2几何组成分析习题课.

习题及参考答案【习题2】【习题3】【习题4】【习题5】【习题6】【习题8】【习题9】【习题10】【习题11】【习题12】【习题13】【习题14】【参考答案】习题22-1〜2-14 试对图示体系进行几何组成分析，如果是具有多余联系的几何不变体系，指出多余则应联系的数目。

题2-2图题2-3图题2-5图题2-6图题2-8图题2-9图题2-10图题2-11图题4-1图4-2 作图示刚架的M 图。

3-1 试作图示多跨静定梁的M 及Q 图。

习题(a)1.5m 1 2m I2.5m | 1.5m l 4.5m题3-1(b)3-2 试不计算反力而绘出梁的M 图。

4m40kN(a) 5kN/mM(b )4-1 作图示刚架的M 、Q 、N 图。

2kN /m2kN • m (a)2kN 题3-2习题4(b ) (c )4-3 4-4 4-54m(a)(d)作图示三铰刚架的M图。

M=4Pa2a(b)4kN4m 4m(c)珂10kN/m4m(e)题4-2图CE0.5m ]m2J 0.5m7mB7m(a)题4-3作图示刚架的M图。

(a)I 盒lUlUUW已知结构的M图，试绘出荷载。

10kN/m1.5m题4-4图urm*~ G3mC7.35m 7.35m(b)m6Nn m220kN40kN/m4m(b)C_PaPaPaa4-6 检查下列刚架的M图，并予以改正。

5-15-2 题4-5图(b)P(d)(e) (f)(c)题4-6图习题5图示抛物线三铰拱轴线方程4 f1kN/mx)x，(h)试求D截面的内力。

20kN10m题5-1图K15m j 5ml=30m带拉杆拱，拱轴线方程 y ，求截面的弯矩。

题5-3图习题66-1 判定图示桁架中的零杆。

6-2 6-3 6-4 6-5 用结点法计算图示桁架中各杆内力。

(b) (c)m题6-2用截面法计算图示桁架中指定各杆的内力。

3m [ 3m3m I 3m题6-3试求图示组合结构中各链杆的轴力并作受弯杆件的用适宜方法求桁架中指定杆内力。

第一章 平面体系的几何组成分析一、判断题：1、在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。

2、图中链杆1和2的交点O 可视为虚铰。

O二、分析题：对下列平面体系进行几何组成分析。

3、 4、ACDBACDB5、 6、A CD BEABCDE7、 8、ABCD GE FA BCDEFGHK9、 10、11、 12、1234513、 14、15、 16、17、 18、19、 20、1245321、 22、123456781234523、 24、12345625、 26、27、 28、29、 30、31、 32、33、BA CFDE三、在下列体系中添加支承链杆，使之成为无多余约束的几何不变体系。

34、35、第二章 静定结构内力计算一、判断题：1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。

2、静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。

3、静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束。

4、图(a)所示结构||M C =0。

aa(a)BCa aAϕ2a2(b)5、图(b)所示结构支座A 转动ϕ角，M AB = 0， R C = 0。

6、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。

7、图(c)所示静定结构，在竖向荷载作用下，AB 是基本部分，BC 是附属部分。

ABC(c)8、图(d)所示结构B 支座反力等于P /2()↑。

(d)9、图(e)所示结构中，当改变B 点链杆的方向（不通过A 铰）时，对该梁的影响是轴力有变化。

ＡＢ(e)10、在相同跨度及竖向荷载下，拱脚等高的三铰拱，水平推力随矢高减小而减小。

11、图(f)所示桁架有9根零杆。

(f)a a a a(g)12、图(g)所示桁架有：N1=N2=N3= 0。

13、图(h)所示桁架DE杆的内力为零。

a a(h)(i)14、图(i)所示对称桁架在对称荷载作用下，其零杆共有三根。

15、图(j)所示桁架共有三根零杆。

第1章 绪论（无习题）第2章 平面体系的几何组成分析习题解答习题 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。

