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大学数学竞赛讲义(全套)目录1. 引言2. 基础知识3. 解题技巧4. 常用公式和定理5. 典型例题分析6. 高级题目解析7. 经典题目选编8. 复与总结9. 参考资料引言本讲义旨在为大学数学竞赛的参与者提供全面且系统的资料，帮助他们更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
针对大学数学竞赛的特点，本讲义注重理论与实践相结合，从基础知识到高级题目的解析，包括了大量的典型例题和经典题目的选编。
基础知识这一部分主要介绍大学数学竞赛中常用的基础知识，包括数列与级数、函数与极限、微积分与微分方程等内容。
通过对基础知识的系统梳理和深入讲解，帮助读者打下扎实的数学基础。
解题技巧解题技巧是参加竞赛的重要因素之一。
本部分将介绍一些解题技巧和策略，包括快速推理、巧妙变形、逆向思维等手段，以帮助读者在竞赛中找到解题的突破口。
常用公式和定理在竞赛中，熟练掌握一些常用的公式和定理可以提高解题速度和准确性。
本部分将列举一些常用公式和定理，并给出简洁的证明，供读者参考和应用。
典型例题分析通过对一些典型例题的分析和解答，帮助读者更好地理解和掌握数学竞赛中的解题思路和技巧。
每个例题分析都将包括题目的背景、解题思路和详细的解答过程。
高级题目解析本部分将涉及一些较为复杂和难度较高的数学题目的解析。
这些题目通常考察更深入的数学理论和技巧，通过对高级题目的解析，读者可以提升自己的数学水平和解题能力。
经典题目选编在这一部分，我们将挑选一些经典的数学竞赛题目进行选编，并给出详细的解答和解题思路。
这些题目可以帮助读者更全面地了解和掌握数学竞赛中常见的题型和解题方法。
复与总结复和总结是巩固和提高知识的关键环节。
本部分将提供一些复和总结的方法和技巧，帮助读者全面回顾已学知识，并进行有效的复和巩固。
参考资料本讲义涵盖了大量的数学知识和解题技巧，但仍然无法穷尽数学竞赛的广度和深度。
推荐一些经典的参考资料，供读者进一步深入研究和研究。
以上为《大学数学竞赛讲义(全套)》的大致目录和简介。
附件1：中国大学生数学竞赛竞赛大纲(非数学专业组)中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y ′=′′),(y y f y ′=′′.4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler )方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss )公式、斯托克斯(Stokes )公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz )判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
中国大学生数学竞赛考试大纲—非数学类中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8.函数最大值和最小值及其简单应用9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分6. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程. 8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.4.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.5. 二元函数的二阶泰勒公式5.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
全国大学生数学竞赛大纲(非数学专业类为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是:激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容中国大学生数学竞赛(非数学专业类竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下:一、函数、极限、连续1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7.函数的连续性(含左连续与右连续、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理.二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程:.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积7. 欧拉(Euler方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标.2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss公式、斯托克斯(Stokes公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等八、无穷级数1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz判别法.3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念.5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间、收敛域与和函数.6. 幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分、简单幂级数的和函数的求法.7. 初等函数的幂级数展开式.8. 函数的傅里叶(Fourier系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei定理、函数在[-l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
《小小美食家》教案设计一、教学目标：1. 让学生了解并认识各种美食，拓展他们的视野。
2. 培养学生对美食的兴趣和爱好，提高他们的审美能力。
3. 培养学生学会欣赏美食的制作过程，提高他们的观察力和动手能力。
4. 培养学生学会与他人分享美食，培养他们的团队协作精神。
二、教学内容：1. 各种美食的图片展示及介绍。
2. 美食的制作过程演示。
3. 学生动手制作美食。
4. 学生分享自己制作的美食，互相评价。
三、教学准备：1. 准备各种美食的图片及介绍资料。
2. 准备美食制作的食材和工具。
3. 准备评价表，用于学生互相评价。
四、教学过程：1. 导入：展示各种美食的图片，引导学生说出自己认识的美食。
2. 新课内容：介绍每种美食的制作过程和特点。
3. 制作美食：学生分组进行制作，教师巡回指导。
4. 分享美食：学生将自己制作的美食展示给其他同学，互相评价。
