简支梁绝对最大弯矩计算及原理

一、简支梁的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其特点是两端固定支撑，中间无任何支撑，形成一个简单的横跨结构。

在工程建设中，简支梁常被用于桥梁、楼板等结构的设计与施工中。

当梁承受均布载荷时，其上产生的剪力和弯矩是设计和分析的重要参数。

二、受力分析的基本原理1. 剪力的定义和计算公式在简支梁上，当均布载荷作用时，梁体上的任意一截面上都受到来自上部和下部梁体的相互作用力。

剪力的大小可以通过以下公式计算：V = wL/2 - 信信其中，V代表该截面上的剪力，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。

2. 弯矩的定义和计算公式同样，在简支梁上，距离梁的任意一截面上也存在着弯矩。

弯矩的计算公式如下：M = wLx/2 - w*x^2/2其中，M代表该截面上的弯矩，w代表均布载荷的大小，L代表梁的长度，x代表距离截面起点的距离。

三、剪力和弯矩方程的推导1. 剪力方程的推导根据前文所述的剪力的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的剪力方程。

假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，由上述公式可知，剪力V与距离x的关系为线性关系，斜率为wL/2，截距为0。

简支梁受均布载荷作用时的剪力方程为：V = wL/2 - 信信2. 弯矩方程的推导同样地，根据前文所述的弯矩的计算公式，可以推导出简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程。

假设梁的起点为原点，横向为x轴方向，竖向为y轴方向，通过弯矩的计算公式可得知，弯矩M与距离x的关系为二次函数关系，并且开口向下。

简支梁受均布载荷作用时的弯矩方程为：M = wLx/2 - w*x^2/2四、结论与应用在工程设计中，通过以上剪力和弯矩方程的推导，可以为简支梁的设计、分析提供依据。

在实际工程中，根据预设的载荷情况和结构参数，可以通过计算得到不同截面处的剪力和弯矩，从而根据这些受力情况，进行梁的截面选取、钢筋布置、构造设计等工作。

剪力和弯矩方程的推导及其应用具有重要的实际意义和价值。

移动荷载作用下主梁绝对最大弯矩的计算摘要：在设计起重机梁等承受移动荷载的结构时，利用内力包络图可以求的在横荷载和移动活荷载共同作用下各杆件、各截面可能出现的最大内力、最小内力。

其中弯矩包络图表示各截面的最大弯矩值，其中弯矩最大者称为绝对最大弯矩。

我们已经学习了简支梁绝对最大弯矩的求法，那么主梁在移动荷载作用下绝对最大弯矩的求法是怎样的呢？本文根据简支梁绝对最大弯矩的求法，给出了一组平行荷载直接沿着纵梁移动时，主梁承受结点荷载作用下绝对最大弯矩的计算方法。

关键词：结点荷载，绝对最大弯矩，主梁，影响线桥梁或房屋建筑中的某些主梁，是通过一些次梁（纵梁和横梁）将荷载传递到主梁上的。

主梁这些荷载的传递点称为主梁的结点。

从移动荷载来说，不论是荷载作用在次梁的哪些位置，其作用都是通过这些固定的结点传递到主梁上。

如下图所示：本文研究的主要问题是一组平行荷载直接沿着纵梁移动时怎样判断主梁绝对最大弯矩的发生的截面位置和计算主梁的绝对最大弯矩（假定相邻两横梁间的距离、节间距是相等的）。

1.主梁绝对最大弯矩的发生截面位置回想我们学过的简支梁，有两种计算方法。

一种是近似计算，划分30个以上等分截面，画出梁的弯矩包络图，采取电算的方法。

另一种是精确计算，也是最常用的方法。

它的求法是：由于荷载在任一位置时，梁的弯矩图顶点永远发生在集中荷载下。

因此可以断定，绝对最大弯矩必定发生在某一集中何在的作用点。

取一集中荷载F pcr ，它的弯矩为：F R 为梁上实际荷载的合力，M cr 为F Pcr 以左梁上实际荷载对F Pcr 作用点的力矩，a 为F R 与 F Pcr 作用线之间的距离。

