吉林省梅河口市第五中学2019_2020学年高二数学4月月考试题理含解析

学2019-2020学年高二数学4月月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数的虚部小于0，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解【详解】由，得，因为，所以.又z的虚部小于0，所以，.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.2.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（）A 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的个数是1.故选：A【点睛】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.3.下列事件A,B是独立事件的是( )A. 一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B. 袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C. 掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D. A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】【分析】利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，事件发生时，影响到事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到岁的，可能也能活到岁，故不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概念以及相互独立事件的识别，属于基础题.4.用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只需将和分别代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，则可以得出结果.【详解】由题意有，假设时，成立，则当时，左边右边∴由数学归纳法可知上式成立∴显然等式两边需同乘故选：D.【点睛】本题仅仅是考查学生对数学归纳法的运用情况，要求学生会对复杂式子进行变形，以及运用数学归纳法时候能够根据所设条件得出相关类似结论，对学生数学运算能力要求较高，能具备相关推理思维，为中等难度题型.5.直线与曲线相切于点,则的值为（）.A. B. C. 15 D. 45【答案】B【解析】【分析】先将点代入曲线中,解得,得出曲线方程,对曲线方程求导,代入切点的横坐标得斜率,又因为切点在切线上,最后将切点和斜率代入直线方程,即可求得的值.【详解】解:因为曲线过点,所以,所以,所以,所以,所以曲线在点处的切线斜率.因此,曲线在点处的切线方程为,即,所以.故选:B【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率等有关基础知识,属于基础题.6.已知函数，则值为（）A. 10B. -10C. -20D. 20【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义，计算函数f（x）在x＝1处的导数即可．【详解】函数f（x）＝2lnx+8x+1，所以f′（x）＝+8；所以＝-2＝-2f′（1）＝-2×(2+8）＝-20．故选：C．【点睛】本题考查导数的定义及其应用，是基础题．7.位男生和位女生共位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，本题选择A选项.8.设随机变量的分布列为，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，求解出的值，要求解的值，即求解，根据概率的定义可得.【详解】解：∵随机变量的分布列为，，解得，.故选：D【点睛】本题考查了离散随机变量的概率性质，解题的关键是熟记性质，熟练运用性质.9.将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=10.设复数（i是虚数单位），则（）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】先化简，再根据所求式子为，从而求得结果．【详解】解：复数是虚数单位），而，而，故，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．11.已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】求函数的导数，结合函数在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，研究函数的单调性、极值，利用函数大致形状进行求解即可．【详解】,,,函数有且仅有一个极值点,上只有一个根，即只有一个正根，即只有一个正根，令，则由可得，当时，，当时，，故在上递增，在递减，当时，函数的极大值也是函数的最大值为1，时，，当时，所以当或时，与图象只有一个交点，即方程只有一个根，故或，当时，，可得，且，不是函数极值点，故舍去.所以故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，极值，利用函数图象的交点判断方程的根，属于中档题.12.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则（）A. B.C. D. 与大小不确定【答案】C【分析】由题设条件可知，需构造函数，求导，得出在上单调递减，经过运算变形，从而推得结果.【详解】由题意可知，对于恒成立，且为定义在上的可导函数，∴可构造函数，在上可导∴对于恒成立∴在上单调递减∴∴经过运算化简可知选C故选：C【点睛】本题考查了导数的运用，以及函数的构造，处理函数值的大小比较，要求学生对函数以及导函数的相关性质与形式非常熟悉，才能形成构造函数的思维，对学生要求较高，为中等难度题型.小记，当，则可构造函数.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13.若，则的值为__________．【答案】【分析】可按照二项式展开公式，求出，其次就是将其看作多项式函数，代入，则，代，得，从而可求出答案.【详解】由题意有，当时，，当时，，∴，故将，代入上式可知故答案为：.【点睛】本题考查学生对二项式定理的掌握情况，会将二项式看做多项式函数，能分清展开式中每一项的系数，会求二项式系数，会赋值法处理相关问题，为容易题.中第项为：.14.设随机变量，则________.【答案】【解析】【分析】根据二项分布的概率公式可得:【详解】因为随机变量,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了二项分布的概率公式,属基础题.15.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有______种【答案】12【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种考点：排列、组合及简单计数问题16.已知函数f（x），无论t取何值，函数f （x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】对于函数求导，可知或时，，一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解.【详解】对于函数，当或时，，当时，，所以一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，（），设对应的复数为z.（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，z是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；（2）根据的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.【详解】点A，B对应的复数分别为，对应的复数为z，，（1）复数z是纯虚数，，解得，；（2）复数z在复平面上对应的点坐标为，位于第四象限，，即，.【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.18.袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.【答案】（1）5个；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；（2）随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.于是可得其分布列为:【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列,超几何分布，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．19.国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布如下：（1）求的值；（2）若每个月被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由概率和为1可直接求出，从而可补全上述表格；（2）由题意可知，将该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次分为三种情况分别求其概率，最后求和，可得其概率.【详解】（1）由概率分布的性质有，解答，的概率分布为（2）设事件表示“五个月内共被投诉3次”，事件表示“五个月内有三个月被投诉1次，另外两个月被投诉0次”，事件表示“五个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次，还有三个月被投诉0次”，事件表示“五个月内有一个月被投诉3次，另外四个月被投诉0次”，则由事件的独立性得，，所以．