2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高三9月月考 数学(文)

2 ⎪梅河口五中高三下学期模拟考试数学（文科）1、已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) ≤ 0 }，则 A ⋂ B 等于( ) A. {1} B. {1, 2}C. {0,1, 2, 3}D. {-1, 0,1, 2, 3}2、已知复数 z 在复平面内对应点是 (1, -2) ， i 为虚数单位，则 z + 2= ( ) z - 1A. -1 - iB. 1+ i3 C. 1 - i2D. 1 + 3 i23、命题" ∀x ∈ R, x 3- x 2 + 1 ≤ 0 "的否定是()4、已知向量 a = (4, -1), b = (-5, 2) ，且 (a + b ) / /(ma - b ) ，则实数 m = （ ）A. 1B. -1C. 75 D. - 755、已知 a = 21.2 ， b = ⎛ 1 ⎫ ⎝ ⎭-0.8， c = 2 log 5 2 ，则 a , b , c 的大小关系为( )A. c < b < aB. c < a < bC. b < a < cD. b < c < a6、数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 a , b 分别为 8, 2 ， 则输出的 n = ()A.2B.3C.4D.57、在△ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 A = 30︒, b 2 = 2ac ，则 b sin B =c（ ）A. 1B. 2C. 12D.28、在区间[- π , π ] 上随机取一个数 x ，则sin 2x 的值介于 0 到 之间的概率为4 4 2（ ）A. 34 D. 13B. 23C. 129、已知直线 y = kx (k ≠ 0) 与双曲线 x 2 y 2-= 1(a > 0, b > 0) 交于 A , B 两点，以 AB 为直a 2b 2径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若△ABF 的面积为 4a 2 ，则双曲线的离心率为()A.B.C. 2D.10、设函数 f ( x ) 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x ∈ D ，都有⎨⎩S 4 f ( x + m ) > f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 D 上的“ m 型增函数”，已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时， f ( x ) = x - a - a （ a ∈ R ）．若 f ( x ) 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． a > 0B ． a < 5C ． a < 10D ． a < 2011、已知过球面上三点 A , B , C 的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6, AB = 4 ，则球面面积为( )A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π12、已知直线 l : y = -2 x - m (m > 0) 与圆 C : x 2 + y 2- 2x - 2 y - 23 = 0 ，直线 l 与圆 C 相交于不同两点 M , N .若| MN |≤ 2 | CM + CN | ，则 m 的取值范围是（）A. 5)B. [2, 3)C. (5,D.2)13、设曲线 y = ax 2 在点 (1, a ) 处的切线与直线 x + 2 y - 6 = 0 垂直，则 a =.⎧ x - 2 y ≤ 014、已知 x , y 满足约束条件 ⎪2 x + y - 4 ≤ 0 ，则 z = x + y 的最小值为 ．⎪ x ≥ 1 15、已知正数 x , y 满足 3x + 4 y = xy ，则 x + 3 y 的最小值为 .16、△ ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 a = b cos C + c sin B ，且 b则△ ABC 面积的最大值是.17、已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 2 = 8，a 3 + a 8 = 2a 5 + 2 ．(1)求 a n ；(2)设数列{ 1 } 的前 n 项和为T ，求证T < 3 . n nn18、如图，在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 ，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC , E , F 分别是 A 1C 1 , BC 的中点.2(1).求证：平面 ABE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ；(2).求证： C 1 F / / 平面 ABE .19、如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥ 平面 ABCD ，AB / /CD , AB ⊥ BC , AB = BC = 4, C D = 2CE = 2 .（1）证明：平面 PAD ⊥ 平面 PDE ；（2）若△PAB 的面积为 P - ADE 的体积.20、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x y 2+ = 1 的左顶点为A ，右焦点为 F ，P ， 4 3Q 为椭圆 C 上两点，圆 O : x 2+ y 2= r 2(r > 0) .（1）若 PF ⊥ x 轴，且满足直线 AP 与圆 O 相切，求圆 O 的方程；（2）若圆 O 的半径为 2，点 P ，Q 满足 k 值.21、设函数 f ( x ) = ln x - 1 ax 2 - bx .2OP ⋅ k OQ= - 3 ，求直线 PQ 被圆 O 截得弦长的最大 4（1）若 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，求 a 的取值范围；（2）当 a = 0 , b = - 1 时，方程 x 2 = 2mf ( x ) （其中 m > 0 ）有唯一实数解，求 m 的值. 22、选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系3 ⎧⎪ x =中取相同的长度单位．已知直线 l 的参数方程为 ⎨t( t 为参数)，曲线 C 的极坐标⎛ π ⎫方程为 ρ= 4 s in θ+ ⎪ .⎝ ⎭⎪⎩ y = 1 +(1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两点，求△MON 的面积．23、已知函数 f (x ) = x - 3 - 2 x . (1)求不等式 f ( x ) ≤ 2 的解集；(2)若 f ( x ) 的最大值为 m ，正数 a , b , c 满足 a + b + c = m ，求证： a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 .2 ⎪ 551 答案及解析：答案：B解析：∵集合 A = {1, 2, 3}, B = {x (x + 1) (x - 2 ) ≤ 0}= {x -1 ≤ x ≤ 2 } ，∴ A ⋂ B = {1, 2} .故选 B.2 答案及解析： 答案：D 解析：z + 2 = 3 - 2i = 1 + 3i ，故选 D. z - 1 -2i 23 答案及解析：答案：C解 析 ： 由 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 得 命 题 ∀x ∈ R,x 3 - x 2 + 1 ≤ 0 的 否 定 是“ 32∃x 0 ∈ R,x 0- x 0 + 1 > 0 ”，故选 C.4 答案及解析：答案：B解析：易知 a + b = (-1,1), ma - b = m (4, -1) - (-5, 2) = (4m + 5, -m - 2) ，因为(a + b ) / /(ma - b ) ，所以 (-1) ⨯ (-m - 2) - 1⨯ (4m + 5) = 0 ，解得： m = -1，故选 B.5 答案及解析： 答案：A解析：∵ a = 21.2> 2 ， b = ⎛ 1 ⎫⎝⎭ -0.8= 20.8 < 21 = 2 ， c = log 4 < log 5 = 1 ，∴ c < b < a .故选 A.6 答案及解析：答案：D解析：输入的 a , b 分别为 8, 2, n = 1第一次执行循环体后 a = 12, b = 4, 不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后 n = 2, a = 18, b = 8, 不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后 n = 3, a = 27, b = 16, 不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后 n = 4, a =81, b = 32 ，不满足退出循环的条件， 2第五次执行循环体后 n = 5, a = 243, b = 64 ，满足退出循环的条件， 4故输出的 n = 5 ，故选 D .7 答案及解析： 答案：A解析：因为 b 2 = 2ac ，由正弦定理，得 sin 2 B = 2 s in A s in C = 2 s in 30 sin C = sin C ，所b sin B 以c sin 2 B= = 1， sin C故选 A.8 答案及解析： 答案：Dπ π π 解析：所有的基本事件构成的区间长度为 - (- ) = ，由 0 ≤ sin 2 x ≤，解得：4 4 2 20 ≤ 2 x ≤ π ，则 0 ≤ x ≤ π ，所以由几何概型的概率公式得 sin 2x 的值介于 0 到 之间的3 6 2π - 06 1 概率为 P = π = 3 ， 2故选:D.9 答案及解析： 答案：D解析：由题意可得图像如图所示： 为双曲线的左焦点2∵AB 为圆的直径∴∠AFB = 90︒根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 AFBF ' 为矩形∴S = 1 S = S △ABF 2 AFBF ' △FBF '又 b 2 2 2 2S △FBF ' == b tan 45︒= 4a ，可得： c = 5a∴e 2 = 5 ⇒ e =.故选 D.10 答案及解析：答案：B解析：若 a ≤ 0 ：当 x > 0 时， f ( x ) =| x - a | -a =| x |= x ，又∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f ( x ) = x ，符合题意；⎧- x , 0 < x < a 若 a > 0 ：当 x > 0 时， f ( x ) =| x - a | -a = ⎨， ⎩ x - 2a , x ≥ a又∵ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，根据题意可知 f ( x + 20) > f ( x ) 对于任意x ∈ R 恒成立，∴问题等价于将 f ( x ) 的图象向左平移 20 个单位后得到的新的函数 f (x + 20) 图象恒在f ( x ) 图象上方，可知 4a < 20 ，即 0 < a < 5 ，综上实数 a 的取值范围是 (-∞, 5) ，故选 B.11 答案及解析： 答案：C解析：如图，设球的半径为R,O'是△ABC 的外心，外接圆半径为r, 则OO'⊥面ABC .在1Rt△ACD 中，cosA =，则sinA =.3在△ABC 中，由正弦定理得6sin A3=2r,r ，△ABC 外接圆的半径r ==R ⇒R2 =27，S= 4πR2 = 54π.故选:C.212 答案及解析：答案：B解析：圆C 方程可化为：(x-1)2 +(y -1)2 = 25 ⇒C(1,1) ，圆C 半径r = 5 | MN |≤ 2 | CM +CN |=| MN |2 ≤ 4 | CM +CN |2即| MN |2 ≤ 4 | CM |2 +4 | CN |2 +8CM ⋅C N∴| MN |2 ≤100 +100 +8 | CM |⋅| CN | cos∠MCN2⇒| MN |2 ≤100 +100 +200⨯25+ 25- | MN |50⇒| MN |≤设圆心C 到直线y =-2x-m 的距离为d则=≤⇒m ≥ 2又直线y =-2x-m 与圆C 相交，可得d <r< 5 ⇒m < 3综上所述：m∈[2, 3)故选B.13 答案及解析：答案：1解析：y ' = 2ax ，所以切线的斜率k = 2a ，⎨ ⎩ 又切线与直线 x + 2 y - 6 = 0垂直得 2a ⨯ ⎛ - 1 ⎫ = -1 ，解得 a = 1.2 ⎪ ⎝ ⎭14 答案及解析：答案： 32⎧ x - 2 y ≤ 0 解析：作出 x ，y 满足约束条件 ⎪2 x + y - 4 ≤ 0 对应的平面区域如图： ⎪ x ≥ 1由 z = x + y 得 y = -x + z 表示，斜率为-1 纵截距为 z 的一组平行直线，平移直线 y = -x + z 当直线 y = -x + z 经过点 A 时，直线 y = -x + z 的截距最小，此时 z最小，⎧ x = 1 1 由 ⎨⇒ A (1, ) ，⎩ x - 2 y = 0 2z = 1 + 1 = 3 ．此时 min2 2 3故答案为： ．215 答案及解析：答案：25解析：由正数 x ，y 满足 3x+4y=xy ，∴． ∴x+3y==13+≥13+2=25，当且仅当 x=2y=10 时，取等号．∴x+3y 的最小值为 25． 故答案为：25．16 答案及解析：⎨答案： + 12解析：由 a = b cos C + c sin B 及正弦定理得，sin A = sin B cos C + sin C cos B ，即 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，又 sin ( B + C ) = sin B cos C + sin C sin B ，于是可得 sin B = cos B ， 即 tan B = 1, B = 45︒ .在△ ABC 中，由余弦定理得 a 2 + c 2 = 2ac cos 45° = 2 ，即 a 2 + c 2 = 2 ，又因为 a 2 + c 2 ≥ 2ac ，∴ 2 = a 2 + c 2 ≥ (2 -a c ，由此可得 ac= 2a = c 时等号成立， △ ABC 面积 S = 1 ac sin B =2 += 1 ，2 4 2故△ ABC 面积 S17 答案及解析：答案：（1）设公差为 d ，由题意有 ⎧2a 1 + d = 8 ， ⎩2a 1 + 9d = 2a 1 + 8d + 2解得 a 1 = 3, d = 2 ，所以 a n = 2n + 1 .（2）由（1）知， S n= n (3 + 2n + 1) = n 2 + 2n ，2则 1 = 1 = 1 ( 1 - 1 ) ， S n n (n + 2) 2 n n + 2所以T = 1 [(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + (1 - 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 )] n2 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 = 1 (1 + 1 - 1 - 1 ) < 3. 2 2 n + 1 n + 2 418 答案及解析：答案：(1).在三棱柱 ABC - A 1 B 1C 1 中， BB 1 ⊥ 底面 ABC所以BB1⊥AB又因为AB ⊥BCBC ⋂BB1=BBC, BB1⊂平面B1BCC1所以AB ⊥平面B1BCC1又AB ⊂平面ABE所以平面ABE ⊥平面B1BCC1(2).证明：AB 取的中点G，连接EG, FG因为E, F 分别是A1C1, BC 的中点所以FG / /AC ，且FG =1AC2因为AC / /A1C1，且，AC =A1C1，所以FG / /E C1，且FG =EC1，所以四边形为FGEC1平行四边形所以C1F / /EC又因为EG ⊂平面ABE ，C1F ⊄平面ABE所以C1F / / 平面ABE19 答案及解析：答案：（1）在直角梯形ABCD 中，AB =BC =4 ，CD =2 ，CE = 1，ÐABE = ÐECD \ DE ==AB == 5AD ==\ DE2 +AE2 =AD2 ，\ AD ^ DEQ PD ^ 平面ABCD ，DE Ì平面ABCD ，\ PD ^DE ，又AD I PD = D\ DE ^ 平面PAD ，又DE Ì平面PDE ，\ 平面PAD ^ 平面PDE\ Sy2⎝⎪（2）设PD =h ，BD ==，AD =\ PA =PB =ΔPAB= 1 鬃=22\ h又S△ADE= 1 AD×DE = 52\ 1VP- ADE=S△ADE×h3 320 答案及解析：x2答案：（1）因为椭圆C 的方程为2+=1，所以A (-2, 0),F (1.0).4 3因为PF ⊥x 轴，所以P⎛1,±3 ⎫，而直线AP 与圆O 相切，2 ⎪⎝⎭根据对称性，可取P⎛1, 3 ⎫，⎭则直线AP 的方程为y =1 (x +2)，即x -2y +2 = 0 .24由圆O 与直线AP 相切，得r =，所以圆O 的方程为x2 +y2 =.5（2）易知，圆O 的方程为x2 +y2 =3.①当PQ ⊥x 轴时，k ⋅k=-k 2 =-3，所以k =±，OP OQ OP 4 OP 2此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y =kx +b ，P (x1 , y1 ),Q (x2 , y2 )(x1 x2 ≠ 0)，228kb 4b 2 -12 ）式，得 2b 2 = 4k 2 3 + 4k 2 代入（* 3 + 4k 2首先由 k ⋅ k = - 3 ，得 3x x+ 4 y y= 0 ， OP OQ41 2 1 2 即 3x 1 x 2 + 4 (kx 1 + b ) (kx 2 + b ) = 0 ，所以 (3 + 4k) x 1 x2+ 4kb ( x 1 + x 2 ) + 4b= 0 （*）⎧ y = kx + b⎪ 联立 ⎨ x 2 ⎪ y 2+ = 1 ，消去 x ，得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kbx + 4b 2 - 12 = 0 ，在 ∆ > 0 时 ⎩4 3x 1 + x 2 = - , x 1 x 2 = + 3 .由于圆心 O 到直线 PQ 的距离为 d ，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长为 l =k = 0 时，l 有最大值>，所以直线 PQ 被圆 O 截得的弦长的最大值为21 答案及解析：答案：（1）由题意，函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞) ，则导数为 f '( x ) = 1- ax - bx由 f (1) = 0 ，得 b = 1 - a ，∴ f '( x ) = 1- ax + a - 1 =-(ax + 1)( x - 1)x x①若 a ≥ 0 ，由 f '( x ) = 0 ，得 x = 1 .当 0 < x < 1时， f '( x ) > 0 ，此时 f ( x ) 单调递增； 当 x > 1 时， f '( x ) < 0 ，此时 f ( x ) 单调递减. 所以 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点②若 a < 0 ，由 f '( x ) = 0 ，得 x = 1 ，或 x = - 1.a因为 x = 1 是 f ( x ) 的极大值点，所以 - 1 > 1 ，解得 -1 < a < 0 a综合①②：a 的取值范围是 a > -1⎪2（2）因为方程 2mf ( x ) = x 2 有唯一实数解，所以 x 2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解2 x 2 - 2mx - 2m 设 g ( x ) = x 2- 2m ln x - 2mx ，则 g '( x ) = ，x令 g '( x ) = 0 ，即 x 2 - mx - m = 0 .m 因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x 1 =2 m < 0 （舍去）， x 2 = 2当 x ∈ (0, x 2 ) 时， g '( x ) < 0 ， g ( x ) 在 (0, x 2 ) 上单调递减， 当 x ∈ (x 2 , +∞) 时， g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在 ( x 2 , +∞) 单调递增 当 x = x 2 时， g '( x ) = 0 ， g ( x ) 取最小值 g ( x 2 )⎧g ( x ) = 0 ⎧ x 2 则 2 ，即 2 - 2m ln x 2 - 2mx 2 = 0 ， ⎨ ⎩g '( x 2 ) = 0 ⎨ 2⎪⎩ x 2 - mx 2 - m = 0所以 2m ln x 2 + mx 2 - m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x 2 + x 2 -1 = 0(*)设函数 h ( x ) = 2 ln x + x - 1，因为当 x > 0 时， h ( x ) 是增函数，所以 h ( x ) = 0 至多有一解m 因为 h (1) = 0 ，所以方程 (*) 的解为 x 2 = 1 ，即2 = 1 ，解得 m = 1222 答案及解析：⎧⎪ x 答案：(1)由 ⎨- t，消去参数 t + y = 4 ，直线 l 的普通方程为+ y - 4 = 0 . ⎪⎩ y = 1 +⎛ π ⎫由 ρ= 4 sin θ+⎪ = 2 sin θ+ θ 得，ρ = 2ρsin θ+ 2 3， ⎝3 ⎭即 x 2 + y 2 = 2 y + ，∴曲线 C 的直角坐标方程是圆： ( x - 2 + ( y - 1)2 = 4 .(2)∵原点 O 到直线 l 的距离 d == 2 .直线 l 过圆 C 的圆心，∴ MN = 2r = 4 ，⎨3 所以△MON 的面积 S = 1MN ⨯ d = 4 . 2解析：23 答案及解析：答案：（1）当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) + 2x = x + 3 ，由 f ( x ) ≥ 2 ，得 x + 3 ≥ 2 ， 解得x ≥ -1 ，此时 -1 ≤ x ≤ 0 ； 当 0 < x < 3 时， f ( x ) = x - 3 - 2 x = (3 - x ) - 2x = 3 - 3x ，由 f ( x ) ≥ 2 ，得 3 - 3x ≥ 2 ，解得x ≤ 1 ，此时 0 < x ≤ 1； 3 3当 x ≥ 3 时， f (x ) = x - 3 - 2 x = ( x - 3) - 2x = -x - 3 ≤ -6 ，此时不等式 f ( x ) ≥ 2 无解.综上所述，不等式 f ( x ) ≥ 2 的解集为 ⎡-1, 1 ⎤ ；⎢ 3 ⎥ ⎣ ⎦⎧ x + 3, x ≤ 0（2）由 1 可知 f (x ) = ⎪- 3x , 0 < x < 3 . ⎪- x - 3, x ≥ 3当 x ≤ 0 时， f ( x ) = x + 3 ≤ 3 ；当 0 < x < 3 时， f ( x ) = 3 - 3x ∈ (-6, 3) ；当 x ≥ 3 时，f ( x ) = -x - 3 ≤ -6 .所以，函数y = f ( x ) 的最大值为 m = 3 ，则 a + b + c = 3 .由柯西不等式可得 (1 + 1 + 1)(a 2 +b 2 +c 2 )≥ (a + b + c )2，即 3(a 2 +b 2 +c 2 )≥ 32 ， 即 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 ，当且仅当 a = b = c = 1 时，等号成立. 因此， a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 .。

