相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似

相似三角形的基本类型总结类型一 平行线型相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似.平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图（1）（2）所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC .EDCBA图（1）EDCBA图（2）1. 如图（3）所示,已知BC DE //,8:1:=∆DBC E ADE S S 四边形,则=ACAE【 】 （A ）91 （B ）31 （C ）81 （D ）212. 如图（4）所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若32=OC BO ,10=AD ,则=AO _________.图（3）EDCBA图（4）ODCBAFE DCBA图（5）3. 如图（5）所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .类型二 相交型如图（6）所示,由D B ∠=∠或AEACAD AB =,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（7）所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE ACAD AB =,可得△ABC ∽△ADE ; 如图（8）所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AEACAD AB =,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似.图（6）ED CBAEDC BA图（7）图（8）EDCBA4. 如图（9）所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CGDFAC AD =. （1）求证:△ADF ∽△ACG ; （2）若21=AC AD ,求FGAF的值. G FE DCBA图（9）类型三 母子型如图（10）,在Rt △ABC 中,AB CD ACB ⊥︒=∠,90,则有Rt △ACD ∽Rt △ABC ,Rt △CBD ∽Rt △ABC , Rt △ACD ∽Rt △CBD .其中,Rt △ACD ∽Rt △CBD 为姊妹型相似,Rt △ACD ∽Rt △ABC , Rt △CBD ∽Rt △ABC 为母子型相似.图（10）D CBADCBA图（11）如图（11）所示,若B ACD ∠=∠（或ACB ADC ∠=∠）,则△ACD ∽△ABC ,为母子型相似. 5. 如图（12）所示,在△ABC 中,D 为AB 上一点.已知△ADC 与△DBC 的面积比为1 : 3,且6,3==AC AD . （1）求BD 的长度; （2）求证:B ACD ∠=∠.图（12）DCBA类型四 旋转型如图（13）所示,由21,∠=∠∠=∠D B ,可以得到△ABC ∽△ADE ,我们把这种类型的相似三角形称为旋转型.图（13）21EDCBA图（14）ED CBA类型五 一线三等角型如图（14）所示,在△ABC 中,AC AB =,且B ADE ∠=∠,则△ABD ∽△DCE .像这种类型的相似三角形称为一线三等角型.6. 如图（15）所示,等边三角形ABC 的边长为6,D 是BC 边上的动点,︒=∠60EDF . （1）求证:△BDE ∽△CFD ;（2）当3,1==CF BD 时,求BE 的长.图（15）FABCE。

教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．4．相似三角形周长的比等于相似比．ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AHk S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==，【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF ∥AC，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④①B．②④①③C．③①④②D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴====，∴=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．图③双A字型【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若=，求的值．【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，∴△AEG∽△ABF．∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，∴△ADG∽△ACF．（2）∵=，∴=，∵△ADG∽△ACF，∴==．【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG 与GF 的比．【解答】解：（1）△ADG ∽△ACF ，△AGE ∽△AFB ，△ADE ∽△ACB ； （2）∵==，=，∴=，又∵∠DAE=∠CAB ， ∴△ADE ∽△ACB ， ∴∠ADG=∠C ， ∵AF 为角平分线， ∴∠DAG=∠FAE ∴△ADG ∽△ACF ， ∴==，∴=2．图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）【例5】如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．（1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH的周长；（3）是否存在一个实数a，当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，∴HG∥EF，而AD⊥BC，∴AM⊥BC，∴△AHG∽△ABC，∴=；（2）解：设HE=x，HG=2x，则=，解得x=12，∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72（cm）；（3）存在．当HE=a，则=，∴HG=﹣a+30，∴S矩形HEFG=a（﹣a+30）=﹣a2+30a，当a=﹣=时，S矩形HEFG最大，即当HE=cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大．【练习1】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在。

