一道大学生数学竞赛题的思考与推广

对一道数学竞赛试题思考以下是2019年第26届“希望杯”全国数学邀请赛高二初试题，笔者仔细研读，根据已知条件、目标函数形式上特点，从不同视角给出了解法，以达到发散思维，训练思维目.题目若正数a，b满足2a+b=1，则a2-2a+b2-b最小值是 .视角1 换元法解法1 设2-2a=x，2-b=y，由a，b是正数知，x，y>1，易知a=2-x2，b=2-y，将上式代入2a+b=1，整理得x+y=3，即x3+y3=1.将a=2-x2，b=2-y代入a2-2a+b2-b得a2-2a+b2-b=1x+2y-32，1x+2y-32=（1x+2y）?x3+y3-32=y3x+2x3y-12≥2y3x2x3y-12=223-12.当且仅当y3x=2x3y，即22-2a=2-b时等号成立，所以最小值为223-12.评析换元法是高中数学解题中一种重要方法，换元方法多种多样，千差万别，目是将复杂问题简单化，将抽象问题形象化、分式问题整式化，无理问题有理化，这需要我们具备较强观察能力、逻辑思维能力、联想能力，本题中通过巧妙换元，将其适当化简，并利用均值不等式求得其最值.视角2 几何观点解法2 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a+b2-b=14?b-1a-1+12?ba+12，由a，b>0，2a+b=1，知a∈（0，12），b∈（0，1），易知b-1a-1∈（0，2），ba+12∈（0，2）.令x=b-1a-1，y=ba+12，x，y∈（0，2），解得a=1-12yy-x+1，b=32y-12xyy-x+1，由2a+b=1，知23x+23y+xy=43，解得y=169x+23-23，x∈（0，2），对y求导数得y′=169（x+23）2，其原函数图象如图1所示，图1 图2此时a2-2a+b2-b=14x+12y，为此，本题转化为目标函数是Z=14x+12y线性规划问题，由线性规划知识知，当目标函数与函数y=169x+23-23图象相切时（如图2），目标函数有最小值.设切点为P（x0，y0），则切线斜率为y′=169（x+23）2x=x0，因目标函数Z=14x+12y斜率为-12，所以y′=-169（x0+23）2=-12，解得x0=423-23，y0=223-23，即Z=14x+12y与曲线在点P（423-23，223-23）相切，所以Z=14x+12y有最小值Zmin=223-12.解法3 令x=a2-2a，y=b2-b，则a=2x1+2x，b=2y1+y，则4x1+2x+2y1+y=1，以下同解法2.图3评析运用线性规划知识解决最值问题形象直观，同时也很好地体现了数形结合思想，本解法中：如图3，设A（1，1），B（-05，0），P点在线段2a+b=1上，a，b>0上，因此，目标函数14b-1a-1+12ba+12转化为求14kAP+12kBP最小值，如果直接求，较为困难，因此，需要将问题适当转化，即换元.本解法对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2（其中p，q为给定实数，k1，k2为斜率）这一类新题型提供了很好思路，即换元，从而将目标函数转化为直线，问题便迎刃而解.视角3 函数思想解法4 由b=1-2a，a∈（0，12），知a2-2a+b2-b=2-5a+6a22+2a-4a2，令g（a）=2-5a+6a22+2a-4a2，则g′（a）=-2（7-20a+4a2）2+2a-4a22.当a∈（0，5-322）时，g′（a）<0，此时，g（a）单调递减，当a∈（5-322，12）时，g′（a）>0，此时，g（a）单调递增.所以gmin（5-322）=223-12.即a2-2a+b2-b最小值为223-12.评析利用函数单调性求最值是处理最值问题常用方法，简单易于操作，本题中采用代入消元法将目标函数由二元化为一元，从而将问题转化为一元函数求最值.视角4 方程思想解法5 令a2-2a+b2-b=t，显然t>0，则2a+2b-3ab=t（2-2a）（2-b），将b=1-2a，a∈（0，12）代入上式得6+4ta2-（5+2t）a+2-2t=0，此式可以看成关于a一元二次方程，则该方程有实根，从而Δ=（2-2t）=36t2+36t-23≥0，解得t≥223-12，所以a2-2a+b2-b最小值为223-12. （5+2t）2-4（6+4t）评析函数与方程思想是高中数学重要思想方法，对于2次整式，或者一次分式求最值运用判别式法简单易于操作，应该要求每个学生必须掌握.