函数图像的变化

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。

由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。

(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。

✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。

蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设),(00y x P ;则它（1）关于x 轴对称的点为),(00y x -；（2）关于y 轴对称的点为),(00y x -；（3）关于原点对称的点为),(00y x --；（4）关于直线x y =对称的点为),(00x y ；（5）关于直线x y -=对称的点为),(00x y --；（6）关于直线b y =对称的点为)2,(00y b x -；（7）关于直线a x =对称的点为),2(00y x a -；（8）关于直线a x y +=对称的点为),(00a x a y +-;（9）关于直线a x y +-=对称的点为),(00x a a y -+-;（10）关于点),(b a 对称的点为)2,2(00y b x a --；（11）按向量),(b a 平移得到的点为),(00b y a x ++.二、曲线的变换.曲线0),(=y x F 按下列变换后所得的方程：(1)按向量),(b a 平移;得到0),(=--b y a x F ；(2)关于x 轴对称;得到0),(=-y x F ；(3)关于y 轴对称;得到0),(=-y x F ；(4)关于原点对称;得到0),(=--y x F ；(5)关于直线a x =对称;得到0),2(=-y x a F ；(6)关于直线b y =对称;得到0)2,(=-y b x F ；(7)关于点),(b a 对称;得到0)2,2(=--y b x a F ；(8)关于直线x y =对称;得到0),(=x y F ；(9)关于直线a x y +=对称;得到0),(=+-a x a y F ；(10)关于直线a x y +-=对称;得到0),(=-+-y a a x F ；(11)纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍;得到方程0),(=y ax F ； (12)横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍;得到方程0),(=by x F三、两个函数的图象对称性1:左右平移:)(a x f y ±=0>a 的图像可由)(x f y =的图像向左+或向右—平移a 个单位而得到；)(a mx f y ±=0,0>>a m 的图像可由)(mx f y =的图像向左+或向右—平移ma 个单位而得到; 2.上下平移：）（0)(>±=b b x f y 的图像可由)(x f y =的图像向上+或向下—平移b 个单位而得到；3. )(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于y 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=;即它们关于0=x 对称..4. )(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于x 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=;即它们关于0=y 对称..5. )(x f y --=的图像与)(x f y =的图像关于原点对称；6. |)(|x f y =的图像可如此得到：)(x f y =的图像在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方;其余不变；7. )||(x f y =的图像：保留)(x f y =的图像在y 轴右侧的部分;并沿y 轴翻折到y 轴左边部分代替原y 轴左边部分；8.)(a x f y +=与)(x b f y -=关于直线2a b x -=对称在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ;则11()y f a x =+;点11(,)x y 关于直线2b a x -=对称点1b a x --;y 1..由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=;故点1b a x --;y 1在函数()y f b x =-上..由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称..；换句话说;)(x a f y -=与)(b x f y -=关于直线2b a x +=对称; 换句话说; )(x f y -=与)(b x f y -=关于直线2b x =对称.9. )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称..换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+;即它们关于a y =对称；10. )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称.. 换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+;即它们关于点(,)a b 对称.. 特别提醒①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =即y 轴对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数()y f x =与()a x f a y -=-的图像关于直线x y a +=成轴对称..11.伸缩变换:)0)((>=A x Af y 的图像;可将)(x f y =的图像上每一个点的横坐标不变;纵坐标变为原来的A 倍而得到；12. )0)((>=k kx f y 的图像;可将)(x f y =的图像上每一个点的纵坐标不变;横坐标变为原来的k1倍而得到； 13.)(1x f y -=与)(x f y =关于直线x y =对称；14. )(1x f y --=-的图像与)(x f y =的图像关于直线x y -=对称；15. 函数)(mx a f y +=的图像与)(mx b f y -=的图象关于直线ma b x 2-=对称..四.单个函数的图象1. 若对任意,x )()(x b f a x f -=+;则)(x f y =的图像关于直线x =2b a +对称；反之亦然;若对任意x ;)()(xc f x f -=;则)(x f y =的图像关于直线x =2c 对称;反之亦然；若)(a x f +是偶函数;则)(x f y =关于a x =对称..在()y f x =上任取一点11(,)x y ;则11()y f x =;点11(,)x y 关于直线2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-;当1x a b x =+-时11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==;故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上..