模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例题精讲考点一、A字相似模型【例1】．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G．若，则＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为．【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.解：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本选项不符合题目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本选项不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本选项不符合题目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本选项符合题目要求；故选：D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，＝S△ABC，∴S△ABF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∴S△AEF＝2，∵S△AEF＝6S△AEF＝6×2＝12，故选：C．∴S△ABC【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝1：2．解：如图，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于点D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，∴O点为△ABC的重心，∴OB＝2OE，＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BOD＝3，∴S△BDE∵AD＝BD，＝2S△BDE＝6，∴S△ABE∵AE＝CE，＝2S△ABE＝2×6＝12．故选C．∴S△ABC变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，＝1，则S△ABC＝24．若S△EFG解：方法一：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∴S△DMF∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，＝2S△DMF＝2，∴S△ADM∵DM为△ABG的中位线，∴＝，＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S△ABG＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S梯形DMGB＝S梯形DMGB＝6，∴S△BDE∵DE是△ABC的中位线，＝4S△BDE＝4×6＝24，∴S△ABC方法二：连接AE，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中点，∴＝，∴＝＝，＝1，∵S△EFG＝16，∴S△ACG∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，＝S△ACG＝4，∴S△AEG＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ACE＝2S△ACE＝24，故答案为：24．∴S△ABC【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；：S△EBC：S△ECD．（2）求S△ABE（1）证明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，＝4m，∴S△CDE∵＝＝，＝2m，∴S△BEC：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．∴S△ABE模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A正确；当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B正确；当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C正确；当时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D不正确；故选：D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合题意，舍去），故选：D．【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案为：．变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如图，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）解：如图中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案为：．实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正确，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正确．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正确．D、∵DE∥BC，∴＝，显然DE≠CF，故D错误．故选：D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC与△DCA的面积比为4：9．故选：C．3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四边形AECH为平行四边形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF长度最长，故选：A．4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．18解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故选：C．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．解：过D作DE⊥BC于E，则BE＝AD＝2，DE＝2，设B′C＝BC＝x，则DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（负值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故选：A．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP•AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是36．解：∵在▱ABCD中，AO＝AC，∵点E是OA的中点，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，＝4，＝（）2＝，∵S△AEF＝36，故答案为36．∴S△BCE8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案为：8．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．解：∵将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，过B作BH⊥DE于H，则DH＝AH，BD2＝DH•DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案为：．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案为：1．②如图②，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）证明：如图1，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴点K、点B、点E在同一条直线上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周长是8．②如图2，∵F是CD的中点，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中点，∴NG＝EF＝×＝，故答案为：．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．问题背景证明：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE；尝试应用解：如图1，连接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴，∴＝3．∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴＝3．拓展创新解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵AC＝2，∴BM＝2＝6，∴在Rt△ABM中，AM＝＝＝2，∴AD＝．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．解：（1）①猜想：BG ⊥DE ，BG ＝DE ；故答案为：BG ＝DE ，BG ⊥DE ；②结论成立．理由：如图2中，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°，∴∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ≌△DCE （SAS ），∴BG ＝DE ，∠CBG ＝∠CDE ，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG ⊥DE ．（2）∵AB ＝a ，BC ＝b ，CE ＝ka ，CG ＝kb ，∴＝＝，又∵∠BCG ＝∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG ＝∠CDE ，＝＝，又∵∠CBG +∠BHC ＝90°，∴∠CDE +∠DHG ＝90°，∴BG⊥DE．故答案为：＝，BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB＝4，BC＝3，CE＝2，CG＝1.5，∵BG⊥DE，∠BCD＝∠ECG＝90°∴BE2+DG2＝BO2+OE2+DO2+OG2＝BC2+CD2+CE2+CG2＝9+16+2.25+4＝．。

相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）B（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．ACDEB相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。

求证：∠=︒GBM 90GMF EHDCBA5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DCB上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。

相似（上篇）基本模型汇总【教学重难点】1、相似基本模型：①A 字、8字；②反A 、反8；③角分线；④旋转型；⑤一线三等角；⑥线束模型；⑦内接矩形；⑧相似比与面积比2、基本辅助线：①作平行线构造A 字、8字；②作垂线构造直角三角形相似；3、基本问题类型：①证明相似；②求线段长；③求线段比：CDAB ；④证明线段乘积式：cd ab =；bca =2【模块1基本相似模型】【模型1】①“A ”字&②“8”字1、“A ”字：△ABC ∽△ADE （1）对应相比：①下上下上=；②大小大小=（2）对应边比：BC DE AC AE AB AD ==2、“8”字：△ABC ∽△ADE（1）对应相比：①下上下上=；②大小大小=（2）对应边比：BC DE AC AE AB AD ==【点拨】横竖比例可转化，后面内接矩形模型、线束模型全是“A ”字模型的拓展.【模型2】①反“A ”字&②反“8”字1、反“A ”字：△ABC ∽△ADEⅠ）：DE 在内部（1）对应边比：BCDE AC AE AB AD ==（2）共线边乘积相等：ABAE AC AD ⋅=⋅Ⅱ）：DE 拉下来经过C ，又称之为母子型，为相似常考模型（1）对应边比：BCDE AC AE AB AD ==（2）公共边平方=共线边之积：ABAE AC ⋅=2☆拓展延伸：射影定理，即母子型相似公共边平方=共线边之积：求线段长屡试不爽⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅=CD BD AD BC BD AB BC CD AC 222Ⅲ）：DE 继续往下拉到AC 延长线上（1）对应边比：BC DE AC AE AB AD ==（2）共线边乘积相等：ABAE AC AD ⋅=⋅☆拓展延伸：特殊情况，燕尾！燕尾属于斜A 的特殊情况，结论相同且经常考到2、反“8”字：△ABC ∽△ADE（1）对应边比：BCDE AC AE AB AD ==（2）共线边乘积相等：ABAE AC AD ⋅=⋅☆拓展延伸：反“8”字，两组相似共存①△ABC ∽△ADE →△ACE ∽△ABD②最常使用：证明图示四组相等角【证明】∵△ABC ∽△ADE∴AEAC AD AB =（对应相比，别人自己比自己）∴AEAD AC AB =（交换顺序）又∵∠CAE =∠BAD∴△ACE ∽△ABD【模型3】角分线模型1、角分线定理：角分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（1）角分线定理：CD BD AC AB =（2）证明：作平行构造A 、8相似，平行于角分线或者平行于边.【点拨】作平行线转移共线边之比，角分线+平行线→等腰三角形【证明】（1）如图1，作MD ∥AC （构造“A ”字）则有DM BM AM BM DC BD ==，ACAB DM BM =（自己比自己）∴DCBDAC AB =（2）如图2，作CM ∥AD （构造“A ”字）则有AMAB DC BD =，AC AM =（角分线+平行线→等腰三角形）∴DCBDAC AB =【模型4】旋转型相似→“成对”出现1、如图1&2，△ABC ∽△ADE →△ABD ∽△ACE【证明】示例图1，图2类似∵△ABC ∽△ADE∴∠BAD +∠CAD =∠CAD +∠CAEAEAC AD AB =（对应相比，别人自己比自己）∴∠BAD =∠CAE ，AEAD AC AB =（交换顺序）∴△ABD ∽△ACE☆拓展延伸：对应顶点连线交点与三角形三个顶点必定四点共圆，有两组（待补充暂时不管）2、如图1&2，△ABC ∽△ADE （且△ABC 、△ADE 为等腰）→△ABD ≌△ACE【点拨】这是一种特殊情况，也是初一所学手拉手模型，即相似比为“1”△ABD 与△ACE 相似比=1=AC AB，故△ABD ≌△ACE【模型5】一线三等角相似1、一级形态：基本一线三等角，锐角&钝角，∠B =∠C =∠EDF →△BDE ∽△CFD【证明】∵∠B =∠EDF又∵∠EDC =∠B +∠BED∠EDC =∠EDF +∠FDC∴∠BED =∠FDC∴△BDE ∽△CFD（1）对应边：DFDECF BDCD BE ==（2）※CF BE CD BD ⨯=⨯.记作：横×横=竖×竖☆拓展延伸：若D 是BC 中点，则△BDE ∽△CFD ∽△EDF ，且DE 、DF 是角平分线【证明】示例，图3，锐角类似∵△BDE ∽△CFD ∴DF DECD BE=，BD =CD ∴DF DEBD BE=（自己比自己）∴DF BDDE BE=（交换后为对应边之比）∴△BDE ∽△EDF2、二级形态：三垂直模型→K 型相似☆基本结论1：△BDE ∽△CFD ，将图1相似三角形进行平移可得图2、图3相似☆基本结论2：矩形内两垂直线段之比等于矩形边长之比：QT PQ MF DE =☆基本结论3：特别地，当矩形PQTR 为正方形时，DE =MF【模型6】内接矩形→高之比等于相似比（横比=竖比，横竖比例转化）1、如图1，Rt △ABC 内接矩形BDEF ：“A ”字相似，BCDE AB AD =（相似边之比）2、如图2，Rt △ABC 内接矩形DEFH ：“A ”字相似，BCHF AM AN =（高比=相似比）☆小技巧：BC AM AC AB ⨯=⨯，利用等面积法可求AM3、如图3，△ABC 内接矩形DEFH ：“A ”字相似，BCHF AM AN =（高比=相似比）【模型7】线束模型1、“A ”字线束：若EF ∥BC ，则有：AM AN MC NF BM EN ==2、“8”字线束：若EF ∥BC ，则有：AMANMC NF BM EN ==【模型8】相似比与面积比【点拨】与平行有关相似，所有面积之比只看“A ”字相似的三角形的相似比，其它形状利用割补法进行转化1、如图1，示例（图2类似）已知：k AB AF =，m BCCD =，设总面积为单位“1”则有，1122312m k S S S S S S --=--=总总总。