2020届吉林省梅河口市第五中学高三下学期模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A =I B ．A B B ⋃=C ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð【答案】D【解析】化简集合A ，根据对数函数的性质，化简集合B ，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【详解】由2230,(23)(1)0x x x x -++≥-+≤，则31,2A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故U 3(,1),2A ⎛⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ð， 由2log 1x >知，(2,)B =+∞，因此A B =∅I ，31,(2,)2A B ⎡⎤⋃=-⋃+∞⎢⎥⎣⎦，()U (2,)A B ⋂=+∞ð，3(2,)(,1),2⎛⎫+∞⊆-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选:D 【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i - B ．2iC ．1i -+D ．0【答案】B【解析】根据复数除法的运算法则，即可求解. 【详解】22(1)22,21iz i i z i i+-=+==-. 故选:B.本题考查复数的代数运算，属于基础题. 3．设1,0(){2,0xx x f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．32【答案】C【解析】试题分析：()21224f --==Q ，()()11112114422f f f ⎛⎫∴-==-=-= ⎪⎝⎭．故C 正确．【考点】复合函数求值．4．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．63【解析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【详解】执行程序框3,t =0i =；8,t =1i =；23,t =3i =；68,t =7i =；203,t =15i =；608,t =31i =，满足606t >，退出循环，因此输出31i =， 故选:B. 【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 5．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．35-【答案】B【解析】根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值． 【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-， 则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+故答案选B 【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．6．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A【解析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=，又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ，又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可. 故选:A 【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.7．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( )A ．12B ．35C ．710D ．45【答案】C【解析】先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2510C =种情况，2张均没有奖的情况有233C =（种），故所求概率为3711010-=. 故选:C. 【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题.8．已知a b r r ，满足23a =r ，3b =r ，6a b ⋅=-r r ,则a r 在b r 上的投影为（ ）A ．2-B ．1-C ．3-D ．2【答案】A【解析】根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】a r 在b r 上的投影为6cos 23a b a bθ⋅-===-rr r r . 故选:A 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.9．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A ．23B ．163C ．6D ．与点O 的位置有关 【答案】B【解析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题. 10．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.11．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( )A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =； 当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.12．直线330x y -=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，若2FC CA =u u u v u u u v，则该椭圆的离心率是（）A ．31B 31- C ．222 D 21【答案】A【解析】由直线330x -+=过椭圆的左焦点F ，得到左焦点为(3,0)F ，且223a b -=，再由2FC CA =u u u r u u u r ，求得332A ⎫⎪⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得2336a +=，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，直线330x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得3x =所以3c =，即椭圆的左焦点为(3,0)F -，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C ，所以，3,1,2OF OC FC ===，因为2FC CA =u u u r u u u r，所以3FA =，所以33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又由点A 在椭圆上，得22394a b+= ② 由①②，可得2242490a a -+=，解得2336a +=， 所以()222242331336c e a ===-=-+，所以椭圆的离心率为31e =-. 故选A. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．二、填空题13．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-，所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6． 【考点】等差数列的基本性质 【名师点睛】在等差数列五个基本量，，，，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.14．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，20013x x +>”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1＜3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】②【解析】命题“∃x ∈R ，x 2＋1＞3x”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x”，故①错误；“p ∨q”为假命题说明p 假q 假，则(⌝p)∧(⌝q)为真命题，故②正确；a ＞5⇒a ＞2，但a ＞2⇒/ a ＞5，故“a ＞2”是“a ＞5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误． 15．将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________． 【答案】3【解析】根据平移后关于y 轴对称可知()f x 关于6x π=对称，进而利用特殊值()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭构造方程，从而求得结果. 【详解】()f x Q 向左平移6π个单位长度后得到偶函数图象，即关于y 轴对称()f x ∴关于6x π=对称 ()03f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭即：31sincos3322a b a b b ππ+=+= 3b a ∴=本题正确结果：3 【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.16．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x 轴上，且a c -=, 那么椭圆的方程是 ．【答案】【解析】【详解】由题意可设椭圆方程为：∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上 ∴tan 360bc︒== 又，∴，∴椭圆的方程为221129x y +=，故答案为221129x y +=．【考点】椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．三、解答题17．在ABC ∆3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆，223b c +=+a 的值． 【答案】(1) 6A π=;(2) 2a =.【解析】试题分析：（13sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以 3tan A =进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到223b c +=+式得到2a =． 解析：（I 3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅．又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以 3tan 3A =． 又因为 ()0,A π∈， 所以 6A π=．（II ）由11sin 324ABC S bc A bc ∆===，得43bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222238312a b c bc bc b c =+--=+--， 因为223b c +=+， 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =.18．在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，22AB CF DE ===，G 为BF 的中点.（1）求证：CG AF ⊥；（2）求平面BCF 与平面AEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）306【解析】（1）首先证明CG AB ⊥，CG BF ⊥，AB BF B =I ，∴CG ⊥平面ABF .即可得到AF ⊂平面ABF ，CG AF ⊥.（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 和平面BCF 的法向量，带入公式求解即可.【详解】（1）∵CF ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴CF AB ⊥. 又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ∵BC CF C =I ，∴AB ⊥平面BCF . ∵CG ⊂平面BCF ，∴CG AB ⊥.又∵2BC CF ==，G 为BF 的中点，∴CG BF ⊥. ∵AB BF B =I ，∴CG ⊥平面ABF . ∵AF ⊂平面ABF ，∴CG AF ⊥.（2）∵CF ⊥平面ABCD ，CF DE P ，∴DE ⊥平面ABCD .以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.如图所示：则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ()0,2,2F .∴()2,0,1AE =-u u u r ，()0,2,1EF =u u u r ，()0,2,0DC =u u u r. 设(),,n x y z =r为平面AEF 的法向量， 则·0·0n AE n EF ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，得2020x z y z -+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则()1,1,2n =-r.由题意知()0,2,0DC =u u u r为平面BCF 的一个法向量， ∴()6cos ,||||62n DC n DC n DC ===⨯r u u u rr u u u r g r u u u r∴平面BCF 与平面AEF 26301()66--=.【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.19．在四棱锥P ABCD —的底面是菱形， PO ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是,AD AB 的中点， 6,5,60AB AP BAD ==∠=︒.（Ⅰ）求证： AC PE ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 33，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）312986； （Ⅲ）见解析. 【解析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC ⊥平面POE ，据此证明题中的结论即可； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB 的方向向量与平面POE 的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点F 存在，设(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，由直线BF 与PA 的方向向量得到关于λ的方程，解方程即可确定点F 的位置. 【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD P ，故OE AC ⊥，PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()()()330,0,4,0,33,0,00,0,0,3,022P B E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =r,则：40333022m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u uv r u u u v r ， 据此可得平面POE 的一个法向量为)3,1,0m =-r，而()0,33,4PB =-u u u v，设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则333sin 12986213PB m PB m θ⋅===⨯⨯u u u v r u u uv r (Ⅲ)由题意可得：()()()3,0,0,6,33,0,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在，设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，据此可得：()()3,,3,33,0x y z λ+=-，即：33330x y z λλ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而点F 的坐标为()33,33,0F λλ--，据此可得：()33,3333,0BF λλ=---u u u v ,()3,0,4PA =-u u u v ， 结合题意有：()()223310591271BF PA BF PA λλ⋅==⨯⨯++-u u u v u u u v u u u v u u u v ，解得：12λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =+. （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A ，B 两点，O是原点，且OAB S =V k 的值. 【答案】（1）(1)( 1.1)-⋃-⋃；（2）0k =或2k =±. 【解析】（1）联立直线方程与双曲线方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式，即可求出结论；（2）设()11,,A x y ()22,B x y ，由（1）可得12,x x 关系，再由直线l 过点(0,1)，可得1212OAB S x x =-=V ，进而建立关于k 的方程，求解即可. 【详解】（1）双曲线C 与直线l 有两个不同的交点， 则方程组2211y kx x y =+⎧⎨-=⎩有两个不同的实数根， 整理得()221220kxkx ---=，()222104810k k k ⎧-≠⎪∴⎨∆=+->⎪⎩，解得k <<且1k ≠±.双曲线C 与直线l 有两个不同交点时， k的取值范围是(1)( 1.1)-⋃-⋃.