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第十届厦门大学景润杯数学竞赛获奖名单公示根据厦门大学“关于组织申报校级本科生学业竞赛项目的通知”〔厦大教（2013）16号〕，由数学科学学院组织协办的第10届厦门大学景润杯数学竞赛活动历经3个多月于6月22日圆满结束。
本届厦门大学“景润杯”数学竞赛活动共有1846名学生报名参赛，其中厦门大学1316名，集美大学和厦门理工学院530名。
我校实际参赛的总人数为1207名，其中数学专业组76人，理工类专业组861人，经管类专业组270人。
根据第10届“景润杯”数学竞赛组委会的规定，按照数学专业组、理工类组与经管类组三个组别分别进行竞赛评奖，117名学生分获竞赛一、二、三等奖，其中一等奖9名、二等奖27名、三等奖81名，名单如下：
第十届厦门大学景润杯数学竞赛获奖学生名单
一、数学专业（一等奖2人，二等奖6人，三等奖18人，合计26人）
二、理工专业组（一等奖4人，二等奖12人，三等奖36人，合计52人）
三、经管专业组（一等奖3人，二等奖9人，三等奖27人，合计39人）
厦门大学数学科学学院
2013.6.25。
1. (15分)求下列极限（每小题5分，共15分）（1） nnn nn n n ln )ln 2ln (lim +-∞→ 解：321ln ln ln ln )ln 21()ln 1(lim )ln 21ln 1(lim )ln 2ln (lim --∞→∞→∞→==+-=+-=+-e e e nn n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n ( 2）23202arctan )1(sin lim 22t e dy y dx t t txt --→⎰⎰+π； 解：232223202arctan )1(sin lim arctan )1(sin lim222tedxdyy tedyy dx t Dt t t tx t -=--→-→⎰⎰⎰⎰++ππ7sin lim22sin lim27202320020πππ-=-=-=⎰⎰⎰++→→t dyy y t tdx y dy t t tyt .（3）y x x ye RD xR d d arctan lim ⎰⎰-+∞→，其中R D 是由12,0,-===x Ry y R x所围成.解：由于函数xye x arctan-在R D 上连续，由积分中值定理得 ,arctan 4d d arctan d d arctan ξηξηξξ---==⎰⎰⎰⎰e R y x e y x x y e RRD D x 其中R D ∈),(ηξ，即10,2≤≤≤≤ηξR R ，于是当+∞→R 时，0arctan 4d d arctan |d d arctan |2→≤=---⎰⎰⎰⎰ξηξηξR D D x e R y x e y x x y e RR， 所以0d d arctan lim =⎰⎰-+∞→y x xye RD xR .厦门大学第十届景润杯数学竞赛试卷＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿年级＿＿＿＿＿＿专业竞赛时间 2013.06.22 （经管卷）2. (10分) 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)1()0(2f f =，试证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)()()1(ξξξf f ='+。
全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。
二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。
学号院系 高等数学竞赛(理工类)试题姓名 （ 2006年7月6日 晚 7•00 ~ 9•00 ）一、单项选择题（每题4分 共20分）1．方程x e x =--21在),0(+∞内实根的个数为（ B ）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 若)(x f 在]1,0[上连续且可导，1)0()1(=-f f ，⎰'=102)]([dx x f I ， 则有（ C ）。
A. I = 1B. I < 1C. I ≥1D. I = 03．设(,)f x y 连续，且(,)(,),Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰其中D 是由0y =2,1y x x ==所围区域，则(,)f x y 等于（ D ）。
A ．xy ； B. 2xy ； C. 1xy +； D. 18xy +。
4. 设f 在Ω上可积，且Ω区域具有轮换对称性（即若(,,)x y z ∈Ω，则(,,),(,,)y z x z x y ∈Ω∈Ω），则（ A ）。
A.(,,)(,,)(,,)f x y z dv f y z x dv f z x y dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；B. 1(,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 其中1Ω为Ω的0z ≥部分区域； C.(,,)0f x y z dv Ω=⎰⎰⎰；D. 以上结论均不成立。
