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相量法的运算公式
相量的运算公式包括：
1.相量的加减法：
a+b = (a_x + b_x) + (a_y + b_y) j
a-b = (a_x - b_x) + (a_y - b_y) j
其中，a_x和a_y分别为向量a在x轴和y轴上的分量，b_x和b_y分别为向量b在x轴和y轴上的分量，j为虚数单位。
2.相量的乘法：
a*b = (a_magnitude * b_magnitude) * exp(j * (a_angle +
b_angle))
其中，a_magnitude和b_magnitude分别为向量a和b的模长，a_angle和b_angle分别为向量a和b与实部轴之间的夹角，exp为指数函数，j为虚数单位。
相量法拓展：
1.相量法不仅适用于平面向量，在空间向量中同样适用，只是需要增加z轴分量。
2.相量法不仅适用于电学领域中的交流电路分析，还适用于机械学、热力学的分析，以及计算机图形学中的向量运算等领域。
3.利用相量法，可以求解平面图形的面积、角度、垂直平分线、内心、外心等问题。
电路相量法相量法是分析讨论正弦电流电路稳定状态的一种简洁易行的方法。
它是在数学理论和电路理论的基础上建立起来的一种系统方法。
1、问题的提出在上图所示的电路中，依据KVL，列写微分方程如下当激励u(t)是正弦量时，uC(t)及iL(t)均为同频率的正弦量。
这一重要结论具有普遍意义，即线性非时变电路在正弦电源激励下，各支路电压、电流的特解都是与激励同频率的正弦量，当电路中存在有多个同频率的正弦激励时，该结论也成立。
工程上将电路的这一特解状态称为正弦电流电路的稳定状态，简称正弦稳态。
电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间仅在有效值（或幅值）、初相上存在差异和联系，这种"差异和联系"正是正弦稳态分析求解中的关键问题。
结论：同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。
因此采纳2、正弦量的相量表示：构造一个复函数，（无任何物理意义）取该复函数的实部，，为一个正弦量，有物理意义。
结论：任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。
如复函数F(t) 还可以写成，其中为复常数。
F(t) 包含了正弦量的三要素：幅值（此处为有效值）I、初相Y 、角频率w。
有如下关系同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：正弦量除可用上述的相量式表示以外，还可在复平面上用相量图形式表示。
如图所示。
图相量图留意相量的模表示正弦量的有效值；相量的辐角表示正弦量的初相位。
例已知，试用相量表示i和u。
解：3、相量法的应用① 同频率正弦量的加减所以相量关系为：结论：同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
同频率的正弦量相加减，还可以借助相量图进行计算。
令，，下面用相量图求解。
图(a)为平行四边形法则求解，图(b)为三角形法则求解。
(a) (b)图相量图进行相量的加法运算② 正弦量的微分、积分运算令微分运算：积分运算：所以；相量法的优点：① 把时域问题变为复数问题；② 把微积分方程的运算变为复数方程运算；③ 可以把直流电路的分析方法直接用于沟通电路。
91第九章 相量法第一节 复数的概念一、虚数单位参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。
在这个 复数平面上定义虚数单位为1j -=即j 2 = -1，j 3 = - j ，j 4 = 1虚数单位j 又叫做90︒旋转因子。
序号 内 容 1 第一节 复数的概念 2第二节 复数的四则运算 3 第三节 正弦量的复数表示法 4 第四节 复数形式的欧姆定律 5 第五节 复阻抗的连接 6 本章小结与习题图9-1 在复平面上表示复数1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。
2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的欧姆定律。
3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。
1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。
2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。
92二、复数的表达式一个复数Z 有以下四种表达式。
1．直角坐标式(代数式)Z = a + j b式中，a 叫做复数Z 的实部，b 叫做复数Z 的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A = 3 + j2在复平面上的表示如图9-1所示。