故该企业在这五个月内被消费者投诉3次的概率为．【点睛】本题考查了概率和为“1”，以及随机事件的古典概型，要求学生会求相互独立事件的概率问题，考查了学生的逻辑思维，数据分析能力，为容易题.20.在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含的项的系数.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含的项的系数．【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，所以（舍去）或.（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即.（3）通项公式：由，，可得含的项的系数为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元，每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元. （为自然对数的底数，是一个常数.）（Ⅰ）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；（Ⅱ）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）【解析】【分析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；（Ⅱ）先求函数的导数，再利用导数的符号判断函数在的单调性并进一步据此求出其最大值及最大值点.试题解析：解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得（Ⅱ）的定义域为，且列表如下：+-增极大值减由上表得：在定义域上的最大值为.且.即：月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）.考点：1、用函数的思想优化生活中的实际问题；2、导数在研究函数性质中的应用.【详解】请在此输入详解！22.已知函数在处有极值．（1）求的解析式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得函数的解析式；（2）构造函数，由题意可知，不等式对任意的恒成立，求出导数，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出其最大值，通过解不等式可求得实数的取值范围.详解】（1），，因为函数在处有极值，得，，解得，，所以；（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则不等式对任意的恒成立，则.．又函数的定义域为.①当时，对任意的，，则函数在上单调递增．又，所以不等式不恒成立；②当时，．令，得，当时，；当时，．因此，函数在上单调递增，在上单调递减．故函数的最大值为，由题意得需.令，函数在上单调递减，又，由，得，，因此，实数的取值范围是；【点睛】本题考查利用函数的极值求参数，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.学2019-2020学年高二数学4月月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数的虚部小于0，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解【详解】由，得，因为，所以.又z的虚部小于0，所以，.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.2.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（）A 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论.【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得：导函数值先负后正的点只有一个，故函数在内极小值点的个数是1.故选：A【点睛】本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题.3.下列事件A,B是独立事件的是( )A. 一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B. 袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C. 掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D. A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】【分析】利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，事件发生时，影响到事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到岁的，可能也能活到岁，故不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查相互独立事件的概念以及相互独立事件的识别，属于基础题.4.用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】只需将和分别代入到原式中，得到以及，然后用后式除以前式，则可以得出结果.【详解】由题意有，假设时，成立，则当时，左边右边∴由数学归纳法可知上式成立∴显然等式两边需同乘故选：D.【点睛】本题仅仅是考查学生对数学归纳法的运用情况，要求学生会对复杂式子进行变形，以及运用数学归纳法时候能够根据所设条件得出相关类似结论，对学生数学运算能力要求较高，能具备相关推理思维，为中等难度题型.5.直线与曲线相切于点,则的值为（）.A. B. C. 15 D. 45【解析】【分析】先将点代入曲线中,解得,得出曲线方程,对曲线方程求导,代入切点的横坐标得斜率,又因为切点在切线上,最后将切点和斜率代入直线方程,即可求得的值.【详解】解:因为曲线过点,所以,所以,所以,所以,所以曲线在点处的切线斜率.因此,曲线在点处的切线方程为,即,所以.故选:B【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率等有关基础知识,属于基础题.6.已知函数，则值为（）A. 10B. -10C. -20D. 20【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义，计算函数f（x）在x＝1处的导数即可．【详解】函数f（x）＝2lnx+8x+1，所以f′（x）＝+8；所以＝-2＝-2×(2+8）＝-20．故选：C．【点睛】本题考查导数的定义及其应用，是基础题．7.位男生和位女生共位同学站成一排，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,(A共有种不同排法)，剩下一名女生记作B，将A,B插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有种，本题选择A选项.8.设随机变量的分布列为，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，求解出的值，要求解的值，即求解，根据概率的定义可得.【详解】解：∵随机变量的分布列为，，解得，.故选：D【点睛】本题考查了离散随机变量的概率性质，解题的关键是熟记性质，熟练运用性质.9.将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个6点”，则概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=10.设复数（i是虚数单位），则（）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】先化简，再根据所求式子为，从而求得结果．【详解】解：复数是虚数单位），而，而，故，故选：D．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．11.已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】求函数的导数，结合函数在（0，+∞）内有且仅有一个极值点，研究函数的单调性、极值，利用函数大致形状进行求解即可．【详解】,,,函数有且仅有一个极值点,上只有一个根，即只有一个正根，即只有一个正根，令，则由可得，当时，，当时，，故在上递增，在递减，当时，函数的极大值也是函数的最大值为1，时，，当时，所以当或时，与图象只有一个交点，即方程只有一个根，故或，当时，，可得，且，不是函数极值点，故舍去.所以故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，极值，利用函数图象的交点判断方程的根，属于中档题.12.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立（为自然对数的底），则（）A. B.C. D. 与大小不确定【答案】C【解析】【分析】由题设条件可知，需构造函数，求导，得出在上单调递减，经过运算变形，从而推得结果.【详解】由题意可知，对于恒成立，且为定义在上的可导函数，∴可构造函数，在上可导∴对于恒成立∴在上单调递减∴∴经过运算化简可知选C故选：C【点睛】本题考查了导数的运用，以及函数的构造，处理函数值的大小比较，要求学生对函数以及导函数的相关性质与形式非常熟悉，才能形成构造函数的思维，对学生要求较高，为中等难度题型.小记，当，则可构造函数.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13.若，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】可按照二项式展开公式，求出，其次就是将其看作多项式函数，代入，则，代，得，从而可求出答案.【详解】由题意有，当时，，当时，，∴，故将，代入上式可知故答案为：.