经分析可得，F pcr 作用点弯矩最大时，梁的中线正好平分F pcr 与F R 之间的距离。

如下图所cr R cr yA M x La x L F M x F M ---=-=示：比较各个荷载作用点的最大弯矩，选择其中最大的一个，就是绝对最大弯矩。

与简支梁类似，当一组平行荷载直接沿着纵梁移动时，主梁在任意时刻的弯矩图总是呈折线图形，弯矩图的顶点永远位于集中荷载作用点，也就是各结点截面。

简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩1)简支梁的内力包络图在设计承受移动荷载的结构时,通常需要求出结构中所有截面的最大、最小内力,连接各截面的最大、最小内力的图形称为内力包络图。

内力包络图反映了结构承受移动荷载作用时,所有截面内力的极值,是结构设计的重要依据,在吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁的设计中都要用到。

下面以一实例来说明简支梁的弯矩包络图和剪力包络图的绘制方法。

如图17.20(a)所示为一跨度为12m的吊车梁,承受图中所示的吊车荷载作用。

首先将梁沿其轴线分为若干等分,本例分为十等分。

然后利用影响线逐一求出各等分截面上的最大弯矩和最小弯矩。

其中最小弯矩是梁在恒载作用下各个截面的弯矩。

对于吊车梁来讲,恒载所引起的弯矩比活载所引起的弯矩要小得多,设计中通常将它略去。

因此,本例只考虑活载即移动荷载所引起的弯矩,那么各截面的最小弯矩均为零。

最后根据计算结果,将各截面的最大弯矩以相同的比例画出,并用光滑曲线相连,即得到弯矩包络图,如图17.20(b)所示。

图17.20同理,可求出梁上所有截面的最大和最小剪力,画出剪力包络图,如图17.20(c)所示。

由于每个截面都会产生最大剪力和最小剪力,因此剪力包络图有两条曲线。

由上可以看出,内力包络图是针对某种移动荷载而言的,同一结构在不同的移动荷载作用下,其内力包络图也不相同。

2)简支梁的绝对最大弯矩由前面的讲述我们知道,简支梁的弯矩包络图反映了所有截面弯矩的最大值,其中的最大竖标值是所有截面最大弯矩中的最大值,称为绝对最大弯矩,用Mmax表示。

绝对最大弯矩无疑是考虑移动荷载作用时结构分析、设计的重要依据。

可以通过作出弯矩包络图来得到绝对最大弯矩,但这种方法计算量大,而且精度也不高,因此一般不采用此方法来计算绝对最大弯矩。

下面介绍一种较为简便的方法。

由于简支梁在移动荷载作用下,其上任一截面都有最大弯矩,其值可以通过确定该截面弯矩的最不利荷载位置,并计算该荷载位置时的弯矩而得到。

简支梁绝对最大弯矩计算及原理影响线之综合应用 by hnullh一、条件： 1， 简支梁 2， 影响线 3， 移动集中荷载 4， 求绝对最大弯矩a) 未知截面(与求跨中弯矩或某一个固定未知截面弯矩的最大值相区别) b) 未知数值二、引理： 1，合力矩定理 在影响线单段直线范围内，各力效应与其合力效应一样。

F kF Ra xlFk 为临界荷载，FR 为荷载合力x 为位置变量 l 为简支梁长∑⋅=iipi y F S （ 1.1）∑⋅=iipi x F S αtan Rx R x Fii pi⋅=⋅∑ （ 2.1-1） （ 2.1-2）（ 2.1-3）R R tan tan y R x R x F S ii pi ⋅=⋅⋅=⋅=∑αα （ 2.1-4）()n i x y i i 2,1tan ==α2， S 取得极值的必要条件S 取得极值时，某一集中荷载必然会位于影响线的某一顶点上，把该荷载称为临界荷载，FK 用表示。

公式（2.2-2）为S 的导数，先（FK 过顶点之前）≥0后（FK 过顶点之后）≤0，表示S 先增后减，取得极大值。

3，临界荷载与简支梁上所有荷载（包括临界荷载本身）的合力R （FR ）恰好位于梁中点两侧的对称位置设Fpi 为临界荷载，求Fpi 对应的截面的MiFpi 以左所有荷载（Fp1，Fp2 ……Fpi -1）对Fpi 作用点的矩为 M （为常数）Mi 为x 的函数，求得Mi 的最不利位置的一般公式（即引理3）：三、计算轮次取Fpi 为临界荷载，可以求得对应Mimax ，比较之，得出最大Mmax 。

