ，连接DE 交AC 于F ，交AB 于G ，连接BF ．求证：(1) AF +BF =EF ； (2)111.AF BF GF+=答案：（1）如图①，在EF 上截取FH =AF . ∵ ∠EAB =600，∠BAD =900，AE =AD ， ∴ ∠1=∠2=150. ∠3=∠2+∠4=600.G F图2123KH EDO BC ∴ △AFH 为等边三角形. ∴ ∠EAH =∠BAF . ∴ △EAH ≌△BAF . ∴ EH =BF .∴ AF +BF =FH +EH =EF . （2），如图②，过点G 作GK ∥BF 交AC 于点K . 由①可得∠BFC =600， ∴ AH ∥GK ∥BF . ∴ 由模型4，得111.AH BF GK+= ∵ AH =AF ，GK =GF ， ∴ 111.AF BF GF+=模型5 与圆有关的简单相似CCDC图3图2图1DPAOAD BA模型分析图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△P AC ∽△PDB .图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD ∽△AEC . 图③中，已知AB 切⊙O 于点A ，如下图，过A 作直径AE ，连接DE ，则有∠EAD +∠E =900.又∠BAD +∠EAD =900，∠BAD =∠E =∠C .从而△BAD ∽△BCA .模型实例如图，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点．求证：P A ﹒PB =PD ﹒PC .答案：证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、AD .12CDA ODCBP O∵ ∠B =∠D ，∠C =∠A ， ∴ △PBC ∽△PDA . ∴.PB PCPD PA= ∴ P A ﹒PB =PD ﹒PC =（r +d ）（r -d ）= r 2-d 2以上新洲张老师、黄老师录入证明：连接AD 、B C ．∵四边形ADCB 内接于⊙O ， ∴∠1＝∠2． 又∵∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PCB ． ∴PA PD PC PB=． ∴PA PB PD PC ⋅=⋅．练习1．如图，P 是⊙O 内的一点，AB 是过点P 的一条弦，设圆的半径为r ，OP d =．求证：22PA PB r d ⋅=-．PBO答案证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、A D ． ∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠A ， ∴△PBC ∽△PD A ． ∴PB PCPD PA=． ∴()()22PA PB PC PD r d r d r d ⋅=⋅=+-=-2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，延长AC 、BD 交于点E ． （1）求∠E 的度数；（2）点M 为BE 上一点，且满足2EM EB CE ⋅=，连接CM ，求证：CM 是⊙O 的切线．ABMDE COCE DMBAOBA答案 解：（1）连接OC 、O D ．∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴AC CD DB ==．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ，∴△AOC 、△DOB 为等边三角形． ∴∠EAB ＝∠EBA ＝60°． ∴∠E ＝60°． （2）连接BC ， ∵2EM EB CE ⋅=， ∴EM CE CE EB =． ∵∠E ＝∠E ，∴△CEM ∽△BE C ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∴∠ECB ＝90°，∴∠EMC ＝∠ECB ＝90°． ∵C 、D 是半圆三等分点， ∴∠AOC ＝∠DOB ＝60°， ∴OC ∥BE ．∴∠OCM ＝∠EMC ＝90°． ∴OC ⊥CM ．∴CM 为⊙O 的切线．模型6 相似和旋转如图①，已知DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转一定的角度，连接BD 、CE ，得到如图②． 结论：△ABD ∽△ACE ．QMAPCBBCPAEACBEDA模型分析∵DE ∥BC ， ∴AD AEAB AC=， 如图②，∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ∽△ACE ．该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．模型实例如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点P 在△ABC 内，且3PA PB ＝5，PC ＝2． 求ABCS．解答：如图，作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ， 则△ABQ ∽△ACP ． ∴AQ AB AP AC =，即AQ APAB AC=． 又∠QAP ＝∠BAC ＝60°， ∴△AQP ∽△ACB∴∠APQ=∠ACB ＝90°．∴AQ ＝2AP ＝23，PQ 3＝3． ∴△APQ 与△APC 的相似比为2AQAP=． ∴24BQ CP ==． ∴22225BP BQ PQ ==+．∴∠BQP ＝90°．过A 点作AM ∥PQ ，延长BQ 交AM 于点M ． ∴AM ＝PQ ，MQ ＝AP ．∴()()2222228AB AM QM BQ PQ AP BQ =++=++=+故21367373sin 6032ABCSAB AC AB +=⋅︒==+练习1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CA E ＋∠ CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．解：（1）∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形． ∴2AC CEBC CF== ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ． ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ．（2）∵△CAE ∽△CBF ， ∴∠CAE ＝∠CBF ，2AE ACBF BC=又∵2AE ACBF BC==，AE ＝2． ∴22BF=BF 2又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°． ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°． ∴∠EBF ＝90°． ∴22222123EF BE BF =+=+=．∴3EF = ∵2226CE EF ==， ∴6CE =2．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝60°．（1）如图①．若AB ＝AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝150°，P A ＝3，PC ＝4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图②，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 外，且P A ＝3，PB ＝5，PC ＝4，求∠APC 的度数；EABFCA B C P图②图①P C B A图③PCBA21DP C B AAB C（3）如图③，若AB ＝2AC ，点P 在△ABC 内，且PA PB ＝5，∠APC ＝120°，请直接写出PC 的长．解：（1）如图，由旋转有，AD ＝AP ，BD ＝PC ，∠DAB ＝∠P AC ， ∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°． ∴△ADP 为等边三角形． ∴DP ＝P A ＝3，∠ADP ＝60°． ∴∠ADB ＝∠APC ＝150°， ∴∠BDP ＝90°，在Rt △BDP 中，BD ＝4，DP ＝3． 根据勾股定理得：PB ＝5．（2）把△APC 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，得到△ADB ，连接PD ， ∴△APC ≌△AD B ． ∴AD ＝AP ＝3，DB ＝PC ＝4，∠P AC ＝∠DAB ，∠APC ＝∠2． ∴∠DAP ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠DAP ＝60°，∴△DAP 是等边三角形．∴PD ＝3，∠1＝60°， ∴222222345PD DB PB +=+==． ∴∠PDB ＝90°． ∴∠2＝30°． ∴∠APC ＝30°．（3）作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ，则△ABQ ∽△ACP ， ∴∠AQB ＝∠APC ＝120°． ∵AB ＝2AC ，∴△ABQ 与△ACP 的相似比为2． ∴AQ ＝2AP ＝3BQ ＝2CP ，∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠P AC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°． 取AQ 中点D ，连接PD ， ∵AQ ＝2AP ，∴AD ＝AP ．∴△APD 是等边三角形．∴DP ＝DQ ． ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝30°．∴∠APQ ＝90°． ∴PQ ＝3．∴∠BQP ＝∠AQB －∠AQP ＝120°－30°＝90°．根据勾股定理得，4BQ=．∴122PC BQ==．badiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidu赠送—高中数学必修1知识点【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆(4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A （1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 名记B{|x x x ∈A A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{|x x x ∈A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇U A {|}x x ∈()U A A =∅ 2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法）含绝对值的不等式的解法解集0) {|x a -()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =。