五、教学评价：1. 学生制作的美食质量。
2. 学生对美食的制作过程的掌握程度。
3. 学生之间的团队协作精神。
4. 学生对美食的欣赏能力和分享意识。
六、教学拓展：1. 组织学生参观餐厅或食品加工厂，让他们亲身体验美食的制作过程。
2. 邀请厨师或营养师来校进行讲座，让学生了解更多关于美食的知识。
3. 组织学生参加美食比赛，提高他们的动手能力和创新能力。
七、教学方法：1. 采用图片展示、视频播放、实物演示等多种方式，直观地展示美食的制作过程。
2. 采用分组讨论、合作制作等方式，培养学生的团队协作精神。
3. 采用问答、讨论等方式，激发学生的思考和兴趣。
八、教学资源：1. 美食图片及介绍资料。
2. 美食制作食材和工具。
3. 评价表、讲座嘉宾、比赛场地等。
九、教学安全：1. 在制作美食过程中，教师要确保学生使用食材和工具的安全。
2. 提醒学生注意食品安全，不要尝试未知的食材。
3. 在分享美食时，确保食物不会引起过敏等不适。
十、教学反思：2. 关注学生在制作美食过程中的表现，了解他们的兴趣和需求。
附录：中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立。
2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数。
4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。
5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。
6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限。
7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型。
8．连续函数的性质和初等函数的连续性。
9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。
二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线。
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。
3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。
5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。
6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘。
8. 函数最大值和最小值及其简单应用。
9. 弧微分、曲率、曲率半径。
三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念。
2. 不定积分的基本性质、基本积分公式。
3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。
4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。
5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。
6. 广义积分。
7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值。
中国大学生数学竞赛竞赛大纲(初稿)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler )方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
第一讲O.Stolz公式一、序列的情况：例1：例2：求极限解：例3：提示：只需证明，由O.Stolz定理知从而故，()()22111112112 2.n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a ++++++−=−+==+=+→例4：二、函数极限的情况：例1：例2：例3：补充：用定义证明问题，例1：例2：证明：第二讲极限若干问题一、数列极限1、利用单调有界数列必有极限准则例1：，例2：例3：2、利用放缩法例1：例2：1、利用等价代换例1：例2：例3：例4：2、利用定积分例1：例3：求极限。
提示：例4：求极限提示：例5：求极限提示：3、利用中值定理例3：求下列极限：例4：4、其他1、例1：2、对数指数求极限法例1：由O.Stolz公式得，知，原式值为1/2。
例2：例3：3、等价无穷小量替换法例1：例2：求下列极限：（1）（2）解：第三讲函数相关问题1、函数的连续性例：2、函数的有界性如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。
例：3、函数的最值定理例：4、函数的介值定理定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B。
那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。
例：5、根的存在定理又称为零值点定理，即：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且：f(a)f(b)<0,那么在开区间(a,b)上，至少存在一点x0,使得：f(x0)=0.例：第四讲连续性例4：例5：第五讲导数例1：证明：例3：例4：例5：数。
例6：已知(sin )(1cos )x a t t y a t =−=−｛，第六讲积分1、不定积分2、定积分例1：例2：第七讲级数例1：例2：例3：例4：第八讲多元函数的积分大纲：矢量及其运算和空间解析几何，多元函数的微分及其性质和应用。
中国大学生数学竞赛考试大纲—非数学类中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8.函数最大值和最小值及其简单应用9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分6. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程. 8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.4.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.5. 二元函数的二阶泰勒公式5.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。
二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。
＜亦时有连续的二阶导数，且/(1) = 0,广(1) = 1, 乂 11 = /(Jx2+/ + Z 2)满足方程匕+乜+巳=0 ,试求f(r)的表达式。