相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。

在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。

相似三角形一般用比例关系表示。

下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。

证明：三角形的三个角之和为180度。

如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。

2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。

由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。

因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。

3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。

由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。

4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。

由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。

又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。

5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。

由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。

又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。

6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。

证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。

相似三角形的九大模型模型一：A 字型1．如图，在ABC △中，:2:3AF FB =，延长BC 至点D ，使得2BC CD =，求AEEC的值．2．如图，在ABC △中，已知CD 为边AB 上的高，正方形EFGH 的四个顶点分别在ABC △上，求证：111AB CD EF+=．3．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的各边上，EF HG AC ∥∥，EH FG BD ∥∥，则四边形EFGH 的周长是_________．4．如图，ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且3BE AE =，求BCCD的值．模型二：反A 字型5．如图，D 、E 分别为ABC △的边AB 、AC 上的点，且ADE ACB ∠=∠． （1）求证：AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）如果ABC △的面积为m ，3DE =，5BC =，求ADE △的面积．6．如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅． （1）求证：AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）当12AB =，9AC =，8AE =时，求BD 的长与ADEECFS S △△的值．7．将三角形纸片()ABC △按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知3AB AC ==，4BC =，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2 C ．127D ．125或2 8．将ABC △纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B '，折痕为EF ．已知6AB AC ==，8BC =． （1）求ABC △的周长；（2）若以点B '，F ，C 为顶点的三角形与ABC △相似，求BF 的长．9．如图，在ABC △中，6AB =，8BC =．点D 以每秒1个单位长度的速度由B 向A 运动，同时点E 以每秒2个单位长度的速度由C 向B 运动，当点E 停止运动时，点D 也随之停止．设运动时间为t 秒，当以B ，D ，E 为顶点的三角形与ABC △相似时，求t 的值．10．如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠． （1）求证：ADE ABC △∽△； （2）若3AD =，5AB =，求AFAG的值．模型三：8字型11．如图，E 是ABCD □的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．12．如图，平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG BC ∥，交AB 于G ，则图中相似三角形有（ ）A ．7对B ．6对C ．5对D ．4对13．已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．14．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B ，D ，4m AO =， 1.6m AB =，1m CO =，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为（ ）A ．0.2mB ．0.3mC ．0.4mD ．0.5m15．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，14AE CF AC ==．连接DE ，DF 并延长，分别交AB 、BC 于点G 、H ，连接GH ，则ADGBGHS S ∆∆的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．116．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则:DF FC =（ ）A ．1:4B ．1:3C ．2:3D ．1:217．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4AB =，3AD =，则CF 的长为 ．18．如图，直线a b ∥，:3:5AF FB =，:3:1BC CD =，则:AE EC 为（ ）A ．5:12B ．9:5C ．12:5D ．3:219．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG AG GC GD =②EF BF FC FD =；③FC BFGF FD=；④2CF GF EF =⋅，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4模型四：蝴蝶型20．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若::OA OC OB OD =，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．①与②相似B ．①与③相似C ．①与④相似D ．③与④相似21．如图，AB CD ∥，线段BC 、AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点，且满足BEF C ∠=∠，其中9AF =，3DF =，2CF =，则AE =_________．FEDCBA22．如图，在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥，DE AC ⊥，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，AD 与BE 相交于点F ．求证： （1）DE ADCE CD=；（2）BCE ADM △∽△；（3）猜想AM 与BE 的位置关系，并说明理由．23．点D 为Rt ABC △的斜边AB 上一点，点E 在AC 上，连接DE ，CD ，且ADE BCD ∠=∠，CF CD ⊥交DE 的延长线于点F ，连接AF（1）如图1，若AC BC =，求证：AF AB ⊥；（2）如图2，若AC BC ≠，当点D 在AB 上运动时，求证：AF AB ⊥．N FMEDCBA模型五：共边共角型24．如图，在ABC △中，点D 是边AB 上的一点，ADC ACB ∠=∠，2AD =，6BD =，则边AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．825．已知：如图，ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ．求证： （1）2FD FB FC =⋅； （2）22::AB AC BF CF =．26．如图，在ABC △中，AB AC a ==，()BC b a b =>．在ABC △内依次作CBD A ∠=∠，DCE CBD ∠=∠，EDF DCE ∠=∠．则EF 等于（ ）A ．32b aB ．32a bC ．43b aD ．43a b27．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形：①BEA △与ACD △；②FED △与DEB △；③CFD △与ABG △；④ADF △与CFB △．