相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型浅析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型题源【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：12 OF OE ODOA OC OB===．证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴12DEBC=．，DE//BC∴△EOD∽△COB（8模型）∴12OE DEOC BC==．同理：12OFOA=，12ODOB=．∴12OF OE ODOA OC OB===．证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴12GF BFAD BC==．∵AD＝CD，∴12GFAD=．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）∴12OF GFOA AD==．同理12OEOC=，12ODOB=．∴12OF OE ODOA OC OB===．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，求HFBG的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A∴12HD DF HFAB AF FB===，∴HD＝1．5a，13FHBH=，∴FH＝13BH∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.5324HG HD aGB EB a===，∴47BGHB=∴BG＝47HB，∴1734127BHHFBG BH==练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴15 DE AC=∵DE//AC，∴15BE DEBC AC==，∴14BEBC=，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=12BC，∴G为AF中点∴12EGBF=，12EG OE DEFC OC BC===，∴BF=FC，即点F是BC的中点4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB ACBD CD=．方法一：过点C CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴AB BDCE CD=∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴AB BDAC CD=方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，12ABDS BD h=，12ACDS CD h=过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则12ABDS AB DE=，12ACDS AC DF=11221122ABDACDBD h AB DESS CD h AC DF==，又∵1=2，∴DE=DF，∴AB BDAC CD=5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF11∴∠4=90°，∴CE⊥AD模型2 共边共角型已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD∽△ABCDAB1 2模型浅析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC进而可以得到：AC2=AD AB模型题源【例1】如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为．ACDB解答：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA．∵AB=4，AD=2，∴14ACDABCSS∆∆=，∴13ACDABDSS∆∆=，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BD BC，AC2=CD CB，AD2=BD CD（3）求证：AB AC=BC ADD CBA解答（1）三对．分别是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴AB BDBC AB=．∴AB2=BD BC，∵△ACD∽△BCA（3）1122ABCSAB AC BC AD ==，∴AB AC =BC AD练习：1．如图所示，能判定△ABC ∽△DAC 的有 ． ①∠B =∠DAC ②∠BAC =∠ADC③AC 2=DC BC④AD 2=BD BCB DCA【答案】①②③2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC =120o ．求证：（1）AB 2=BM BC ；（2）AC 2=CN CB ；（3）MN 2=BM NC ．CNM BA【答案】证明：∵∠BAC =120o，∴∠B +∠C =60o.∵△AMN 是等边三角形，∴∠B +∠1=∠AMN =60o ，∠C +∠2=∠ANM =60o.∴∠1=∠C ，∠2=∠B . (1)∵∠1=∠C ，∠B =∠B ，∴△BAM ∽△BCA .∴BM AB AB BC=.∴AB 2=BM BC （2）∵∠2=∠B ，∠C =∠C ，∴△CAN ∽△CBA .∴CN AC AC CB =.∴AC 2=CN CB （3）∵∠1=∠C ，∠2=∠B ，∴△BAM ∽△ACN .∴BM AMAN CN=. ∴BM CN =AN AM ∵AN =AM =MN ，∴AB 2=BM BC3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过C作CD ⊥AB 于D ，AC =AD :DB =4:1．求CD的长．O又∵CD ⊥AB .∴△ACD ∽△ABC .∴AC 2=AD AB ，即245x x =，解得：x.∴AD=∴CD=4．如图①，R t △ABC 中，∠ACB =90o ，CD ⊥AB ，我们可以利用△ABC ∽△ACD 证明AC 2=AD AB ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ．（1）试利用射影定理证明△BOF ∽△BED ； （2）若DE =2CE ，求OF 的长．图①DCBA图②OF EDCBA【答案】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD =90o .∴BC 2=BO BD . ∵CF ⊥BE ，∴BC 2=BF BE .∴BO BD =BF BE .即BO BFBE BD =，又∵∠OBF =∠EBD ，∴△BOF ∽△BED .（2）∵BC =CD =6，而DE =2CE ，∴DE =4，CE =2.在Rt △BCE 中，BE= 在Rt △OBC 中，OBBC =BOF ∽△BED ， ∴OF BODE BE =，即4OF =∴OF .模型3 一线三等角型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D结论：△ABC ∽△CDEEDCBAEDCBAED C BA∴△ABC ∽△CDE ．图②③同理可证△ABC ∽△CDE ． 在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．模型题源【例1】如图，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD =60o ，BP =1，CD =23．则△ABC 的边长为 ． 60oD PCA解答∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC =AC ，∠B =∠C =60o ．∵∠APC =∠B ＋∠BAP ， 即∠APD ＋∠DPC =∠B ＋∠BAP ，又∵∠APD =∠B =60o ，∴∠DPC =∠BAP ． 又∵∠B =∠C ，∴△PCD ∽△ABP ．∴DC PCBP AB=． 设AB =x ，则PC =x －1，2131x x-=，解得x =3．【例2】如图，∠A =∠B =90o ，AB =7，AD =2，BC =3，在边AB 上取一点P ，使得△P AD 与△PBC 相似，则这样的P 点共有 个．PCBDA解答设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x ，当△PDA ∽△CPB 时，DA PB AP BC =，即273xx -=， 解得：1x =或6x =，当△PDA ∽△PCB 时，AD AP BC PB =，即237xx=-， 解得：145x =，则这样的的点P 共有3个．练习：1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上一动点（不与B 、C 点重合），∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．ED CBA解答： 0(1)901ABC BAC AB AC ∆∠===中，，，045.ABC ACB ∴∠=∠=045ADE ∠=，0135BDA CDE ∴∠+∠=，0135BDA BAD ∠+∠=又，.BAD CDE ∴∠=∠.ABD DCE ∴∆∆22222,.,...1) 1.1ABD DCE AB BD CD CE BD x CD BC BD x x CE CE x AE AC CE x x y x ∆∆∴==∴=-==∴=-∴=-=--=+=-+（）即（3）当△ADE 是等腰三角形时，第一种可能是AD =DE.,.1.1.,2ABD DCE ABD DCE CD AB BD BD CE AE AC CE ∆∆∴∆≅∆∴==∴=-=∴=-=-又当△ADE 是等腰三角形时，第二种可能是ED =EA . 0即△ADE 为等腰直角三角形.11.22AE DE AC ∴=== 当AD =EA 时，点D 与点B 重合，不合题意，所以舍去. 12.2AE 因此的长为2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝a ，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或252； ④0 6.4≤CE <其中正确的结论是 ．（把你认为正确的序号都填上） 解答：1,.,..AB AC B C ADE B ADE C ADE ACD =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∆∆（）又 故①正确.4210,,cos .542cos 21016.56,10..,().AB AC ADE B a a BC AB B BD DC AB DC ABD DCE BAD CDE B C AB DC ABD DCE ASA =====∴==⨯⨯==∴=∴=∆∆∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆（）在和中故②正确.（3）当∠AED =900时，由可知：△ADE ∽△ACD . ∴ ∠ADC =∠AED . ∵ ∠AED =900， ∴ ∠ADC =900. 即 AD ⊥BC. ∵ AB =AC ， ∴ BD =CD .4cos 108.5ADE B a a AB BD ∴∠=∠====且，，当∠CDE =900时，易得△CDE ∽△BAD .αABCDEP AB D CO004cos 108.59090.4cos ,10,5425cos ..52ADE B a a AB BD CDE BAD B a a AB AB B BD BD ∴∠=∠====∠=∴∠=∠===∴∠==∴=且，，，且故③正确.（4）易证△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，22,,.10.1616646410.(8)6410.0 6.4BD y CE x AB BD DC CE y y xy y x y x x ==∴=∴=--+=--=-∴≤设整理得：即＜故④正确，故答案为：①②③④.3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，折叠与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA ． （1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，求边AB 的长．解答1,,,90.,,,.90.90,,,.214,1.22,2,ABCDAD BC DC AB DAB B C DAP AB PO BO PAO BAO APO BAPOAPD CPO POCD C APD POCOCP PDAOCP PDAOC OP CPPD PA DAPD OC PA OP D∴==∠=∠=∠=∠===∠=∠∠=∠∴∠=∴∠=-∠=∠∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆:∴====∴==（）四边形是矩形由折叠可得：（）与的面积比为2222.848.,,8.,90,4,,8,(8)4.5.210.A CPADCP BCOP x OB x CO xRt PCDC CP OP x CO xx xxAB AP OP==∴=====-∆∠====-∴=-+=∴===，，设则在中解得：模型4 倒数型条件：AF∥DE∥BC结论：111AF BC DE+=模型浅析∵AF∥DE∥BC，∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC∴DE BDAF AB=，DE ADBC AB=．∴1DE DE BD AD ABAF BC AB AB AB+=+==即1DE DEAF BC+=∴111AF BC DE+=（两边同时除以DE）仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．模型题源AB CD EFBA如图，AF ∥BC ，AC 、BF 相交于E ，过E 作ED ∥AF 交AB 于D ． 求证：111ABFABCABES S S ∆∆∆+=．证明： 分别过点C 、E 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别是K 、H 、G则111AF BC DE+=（模型结论）． ,.,,.111.111.111.111222111.ABF ABC ABEDEH BCK AF DE BC k FG EH CKAFG AF kFG DE kEH BC kCK kFG kCK kEH FG CK EHAB FG AB CK AB EH S S S ∆∆∆∆∆∴===∴===∴+=∴+=∴+=∆∴+=∽∽设 练习1． 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上.求证：111.AB CD EF+=证明：方法一：如图①∵ 四边形EFGH 是正方形， ∴ EF ⊥ABA B CDEF图1A图2AE∵ CD ⊥AB ， ∴ EF ∥CD ，∴ △AEF ∽△ACD .∴EF AECD AC =① ∵ EH ∥AB ，∴ △CEH ∽△CAB ∴ EH CEAB AC =∵ EH =EF ， ∴EF CEAB AC=② ①+②得，1,EF EF AE CECD AB AC AC+=+= ∴111.AB CD EF+=方法二：如图②，构造模型4过点C 作AB 的平行线交AH 的延长线于点K 依题意有，CK ∥EH ∥AB ，∴ 111.AB CK EH+=∵ ,,EH AE EFEH EF CK AC CD === ∴ CK =CD . ∴111.AB CD EF+=2．正方形ABCD 中，以AB 为边作等边三角形ABE ，连接DE 交AC 于F ，交AB 于G ，连接BF ．求证： (1) AF +BF =EF ； (2) 111.AF BF GF+=答案：（1）如图①，在EF 上截取FH =AF . ∵ ∠EAB =600，∠BAD =900，AE =AD ，E图2E∴ ∠1=∠2=150. ∠3=∠2+∠4=600. ∴ △AFH 为等边三角形. ∴ ∠EAH =∠BAF . ∴ △EAH ≌△BAF .∴ EH =BF .∴ AF +BF =FH +EH =EF . （2），如图②，过点G 作GK ∥BF 交AC 于点K . 由①可得∠BFC =600， ∴ AH ∥GK ∥BF .∴ 由模型4，得111.AH BF GK+= ∵ AH =AF ，GK =GF ， ∴ 111.AF BF GF+=模型5 与圆有关的简单相似图3图2图1A模型浅析图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△P AC ∽△PDB .图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD ∽△AEC . 图③中，已知AB 切⊙O 于点A ，如下图，过A 作直径AE ，连接DE ，则有∠EAD +∠E =900.又∠BAD +∠EAD =900，∠BAD =∠E =∠C . 从而△BAD ∽△BCA .模型题源DCAB如图，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． 求证：P A ﹒PB =PD ﹒PC .证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、AD .∵ ∠B =∠D ，∠C =∠A ，∴ △PBC ∽△PDA . ∴.PB PCPD PA= ∴ P A ﹒PB =PD ﹒PC =（r +d ）（r -d ）= r 2-d 2 练习1．如图，P 是⊙O 内的一点，AB 是过点P 的一条弦，设圆的半径为r ，OP d =． 求证：22PA PB r d ⋅=-．证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、A D ． ∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠A ， ∴△PBC ∽△PD A ． ∴PB PCPD PA=． ∴()()22PA PB PC PD r d r d r d ⋅=⋅=+-=-2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，延长AC 、BD 交于点E ．（1）求∠E 的度数；（2）点M 为BE 上一点，且满足2EM EB CE ⋅=，连接CM ，求证：CM 是⊙O 的切线．BABA解：（1）连接OC 、O D ．∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴AC CD DB ==．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ，∴△AOC 、△DOB 为等边三角形．∴∠EAB ＝∠EBA ＝60°．∴∠E ＝60°． （2）连接BC ，∵2EM EB CE ⋅=，∴EM CECE EB=． ∵∠E ＝∠E ，∴△CEM ∽△BE C ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．∴∠ECB ＝90°， ∴∠EMC ＝∠ECB ＝90°． ∵C 、D 是半圆三等分点， ∴∠AOC ＝∠DOB ＝60°， ∴OC ∥BE ．∴∠OCM ＝∠EMC ＝90°． ∴OC ⊥CM ．∴CM 为⊙O 的切线． 模型6 相似和旋转如图①，已知DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转一定的角度，连接BD 、CE ，得到如图②． 结论：△ABD ∽△ACE ．EACBEDA模型浅析∵DE ∥BC ，∴AD AEAB AC=， 如图②，∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ∽△ACE ．QMAPCBBCPA该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．模型题源如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点P 在△ABC内，且PA ，PB ＝5，PC ＝2．求ABCS．解答：如图，作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ， 则△ABQ ∽△ACP ．∴AQ AB AP AC =，即AQ APAB AC=． 又∠QAP ＝∠BAC ＝60°，∴△AQP ∽△ACB ∴∠APQ=∠ACB ＝90°．∴AQ ＝2AP＝，PQ＝3． ∴△APQ 与△APC 的相似比为2AQAP=． ∴24BQ CP ==．∴22225BP BQ PQ ==+．∴∠BQP ＝90°．过A 点作AM ∥PQ ，延长BQ 交AM 于点M ．∴AM ＝PQ ，MQ ＝AP ．∴()()2222228AB AM QM BQ PQ AP BQ =++=++=+故21sin 6032ABCSAB AC AB =⋅︒==+． 练习1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CA E ＋∠ CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．解：（1）∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形．∴AC CEBC CF== ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ． ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ．（2）∵△CAE ∽△CBF ， ∴∠CAE ＝∠CBF，AE ACBF BC=EABFCA B C P图②图①P CB A 图③PCBA又∵AE ACBF BC=，AE ＝2．∴2BF=BF又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°． ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°． ∴∠EBF ＝90°．∴2222213EF BE BF =+=+=．∴EF ∵2226CE EF ==，∴CE =2．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝60°．（1）如图①．若AB ＝AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝150°，P A ＝3，PC ＝4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图②，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 外，且P A ＝3，PB ＝5，PC ＝4，求∠APC 的度数； （3）如图③，若AB ＝2AC ，点P 在△ABC 内，且P APB ＝5，∠APC ＝120°，请直接写出PC 的长．解：（1）如图，由旋转有，AD ＝AP ，BD ＝PC ，∠DAB ＝∠P AC ， ∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°．21DPC B AAB C∴△ADP 为等边三角形． ∴DP ＝P A ＝3，∠ADP ＝60°． ∴∠ADB ＝∠APC ＝150°， ∴∠BDP ＝90°，在Rt △BDP 中，BD ＝4，DP ＝3． 根据勾股定理得：PB ＝5．（2）把△APC 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，得到△ADB ，连接PD ， ∴△APC ≌△AD B ．∴AD ＝AP ＝3，DB ＝PC ＝4，∠P AC ＝∠DAB ，∠APC ＝∠2． ∴∠DAP ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠DAP ＝60°，∴△DAP 是等边三角形． ∴PD ＝3，∠1＝60°， ∴222222345PD DB PB +=+==． ∴∠PDB ＝90°． ∴∠2＝30°． ∴∠APC ＝30°．（3）作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ，则△ABQ ∽△ACP ， ∴∠AQB ＝∠APC ＝120°． ∵AB ＝2AC ，∴△ABQ 与△ACP 的相似比为2． ∴AQ ＝2AP ＝BQ ＝2CP ，∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠P AC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°． 取AQ 中点D ，连接PD ， ∵AQ ＝2AP ，∴AD ＝AP ．∴△APD 是等边三角形．∴DP ＝DQ ． ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝30°．∴∠APQ ＝90°． ∴PQ ＝3．∴∠BQP ＝∠AQB －∠AQP ＝120°－30°＝90°． 根据勾股定理得，4BQ =．∴122PC BQ ==．。