dr 茁 dz~X解：・・・弘=/(心,)沁))，/ =广•一 (/'：/"))r_f 丿"X_f x 2f n x 2f WXV = — + 兀( ------- )•_ = 一 + —； - —r r r~ r r r~ r对称地，M =£+2X_2X,M 丄帆工yy23zz2 3r r r r r r・•• 5 + Uyy + 叫=/" + 2占=0p z21r 令 P=f —=——,lnP = ln —+ lnC = ln —P r r 1 r 2/乞+尸竺=0和dx dy已知lim/\x) = 0且函数XT 0+7.设函数y=f(x)由参数方程x = 2t 1 歹=0(『)k>j)确定'冃器=忌C I | 1p =广(厂)=-=—(•・・广(1) = 1)・•・ M) =—+c = __(・・・/(l)=0)厂厂r r注奧+嘤+字=0,称为(三维)拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方dx2 dy2 dz程，是一种偏微分方程•因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名•在一•般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围.本题讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题.9.设W = 且满足(二维)拉普拉斯方程，求的君达我)分析：函数u = f(x,y)是亍+ y2的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求微分方程的方法得到表达式。
mi /•/、r( \ Ou dr % / x铁討(「) + *〃)同理可得斜訂(小訂(J •■•■|4 + ^4 = / (r) + -/ (r) =0,yj^ = --积分得dx 8)厂r f'[r) rIn/ (r) = -lnr + lnc(),/ (r) = -^,/(r) = c o lnr+ c,u = —c i} ln(x2 + y') + C| =c」n(V + )『) + q 2LI — X10 .已知函数z=z (x, y)满足兀2冬+歹2竺=尹，设I =丄_丄，对函数去彷I V X0 = 0(眈,卩)，求I止：= Q.du证明：由题意得"/尸片,则(f)= --丄是u,v的复合函数，则空__丄du z2厂比dx^dx du+竺空+dy du ) 111 *z2----- Fdx、1 dz(14-WV)2叱Z 兀一、基本概念与内容提要1. 定积分性质① 若/（兀）是奇函数（即/（%）=-/（-%））,上，j f （x ）dx = 0.② 若/（兀）是偶函数（即/（x ）= /（-兀）），那么对于任意的常数a,在闭区间［-。
卫］ 上 J f{x ）dx = 2 J f{x ）dx .③ 若/（兀）为奇函数时，/（兀）在［-°卫］的全体原函数均为偶函数；当/（兀）为偶函 数时，/（兀）只有唯一原函数为奇函数即［加助・④若『6）是以T 为周期的函数（即f （T +兀）=/&））,且在闭区间［0,T ］±连续可T积，那么]= (/(x)dx= E f{x)dx■ 22. 二重积分的六大对称性如果积分区域D 具有轴或点对称（令D 表示D 的一半区域，即D 中对应y > 0 丄 丿2部分，余类推），被积函数/（X, y ）同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以 得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学屮每年都必出题，务必理解记住下列 6类对称性定理。
①D 关于X 轴对称（D 关于丫轴对称类推）0, /(兀-)：)= -/(兀 y)..y =1.卯=1 X 14- uv du u 2 Z 2 厂2比 2比、 JT ---- 厂一 I 去 dyjJ ______ 1_ u 2 X 1 Z 2------ F^dx u 2积x 2 dy)4=o X 分学 那么对于任意的常数a,在闭区间^f(x,y)dxdy = <2j]7(s)d几卄是关于的偶函数，即②D 关于X, Y 都对称③ D 关于原点对称④ 当Q 和Q 关于某一直线对称，对同一•被积函数，则⑤ D 关于X =a 轴对称⑥ 万能轮换对称性•轮换对称性描述如果将兀与y 及z 交换，即xoy , zox 后，积分区域方程不变，则将被积函数小的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这 个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都 成立。
•轮换对称性实例3. 二重积分的换元公式.设/(x,在£>上连续，x = x(w,v), y = y(w, v)在平面uOv 上的某区域£/上具 有连续的一阶A = jj @|x| +方卜|肚狞=^^ □（忖+卜|宓dy = (2)|卅|"| 忖+1*1X ~ Vdxdy =- 2 4x 凹 |j （兀+）少/砂= 4（d + b ） jjxdxdy 2 X+V<1 x>Q. v>0 X+ V<1 A >0. y>0IM+|g Jx + y + 3 2 鼎q _ Jx + y + 3 Jy + x + 3dxdy = 0偏导数且雅可比(Jacobi, C.G.J.)行列式J = X\ X\工0,儿儿对应于xOy平面上的区域£),则y)dxdy = jj/[x(w,v), y(u,v)^j\dudv・D D*4.三重积分的对称性：J =如⑴若G关于兀oy而(z = 0)对称，①若/(x,y ,-z) = -/(x, y, z),贝I」/ =0,②若f(x,y-z) = f(x,y,z),则/ = 2^f(x,y,z)dv, Q I： z >0⑵若。
关于yoz而(x = 0)对称，①若 /(一兀,y, z) = -/(x, y, z),则 / = 0,②若/(-x,y,z) = /(x,y,z),则1 = 2y,z)dv, fl2: x>0Q2⑶若Q关于兀血面(y = 0)对称，①若f(x-y. z) = -f(x, y, z),则 / =0,②若f(x-y,z) = f(x,y9z),则1 = 2Jjj/(兀,y,z)dv, Q3: y>05.三重积分换元法1) 球坐标系代换：x = /?sin^cos0,y = Qsin0sin&,z = pcoscp ,\ J \= p2 sin^(0< p < +oc, 0<^<^50<^< ,即dU = r2sin(pclrd 3d (py, z)dxdydz = Jjj/(psin 0cosO,Qsin 0sin 0,pcos(p)p2 sin(pdOd(pdpD£T适川于积分公式或被积函数是/(x2 + / + r)型.2)柱坐标代换:x = rcos 0,y = rsin0,z = z , (r > 0,0 < ^ < 2^, -oo < ^ < +oo)\j\ = r=巩兀，即 dV = rdrdOdz三重积分的柱朋标换冗公式为：y, z ）dxdydz = JJJ/（r cos 0, r sin 0. z.）rdOdrdz ,DD‘适用于f(x 2+ /)型被积函数或积分区域6・高斯公式定理 设空间闭区域。