其中相似的为（ ）A ．①④B ．①②C ．②③④D ．①②③28．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．试问：（1）图中APD △与哪个三角形全等？并说明理由．（2）猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由．模型六：射影定理29．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于D ，下列等式中错误的是（ ） A ．2AD BD CD ⋅= B ．AC BD CB AD ⋅=⋅C ．2AC AD AB =⋅ D ．222AB AC BC =+30．在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高． （1）求证：2CD AD DB =⋅； （2）求证：2CB DB AB =⋅．31．如图，在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，30B ∠=︒，AD CB ⊥于D ，3CD =，则CB = ．32．如图，90ADC ACB ∠=∠=︒，ACD B ∠=∠，5AC =，6AB =，则AD = ．33．如图，在Rt ABC △中，CD 为斜边AB 上的高，如果3AC =，6AB =，求BD 的值．34．在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高线，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：33BC BFAC AE=．35．在ABC △中，90ACB ∠=︒，CE AB ⊥于点E ，D 在AB 延长线上， 且DCB A ∠=∠，:1:2BD CD =，AE =BCD S △．36．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG CD ⊥，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个结论： ①AG FGAB FB=； ②点F 是GE 的中点；③AF AB =； ④5ABC BDF S S =△△，其中正确的结论序号是 ．模型七：三垂直模型37．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AE⊥交DC于点F，连接AF．设ABkAD=，下列结论：（1）ABE ECF△∽△，（2）AE平分BAF∠，（3）当1k=时，ABE ADF△∽△，其中结论正确的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（3）C．（1）（2）D．（2）（3）38．如图，一个长方形的ABCD长为8cm，宽为6cm，E为边CD上的一点，现把Rt ADE△沿AE对折使得D点恰好落在边BC上的中点D'处．（1）请说明Rt ABD'△与Rt ECD'△相似；（2）求CE的长．39．(1) 如图1 ，已知AB l∠=︒，ACD⊥，垂足分别为B、E，且C是l上一点，90⊥，DE l△∽△；求证：ABC CED(2) 如图2 ，在四边形ABCD中，已知90BC=，10CD=，∠=︒，3ABCAB=，4DA=BD的长．40．如图，在直角梯形ABCD中，//∠=︒，AD BC，90BC=，CD=BAD=，3 P在线段AB上．若PCD△是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP=．模型八：一线三等角41．如图，ABC △中，8AB AC ==，D 为BC 上一点，3BD =，30ADE B ∠=∠=︒，则AE 的长为_________．42．如图，D 是等边ABC △边AB 上的一点，且:1:2AD DB =，现将ABC △折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则:CE CF =（ ）A ．34B ．45C ．56D ．6743．已知： 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，点D 是BC 边上的一个动点 （不 与B ，C 点重合） ，45ADE ∠=︒． （1） 求证：ABD DCE △∽△；（2） 设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3） 当ADE △是等腰三角形时， 求AE 的长 ．44．如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，3cm AD =，7cm BC =，60B ∠=︒，P 为BC 边上一点（不与B ，C 重合），连接AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得APE B ∠=∠．（1）求证：ABP PCE △∽△； （2）求AB 的长；（3）在边BC 上是否存在一点P ，使得:5:3DE EC =？如果存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由．45．如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AE 于点F ，ME 交BD 于点G ．（1）写出图中的三对相似三角形；（2）连接FG ，当AM MB =时，求证：MFG BMG △∽△；（3）在（2）条件下，若45α=︒，AB =，3AF =，求FG 的长．模型九：手拉手46．如图，12∠=∠，要使ABC ADE △∽△，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）A ．B D ∠=∠ B ．C E ∠=∠ C ．AD ABAE AC= D ．AC BCAE DE= 47．如图，把ABC △绕点A 旋转到ADE △，当点D 刚好落在BC 上时，连结CE ，设AC ，DE ，相交于点F ，则图中相似三角形（不含全等）的对数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．448．如图，在ABC △中，ABC C ∠=∠，将ABC △绕点B 逆时针旋转得DBE △，点E 在AC 上，若3ED =，1EC =，则EB =（ ）AB ．32C D ．249．将一幅三角尺（Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，在Rt EDF △中，90EDF ∠=︒，45E ∠=︒）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C ，将EDF △绕点D 顺时针方向旋转角(060)αα︒<<︒，DE '交AC 于点M ，DF '交BC 于点N ，则PMCN的值为（ ）AB C ．12D 50．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作30︒角的直角三角形ABC 和30︒角的直角三角形ADE ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M ，连接PA 对于下列结论：①BAE CAD △∽△；②M P M D M A M E ⋅=⋅；③图中有5对相似三角形；④AP CD ⊥其中结论正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．3个51．如图，ABC △为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，1BC =，E 为直角边AB 上任意一点，以线段CE 为斜边作等腰Rt CDE △，连接AD ，下列说法：①AC ED ⊥；②BCE ACD ∠=∠；③AED ECB △∽△；④AD BC ∥；⑤四边形ABCD 面积的最大值为38，其中正确的是__________．52．如图，ABC △中，45BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，将ABC △绕点A 顺时针旋转得到11AB C △，当点1C 、1B 、C 三点共线时，旋转角为α，连接1BB ，交AC 于点D ，下面结论：①1AC C △为等腰三角形；②1AB D BCD △∽△；③135α=︒；④1CA CB =；⑤1AB B C =中，正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个53．如图，在正方形ABCD 中，AEF △的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，下列说法： ①45EAF ∠=︒；②连接MG ，NG ，则MGN △为直角三角形； ③AMN AFE △∽△；④若2BE =，3FD =，则MN（ ）A ．4B ．3C ．2D ．154．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC aAC b=，CD AB ⊥于点D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ED ⊥，交直线BC 于点F ． （1）探究发现：如图①，若a b =，点E 在线段AC 上，则DEDF= ． （2）数学思考①如图②，若点在线段AC 上，则DEDF= ，（用含a ，b 的代数式表示）； ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图③的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC =DF =CF 的长．。