从而先后解决了未知截面和未知数值两个内容。

四、优化绝对最大弯矩通常发生在梁中点附近，故可设想，使梁的中点发生最大弯矩的临界荷载也就是发生绝对最大弯矩的临界荷载()∑∑==⋅-∆+⋅=∆mj jj mj j j j y R y y R S 11∑=⋅=∆∆mj j j R x S 1tan α （ 2.2-1）（ 2.2-2）()M x la x l R M x R M A i ---=-⋅= （2.3-1）()02=--=a x l lRdx dM i （ 2.3-2）2a l x -=（ 2.3-3）。

1概述工程中的大量梁体的安全验算是目前建筑工业行业的学生必须掌握的基本技能,在该技能中存在的难点是梁体在移动荷载作用下的内力计算;简支梁[1]绝对最大弯矩和弯矩包络图是涉及移动荷载的典型实际问题,在吊车梁和桥梁设计中非常重要。

现行结构力学教材中推荐了关于绝对最大弯矩的精确算法,教学实践中发现精确算法存在着一些不足之处,主要表现为:①精确算法仅仅是涉及了移动荷载工况,对于设计中需要同时考虑恒载(如自重等)和移动荷载共同作用工况时,算法不再适用。

②精确算法是根据集中荷载作用下简支梁弯矩图形表现为折线图形,纯粹利用数学中的极值条件推导得出的,并没有涉及影响线的概念及应用。

教材中强调影响线是解决移动荷载作用下结构计算的有效工具,因此在教材内容安排上花较多学时让我们学习影响线的概念、作法与应用,但是在教材最后一节计算绝对最大弯矩这一实际问题上却没有利用影响线解决,这在一定程度上使得影响线的工具性地位受到削弱,也使得现行教材影响线一章的内容安排前后得不到良好的呼应。

③绝对最大弯矩是弯矩包络图中的竖标最大值,两者在吊车梁和桥梁[3]设计中具有同等重要的地位,理论上两+者应在同一个计算过程中同步解决。

但是现行教材中的精确算法仅仅独立解决了移动荷载下的绝对最大弯矩计算。

④绝对最大弯矩的精确算法当活载数目较少(如少于4个),容易观察发生绝对最大弯矩的临界位置,计算较为简单;但是当活载数目超过4个以上[4]时需要两步试算求解,计算过程重复且复杂,不易实现程序电算化。

教学实践中教师灌输的两步做法,我们只是被动地接受,缺乏主动的消化与理解。

针对现行教材精确算法存在的不足之处,笔者在教学实践中提倡一种划分截面的近似算法,该法以影响线、计算机分别作为理论分析与计算工具,可同步解决恒载和移动荷载共同作用下简支梁绝对最大弯矩的近似计算和弯矩包络图的绘制,因此可直接用于实际吊车梁和桥梁[5]的设计计算。

2计算绝对最大弯矩的精确解移动荷载作用下,计算简支梁上可能出现的绝对最大弯矩,在现行结构力学教材中统一给出了精确的计算方法(称为精确解[6])即:绝对最大弯矩发生在梁上实际作用的某一集中荷载Pk下面,Pk作用点弯矩达到最大时梁的中线恰好平分Pk与梁上实有荷载合力R之间的距离,比较各个荷载作用点的最大弯矩,选择其中最大的一个就是绝对最大弯矩。

移动荷载作用下主梁绝对最大弯矩的计算摘要：在设计起重机梁等承受移动荷载的结构时，利用内力包络图可以求的在横荷载和移动活荷载共同作用下各杆件、各截面可能出现的最大内力、最小内力。

其中弯矩包络图表示各截面的最大弯矩值，其中弯矩最大者称为绝对最大弯矩。

我们已经学习了简支梁绝对最大弯矩的求法，那么主梁在移动荷载作用下绝对最大弯矩的求法是怎样的呢？本文根据简支梁绝对最大弯矩的求法，给出了一组平行荷载直接沿着纵梁移动时，主梁承受结点荷载作用下绝对最大弯矩的计算方法。