2．三角函数式在图9-1中，复数Z 与x 轴的夹角为 θ，因此可以写成Z = a + j b = |Z |(cos θ + jsin θ)式中|Z |叫做复数Z 的模，又称为Z 的绝对值，也可用r 表示，即22|Z | b a r +==θ 叫作复数Z 的辐角，从图9-1中可以看出⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<+π-><-π>=)0 0( arctan )0 0( arctan )0( arctan b a a bb a a b a a b ，，θ复数Z 的实部a 、虚部b 与模|Z |构成一个直角三角形。
3．指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即Z =|Z |(cos θ + jsin θ) =|Z |e j θ4．极坐标式(相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z =|Z |/θ以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
【例9-1】将下列复数改写成极坐标式： (1) Z 1 = 2；(2) Z 2 = j5；(3) Z 3 = -j9；(4) Z 4 = -10；(5) Z 5 = 3 + j4；(6) Z 6 = 8 - j6；(7) Z 7 = - 6 + j8；(8) Z 8 = - 8 - j6。
93解：利用关系式Z = a + j b =|Z |/θ ，|Z |=22b a +，θ = arctanab，计算如下： (1) Z 1= 2 = 2/0︒(2) Z 2 = j5 = 5/90︒ (j 代表90︒旋转因子，即将“5”作反时针旋转90︒)(3) Z 3 = - j9 = 9/-90︒ (－j 代表－90︒旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90︒) (4) Z 4= -10 = 10/180︒或10/-180︒ (“-”号代表 ±180︒)(5) Z 5 = 3 + j4 = 5/53.1︒ (6) Z 6 = 8 - j6 = 10/-36.9︒(7) Z 7 = - 6 + j8 = - (6 - j8) = -(10/- 53.1︒) = 10/180︒- 53.1︒ = 10/126.9︒ (8) Z 8 = - 8 - j6 = - (8 + j6) = - (10/36.9︒) = 10/-180︒ + 36.9︒ = 10/-143.1︒。
解：利用关系式Z = |Z |/θ =|Z |(cos θ + jsin θ) = a + j b 计算：(1) Z 1= 20/53.1︒ = 20(cos53.1︒ + jsin53.1︒) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16 (2) Z 2 = 10/-36.9︒ = 10(cos36.9︒ - jsin36.9︒) = 10(0.8 -j0.6) = 8 - j6(3) Z 3 = 50/120︒ = 50(cos120︒ + jsin120︒) = 50(- 0.5 + j0.866) = - 25 + j43.3 (4) Z 4 = 8/- 120︒ = 8(cos120︒ - jsin120︒) = 8(- 0.5 - j0.866) = - 4 - j6.928第二节 复数的四则运算设Z 1= a + j b =|Z 1|/α ，Z 2 = c + j d = |Z 2|/β ，复数的运算规则为 1．加减法 Z 1 ± Z 2 = (a ± c ) + j(b ± d ) 2．乘法 Z 1 · Z 2 = |Z 1| · |Z 2|/α + β 3．除法2121Z Z Z Z =/α - β 4．乘方 nn Z Z 11=/n α解：(1) Z 1 + Z 2 = (8 - j6) + (3 + j4) = 11 - j2 = 11.18/-10.3︒ (2) Z 1 - Z 2 = (8 - j6) - (3 + j4) = 5 - j10 = 11.18/- 63.4︒ (3) Z 1 · Z 2 = (10/- 36.9︒) ⨯ (5/53.1︒) = 50/16.2︒【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)： (1) Z 1= 20/53.1︒；(2) Z 2 = 10/- 36.9︒；(3) Z 3 = 50/120︒；(4) Z 4 = 8/- 120︒。
【例9-3】已知 Z 1= 8 - j6， Z 2 = 3 + j4。
试求：(1) Z 1 + Z 2；(2) Z 1 - Z 2；(3) Z 1 · Z 2；(4) Z 1 / Z 2。