视角5 “1”代替解法6 由2a+b=1，知2-2a+2-b=3，显然2-2a3+2-b3=1，所以12-2a+22-b=（12-2a+22-b）（2-2a3+2-b3）=1+2（2-2a）3（2-b）+（2-b）3（2-2a）≥1+223.所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.评析“1”在中学数学中有着重要应用，sin2x+cos2x=1主要是方便对式子变形，而其他等于1整式或分式主要是为使用均值不等式创造条件.本题充分利用结论（x+y）（px+qy）≥p+q+2pq来求得其最值. 视角6 从高观点角度剖析解法7 （拉格朗日数乘法）构造拉格朗日函数L（a，b，λ）=a2-2a+b2-b-λ（2a+b-1），令La=12（1-a）2-2λ=0;Lb=2（2-b）2-λ=0;Lλ=-（2a+b-1）=0;联立上述三个方程解得a=5-322，b=32-4，λ=127-182.从而得a2-2a+b2-b=223-12，所以a2-2a+b2-b最小值为223-12.评析拉格朗日数乘法实际上是借助于求多元函数极值点求函数最值，通常用来求限制条件下最值问题，操作简单，也是通式通法，在竞赛解题中经常用到.视角7 数列观点解法8 由2a+b=1=2?12知，b，12，2a成等差数列，设其公差为d，则b=12-d，2a=12+d，a=14+d2，所以a2-2a+b2-b=12×1+2d3-2d+1-2d3+2d，整理得a2-2a+b2-b=-12+13×3+2d3-2d+23×3-2d3+2d≥223-12.所以a2-2a+b2-b最小值为223-12.视角8 三角换元解法9 令2a=sinθ，b=cosθ，θ∈0，π2，代入a2-2a+b2-b，整理得a2-2a+b2-b=1-cos2θ2+2cos2θ+cos2θ2-cos2θ=-12+23×2-cos2θ2+2cos2θ+13×2+2cos2θ2-cos2θ≥223-12.所以a2-2a+b2-b最小值为223-12.评析因为三角函数公式多，思路广以及三角函数本身单调性、有界性，从而为求解函数最值带来便利.本题通过三角换元，将二元问题一元化，进而利用均值不等式求解，同时本题也可以充分利用0≤cos2θ≤1，运用函数单调性求解.视角9 方程组思想解法10 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a=12×1-b2-2a.设1-b=X（2-2a）+Y（2-b），则1-b=2X+2Y-X2a-（Y-1）b-b，由2a+b=1知X=Y-1，2X+2Y-X=1.解得X=-13，Y=23，所以1-b=-13（2-2a）+23（2-b），进而12×1-b2-2a=-16+13×2-b2-2a.同理可得1-2a2-b=-13+23×2-2a2-b，所以a2-2a+b2-b=-12+13×2-b2-2a+23×2-2a2-b≥223-12.视角10 柯西不等式|m|?|n|≥|m?n|解法11 设m=（12-2a，22-b），n=（2-2a，2-b），由柯西不等式知1+2≤312-2a+22-b，由此可得12-2a+22-b≥3+223.所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.追本溯源笔者发现，若将a2-2a+b2-b变形得-32+12-2a+22-b，则该题是第23届“希望杯”全国数学邀请赛高一初试题一道变式题，原题是：若正数a，b满足a+b=2，则1a+1+1b+1最小值是 .由此，两道题就异曲同工了.同时，解法2对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2（其中p，q为给定实数，k1，k2为斜率）这一类新题型提供了很好思路，即换元.数学解题历程是一项富有挑战性过程，因为艰辛，所以难忘.一题多解，不仅可以丰富学生解题视野，增强处理数学问题能力，同时也可以进一步构建学生已有知识体系.以上解法涉及函数、向量、三角函数、不等式、直线与双曲线、方程组等诸多知识，用到了构造、换元等重要方法，渗透了数形结合、函数与方程等核心思想.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。