数学模型-----相似三角形模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考中的常考题型，如果我们注重解题方法或基本解题模型，相信再遇到相似三角形的问题就迎刃而解了．下面就介绍一下相似三角形模型． 一、模型类别二、相关结论的运用 （一）模型1：A 字型图1平行A 字型条件：//DE BC ，图1结论：~ADE ABC ； 图2斜交A 字型条件：C AED ∠=∠，图2结论：~ADE ABC ；典例精讲：如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．动点,M N 从点C 同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA CB 、向终点,A B 移动，同时动点P 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿BA 向终点A 移动，连接,PM PN ，设移动时间为t （单位：秒，025t <<．）．（1）当t 为何值时，以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似？（2）是否存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】根据勾股定理求得5cm AB =．（1）根据模型1：平行A 字型的结论得出APM ABC ∽，和模型1：斜交A 字型模型的结论得出AMP ABC ∽两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t 的值． （2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，构造平行线//PH AC ，根据模型1：平行A 字型的结论得出PBH ABC ∽，从而求得以t 表示的PH 的值；然后根据“ABCBPHSSS=-”列出S 与t 的关系式24321(0 2.5)525S t t ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值． 【详解】解：∵如图，在Rt ABC 中，90,4cm,3cm C AC BC ∠=︒==．∴根据勾股定理，得5cm AB ==．（1）以,,A P M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： ①当APM ABC ∽时，AM AP AC AB =，即45245t t--=，解得0t =（不合题意，舍去）．②当AMP ABC ∽时，AP AM AC AB =，即52445t t --=，解得32t =；综上所述，当32t =时，以A P M 、、为顶点三角形与ABC 相似．（2）存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t ，使四边形APNC 的面积S 有最小值． 如图，过点P 作PH BC ⊥于点H ．则//PH AC ， ∴PBH ABC ∽∴PH BPAC BA =， 即245PH t=． ∴85tPH =． ∴ABC BPN S S S =-△△()118343225t t =⨯⨯-⨯-⋅ ()24321=0 2.5525t t ⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭． ∵405>， ∴S 有最小值． 当32t =时，215S =最小值．答：当32t =时，四边形A P NC 的面积S 有最小值，其最小值是215． 【解题技法】作平行线构造A 字型相似，是解题中常用的一种作辅助线的方法实战演练：1. 如图，AD经过ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作//EG BC交AD 于点G，若12BC=，则线段GE的长为（）A. 6B. 4C. 5D. 3【答案】D【解析】【分析】根据重心的概念得到点D为BC中点，即CD的长，再根据平行证明△AGE∽△ADC，结合点E是AC中点，得到12AE GEAC CD==，从而求出GE.【详解】解：∵AD经过ABC的重心，∴点D是BC中点，∵BC=12，∴CD=BD=6，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ADC，∵点E是AC中点，∴12AE GEAC CD==，即162GE=，解得：GE=3，故选D.【点睛】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键.2. 如图，在ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，则下列结论正确的是（ ）A.AD DEDB BC= B.BF EFBC AD= C.EF BFAB BC= D.AE DEEC FC= 【答案】D 【解析】【分析】由两直线平行，得到两对同位角相等，证明△ADE ∽△ABC ，△CEF ∽△CAB ；由等代换可证明△ADE ～△EFC ，最后由相似三角形的性质判断四个答案的正误． 【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ， ∴△ADE ∽△ABC ，DE AD ADBC AB DB∴=≠ ∴答案A 错舍去； 又∵EF ∥AB ，∴∠CEF=∠A ，∠CFE=∠B ， ∴△CEF ∽△CAB ，EF CE FC BFAB AC BC BC∴==≠ ∴答案C 错舍去； ∵//DE BC ，//EF AB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF∵∠ADE=∠B ，∠CFE=∠B ， ∴∠ADE=∠CFE ， 又∵∠AED=∠C ， ∴△ADE ～△EFC ，EF BF BFAD FC D B E FC C∴==≠ ∴答案B 舍去 ∵△ADE ～△EFC ，AE DEEC FC∴= ∴答案D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点，重点掌握三角形相似的判定与性质，易错点学生不会找两个相似三角形对应边的比相等．3. 如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A.ADANAN AEB.BD MNMN CEC.DN NEBM MCD.DN NEMC BM【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN ANNE DN NEBMAM AM MC BM MC，故选C.【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.（二）模型2：8字型图1平行8字型条件：//AB CD ， 图1结论：AOB DOC ∽△△； 图2斜交8字型条件：A D ∠=∠，，图2结论：AOB DOC ∽△△；典例精讲：如图1，在矩形ABCO 中，8,6,,OA OC D E ==分别是,AB BC 上一点，2,3,AD CE OE ==与CD 相交于点F ．（1）求证：OE CD ⊥；（2）如图2，点G 是CD 的中点，延长OG 交BC 于H ，求CH 的长． 【思路点拨】（1）根据四边形ABCO 是矩形，可得8,6OA BC OC AB ====，根据模型1中的图1结论得出ADP OCP ∽，从而求出PA 和PO ，再根据模型2中的图1结论得出OPF ECF ∽，求出EF 和CF 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理可得CD =G 是CD 的中点，可得CG DG ==G 是CP 的三等分点，根据模型2中的图1结论得出OPG HCG ∽即可求出CH 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCO 是矩形， ∴8,6OA BC OC AB ====， 在Rt OCE 中，3CE =，∴OE ===∵//AB OC ，即//AD OC ，且2AD =， ∴ADP OCP ∽ ∴AD PAOC PO =， ∴268PA PA =+， ∴4PA =，∴12PO PA OA =+=， ∴在Rt OPC △中，6OC =，∴CP ===，∵//OA BC ，即//OP CE ， ∴OPF ECF ∽ ∴CE EF CFOP OF PF ==， ∴31124EF CF OF PF ===，∴15EF OE ==155CF CP ==∵22936955+=+=⎝⎭⎝⎭， ∴222EF CF CE +=， ∴CEF △是直角三角形， ∴90CFE ∠=︒， ∴OE CD ⊥；（2）在Rt CBD △中，8,624CB BD AB AD ==-=-=，根据勾股定理，得CD ===，∵点G 是CD 的中点，∴CGDG ==由（1）知：CP =，∴DP CP CD =-=∴点G 是CP 的三等分点， ∵//OA BC ，即//OP CH ， ∴APG HCG ∽ ∴CH CGOP GP=， ∴1122CH =， ∴6CH =． 答：CH 的长为6．【解题技法】利用A 字型和8字型混合模型得出三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例得出线段的长或比值，解决本题的关键实战演练：4. 已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连接EM ，分别交线段AD 于点F 、AC 于点G ．（1）证明：AFG ∆∽CMG ∆ （2）求证：GF EFGM EM=； 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及对顶角相等即可证明AFG ∆∽CMG ∆；（2）由相似三角形的性质可知GF AF GM CM=，由AD∽BC 可知AF EFBM EM =，通过等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：AD ∥BCFAG MCG ∴∠=∠ AGF CGM ∠=∠ AFG ∴∆∽CMG ∆（2）证明：∵AFG ∆∽CMG ∆GF AFGM CM∴= ∽AD∽BC ， ∽AF EFBM EM= 又∵CM ＝BM ，AF EFCM EM∴=GF EFGM EM∴=【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果23CEBE=，求FEEG的值．【答案】916 FEEG=【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，∴EF BE EG ECAF AD AG AD＝，＝，∵23 CEBE=，∴3255 BE CEAD AD＝，＝，∴3255FE EGAF AG==，，∴3283FE EGAE AE==，，∴916FEEG=．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．6. 如图， ,BD AC 相交于点P ，连结,,,,AB BC CD DA DAP CBP ∠=∠． (1)求证: ADP BCP ∽；(2)直接回答ADP △与BCP 是不是位似图形? (3)若8,4,3AB CD DP ===，求AP 的长．【答案】（1）详见解析；（2）不是；（3）6AP = 【解析】【分析】（1）根据已知条件可知DAP CBP ∠=∠，根据对顶角相等可知DPA CPB ∠=∠，由此可证明ADP BCP ∽；（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．）（3）由△ADP ∽△BCP ，可得AP BPDP CP=，而∠APB 与∠DPC 为对顶角，则可证△APB ∽△DPC ，从而得AP ABDP DC=，再根据8,4,3AB CD DP ===即可求得AP 的长．【详解】(1)证明:∵,DAP CBP DPA CPB ∠=∠∠=∠， ∴ADP BCP ∽；(2)点A 、D 、P 的对应点依次为点B 、C 、P ，对应点的连线不相交于一点，故ADP △与BCP 不是位似图形；(3)解:∵ADP BCP ∽ ∴=AP BP DP CP∵APB DPC ∠=∠，∴APB DPC ∽，AP ABDP DC∴= ∴8=43AP ∴6AP =．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义．熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．7. 在△ABC 中，90ACB ∠=，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）如图1，点D 在BC 边上，:1:2CD BD =，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AFBC ，交BE 的延长线于点F ，易得APPD的值为 ； （2）如图2，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，:1:2DC BC =，求APPD的值； （3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ． 【答案】（1）32；（2）23；（3）6【解析】【分析】（1）易证△AEF ≌△CEB ，则有AF=BC ．设CD=k ，则DB=2k ，AF=BC=3k ，由AF ∥BC 可得△APF ∽△DPB ，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（2）过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出APPD的值；（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据FP BP的值求出BFBP的值，就可求出BP的值．【详解】解：（1）如图1中，∵AF∥BC，∴∠F=∠EBC，∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，∴△AEF≌△CEB（AAS），∴AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，∵AF∥BC，∴△APF∽△DPB，∴32 PA AFPD BD==，故答案是：32；（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k ，由DC ：BC=1：2得BC=2k ，DB=DC+BC=3k ． ∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ． ∵AF ∥DB ， ∴∠F=∠1．在△AEF 和△CEB 中，123F AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CEB ， ∴EF=BE ，AF=BC=2k ． ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP ， ∴2233PA FP AF k PD BP BD k ====； （3）当CD=2时，BC=4， ∵AC=6， ∴EC=AE=3， ∴EB=5=∴EF=BE=5，BF=10． ∵23FP BP =， 53BF BP ∴=， ∴BP=35BF=35×10=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．（三）模型3：k 字型图1一线三垂直条件：,,AB BD DE BD AC CE ⊥⊥⊥，图1结论：ABC CDE ∽△△； 图2一线三等角条件：B ACE D ∠=∠=∠，图2结论：ABC CDE ∽△△；典例精讲：如图，点P 是线段BD 上一个动点，90,6,4,B D AB CD BD a ∠=∠=︒===． （1）当90,14APC a ∠=︒=时，求BP 的长度；（2）若90APC ∠=︒时，点P 有两个符合要求即12,P P ，且122PP =，求a 的值； （3）若120APC ∠=︒时，点P 有且只有一个点符合要求，求a 的值．【思路点拨】（1）根据模型3：k 字型一线三垂直，证得ABP PDC △∽△，根据相似三角形的性质即可求得；（2）设BP x =，则PD a x =-，根据模型3：k 字型的一线三垂直证得ABP PDC △∽△，由相似三角形的性质得到2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，根据题意即可得到()2121244x x x x =+-=，即可得到24244a -⨯=，解得即可；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒，解直角三角形求得33BE DF AE CF ====，根据模型3：k 字型的一线三等角证得EPA FCP ∽，由相似三角形的性质得到2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，根据题意241320a ⎛∆=--⨯⨯= ⎝⎭，即可即可．【详解】解：（1）∵90,90B D APC ∠=∠=︒∠=︒， ∴90A APB CPD APB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴A CPD ∠=∠， ∴ABP PDC △∽△， ∴BP AB CD PD =，即6414BP BP=-， 解得2BP =或12；（2）设BP x =，则PD a x =-， 由（1）可知ABP PDC △∽△， ∴AB BP PD DC=，即64xa x =-， ∴2240x ax -+=，设方程的两个根为12,x x ，根据根与系数的关系可知1212,24x x a x x +=⋅=，∵122PP =， ∴122x x -=，∴()()2212121244x x x x x x -=+-=，∴24244a -⨯=， 解得10a =±（负数舍去）， ∴10a =；（3）作120AEP CFP ∠=∠=︒， ∴60AEB CFD ∠=∠=︒， ∵6,4AB CD ==，∴BE AB DF ====∴223AE BE CF DF ====∵120AEP CFP APC ∠=∠=∠=︒， ∴EAP CPF ∠=∠， ∴EPA FCP ∽， ∴AE EPPF FC=， 设EP x =，则3PF a x =--，=，∴2320x a x ⎛--+= ⎝⎭，∵0=，∴2413203a ⎛--⨯⨯= ⎝⎭， ∵0a >，∴3a =+【解题技法】通过运用模型3：k 字型中从特殊到一般的方法，证明出两组对应角相等，从而得出相似三角形，利用对应边成比例是解题的关键．实战演练：8. 如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离；（2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC ∆的面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．【答案】（1）3；（2）43MP =；（3）当03x ≤≤时，24482525d x =+；当39x ≤≤时，33355d x =-+；（4）23t s =【解析】【分析】（1）根据当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小，即可求出答案； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，证明△APQ ∽△ABC ，可得2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据S S 上下=45可得 24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得23AP AB =，求出AB=5，即可解出MP ；（3）先讨论当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ ·sinC ，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ，根据d=CP·sinC 即可得出答案； （4）先求出移动的速度=936=14，然后先求出从Q 平移到K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点P 在BC 上时，PA ⊥BC 时PA 最小， ∵AB=AC ，△ABC 为等腰三角形， ∴PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S △APQ ， S 下=S 四边形BPQC ， ∵APQ B ∠=∠， ∴PQ ∥BC ， ∴△APQ ∽△ABC ，∴APAQPQAB AC BC ==， ∴2APQ ABCS AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴23APAB =， AE=2BC·tan 3C =，根据勾股定理可得AB=5， ∴2253APMP AB +==，解得MP=43；（3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动，P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35，∴d=35PQ ，∵AP=x+2， ∴25APx PQAB BC +==，∴PQ=285x +⨯，∴d=23855x +⨯⨯=24482525x +，当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x ， d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335，综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩； （4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ②P 在BC 上时，K 与Q 重合时 CQ=CK=5-94=114， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP ，APQ B ∠=∠∴∠QPC=∠BAP ，又∵∠B=∠C ，∴△ABP ∽△PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y-4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ∴点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．9. 如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝1 x 的图象上．若点B在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为_____．【答案】-4【解析】【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：BD OD OB OC AC OA==＝2，然后用待定系数法求解即可．【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D，设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m．∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA．∴BD OD OB OC AC OA==，∵OB ＝2OA ，∴BD ＝2m ，OD ＝2n ，因为点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上， ∴mn ＝1，∵点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴B 点的坐标是(﹣2n ，2m)，∴k ＝﹣2n •2m ＝﹣4mn ＝﹣4，故答案为﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B 的坐标(用含n 的式子表示)是解题的关键． 10. 如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADE C ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】(1)理由见详解；（2）2BD =-1，理由见详解．【解析】【分析】∽1∽根据题目已知条件易得：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，问题得证．∽2∽由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE ，②AD=DE ，③AE=DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．【详解】（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2 ①当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．②当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =③当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．11. 感知：如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，点P 在BC 边上，当∠APD＝90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B＝∠C＝∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝，BD＝4，则DE的长为．【答案】探究：见解析；拓展：52.【解析】【分析】感知：先判断出∠BAP＝∠DPC，进而得出结论；探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；拓展：利用△BDP∽△CPE得出比例式求出CE，结合三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC＝AB；最后在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．【详解】解：感知：∵∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，∵∠B＝90°，∴∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∴△ABP∽△PCD；探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．∵∠B＝∠APD，∴∠BAP＝∠CPD．∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCD；拓展：同探究的方法得出，△BDP ∽△CPE ， ∴BD BP CP CE=， ∵点P 是边BC 的中点，∴BP ＝CP ＝，∵BD ＝4，CE=， ∴CE ＝92， ∵∠B ＝∠C ＝45°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝90°，即AC ⊥AB 且AC ＝AB ＝6，∴AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣92＝32，AD ＝AB ﹣BD ＝6﹣4＝2，在Rt △ADE 中，DE 52． 故答案是：52． 【点睛】此题是相似综合题．主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．解本题的关键是判断出△ABP ∽△PCD ．（四）模型4：母子型图1垂直母子型条件：,AC BC AB CD ⊥⊥，图1结论：ABC ACD CBD ∽∽； 图2斜交母子字型条件：C ABD ∠=∠，图2结论：ABC ABD ∽；典例精讲：1、在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥，垂足为,8,2D AD DB ==，求CD 的长【思路点拨】根据垂直母子型模型4证得ADC CDB ∽△△，再根据对应边成比例，即可求出CD 的值．【详解】∵CD AB ⊥，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∴90ACD A ∠+∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒，∴A BCD ∠=∠，∴ADC CDB ∽△△， ∴CD AD BD CD=， ∴28216CD AD BD =⋅=⨯=，∴4CD =．2、如图，在ABC 中，AB AC =，点P 、D 分别是BC AC 、边上的点，且APD B ∠=∠．（1）求证：AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）若10,12AB BC ==，当//PD AB 时，求BP 的长．【思路点拨】（1）根据已知得出APD B C ∠=∠=∠，再根据斜交母子型模型4得出ABP PCD ∽，根据相似三角形的性质得到AB CD CP BP ⋅=⋅，由AB AC =即可得到AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）由//PD AB 根据斜交母子型模型4得出BAP BCA ∽，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长．【详解】（1）∵AB AC =，∴B C ∠=∠．∵APD B ∠=∠，∴APD B C ∠=∠=∠．∵,APC BAP B APC APD DPC ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴BAP DPC ∠=∠，∴ABP PCD ∽， ∴BP AB CD CP=， ∴AB CD CP BP ⋅=⋅．∵AB AC =，∴AC CD CP BP ⋅=⋅；（2）如图，∵//PD AB ，∴APD BAP ∠=∠．∵APD C ∠=∠，∴BAP C ∠=∠．∵B B ∠=∠，∴BAP BCA ∽， ∴BA BP BC BA=． ∵10,12AB BC ==， ∴101210BP =， ∴253BP =．【解题技法】利用母子型模型4中有一组隐含的等角，此时需要通过已知得出判定三角形相似的条件，把证明AC CD CP BP ⋅=⋅转化为证明AB CD CP BP ⋅=⋅是解题的关键． 实战演练：12. 如图，已知BC 是O 的直径，AC 切O 于点C ，AB 交O 于点D ，E 为AC 的中点，连接CD ，DE ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若4BD =，3CD =，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）154=AC ． 【解析】 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质和直角三角形斜边的中线以及等腰三角形的性质得出，EDC ECD ∠=∠，ODC OCD ∠=∠，然后利用等量代换即可得出DE OD ⊥，从而证明结论；（2）首先根据勾股定理求出BC 的长度，然后证明BCD BAC ∽△△，最后利用CD BD AC BC=求解即可． 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BDC ∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∵E 为AC 的中点， ∴12DE EC AC ==， ∴EDC ECD ∠=∠，∵OD OC = ，∴ODC OCD ∠=∠，∵AC 切O 于点C ，∴AC OC ⊥．∴90EDC ODC ECD OCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴DE OD ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）解：在Rt BCD 中，∵4BD =，3CD =，∴5BC ==∵90BDC BCA ∠=∠=︒，B B ∠=∠．∴BCD BAC ∽△△， ∴CD BD AC BC=， 即345AC =， ∴154=AC ．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．13. 如图，在ABC ∆中，2AC =，4BC =，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC ∆的面积为a ，则ABD ∆的面积为（ ）A. 2aB. 52aC. 3aD. 72a 【答案】C【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到ACDBCA ∆∆，再由相似三角形的性质得到答案.【详解】∵CAD B ∠=∠，ACD BCA ∠=∠，∴ACD BCA ∆∆， ∴2ACD BCA S AC S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即14BCAa S ∆=，解得，BCA ∆的面积为4a ，∴ABD ∆的面积为：43a a a -=，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.14. 如图，点D 是△ABC 的边BC 的中点，且∠CAD ＝∠B ，若△ABC 的周长为10，则△ACD 的周长是（ ）A. 5 C. 52 D. 【答案】B【解析】 【分析】先根据已知证明△ACD ∽△BCA ，再根据相似三角形的性质得到AC 2=CD•CB ，设BD=CD=x ，得到x ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：∵∠CAD=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴AC CD BC AC=，即AC 2=CD•CB ， 设BD=CD=x ，∵点D 是△ABC 的边BC 的中点，∴BC=2x∴x ，∴=ABC 22ACD AC BC ==的周长的周长，即102ACD =的周长;∴△ACD 的周长故选B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．。

AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型8字形图①8字型，结论：AO BO ABOD CO CD==，【例1】．如图，在▱ABCD 中，F 是AD 延长线上一点，连接BF 交DC 于点E ，则图中相似三角形共有（ ）对A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 【解答】解：∵ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，DC ∥AB ， ∴△ABF ∽△DEF ∽△CEB ， ∴相似三角形共有三对． 故选：B ．【例2】．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论中不正确的是（ ） A ．B ．S △BCE =36C ．S △ABE =12D ．△AFE ∽△ACD【解答】解：∵在▱ABCD 中，AO=AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=CE ，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴==，∵AD=BC，∴AF=AD，∴=；故选项A正确，不合题意；∵S△AEF=4，=（）2=，∴S△BCE=36；故选项B正确，不合题意；∵==，∴=，∴S△ABE=12，故选项C正确，不合题意；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故选项D错误，符合题意．故选：D．【练习1】．如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有2 个．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABF∽△CEF，△CEF∽△AED，∴△ABF∽△AED．∴图中与△ABF相似的三角形是：△CEF，△AED．故答案为：2【练习2】．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是①②③．（填序号）【解答】解：∵在▱ABCD中，AO=AC，∵点E是OA的中点，∴AE=CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴==，∵AD=BC，∴AF=AD，∴=；故①正确；∵S△AEF=4，=（）2=，∴S△BCE=36；故②正确；∵==，∴=，∴S△ABE=12，故③正确；∵BF不平行于CD，∴△AEF与△ADC只有一个角相等，∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，故答案为：①②③．【练习3】．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有 4 对．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABG∽△FHG，△ABE∽△DHE∽△CHB，∴图中的相似三角形共有4对．故答案为：4．【练习4】．在△ABC中，DB=CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP=AE•CP．【解答】解：过点C作CG∥DP交AB于G，∴，，∴DG=，DG=，∴=，∵BD=EC，∴，∴AD•BP=AE•CP．【练习5】．如图，在△ABC中，AB＞AC，边AB上取一点D，边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P．求证：BP：CP=BD：CE．【解答】证明：如图，过点B作BF∥AC交PD延长线于点F．则△PCE∽△PBF，∴=．∵BF∥AC，∴∠1=∠2．又∵AD=AE，∴∠2=∠4，∠1=∠3=∠4，∴BF=BD．∴=，∴BP：CP=BD：CE．【练习6】．已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，且时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．【解答】解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，∵D为OA中点，∴AE=CE=，，∵点C为OB中点，∴BC=CO，，∴，∴PC==，∴=2；（2）过点D作DE∥BO交AC于E，∵，∴==，∵点C为OB中点，∴，∴，∴PC==，过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，∵OA=OB，点C为OB中点，∴CO=2a，在Rt△ACO中，AC===2a，又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，∴AF=，DF=，PF=AC﹣AF﹣PC=2a﹣﹣=，tan∠BPC=tan∠FPD==．（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=a，PF=a，所以tan∠BPC=．【练习7】．已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，=时，求△BPC与△ACO的面积之比．【解答】解：（1）过C作CE∥OA交BD于E，∴△BCE∽△BOD，∴，∵C为OB上中点，∴CE=OD，∵D为AO中点，∴CE=AD，∵△ECP∽△DAP，∴=2；（2）过C作CE∥OA交BD于E，过P作PF⊥OB交OB于F，设AD=x，∵=，∴AO=OB=4x，∴OD=3x，∵△BCE∽△BOD，C为OB上中点，∴CE=OD=x，∵△ECP∽△DAP，∴；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，∴，∴PD=AD=x，∵PF=，S△BPC=，∵S△ACO=4x2，∴．图②反8字型，结论：AO BO ABCO DO CD==、四点共圆【例3】．如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（）A．AO•CO=BO•DO B．C．∠A=∠D D．∠B=∠C【解答】解：A、能判定．利用两边成比例夹角相等．B、不能判定．C、能判定．两角对应相等的两个三角形相似．D、能判定．两角对应相等的两个三角形相似．故选：B．【练习1】．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA【解答】解：A、∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；B、∵△AOD∽△BOC，∴=，∴=，又∵∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；C、∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO=∠ODC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BDC，∵∠DAC=∠DBC，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，故此选项正确，不合题意；D、无法得出BC•CD=AC•OA，故此选项错误，符合题意．故选：D．【练习2】．如图，（1）若AE：AB= AF：AC ，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E= ∠B ，则△ABC∽△AEF．【解答】解：（1）若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．故答案为：AF：AC，∠B．图③双8字型，结论：AE DF BE CF，【例4】如图，AB//CD,点E为AB上一点，点F为CD上一点，求证：AEBE =DFCF【例5】．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误；②∵AB∥CD，∴∠E=∠F，又∵∠EOA=∠FOC，AO=CO∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，故②正确；③∵AD∥BC，∴△EAM∽△EBN，故③正确；④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等，故△EAO和△CNO不全等，故④错误，即②③正确．故选：B．20．如图，在△ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）．过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN．（1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；（2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，则△ABC还应满足什么条件？请说明理由；（3）若BC=10，AD=6，则当点E在何处时，四边形PMNQ的面积与△APQ的面积相等？【解答】解：（1）四边形PMNQ是平行四边形．∵PQ∥MN，∴∠EPQ=∠ENM；∠EQP=∠EMN，∴△PEQ∽△NEM，∵ED⊥MN，EF⊥PQ，∴=，∵F、D关于点E对称，∴EF=ED，∴PQ=MN，∵PQ∥MN，∴四边形PMNQ是平行四边形；（2）满足条件：AB=AC，∵PQ∥BC，∴∠APQ=∠B，∠AQP=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ，∵AF⊥PQ，∴AF平分PQ，∴EP=EQ，∵四边形PMNQ是平行四边形，∴PE=EN，ME=EQ，∴PE=EQ=EM=EN，∴MQ=PN，∴当AB=AC时，PMNQ是矩形；（3）设ED=x，∵S PMNQ=S△APQ，∴PQ×2x=PQ×（6﹣2x），∴x=1，∴当ED=1时，四边形PMNQ与△APQ面积相等．21．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AM：DM=2：3，△ONC的面积为2cm2，求△AEM的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠E=∠F，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）解：∵AB∥CD，∴△AEM∽△DFM，∴EM：FM=AM：DM=2：3，∵△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵AD∥BC，∴∠AMO=∠CNO，在△AOM和△CON中，∵，∴△AOM≌△CON（AAS），∴OM=ON，即EM=FN，设EM=2x，FM=3x，则FN=2x，OM=ON=MN=（FM﹣FN）=x，∴EM：OM=2x：x=4，∵S△ONC=2cm2，∴S△OAM=2cm2，∴S△AEM=4S△ONC=4×2=8（cm2）．22．如图，ABCD为四边形，两组对边延长后得交点E、F，对角线BD∥EF，AC的延长线交EF于G．求证：EG=GF．【解答】证明：如图，过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N．由BD∥EF，可知MN∥BD．易知S△BEF=S△DEF．又，则S△BMC=S△DCN．则MC=NC．又==，∴EG=GF．图④A8字型，结论：111 AB CD EF +=【例6】．如图，在▱ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似的三角形有 5 对．【解答】解：图中相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA 共5对，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠D=∠ABC，∴△ABC≌△CDA，∴△ABC∽△CDA，∵GE∥BC，∴△AGE∽△ABC∞△CDA，∵GE∥BC，AD∥BC，∴GE∥AD，∴△BGE∽△BAF，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE．故答案是：5．故选：C．【练习3】．如图，AB∥DC，AC与BD 交于点E，EF∥DC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵EF∥DC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC，∴△CEF∽△CAB，∴，即，∴，解得，AE=20，∵AB∥DC，∴△DCE∽△BAE，∴，即，故选：B．【练习4】．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG=EF．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）连接AE，又知AC⊥ED，求证：AE2=EF•ED．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∵FG∥AD，∴△CFG∽△CAD，∴=．同理：=，∴=．∵FG=EF，∴AD=AB，∴四边形ABED是菱形．（2）连接BD ，与AE 交于点H ，如图所示． ∵四边形ABED 是菱形， ∴EH=AE ，BD ⊥AE ，∴∠DHE=90°．同理：∠AFE=90°，∴∠DHE=∠AFE ．又∵∠AED 是公共角，∴△DHE ∽△AFE ，∴， ∴=EF•ED．图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△【例7】．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线相交于O 点，EF 过O 点，且EF ∥AD ，则图中一共有 5 对相似三角形．【解答】解：∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADO=∠CBO ，∠DAO=∠BCO ，∴△ADO ∽△CBO ，∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥AD ∥BC ，∴△AEO ∽△ABC ，△DFO ∽△DCB ，△BEO ∽△BAD ，△CFO ∽△CDA ，∴共有5对相似三角形．故答案为：5．【练习1】．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=a ，BC=b ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为 ．【解答】解：∵AD ∥BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴==，==，∴==， ∴PQ ∥AD ，∴==，∴PQ=．故答案为：．【练习2】．已知P为△ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：+=1．【解答】证明：过点A作QL∥BC，分别交CE、BD的延长线于点Q、L．∵MN为△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴QL∥MN∥BC，又∵AM=BM，∴PQ=PC，PL=PB．在△PQL与△PCB中，，∴△PQL≌△PCB（SAS），∴QL=BC．∵AL∥BC，∴△ADL∽△CDB，∴，同理可证，∴，而AL+AQ=QL=BC，∴+=1．。