（2）设交点()11,,A x y ()22,B x y ，直线l 与y 轴交于点(0,1)D ，1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-∴⎨-⎪⋅=⎪-⎩，1212OAB S x x =-=V Q ()2212x x ∴-=，即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭， 整理得42230k k -=，解得0k =或232k =0k ∴=或2k =±.又k <<Q 0k ∴=或k =时，AOB V. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积计算，要熟练掌握根与系数关系解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()(0)x axf x a e=≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，如果方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，求实数t 的取值范围，并证明122x x +>.【答案】（1）当0a >时，()f x 的单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，单调递减区间是(,1)-∞；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析.【解析】（1）求出()f x '，对a 分类讨论，分别求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）由（1）得出()f x t =有两解时t 的范围，以及12,,t x x 关系，将122x x +>，等价转化为证明()()121212121x x x x x x e e ---+>-，不妨设12x x >，令12m x x =-，则0,m >1m e >，即证(2)20mm e m -++>，构造函数()(2)2(0)xg x x e x x =-++>，只要证明对于任意0,()0x g x >>恒成立即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且(1)()xa x f x e -'=. 由10x x e ->，得1x <；由10x xe-<，得1x >. 故当0a >时，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞， 单调递减区间是(1,)+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞， 单调递减区间是(,1)-∞.（2）由（1）知当1a =时，()x xf x e =，且max1()(1)f x f e==. 当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.∴当10t e<<时，直线y t =与()y f x =的图像有两个交点， ∴实数t 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. Q 方程()f x t =有两个不等实根1,x 2x ，11x x t e ∴=，22x x t e=，11x x te ∴=，22x x te =， ()1212x x x x t e e ∴-=-，即122x x x t e e -=-.要证122x x +>，只需证()122x xt e e +>，即证()()1212122x x x x x x e e e e-+>-，不妨设12x x >.令12m x x =-，则0,m >1m e >， 则要证()121m m m e e +>-，即证(2)20mm e m -++>.令()(2)2(0)x g x x e x x =-++>，则()(1)1xg x x e '=-+. 令()(1)1xh x x e =-+，则()0xh x xe '=>，()(1)1x h x x e ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴>=.()0g x '∴>，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增， ()(0)0g x g ∴>=，即(2)20x x e x -++>成立，即(2)20mm e m -++>成立.122x x ∴+>.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 最大时，直线l 的直角坐标方程.【答案】（1）2sin 0ρθ-=；（2）10x y +-=.【解析】（1）利用22cos cos 1θθ+=消去参数θ，得到曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可求出结论；（2）由（1）得曲线C 表示圆，直线曲线C 交于A ，B 两点，||AB 最大值为圆的直径，直线l 过圆心，即可求出直线l 的方程. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），可得曲线C 的普通方程为22(1)1y x +-=， 因为cos ,x ρθ=sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=， 即2sin 0ρθ-=.（2）因为直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）表示的是过点(1,0)的直线， 曲线C 的普通方程为22(1)1y x +-=， 所以当||AB 最大时，直线l 经过圆心(0,1).∴直线l 的斜率为1-，方程为1y x =-+，所以直线l 的直角坐标方程为10x y +-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.23．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞． 【解析】试题分析：（1）当2a =时⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤；（2）由()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥，解之得2a ≥.试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+. 解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤. 因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ① 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[2,)+∞. 【考点】不等式选讲.。

2019-2020学年吉林省梅河口市第五中学高二9月月考数学（理）试题一、单选题1．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin :sin :sin 3:7:8A B C =，则ABC ∆的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】C【解析】由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可推得::3:7:8a b c =，再由余弦定理计算最大边的余弦值即可判断三角形形状． 【详解】因为sin :sin :sin 3:7:8A B C =，所以::3:7:8a b c =，设3a k =，b k =，8c k =，则角C 为ABC ∆的最大角，由余弦定理可得2222949641cos 0427k k k C k +-==-<，即2C ππ<<，故ABC ∆是钝角三角形.【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题． 2．在等比数列{}n a 中，若15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =（ ） A ．1 B ．﹣1C ．12D ．12-【答案】A【解析】利用等比数列的基本量表示出已知条件可得到首项和公比，然后利用通项公式可得答案. 【详解】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ， 若15152a a -=-，即()411512a q -=-， 若其前四项的和45S =-，则有()414151a q S q-==--，解可得12q =-， 又由()411512a q-=-，则18a =-，则33411(8)12a a q ⎛⎫=⨯=-⨯-= ⎪⎝⎭； 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．等差数列{}()*n a n N∈的公差为d ，前n 项和为nS，若1390,0,a d S S ><=，则当n S 取得最大值时，n =（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由39S S =可知670a a +=，又10,0a d ><，即670,0a a ><。

吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．直线:10l x +=的倾斜角是（ ）A ．0B ．π2C ．πD ．不存在 2．下列方程中表示圆心在直线 y x =上，半径为 2，且过原点的圆的是 （ ）A ．()()2211x y -+-=B ．()()2211x y -++=C ．()()22112x y -++=D ．()()22112x y -+-=3．如图，空间四面体ABCD 的每条棱都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则FG AB ⋅u u u r u u u r 等于（ ）A B ．14 C ．12 D 4．已知直线1l ：10ax y --=，2l ：()210.ax a y ++-=若12l l //，则实数a =（ ） A ．0或3- B ．3- C ．0 D ．1-与0 5．若点()1,1在圆220x y x a +--=的外部，则a 的取值范围为（ ）A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()1,+∞6．圆221:2880C x y x y +++-=与直线:2(3)260l x k y k +-++=的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．与k 的取值有关 7．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为正方形，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，则直线,AC FB 所成角的正弦值为（ ）A B C D 8．设P 为椭圆22143x y +=上一动点，12F F ､分别为椭圆的左､右焦点，已知点()1,1D ，则1PF PD +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．过点(4,3)A -作圆22(3)(1)1x y -+-=的切线，所得切线方程为（ ）A ．4x =B ．158360x y +-=C ．=3y -D ．81530x y --=10．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆C 上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．12PF F ∆的周长为8B ．存在点P ，使得1 2.5PF =C ．12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的取值范围为[)2,3D ．12||||PF PF 的取值范围为(]3,4 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，若一点P 在底面ABCD 内（包括边界）移动，且满足11B P D E ⊥，则（ ）A ．1D E 与平面11CC D D 的夹角的正弦值为13B ．1A 点到1D EC ．线段1B P 的长度的最大值为D ．PA u u u r 与PE u u u r 的数量积的范围是4,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知向量()2,3,4a x =r ，()0,1,2b =r ，()1,0,0c =r ，若a r ，b r ，c r 共面，则x =．13．圆222200x y x y ++--=与圆2225x y +=相交所得公共弦长为．14．加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆222:17x y C a +=，若直线:43200l x y -+=上存在点P ，过P 可作C 的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.四、解答题15．已知点(2,1)P -和直线:250l x y +-=.(1)若直线1l 经过点P ，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；(2)若直线2l 经过点P ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线2l 的方程.16．已知圆C 与y 轴相切，圆心在射线()300x y x -=≥，且被直线y x =截得的弦长为(1)求圆C 的方程；(2)若点P 在圆C 上，求点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值.17．已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，(1)求点M 的轨迹方程；(2)记（1）中所求轨迹为曲线C ，过定点()1,0的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，曲线C 的中心记为点C ，求CPQ V 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．18．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB AN ∥，1AB =，2NA =，4BM =，CN =(1)证明：MB ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得平面EBN 与平面BND 夹角的余弦值为CE EM 的值，若不存在请说明理由． 19．阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线1l 绕1l 与2l 的交点逆时针方向旋转到与直线2l 第一次重合时所转的角为θ，则称θ为1l 到2l 的角，当直线1l 与2l 不垂直且斜率都存在时，2112tan 1k k k k θ-=+（其中12,k k 分别为直线1l 和2l 的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题： 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点分别为()12,,2,1F F A -为椭圆上一点，()0,1B -，四边形12AF BF 的面积为O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程；(2)求12F AF ∠的角平分线所在的直线l 的方程；(3)过点A 的且斜率存在的直线12,l l 分别与椭圆交于点,P Q （均异于点A ），若点B 到直线12,l l 的距离相等，证明：直线PQ 过定点.。

高三数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}202,0A x xB x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{1x x ≤或x >2}B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤2.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A. B.CD.3.椭圆()222210+=>>x y a b a b的两焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A.12B.C.4-D.14.已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（）.A.()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭C.()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象5.用一个边长为4正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A.πB. C.4πD.6.若112025sin ,cos ,tan 202520252025a b c ===︒，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（）的A.12B.35C.716D.11168.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字()2,3,11n n = 的不同路线条数记为n r ，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,10n n = 的概率记为n p ，则下列结论正确的是（ ）①934r =，②1n n r r +>，③52489p =，④910p p >．A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9 已知函数()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-10. 已知点()()0,0,M m m F ≠为抛物线2:4C y x =焦点，,N Q 为C 上不重合的两个动点，O 为坐标原点，若直线MN （直线MN 斜率存在且不为0）与C 仅有唯一交点N ，则（）.的A.C 的准线方程为1x =-B.若线段MF 与C 的交点恰好为MF中点，则m =±C.直线MN 与直线MF 垂直D.若3QF =，则OQ =11.如图所示曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O 为坐标原点）动点P 到点()()121,0,1,0F F -的距离满足：2121214PF PF F F =，则（ ）A.|OP |B.若()00,x y是曲线上一点，且在第一象限，则00y >C.Γ与tan y x =有1个交点D.1OPF 面积的最大值是14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF =，2BF =，则p =___________．13.若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，则a =________．14.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为12．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，已知a =，且cos sin 2tan b Cb C B-=．（1）求角A 的大小；（2）求ABC V 面积的最大值．16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2.（1）求数列{a n }的通项公式；的（2）若2b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.18.正四棱柱1111OABC O A B C -中OB =，点,,P Q R 分别在111,,AA BB CC 上，且,,,O P Q R 四点共面.（1）若OP OR =，记平面OPQR 与底面的交线为l ，证明：AC ∥l ；（2）已知,AOP COR ∠α∠β==，若π4αβ+=，求四边形OPQR 面积的最大值.19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点()()*,0P n n ∈N 处，他每步走动都会有p *的概率向左移动1个单位，有1p *-的概率向右移动一个单位，原点()0,0处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(),0P n 开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点()1,0P 处，且13p *=．（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；（ⅲ）已知()*111233n n n p p p n -+=+∈N ，若01p =，求n p ；（2）已知1p 是关于p *的连续函数．（ⅰ）分别写出当0p *=和1p *=时，1p 的值（直接写出即可，不必说明理由）；（ⅱ）求1p 关于p *的表达式．