关键词：结点荷载，绝对最大弯矩，主梁，影响线桥梁或房屋建筑中的某些主梁，是通过一些次梁（纵梁和横梁）将荷载传递到主梁上的。

主梁这些荷载的传递点称为主梁的结点。

从移动荷载来说，不论是荷载作用在次梁的哪些位置，其作用都是通过这些固定的结点传递到主梁上。

如下图所示：本文研究的主要问题是一组平行荷载直接沿着纵梁移动时怎样判断主梁绝对最大弯矩的发生的截面位置和计算主梁的绝对最大弯矩（假定相邻两横梁间的距离、节间距是相等的）。

1.主梁绝对最大弯矩的发生截面位置回想我们学过的简支梁，有两种计算方法。

一种是近似计算，划分30个以上等分截面，画出梁的弯矩包络图，采取电算的方法。

另一种是精确计算，也是最常用的方法。

它的求法是：由于荷载在任一位置时，梁的弯矩图顶点永远发生在集中荷载下。

因此可以断定，绝对最大弯矩必定发生在某一集中何在的作用点。

取一集中荷载F pcr ，它的弯矩为：F R 为梁上实际荷载的合力，M cr 为F Pcr 以左梁上实际荷载对F Pcr 作用点的力矩，a 为F R 与 F Pcr 作用线之间的距离。

经分析可得，F pcr 作用点弯矩最大时，梁的中线正好平分F pcr 与F R 之间的距离。

如下图所cr Rcr yA M x La x L F M x F M ---=-=示：比较各个荷载作用点的最大弯矩，选择其中最大的一个，就是绝对最大弯矩。

与简支梁类似，当一组平行荷载直接沿着纵梁移动时，主梁在任意时刻的弯矩图总是呈折线图形，弯矩图的顶点永远位于集中荷载作用点，也就是各结点截面。

简支梁、悬臂梁、外伸梁弯矩及剪力在结构力学中，简支梁、悬臂梁和外伸梁是常见的梁结构形式，它们在工程中有着广泛的应用。

要理解和设计这些梁结构，就必须清楚地了解它们所承受的弯矩和剪力的分布规律及计算方法。

首先，我们来看看简支梁。

简支梁是指梁的两端分别由铰支座支撑，其一端可以自由转动，另一端可以水平移动但不能竖向移动。

当简支梁上承受均布荷载时，其弯矩呈抛物线分布。

在梁的跨中，弯矩达到最大值，其值为qL²/8（其中q 为均布荷载，L 为梁的跨度）。

而剪力则是线性分布的，在梁的两端支座处，剪力达到最大值，其值分别为 ±qL/2。

如果简支梁上承受集中荷载，那么在集中荷载作用点处，弯矩会发生突变。

比如，一个集中力P 作用在简支梁跨中时，跨中弯矩为PL/4。

接下来，我们说说悬臂梁。

悬臂梁是一端固定，另一端自由的梁结构。

当悬臂梁承受均布荷载时，弯矩沿梁长线性增加，在自由端达到最大值，其值为 qL²/2。

剪力则保持不变，等于均布荷载 q 乘以梁的长度L。

若是悬臂梁上有集中荷载作用，在集中荷载作用点处，弯矩也会发生突变。

例如，一个集中力 P 作用在悬臂梁自由端时，自由端的弯矩为 PL。

最后，再讲讲外伸梁。

外伸梁是在简支梁的基础上，一端或两端伸出支座之外的梁结构。

外伸梁的弯矩和剪力分布比较复杂，要根据具体的荷载情况和外伸长度来确定。

但总体来说，外伸部分的弯矩和剪力与简支部分是相互影响的。

在实际工程中，准确计算这三种梁的弯矩和剪力至关重要。

因为弯矩和剪力直接关系到梁的强度和稳定性，如果计算不准确，可能会导致梁的破坏，从而影响整个结构的安全性。

例如，在建筑结构中，梁要承受楼板传来的荷载。

如果梁的弯矩和剪力计算错误，可能会导致梁在使用过程中出现裂缝、变形甚至断裂。

在桥梁工程中，桥梁的主梁通常也是以梁的形式存在。

如果对弯矩和剪力估计不足，可能会使桥梁在车辆荷载作用下发生过大的变形，影响行车安全和桥梁的使用寿命。

第九节 简支梁的绝对最大弯矩由上节可知，在移动荷载作用下可以求出简支梁任一指定截面的最大弯矩值，在所有截面的最大弯矩中，必然有一个是最大的，这个最大的弯矩称为梁的绝对最大弯矩。