A 型、X 型相似模型资料编号:202208091432关键词 平行相似 相似三角形的判定定理1平行相似平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定定理1两角分别相等的两个三角形相似.A 型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE ∽△ABC .21∠=∠图 1图 2图1所示情形为A 型平行相似,图2所示情形为A 型非平行相似,统称为A 型相似. 模型证明A 型平行相似模型的证明（如图1）: 证明一: ∵ A A ∠=∠∠=∠,21 ∴△ADE ∽△ABC . 证明二: ∵ 21∠=∠ ∴ BC DE // ∴△ADE ∽△ABC .A 型非平行相似模型的证明（如图2）: 证明: ∵A A ∠=∠∠=∠,21∴△ADE∽△ABC.模型说明（1）对于A型平行相似,我们可以直接由平行的条件得到两个三角形相似的结论;（2）必要时我们可以作平行线来构造A型平行相似模型;（3）面对比较复杂的几何图形,从中找到A型平行相似模型往往是解决问题的关键.X型相似模型介绍如图1、图2所示,已知,则有△ADE∽△ABC.DB∠=∠图 1图 2E图1所示情形为X型平行相似,图2所示情形为X型非平行相似,统称为X 型相似.模型证明X型平行相似模型的证明（如图1）:证明一:∵,BD∠=∠12∠=∠∴△ADE∽△ABC.证明二:∵DB∠=∠∴BCDE//∴△ADE∽△ABC.X型非平行相似模型的证明（如图2）:证明: ∵,BD∠=∠12∠=∠∴△ADE∽△ABC.（1）对于A型、X型平行相似,我们可以直接由平行的条件得到两个三角形相似的结论;（2）必要时我们可以作平行线来构造A型或X型平行相似模型;（3）面对比较复杂的几何图形,从中找到A型或X型平行相似模型往往是解决问题的关键.模型举例例1.如图,AD是△ABC的角平分线,延长AD到点E,使.CE=AC（1）求证: △ABD∽△ECD;=BDAC=AB（2）若,求BC的长.,2=1,4分析:（1）由条件可知,图中存在X型平行相似.在证明AB//CE后,可以直接说明△ABD∽△ECD;（2）先利用相似三角形的性质求出边CD的长,再求出BC的长.（1）证明:∵AD平分BAC∠∠=1∠∴2∵ACCE==∠2∠∴E=∠1∠∴E∴CEAB//∴△ABD∽△ECD;（2）解: ∵ACCE=由（1）可知:△ABD ∽△ECD∴CD BDEC AB =∴ CD142=∴2=CD ∴.321=+=+=CD BD BC 例2.如图所示,在△ABC 中,D 为边AC 上一点,P 为边AB 上一点,,当AP 的长度为__________时,△ADP 与△ABC 相似.3,4,6===AD ACAB分析:本题为易错题,学生多为考虑问题不全面导致出错:只考虑了A 型平行相似的情形,而忽视了A 型非平行相似. 解: 分为两种情况:①如图所示,当时,△APD ∽△ABC .BC DP //∴436,==AP AC AD AB AP ∴;29=AP ②如图所示,当时,△APD ∽△ACB .C APD ∠=∠∴634,==AP AB AD AC AP ∴.2=AP 综上所述,当AP 的长度为或2时,29△ADP 与△ABC 相似.例3. 如图所示,已知O 是△ABC 中BC 边的中点,且,求的值. 32=AD AB DEDO分析:不难想到,本题问题的解决要么用到平行线分线段成比例定理及其推论,要么用到相似三角形的知识,且都需要平行线的条件.结合题目条件可知,我们需要添加辅助线——平行线. 解: 作,交DE 于点F . AC BF //∴,△BDF ∽△ADE . C ∠=∠1∵点O 是BC 的中点 ∴CO BO =在△BOF 和△COE 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠COE BOF CO BO C1∴△BOF ≌△COE （ASA ） ∴OE OF =∵32=AD AB ∴31=AD BD ∵△BDF ∽△ADE∴31==AD BD DE DF ∴21=EF DF ∴ OE OF DF ==∴. 32=DE DO 点评 本题通过添加平行线的辅助线,即构造了一对全等三角形,又构造了A 型平行相似模型,难度较高.例4. 如图,在△ABC 中,,高,矩形EFPQ 的一边QP 在10,45=︒=∠BC C 8=AD BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . （1）求证:; BCEFAD AH =（2）设,当为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;x EF =x （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动）,设运动的时间为秒,矩形EFPQ 与△t ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与的函数关系式.t 图图17图（1）证明:∵四边形EFPQ 是矩形 ∴ PQ EF //∴ BC EF //∴△AEF ∽△ABC . ∵ BC AD ⊥∴ EF AH ⊥∴; BCEFAD AH =（上面的结论是解决此类问题的重要一步,上面的书写为此类问题的规范书写） （2）由（1）可得: 108xAH =∴ x AH 54=∴ x AH AD DH EQ 548-=-==∴x x x x EQ EF S EFPQ 8545482+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=矩形配方得:=EFPQ S 矩形()205542+--x ∴当时,矩形EFPQ 的面积最大,其最大值为20;5=x （3）当矩形EFPQ 的面积最大时,由（2）可知: 4,5===PF EQ EF ∵︒=∠45C ∴△PCF 是等腰直角三角形 ∴ 4==PC PF ∴ 9=+=PC PQ QC 分为三种情况:①如图1,当≤＜4时,设EF 、PF 分别交AC 于点M 、N ,则△FMN 是等腰直角0t 三角形图 1∴t FN MF ==22120t S S S FMN EFPQ -=-=∆矩形∴;20212+-=t S ②当4≤＜5时,如图2所示,t 图2t QC t ME -=-=9,5∴; ()()[]28449521+-=⨯-+-=t t t S ③当5≤＜9时,如图3所示,设EQ 交AC 于点K ,则. t t QC QK -==9∴ ()()22921921-=-=t t S 图 3综上所述, S 与的函数关系式为:t()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+-<≤+-=959215428440202122t t t t t t S 说明:在第（3）问题中,矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分与运动时间有关,运动时间不同,重叠部分的形状也不相同,因此要对时间进行分类讨论,根据不同时间段求面积S .注意:当时,如图4所示;当时,如图5所示;当时,面积S =0,故在这里不4=t 5=t 9=t 再给出图形.图 4)图 5。

相似三角形的判定方法五种
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。

相似三角形介绍
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

连接BE并延长BE交CD的延长线于点F，交AC于点G.
(1)若FD=2，
ED BC
1 3
，求线段DC的长.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)求证:
EF BF
GE GB
.
(2)求证 EF GB BF GE .
AD AE ED AC AB BC
模型二：相交线型
例3 如图，要判断△ADE与△ACB相似，添加一个条件，不正
确的是：（C )
A. ∠ADE=∠C C. AE DE
AB CB
B. ∠AED=∠B D. AE AD
AB AC
模型二：相交线型
例4 如图，EC和BD相交于点A，且∠D=∠C, 则△EDA∽ △ BCA ; AD: AC = AE :AB
△BDC∽△CDA △BDC∽△BCA △CDA∽△BCA
练习4 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为
AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角（∠A、∠B）
向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，AD=3,BC=5，
则EF的长为
.
练习5. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△EDF∽△CBF ∴DF:BF＝DE:BC 又∵ DE:BC＝ DE:AD= 2:5 ∴DF:BF＝2:5 而BF＝15 cm
∴DF＝6 cm
A B
ED F
C
模型二：相交线型
△AED∽△ACB AE AD ED AC AB CB
△AED∽△ABC
例4 如图，△ABC中，∠A=∠DBC，BC=3 ,CD=2,
9
则AC= 2 .