高三数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}202,0A x xB x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{1x x ≤或x >2}B.{0x x <或}12x <<C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤【答案】A 【解析】【分析】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，再根据交集，并集和补集的定义即可得解.【详解】由题可知图中的阴影部分表示()A B A B ð，{}{201B x x x x x =->=>或}0x <，则{}R,12A B A B x x ⋃=⋂=<≤，所以()A B A B ⋃⋂=ð{1x x ≤或x >2}.故选：A.2.函数()24cos 12xf x x x =+的部分图象大致为（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解.【详解】由题可知，()f x 的定义域为{}0xx ≠∣，又因为224cos()4cos ()()11()22x x f x f x x x x x --===-+⋅-+，所以，()f x 为偶函数．当π02x <<时，()0f x >，当π3π22x <<时，()0f x <，当3π5π22x <<时，()0f x >.故选：C ．3.椭圆()222210+=>>x y a b a b的两焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A.12B.C.4-D.1【答案】D 【解析】【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，由此建立a ，c 的齐次式，进而可得结果.【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A ，B ，易得12AF AB BF c ===，1290F AF ∠=︒，∴2AF =，∴)1212AF AF c a +==，∴1c e a===-，故选：D.4.已知()()()0,0,f x Asin x A ωϕωωπ=+>><的一段图象如图所示，则（）A.()324f x sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎭C.()f x 的单调递增区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D.函数()f x 的图象向左平移58π个单位后得到的是一个奇函数的图象【答案】C 【解析】【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A ，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：由图可知1A =，32882T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2T ππω==，解得2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数过点3,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即13388sin 2f ππϕ⎡⎤⎛⎫=⨯+= ⎛⎫-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以2,2328k k Z πϕππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝-+∈⎭，解得52,4k k Z πϕπ=+∈，因为ϕπ<，所以34πϕ=-，所以()3sin 24f x x π⎛=-⎫⎪⎝⎭，故A 错误；因为23sin 88412sin f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= =⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-=-⎭，所以函数关于8x π=对称，故B 错误；令3222,242k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故函数的单调递增区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故C 正确；将函数()f x 的图象向左平移58π个单位得5sin 2cos 248i 23s n 2y x x x πππ⎤⎛⎡⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎫=+- ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，故D 错误；故选：C5.用一个边长为4的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为（）A.π B. C.4πD.【答案】A 【解析】【分析】通过圆锥侧面展开图的两种情况①侧面展开图最大为半径为2的半圆，②侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，计算比较即可.【详解】根据题意有两种方式可以得到这样的几何体，方式一：如图①，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为2的半圆，因此一个圆锥的底面半径为1，母线长为2所以两个圆锥体积的最大值为112π13V =⨯⨯=．方式二：如图②，可以得到圆锥的侧面展开图最大为半径为的四分之一圆，，母线长为，所以两个圆锥体积的最大值为2212ππ3V=⨯⨯=．12V V=>=，故选：A．6.若112025sin,cos,tan202520252025a b c===︒，则,,a b c的大小关系为（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】D【解析】【分析】结合结论若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tanααα<<，证明1>ab，由此可得a b>，再证明1a c<=，由此可得结论.【详解】若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin tanααα<<，且112025sin0,cos020252025a b=>=>，所以1sin11202520252025tan20251120252025cos2025ab==>⨯=，所以a b>，因为112025sin2025120252025<⨯=，tan2025tan451︒=︒=，所以c a>，所以c a b>>，故选：D．7.元旦联欢会会场中挂着如图所示的两串灯笼， 每次随机选取其中一串并摘下其最下方的一个灯笺， 直至某一串灯笼被摘完为止， 则右侧灯笼先被摘完的概率为（）A.12B.35C.716D.1116【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到摘取的次数为2,3,4次，结合独立重复实验的概率计算公式，即可求解.【详解】根据题意，直至某一串灯笼被摘完为止，可得摘取的次数为2,3,4次，结合独立重复实验的概率计算公式，可得：当两次摘完时，可得概率为21124⎛⎫= ⎪⎝⎭；当三次摘完时，可得概率为31211C 24⎛⎫= ⎪⎝⎭；当四次摘完时，可得概率为41313C 216⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11311441616P =++=.故选：D.8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字()2,3,11n n = 的不同路线条数记为n r ，从1移动到11的事件中，跳过数字()2,3,10n n = 的概率记为n p ，则下列结论正确的是（ ）①934r =，②1n n r r +>，③52489p =，④910p p >．A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A 【解析】【分析】根据题意分析，不难得到231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥，按照规律写出各项，即可判断①，②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出910p p ,即可判断.【详解】由题意可知231,2,r r ==()113n n n r r r n +-=+≥，则456783,5,8,13,21r r r r r =====，99101134,34,55,89r r r r ====，则①正确；显然1n n r r +>，故②正确；因为1189r =，经过数字5的路线共有51365⨯=条.理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有51365⨯=条.则58965248989p -==，故③正确；同理可得91089342218955134,,89898989p p -⨯-⨯====即有910p p <，故④错误.故选:A ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.()f x 区间ππ,66⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】因()π2024sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，选项A ：ππππ2024sin 22024sin 20246662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =对称，A 说法正确；选项B ：5π5ππ2024sin 22024sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 说法正确；选项C ：当ππ66x -<<时，πππ2662x -<+<，因为sin y x =在ππ,62⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，C 说法错误；选项D ：当ππ32x -≤≤时，ππ7π2266x -≤+≤，因为sin y x =在π7π,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,1-，所以()f x 在区间ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为[]2024,2024-，D 说法正确；故选：ABD10.已知点()()0,0,M m m F ≠为抛物线2:4C y x =的焦点，,N Q 为C 上不重合的两个动点，O 为坐标原点，若直线MN （直线MN 斜率存在且不为0）与C 仅有唯一交点N ，则（ ）A.C 的准线方程为1x =-B.若线段MF 与C 的交点恰好为MF中点，则m =±C.直线MN 与直线MF 垂直D.若3QF =，则OQ =在为【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线准线的定义即可判断A ；求出线段MF 的中点坐标，代入抛物线方程，即可判断B ；设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，联立方程，根据0∆=，结合直线的斜率公式即可判断C ；根据焦半径公式即可判断D.【详解】对于A ，由抛物线抛物线2:4C y x =，得C 的准线方程为1x =-，故A 正确；对于B ，F (1,0)，则线段MF 的中点坐标为1,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则224m =，解得m =±B 正确；对于C ，设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠，联立24y kx m y x=+⎧⎨=⎩，消x 得204k y y m -+=，则Δ10km =-=，所以1km =，则1MF MN k k m k ⋅=-⋅=-，所以直线MN 与直线MF 垂直，故C 正确；对于D ，设()00,Q x y ，则013QF x =+=，所以02x =，所以208y =，所以OQ ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图所示的曲线Γ被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中（O 为坐标原点）动点P 到点()()121,0,1,0F F -的距离满足：2121214PF PF F F =，则（ ）A.|OP |B.若()00,x y 是曲线上一点，且在第一象限，则00y >C.Γ与tan y x =有1个交点D.1OPF 面积的最大值是14【答案】ACD 【解析】【分析】根据对称性可知P 运动到x 轴上时，此时|OP |最大，即可求解A ，根据特殊位置法即可求解B ，利用y x =与Γ的交点，即可结合π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >求解C ，利用判别式可得12y ≤，即可求解D.【详解】由双纽线的对称性可知：当P 运动到x 轴上时，此时|OP |最大，不妨设此时P 在x 轴的正半轴上，设此时OP t =，由21212114PF PF F F ==，得()()111t t +-=，解得t =，故|OP |A 正确，设P (x,y )1=，令1x =1=，解得22y =-，而此时222x =，不满足y >，故B 错误，1=与y x =1=，解得0x =，故直线y x =与曲线Γ只有一个交点，而π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，由A 易知双纽线中x ⎡∈⎣，根据对称性，只需研究x ⎡∈⎣上Γ与tan y x =的交点情况，显然只有原点这1个交点，C 正确，对于D 1=可得()422242220x y x y y +-++=，令2x t =，则()22242220t y t y y +-++=，该方程有实数根，故()()2224Δ22420y y y =--+≥，解得214y ≤，故12y ≤，11111112224OPF P P P S OF y y y ==⨯=≤ ，故D 正确，故选：ACD1=与y x =的交点，结合π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，可判断Γ与tan y x =的交点，由二次型方程()22242220t y t y y +-++=的根，利用判别式可求解最大的纵坐标.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若3AF =，2BF =，则p =___________．【答案】125##2.4【解析】【分析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，根据抛物的定义表示出1x ，2x ，再根据三角形相似得到21121294y x y x ==，即可求出p .【详解】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为2px =-，因为3AF =，2BF =，根据抛物线的定义可得132p x =-，222px =-，过点A 作1AA x ⊥轴于点1A ，过点B 作1BB x ⊥轴于点1B ，则11AFA BFB ∽，所以1132AA AF BB BF==，所以211121222924y px x y px x ===，即439222p p ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得125=p ．故答案为：125．13.若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，则a =________．【答案】8【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与2(2)1(0)y ax a x a =+++≠，消元，根据0∆=计算可得.【详解】由ln y x x =+，所以1y x x'=+，则1|2x y ='=，所以曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线为()121y x -=-，即21y x =-；又21y x =-与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++≠相切，由2(2)121y ax a x y x ⎧=+++⎨=-⎩，可得()2200ax ax a ++=≠，则280a a ∆=-=，解得8a =或0a =（舍去），故答案为：814.某射击比赛中，甲、乙两名选手进行多轮射击对决．每轮射击中，甲命中目标的概率为23，乙命中目标的概率为12．若每轮射击中，命中目标的选手得1分，未命中目标的选手得0分，且各轮射击结果相互独立．则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为__________．【答案】6481【解析】【分析】利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案.【详解】则进行五轮射击后，甲的总得分不小于3的概率为32453455552121264C C C 3333381P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭.故答案为：6481.四、解答题： 本题共 5 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知a =，且cos sin 2tan b Cb C B-=．（1）求角A 的大小；（2）求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用两角和的余弦公式及诱导公式变形可得答案；（2）先利用余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，进而可得面积的最大值.【小问1详解】cos cos sin sin b B C b C a B ⎫-==⎪⎭，sin cos cos )sin B C B C A -=，)sin B C A A +==，tan A =，0πA << ，π3A ∴=；【小问2详解】由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc +-=，则22122b c bc bc +=+≥，12bc ∴≤，当且仅当b c =时，等号成立．11sin 1222S bc A ∴=≤⨯=，ABC ∴面积的最大值为16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋2.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若2b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】（1）123()n n a n N -+⋅=⋅∈（2）1(21)3344n n n T +-⋅=+【解析】【分析】（1）由,n n a S 的关系可得1131n n S S ++=+，求出n S ，再由,n n a S 的关系，得到n a ，进而根据等比定义求得{a n }的通项公式；（2）3nn b n =⋅，由错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．小问1详解】()111122,131,31n n n n n n n S S S S S S S ++++-=++=+=+,{}1n S +为首项是3，公比为3的等比数列，31n n S =-，【当2n ≥时，()111313123---=-=---=⋅nn n n n n a S S ，当1n =时，112a S ==，符合上式，()123n n a n -+∴=⋅∈N 【小问2详解】2323,3,n n n n n b na n b n ==⋅∴=⋅ 231231323333n n n T b b b b n =++++=⋅+⋅+⋅++⋅ ，234131323333n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，231233333n n n T n +-=++++-⋅ ，1(21)3344n n n T +-⋅=+.17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC 的面积为S ，已知24cos cos tan Sa B ab A B=+.（1）求角B ；（2）若3,b ABC =△的周长为l ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3（2【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面积公式得()3S a c l =+-，再由基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为24cos cos tan Sa B ab A B=+，所以214si n cos 2cos cos si n ac B Ba B ab AB⨯=+，即2cos cos cos c B a B b A =+，由正弦定理，得()2sin cos sin cos sin cos sin C B A B B A A B =+=+，因为A B C π+=-，所以2sin cos sin C B C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，又()0,B π∈，所以3B π=.