Thinking about a Question of National College Student Mathematics ContestCHEN Xueting(School of Mathematics and Statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China )Abstract :The sixth question of the Ninth National College Student Mathematics Contest (preliminaries,professional)has been deeply thought and analyzed.The limit of function defined on the closed interval [0,1]is extended to an abstract function.The more general conclusion is obtained by using Taylor Formula and the related natures of definite integral.The original contest is a special case of the result.Key words:university mathematics;mathematics contest;derivable function;continuous function 对一道全国大学生数学竞赛题的思考陈雪婷(闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000冤摘要:对第九届全国大学生数学竞赛(预赛,专业类)中的第六题进行了深入的思考和分析,将定义在闭区间[0,1]上的具体函数推广到抽象的函数,利用泰勒公式和定积分的相关性质,得到的结论更具有一般性,使原竞赛题是文中结果的特殊情况.关键词:大学数学;数学竞赛;可导函数;连续函数中图分类号:O171文献标志码:A 文章编号:2095-7122(2018)02-0088-05中国大学生数学竞赛(通称为“全国大学生数学竞赛”)由中国数学会主办,委托国内高校承办.国防科技大学承办了2009年的首届全国大学生数学竞赛,以后每年一次至2017年已经连续举办九届.中国大学生数学竞赛(通称为“全国大学生数学竞赛”)由中国数学会主办,委托国内高校承办.国防科技大学承办了2009年的首届全国大学生数学竞赛,以后每年一次至2017年已经连续举办九届.全国大学生数学竞赛的参赛对象是在校的本科大学生,它是针对大学生的数学学科的高水平竞赛,能为爱好数学的在校大学生提供了一个展示数学基本功和数学思维能力的平台,通过竞赛能够发现和选拔优秀青年数学学子,同时竞赛也为有力地促进高等学校数学课程建设的改革和发展.全国大学生数学竞赛的目标是激励大学生学习数学的主动性和兴趣、推动高等学校数学课程的改革和建设、提高大学数学课程的教学水平、发现和选拔青年数学创新人才.全国大学生数学竞赛的试题分为:数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题.其中,数学专业类试题包含数学分析、高等代数、解析几何,分别占50%、35%、15%.连续九届的全国大学生数学竞赛成效显著,主要表现在:1.激发了大学生学习数学的主动性、提高了学习数学的兴趣;2.培养了大学生积极思考、分析和、解决数学问题的能力;3.推动了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设;4.提供了收稿日期:2018-01-20基金项目:国家自然科学基金项目(61379021,11471153,1157118)作者简介:陈雪婷(1994-),女,福建省平和县人,硕士研究生在读.陈雪婷:对一道全国大学生数学竞赛题的思考第2期在校大学生数学爱好者展示数学基础功底和思维能力的机会;5.在大学生中发现、选拔和培养了一批数学创新人才.竞赛试题是命题专家将相关知识融会贯通、精心设计,对参赛学生是极大的挑战和检验.本文分析了第九届全国大学生数学竞赛(预赛,专业类,2017年10月)中第六题的条件和结论,定义在闭区间[0,1]上的具体函数推广到更一般函数,利用泰勒公式和定积分的相关性质,得到更一般的结论,原竞赛题是本文中结果的特别情况.为了叙述方便起见,本文将用命题的形式叙述有关竞赛题及其推广.命题1[第九届全国大学生数学竞赛《预赛》(数学类)试题第六题(2017年10月)]设f(x)=1-x2+x3(x∈[0,1])计算下列极限并说明理由.试题分析:该题是求由定义闭区间[0,1]上的函数确定的数列极限问题,这个函数是一个三次多项式.该试题中数列的分子和分母都是定积分,且容易验证随着n的增大,它们都趋向于0,求该极限具有很大的难度.试题主要考察参赛者学习和掌握定积分的相关性质、极限存在性及其求法等相关知识和能力,具有较强的综合性.对于每一个正整数n,如果先求出积分,再去求n趋向于无穷大时的极限是困难的,甚至是行不通的.于是参赛者要寻找解决问题的有效方法和途径,从而达到检验参赛者应用所学知识思考问题、分析问题和解决问题的综合能力的目的.对试题的进一步思考:该试题中的函数是一个具体的三次多项式,命题专家在设计试题时,可能考虑到在有限的时间内能给出一个具体的函数的正确答案,足以可能检验参赛者的水平.分析该试题的条件,它似乎对满足一定条件的函数都可能成立,即可以把具体的三次多项式函数推广到满足一定条件的抽象函数;再分析用积分定义数列,分子是定积分,而该积分被积函数中的ln(x+2),可以考虑把2用大于1的任意实数代替,这样可把该试题的条件减弱后,得到更一般性的结果.命题2设函数f(x)在实数集R具有3阶导数,若f′(0)=0,f′′(0)=-2,f′′′(0)>0,f′(1)=1,f′′(1)=4,f′′′(1)>0且对于任意的x∈(0,1),有0<f(x)<f(0)=f(1)=1,则Array其中a>1.证明由条件,我们分别给出函数f(x)在点x0=0与x0=1处带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒(Taylor)公式为:当x ∈[0,1]时,由于f ′′′(0)>0及f ′′′(1)>0,有f (x )1-x 2且f (x )1+(x -1)+2(x -1)2为了得到命题的结论,我们分以下两步完成:(1)首先证明,对于任意的δ∈(0,81),有注意到对于任意的x ∈(0,1),有0<f (x )<f (0)=f (1)=1.对于δ∈(0,81),存在η∈ηδ∈(0,δ)使得于是当m>δ21,有及2018年闽南师范大学学报穴自然科学版雪因此,有由于,根据数列极限的迫敛性,有(2)证明对于任意的>0,不妨设<ln ,取,则啄∈(0,81),且.根据(1),存在正整数N >0,使得当n >N 时,有因而,对于任意的>0存在正整数N >1,使得当n >N 时,有陈雪婷:对一道全国大学生数学竞赛题的思考第2期参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析第四版(上册)[M].北京:高等教育出版社,2010.[2]李克典,马云苓.数学分析选讲[M].厦门:厦门大学出版社,2006.[3]高剑明,叶海平.一道全国大学生数学竞赛决赛题的推广[J].高等数学研究,2015,18(1):77-78.[4]苏灿荣,禹春福,周玲.一道全国大学生数学竞赛题的推广[J].大学数学,2016,32(5):109-110.[5]胡源艳.一道全国大学生数学竞赛试题的若干解法及推广[J].大学数学,2013,29(5):127-129.[责任编辑:钟国翔]这就证明了注令f (x )=1-x 2+x 3(x ∈[0,1])及a =2,易知函数满足命题2的条件,我们可得到命题1的结果为即命题1是命题2的特殊情况.感谢李克典教授在本文写作中给予的指导和帮助!2018年闽南师范大学学报穴自然科学版雪。