【点睛】本题考查学生对二项式定理的掌握情况，会将二项式看做多项式函数，能分清展开式中每一项的系数，会求二项式系数，会赋值法处理相关问题，为容易题.中第项为：.14.设随机变量，则________.【答案】【解析】【分析】根据二项分布的概率公式可得:【详解】因为随机变量,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了二项分布的概率公式,属基础题.15.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有______种【答案】12【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种考点：排列、组合及简单计数问题16.已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】对于函数求导，可知或时，，一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解.【详解】对于函数，当或时，，当时，，所以一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，（），设对应的复数为z.（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，z是纯虚数，虚部不为0，实部为0，即可求解；（2）根据的值，求出对应点到坐标，根据已知列出不等式，即可求出结论.【详解】点A，B对应的复数分别为，对应的复数为z，，（1）复数z是纯虚数，，解得，；（2）复数z在复平面上对应的点坐标为，位于第四象限，，即，.【点睛】本题考查复数的代数表示法、几何意义、复数的分类，属于基础题.18.袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.【答案】（1）5个；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；（2）随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.于是可得其分布列为:【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列,超几何分布，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．19.国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用表示，据统计，随机变量的概率分布。

2019学年吉林省高二4月月考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 是虚数单位，复数满足，则复数（）A．___________________________________ B．____________________ C．_________________________________ D．2. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则（）A．________ B． C．________ D．3. 已知命题使得；命题，使得．以下命题为真命题的是（）A． B． C． D．4. 直线的图像经过第一、二、四象限的一个必要而不充分条件是（） A． ________ B．_________ C．且______________D．且5. 若样本数据的标准差为，则数据的标准差为（）A．____________________________ B．______________ C．________D．6. 若不共线，对于空间任意一点都有，则四点（）A．不共面 B．共面 C．不共线 D．共线7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值是（）A． 1 B． 2 C． 4 D． 78. 已知，则（）A．____________________________ B．____________________ C．_________________________________ D．9. 有七名同学站成一排照毕业照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两名同学要站在一起，则不同的站法有（）A．____________________________ B．_________ C．____________________ D．10. 已知分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．________________________ B．_________ C．____________________ D．11. 在区间上随机取两个数，记为事件“ ”的概率，为事件“ ”的概率，为事件“ ”的概率，则（）A． B．________C．_______________________________________ D．12. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，若，则实数的取值范围是（）A．_________________________________ B．________ C．______________ D．二、填空题13. 已知且曲线与所围成的封闭区域的面积为，则________．14. 设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为____．15. 将标号分别为的个球放入个不同的盒子，每个盒子至少有个球，则一共有________________________ 种放法.16. 平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点 .若的垂心为的焦点，则的渐近线方程为 ________．三、解答题17. 已知的展开式中的二项式系数之和为 .（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项.18. 已知关于的一元二次函数 .（Ⅰ）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在上是增函数的概率；（Ⅱ）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率.19. 三棱柱中，是直二面角，，，且，为的中点．（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．20. 右边茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，现分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 .（Ⅰ）求这两名同学的植树总棵数y的分布列；（Ⅱ）每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．21. 已知椭圆的两个焦点是和，并且经过点，抛物线的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆的右顶点 .（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点作两条斜率都存在且互相垂直的直线，交抛物线于点、交抛物线于点，求的最小值.22. 已知函数 .（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，方程有实根，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高二4月月考数学（文）试题一、单选题 1．点M 的直角坐标()3,1-化成极坐标为（ ）A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标. 【详解】由点M 的直角坐标可得：()()22312ρ=+-=，点M 位于第二象限，且3tan 33θ==-，故116πθ=， 则将点M 的直角坐标()3,1-化成极坐标为112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．根据下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）A ．总工程师和专家办公室B ．总工程师、专家办公室和开发部C ．开发部D ．总工程师、专家办公室和所有七个部【答案】B【解析】按照结构图的表示，就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．本题是一个从上到下的顺序，先看总经理，他有三个分支：总工程师、 专家办公室和开发部． 【详解】按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序． 故选B ． 【点睛】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．30=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为0【答案】B【解析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．B ．CD ．【答案】D【解析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d =，直线l 被圆C 截得的弦长为=【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =求解.5．设点N 的球坐标是54,,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标是（ ）A ．(2,-B ．(2,2)-C ．(2,D ．(2,2)【答案】A【解析】利用球坐标与直角坐标的变换公式即可求解 【详解】由球坐标与直角坐标的变换公式，得554sincos2,4sin sin 4cos 023232x y z πππππ====-==，故点N 的直角坐标是(2,-. 