【小问2详解】由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即229a c ac =+-，所以()293a c ac =+-，即()2193ac a c ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，因为1sin 2S ac B ==，3l a c =++，所以S l ==，所以()3S a c l =+-，又()24a c ac +≤（当且仅当a c =时取等号），所以()2293a c ac =+-≥（当且仅当3a c ==时取等号），所以6a c +≤（当且仅当3a c ==时取等号），所以()()363S a c l =+-≤⨯-=（当且仅当3a c ==时取等号），即S l18.正四棱柱1111OABC O A B C -中OB =，点,,P Q R 分别在111,,AA BB CC 上，且,,,O P QR 四点共面.（1）若OP OR =，记平面OPQR 与底面的交线为l ，证明：AC ∥l ；（2）已知,AOP COR ∠α∠β==，若π4αβ+=，求四边形OPQR 面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连接,AC PR ，利用已知可得四边形APRC 是平行四边形，进而可得//PR 平面OABC ，由线面平行的性质可得//AC l ；（2）以O 为坐标原点，1,,OA OC OO 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得四边形OPQR 是平行四边形，进而可得·sin OPRQS OP OR POR =∠ ，结合已知计算可求四边形OPQR 面积的最大值.【小问1详解】连接,AC PR ，由正四棱柱1111OABC O A B C -，可得111////OO A C A C ，AO OC =，90PAO RCO ∠=∠=︒，又因为OP OR =，所以由勾股定理可得AP CR =，又11//AA CC ，所以RC AP P ，所以四边形APRC 是平行四边形，所以//PR AC ，又AC ⊂平面OABC ，PR ⊄平面OABC ，所以//PR 平面OABC ，又平面//OPQR 平面OABC ，平面OPQR ⋂平面OABC l =，所以//PR l ，所以//AC l ；【小问2详解】以O 为坐标原点，1,,OA OC OO 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为OB =，又底面OABC 是正方形，所以1OA OC ==，又,AOP COR ∠α∠β==，所以tan ,tan AP CR αβ==，所以(1,0,tan ),(0,1,tan ),(0,0,0)P R O αβ，所以(1,0,tan ),(0,1,tan )OP OR αβ== ，所以(1,0,tan )(0,1,tan )1001tan tan tan tan OP OR αβαβαβ==⨯+⨯+=，||||OP OR ==== 由正四棱柱1111OABC O A B C -，可得平在面11//OCC O 11ABB A ，又,,,O P Q R 四点共面，过,,,O P Q R 有唯一平面OPQR ，又平面OPQR ⋂平面11O OR OCC =，平面OPQR ⋂平面11A PQ ABB =，所以//OR PQ ，同理可得//OP QR ，所以四边形OPQR 是平行四边形，又π4αβ+=，所以π1tan tan tan()41tan βαββ-=-=+，所以tan tan 1tan tan αβαβ+=-，又tan 0,tan 0αβ≥≥，所以1tan tan αβ≤-，解得0tan tan 1αβ≤≤-，所以|||sin |||||OPRQ OP OR POR OP OR S ∠==========≤，所以四边形OPQR .19.在高中数学教材苏教版选择性必修2上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p ，则从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2p ，于是我们得到：21122p p =+，计算可得1p =；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p ，那么从一个细胞开始，它有12的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是p ，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是2(1)p -，于是我们得到：211(1)2p p ⎡⎤=--⎣⎦，计算可得0p =．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点()()*,0P n n ∈N 处，他每步走动都会有p *的概率向左移动1个单位，有1p *-的概率向右移动一个单位，原点()0,0处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以n p 代表当这个人由(),0P n 开始，最终掉入陷阱的概率．（1）若这个人开始时位于点()1,0P 处，且13p *=．（ⅰ）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最终掉入陷阱的概率()1101p p <<；（ⅲ）已知()*111233n n n p p p n -+=+∈N ，若01p =，求n p ；（2）已知1p 是关于p *的连续函数．（ⅰ）分别写出当0p *=和1p *=时，1p 的值（直接写出即可，不必说明理由）；（ⅱ）求1p 关于p *表达式．【答案】（1）（ⅰ）107243；（ⅱ）12；（ⅲ）12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）（ⅰ）当*0p =时，10p =；当*1p =时，11p =；（ⅱ）***1*1,01211,12p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【解析】【分析】（1）应用全概率公式分互斥事件计算概率，再根据递推公式构造数列，计算得出等比数列结合累加法得出通项公式；（2）针对定义域分段求解函数表达式.【小问1详解】（ⅰ）设事件A ：“这个人在第1步掉入陷阱”，事件B ：“这个人在第3步掉入陷阱”，事件C ：“这个人在第5步掉入陷阱”，的则他在5步内掉入陷阱的概率()()()231211211072333333243p p A p B p C ⎛⎫⎛⎫=++=+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（ⅱ）他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率为1p ，则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以2111233p p =+，由此可得11p =（舍去）或112p =．（ⅲ）由（ⅱ）可知，112p =，方法一：由111233n n n p p p -+=+，得()1112n n n n p p p p +--=-，所以{}1n n p p --是以1012p p -=-为首项，12为公比的等比数列，则11111222n nn n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则1022111,21,21,2nn n p p p p p p -⎧-=-⎪⎪⎪⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎪⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩累加得011122111212nn n p p ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-=- ⎪⎝⎭-，所以12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．方法二：由111233n n n p p p -+=+，得111101111,02222n n n n n n p p p p p p p p +-+-=--=-=，即112n n p p +=，所以{}n p 是以112p =为首项，12为公比等比数列，所以12nn p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．的【小问2详解】（ⅰ）由题意得，当*0p =时，10p =；当*1p =时，11p =．（ⅱ）这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由(2,0)先到达(1,0)处，而这个概率和他从(1,0)开始，最终掉入陷阱的概率相同，所以()**2111p p p p =+-，即()()**11110p p p p ⎡⎤---=⎣⎦，得()**1*11p p p p =≠-或11p =．因为1p 是关于*p 的连续函数，所以当*10,2p ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，*1*1p p p =-，当*1,12p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11p =．所以***1*1,0,1211, 1.2p p p p p ⎧≤<⎪⎪-=⎨⎪≤≤⎪⎩【点睛】关键点点睛：根据递推公式构造数列，计算得出等比数列，结合累加法得出通项公式.。

2020届吉林省梅河口市第五中学高三11月月考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}0,1,3,5A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}3,5B ．{}2,3C ．{}3D ．{}5【答案】A【解析】利用交集的定义可计算出集合A B .【详解】因为{}0,1,3,5A =，{}2,3,4,5B =，所以{}3,5A B =.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，21a =-，3716a a +=，则{}n a 的公差d =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据等差数列的性质，由3716a a +=得到5a ，再由公式n ma a d n m-=- 求解.【详解】因为3716a a +=， 所以58a =， 所以()52813523a a d ---===-. 故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，还考查了转化，运算求解的能力，属于基础题. 3．在等比数列{}n a 中，若253a a +=，586a a +=，则11a =（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】由253a a +=，586a a +=，得到358252a a q a a +==+，再由()325213a a a q +=+=，求得2a ，最后由通项公式求解.【详解】因为253a a +=，586a a +=，所以358252a a q a a +==+，因为()325213a a a q +=+=，所以21a =，所以()93311223128===⨯=a a q a q .故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．抛物线214y x =的准线方程为（ ） A ．1y = B ．116x =C ．1y =-D ．116x =- 【答案】C【解析】将方程转为标准方程，即可得到准线方程y=-2p . 【详解】 由214y x =，得24x y =， 所以准线方程为1y =-, 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及简单的几何性质，属于简单题.5．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27π B ．36πC ．54πD ．81π【答案】B【解析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．【点睛】设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积=2S rh π侧，体积2V Sh r h π==.6．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A ．若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B ．若αβ∥，m α⊥，则m β⊥ C ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥D ．若m n ，m α，则n α 【答案】B【解析】选项A 由线面垂直的性质定理可得；选项B ，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D ，找到反例即可. 【详解】A 选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得m n ；B 选项正确，若αβ∥，则存在,,a b a b αα⊂⊂⋂，在平面β内存在',',''a a b b a b ⋂∥∥，由m α⊥，可得,','m a m b m a m b ⊥⊥⇒⊥⊥ ，由线面垂直的判定定理可得m β⊥；C 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m 在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m β⊥；D 选项不正确，直线n 可能在平面α上． 【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，3534S S +=，则9S =（ ） A ．63 B ．64C ．80D ．81【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 与d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可计算出9S 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则21351381334a a d S S a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，因此，91989899128122S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列求和，解题的关键就是建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于基础题.8．若x ，y 满足约束条件0210x y x y x -⎧⎪+⎨⎪+⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．-5B ．-3C ．1D ．2【答案】C【解析】画出可行域，向下平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值. 【详解】画出可行域，由图可知，直线2z x y =-过点(1,1)A 时，z 取得最大值2111⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 9．函数()()21()1x xe f x x e -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数()f x 的奇偶性和在0x >时函数值的特点，对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 因为()()21()1x xe f x x e -=+是偶函数，所以排除A ，C ，当0x >时，()0f x >恒成立，所以排除D. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想以及推理论证能力. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．56234+B ．32234+C ．5683+D ．3282+【答案】A【解析】由三视图画出原图，根据几何体的结构，计算出几何体的表面积. 【详解】该几何体的直观图如图所示.易知,,5,42,8,3PB BC PD DC PD PA AD AB PE ⊥⊥=====，所以145102PBC PCD S S ∆∆==⨯⨯=1114217234,8312,(48)424222PAD PABABCD S SS =⨯⨯==⨯⨯==⨯+⨯=，所以该几何体的表面积56234S =+.故选：A 【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.11．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域，以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里，丙、甲两地距离是丙、乙两3则这个三角形信号覆盖区域的最大面积（单位：平方公里）是（ ） A ．3B ．3C ．36D ．6【答案】B【解析】建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式列方程，化简后求得丙地的轨迹方程，由此根据三角形的面积公式，求得三角形信号覆盖面积的最大值. 【详解】由题意不妨设甲、乙两地坐标为(2,0),(2,0)-，丙地坐标为(,)x y ，则2222(2)3(2)x y x y ++=⋅-+，整理得()22(4)120x y x -+=≠，半径23r =，所以最大面积为1423432⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题考查数学文化与圆的运用，考查化归与转化的数学思想.12．已知函数1,02()2ln ,24x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩，若存在实数12,x x 满足1204x x <，且()()12f x f x =，则21x x -的最大值为（ ）A ．22e-B ．1C ．2ln2+D ．2ln 2-【答案】A【解析】画出()f x 的图像，利用()()12f x f x =将2x 表示成1x 的关系式，将21x x -化为只含1x 的表达式，利用换元法，结合导数，求得21x x -的最大值. 【详解】作出31,02()2,24x x x f x ex -⎧<⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示.因为()()12f x f x =，所以2311e 2x x -=，即123ln 2x x =+.由图可知1112x e <，则12113ln2x x x x -=+-，令11,1,()ln 232e x t g t t t ⎡⎫=∈=-+⎪⎢⎣⎭.则112()2t g t t t '-=-=.易知函数()ln 23g t t t =-+在11,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以max 11()ln 132ln 222g t g ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查导数的综合应用，考查学生数形结合、转化与化归的数学思想.二、填空题13．已知平面向量(2,7),(1,2),(1,1)a b c =-=-=，若()//a b c λ+，则实数λ=_____________.【答案】3【解析】根据向量的坐标运算与平行公式求解即可. 【详解】由已知得(2,72)a b λλλ+=--+,又()//a b c λ+,所以(2)(72)0λλ---+=, 解得3λ=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查平面向量坐标运算和平面向量共线的知识,考查运算求解能力.14．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111411a a a ++=，则{}n a 的前16项和为________. 【答案】48【解析】首先根据等差数列下角标的性质求出8a 与9a ，然后根据等差数列求和公式即可求出{}n a 的前16项和. 【详解】因为3813837a a a a ++==，211149311a a a a ++==， 所以89711633a a +=+=， 所以{}n a 的前16项和为()()116891616684822a a a a ++==⨯=.故答案为：48. 