绝对最大弯矩是弯矩包络图中的最大竖标值，也可以说，它是最大弯矩中的最大者。

要确定绝对最大弯矩，涉及两个问题：一是绝对最大弯矩产生的截面位置如何确定，二是相应于该截面弯矩的最不利荷载位置如何确定。

这里，截面位置和荷载位置都是未知的。

从理论上来说，可以将梁所有截面的最大弯矩都一一求出来，其中最大者即为梁的绝对最大弯矩。

但是，由于梁的截面有无穷多个，无法一一计算出来进行比较，因此这种方法是行不通的。

虽然有的情况下可以选取有限多个截面进行计算比较，但这也只能得到问题的近似解答。

其实，只要知道了绝对最大弯矩产生的截面位置，绝对最大弯矩的数值就容易求出来了。

下面研究简支梁上承受的是移动荷载组的情况。

简支梁上的一组集中荷载移动到某一位置时，其弯矩图的顶点均在集中荷载作用点处。

随着荷载组的移动，这些顶点的位置及弯矩值均发生变化，但无论荷载组移动到任何位置，弯矩图的顶点总是在集中荷载作用点处。

由此可判定，绝对最大弯矩必定发生在某一集中荷载作用点处的截面上。

为解决它到底发生在哪个集中荷载的作用点及该点位置，可先任选一个集中荷载，研究该集中荷载移动到什么位置时其作用点处截面的弯矩达到最大值，然后按同样的方法分别求出发生在其它各集中荷载作用点截面的最大弯矩，再加以比较即可确定出绝对最大弯矩。

如图10-33所示简支梁，移动荷载为一组集中荷载，其合力为R F 。

取某一集中荷载k F 来考虑，记k F 至左支座A 的距离为x ，k F 与R F 距离为a 。

则支座反力A F 可由整体平衡条件∑=0B M 求得： )(a x l lF F R A --=(a)k F 位于R F 的左边 (b)k F 位于R F 的右边图10-33 简支梁的绝对最大弯矩求解记k M 为k F 以左梁段上荷载对k F 作用点的力矩之和，它只与各荷载的相对位置有关。

简支梁的绝对最大弯矩1. 简支梁绝对最大弯矩的定义：给定的移动荷载移动荷载作用下，所有截而最大弯矩中的最大者称为简支梁的绝对最大弯矩。

2. 求算意义与求算要素：绝对最大弯矩截而为最危险截而，因此，绝对最大弯矩是简支梁设汁的依据。

在求算过程中，需解出绝对最大弯矩的值和它的作用位置这两大要素。

3. 下而简述其求解过程：邸1 瓯理兔H2 . 1!2上图所示简支梁，作用有数量和间距不变的移动荷载巧•••, F p/jO无论荷载在什么样的位苣，此梁的弯矩图顶点必然在某一集中荷载下而，即绝对最大弯矩一定发生在某一集中荷载作用点。

取任一荷载F pk进行分析，分析其作用点的最大弯矩的产生情况，以x表示其与A点的距离, a 表示F pk与梁上荷载的合力心的作用点间的距离。

[—x — a对B点取矩，可以解出A点支反力：F RA=F R一-一1 — Y — n则5作用点的弯矩为：M =F^X~M k=F R一：——X~M k 其中的是表示F pk左边的荷载对其作用点的力矩之和，是一常数。

计算M女对x的一阶导数，利用极值点的一阶导数为6可确左X。

求导推算：= 0<=> —（/-2x-n） = 0Ox =- - —dx I 2 2由上可看出：当梁中线平分与件间的距离时，作用点的弯矩取得最大值。

最大值为：叽严件（卜#）¥皿“依次将每个力作为临界荷载代入计算极值，英中的最大值即为绝对最大弯矩。

在安排F冰与耳的位苣时应仔细，如有荷载移入或移出梁，则应重新讣算a。

4. 经验简化：经验表明，绝对最大弯矩总是发生在跨中截面附近，使得跨中截而发生弯矩最大值的临界荷载常常也是发生绝对最大弯矩的临界荷载。

因此，可用跨中截面最大弯矩的临界荷载代替绝对最大弯矩的临界荷载。

实际计算步骤：（1）求出能使跨中截而发生弯矩最大值的全部临界荷载。

（2）对每一临界荷载求件和相应的a,代入计算最大弯矩。

（3）选出最大值，即为绝对最大弯矩。