故选：A 【点睛】本题考查球坐标与直角坐标的变换公式，熟记公式是关键，是基础题 6．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D【解析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.7．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ） A ．58件 B ．40件C ．38件D ．46件【答案】D【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a=+$$$上且2b =-$，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 【考点】1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用. 8．已知下表：1a 23,a a 456,,a a a L则81a 的位置是（ ）A ．第13行第2个数B ．第14行第3个数C ．第13行第3个数D ．第17行第2个数 【答案】C【解析】分析：根据数阵，第n 行的最后个数为第(1)1232n n n -+++⋯+=项，从而求得结果.详解：根据题中所给的条件，可以发现第n 行最后一项为(1)2n n a +，故当12n =时，最后一个数为78a ， 所以81a 是第13行第3个数，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n 行的最后一个数是第多少项，也可以从第n 行的第一个数去分析，这样都可以求得结果.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．已知圆C 的参数方程为=-1+cos 1x y sin αα⎧⎨=+⎩(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) A ．13B ．15 C ．1-3D ．－15【答案】D【解析】先求出圆C 的普通方程，再求出直线过的定点A(0,-4)，再利用数形结合求出k 的值. 【详解】圆C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C(－1，1)． 直线kx ＋y ＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线的距离最大，因为k CA ＝－5，所以－k ＝15，所以k ＝－15. 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)解答本题的关键是数形结合分析推理出当CA 与直线kx+y+4=0垂直时，圆心C 到直线的距离最大.11．如图是为了求出满足321000->n n 的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．1000>A 和1=+n nB ．1000>A 和2=+n nC ．1000≤A 和1=+n nD ．1000≤A 和2=+n n【答案】D【解析】由题意，因为321000->n n ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000>A ，故填1000≤A ，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2=+n n ，故选D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( ) A ．2 B ．32C ．3D ．53【答案】B【解析】由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x =23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴故选：B 【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.二、填空题13．平面直角坐标系中，若点73,2P π⎛⎫⎪⎝⎭经过伸缩变换11213x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于______． 【答案】1【解析】根据伸缩变换求得Q 点的坐标，则根据对应点的坐标即可容易求得结果. 【详解】因为点73,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，不妨设其直角坐标下对应点的坐标为(),x y ， 故可得0,3x cos y sin ρθρθ====-， 故其在直角坐标系下对应的点为()0,3-， 则110,1x y ==-，故()0,1Q -.故Q 点在极坐标系下的对应坐标为31,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则Q 点到极轴所在直线的距离等于1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查伸缩变换，以及直角坐标和极坐标之间的相互转化，属综合基础题. 14．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可. 详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++15．在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ+=对称，则a =_____.【答案】1-【解析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a 值. 【详解】解：圆方程化为：22cos a ρρθ=，化为直角坐标方程为：2220x y ax +-=，直线cos sin 10ρθθ++=化为直角坐标方程为：10x ++=，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（a ，0），所以，010a +=，解得：a ＝－1. 故答案为：－1 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.16．直线3y x =+和x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在椭圆221169x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线AB 的最大距离为______.【答案】【解析】设点C 坐标为椭圆的参数形式，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可求解. 【详解】设()4cos ,3sin C θθ，则点C 到AB 的距离d ==≤=其中3tan 4ϕ=.故答案为:【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线的距离、三角函数的性质，属于基础题.三、解答题17．用综合法或分析法证明： （1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg22a b a b++≥；（22>． 【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】（1）利用基本不等式，结合y=lgx 在（0，+∞）上增函数即可证明； （2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止． 【详解】证明：（1）当a ，b ＞0时，有2a b+0，∴lg2a b+≥lg ab ，∴lg 2a b +≥12lg （ab ）=2lga lgb +．∴lg 2a b +≥2lga lgb +；（2）要证6+10＞23+2， 只要证（6+10）2＞（23+2）2， 即260＞248，显然成立的， 所以，原不等式成立． 【点睛】本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题．18．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示, 支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：年龄（岁）[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65]支持“延迟退休年龄政策”人数 155 15 28 17（I ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表；年龄低于45岁的人数年龄不低于45岁的人数 总计支持（II）通过计算判断是否有95 %的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.参考公式：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++【答案】（I）列联表见解析；（II）有.【解析】（I）先根据频率分布直方图算出各数据，再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解；（II）算出观测值与3.841比较.【详解】（I）由统计数据填写的22⨯列联表如下：（II）计算观测值22100(3554515)6.25 3.84180205050K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95 %的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验.19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P -，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求||||PA PB +的值.