一道大学生数学竞赛题的另证、推广、类
比
大学生数学竞赛题是一种挑战性的学术活动，它能够提高学生们的数学能力，增强他们的技能和知识，从而使他们能够更好地应对实际问题。

大学生数学竞赛题的另证、推广和类比可以帮助学生更好地理解和掌握数学相关的知识。

首先，大学生数学竞赛题的另证可以提高学生的数学技能。

另证可以帮助学生掌握和理解数学原理，通过另证的方式，学生可以更好地理解数学的概念，从而提高他们的数学技能。

此外，另证也可以帮助学生研究更多的数学知识，进一步增强他们的数学水平。

最后，大学生数学竞赛题的类比可以更好地理解数学。

类比可以帮助学生们更好地理解数学原理，帮助他们更好地分析和解决数学问题。

类比也可以帮助学生们找到解决问题的最佳方法，提高他们的数学思维能力。

总之，大学生数学竞赛题的另证、推广和类比可以帮助学生们更好地理解和掌握数学相关的知识。

大学生数学竞赛题的另证、推广和类比不仅可以提高学生的数学技能，还可以让他们更好地理解数学的实际应用和数学的实际价值，从而让学生们更好地研究数学。

解题技巧的研究数学竞赛的解题思路深入剖析与分享解题技巧的研究：数学竞赛的解题思路深入剖析与分享数学竞赛一直被认为是展示学生数学能力的重要平台，对于学生的思维能力、逻辑思考和问题解决能力提出了很高的要求。