( )(2) 若平面体系的计算自由度W =0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。

( ) (3) 若平面体系的计算自由度W ＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。

( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。

( )(5) 习题(5) 图所示体系去掉二元体CEF 后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。

( )B DACEF习题 (5)图(6) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC 后，成为习题(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。

( )(7) 习题(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF 后，成为习题(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。

( )(a)(b)(c)D习题 (6)图【解】（1）正确。

（2）错误。

0W 是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。

（3）错误。

（4）错误。

只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。

（5）错误。

CEF 不是二元体。

（6）错误。

ABC 不是二元体。

（7）错误。

EDF 不是二元体。

习题 填空(1) 习题(1)图所示体系为_________体系。

习题(1)图(2) 习题(2)图所示体系为__________体系。

习题2-2(2)图(3) 习题(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。

习题(3)图(4) 习题(4)图所示体系的多余约束个数为___________。

习题(4)图(5) 习题(5)图所示体系的多余约束个数为___________。

习题(5)图(6) 习题(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。

习题(6)图(7) 习题(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。

1、杆系结构中梁、刚架、桁架及拱的分类，是根据结构计算简图来划分的。

(正确)2、定向支座总是存在—个约束反力矩(正确)和一个竖向约束反力。

(错误)3静力和动力荷载的区别，主要是取决于它随时间变化规律、加载速度的快慢。

其定性指标由结构的自振周期来确定。

(正确)4、铰结点的特性是被连杆件在连接处既不能相对移动，(正确)又不能相对转动。

(错误)5、线弹性结构是指其平衡方程是线性的，(正确)变形微小，(正确)且应力与应变之间服从虎克定律。

(正确)1、学习本课程的主要任务是：研究结构在各种外因作用下结构内力与（）计算，荷载作用下的结构反应；研究结构的（）规则和（）形式等问题。

正确答案：位移，动，组成，合理2、支座计算简图可分为刚性支座与弹性支座，其中刚性支座又可分为（）、（）、（）和（）。

正确答案：链杆，固定铰支座，固定支座，滑动支座3、永远作用在结构上的荷载称为固定荷载，暂时作用在结构上的荷载称为（）它包括（）、（）、（）、（）和（）等正确答案：活载，风，雪，人群，车辆，吊车4、刚节点的特性是被连接的杆件载连接处既无（）又不能相对（）；既可传递（），也可传递（）正确答案：移动，转动，力，力矩第二章平面体系的几何构成分析1、图中链杆1和2的交点O可视为虚铰。

（）O正确答案：正确2、两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了这些约束必须满足的条件。

（）正确答案：正确3、在图示体系中，去掉1-5，3-5，4-5，2-5，四根链杆后，的简支梁12，故该体系具有四个多余约束的几何不变体系。

（）12345正确答案：错误4、几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。

（）正确答案：错误5、图示体系是几何不变体系。

()正确答案：错误2-2几何组成分析1．正确答案：几何不变，且无多余联系。

2．(图中未编号的点为交叉点。

)A B CDEF正确答案：铰接三角形BCD视为刚片I，AE视为刚片II，基础视为刚片III；I、II间用链杆AB、EC构成的虚铰(在C点)相连，I、III间用链杆FB和D处支杆构成的虚铰(在B点)相联，II、III 间由链杆AF和E处支杆构成的虚铰相联3．(图中未画圈的点为交叉点。

汕头职业技术学院初等几何研究习题课数学教育（师范类）1. I是△ABC的内心，AI、BI、CI的延长线分别交△ABC的外接圆于D、E、F求证：EF⊥AD。

D AB C EFI 五、关于平行与垂直2. A、B、C、D在圆周上相继的四点，P、Q、R、S分别是弧AB、BC、、CD、DA的中点，求证：PR⊥QS。

ACBP QDRS3. 凸四边形ABCD的每条对角线皆平分它的面积，求证：ABCD是平行四边形。

A BDC4. 已知：△BCX 和△DAY 是□ABCD 外的等边三角形，E 、F 、G 、H 是YA 、AB 、XC 、CD 的中点。

求证：EFGH 是平行四边形。

ABXD C YE F GH5. 在△ABC的各边上向外作正方形BCDE、CAFG、ABHI，其中心依次为O1、O2、O3求证：AO1⊥O2O3。

AO1O2BCO36. 在正方形ABCD 内任取一点E ，连接AE 、BE ，在△ABE 外以AE 、BE 为边作正方形AEMN 和EBFG ，连NC 、AF 。