【答案】（1）22:12x C y +=，:10l x y +-=；（2）||||3PA PB +=【解析】(1)消去参数t 求解直线l 的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C 的直角坐标方程.(2)利用参数t 的几何意义,联立直线与圆C 的方程,利用韦达定理求解即可. 【详解】(1)由12x ty t =-+⎧⎨=-⎩,两式相加可得:1l x y +=,即:10l x y +-=.又22443cos 222sin ρθθ==-+,即22222+22sin 4244x y ρρθ=⇒+= 即22:12x C y +=.(2)将:10l x y +-=化简成关于点(1,2)P -的参数方程有：1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,（t 为参数）, 代入22:12x C y +=有2221222314022t t ⎛⎫⎛⎫+++=⇒++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12||||PA PB t t +=+=. 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρθρθ-=（1）若4πα=，求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程： （2）若直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，且12MN =，求直线l 的斜率． 【答案】（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的直角坐标方程为244x y =+（2）【解析】（1）根据222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，求出直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （2）求出1224sin cos αρρα+=，1224cos ρρα=- ，根据12MN =，求出直线l 的斜率即可． 【详解】（1）由题意，直线2:2x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得直线l 是过原点的直线， 故其极坐标方程为()4R πθρ=∈，又22cos 4sin 4ρθρθ-=， 故244x y =+；（2）由题意，直线l 的极坐标为()R θαρ=∈， 设M 、N 对应的极径分别为1ρ，2ρ， 将()R θαρ=∈代入曲线C 的极坐标可得：22cos 4sin 4ρραα-=，故1224sin cos αρρα+=，1224cos ρρα=-， ∴12MN ρρ=-=24cos α=，故2412cos α=，则21cos 3α=，即222sin 1cos 3αα=-= ，222sin tan 2cos ααα==，所以tan k α==故直线l的斜率是． 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程的转化，考查直线的斜率，是一道中档题． 21．某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （2）据此估计2012年该城市人口总数．参考公式：$1221,ni ii n i i x ynxybay bx x nx==-==--∑∑$$． 【答案】（1）$ 3.2 3.6y x =+；（1）约为196万 【解析】（1）先求出年份2007x +和人口数y 的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到$a的值，得到线性回归方程；（2）当5x =代入回归直线方程，即可求得$y ． 【详解】 解：（1）Q 0123425x ++++==，5781119105y ++++==，51051728311419132i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222210123430i i x ==++++=∑∴122211325210 3.23052ni ii n i i x ynxybx nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$10 3.22 3.6a y bx =-=-⨯=$ 故y 关于x 的线性回归方程为$ 3.2 3.6y x =+；（2）当5x =时，$ 3.25 3.6y =⨯+，即$19.6y = 据此估计2012年该城市人口总数约为196万 【点睛】本题考查采用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题． 22．已知函数()()ln xf x a x a=-(0)a >. （1）若函数()f x 在[1,)+∞上是增函数，求正数a 的取值范围；（2）当1a ≠时，设函数()f x 的图象与x 轴的交点为A ，B ，曲线()y f x =在A ，B 两点处的切线斜率分别为1k ，2k ，求证：1k +2k 0<. 【答案】（1）(0,1]； （2）见解析.【解析】（1）由题意，求得函数的导数()2ln x x x a f x ax+-='，设()2ln g x x x x a =+-，分离参数转化为2ln a x x x ≤+在[)1,+∞上恒成立，设()ln h x x x x =+，利用导数求得函数()h x 的单调性，得到函数()h x 的最值，即可得到实数a 的取值范围；（2）由()0f x =，得11x =，22x a =，不妨设()()21,0,,0A B a ，利用导数求得,A B两点的斜率，得到1k +2k 22ln 1a a a-+=，设()ln 1F x x x =-+，利用导数求得函数()F x 的单调性与最大值，即可作出证明.【详解】（1）Q ()ln x f x a x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (0)a >，∴()2ln x x x af x ax+-='，设()2ln g x x x x a =+-，Q 函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，∴()2ln g x x x x a =+- 0≥在[)1,+∞上恒成立，即2ln a x x x ≤+在[)1,+∞上恒成立， 设()ln h x x x x =+，则()ln 2h x x ='+，1x ≥Q ，∴()2h x '≥，∴()ln h x x x x =+在[)1,+∞上是增函数，∴()1h x ≥，由2ln a x x x ≤+在[)1,+∞上恒成立，得21a ≤，Q 0a >， ∴01a <≤，即a 的取值范围是(]0,1. （2）Q 1a ≠，∴由()ln 0x f x a x a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，得11x =，22x a =，不妨设()()21,0,,0A B a .Q ()2ln x x x a f x ax +-='，211a k a -∴=，22ln a k a=，∴ 1k +2k 22ln 1a a a -+=， 设()ln 1F x x x =-+，则()1xF x x'-=，01x ∴<<时，()0F x '>，1x >时，()0F x '<，所以1x =为()ln 1F x x x =-+的极大值点，所以()ln 1F x x x =-+的极大值即最大值为()10F =，即()ln 10F x x x =-+≤， ∵0a >且1a ≠，∴20a >且21a ≠， ∴()222ln 10F aa a =-+<，∴1k +2k 22ln 1a a a-+= 0<.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及利用综合法的证明不等关系式，其中解答中函数不等式恒成立或不等式问题时，通常要构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与最值，从而求出参数的取值范围．同时利用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．。

吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高二4月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．点M 的直角坐标)1-化成极坐标为（ ）A ．52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭2．根据下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）A ．总工程师和专家办公室B ．总工程师、专家办公室和开发部C ．开发部D ．总工程师、专家办公室和所有七个部30=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为04．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A B ．CD ．5．设点N 的球坐标是54,,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则它的直角坐标是（ ）A ．(2,-B ．(2,2)-C ．(2,D ．(2,2)6．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+7．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ） A ．58件 B ．40件C ．38件D ．46件8．已知下表：1a 23,a a 456,,a a a则81a 的位置是（ ）A ．第13行第2个数B ．第14行第3个数C ．第13行第3个数D ．第17行第2个数9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．已知圆C 的参数方程为=-1+cos 1x y sin αα⎧⎨=+⎩(α为参数)，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( ) A ．