而在数学竞赛中，解题技巧的运用是至关重要的。

本文将对解题技巧的研究进行深入剖析与分享，希望对数学竞赛的参与者有所帮助。

一、分析题目和理解问题解题的第一步是仔细阅读题目，理解问题的背景和要求。

在理解问题的过程中，我们应该重点关注问题中给出的条件和要求，并将其用具体的数学概念和关系进行抽象。

这样一来，我们就能够明确问题的关键点，并为后续的解题过程提供指导。

二、构建数学模型在理解问题的基础上，我们需要将问题转化为数学模型，以便使用数学方法进行求解。

构建数学模型的关键在于将问题的自然语言描述转化为数学符号和方程的形式。

对于不同类型的问题，我们可以运用不同的数学工具和方法，如代数、几何、概率统计等，来建立相应的数学模型。

三、查找数学方法和定理解决数学竞赛中的问题，我们需要运用各种数学知识和技巧。

因此，在解题过程中，我们要善于查找和运用数学方法和定理。

数学方法是解决特定类型问题的通用技巧，而数学定理则是经过证明的数学结论。

熟练掌握并合理运用这些方法和定理，将极大地提高解题的效率和准确性。

四、灵活运用数学工具解题时，我们还需要善于灵活运用各种数学工具，如计算器、作图工具等。

这些工具可以辅助我们进行复杂计算、准确画图，并提供可视化的解题过程。

同时，对于题目中的复杂计算，我们也可以考虑运用一些近似计算的方法，以减少计算量，提高解题速度。

五、时间合理分配数学竞赛的时间通常是有限的，因此，我们必须合理分配时间，掌握好解题节奏。

对于不同难度的题目，我们可以根据题目的重要性和解题难度来确定时间分配的比例。

一般来说，我们可以用较少的时间解决简单或直接的问题，而将更多的时间留给复杂和难题的解答。

六、多做例题和模拟题在解题技巧的研究中，多做例题和模拟题是十分重要的。

熟悉竞赛题目的解题思路竞赛题目多种多样，每一道题目都蕴含着解题的思路和方法。

熟悉竞赛题目的解题思路，可以帮助我们更好地应对各种挑战，提高解题能力。

本文将介绍一些常见的竞赛题目及其解题思路。

一、数学题目1. 等式求解题等式求解题是数学竞赛中常见的题型之一。

解这类题目时，我们可以尝试利用等式特性进行变形，消去不必要的项，化简等式，从而得到未知数的具体解。

此外，也可以通过代数运算、方程变形、等式恒等式等方法进行求解。

2. 几何题目几何题目需要我们通过几何知识和推理能力进行解题。

在解几何题时，我们可以根据已知条件构建几何图形，利用几何定理和性质进行推导，找到所需求的目标结果。

同时，注意合理设置变量，利用方程进行求解，运用数学思维和几何直觉相结合，能够更好地解决几何题。

3. 概率题目概率题目是数学竞赛中的常客，解题时需要我们熟练掌握概率计算公式和基本概念。

在解决概率问题时，我们可以利用多种方法，如加法原理、条件概率、独立性等，合理计算概率值。

此外，建立概率模型、从多个角度和方法进行分析和计算，能够较好地解答概率题。

二、物理题目1. 力学题目力学题目需要我们掌握牛顿定律、重力、摩擦力等知识。

解决力学题时，我们需要进行力的分解、合成，利用牛顿第二定律、动能定理、功和能量定理等进行计算。

合理选择坐标系，利用运动学方程，分析物体受力情况，能够更好地解决力学题。

2. 电磁题目电磁题目需要我们了解电荷、电场、电流、磁场等概念和原理。

解答电磁题目时，我们可以利用库仑定律、电场力和磁场力的叠加等进行计算。

同时，熟悉电路分析和磁场作用规律，运用欧姆定律、电路定理和安培定律等方法，能够较好地解决电磁题目。

三、化学题目1. 反应方程题目解答反应方程题目需要我们熟悉化学反应的基本规律和方程式的平衡原理。

在解决这类题目时，我们需要根据已知条件和反应类型，建立反应方程式，注意平衡反应物与生成物的物质守恒关系，并合理使用化学计算方法，进行数据计算和求解。

全国大学生数学竞赛题的分析随着数学素养的日益提高，越来越多的大学生愿意参加各类数学竞赛。

全国大学生数学竞赛作为具有较高难度和水平的比赛，对参赛者的数学能力提出了较高的要求。

本文将对全国大学生数学竞赛题进行分析，探讨其特点和解题技巧。

一、选择题在全国大学生数学竞赛中，选择题是必不可少的一部分。

选择题通常包括数学思维能力和计算能力的考察。

这类题目中，解答者需要根据题目中给出的条件，进行简洁而准确的计算和推理。

以确保正确地选择出正确答案。

解答这类选择题的关键在于准确理解题意，逐一排除错误选项，仔细比较其他选项，找到正确答案。

有时，可以通过列出方程或者推导出中间结论的方式来缩小可能答案的范围，提高解题效率。

二、填空题填空题是全国大学生数学竞赛中较为常见的题型。

这类题目往往涉及各个数学领域的基本概念和定理，并要求解答者具备一定的计算和推导能力。

解答填空题需要对题目要求有着清晰的认识，并熟练掌握相关的数学知识和方法。

在解答时，需要将题目中给出的条件运用到实际计算中，从而找到合适的数值或者符号填入空格中。

对于一些较为复杂的填空题，可以尝试使用递推或者归纳的思维方式，从已知条件出发，逐步推导出结果。

同时，在计算过程中要注意细节和精确度，以免出现计算错误导致答案偏差。

三、证明题证明题是全国大学生数学竞赛中较为重要且难度较高的题型。

这类题目往往要求解答者具备较强的数学推理和证明能力。

在解答过程中，解答者需要充分运用各种数学定理和方法，逻辑严密地推导出结论，并给出正确的证明。

解答证明题的关键在于正确把握证明的逻辑结构和步骤。

在开始解答之前，需要对题目要求有着清晰的认识，并在脑海中构建出解题的思路和框架。

同时，在证明的过程中，需要详细列出每一步的推理和推导过程，确保推理的合理性和严密性。

四、应用题应用题是全国大学生数学竞赛中与实际问题相关的题目。

这类题目往往要求解答者结合具体的数学知识和方法，分析和解决实际问题。

在解答过程中，解答者需要能够准确地理解问题，并灵活运用各种数学概念和模型进行分析。