相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。

而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型(旋转模型)。

手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

1)手拉手相似模型(任意三角形)条件:如图，∠BAC =∠DAE =α，AD AB =AE AC=k ；结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；EC BD =k .2)手拉手相似模型(直角三角形)条件:如图，∠AOB =∠COD =90°，OC OA =OD OB =k (即△COD ∽△AOB )；结论：△AOC ∽△BOD ；BD AC =k ，AC ⊥BD ，S ABCD =12AB ×CD .3)手拉手相似模型(等边三角形与等腰直角三角形)条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点；结论：△BME ∽△CMF ；BE CF =3.条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形；结论：△ABD ∽△ACE .1(2023秋·福建泉州·九年级校考期末)问题背景：(1)如图①，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用：(2)如图②，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE =60°，AC 与DE相交于点F ，点D 在BC 边上，DF CF=233，求AD BD 的值；拓展创新：(3)如图③，D 是△ABC 内一点，∠BAD =∠CBD =30°，∠BDC =90°，AB =4，AC =23，求AD 的长．【答案】(1)见解析；(2)AD BD =2；(3)AD =5【分析】问题背景(1)由题意得出AB AD =AC AE ，∠BAC =∠DAE ，则∠BAD =∠CAE ，可证得结论；尝试应用(2)连接EC ，证明△ABC ∽△ADE ，由(1)知△ABD ∽△ACE ，由相似三角形的性质得出AE AD =EC BD =3，∠ACE =∠ABD =∠ADE ，可证明△ADF ∽△ECF ，得出DF CF =AD CE=233，则可求出答案．拓展创新(3)过点A 作AB 的垂线，过点D 作AD 的垂线，两垂线交于点M ，连接BM ，证明△BDC ∽△MDA ，由相似三角形的性质得出BD MD =DC DA ，证明△BDM ∽△CDA ，得出BM CA =DM AD=3，求出BM =6，由勾股定理求出AM ，最后由直角三角形的性质可求出AD 的长．【详解】问题背景(1)证明：∵△ABC ∽△ADE ，∴AB AD =AC AE ，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，AB AC =AD AE，∴△ABD ∽△ACE ；尝试应用(2)解：如图，连接EC ，∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC∽△ADE，AE=3AD由(1)知△ABD∽△ACE，∴AEAD=ECBD=3，∠ACE=∠ABD=∠ADE=60°，∴AEEC=ADBD，∵∠AFD=∠AEFC∴△ADF∽△ECF∴DFCF =ADCE∵DF CF =233∴DFCF=ADCE=233∴AD=233CE∴AE=3AD=2CE∴ADBD=AEEC=2，拓展创新(3)解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD=30°，∴∠DAM=60°，∴∠AMD=30°，∴∠AMD=∠DBC，又∵∠ADM=∠BDC=90°，∴△BDC∽△MDA，∴BDMD=DCDA，又∠BDC=∠ADM，∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，即∠BDM=∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA=DMAD=3，∵AC=23，∴BM=23×3=6，∴AM=BM2-AB2=62-42=25，∴AD=12AM=5．【点睛】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习)【模型呈现：材料阅读】如图，点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，AE，BD 交于点F，对于上述问题，存在结论(不用证明)：(1)△BCD≌△ACE(2)△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；⋯【模型改编：问题解决】点A ，D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，ED =EC ，∠BAC =∠DEC =50°，直线AE ，BD 交于F ，如图1：点B 在直线CE 上，①求证：△BCD ∽△ACE ； ②求∠AFB 的度数． 如图2：将△ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB 的度数为；④若将“∠BAC =∠DEC =50°”改为“∠BAC =∠DEC =m °”，则∠AFB 的度数为．(直接写结论)【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形ABCD 和矩形DEFG 中，AB =2，AD =ED =23，DG =6，连接AG ，BF ，求BF AG 的值．图1 图2 图3【答案】【模型改编：问题解决】①见解析；②65°；③图见解析，115°；④90°+m °2【模型拓广：问题延伸】233【分析】【模型改编：问题解决】①先证明△ABC ∽△EDC ，可得AC EC =BC DC，再证明∠ACE =∠BCD ，可得△BCD ∽△ACE ；②由△BCD ∽△ACE ，可得∠DBC =∠EAC ，再结合三角形的外角可得答案；③连接EA 并延长交BD 于F ，同理可得：△BCD ∽△ACE ，∠CEF =∠BDC ，再结合三角形的外角可得答案；④先求解∠CDE =∠DCE =12180°-m ° =90°-12m °，结合③的思路可得答案；【模型拓广：问题延伸】连接BD 、DF ，先证明△ADB ∽△GDF ，可得∠ADB =∠GDF ，AD DG =BD DF ，证明∠ADG =∠BDF ，可得△BDF ∽△ADG ，可得BF AG =BD AD，从而可得答案．【详解】【模型改编：问题解决】①∵AB =AC ，ED =EC ，∠BAC =∠DEC =50°，∴∠ABC =∠ACB =180°-50° ÷2=65°，∠EDC =∠ECD =180°-50° ÷2=65°，∴△ABC ∽△EDC ，∴AC EC =BC DC，∵∠ACE =180°-∠ACB =115°，∠BCD =180°-∠DCE =115°，∴∠ACE =∠BCD ，∴△BCD ∽△ACE ；②由①知，△BCD ∽△ACE ，∴∠DBC =∠EAC ，∴∠AFB =∠DBC +∠CEA =∠EAC +∠CEA =∠ACB =65°③补图如下：连接EA 并延长交BD 于F ，图2同理可得：△BCD ∽△ACE ∴∠CEF =∠BDC ，∴∠AFB =∠BDC +∠CDE +∠DEF =∠CEF +∠CDE +∠DEF =∠CED +∠CDE =50°+65°=115°，④∵∠BAC =∠DEC =m °，CE =DE ，∴∠CDE =∠DCE =12180°-m ° =90°-12m °，同理③可得∠AFB =∠CED +∠CDE =m °+90°-12m °=90°+m °2，故答案为：90°+m °2；【模型拓广：问题延伸】连接BD 、DF ，图3∵在矩形ABCD 和矩形DEFG 中，AB =2，AD =ED =FG =23，DG =6，∴AB AD =GF DG =33，又∵∠BAD =∠DGF =90°，∴△ADB ∽△GDF ，∴∠ADB =∠GDF ，AD DG=BD DF ，∵∠ADG =∠GDF +∠ADF ，∠BDF =∠ADB +∠ADF ，∴∠ADG =∠BDF ，∴△BDF ∽△ADG ，∴BF AG =BD AD，∵AD =23，AB =2，∴BD =AB 2+AD 2=4，∴BF AG =BD AD =423=233．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．3(2023春·湖北黄冈·九年级专题练习)【问题呈现】△CAB 和△CDE 都是直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°,CB =mCA ,CE =mCD ，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当m =1时，直接写出AD ，BE 的位置关系：；(2)如图2，当m ≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m =3,AB =47,DE =4时，将△CDE 绕点C 旋转，使A ,D ,E 三点恰好在同一直线上，求BE 的长．【答案】(1)BE ⊥AD (2)成立；理由见解析(3)BE =63或43【分析】(1)根据m =1，得出AC =BC ，DC =EC ，证明△DCA ≌△ECB ，得出∠DAC =∠CBE ，根据∠GAB +∠ABG =∠DAC +∠CAB +∠ABG ，求出∠GAB +∠ABG =90°，即可证明结论；(2)证明△DCA ∽△ECB ，得出∠DAC =∠CBE ，根据∠GAB +∠ABG =∠DAC +∠CAB +∠ABG ，求出∠GAB +∠ABG =90°，即可证明结论；(3)分两种情况，当点E 在线段AD 上时，当点D 在线段AE 上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．【详解】(1)解：∵m =1，∴AC =BC ，DC =EC ，∵∠DCE =∠ACB =90°，∴∠DCA +∠ACE =∠ACE +∠ECB =90°，∴∠DCA =∠ECB ，∴△DCA ≌△ECB ，∴∠DAC =∠CBE ，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG=∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴BE⊥AD；故答案为：BE⊥AD．(2)解：成立；理由如下：∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵DC CE =ACBC=1m，∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC=∠CBE，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG =∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴BE⊥AD；(3)解：当点E在线段AD上时，连接BE，如图所示：设AE=x，则AD=AE+DE=x+4，根据解析(2)可知，△DCA∽△ECB，∴BE AD =BCAC=m=3，∴BE=3AD=3x+4=3x+43，根据解析(2)可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，即x2+3x+432=472，解得：x=2或x=-8(舍去)，∴此时BE=3x+43=63；当点D在线段AE上时，连接BE，如图所示：设AD=y，则AE=AD+DE=y+4，根据解析(2)可知，△DCA∽△ECB，∴BE AD =BCAC=m=3，∴BE=3AD=3y，根据解析(2)可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE 2+BE 2=AB 2，即y +4 2+3y 2=47 2，解得：y =4或y =-6(舍去)，∴此时BE =3y =43；综上分析可知，BE =63或43．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．4(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习)如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α．点D 是△ABC 所在平面内不与点A 、C 重合的任意一点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AD 、BE ．(1)如图1，当α=60°时，求证：BE =AD ．(2)当α=120°时，请判断线段BE 与AD 之间的数量关系是，并仅就图2的情形说明理由．(3)当α=90°时，且BE ⊥AB 时，若AB =8，BE =2，点E 在BC 上方，求CD 的长．【答案】(1)见解析，(2)BE =3AD ，理由见解析(3)82【分析】(1)先证明△ABC 和△DCE 是等边三角形，再证明△ADC ≌△BEC ，可推出BE =AD ；(2)过A 作AH ⊥BC 与H ，先根据含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理可求出BC =3AC ，同理求出CE =3CD ，可得出BC EC =3AC 3DC=AC DC ，证明∠DCA =∠BCE ，然后证明△EBC ∽△DAC 即可求解；(3)过E 作EF ⊥BC 于F ，可判断△BEF 是等腰直角三角形，然后可求出EF ，BF ，CF 的长度，由(2)同理可证出△EBC ∽△DAC ，最后根据相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)解：∵旋转，∴CD =ED ，当α=60°时，又AB =AC ，∴△ABC 和△DCE 是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠DCE =∠ACB =60°，∴∠ACD =∠BCE ，∴△ADC ≌△BEC ，∴AD =BE ；(2)解：BE =3AD 过A 作AH ⊥BC 与H ，∵AB =AC ，∠BAC =α=120°，∴∠ACB =30°，CH =12BC ，∴AC =2AH ，又由勾股定理得AH 2+CH 2=AC 2，∴CH =32AC ，∴BC =3AC ，同理CE =3CD ，∵DC =EC ，∠CDE =α=120°，∴∠DCE =30°=∠ACB ，∴∠DCA =∠BCE ，∵BC =3AC ，CE =3CD ，∴BC EC =3AC 3DC =AC DC ，∴△EBC ∽△DAC ，∴BE AD =BC AC =3，即BE =3AD (3)解：如图，过E 作EF ⊥BC 于F ，当α=90°时，∵AC =AB =8，∴∠ACB =45°，BC =AB 2+AC 2=2AC =82，∵BE ⊥AB ，∴∠EBF =45°=∠BEF ，∴BF =EF ，∵BE =EF 2+BF 2=2EF =2，∴EF =BF =2，∴CF =BF +BC =92，∴CE =EF 2+CF 2=241，由(2)同理可证△EBC ∽△DAC ，∴EC DC =BC AC=2，即241DC =2，∴DC =82．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键在于正确寻找全等三角形或相似三角形．5(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =30°，连接BE ，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．【答案】(1)BE=CF，30(2)BE=CF，∠BDC=60°，证明见解析(3)BF=CF+2AM(4)7+74或7-74【分析】(1)根据已知得出∠BAE=∠CAF，即可证明△BAE≌△CAF，得出BE=CF，∠ABE=∠ACF，进而根据三角形的外角的性质即可求解；(2)同(1)的方法即可得证；(3)同(1)的方法证明△BAE≌△CAF SAS，根据等腰直角三角形的性质得出AM=12EF=EM=MF，即可得出结论；(4)根据题意画出图形，连接BD，以BD为直径,BD的中点为圆心作圆，以D点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P,P1，延长BP至M，使得PM=DP=1，证明△ADP∽△BDM，得出PA=22BM，勾股定理求得PB，进而求得BM，根据相似三角形的性质即可得出PA=221+7=2+142，勾股定理求得BQ,PQ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠EAF=30°，∴∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，AE=AF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF，∠ABE=∠ACF设AC,BD交于点O，∵∠AOD=∠ACF+∠BDC=∠ABE+∠BAO∴∠BDC=∠BAO=∠BAC=30°，故答案为：BE= CF，30．(2)结论：BE=CF，∠BDC=60°；证明：∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，AE=AF，∴△BAE≌△CAF∴BE=CF，∠AEB=∠AFC∵∠EAF=120°，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=30°，∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-∠AFC-30°=60°，(3)BF=CF+2AM，理由如下，∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形∴AB=AC,AE=AF，∴△BAE≌△CAF SAS，∴BE= CF，在Rt △AEF 中，AM ⊥BF ，∴AM =12EF =EM =MF ，∴BF =BE +EF =CF +2AM ；(4)解：如图所示，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P ,P 1，延长BP 至M ，使得PM =DP =1，则△MDP 是等腰直角三角形，∠MDP =45°∵∠CDB =45°,∴∠MDB =∠MDP +∠PDC +∠CDB =90°+∠PDC =∠ADP ，∵AD DB =12,DP DM =12，∴△ADP ∽△BDM ∴PA BM =12=22，∴PA =22BM ，∵AB =2，在Rt △DPB 中，PB =DB 2-DP 2=22 2-12=7，∴BM =BP +PM =7+1∴PA =221+7 =2+142过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，设QB =x ，则AQ =2-x ，在Rt △APQ 中，PQ 2=AP 2-AQ 2，在Rt △PBQ 中，PQ 2=PB 2-BQ 2∴AP 2-AQ 2=PB 2-BQ 2∴2+142 2-2-x 2=7 2-x 2解得：x =7-74，则BQ =7-74，设PQ ,BD 交于点G ，则△BQG 是等腰直角三角形，∴QG =QB =7-74在Rt △DPB ,Rt △DP 1B 中，DP =DP 1DB =DB ∴Rt △DPB ≌Rt △DP 1B ∴∠PDB =∠P 1DB又PD =P 1D =1，DG =DG ∴△PGD ≌△P 1DG ∴∠PGD =∠P 1GD =45°∴∠PGP 1=90°，∴P 1G ∥AB ∴S △ABP 1=12AB ×QG =12×2×7-74=7-74，在Rt △PQB 中，PQ =PB 2-BQ 2=7 2-7-74 2=7+74∴S△ABP =12AB ×PQ =12×2×7+74=7+74，综上所述，S△ABP=7+74或7-74故答案为：7+74或7-74．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．6(2023·山东济南·九年级统考期中)问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放(点B、C、E在同一条直线上)，其中∠ECF=90°．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究(1)如图2，将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE．请直接写出BF与DE的关系；(2)如图3，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE=CF，∠BCD=∠FCE，其他条件不变，求证：BF=DE；深入探究：(3)如图4，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF=90°且CECF =CDBC=34，其它条件不变．①探索线段BF与DE的关系，说明理由；②连接DF，BE若CE=6，AB=12，直接写出DF2+BE2=．【答案】(1)BF=DE，BF⊥DE；(2)见解析；(3)①DEBF=34，DE⊥BF，见解析；②500【分析】(1)由正方形的性质，等腰直角三角形的性质，得到BC=CD，CE=CF，证明△BCF≌DCE，得到BF=DE，∠CBF=∠CDE，结合对顶角相等，即可得到BF⊥DE；(2)由菱形的性质，旋转的性质，先证明ΔBCF≌ΔDCE，即可得到结论成立；(3)①由矩形的性质，直角三角形的性质，先证明ΔBCF∽ΔDCE，得到BF与DE的数量关系，再由余角的性质证明位置关系即可；②连接BD，先求出矩形的边长，直角三角形的边长，与(1)同理先证明BF⊥DE，然后利用勾股定理，等量代换，即可得到DF2+BE2=500．【详解】解：(1)如图：∵正方形ABCD和等腰Rt△CEF中，∴BC=CD，CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，∴∠BCD+∠DCF=∠ECF+∠DCF，即∠BCF=∠DCE，∴△BCF≌DCE，∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DFG=90°∴BF⊥DE．