13B ．15C ．1-3D ．－1511．如图是为了求出满足321000->n n 的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．1000>A 和1=+n nB ．1000>A 和2=+n nC ．1000≤A 和1=+n nD ．1000≤A 和2=+n n12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得12x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( ) A ．2 B ．32C ．3D ．53二、填空题13．平面直角坐标系中，若点73,2P π⎛⎫⎪⎝⎭经过伸缩变换11213x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于______．14．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________. 15．在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ++=对称，则a =_____. 16．直线3yx和x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在椭圆221169x y +=上运动，则椭圆上点C 到直线AB 的最大距离为______.三、解答题17．用综合法或分析法证明： （1）如果 ,0a b >，则 lg lg lg22a b a b++≥；（22>．18．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图如图所示, 支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表：（I ）由以上统计数据填写下面的22⨯列联表；（II ）通过计算判断是否有95 %的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P -，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求||||PA PB +的值.20．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 4ρθρθ-=（1）若4πα=，求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程： （2）若直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，且12MN =，求直线l 的斜率． 21．某城市理论预测2007年到2021年人口总数与年份的关系如表所示（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （2）据此估计2021年该城市人口总数．参考公式：1221,ni ii nii x ynxy b a y bx xnx==-==--∑∑．22．已知函数()()ln xf x a x a=-(0)a >. （1）若函数()f x 在[1,)+∞上是增函数，求正数a 的取值范围；（2）当1a ≠时，设函数()f x 的图象与x 轴的交点为A ，B ，曲线()y f x =在A ，B 两点处的切线斜率分别为1k ，2k ，求证：1k +2k 0<.参考答案1．D 【分析】分别求得极径和极角，即可将直角坐标化为极坐标. 【详解】由点M 的直角坐标可得：2ρ==，点M 位于第二象限，且tanθ==116πθ=，则将点M 的直角坐标)1-化成极坐标为112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查直角坐标化为极坐标的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．B 【分析】按照结构图的表示，就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下， 从左到右的顺序．本题是一个从上到下的顺序，先看总经理，他有三个分支：总工程师、 专家办公室和开发部． 【详解】按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部．读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序． 故选B ． 【点睛】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部 分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读． 3．B 【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题. 4．D 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d =直线l 被圆C 截得的弦长为=【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =求解.5．A 【解析】 【分析】利用球坐标与直角坐标的变换公式即可求解 【详解】由球坐标与直角坐标的变换公式，得554sincos2,4sin sin 4cos 023232x y z πππππ====-==，故点N 的直角坐标是(2,-. 故选：A 【点睛】本题考查球坐标与直角坐标的变换公式，熟记公式是关键，是基础题 6．D根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义. 7．D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+上且2b =-，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58yx =-+，当6x =时，26ˆ5846y =-⨯+=，故选D.考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用. 8．C 【解析】分析：根据数阵，第n 行的最后个数为第(1)1232n n n -+++⋯+=项，从而求得结果. 详解：根据题中所给的条件，可以发现第n 行最后一项为(1)2n n a +，故当12n =时，最后一个数为78a ， 所以81a 是第13行第3个数，故选C.点睛：该题考查的是有关数列的问题，需要从数阵中关察，得出其特征，将数列的项顺次往下写，所以关键是清楚第n 行的最后一个数是第多少项，也可以从第n 行的第一个数去分析，这样都可以求得结果. 9．B 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题. 10．D 【分析】先求出圆C 的普通方程，再求出直线过的定点A(0,-4)，再利用数形结合求出k 的值. 【详解】圆C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C(－1，1)． 直线kx ＋y ＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线的距离最大，因为k CA ＝－5，所以－k ＝15，所以k ＝－15. 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)解答本题的关键是数形结合分析推理出当CA 与直线kx+y+4=0垂直时，圆心C 到直线的距离最大. 11．D 【解析】由题意，因为321000->n n ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000>A ，故填1000≤A ，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2=+n n ，故选D.点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.12．B 【分析】 由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x =23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴故选：B 【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式. 13．1 【分析】根据伸缩变换求得Q 点的坐标，则根据对应点的坐标即可容易求得结果. 【详解】 因为点73,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设其直角坐标下对应点的坐标为(),x y ， 故可得0,3x cos y sin ρθρθ====-， 故其在直角坐标系下对应的点为()0,3-， 则110,1x y ==-，故()0,1Q -.故Q 点在极坐标系下的对应坐标为31,2π⎛⎫⎪⎝⎭， 则Q 点到极轴所在直线的距离等于1.故答案为：1. 【点睛】本题考查伸缩变换，以及直角坐标和极坐标之间的相互转化，属综合基础题.14 【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++ 15．1- 【解析】 【分析】把极坐标方程化为普通直角方程，利用圆心在直线上，得到a 值. 【详解】解：圆方程化为：22cos a ρρθ=，化为直角坐标方程为：2220x y ax +-=，直线cos sin 10ρθθ+=化为直角坐标方程为：10x ++=， 圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心（a ，0），所以，010a ++=，解得：a ＝－1. 故答案为：－1 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题.16．【分析】设点C 坐标为椭圆的参数形式，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可求解. 