2018年第7期 福建中学数学 5 近几年的全国卷越来越重视实践性、应用性，要求学生应用数学原理和数学工具解决实际问题．因此在最后阶段要根据复习内容，适时设置合适的应用性问题，让学生在解决问题中逐步学会将实际问题数学化，训练数学建模能力，提高分析、解决实际问题的能力，关注利润问题、分段函数问题．加强应用题的答题规范训练，学会解决实际问题的基本步骤——将实际问题转化为数学问题，求解数学问题，并将数学问题的运算结果还原到实际问题，进而解释实际问题．4.4 重视数学运算，提高运算能力全国卷统计与概率题数据往往比较多，对运算技能的要求高．运算技能是基本的数学技能，是解题的基本功，运算的合理性、简捷性与准确性仍是后期复习的重点，把复杂问题简单化，减少运算的步骤，巧妙利用题目所给的参考数据提高解题速度，使学生解决问题更加简便、科学、合理．平时加强运算的限时训练，避免“一算就错”．重视答题规范，向非智力因素要分．4.5 重视考试心态，增强应变能力面对统计与概率题目叙述长、数据多的特点，许多学生可能遇到挫折，所以在平时的日常教学中要对学生的心理素质和应变能力加以指导，经受挫折和失败的考验，增强抵抗压力的能力．碰到难题，不能慌张，也可以通过这样想“题目越长越简单”“我难别人更难”来增强自信心．如果有些题目第一步暂时无法解出，可以把第一步的结论当作第二步的条件来用，灵活应变．在最后训练过程中，把每一次训练当成高考，而把高考当成平时的练习，争取高考超常发挥．（本文系福建省普通高中优质学科课程项目建设——漳浦一中项目组研究成果）一道联赛不等式试题的推广蒋振滨 福建省漳平市第一中学（364400）2017年全国高中数学联赛一试的一道不等式试题题干简洁、对称，对基本不等式及柯西不等式的考查比较深刻．若将其系数做些更改，能否求解呢？笔者对其一般性作了一些探究．1 试题再现设123x x x ，，是非负实数，满足1231x x x ++=，求321231(35)()35x x x x x x ++++的最小值和最大值．解 由柯西不等式得321231(35)()35x xx x x x ++++2≥1=，当123100x x x ===，，时不等式等号成立，故所求的最小值为1．因为321231(35)()35x xx x x x ++++21231351(35)(5)53x x x x x x ++++ 2212313511((35)(5))543x x x x x x ≤⋅+++++ 2123114(66)203x x x =++ 212319(666)205x x x ≤++=， 当12311022x x x ===，，时不等式等号成立， 故最大值为95． 注 上述最大值的解法让人意犹未尽，拍手叫绝，若将系数一般化，结论又是什么？ 2 探究推广结论1 设123x x x ，，是非负实数，满足123x x x ++= 1，1a b >>，则321231()()x xx ax bx x a b++++的最小值为1，最大值为2(1)4a a +． 证明 由柯西不等式得321231()()x xx ax bx x a b++++2≥6 福建中学数学 2018年第7期1=，当123100x x x ===，，时不等式等号成立， 故所求的最小值为1．因为321231()()x xx ax bx x a b++++1231231()()a x ax bx ax x x a b=++++ 221231((1)(1))4b a a x a x x ab +≤++++21231((1)(1)(1))4a x a x a x a ≤+++++ 2(1)4a a+=， 当12311022x x x ===，，时不等式等号成立， 故最大值为2(1)4a a+． 同理，不难将结论1推广到n 元不等式． 结论2 设123n x x x x ，，，，是非负实数，满足1x + 231n x x x ++⋅⋅⋅+=，且11()i i a a i ++>>∈N ，则112(x a x + 322311121)()n n n n x x x a x a x x a a a −−++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的最小值为1，最大值为211(1)4a a +．与2018年全国卷Ⅰ理数21题相关的双边不等式余小萍1李云杰21福建省福清市第一中学（350300） 2福建省福清市教师进修学校（350300）2018年高考已经落下帷幕，其中不乏好题值得我们去研讨，全国Ⅰ卷理科数学压轴题就是其中比较有味道的一道，本文得到与之相关的一个双边不等式． 试题 （2018年高考全国Ⅰ卷·理21）已知函数1()ln f x x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12x x ，，证明： 1212()()2f x f x a x x −<−−． 定理 已知函数1()ln f x x a x x=−+存在两个极值点12x x ，，则1212()()476(2)(2)315f x f x a a a a x x a−+−<<−−．证明 由（1）得()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 两个极值点12x x ，满足210x ax −+=，所以121x x =．不妨设12x x <，则21x >．由22210x ax −+=，得221a x x =+，且1221222()()2ln 21f x f x x a x x x x −−=−−−，则1212()()4(2)3f x f x a x x a −>−−等价于222222ln 1()21x x x x x −+−−222241[()2]13()x x x x >+−+， 等价于432222222544503(1)ln x x x x x −−+−>+， 令432215()l 4453(n 1)x x x x p x x =−−+−+(1)x >， 由于1()p x ′ 3222432244(531)(1)(5445)4(1)3(11)x x x x x x x x x x =−−++−−+−++ 2423(383)(1)03(1)x x x x x ++−>+，且10(1)p =，从而当(1)x ∈+∞，时，1()0p x >， 所以21)(0p x >， 即1212()()4(2)3f x f x a x x a−>−−．。