相似模型【相似模型一: A 字型】 特征 模型 结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB C BDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD【相似模型二: X 型】 特征 模型 结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D ③ 顺着比, 交叉乘 ④ △BOC∽△DOA【相似模型三: 旋转相似】 特征 模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE ② △ABD∽△ACE【相似模型四: 三平行模型】 特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=【相似模型五: 半角模型】 特征模型 结论ECD BAA BDC EEDCBA90度, 45度； 120度, 60度 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六: 三角形内接矩形模型】 特征模型 结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H GFED C BA【相似模型七: 十字模型】 特征 模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE, 则AF=BE,②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中, CE ⊥BD, 则△CDE ∽△BCD,平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中, AB ＝AC,AB ⊥AC, ①D 为中点, ②AE ⊥BD, ③BE ：EC ＝2：1, ④∠ADB ＝∠CDE, ⑤∠AEB ＝∠CED,⑥∠BMC ＝135°, ⑦ , 这七个结论中, “知二得五”【A 型, X 型, 三平行模型】1.如图, 在△ABC 中, EF ∥DC, ∠AFE=∠B, AE=6, ED=3, AF=8, 则AC=_________, _________．F E DCBABCDE FA2. 如图, AB ∥CD, 线段BC, AD 相交于点F, 点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF=∠C, 其中AF=6, DF=3, CF=2, 则AE=_________.3.如图, 在Rt △ABD 中, 过点D 作CD ⊥BD, 垂足为D, 连接BC 交AD 于点E, 过点E 作EF ⊥BD 于点F, 若AB=15, CD=10, 则BF:FD=_____________.FEBCD AN MEDCBA4.如图, 在□ABCD中, E为BC的中点, 连接AE, AC, 分别交BD于M, N, 则BM:DN=_____________.5.如图所示, AB∥CD, AD, BC相交于点E, 过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．F EDCBA图26.在△ABC中, AB=9, AC=6, 点M在边AB上, 且AM=3, 点N在AC边上.当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7.如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, D是边AB的中点, 现有一点P位于边AC上, 使得△ADP与△ABC相似, 则线段AP的长为.8.如图, 已知O是坐标原点, 点A.B分别在轴上, OA=1, OB=2, 若点D在轴下方, 且使得△AOB与△OAD相似, 则这样的点D有个.9.如图, 在Rt△ACB中, ∠C=90°, AC=16cm, BC=8cm, 动点P从点C出发, 沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发, 沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s, Q点的运动速度均为2cm/s, 那么运动几秒时, △ABC与△PCQ相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠, 使点B落地边AC上, 记为点B＇, 折叠痕为EF, 已知AB=AC=8, BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似, 那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图, 四边形中, 平分, , , 为的中点.（1）求证: ；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若, , 求的值.13.如图, 在中, 为上一点, , , , 于, 连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形, 并证明．14.如图, 在中, , 分别是, 上的点, , 的平分线交于点, 交于点.（1）试写出图中所有的相似三角形, 并说明理由（2）若, 求的值．15.如图, 在平行四边形ABCD中, 对角线AC.BD交于点O. M为AD中点, 连接CM交BD于点N, 且ON=1.（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2, 求四边形ABNM的面积.16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB = _________.19.如图所示, AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则=__________.20.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, OE⊥BC于点E, 连接DE交OC于点F, 作FG⊥BC于点G, 则线段BG与GC的数量关系是___.21.如图, 已知点C为线段AB的中点, CD⊥AB且CD=AB=4, 连接AD, BE⊥AB, AE是∠DAB的平分线, 与DC相交于点F, EH⊥DC于点G, 交AD 于点H, 则HG的长为 .22.如图1, 在△ABC 中, 点D.E 、Q 分别在边AB.AC.BC 上, 且DE ∥BC, AQ 交DE 于点P. （1）求证: ；（2）如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, 正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上, 连接AG 、AF, 分别交DE 于M 、N 两点. 如图2, 若AB=AC=1, 直接写出MN 的长；如图3, 求证MN2=DM【母子型】1.已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, S △ABC=20, AB=10。