【详解】设()4cos ,3sin C θθ，则点C 到AB 的距离d ==≤=其中3tan 4ϕ=.故答案为:【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线的距离、三角函数的性质，属于基础题. 17．(1)见证明；(2)见证明 【分析】（1）利用基本不等式，结合y=lgx 在（0，+∞）上增函数即可证明；（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止． 【详解】证明：（1）当a ，b ＞0时，有2a b+0，∴lg2a b+ ∴lg 2a b +≥12lg （ab ）=2lga lgb +．∴lg 2a b +≥2lga lgb +；（2＞，）2＞（+2）2，即＞，显然成立的， 所以，原不等式成立． 【点睛】本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题．18．（I ）列联表见解析；（II ）有. 【分析】（I ）先根据频率分布直方图算出各数据，再结合支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结表求解；（II ）算出观测值与3.841比较. 【详解】（I ）由统计数据填写的22⨯列联表如下：（II ）计算观测值22100(3554515) 6.25 3.84180205050K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95 %的把握认为以45岁为分界点的同人群对“延迟退休年龄政策”的态度有差异.【点睛】本题考查频率分布直方图与独立性检验.19．（1）22:12x C y +=，:10l x y +-=；（2）||||3PA PB +=【分析】(1)消去参数t 求解直线l 的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C 的直角坐标方程.(2)利用参数t 的几何意义,联立直线与圆C 的方程,利用韦达定理求解即可. 【详解】(1)由12x ty t =-+⎧⎨=-⎩,两式相加可得:1l x y +=,即:10l x y +-=.又22443cos 222sin ρθθ==-+,即22222+22sin 4244x y ρρθ=⇒+=即22:12x C y +=.(2)将:10l x y +-=化简成关于点(1,2)P -的参数方程有：1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,（t 为参数）,代入22:12x C y +=有2221222314022t ⎛⎫⎛⎫+++=⇒++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12||||PA PB t t +=+=. 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.20．（1）直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的直角坐标方程为244x y =+（2）【解析】 【分析】（1）根据222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，求出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）求出1224sin cos αρρα+=，1224cos ρρα=- ，根据12MN =，求出直线l 的斜率即可． 【详解】（1）由题意，直线2:2x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得直线l 是过原点的直线， 故其极坐标方程为()4R πθρ=∈，又22cos 4sin 4ρθρθ-=，故244x y =+；（2）由题意，直线l 的极坐标为()R θαρ=∈， 设M 、N 对应的极径分别为1ρ，2ρ， 将()R θαρ=∈代入曲线C 的极坐标可得：22cos 4sin 4ρραα-=，故1224sin cos αρρα+=，1224cos ρρα=-，∴12MN ρρ=-=24cos α=，故2412cos α=，则21cos 3α=，即222sin 1cos 3αα=-= ，222sin tan 2cos ααα==，所以tan k α==故直线l 的斜率是． 【点睛】本题考查了极坐标和直角坐标方程的转化，考查直线的斜率，是一道中档题． 21．（1） 3.2 3.6y x =+；（1）约为196万 【分析】（1）先求出年份2007x +和人口数y 的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到a 的值，得到线性回归方程； （2）当5x =代入回归直线方程，即可求得y ． 【详解】 解：（1）0123425x ++++==，5781119105y ++++==，51051728311419132i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222210123430i i x ==++++=∑∴1222113252103.23052ni ii n i i x ynxyb x nx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，10 3.22 3.6a y bx =-=-⨯=故y 关于x 的线性回归方程为 3.2 3.6y x =+； （2）当5x =时， 3.25 3.6y =⨯+，即19.6y = 据此估计2021年该城市人口总数约为196万 【点睛】本题考查采用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的简单应用，考查计算能力，属于基础题．22．（1）(0,1]； （2）见解析. 【分析】（1）由题意，求得函数的导数()2ln x x x a f x ax+-='，设()2ln g x x x x a =+-，分离参数转化为2ln a x x x ≤+在[)1,+∞上恒成立，设()ln h x x x x =+，利用导数求得函数()h x 的单调性，得到函数()h x 的最值，即可得到实数a 的取值范围；（2）由()0f x =，得11x =，22x a =，不妨设()()21,0,,0A B a ，利用导数求得,A B 两点的斜率，得到1k +2k 22ln 1a a a-+=，设()ln 1F x x x =-+，利用导数求得函数()F x 的单调性与最大值，即可作出证明. 【详解】（1） ()ln x f x a x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (0)a >，∴()2ln x x x af x ax+-='，设()2ln g x x x x a =+-，函数()f x 在[)1,+∞上是增函数，∴()2ln g x x x x a =+- 0≥在[)1,+∞上恒成立，即2ln a x x x ≤+在[)1,+∞上恒成立， 设()ln h x x x x =+，则()ln 2h x x ='+，1x ≥，∴()2h x '≥，∴()ln h x x x x =+在[)1,+∞上是增函数，∴()1h x ≥，由2ln a x x x ≤+在[)1,+∞上恒成立，得21a ≤， 0a >，∴01a <≤，即a 的取值范围是(]0,1.（2）1a ≠，∴由()ln 0x f x a x a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，得11x =，22x a =，不妨设()()21,0,,0A B a .()2ln x x x a f x ax +-='，211a k a -∴=，22ln a k a=，∴1k +2k 22ln 1a a a -+=，设()ln 1F x x x =-+，则()1xF x x'-=，01x ∴<<时，()0F x '>，1x >时，()0F x '<，所以1x =为()ln 1F x x x =-+的极大值点，所以()ln 1F x x x =-+的极大值即最大值为()10F =，即()ln 10F x x x =-+≤， ∵0a >且1a ≠，∴20a >且21a ≠， ∴()222ln 10F aa a =-+<，∴1k +2k 22ln 1a a a-+= 0<.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及利用综合法的证明不等关系式，其中解答中函数不等式恒成立或不等式问题时，通常要构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、极值与最值，从而求出参数的取值范围．同时利用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．。