2020年第5期福建中学数学 47献解释他们的解答，这便是数学建模．当然，这也意味着教师在备课时应该更多地考虑多种可能性，所以教师应当充分地换角度、换情境思考，这对教师而言是一项巨大的考验．3 结束语以上三节课的原课程目标分别是为了练习直线的斜截式、用导数定义计算导数以及回归方程等基本知识点．而从改编后的题中，我们看到了思维的开放性，学生仍然可以用学过的思想方法提供一种解答，却不一定是最适合的解答．这就是数学建模的魅力所在．不少数学教师可能会认为，数学建模就是应用题，笔者认为这种认识肯定不够．一道数学题如果仅仅添加一些实际的标签，如“运动员”、“商品”、“元”等，只是初中甚至小学的应用题；如果再添加“速度”、“工作”、“至少”、“对比”等情境和意义，那也只是高中的应用题而已．笔者认可如下观点：一个建模问题必须提供给学生足够的空间，让他们来解释这个问题，并在解决问题的过程中有自己的抉择[2]．数学建模是一种综合运用知识分析解决问题的过程，教师与学生不但要有敏锐的数学眼光，而且要有扎实的数学知识．在备课过程中，教师应该充分考虑学情，合理设计题目，使学生在跳一跳就能够着的情况下解决现实问题．数学建模素养的形成和发展不可能是一蹴而就的，是一个漫长的过程．张思明提出，在数学建模核心素养的渗透过程中，教师的角色不再总是“传授者”，教师需要与学生一起学习，引导学生学习，自己先学后教，从而形成了与以前不同的教学方式和师生关系．在教学实践中，教师可以多展开应用教学，让学生多做应用题；可以在教学中有意地设置问题情境的导入；在教学中指导学生学会阅读；鼓励学生提出问题、研究问题等[6]．张平文院士提到：无论学生处于数学学习的哪一个阶段，无论他们的数学程度如何，只要对探索和创造充满好奇与兴趣，他们都可以行之有效地在教师的指导下参与到数学建模的学习与实践中来．毫无疑问，培养数学建模能力和素养将是未来各行各业对创新型人才的共同要求．作为高中数学教师，我们应当主动提升自身的数学建模能力与数学建模教学能力．参考文献[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（修订稿）[Z]．北京：人民教育出版社，2017[2]美国数学及其应用联合会，美国工业与应用数学会．梁贯成，赖明治，乔中华，陈艳萍译．数学建模教学与评估指南[M]．上海：上海大学出版社，2017[3]熊小峰，鄢化彪，陈兵．悬崖跳水安全深度的数学模型[J]．江西理工大学学报，2012，33（1）：95-99[4]王蒙．跳水的风险[N]．北京科技报，2013-4-22（18）[5]周蔚．深圳游泳跳水馆安全气垫及池面制波系统设计[J]．给水排水，2003，29（6）：58-62[6]张思明．理解数学——中学数学建模课程的实践案例与探索[M]．福州：福建教育出版社，2012：238-242（本文系福建省教育科学“十三五”规划2017年度常规课题《基于建模素养提升的高中数学实验教学研究》（项目编号：2017XB08122）的研究成果）一道数学竞赛题的变式及推广蒋红珠1刘成龙2贺锌波3四川内江师范学院数学与信息科学学院（641100）1 赛题再现赛题（2010年第五届联盟杯数学竞赛第9题）已知α为锐角．求证：18sinα≥．文[1~5]给出了赛题的多种证明方法，比较起来利用权方和不等式求解最为简捷．下文基于权方和不等式给出赛题的变式及推广．2 赛题变式变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式．正所谓万添签添义添释建模问题48 福建中学数学 2020年第5期变不离其宗．因此，变式应厘清赛题中“变”与“不变”的要素（包括条件、结论、方法、背景等），以“不变”的要素为抓手开展变式． 分析与探究1 赛题中隐含“22sin cos 1αα+=”这一条件，于是容易将赛题变式到圆． 变式1 已知x y ∈+R ，，且221x y +=．求证：1x+8≥．变式2 已知x y m a b ∈+R ，，，，，且22x y m +=．求证：a b x y+≥ 注 变式1，2由权方和不等式易证，过程略．分析与探究2 分析与探究1中的已知条件“2x + 2y m =”考虑的是2次，如果将赛题变式到3次，4次，5次， ，s 次，会有什么样的结果呢？变式3 已知x y m a b s t ∈+R ，，，，，，，且s s x y m +=． 求证：t t a bx y+()s s t s t st sst s a bm++++≥．证明 因为ssx y m +=， 所以()()()()s t s s t s t s st sst t t t s s ss a b a b x y x y +++++=+()()()s s t s s s t s t st sst st sst ts s ssaba b x y m ++++++++≥=+， 当且仅当s s t st sssab x y ++=时，等号成立． 分析与探究3 分析与探究1中的条件“22x y +=m ”是2元情形，如果将赛题变式到3元，4元，5元， ，n 元，会有什么样的结果呢？变式4 已知(123)i i a x m s t i n ∈=+R ，，，，，，，，，且1n si i x m ==∑．求证：1nit i i a x =≥∑1()s t s nt s si i ts a m++=∑．证明 因为1nsi i x m ==∑，所以11()()s t s nnt s si i t t i i s i si a a x x ++===∑∑111()()()s t s s t s n nt s s t ssi i i i t t ns s si i a a x m ++++===≥=∑∑∑， 当且仅当1212s s st s t s t sn s s s n a a a x x x +++=== 时，等号成立． 