相似三角形的基本模型嘿，同学们！咱们今天来聊聊相似三角形的那些基本模型，这可有意思啦！还记得有一次，我和朋友一起去公园散步。

走着走着，看到湖边有两个钓鱼的人，他们的鱼竿和影子形成了很有趣的形状。

我突然就想到了相似三角形的知识。

咱们先来说说“平行线型”这个模型。

想象一下，有两条平行的直线，然后分别和三角形的两边相交，这样形成的两个三角形就是相似的。

比如说，你在作业本上画两条平行线，然后在上面分别画三角形，你就会发现它们对应的角相等，对应边成比例。

这就像我们在超市买东西，同样品牌的薯片，大包装和小包装虽然大小不一样，但是它们里面薯片的形状是相似的，价格也是按照一定比例来的。

再来讲讲“相交线型”。

这个就有点像我们玩的拼图游戏。

两个三角形的边交叉在一起，然后形成相似的关系。

比如说，一个三角形的一条边和另一个三角形的一条边相交，形成的对应角相等，对应边成比例。

这就好比我们排队的时候，前面的同学和后面的同学之间的身高比例可能就存在着这样的相似关系。

还有“旋转型”呢！这就像是一个三角形转了个身，和另一个三角形相似了。

比如说，把一个三角形绕着一个点旋转一定的角度，和另一个三角形的形状相似。

这有点像我们骑自行车，车轮转啊转，不同时刻车轮的形状其实是相似的。

咱们学习相似三角形的这些基本模型，可不光是为了在考试中拿高分哦。

就像那次在公园看到钓鱼竿和影子，要是能明白相似三角形，就能算出鱼竿的实际长度，是不是很神奇？在实际生活中，相似三角形的用处可多啦。

比如建筑师在设计大楼的时候，他们要根据小模型来推算出大楼的实际尺寸，这就用到了相似三角形的知识。

还有工程师在建造桥梁的时候，也得依靠相似三角形来确保桥梁的结构稳定和尺寸准确。

咱们做数学题的时候，遇到相似三角形的问题，只要能判断出是哪种模型，解题思路就会清晰很多。

比如说，看到平行线，马上就想到可能是平行线型的相似三角形；看到交叉的边，就往相交线型上思考。

总之，相似三角形的基本模型就像是我们数学世界里的小工具，掌握好了它们，就能解决好多难题，还能发现生活中很多有趣的现象。

相似三角形基本模型经典模型“平行旋转型”图形梳理：AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’F'CBBCAEF 旋转到AE‘F’ABCAEF 旋转到AE‘F’特殊情况：B 、'E 、'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAB CEFE'F'AEF 旋转到AE‘F’C ，'E ，'F 共线AEF 旋转到AE‘F’CBAAEF 旋转到AE‘F’CBA母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、B(3)DB(2)D“反A 共角共边型”、 “蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

（5）母子型已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·AB ；（3）满足1、AC 2=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ． （4）当AD AEAC或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE∽△ACB ．BEACD12ABCD E12AAB BCC DD EE12412BBC (D)。

课题：相似三角形基本模型——A字型、旋转型相似
教学目标：
1、通过习题引入，了解“A字型、旋转型”的特征与其中两个三角形相似的条件，并掌握其中两个相似三角形的性质；
2、利用“A字型、旋转型”中两个三角的相似性解决一些计算、证明等简单问题；
3、在“A字型、旋转型”变化的过程中经历图形动态思考，积累做“A字型、旋转型”相似解题的特点与经验。

教学重点难点：
1、在已知图形中观察关键特征——“A字型、旋转型”；
2、在“A字型、旋转型”图的两个三角形中，探索其相似条件。

教学过程：
一、复习与回顾：
相似三角形的性质和判定定理；
二、引入
相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。

而识别（或构造）A字型、8字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。

三、新课讲解：
（一）、模型分析有一个公共角（图①、图②）或角有公共部分（图③，∠BAC与∠DAE有公共部分∠DAF），此时需要找另一对角相等，另外若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论，如图③中可找条件∠D＝∠C或∠D＝∠B.
（二）、基础巩固
1、若△ABC∽△ADE，你可以得出什么结论？（图1）
2、D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似。

（图2）（三）、例题探究：
（四）课堂练习：
三、课堂小结：
我们今天这堂课收获了什么呢？
（1）学习了A型相似；
（2）学会从复杂图形中分解出基本图形。

（3）数学思想：方程思想，转化思想，分类讨论思想四、作业布置：
中考新航线251页。

A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD2=AD •BD ⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC2=AD •AB ⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC2=BD •AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式 证明等积式(比例式)策略 直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A ”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。