(2)证明：如图：∵∠BCD=∠FCE，∴∠BCF=∠DCE，∵四边形ABCD为菱形∴BC=CD，又∵CE=CF∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴BF=DE；(3)①∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCD=∠FCE∴∠BCF=∠DCE，又∵CECF=CDBC=34∴△BCF∽△DCE，∴DEBF=CECF=34；∴∠CBF=∠CDE，设CD与BF交于点G∵∠BGC=∠DGF∴180°-∠CBF-∠BGC=180°-∠CDE-∠DGF，∴∠DQB=∠BCD=90°∴DE⊥BF．②如图：连接BD在矩形ABCD中，CD=AB=12，∵CE=6，6CF =12BC=34，∴CF=8，BC=16，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DQG=90°，∴BF⊥DE；在直角△BCD中，有BD2=BC2+CD2=162+122=400，在直角△BDQ中，BD2=BQ2+DQ2=400；在直角△CEF中，EF2=CE2+CF2=62+82=100，在直角△EFQ中，EF2=EQ2+FQ2=100；∴BQ2+DQ2+EQ2+FQ2=400+100=500；在直角△BEQ和直角△DFQ中，由勾股定理，则∵BQ2+EQ2=BE2，DQ2+FQ2=DF2，∴DF2+BE2=BQ2+DQ2+EQ2+FQ2=500；故答案为：500．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，找到证明三角形相似和三角形全等的条件进行解题．7(2023春·广东·九年级专题练习)已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF．(1)如图1，当∠BAC=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是；(2)如图2，当∠BAC =90°且AB≠AC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图3，延长AO到点D，使OD=OA，连接DE，当AO=CF=5，BC=6时，求DE的长．【答案】(1)AE=CF；(2)成立，证明见解析；(3)511 3【分析】(1)结论AE=CF．证明ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，可得结论．(2)结论成立．证明方法类似(1)．(3)首先证明∠AED=90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE即可．【详解】解：(1)结论：AE=CF．理由：如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，AO⊥BC，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．(2)结论成立．理由：如图2中，∵∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，∵∠AOC=∠EOF，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．(3)如图3中，由旋转的性质可知OE =OA ，∵OA =OD ，∴OE =OA =OD =5，∴∠AED =90°，∵OA =OE ，OC =OF ，∠AOE =∠COF ，∴OA OC =OE OF ，∴ΔAOE ∽ΔCOF ，∴AE CF =OA OC，∵CF =OA =5，∴AE 5=53，∴AE =253，∴DE =AD 2-AE 2=102-253 2=5113．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．课后专项训练1(2023秋·北京顺义·九年级校考期中)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°．连接BD ，CE ．则BD CE的值为()A.12B.22C.2D.2【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质可推出∠DAE =∠BAC =45°，AE =2AD ，AC =2AB ，从而可得出∠EAC =∠DAB ，AE AD =AC AB=2，证明△DAB ∽△EAC 即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴∠DAE =∠BAC =45°，AE =2AD ，AC =2AB ，∴∠EAC =∠DAB ，AE AD =AC AB =2，∴△DAB ∽△EAC ，∴BD CE =AD AE=22．故选B ．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解题关键．2(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB ，AC 为边分别向外作正方形ABFG 和正方形ACDE ，CG 交AB 于点M ，BD 交AC 于点N ．若GM CM =12，则CG BD=() A.12 B.34 C.255 D.13013【答案】D【分析】设AG =a =AB ，BC =2a ，由“AAS ”可证△ABC ≌△CHD ，可得AB =CH =a ，DH =BC =2a ，利用勾股定理分别求出CG ，BD 的长，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DP ⊥BC ，交AC 的延长线于点P，交BC 的延长线于点H ，∵AG ∥BF ，∴△AGM ∽△BCM ，∴AG BC =GM CM=12，∴设AG =a =AB ，BC =2a ，∴CG =GF 2+FC 2=a 2+(3a )2=10a ，∵DH ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴∠DHC =∠ABC =∠ACD =90°，AB ∥DH ，∴∠DCH +∠ACB =90°=∠ACB +∠BAC ，∴∠DCH =∠BAC ，在△ABC 和△CHD 中，∠ABC =∠DHC ∠BAC =∠DCH AC =CD，∴△ABC ≌△CHD (AAS )，∴AB =CH =a ，DH =BC =2a ，∴BD =BH 2+DH 2=(3a )2+(2a )2=13a ，∴CG BD =10a 13a =13013．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．3(2023春·浙江丽水·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过点D 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =22，CD =32，则EO ⋅FO 的值为( )．A.63B.4C.56D.6【答案】B【分析】由题意易得出∠DEC=∠DFC=90°，即说明点C，E，D，F四点共圆，得出∠DEO=∠FCO，从而易证△DOE∽△FOC，得出EOCO=DOFO．由题意可求出DO=CD-CO=2，即可求出EO⋅FO=CO⋅DO=4．【详解】解：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，∴点C，E，D，F四点共圆，∴∠DEF=∠FCD，即∠DEO=∠FCO．又∵∠DOE=∠FOC，∴△DOE∽△FOC，∴EOCO=DOFO，∴EO⋅FO=CO⋅DO．∵CO=22，CD=32，∴DO=CD-CO=2，∴EO⋅FO=CO⋅DO=22×2=4．故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C，E，D，F四点共圆，从而可得出证明△DOE∽△FOC的条件是解题关键．4(2022·广西梧州·统考一模)如图，在△ABC中，∠C=45°，将△ABC绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点C′落在CA的延长线上，得到△A′BC′，连接AA′，交BC′于点O．下列结论：①∠AC′A′= 90°；②AA′=BC′；③∠A′BC′=∠A′AC′；④△A′OC′∽△BOA．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出∠AC A =90°，即可判断①的正确性；通过点A 、B、A、C 四点共圆可以判断出②③④的正确性．【详解】解：由题意可得：BC=BC ，∠C=∠A C B∵∠C=45°∴∠BC A=45°∵∠AC A =∠A C B+∠BC A∴∠AC A =90°，故①正确；∵∠BC A=∠C=45°∴∠C BC=90°∵∠ABC=∠A BC ∴∠A BA=90°∴∠A BA+∠AC A =180°，∠C AB+∠C A B=180°∴点A 、B、A、C 四点共圆∵∠AC A =90°，∠BAC ≠90°∴A A是直径，BC 不是直径∴A A≠BC ，故②错误；∵点A 、B、A、C 四点共圆∴∠A BC =∠A AC ，故③正确；∵点A 、B、A、C 四点共圆∴∠AA C =∠ABC ，∠A C B=∠A AB∴△A OC ∽△BOA，故④正确；∴正确结论的个数是3个故选C．【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．5(2023·广东深圳·校联考模拟预测)如图，已知▱ABCD ，AB =3，AD =8，将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为．【答案】558【分析】先利用平行四边形的性质得到CD =AB =3，BC =AD =8，∠D =∠ABC ，再根据旋转的性质得到∠DAG =∠BAE ，AE =AB =3，EF =BC =8，∠E =∠ABC ，接着证明△ADC ∽△AEH ，然后利用相似比求出EH ，从而得到FH 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD =AB =3，BC =AD =8，∠D =∠ABC ，∵将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，∴∠DAG =∠BAE ，AE =AB =3，EF =BC =8，∠E =∠ABC ，∴∠E =∠D ，∵∠DAC =∠HAE ，∴△ADC ∽△AEH ，∴AD AE =DC EH ，∴83=3EH ，∴EH =98，∴FH =EF -EH =8-98=558，故答案为：558．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转、三角形相似的判定利用三角形相似比求线段的长，根据旋转的性质得到∠DAG =∠BAE ，然后根据两组对应角分别相等的两三角形相似得出AD AE=DC EH 是本题的关键．6(2022·安徽·模拟预测)如图，将边长为3的菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转到菱形AB C D 的位置，使点B 落在BC 上，B C 与CD 交于点E ．若BB =1，则CE 的长为．【答案】34/0.75【分析】延长D D 交BC 的延长线于点M ，过点C 作CN ∥DM 交B C 于点N ，根据菱形的性质和旋转的性质证明△ABB ≌△ADD ≌△DCM ≌B C M ，求得C D =B C =2，CM =C M =1，再根据CN ∥DM ，得CN MC =B C B M ，CN DC=CE DE ，代入即可求解．【详解】解：如图，延长D D 交BC 的延长线于点M ，过点C 作CN ∥DN 交B C 于点N ，∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD=3，∠B=∠ADC=∠D ，AB∥CD∴∠DCM=∠B由旋转的性质得：AB =AB=3，AD =AD=3，∠BAB =∠DAD =∠MB C ，B C =D C =3，∠ADC=∠D ，∴△ABB ≌△ADD ∴DD =BB =1∴DC =D C -DD =2∵∠CDM+∠ADC=∠DAD +∠D ∴∠BAB =∠DAD =∠CDM∴△ABB ≌△DCM≌B C M，∴DM=AB =3，∠M=∠AB B∴C M=CM=3-2=1∵CN∥DM∴△B CN∽△B MC ∴CNMC =B CB M∵B C=BC-BB =2∴CN1=23∴CN=23∵CN∥DM∴△CNE∽△DC E∴CNDC =CEDE∴232=CE3-CE∴CE=34故答案为：34【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．7(2021·湖南益阳·统考中考真题)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°,tan∠ABC=32，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB C ，连接BB ，CC ，则△CAC 与△BAB 的面积之比等于．【答案】9:4【分析】先根据正切三角函数的定义可得ACAB=32，再根据旋转的性质可得AB=AB,AC=AC ,∠BAB=∠CAC =α，从而可得ACAC =ABAB=1，然后根据相似三角形的判定可得△CAC ∼△BAB ，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°,tan∠ABC=32，∴ACAB=32，由旋转的性质得：AB=AB ,AC=AC ,∠BAB =∠CAC =α，∴ACAC=ABAB=1，在△CAC 和△BAB 中，ACAC=ABAB∠CAC =∠BAB，∴△CAC ∼△BAB ，∴S△CACS△BAB=ACAB2=94，即△CAC 与△BAB 的面积之比等于9:4，故答案为：9:4．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．8(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°．(1)求证：△ACD∽△BCE；(2)若AC=3，AE=8，求AD．【答案】(1)见详解(2)AD=103 3【分析】(1)根据30°的正切值得ACBC=DCEC，即可证明相似．(2)先证明∠BAE=90°，进而求出BE=10，再根据△ACD∽△BCE得出ADBE=ACBC=DCEC=33，即可求出AD=33BE=1033．【详解】(1)∵∠ACB=∠DCE=90°∴∠ACD=∠BCE∵∠ABC=∠CED=∠CAE=30°∴tan∠ABC=ACBC =33，tan∠CED=DCEC=33∴AC BC =DCEC∴△ACD∽△BCE(2)∵由(1)，△ACD∽△BCE∴ADBE =ACBC=DCEC=33∵∠ABC=∠CED=∠CAE=30°∴∠BAC=60°∴∠BAE=90°∵AC=3，∠ABC=30°∴AB=2AC=6∵AE=8∴BE=10∴AD=33BE=1033【点睛】本题考查相似三角形的判定、特殊角三角函数值及勾股定理，根据特殊角得出对应线段成比例是解题关键．9(2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．求证：(1)△BAE∽△CAD；(2)MP⋅MD=MA⋅ME．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得AC=2AB，AD=2AE，∠BAE=∠CAD=135°，即可证△BAE∽△CAD；(2)由△BAE∽△CAD可得∠BEA=∠CDA，即可证△PME∽△AMD，可得MP⋅MD=MA⋅ME．【详解】(1)证明：∵等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，∴AB =BC ，AE =DE ，∠BAC =∠DAE =45°，∴AC =2AB ，AD =2AE ，∠BAE =∠CAD =135°，∴AC AB =AD AE=2，∴△BAE ∽△CAD ，(2)∵△BAE ∽△CAD ，∴∠BEA =∠CDA ，且∠PME =∠AMD ，∴△PME ∽△AMD ，∴ME MD =MP AM，∴MP ⋅MD =MA ⋅ME ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理的应用，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．10(2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)问题背景：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，将△CAE 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBF ，AD 的延长线交BF 于点P ．问题探究：(1)当点P 在线段BF 上时，证明EP +FP =2BP ．①先将问题特殊化，如图2，当CE ⊥AD 时，证明：EP +FP =2BP ；②再探究一般情形，如图1，当CE 不垂直AD 时，证明：EP +FP =2BP ；拓展探究：(2)如图3，若AD 的延长线交BF 的延长线于点P 时，直接写出一个等式，表示EP ，FP ，BP 之间的数量关系．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)EP -FP =2PB【分析】①结论：PE +PF =2PB ．根据旋转的性质△ACE ≌△BCF ，再证明四边形CEPF 是正方形，可得结论．②结论不变，如图2中，过点C 作CG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥BF 交BF 的延长线于点H ．证明△CHF ≌△CGE ，可以推出FH =EG ，再利用正方形的性质解决问题即可．(2)结论：EP -FP =2PB ，证明方法类似②．【详解】(1)①证明：∵CE ⊥AD ，∴∠AEC =∠PEC =90°，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =AB ，∵将△CAE 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBF ，∴△ACE ≌△BCF ，CF =CE ，∠ECF =90°，∠BFC =∠AEC =90°，∴∠BFC =∠ECF =∠PEC =90°，∴四边形CEPF 是矩形，∵CE =CF ，∴四边形CEPF 是正方形，∴CE =EP =FP =CF ，∠EPF =90°，∴∠BPD =90°=∠CED ，∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，∴BD =CD =12BC ，在△CED 和△BPD 中，∴∠CED =∠BPD∠CDE =∠BDP CD =BD，∴△CED ≌△BPD (AAS )，∴CE =BP ，∴BP =EP =CE =FP ，∴EP +FP =2BP②结论成立，证明：过点C 作CG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥BF 交BF 的延长线于点H ．则∠CGE =∠CGD =∠CHF =90°．由旋转性质可知，△CBF≌△CAE，∴CF=CE，∠CFB=∠CEA，∠ACE=∠BCF，∵∠CFH=180°-∠CFB，∠CEG=180°-∠CEA，∴∠CFH=∠CEG，∴△CHF≌△CGE，∴∠FCH=∠ECG，CH=CG，FH=EG．∴∠FCH+∠BCF+∠DCG=∠ECG+∠ACF+∠DCG=90°．∴∠HCG=90°．∴四边形CGPH是正方形．∴CG=GP=PH，∴EP+FP=GP+PH=2CG．∵CD=BD，∠CGD=∠BPD=90°，∠CDG=∠BDP，∴△CDG≌△BDP．∴CG=BP．∴EP+FP=2PB．(2)解：EP-FP=2PB．理由：如下图所示，过C作CN∥BP交AP于点N，CM∥DP交BP的延长线于点M，则四边形CNPM是平行四边形，△BPD∽△BMC，∴CN=PM,CM=PN，BPBM =BDBC=12，∴BM=2BP，∴PM=BP，∵∠APB=90°，∴∠NPM=90°，∴四边形CNPM是矩形，∴∠M=∠CNE=∠CNP=90°，在△CFM和△CEN中，∠H=∠CNE=90°∠CFH=∠CEN CF=CE，∴△CFM≌△CEN(AAS)，∴CM=CN，FM=EN，∴四边形CNPM是正方形，∴PM=CN=PN，∴EP-FP=PN+EN-FP=PN+FM-FP=PN +PM=2PM，∴EP-FP=2BP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．11(2022·河南·九年级专题练习)规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．(1)问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为，位置关系为；(2)类比探究：如图②，将(1)中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α(90°<α<180°)，其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．【答案】(1)BM =DN ，BM ⊥DN ；(2)BM =DN 成立，BM ⊥DN 不成立，BM 与DN 相交，且夹角为60°.理由见解析；(3)BM =2DN ，BM ⊥DN .【分析】(1)根据SAS证明△ABM'≌△AND'，进而得到BM =DN ，∠ABM'=∠ADN'，再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°，即BM ⊥DN ；(2)根据旋转和菱形的性质证明ΔABM ≌ΔADN ，再推出∠BOD=∠BAD=60°，故可求解；(3)根据旋转和矩形的性质证明ΔABM ∼ΔADN ，得到BM =2DN ，再推出∠BOD=∠BAD=90°即可求解．【详解】(1)如图设AB，DN 交于点H，，∵四边形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，∴AB=AD,AM'=AD', ∠BAM =∠DAN =150°∴△ABM'≌△AND'，∴BM =DN ，∠ABM'=∠ADN'，∵∠ADN'+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM'+∠BHO+∠BOD=180°，又∠DHA=∠BHO∴∠BOD=∠BAD=90°，即BM ⊥DN 故答案为：BM =DN ，BM ⊥DN ；(2)BM =DN 成立，BM ⊥DN 不成立，BM 与DN 相交，且夹角为60°.理由：设AB，DN 交于点E，由旋转的性质可得∠BAM =∠DAN =150°.∵四边形ABCD，AM P N 都是菱形，∴AB=AD，AM =AN ，∴ΔABM ≌ΔADN ，∴BM =DN ，∠ABM =∠ADN .。