【点睛】本题考查了等差数列下角标的性质，等差数列的求和公式，属于基础题.15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为______.【答案】196π【解析】平移两条异面直线，使得其相交，根据夹角的余弦值，求得长方体的高，再利用长方体外接球半径的计算公式求得半径和表面积. 【详解】如图，连接AC ，交DB 于点O ，取1CC 的中点为E ，连接OE ，BE ，因为1//AC OE ，所以BD 与1AC 所成的角为∠BOE . 令EC h =，在BEO ∆中，由8AB =，6AD =，得5OB =. 又225OE h =+236BE h =+1cos 5BOE ∠=， 由余弦定理得222125OE OB BE OE BO +-=⋅⋅，解得26h =所以146CC =则22111009619614AC AC CC ++==， 即214R =，从而24196S R ππ==表. 故答案为：196π. 【点睛】本题考查由异面直线的夹角求解线段的长度，以及长方体外接球半径的求解，属综合性基础题.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过点()4,2M -，左、右顶点分别为1A 、2A ，设直线:20l x y ++=分别与直线x a =-和直线x a =依次交于点1M 、2M ，若11224M A M A ⋅=，则该双曲线的离心率为_______.6【解析】求出点1M 、2M 的坐标，由11224M A M A ⋅=可求出a 的值，再由点M 在双曲线上可得出b 的值，进而可求出该双曲线的离心率的值. 【详解】联立20x ax y =-⎧⎨++=⎩，得2x a y a =-⎧⎨=-⎩，则()1,2M a a --，同理可得()2,2M a a --，所以，211222244M A M A a a a ⋅=-⋅--=-=，0a >，a ∴=将点M 的坐标代入双曲线的方程得216418b-=，得2b =，因此，双曲线的离心率为e ===故答案为：2【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，根据题意求出a 、b 、c 的值是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知数列{}n a 是各项都为正数的等比数列，且3452a a a +=，121a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若22log 3log n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）123n n a -=；（2）22n n nS -=. 【解析】（1）首先根据题中已知条件求出等比数列的两个基本量1a 和q ，然后即可求出数列的通项公式；（2）首先求出数列{}n b 的通项公式，然后即可求出数列{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则3452a a a +=可变形为2341112a q a q a q +=，化简为220q q --=， 解得2q或1q =-（舍去），因为121a a +=，所以1121a a +=，解得113a =， 所以数列{}n a 的通项公式为1112233n n n a --=⨯=；（2）因为()12222log 3log log 3log 21n n n n b a a n -=+===-，所以数列{}n b 是首项为10b =，公差为1的等差数列，所以()2122n n n b b n nS +-==. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求解，等差数列的前n 项和公式，属于基础题. 18．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1sin 2a Bb =. （1）求A ；（2）若b c +=ABC ∆的面积为2，求a .【答案】（1）6A π=（2）2【解析】（1）首先对1sin 2a Bb =进行边角转化，然后根据锐角ABC ∆限定的角的范围即可求出角A ；（2）根据ABC ∆的面积为2求出bc 的值，再结合b c +=a 的值. 【详解】（1）因为1sin 2a B b =，所以1sin sin sin 2A B B =， 即1sin 2A =，因为ABC ∆为锐角三角形， 所以02A π<<，所以6A π=；（2）因为ABC ∆的面积为2， 所以1sin 22bc A =，即8bc =，因为b c +=所以22222cos ()2(1cos )16a b c bc A b c bc A =+-=+-+=-，故1)2a ====.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于一般题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11111A B A D ==，1111BC C D ==13AA =，AB AD ⊥.（1）证明：111B D AC ⊥； （2）求四棱锥1111A A B C D -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）连接11A C ，交11B D 于点1E ，证明111111A B C A D C ∆≅∆，可得出11A C 为111B A D ∠的角平分线，利用等腰三角形三线合一的性质得出1111B D A C ⊥，再由直棱柱的定义得出1AA ⊥平面1111D C B A ，可得出111⊥B D AA ，通过证明11B D ⊥平面11AAC C 得出111B D AC ⊥；（2）计算出四边形1111D C B A 的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出四棱锥1111A A B C D -的体积.【详解】（1）连接11A C ，交11B D 于点1E .因为11111A B A D ==，11115BC C D =1111AC AC =，111111A B C A D C ∴∆≅∆ 所以11111145B A C D A C ∠=∠=.在等腰111A B D ∆中，因为11A E 是顶角111B A D ∠的平分线，所以1111B D A C ⊥. 又因为1111ABCD A B C D -是直四棱柱，1AA ∴⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111⊥B D AA .因为1111A C AA A =，所以11B D ⊥平面11AAC C ，因为1AC ⊂平面11AAC C ，所以111B D AC ⊥；（2）由（1）可知，221111112B D A B A D =+=，111122A E D E ==，()221123252C E ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11111122AC A E C E =+=. 所以四边形1111D C B A 的面积1111122S AC B D =⨯⨯=， 故四棱锥1111A A B C D -的体积11123233V S AA =⋅=⨯⨯=.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了锥体体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知椭圆22:221(0)x y C a b a b+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C 有且仅有两个公共点，直线22x +=与C 只有一个公共点. （1）求C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，求||PFAB 的值. 【答案】(1) 2212x y += (2) ||2||4PF AB =【解析】（1）利用单位圆的性质求得b ，利用直线22x +=和椭圆联立方程后关于y 的方程只有一个解，判别式为0列方程，由此求得2a .进而求得椭圆的标准方程.（2）设出直线l 的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，求得AB 中点Q 的坐标，利用中垂线的斜率列方程，求得P 点的横坐标，由此求得PF .利用弦长公式求得AB ，进而求得PFAB的值.【详解】（1）依题意，得1b =将2x =代入椭圆的方程，得()222240a y a +-+-= 由()()22324240a a∆=-+-=，解得22a=所以椭圆的标准方程为2212x y +=（2）由（1）可得左焦点(1,0)F -由题意设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠， 代入椭圆方程，得()222210m y my +--= 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122221,22m y y y y m m -+==++ 所以()12122422x x m y y m -+=+-=+,AB 的中点为222,22m Q m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设点()0,0P x ，则()222PQ mk m m x -==-++， 解得0212x m -=+ 所以2021||12m PF x m +=+=+又)21221||2m AB y m +=-==+所以||||4PF AB =【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查垂直平分线的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()212ln 22f x a x x x x =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）10ln 21a <<-【解析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论0a ≤，02a <<，2a =，2a >，可求得()f x 的单调性（2）由（1）求得在0a ≤，02a <<，2a =，2a >时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数a 的取值范围． 【详解】解析：（1）()()()()211220f x a x x a x x x x'=--⎛⎫+=-- ⎪⎝>⎭ ①0a ≤，0a x -<，(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(2,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减②02a <<，()02f x x '=⇒=或x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；(),2x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减③2a =，()()2120f x x x'=--<，()f x 在()0,∞+单调递减 ④2a >，()02f x x '=⇒=或x a =，当()0,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (),x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减（2）由（1）得当0a =时，()2122f x x x =-+在定义域上只有一个零点 0a <，由（1）可得，要使()f x 有两个零点，则()()()20222ln220f f a >⇒=-+>∴10ln 21a <<-下证()f x 有两个零点取1ax e =，21111112202a a a af e a e e e a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足()120af e f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，故()f x 在()0,2有且只有一个零点()()442ln40f a =-<，满足()()240f f <，故()f x 在()2,+∞有且只有一个零点当02a <<时，由（1）可得()0,2x ∈，()()()()22112ln 221ln 022f x f a a a a a a a a a ≥=--+=+->，故()f x 在()0,2无零点，又因为()f x 在()2,+∞单调递减，∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件当2a >时，()0,x a ∈，()()()222ln 220f x f a ≥=-+>故()f x 在()0,a 上无零点，又因为()f x 在(),a +∞单调递减，∴()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件 ∴满足条件a 的取值范围10ln 21a <<-【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查学生的计算能力，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为612x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）若射线():0l θαρ=≥分别交1C 、2C 于A 、B 两点，求OB OA 的最大值.【答案】（1）1:C ρ=，2:4cos C ρθ=；（2）23. 【解析】（1）将曲线1C 、2C 的方程化为普通方程，再由222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩可将两曲线的方程化为极坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为(),A ρα、(),B ρα，求出A ρ和B ρ，利用三角恒等变换思想化简B A OB OA ρρ=关于α的表达式，利用正弦型函数的有界性可得出OBOA的最大值. 【详解】（1）曲线1C的参数方程为6212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t，得90x +-=，转化为极坐标方程为cos sin 9ρθθ+=，即ρ=.曲线2C 的参数方为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得22(2)4x y -+=，即224x y x +=，转化为极坐标方程为4cos ρθ=；（2）设点A 、B 的极坐标分别为(),A ρα、(),B ρα， 因为射线():0l θαρ=≥分别交1C 、2C 于A 、B 两点，所以A OA ρ==，4cos B OB ρα==，所以()224cos 2cos cos 9B A OB OA ρααααρ===+)222cos 212sin 21996πααα⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当6πα=时，OB OA取最大值23. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化，同时也考查了利用极坐标方程解决最值问题，考查计算能力，属于中等题. 23．已知1()2f x x a =-.（1）若不等式()1f x 的解集为{|26}x x ，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若2(2)2()43f x f x m m +--对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】(1) 2a =. (2) [1,5]-【解析】（1）利用绝对值不等式的解法化简()1f x ≤，根据不等式()1f x ≤的解集，求得a 的值.（2）先求得(2)2()f x f x +的最小值，由此解一元二次不等式求得m 的取值范围. 【详解】 （1）因为112x a -，所以1112x a -- 所以2222a x a -+，即()1f x 的解集为{|2222}x a x a -≤≤+ 又不等式()1f x 的解集为{|26}x x ，所以222226a a -=⎧⎨+=⎩解得2a =.（2）因为62,2(2)2()242,2426,4x x f x f x x x x x x -<⎧⎪+=-+-=<⎨⎪-≥⎩易知(2)2()f x f x +的最小值是2.因为2(2)2()43f x f x m m +--对任意x ∈R 恒成立， 所以2432m m --≤，即2450m m --≤. 解得15m -，即m 的取值范围为[1,5]- 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

梅河口市第五中学2022~2023学年度上学期高三第一次月考数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.请在答题卡的指定位置上填写姓名、考号、并填涂或粘贴条形码；3.第Ⅰ卷（选择题）答案填涂在答题卡相应位置，并注意深浅度一致，饱满、干净.第Ⅱ卷（非选择题）答案填写在答题卡上；4.请仔细审题，认真做答.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）1.已知集合(){},M x y y x ==，(){}22,2N x y xy =+=，则M N = （）A.(){}1,1- B.(){}1,1C.()(){}1,1,1,1- D.()(){}1,1,1,1---2.函数()f x =的定义域为R 的一个充分不必要条件是（）A.13m ≥B.14m ≥C.23m ≥D.25m ≥3.某学校对音乐、体育、美术、书法特长生进行专项测试.现安排5名学生志愿者到现场协助，若每名志愿者参与一个组的管理工作，每组至少有1人协助工作，则不同的安排方式共有（）A.20种B.24种C.120种D.240种4.若tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根，则()tan αβ+=（）A.-1B.1C.-2D.25.已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（）A.2325B.2325-C.35D.35-6.函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状为（）A. B.C.D.7.已知函数2()ln 12xf x x-=-+，若()1f a =，则()f a -=（）A.1B.1- C.3D.3-8.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，函数()2xg x a =-，[]11,5x ∀∈，[]21,5x ∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥ B.23a ≥- C.31a ≥ D.7a ≥二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，请仔细审题，认真做答.）9.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.α∀∈R ，sin cos 1αα+>-；B.0α∃∈R ，003sin cos 2αα+=；C.α∀∈R ，1sin cos 2αα≤； D.0α∃∈R ，003sin cos 4αα=10.若0.033a =，lg 3c =，且a b c >>，则b 的值可能是（）A.12log 3B.2lg 2C.0.019 D.0.4log 0.511.已知()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导数，且()()0f x f x '-<，则下列不等式一定成立的是（）A.()()3e 21f f -< B.()()32e 1f f -< C.()()e 12f f < D.()()1e 2f f <12.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ．下列命题中正确的是（）A.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定是锐角三角形B.若cos cos a B b A c =+，则ABC 一定是直角三角形C.若sin sin sin (cos cos )A B C A B +=+，则ABC 一定是钝角三角形D.若2cos22B a c c+=，则ABC 一定是锐角三角形第Ⅱ卷（非选择题，共50分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请仔细审题，认真做答.）13.已知函数()f x 对x ∀∈R 满足()()()221f x f x f +⋅=，且()0f x >，若()1y f x =-的图像关于1x =对称，()01f =，则()2023f =_________.14.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S =，其中a ，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积.设某三角形的三边1a =，2b =，c =S =_________.15.