彼相似，我角等，两边成比边代换。

（3）等比代换：若d c b a ,,,是四条线段，欲证d cb a =，可先证得feb a =（f e ,是两条线段）然后证d c f e =，这里把fe叫做中间比。

①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 求证：BD •CN=BM •CE ．③等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。

求证：BP •PC=BM •CNEA B EACBADECF EDABC☞有射影，或平行，等比传递我看行①在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 的中点，求证：AB •AF=AC •DF斜边上面作高线，比例中项一大片②ABCD③梯形ABCD 中，AD求证：DE2=BE ·CE.☞两共线，上下比，过端平行条件边。

专题训练(三)相似三角形的五种基本模型►模型一“X”字型1．如图3－ZT－1，P是▱ABCD的边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中的相似三角形有()图3－ZT－1A．0对B．1对C．2对D．3对2．2018·杭州西湖区一模如图3－ZT－2，BE是△ABC的角平分线，延长BE至点D，使得CD＝BC.(1)求证：△AEB∽△CED；(2)若AB＝2，BC＝4，AE＝1，求CE的长．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD 交AB于点G.(1)填空：图中与△CEF相似的三角形是________(写出图中与△CEF相似的所有三角形)；(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．图3－ZT－3►模型二“A”字型4．如图3－ZT－4，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B.若AB＝10，AC＝8，AD＝4，求AE的长．图3－ZT－45．如图3－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点D从点C出发，以2 cm/s的速度沿折线C－A－B向点B运动，同时，点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t(s)(0＜t＜8)．(1)求AB的长；(2)当△BDE是直角三角形时，求t的值．图3－ZT－5►模型三子母型6．如图3－ZT－6所示，点D在△ABC的边AB上，AD＝2，BD＝4，AC＝2 3.求证：△ACD∽△ABC.图3－ZT－67．如图3－ZT－7，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB 于点F.求证：AC2＝AD·AF＋CD·EF.图3－ZT－78．如图3－ZT－8，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F.(1)△AEF与△ABE相似吗？说明你的理由．(2)BD2＝AD·FD吗？请说明理由．图3－ZT－8►模型四旋转型9．已知：如图3－ZT－9，△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.图3－ZT－910．如图3－ZT－10，已知：在△ABC和△EDC中，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，点A，D在直线CE的同侧，直线AE，BD交于点F.(1)当点B，C，E在同一直线上，且∠BAC＝60°时(如图(a))，则∠AFB＝________°.(2)当点B，C，E不在同一条直线上时(点F不与点A，B重合)，如图(b)或图(c)．①若∠BAC＝α，则在图(b)中，求∠AFB的度数(用含α的式子表示)．②在图(c)中，①中的结论是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠AFB等于什么？写出推理过程．图3－ZT－10►模型五一线三等角型11．如图3－ZT－11，等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．图3－ZT－11详解详析1．[解析] D ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴△EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CBP ， ∴△EDC ∽△CBP ，故有3对相似三角形． 故选D.2．解：(1)证明：∵BE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABE ＝∠CBE . ∵CD ＝BC ，∴∠CDE ＝∠CBE ＝∠ABE . 又∵∠AEB ＝∠CED ， ∴△AEB ∽△CED . (2)∵BC ＝4，∴CD ＝4. ∵△AEB ∽△CED ， ∴CE AE ＝CD AB ，即CE 1＝42， ∴CE ＝2.3．[解析] (1)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中与△CEF 相似的三角形；(2)根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 解：(1)△DAF ，△BEA ，△GF A(2)答案不唯一，选证△DAF ∽△CEF . 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BE ∥AD ，∴∠1＝∠E ，∠2＝∠D ，∴△DAF ∽△CEF .4．[解析] 利用两角分别相等的三角形相似得到△AED 与△ABC 相似，由相似得比例式求出AE 的长即可．解：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC ，∴AE AB ＝ADAC .∵AB ＝10，AC ＝8，AD ＝4， ∴AE 10＝48，∴AE ＝5. 5．解：(1)由勾股定理，得AB ＝62＋82＝10(cm)． (2)当点D 在AC 上运动时，∠DEB ＝∠C ＋∠CDE ＞90°， ∴△BDE 不可能是直角三角形．若点D 在AB 上，如图①，当∠BED ＝90°时，△BDE 是直角三角形， 则BE ＝t ，AC ＋AD ＝2t ，∴BD ＝6＋10－2t ＝16－2t .∵∠BED ＝∠C ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△BDE ∽△BAC ， ∴BE BC ＝BD AB， ∴t 8＝16－2t 10，解得t ＝6413；如图②，当∠EDB ＝90°时，△BDE 是直角三角形， 则BE ＝t ，BD ＝16－2t . 在△BDE 和△BCA 中，∵∠BDE ＝∠C ，∠B ＝∠B ， ∴△BDE ∽△BCA ， ∴BE AB ＝BD BC， ∴t 10＝16－2t 8，解得t ＝407. ∴当△BDE 是直角三角形时，t 的值为6413或407.6．[解析] 首先利用已知得出AD AC ＝ACAB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可． 证明：∵AD AC ＝22 3＝33，AC AB ＝2 36＝33，∴AD AC ＝AC AB. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC .7．[解析] 根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠ADC ＝90°，推出△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到AC AB ＝ADAC ，即AC 2＝AD ·AB ，由于AB ＝AF ＋FB ，等量代换得AC 2＝AD ·(AF＋FB )＝AD ·AF ＋AD ·FB .通过△ACD ∽△EBF ，根据相似三角形的性质得到AD EF ＝CDFB，于是得到AD ·FB ＝CD ·EF ，即可得到结论．证明：∵CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∴∠ACB ＝∠ADC ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝AD AC， ∴AC 2＝AD ·AB . ∵AB ＝AF ＋FB ，∴AC 2＝AD ·(AF ＋BF )＝AD ·AF ＋AD ·BF . ∵EF ⊥AB 于点F ，∴∠ADC ＝∠EFB ＝∠ACB ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠ACD ＝∠B ， ∴△ACD ∽△EBF ， ∴AD EF ＝CD BF， ∴AD ·BF ＝CD ·EF ，∴AC 2＝AD ·AF ＋AD ·BF ＝AD ·AF ＋CD ·EF . 8．[解析] (1)△AEF 与△ABE 相似，首先根据等边三角形的性质，可得AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，即可证明△ABD ≌△BCE ，即可以求得∠AFE ＝∠BAD ＋∠ABE ＝60°＝∠BAE ，再根据∠AEF ＝∠BEA ，即可证明△AEF ∽△BEA ；(2)易证△ABD ∽△BFD ，即可得BD 2＝AD ·DF .解：(1)△AEF 与△ABE 相似．理由如下： ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°. 在△ABD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△BCE (SAS)，∴∠BAD ＝∠CBE .又∵∠AFE ＝∠BAD ＋∠ABE ， ∴∠AFE ＝∠CBE ＋∠ABE ＝60°， ∴∠AFE ＝∠BAC .在△AEF 和△BEA 中，∵∠AEF ＝∠BEA ，∠AFE ＝∠BAE ， ∴△AEF ∽△BEA . (2)BD 2＝AD ·DF .理由如下： 在△ABD 和△BFD 中，∵∠BDF ＝∠ADB ，∠FBD ＝∠BAD ， ∴△ABD ∽△BFD ， ∴BD FD ＝AD BD， ∴BD 2＝AD ·FD .9．[解析] (1)先利用相似三角形的性质得∠BAD ＝∠CAE ，则∠BAD ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，从而得到结论；(2)先利用△ABD ∽△ACE 得到AD AE ＝AB AC ，再利用比例的性质得AD AB ＝AEAC ，而∠DAE ＝∠BAC ，根据相似三角形的判定方法可得到结论．证明：(1)∵△ABD ∽△ACE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠BAE ＝∠CAE ＋∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC . (2)∵△ABD ∽△ACE ， ∴AD AE ＝AB AC ， ∴AD AB ＝AE AC， 而∠DAE ＝∠BAC ，∴△DAE ∽△BAC . 10．解：(1)60(2)①∵AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ， ∴△ABC ∽△EDC ，∴∠ACB ＝∠ECD ，BC DC ＝ACEC ，∴∠BCD ＝∠ACE ，BC AC ＝DCEC ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴∠CBD ＝∠CAE ，∴∠AFB ＝180°－∠CAE －∠BAC －∠ABD ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝∠ACB . ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝α， ∴∠ACB ＝90°－12α，∴∠AFB ＝90°－12α.②不成立，∠AFB ＝90°＋12α.推理过程如下：∵AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ， ∴△ABC ∽△EDC ，∴∠ACB ＝∠ECD ，BC DC ＝ACEC ，∴∠BCD ＝∠ACE ，BC AC ＝DCEC ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴∠CBD ＝∠CAE ， ∴∠BDC ＝∠AEC ，∴∠AFB ＝∠BDC ＋∠CDE ＋∠DEF ＝∠CDE ＋∠CED ＝180°－∠DCE . ∵EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ＝α，∴∠DCE ＝90°－12α，∴∠AFB ＝180°－(90°－12α)＝90°＋12α.11．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.∵∠EDF ＝60°，∴∠BED ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠CDF ＝120°， ∴∠BED ＝∠CDF ， ∴△BDE ∽△CFD .(2)由(1)知△BDE ∽△CFD ， ∴BE CD ＝BD CF. ∵BC ＝6，BD ＝1， ∴CD ＝BC －BD ＝5， ∴BE 5＝13， ∴BE ＝53.。