由于点11(,)x y 是图象上任意一点;因此;函数的图象关于直线2a b x +=对称特别地;0==b a 时;该函数为偶函数. 2. 对任意x ;)()(x a f a x f -=+-或)2()(x a f x f --=的充分必要条件是)(x f y =的图像关于点)0,(a 对称；3. 若)(x f 有两条对称轴a x =和)(b a b x <=证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-;()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-∴(2)(2)f a x f b x -=-; ∴()(22)f x f b a x =-+∴函数()y f x =是周期函数;且22b a -是一个周期..;或有两个对称点)0,(a 和)0,(b b a <;则)(2a b -是)(x f 的一个周期；4. 若)(x f 以a x =为对称轴;且以)0,(b 为对称中心;则)(4a b -是)(x f 的一个周期；5.)(x f y =的图像关于点),(b a 对称的充分必要条件是对任意,x b x a f x a f 2)()(=-++成立更一般地;若c x b f x a f =-++)()(;则)(x f y =的图像关于点2b a +;2c 对称在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ;则11()y f x =;点11(,)x y 关于点2a b +;2c 的对称点1a b x +-;c －y 1;当1x a b x =+-时;1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-;即点1a b x +-;c －y 1在函数()y f x =的图象上..由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点2a b +;2c 对称..注：当a =b =c =0时;函数为奇函数.. 特别提醒：①函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--.. ②函数()y f x =的图象关于原点对称奇函数)()(x f x f -=-⇔.. ③函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称..6.若)()(b x f a x f +=+;则)(x f 是周期函数;a b -是它的一个周期7. 对于非零常数A ;若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-;则函数()y f x =必有一个周期为2A ..8.对于非零常数A ;函数()y f x =满足1(A)()f x f x +=;则函数()y f x =的一个周期为2A ..9.对于非零常数A ;函数()y f x =满足1()()f x A f x +=-;则函数()y f x =的一个周期为2A ..10. 已知函数()x f y =对任意实数x ;都有()()b x f x a f =++;则()x f y =是以 2a 为周期的函数 11. 若函数)(x f y =对定义域中的任意x 的值;都满足 )()(mx b f mx a f -=+; 则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称. 12. 对于非零常数A ;函数()y f x =满足1()()21()A f x f x f x ++=-或1()()21()A f x f x f x -+=+则函数()y f x =的一个周期为2A ..13.若函数()x f y =对任意实数x ;都有()()b x f x a f =++;则()x f y =是以 2a 为周期的函数()()f a x b f x +=-;(2)(())()(())()f x a f x a a b f x a b b f x f x +=++=-+=--=；或者:)()2()()()()()()(x f a x f a x f a x f b x f a x f b a x f x f =+⇒-=+⇒⎩⎨⎧=+-=++。

函数图像伸缩变换
函数图像伸缩变换规律：
1、平移变换，平移变换又分为两种，一是左右平移变换，而是上下平移变换。

2、对称变换，当y=f（x）是奇函数时，它的图像则关于原点对称，当y=f（x）为偶函数时，它的图象则关于y轴对称。

3、伸缩变换法，它是把图象上的所有点的纵坐标改变成原来的A 倍从而得到的。

函数图像伸缩变换规律是显示函数变化、化繁为简的重要解题方法。

扩展资料：
函数图象性质：
1、作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

2、性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：
y=kx+b。

3、k，b与函数图象所在象限。

当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；
当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。

4、（1）函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。

反比例函数图像求用解析式表示的函数的定义域，就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函数关系定义域，还需要考虑实际问题的条件。

（2）值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合，叫做函数的值域。

（3）单调性定义：对于给定区间上的函数f(x)。

函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。

函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。

伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。

2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。

3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。

4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。

二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。

2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。

3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。

4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。