（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：（1）在 中， ， ，点 、 分别在射线 、 上（点 不与点 、点 重合），且保持 .
①若点 在线段 上（如图），且 ，求线段 的长；
②若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2） 正方形 的边长为 （如下图），点 、 分别在直线 、 上（点 不与点 、点 重合），且保持 .当 时，求出线段 的长.
(1)、当点D是边AB的中点时，求证：
(2)、当 ，求 的值
（3）、当 ，设 ,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
【练习4】]如图，在 中， ， ， ， 是 边的中点， 为 边上的一个动点，作 ， 交射线 于点 ．设 ， 的面积为 ．
（1）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积.
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP= ，DF= ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当 时，求BP的长．
4、如图，已知边长为 的等边 ，点 在边 上， ，点 是射线 上一动点，以线段 为边向右侧作等边 ，直线 交直线 于点 ，
（1）写出图中与 相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
【练习1】
在直角 中， ，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点， 交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当 时，求BE的长。
（3）、连结EF,当 和 相似时，求BE的长。
【练习2】
在直角三角形ABC中， 是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合）， 与射线BC相交于点F.
求证： ．
例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．

初中数学解题模型专题讲解 专题16 16 相似三角形相似三角形6大证明技巧大证明技巧相似三角形的判定方法总结相似三角形的判定方法总结：： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结相似三角形的模型方法总结：： “反A ”型与型与““反X ”型.“类射影”与射影模型与射影模型类射影””一线三等角”“旋转相似”与“一线三等角旋转相似”反A型与反X型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCBOF ECBA类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC= A BCD射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维比例式的证明方法方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE AD=． ABCFDE【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=°，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅技巧一技巧一：：三点定型三点定型CBAEDM【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：BF ABBE BC=．DBACF E悄悄地替换比例式中的某条线段…【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅ABCDEF【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．技巧二技巧二：：等线段代换等线段代换CBAD EF【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：2AB BE CD =⋅ABCE【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．CBADPEF【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线于F ，求证：2OB OE OF =⋅．技巧三技巧三：：等比代换等比代换OFEDC BA【例9】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=°时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．EFCABD【例10】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD⋅=⋅E CD BAP【例11】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长线于M ．求证：2HE HG MH =⋅．技巧四技巧四：：等积代换等积代换PMN D ABCA BCDE HGM【例12】 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠CFEDCBA【例13】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，D 为AC 中点，AE BD ⊥，E 为垂足，求证：CBD ECD ∠=∠．CBADE【例14】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =⋅【例15】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF 分别交AC 于M 、N .，求证：AM =CN.【例16】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .DBAEM N【例17】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P 为AB 上任意一点，PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，AF 交PE 于N ，BE 交PF 于M .，求证：PM =PN ，MN //AB .CBAP EFN M技巧五技巧五：：证等量先证等比证等量先证等比FMNEDC BA【例18】 如图，正方形BFDE 内接于△ABC ，CE 与DF 交于点N ，AF 交ED 于点M ，CE 与AF 交于点P . 求证：（1）MN //AC ；（2）EM =DN .PNM EFD ABC【例19】 （※）设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，P 在BF 上，DP //CF ，Q 在CE 上，DQ //BE ，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ，求证：13RS PQ =CBADP QSE FGR【例20】 （※）如图，梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ，过M 作MK //BD ，MN //AC ，分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ，求证：KP =QN .Q N S PRKM ODC BA【例21】 （2016年四月调考）如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，BF ⊥AD 于G ，交AC 于点M ，EG 的延长线交AB 于点H .（1）求证：AH =BH ，（2）若∠BAC =60°，求FG DG的值. HM FG E D CB A【例22】 （2016七一华源）如图：正方形ABCD 中，点E 、点F 、点G 分别在边BC 、AB 、CD 上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF ＋EG ＝AE （2）求证：CE＋CG ＝AF技巧六技巧六：：几何计算几何计算。

5
A
E
B
F
D
C
练2. 如图在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 BF：FD=_______，S △ADF : S △EBF =______
1:3
1:9
9:1
练3. 如图,在▱ABCD中，AB=4,BC=6,∠ABC, ∠BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则△EFG与△BCG面积之比是( ) A. 2:3 B. 4:9 C. 1:4 D. 1:9
6. 过∆ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E， 求证：AE：ED=2AF：FB。
C
A
B
F
D
E
G
已知：AB∥CD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于点F。求： 的值。
8字型 反8字型 （蝴蝶型） 相似三角形判定的基本模型二 （平行） （不平行）
迁移拓展 知识提升
P
（3） 当t=2秒时，连接AP、PQ,将∠APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求S△EPF.
注意运用转化的数学思想
迁移拓展 知识提升
（4）以OS为一边在∠SOC内作∠SOT,使 ∠SOT = ∠BDC,OT边交BC的延长线于点T, 若BT=4.8,求AK的长。
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。
P
Q
M3
A
B
C

初三相似三角形的基本模型相似三角形在数学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

在相似三角形的证明中，常见的基本模型是AA、辅助线构造成比例线段和面积法。

AA模型AA模型指的是两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

例如，如果三角形DEF的两个角分别等于三角形ABC的两个角，那么我们就可以得出这两个三角形相似的结论。

辅助线构造成比例线段在相似三角形的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论。

常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。

例如，对于图中的问题，我们可以通过做平行线CE∥AD 来得到证明。

这种方法利用了“A”型图的基本模型。

面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题。

常用的面积法基本模型包括“山字”型。

“田字”型和“燕尾”型等。

在题型方面，与三角形有关的相似问题是常见的。

例如，对于图中的问题，我们需要证明角ADE等于角B，可以通过使用AA模型来得出结论。

在三角形ABC中，已知AB=3，AC=4，BC=5，以BC为边在A点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．解：首先，我们需要构造双垂直辅助线，如图所示：由于△ABD为等腰直角三角形，所以AD=BD=AB=3，又由于BC=5，所以BD=5-3=2，根据勾股定理可得CD=√(BC²-BD²)=√(5²-2²)=√21．因此，线段CD的长为√21．例2：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC。

根据折叠可知XXX⊥CP。

由∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠XXX°可得∠2=∠CNM。

数学篇数苑纵横三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广应用.判定三角形相似的方法较多，但由于有些题目的图形中三角形较多，没有掌握方法的同学往往会感到无从下手.实际上，我们只要掌握了相似三角形的常见模型，就可以从复杂的图形中轻松找到相似的三角形.下面对判定三角形相似的常见模型和方法进行说明.一、由平行判断两个三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图1所示，因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC .图1是判定方法所涉及的几种基本类型，如果图中有线段平行的条件，则集中精力在图形中寻找符合“A ”型或“X ”型的基本图形来判定相似.图1例1如图2，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且DE ∥BC .若DE ＝2cm ，BC ＝3cm ，EC ＝23cm ，则AC=（）cm.A.1B.43C.53D.2解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =DEBC ，即AE AE +EC =DE BC，又∵DE ＝2cm ，BC ＝3cm ，EC ＝23cm ，∴AE AE +23=23，∴AE ＝43cm ，∴AC ＝43+23＝2cm.故选D 项.二、由三边的对应比判定三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.简单地说三边对应成比例的两个三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3所示，在△ABC和△A ′B ′C ′中，如果AB A ′B ′=BC B ′C ′=CACA ′,那么图2怎样判定三角形相似广西钦州李贤23数学篇数苑纵横似的方法与判定三角形全等的“SSS ”方法类似，只是把三边对应相等，改为三组对应边成比例即可.图3例2如图4，每个小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A.B.C.D.解：根据勾股定理，得AC ＝12+12=2,AB ＝32+12=10，又∵BC ＝2，∴△ABC 的三边之比为2∶2∶10=1∶2∶5，A 选项中，三角形三边之比为1∶2∶5，∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似，故A 选项符合题意；B 选项中，三角形三边之比为2∶5∶3，∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似，故B 项不符合题意；C 选项中，三角形三边之比为1∶5∶22，∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似，故C 项不符合题意；D 选项中，三角形三边之比为2∶5∶13,∴图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似，故D 项不符合题意，故选A 项.三、由两边和夹角判定三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简单地说，两对应边成等比例且夹角相等的两个三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果AB A ′B ′=CA CA ′,∠A =∠A ′,那么△ABC ∽△A ′B ′C ′.在利用两边及一角判定相似时，应注意这个角必须是两边的夹角，而不是其他的角.例3如图5，在4×4的正方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）∠ABC =_____,BC =_____;（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论.图5解：(1)利用正方形对角线平分一组对角的性质可得∠ABC =180°-45°=135°，由勾股定理得BC =22+22=22；（2）在△DEF 中，∠DEF =135°，分别计算△ABC 的边AB 、BC 和△DEF 的边DE 、EF ，AB =2，BC =22；EF =2，DE =2.∵AB DE =2,BC EF 2,∴AB DE =BC EF且∠ABC =∠DEF =135°，∴△ABC ∽△DEF .四、由两角对应相等判定三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相图424数学篇数苑纵横似.简单地说：两角对应相等，两个三角形相似.结合几何图形，可用数学式表达如下：如图3，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A =∠A ′,∠B =∠B ′，那么△ABC ∽△A ′B ′C ′.由两个角判定三角形形相似的方法是所有方法中最常见的方法，运用的关键是找准对应角.一般地公共角、对顶角、同角的余角（或补角）都是相等的，解题时应注意挖掘题中的隐含条件.例4如图6，已知△PMN 是等边三角形，∠APB =120°，求证：AM ∙PB =PN ∙AP.图6证明：∵△PMN 是等边三角形，∴∠PMN =∠PNM =60°,又∵∠PMA +∠PMN =∠PNB +∠PNM =180°,∴∠PMA =∠PNB =120°,∴∠A +∠1=60°,∠1+∠2=120°-60°=60°,∴∠A +∠1=∠1+∠2,∴∠A =∠2,∴△APM ∽△PBN ,∴AM PN =AP PB,∴AM ∙PB =PN ∙AP .以上四种判定三角形相似的方法，在具体应用时要弄清题目中的条件，这样才能选择适当的判定方法，正确、简便、快速地识别两个三角形相似.上期《<平面直角坐标系>巩固练习》参考答案1.B ；2.D ；3.C ；4.C ；5.D ；6.4；7.12；8.（2，3）；9.2；10.解：（1）∵点Q (-3,2)，且直线PQ 与y轴平行，点P (m +1,2m -4)，∴m +1=-3，解得m =-4，∴2m -4=-8-4=-12，∴P (-3,-12)；（2）∵点P 到x 轴，y 轴的距离相等，∴|m +1|=|2m -4|，即m +1=2m -4或m +1=4-2m ，解得m =5或m =1，∴m +1=5+1=6或m +1=1+1=2，2m -4=10-4=6或2m -4=2-4=-2，∴P (6,6)或P (2,-2)．11.解：（1）图略；（2）由图中其他点的位置可得，C (1,0)，D (-2,1)，E (-4,-2)，F (6,-2)．上期《<反比例函数>拓展精练》参考答案1.A ；2.D ；3.B ；4.C ；5.m >1；6.x <0或1≤x ≤4；7.46；8.m >n ；9.解：（1）m =1,y =-2x；（2）x <-2或0<x <1．10.解：（1）当0≤x ≤4时，设水温y (℃)与开机时间x （分）的函数关系为：y =kx +b ，依据题意，得ìíîb =20,4k +b =100,解得ìíîk =20,b =20,∴y =20x +20(0≤x ≤4)；当4<x <t 时，设水温y (℃)与开机时间x （分）的函数关系式为：y =m x，依据题意得：100=m 4，解得m =400，当y =20时，20=400x，解得：x =20，即t =20，∴y =400x(4<x <20)；（2）在y =20x +20中，令y =40得x =2，在y =400x 中，令y =40得x =10，∵10-2=8，∴第二次加热之前，水温保持不低于40℃有8分钟．25。

相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。

这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。

本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。

相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。

相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。

平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。

这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。

共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。

这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。

这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。

这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。

位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。

这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。

旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。

镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。