94(4) Z 1 / Z 2 = (10/- 36.9︒) ÷ (5/53.1︒) = 2/- 90︒第三节 正弦量的复数表示法正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。
其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。
正弦电流i = I m sin(ω t + ϕi )的相量表达式为==i I Iϕj m e 2I /ϕi 正弦电压u = U m sin(ω t + ϕu )的相量表达式为i U Uϕj m e 2= = U /ϕu解：(1) 正弦电压u 的有效值为U = 0.7071 ⨯ 311 = 220 V ，初相 ϕu = 30︒，所以它的相量为=U U /ϕu = 220/30︒ V (2) 正弦电流i 的有效值为I = 0.7071 ⨯ 4.24 = 3 A ，初相ϕi = -45︒，所以它的相量为 I=I/ϕi = 3/-45︒ A解: u =2120sin(ω t - 37︒) V ，i = 52sin(ω t + 60︒) A 。
解: 首先用复数相量表示正弦量i 1、i 2，即=1I3/30︒ A = 3(cos30︒ + jsin30︒) = 2.598 + j1.5 A =2I 4/-60︒ A = 4(cos60︒ - jsin60︒) = 2 - j3.464 A 然后作复数加法：=+21I I4.598 - j1.964 = 5/-23.1︒ A 【例9-4】把正弦量u = 311sin(314t + 30︒) V ， i = 4.24sin(314t - 45︒) A 用相量表示。
【例9-5】 把下列正弦相量用三角函数的瞬时值表达式表示，设角频率均为ω： (1) =U 120/-37︒ V ； (2) =I 5/60︒ A 。
【例9-6】已知 i 1 =23sin(ω t + 30︒) A ， i 2 = 24sin(ω t - 60︒) A 。
试求：i 1 + i 2。
95最后将结果还原成正弦量：i 1 + i 2 =25sin(ω t - 23.1︒) A第四节 复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律定义复阻抗为==IUZ |Z |/ϕ 其中IUZ =为阻抗大小，ϕ = ϕu - ϕi 为阻抗角，即电压u 与电流i 的相位差。
则复数形式的欧姆定律为I Z U ZU I== 或 图9-2所示为复数形式的欧姆定律的示意图。
二、电阻、电感和电容的复阻抗1．电阻R 的复阻抗Z R = R = R / 0︒ RR I R U = 2．电感L 的复阻抗Z L = X L / 90︒ = j X L = j ωLL L L L L L I L I X I Z U ωj j ===3．电容C 的复阻抗Z C = X C /-90︒ = -j X C = Cω1j- CC C C C C I CI X I Z U ω1j j -=-== 第五节 复阻抗的连接一、阻抗的串联如图9-3所示阻抗串联电路。
n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗Z = Z 1 + Z 2 + … + Z n例如R-L-C 串联电路可以等效一只阻抗Z ，根据Z R = R ， Z L = j X L ，Z C = -j X C ，则图9-3 阻抗串联电路图9-2 复数形式的欧姆定律96ϕωωj e j )1(j )(j Z X R C L R X X R Z Z Z Z C L C L R =+=-+=-+=++=即 Z =|Z |/ϕ其中电抗X = X L - X C ，阻抗大小为2222)(C L X X R X R Z -+=+=ϕ 为阻抗角，代表路端电压u 与电流i 的相位差，即RX i u arctan=-=ϕϕϕ解:等效复阻抗Z = Z R + Z L = R + j X L = R + j ωL = 3 + j4 = 5/53.1︒ Ω，其中X L = 4 Ω，正弦交流电压u 的相量为=U 220/30︒ V ， 电路中电流相量为5220==Z U I/30︒－53.1︒= 44/-23.1︒ A 电阻上的电压相量和瞬时值分别为==I R U R132/-23.1︒ V ， 2132=R u sin(314t - 23.1︒) V电感上的电压相量和瞬时值分别为===I X I Z U L L L j 176/90 - 23.1︒ = 176/66.9︒ V ，2176=L u sin(314t + 66.9︒) V二、阻抗的并联阻抗并联电路如图9-4所示。
n 只阻抗Z 1、Z 2、…、Z n 并联电路，对电源来说可以等效为一只阻抗，即nZ Z Z Z 111121+++=图9-4 阻抗并联电路【例9-7】 在R-L 串联电路中，已知：R = 3 Ω， L = 12.7 mH ，设外加工频电压 2220=u sin(314t + 30︒) V 。