求证：NC∥AF 。

A BCD E MNFG7. 以□ABCD的对角线AC为一边的两侧各作一个正三角形ACP、ACQ。

求证：BPDQ是□。

ABPDCQ8. 已知：凸五边形的四条边平行于所对的对角线。

求证：第五边也平行于所对的对角线。

CA B DE9.在△ABC中，∠B≠90°，BC边的垂直平分线交AB于D，△ABC的外接圆在A、C两点之切线交于E.求证：DE∥BC.AD EB C10.P 是正方形ABCD 的边CD 上的一点,过D 作AP 的垂线分别交AP 、BC 于Q 、R ，O 是正方形的中心.求证:OP ⊥OR.ABCDOPR12. 给定正方形ABCD ，P 、Q 分别人为AB 、BC 上的点，满足BP=BQ ，自B 作BH ⊥PC 于H ，求证:∠DHQ=900.ABCDO PHQ13. 在△ABC中，AB=AC，O为外心，D为AB的中点，E是△ACD的重心。

名师辅导 立体几何 第2课 空间两条直线（含答案解析）●考试目标 主词填空1.空间两条直线有三种位置关系 相交直线——有且仅有一个公共点.平行直线——同在一个平面内，没有公共点.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点. 2.平行直线定义：同一平面内两条不相交的直线称为平行直线. 公理4：平行同一条直线的两条直线互相平行. 3.异面直线)定义：“不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线”. 异面直线的判定定理：“过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”.这是判定空间两直线是异面直线的理论依据. ●题型示例 点津归纳【例1】 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1C 1与A 1B 上的点，且A 1E =A 1F .求证：EF ∥AD 1.【解前点津】 判定两条直线平行，首先考虑把两直线放在同一 平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找， 可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行 的性质定理、向量知识等)实施证明.—【规范解答】 证明：连结BC 1、AD 1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A 1C 1=A 1B .在△A 1BC 1中， ∵A 1C 1=A 1B ,A 1E =A 1F ,∴BA FA C A E A 11111 ,∴EF ∥BC 1. 又∵D 1C 1平行且等于AB ，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴BC 1∥AD 1,∴EF ∥AD 1.【例2】 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.【解前点津】 求两条异面直线所成的角的步骤如下： ①用平移法作出异面直线所成的角；）②说明作出的角就是要求的角； ③计算(解三角形)； ④结论.【规范解答】 如图所示，连结BC 1、A 1C 1， ∵A 1B 1C 1D 1-ABCD 是长方体，∴AB 平行且等于D 1C 1，即ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1平行且等于BC 1，∴∠A 1BC 1(或它的补角)是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 设AA 1=a ,∵∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°例1题图例2题图∴在△AA 1D 1与△A 1AB 中，AB =AA 1=a ,A 1B =2a ,AD 1=BC 1=2a ,A 1D 1=3a ,\∴A 1C 1=211211B A D A +=2a ,在△A 1BC 1中，由余弦定理知，cos ∠A 1BC 1=1121121212BC B A C A BC B A ⋅-+=42.∴∠A 1BC 1=arcos42,所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角是arccos 42. 【解后归纳】 学完空间向量之后，我们还可以利用向量的夹角公式求异面直线所成的角.【例3】 如图所示，求证分别与两条异面直线都相交，且交点为不同的四个点的两条直线是异面直线.已知：a 、b 异面，AB 交a 、b 于A 、B ，CD 交a 、b 于 C 、D ，A 、B 、C 、D 四点不同.求证：AB 与CD 是异面直线.^【解前点津】 此题条件不具备异面直线的判定定理所需条件，而当结论的反面即AB 、CD 共面时，易得AC 、BD共面.即a 、b 共面，与已知矛盾.故用反证法证明较易.【规范解答】 假设AB 与CD 不是异面直线，则AB 与CD 共面，设此平面为α, 所以，A 、B 、C 、D 都在α内， 所以直线AC ⊂平面α,BD ⊂平面α,所以AC 与BD 共面，即a 与b 共面，这与a 、b 为异面直线相矛盾. 