1.设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为( ) A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0 D ．6x ＋y －12＝0 2.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9， p =（）A. 2B. 3C. 6D. 93.设F 为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P,Q,若060,2=∠=PQF QF PQ ,则该双曲线的离心率为()A.3B.31+C.32+D.324+4.已知函数()ln a f x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A.e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭B.e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C.e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦D.[)1,e - 5.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝()A.1B.－1C.－e －1D.－e6.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.[－6，－98]C.[－6，－2]D.[－4，－3]7.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2.若f (x 1)＝x 1<x 2，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A.3B.4C.5D.68.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（）．A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP9.若存在实数x ，y 满足ln 3y y x x e e --+≥+，则x y +=A.1-B.0C.e D .110.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 在双曲梅河口市第五中学2020-2021学年下学期高二年级 （数学测试卷） 半月考 考试时间：50 min 试卷满分：100分 选择题 选择题 ：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答 注意事项1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.请在答题卡的指定位置上填写姓名、考号、并填涂或粘贴条形码；3.第Ⅰ卷（选择题）答案填涂在答题卡相应位置，并注意深浅度一致，饱满、干净。

2019-2020年高二（下）4月月考数学（理）试题解析版含解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是（）4．（5分）（xx•湖北模拟）一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是3x，8．（5分）（2011•资中县模拟）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则9．（5分）（xx •浙江）设f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，将y=f （x ）和y=f ′（x ）的图象画． C ． ．2二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上）13．（4分）若y=x3+x﹣2在P处的切线平行于直线y=7x+1，则点P的坐标是（，）或（﹣，）．14．（4分）若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是m≥．15．（4分）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为﹣37．16．（4分）曲线y=cosx（0≤x≤π）与坐标轴所围成的图形的面积为3﹒三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R）．（1）求函数f（x）在x=1的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．18．（12分）（xx•河南模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．19．（12分）（xx•韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．20．（12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？21．（13分）设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+18（a∈R）（1）判断f（x）在定义域上的单调性；（2）求f（x）在[1，2]上的最大值．22．（13分）（xx•枣庄模拟）已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．（1）若函数h（x）=g（x）+1﹣f（x）﹣2x存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．。

教学资料参考范本【2019-2020】高二数学下4月月考试题理撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________考试范围：选修2-2.（第一章，第二章）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

y1、曲线在（1,1）处的切线方程是（）2xA、 B、 C、 D、2、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A、假设至少有一个钝角B、假设至少有两个钝角C、假设没有一个钝角D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角3、观察按下列顺序排列的等式：，，，，…猜想第个等式应为（）A、 B、C、 D、4、用数学归纳法证明某不等式，左边=，“从n=k到n=k+1”应将左边加上（）A、 B、 C、 D、5、下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是三角函数；②三角函数是周期函数；③是周期函数A、①②③B、②①③C、②③①D、③②①6、曲线与轴以及直线所围图形的面积是（）A、4B、2C、D、37、若，则=（）A、-3B、-12C、-9D、-68、函数的单调递增区间是（）A、 B、 C、 D、9、已知函数，“”是“在R上单调递增”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件10、函数有（）A、极小值-1，极大值0B、极小值0，极大值-1C、极小值1，极大值0D、极小值0，极大值111、函数的最大值是（）A、 B、 C、 D、12、已知定义域为的奇函数，当时，恒成立。

若，，，则（）A、 B、 C、 D、二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、凸k边形的内角和为，则凸（k+1）边形的内角和_14、已知函数，且，则=_________15、_________16、函数是R上的单调递增函数，则实数b的取值范围为_________三、解答题：共70分。

教学资料参考范本【2019-2020】高二数学4月月考试题理1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、二、选择题：本题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从集合{1，2，3，4，5}中任取2个元素，取到偶数的个数为随机变量，则此随机变量的取值为( )．A．2，4 B．0，2 C．1，2 D．0，1，2 2.设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有( )A．个B．个C．个 D. 个A263.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A.16种B.36C.42种D.60种4.设回归直线方程为，则变量增加1个单位时，（）A．平均增加1.5个单位 B.平均增加2个单位C．平均减少1.5个单位 D.平均减少2个单位5.两个变量x和y具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x 的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有（）A.b与r的符号相同B. a与r的符号相同C.b与r的符号相反D. a与r的符号相反6.已知随机变量X服从两点分布，E（X）＝0.4，则其成功概率为( )．A．0 B．1 C．0.4 D．0.67.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )A.n＝4，p＝0.6B.n＝6，p＝0.4C. n＝8，p＝0.3D.n＝24，p＝0.18.若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.7，则P(X≤μ－σ)＝( )．A．0.15 B．0.3 C．0.35 D．0. 659.在(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30 B．20 C．15 D．1010.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是( )A. 4B. 4.5C. 4.75D. 511.如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )．A. B. C. D.1212.随机变量的概率分布列为() 其中为常数，则的值为（）A. B. C. D.13.点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．14.曲线的极坐标方程化为直角坐标为（ ）A. B.C. D.15．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.16．已知x 、y 的取值为：从散点图可知y 与x 呈线性相关关系，且回归直线方程为y ＝1.2x ＋a ^，则当x ＝20时，y 的取值为________．17.已知X 的分布列为：设Y ＝2X ＋1，则Y ．18.一批产品的二等品率为0.04，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D（X）＝________.19.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是20.直线被圆截得的弦长为______________。