分析与探究4 分析与探究1以圆为背景（“2x +2y m =”），将背景变到椭圆、椭球面，会有什么样的结果呢？ 变式5 已知x y m a b s t ∈+R ，，，，，，，且2222x y m a b +=．求证：223332as bt t x y +≥证明 as bt s t x y x y a b+=+2222333333322211122222222222()()()()()()s t s t x y x y a b a b +=+≥+=， 当且仅当22332222s t x y a b =时，等号成立． 变式6 已知(123)i i a x m s t i n ∈=+R ，，，，，，，，，且221ni i i x m a ==∑．求证：1t ni i t i s a x=∑222212()t nt i i ts m ++=≥∑．证明：222221122()()t tnnt i ii t t ii i i is a s x x a ++==∑∑ 222222221122221()()()t t nnt t ii i i tt n i i is s x m a ++++===≥=∑∑∑， 当且仅当222222122221222212t t t n n n s s s x x x a a a +++=== 时，等号成立． 点评 陈景润先生指出：“题有千变，贵在有根”．[6]赛题的“根”为权方和不等式，变式1~6均由此演变而2020年第5期 福建中学数学 49 来．3 赛题推广数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、定理、法则进行拓展，使之在更大范围或更高层次上成立，此外，也指对条件、结论进行结构分析以后，进行适当变化，使得到的新命题为真．[7]因此，推广首先应认清问题的成立条件或适用范围；其次，需要把握条件或结论中呈现的结构；最后，需要弄清解决赛题的方法．分析与探究 赛题考虑以圆为背景，将赛题拓展到球面上，会有什么样的结果呢？ 推广1 已知ϕθ，为锐角，a b c ∈+R ，，．求证：22233332()sin cos sin sin cos a b ca b c ϕθϕθϕ++≥++．证明 因为22222sin cos sin sin cos 1ϕθϕθϕ++=， 所以sin cos sin sin cos a b cϕθϕθϕ++ 22233333322211122222222()()()(sin cos )(sin sin )(cos )a b c ϕθϕθϕ=++222333321222222()(sin cos sin sin cos )a b c ϕθϕθϕ++≥++22233332()a b c =++，当且仅当22233322222sin cos sin sin cos a b c ϕθϕθϕ==时，等号成立．推广2 已知(121)i i n ϕ=− ，，，为锐角，0(j a j > 12)n = ，，，．求证312112123cos sin cos sin sin cos a a a ϕϕϕϕϕϕ++ 112211221sin sin sin cos sin sin sin sin n nn n n n a a ϕϕϕϕϕϕϕϕ−−−−−+++23321()ni i a =≥∑．证明 记2222211212cos sin cos sin sin M ϕϕϕϕϕ=++⋅ 222222312211cos sin sin sin cos sin n n ϕϕϕϕϕϕ−−+++⋅ 222221sin sin sin n n ϕϕϕ−− ，由1M =， 则312112123cos sin cos sin sin cos a a a ϕϕϕϕϕϕ+++ 11221sin sin sin cos n n n a ϕϕϕϕ−−−+ 1221sin sin sin sin n n n a ϕϕϕϕ−−+22333322121122222112()()(cos )(sin cos )a a ϕϕϕ=+ 2332312222123()(sin sin cos )a ϕϕϕ++ 233211222221221()(sin sin sin cos )n n n a ϕϕϕϕ−−−+ 23321222221221()(sin sin sin sin )n n n a ϕϕϕϕ−−+2332231321()()ni ni i i a a M==≥=∑∑，当且仅当222333312222222112123cos sin cos sin sin cos a a a ϕϕϕϕϕϕ== 2322221221sin sin sin sin nn n a ϕϕϕϕ−−==时，等号成立．点评 推广1、2对培养问题意识、完善学生的认知结构有积极意义．参考文献[1]吕辉．联盟杯数学竞赛的背景及推广[J]．中学生数学（高中版），2010（11）：31 [2]邱若夏，王洪洲．一道赛题的简解[J]．中学生数学（高中版），2011（10）：42[3]王艳如，于先金．一道不等式赛题的证法探究[J]．数理天地（高中版），2012（2）：25-26[4]余小芬，刘成龙．一道竞赛题的另证[J]．中学生数学（高中版），2012（8）：49 [5]查正开．两个三角竞赛题的解法探究[J]．河北理科教学研究，2019（1）：53-54[6]吕荣春，刘成龙．对2018全国卷Ⅲ理科21题（2）的研究[J]．中学数学（高中版），2018（12）：82-86[7]郑隆昕．数学推广的类型与思想方法[J]．武汉教育学院学报，1999，18（3）：5-10（本文系四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（项目编号：ZY16001）研究成果，刘成龙系本文通讯作者）。