已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x ，21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是________.16.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22233sin a b c A =+-，则C =________.四、解答题（本大题共6小题，共70分，请仔细审题，认真做答.）17.已知函数()22()sin cos cos f x x x x x x R =-+∈（1）求()f x 的最小正周期及其图象对称轴的方程（2）求()f x 在区间[0,2π上的最大值和最小值．18.最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为4200年（即：每经过4200年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为a （参考数据：lg 20.3≈）.（1）写出该元素的存量y 与时间x （年）的关系；（2）经检测古生物中该元素现在的存量为25a，请推算古生物距今大约多少年？19.新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.日期代码x 12345678累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两杆模型：①2ˆybx a =+，②ˆy dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差e ˆi ii y y =- )：经过计算得81()728iii x x y y =--=∑，821()42ii x x =-=∑，81()(6868i i i z z y y =--=∑，821()3570i i z z =-=∑，其中2i iz x =，8118i i z z ==∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?（结果保留整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()81821ˆiii i ix x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-.20.在锐角ABC 中，b =_________.（1）求角B ；（2）求ABC 的周长l 的取值范围.在①cos ,sin 22B B m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 且12m n ⋅=- ；②cos (2)cos B a c b C -=；③π1()cos cos 34f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()14f B =.在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解.21.已知函数()g x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有()()12g x g x ≤，则称函数()g x 在D 上为不减函数.现有定义在[]0,2上的函数()f x 满足下述条件：①对于[]0,2x ∈，总有()()2f x f x -=，且()1f x ≥，()13f =；②对于x ，[]1,2y ∈，若3x y +≥，则()()()21f x f y f x y +≤+-+.试证明下列结论：（1）对于x ，[]0,1y ∈，若1x y +≤，则()()()1f x y f x f y +≥+-；（2）()f x 在[]0,1上为不减函数；（3）对*N n ∈，都有12133n n f ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭.22.已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．梅河口市第五中学2022~2023学年度上学期高三第一次月考数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.请在答题卡的指定位置上填写姓名、考号、并填涂或粘贴条形码；3.第Ⅰ卷（选择题）答案填涂在答题卡相应位置，并注意深浅度一致，饱满、干净.第Ⅱ卷（非选择题）答案填写在答题卡上；4.请仔细审题，认真做答.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，请仔细审题，认真做答.）【9题答案】【答案】CD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AC 【12题答案】【答案】AB第Ⅱ卷（非选择题，共50分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请仔细审题，认真做答.）【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】4【15题答案】【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【16题答案】【答案】6π四、解答题（本大题共6小题，共70分，请仔细审题，认真做答.）【17题答案】【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为23k x ππ=+，k Z ∈．（2）最小值为1-，最大值为2；【18题答案】【答案】（1）420012x y a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，0x ≥；（2）5600.【19题答案】【答案】（1）选择模型①，理由见解析（2）2ˆ 1.92 1.04yx =+（3）157【20题答案】【答案】（1）条件选择见解析，π3B =.（2）(3+.【21题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【22题答案】【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.。

2020届吉林省梅河口市第五中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．设集合A ＝{x|8＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|x ＝2n －1，n ∈N}，则A∩B 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1,3} C ．{1,3} D ．{3,1，－1}【答案】C【解析】先求得集合A 的解集，列举出集合B 的元素，然后取两者的交集. 【详解】∵A ＝{x|－2<x<4}，B ＝{1,3,5，…}，∴A∩B ＝{1,3}．故选C. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查两个集合的交集的求解.属于基础题. 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向左平移个单位长度C ．向右平移个单位长度D ．向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】函数的图象向左平移个单位长度,有,故选B.3．已知扇形圆心角为6π，面积为3π，则扇形的弧长等于（） A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 【答案】C【解析】根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【详解】221122263S r r r παπ==⨯=⇒=扇形弧长263l r ππα==⨯=故答案选C 【点睛】本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 4．若，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果． 【详解】 ∵＜1=log a a ，当a ＞1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0＜a ＜1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a ＜， 综上可知a 的取值是（0，）∪（1，+∞）. 故答案为（0，）∪（1，+∞） 【点睛】本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题．5．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（ ）A ．21y x =-B ．2log ||y x =C ．1y x=-D ．31y x =-【答案】A【解析】先分析||3x y =-的奇偶性以及在(,0)-∞的单调性，然后再对每个选项进行分析. 【详解】函数||3x y =-为偶函数,且在(,0)-∞上为增函数，对于选项A ,函数21y x =-为偶函数，在(,0)-∞上为増函数，符合要求； 对于选项B ,函数2log ||y x =是偶函数，在(,0)-∞上为减函数，不符合题意； 对于选项C ,函数1y x=-为奇函数，不符合题意； 对于选项D ,函数31y x =-为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项A 符合要求，故选A . 【点睛】奇偶函数的判断：（满足定义域关于原点对称的情况下） 若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数； 若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数. 6．若tan 2α=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=( ) A ．5 B ．55-C ．25-D ．25【答案】B【解析】利用sin tan 2cos ααα==和22sin cos 1αα+=可求得cos α；根据角的范围可知cos 0α<，进而确定结果. 【详解】22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩Q 5cos 5α∴=± 又3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ cos 0α∴< 5cos α∴=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，易错点是忽略角所处的范围，造成符号求解错误. 7．函数(1)()f x x R -∈是偶函数，且函数()f x 的图象关于点(1,0)成中心对称，当[1,1]x ∈-时，()1f x x =-，则(2019)f =( )A ．B ．C ．0D ．2【答案】D【解析】由(1)f x -是偶函数以及()f x 图象关于点(1,0)成中心对称，可得到2个关于()f x 的等式，将两个等式联立化简，可证明()f x 是个周期函数，即可计算(2019)f 的值. 【详解】根据题意，函数(1)()f x x R -∈是偶函数，则函数()f x 的对称轴为1x =-，则有()(2)f x f x =--，又由函数()f x 的图象关于点(1,0)成中心对称，则()(2)f x f x =--， 则有(2)(2)f x f x --=--，即(4)()f x f x +=-， 变形可得(8)()f x f x +=，则函数是周期为8的周期函数，(2019)(32528)(3)(1)(11)2f f f f =+⨯==--=---=；故选D ． 【点睛】本题考查函数的对称性：（1）若()(2)f x f a x =-，则()f x 的对称轴是：x a =；（2）若()(2)2f x f a x b +-=，则()f x 的对称中心是(,)a b . 8．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若24x =，则2x =”的否命题为：“若24x =，则2x ≠”B ．“1x =-”是“220x x --=”的必要不充分条件C ．命题“x R ∃∈使得3210x x -+≤”的否定是：“对x R ∀∈ 均有3210x x -+≤”D ．命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】根据四种命题的相互关系可得A 错误，D 正确，根据存在性命题的否定的结构形式可知C 错误，根据充分条件与必要条件的定义可判断B 正确与否. 【详解】对于A ，因为命题“若24x =，则2x =”的否命题为：“若24x ≠，则2x ≠”，故A 错； 对于B ，“1x =-”是“220x x --=”的充分不必要条件，故B 错； 对于C ， 命题“x R ∃∈使得3210x x -+≤”的否定是：“对x R ∀∈ 均有3210x x -+>”，故C 错；对于D ， 命题“若x y =，则cos cos x y =”是真命题，故其逆否命题为真命题，所以D 正确，故选D. 【点睛】本题考查四种命题的逆否命题的真假判断、否命题以及存在性命题的否定，属于中档题.9．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,2Aπωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位，则所得的函数解析式为（ ）A ．2cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．32cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．32cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【详解】根据余弦函数的图象的对称性求得：2A =，根据余弦函数图象：32882Tπππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得：T π=，利用周期公式：2T πω=，解得2ω=，根据函数的图象，8x π=时，08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()282k k z πππ⋅+∅=+∈，由于2π∅<，解得4π∅=，则()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位， 则所得的函数解析式为32cos 22cos 2244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选B.10．已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 【考点】分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况. 11．下列说法中正确的是（ ）①如果α是第一象限的角，则角α-是第四象限的角 ②函数sin y x =在2[,]63ππ-上的值域是1[,22- ③已知角α的终边上的点P 的坐标为(3,4)-，则4sin 5α=- ④已知α为第二象限的角，化简tan sin α= A ．①② B ．①③C ．③④D ．②④【答案】B【解析】α是第一象限角，α-与α的终边关于x 轴对称，因此α-是第四象限角，①正确；2x π=时，sin12y π==2>，②错误；角α的终边上的点P 的坐标为()3,4-，由正弦函数定义知4sin 5α=-，③正确；α是第二象限角时，tan 0,sin 0αα，④错误，故选B ．12．已知函数()()323132,53log 4,5x x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪-+>⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】B【解析】首先研究函数()f x 的性质，然后结合函数的图像整理计算即可求得最终结果. 【详解】当5x ≤时，()()()2'2313f x x x x x =--=+-，据此可得函数在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,3-上单调递减，在区间()3,5上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间()5,+∞上单调递减， 绘制函数图像如图所示，注意到()()()()()()30,20,00,10,40,50f f f f f f --><， 故方程()0f t =的解：()()()1233,2,0,1,4,5t t t ∈--∈∈， 则原问题转化为求方程()()1,2,3i f x t i ==时解的个数之和， 由函数图像易知满足题意的零点个数为7个. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分类讨论的数学思想，函数的零点问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．若直线1y kx =+是函数()f x lnx =图象的一条切线，则k =_____【答案】21e. 【解析】设切点为(,)m n ，分别代入曲线方程和切线的方程，求得函数()f x 的导数，求得切线的斜率，解方程即可得到k ． 【详解】解：设切点为(,)m n ，可得1km n +=，①lnm n =，② 函数()f x lnx =的导数为1()f x x'=， 可得切线的斜率为：1m， 由直线2y kx =+为切线，可得1k m=，③ 由①②③可得2n =，2m e =，21k e =， 故答案为：21e ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，正确求导和设出切点是解题的关键，属于中档题．14．二项式6ax ⎛ ⎝⎭的展开式中5x，则20ax dx =⎰________. 【答案】13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式的通项为666166()(()(),0,1,2,,666r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===L ， 令1r =，可得5x的系数为51566a C ⋅=，5= 解得1a =．∴123111|33x dx x==⎰．点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．15．某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有_______种.【答案】36【解析】可以先将4名教师取出两人作为为一组，与剩余的两人共三组分别安排到3个不同的班级即可.【详解】第一步取两个教师作为一组共有246C=种取法，第二步将三组教师分配到3个班级共有336A=种安排方法，所以根据分步乘法计数原理知，共有66=36⨯种不同的安排方法,故填36.【点睛】本题主要考查了分步乘法计数原理，组合，排列的综合运用，属于中档题.16．已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)是其导函数且满足f(x)+f′(x)>2，f(1)=24e +，则不等式e x f(x)>4+2e x的解集为_____【答案】(1，+∞)【解析】构造函数g(x)=e x f(x)﹣2e x，可结合题设证明g'(x)=e x[f(x)+f'(x)﹣2]>0，即g(x)是R上的增函数，又f(1)=24e+，即g(x)>g(1)，即得解.【详解】设g(x)=e x f(x)﹣2e x，则g'(x)=e x f(x)+e x f'(x)﹣2e x=e x[f(x)+f'(x)﹣2]，∵f(x)+f'(x)>2，e x>0，∴g'(x)=e x[f(x)+f'(x)﹣2]>0，∴g(x)是R上的增函数，又∵f(1)=24e +，∴g(1)=ef(1)﹣2e=2e+4﹣2e=4，∴不等式e x f(x)>4+2e x等价于不等式e x f(x)﹣2e x>4；即g(x)>g(1)；∴x >1，∴不等式e x f (x )>4+2e x 的解集为(1，+∞) 故答案为：(1，+∞) 【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，解不等式，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；【答案】(1) 0 ; (2) [0,1]【解析】(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值.(2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围. 【详解】(1) 函数2242()(1)mm f x m x -+=-为幂函数，则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件. 当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件. 综上所述0m =.(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增,所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--. 