所以AB 与CD 是异面直线.【解后归纳】 证明两条直线是异面直线除利用定义、定理外，还常常使用反证法，要掌握好.【例4】 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中AB =AC =AA 1=d ,D 是AB 的中点,若C 1D =211d ,求异面直线AB 与A 1C 1所成的角.《【规范解答】 如图，连结CD ,∵AC ∥A 1C 1,∴∠BAC 或其补角就是异面直线AB 与A 1C 1所成的角, 在Rt △C 1CD 中,∠C 1CD =90°,∴CD 2=C 1D 2-CC 12=247d 在△ADC 中,AD =21AB =2d,AC =dcos ∠CAD =21224742222222-=⋅⨯-+=⋅-+dd d d d AC AD CD AC AD .∴∠CAD =120°,∴异面直线AB 与A 1C 1所成的角为60°.例3题图例4题图【解后归纳】 此题也可运用异面直线上两点间的距离公式θcos 2222mn n m d EF ±++=,求出cos θ,其中EF ,d ,m ,n 就是题中的C 1D ,AA 1,A 1C 1,AD ,而θ就是∠CAD .,●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.“a 、b 为异面直线”是指①a ∩b =,且a ∥＼ b ;②a ⊂面α,b ⊂面β且a ∩b =;③a ⊂面α,b ⊂面β,且a ∩β=;④a ⊂平面α,b ⊂平面α;⑤不存在面α,使a ⊂面α且b ⊂面α成立,上述结论中，正确的是 ( )A.①④⑤都正确B.①③④都正确C.仅②④正确D.仅①⑤正确 2.无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影不可能是 ( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一条直线和直线外一点 D.两个点 3.相交直线a 、b 的夹角为50°，则过交点与a 、b 都成60°角的直线的条数为 ( ).2 C4.正方体的对角线与正方体的棱组成的异面直线共有 ( ) 对 对 对 对\5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所有各面的对角线中与AB 1成60°角且与AB 1异面的直线的条数为( ).2 C6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是 ( ) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则异面直线CM 与D 1N 所成的角的正弦值为 ( )A.91B.32C.594D. 592.8.如图所示，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、E 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AE 1所成角的余弦值是 ( )A.1015 B.1530 C.21 D.10309.在四面体ABCD 中，AB ＝８，CD ＝６，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且MN ＝５，则AB!第7题图 第8题图与CD 所成角是 ( )° ° ° °10.空间四点A 、B 、C 、D ，每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为 ( )B.a 23 C.a 22D. a 21 二、思维激活11.正方体六个面内的所有对角线互成60°角的共有 对．12.在三棱锥S —ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，∠BAC =60°，M 、N 分别是△SAB 和△SAC 的重心，则MN ＝ .13.在正四面体ABCD 中,E 、F 分别是AB ,CD 的中点,则EF 与AC 所成角的大小为 .14.在四面体ABCD 中，棱长均相等，E 是AD 的中点，则AB 和CE 所成角的余弦值为 . 三、能力提高（15.如图所示，在三棱锥D —ABC 中,DA ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,∠ABD =30°,AC =BC ,求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.16.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a 且AB =m ，C ∈b .》(1)当线段AB 在直线a 上移动时，C 为定点，证明△ABC 面积不变.(2)当C 点在直线b 上移动，问点C 在何位置时，△ABC 的面积最小.17.如图所示，已知P 为△ABC 所在平面外的一点，E 为PA 的中点，F 为PC 的中点，BE ⊥AC ，PC ⊥AC .。