相似三角形Ⲵ基本模型
【模型概述ᙍ㔤ሬമ】
аǃ八字型
Ҽǃ母子型
1、共角型（A 字型）
（平行）
（不平行）
2、共角共边型
（双垂直）射影定理
B
C
B C
B
【典ර㓳Ґ仈】——母子型（A 型）
1．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边
AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A
、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
【典例㓳Ґ仈】——双垂直型直角三角形˖：
Rt △ABC 中，∠C =90º，CD ⊥AB 于D ，则
∽ ∽ 射影定理：
CD 2
= ·
AC 2
= ·
BC 2
= ·
A
C
B
P
D E
йǃ一线三等角相似模型
一 线 三 等 角
直角形一线三等角
（K 字型）
钝角形一线三等角
锐角形一线三等角
ഋǃ手拉手相似模型
1、定义：
两个相似且共顶点的三角形形成的图形。

2、固定结论：
将三角形顶角（头）朝上，正对读者，读者左边为着手顶点，右边为右手顶点，会得到一对新的相似三角形
ӄǃ十字架相似模型
．。

相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。

这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。

本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。

相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。

相似三角形的对应边成比例，对应角相等。

相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。

平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。

这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。

共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。

这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。

这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。

平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。

这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。

位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。

这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。

旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。

镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。

这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。

相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。