因为A B A ⋃=,即B A ⊆, 所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10kk ≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤.所以实数k 的取值范围是[0,1].【点睛】本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题.18．设函数()424xxf x =+， （1）用定义证明：函数()f x 是R 上的增函数； （2）化简()()1f t f t +-，并求值：123910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ； （3）若关于x 的方程()k 2xf x =n 在(]1,0-上有解，求k 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）92； （3）93,2k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）直接利用用定义，通过f （x 1）﹣f （x 2）化简表达式，比较出大小即可证明函数f （x ）在R 上的单调性；（2）化简f （t ）+f （1﹣t ），求出它的值是1，再利用此结论求123910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值； （3）变量分离可得242xxk +=，利用换元法结合对勾函数的性质求值域即可 【详解】（1）证明：设任意x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=11424x x +﹣22424x x +=()()12122(44)2424x x x x -++， ∵x 1＜x 2，∴4x1＜4x2，∴4x1﹣4x2＜0， 又2+4x1＞0，2+4x2＞0． ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0， ∴f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）在R 上是增函数；（2）对任意t ，()()114444241124242424424t t t tt t t t tf t f t --++-=+=+==+++⋅++ ∴对于任意t ，()()11f t f t +-=1911010f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2811010f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123959410101010102f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， （3）4224x xx k =+ 2+42x x k =令]1t 212x⎛=∈ ⎝，，则2k t t =+且在]112⎛ ⎝，单调递减， ∴ 93,2k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取12,x x ，并且12x x >（或12x x <）；（2）作差：12()()f x f x -，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.19．已知函数3()log (31)xf x kx =++(k ∈R)是偶函数．（1）求k 的值； （2）若不等式1()02f x x a --≥对x ∈(-∞，0]恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）12k =-；（2）(]3,log 2-∞ 【解析】（1）由于函数为偶函数，利用()()f x f x -=列方程，通过对比系数可求k 的值.（2）将原不等式分离常数变为()331log 31log 13xx a x ⎛⎫≤+-=+⎪⎝⎭，求得31log 13x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，来求得a 的取值范围. 【详解】（1）因为()y f x =为偶函数，所以()(),x R f x f x ∀∈-=， 即()()33log 31log 31xx kx kx -+-=++对x R ∀∈恒成立.于是()()3333312log 31log 31log log 331x xxx x kx x ---+=+-+===-+恒成立，而x 不恒为零，所以12k =-. （2）因为不等式()102f x x a --≥在区间(],0-∞上恒成立， 即()3log 31xa x ≤+-在区间(],0-∞上恒成立，令()()331log 31log 13xxg x x ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭， 因为1123x +≥， 所以()331log 1log 23xg x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，所以3log 2a ≤ 所以a 的取值范围是(]3,log 2-∞ 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性来求得参数的值，考查恒成立问题的求解策略，还考查了值域的求法.属于中档题.一个函数如果定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=，则函数为偶函数，若满足()()f x f x -=-则函数为奇函数.恒成立问题一般求解方法是分离常数法.20．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34、23、12，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率； （Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)38；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件,,A B C ，则则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC ABC ⋃，由ABC 与ABC 互斥，且A 、B 、C 彼此独立，能求出甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．试题解析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件,,A B C ， 则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABC ABC ⋃. ∵ABC 与ABC 互斥，且,,A B C 彼此独立，∴()()()()()()()()()32131134324328P ABC ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C ⋃=+=+=⨯⨯+⨯⨯=.（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3211011143224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111211432432P X ==⨯⨯+⨯⨯ 31114324+⨯⨯=，()1213112432432P X ==⨯⨯+⨯⨯ 3211143224+⨯⨯=，()321134324P X ==⨯⨯=.所以，随机变量X 的分布列为数学期望()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．已知函数2()e 1(,)x f x ax bx a b =+++∈R ，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为(e 1)1y x =-+. （1）求实数,a b 的值；（2）求函数()y f x =在[1,2]-的最值.【答案】（1）01a b =⎧⎨=-⎩；（2）min ()2f x =，2max ()e 1f x =-【解析】（1）()e 2xf x ax b '=++，可得到(1)e 2e 1(1)e 1ef a b f a b =++=-⎧⎨=+++='⎩，即可求出,a b的值；（2）由()1xf x e =-'可判断()f x 的单调性，从而可求出函数()y f x =在[1,2]-的最值. 【详解】（1）()e 2xf x ax b '=++，则(1)e 2e 1(1)e 1e f a b f a b =++=-⎧⎨=+++='⎩，01a b =⎧∴⎨=-⎩．（2）()e 1xf x x =-+的定义域为(,)-∞+∞，()e 1x f x '=-，令()0f x '=，则0x =，∴当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴min ()(0)2f x f ==，∵1(1)2ef -=+，2(2)e 1f =-，且(2)(1)f f >-， ∴2max ()(2)e 1f x f ==-． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了函数的单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.22．设函数()()()ln 0f x a x x a =+>，()2g x x =.（1）判断函数：()()()h x g x f x =-在[)1,+∞的单调性； （2）对于区间[]1,2上的任意不相等实数1x 、2x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(]0,1.【解析】（1）对函数()y h x =求导，解方程()0h x '=得正根x =对4a +与区间[)1,+∞的位置关系进行分类讨论，分析导数的符号，可得出函数()y h x =在区间[)1,+∞上的单调性；（2）设1212x x ≤<≤，由函数()f x 、()g x 的单调性将()()()()1212f x f x g x g x -<-化为()()()()1122f x g x f x g x ->-，然后构造函数()()()F x f x g x =-，得出该函数在[]1,2上单调递减，转化为()0F x '≤在[]1,2上恒成立，利用参变量分离法得221x a x ≤+，并求出221x x +在[]1,2上的最小值可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）()()2ln h x x a x x =-+，()()212210x ax a h x x a x x x --⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭，令()0h x '=，得4a x =（舍负）.①当14a +≤即01a <≤时，()0h x '≥，所以()h x 在区间[)1,+∞上的单调递增；②当14a +>即1a >时，()04a h x x +'>⇒>()01h x x '<⇒≤<.所以()h x在区间1,4a ⎡+⎢⎢⎥⎣⎦内单调递减，在区间,4a ⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭内单调递增.综上得：①当01a <≤时，()h x 在区间[)1,+∞上的单调递增；②当1a >时，()h x在1,4a ⎡+⎢⎢⎥⎣⎦内单调递减，在,4a ⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭内单调递增；（2）不妨设1212x x ≤<≤，当0a >时，()()12f x f x <，()()12g x g x <，()()()()1212f x f x g x g x ∴-<-可化为()()()()2121f x f x g x g x -<-，()()()()1122f x g x f x g x ∴->-，设()()()()2ln F x f x g x a x x x =-=+-，则()()12F x F x >.()F x ∴在[]1,2上单调递减，()220ax a xF x x+-∴=≤'恒成立，即221x a x ≤+在[]1,2上恒成立，2222111124x x x =+⎛⎫+-⎪⎝⎭Q ，函数2211124y x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭在区间[]1,2上单调递增，则min 2213124y ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，01a ∴<≤，因此，实数a 的取值范围是(]0,1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及求解函数不等式恒成立，本题涉及双变量函数不等式，要将含同一自变量的代数式放在不等式的一边，结合式子的结构构造合适的函数，转化为新函数的单调性来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

梅河口市第五中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设等比数列{}n a的前项和为n S，若633S S =，则96SS=（）A．2 B．73C.83D．32．sin3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（）A．sin1.5sin3cos8.5<<B．cos8.5sin3sin1.5<<C.sin1.5cos8.5sin3<<D．cos8.5sin1.5sin3<<3．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A．64 B．32 C．643D．3234．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（）A．B．πC．D．5．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（）A.83 B ．4 C.163D ．2036． 下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，2()g x =B ．2()f x x =，2()(1)g x x =+C ．()f x =()||g x x =D ．()0f x =，()g x 1111]7． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABC D8． 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ）A ．259B ．2516C ．6116D ．31159． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ）A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++=10．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 12．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）A ．π1492+B ．π1482+C ．π2492+D ．π2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中 的最大值为_________.14． 设函数()xf x e =，()lng x x m =+．有下列四个命题：①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2ln 2m e <-；③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22em <-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．16．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…若)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.三、解答题（本大共6小题，共70分。

吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二数学9月月考试题 文一 选择题（每题5分）1 ．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin :sin :sin 3:7:8A B C =，则ABC ∆的形状是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 2 ．在等比数列{}n a 中，若15152a a -=-，前四项的和45S =-，则4a =（ ） A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-3. 等差数列{}()n a n N*∈的公差为d ，前n 项和为nS，若10a >，0d <，39S S =，则当n S 取得最大值时，n =（ ）A ．4B ．5C ． 6D ．74.设数列{}n x 满足212log 1log n n x x +=+，且1258x x x +++=，则212225x x x +++=（ ） A ．202B ．2016C ．232D ．2425. 不等式20ax bx c ++>的解集为(4,1)-，则不等式2(1)(3)0b x a x c +-++>的解集为 （ ） A 4(,1)3-B 4(1,)3-C 4(,)(1,)3-∞-⋃+∞D 4(,1)(,)3-∞-⋃+∞6.已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T =（ ） A ．1517 B ．2532 C ．1 D ．27．在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（ ） A.6πB.4π C.3π D.23π 8．已知数列{}n a 满足递推关系：11n n n a a a +=+，112a =，则2018a ＝（ ）A ．12016B ．12017C ．12018D ．120199．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.10．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =，则sin sin A B + 的最大值是（）A ．1BC D ．311. 已知数列{}n a 满足11n a a Z =∈，，且1112113322n n n n n n a a a a ++-+-<+->-，，则2019a =（ ）A ．2021318-B ．2020318-C ．2019318-D ．2018318-12．．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a p +=，（p 为非零常数），则下列结论中: ①数列{}n a 必为等比数列；②1p =时，53132S =；③3856a a a a +>+；④存在p ，对任意的正整数,m n ，都有m n m n a a a +∙=正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题（每题5分） 13．已知函数y =R ，则实数a 的取值范围是___________14．已知数列{}n a 满足12211125222n na a a n +++=+，则数列{}n a 的通项为n a =__________________15．在中，角所对的边分别为,已知，给出下列结论：①的边长可以组成等差数列； ②； ③753A B C==；④若，则的面积是4，其中正确的结论序号是______. 16．设12a =，121n n a a +=+，2,*1nn n a b n N a +=∈-，则数列{}n b 的通项公式n b =__________________三 解答题17（10分）．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若1,30,a b A === 求角B ，C 及边c 的值；（2）若S 是ABC △的面积，已知4,5,a b S ===求c 的值． 18（12分）．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，113543n n n n S a a S --=-+（2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nn b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T19（12分）．n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2243n n n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.20（12分）．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈.（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知数列{}n a 的前n 项和为nS，11a =，0n a ≠，11,n n n a a S λ+=-其中λ为常数。