5. 设函数(),(),()p x q x f x 都连续，且11223()()()y c y x c y x y x =++是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解，则（ B ）。
A. 123y y y +-是方程的解B. 123,,y y y 线性无关C. 123,,y y y 可能线性无关，也可能线性相关。
D. 123,,y y y 线性相关二、填空题（每题4分 共20分） 1．设函数xx xx x x x f ++-+-+=22ln 212arctan)(222，则 =')(x f 2。
附件一关于举办二○○九年厦门大学漳州校区赛区“景润杯”数学竞赛的通知本科生学业竞赛是提高学生创新意识，推动学生参与科学研究的重要途径。
为了进一步提高我校本科生数学能力，通过竞赛激发学生学习数学的兴趣和积极性，增强校园数学文化的氛围，在成功举办前5届数学竞赛的前提下，今年我们又成功地举办了首届“全球八校联盟”数学竞赛活动，学校决定举办2009年厦门大学“景润杯”数学竞赛（以下简称竞赛），现将漳州校区赛区有关事项申报如下：一、竞赛内容详见厦门大学“景润杯”数学竞赛章程（附件二）、厦门大学“景润杯”数学竞赛大纲（附件三）。
二、竞赛日程第一阶段（5月12日－6月28日）：举办厦门大学“景润杯”数学竞赛系列讲座。
讲座具体内容、时间及地点详见每周海报。
第二阶段（2008-2009学年第三学期）：正式比赛。
比赛时间、地点另行通知。
三、参赛方式1．漳州校区赛区分成三组：数学专业组（数学科学学院、计算机科学系CST专业）、理工类专业组、经管与文科类专业组，参赛对象为本科一、二年级学生。
2．报名方式：漳州校区各学院教务人员组织学生报名，汇总后交漳州校区院系办（数学科学学院教学秘书）。
3．报名时间：2009年5月28日至6月18日。
四、奖项设置竞赛根据“厦门大学‘景润杯’数学竞赛章程”（附件二）评出组织奖和个人奖。
组织奖若干，颁发奖状。
个人奖按组设置，分别颁发奖状、奖金，其中一等奖400元，二等奖200元，三等奖100元。
漳州校区各组名额如下：数学专业组：一等奖2名，二等奖6名，三等奖13名；理工科专业组：一等奖3名，二等奖10名，三等奖30名；经管类专业组：一等奖3名，二等奖10名，三等奖30名。
厦门大学教务处数学科学学院二〇〇九年五月四日关于举办二○○九年厦门大学校本部赛区“景润杯”数学竞赛的通知本科生学业竞赛是提高学生创新意识，推动学生参与科学研究的重要途径。
为了进一步提高我校本科生数学能力，通过竞赛激发学生学习数学的兴趣和积极性，增强校园数学文化的氛围，在成功举办前5届数学竞赛的前提下，今年我们又成功地举办了首届“全球八校联盟”数学竞赛活动，学校决定举办2009年厦门大学“景润杯”数学竞赛（以下简称竞赛），现将校本部赛区有关事项申报如下：一、竞赛内容详见厦门大学“景润杯”数学竞赛章程（附件二）、厦门大学“景润杯”数学竞赛大纲（附件三）。
大学生数学竞赛辅导材料浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7）一．计算题(每小题5分，共30分)1．求极限lim x →。
2．求积分|1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。
3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。
4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x xxe f x f t dt x +=+?，求()f x 。
5．设211arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。
6．求积分12121(1)x x x e dx x ++-?。
2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6）一．计算题7．求2050sin()lim x x xt dt x→?。
8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。
9．求2401x dx x∞+?。
10．求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。
浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题1．计算：()()200cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。
2．计算：20cos 2004x dx x x πππ+-+?。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在(){}22,41x y xy Ω=+≤上的最大、小值。
4．计算：()3max ,D xy x d σ??，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。
5. 设()1tan 1x f x arc x-=+，求)0()(n f 。
天津市竞赛题 1.证明??+≤?+02022021cos 1sin dx x x dx x x ππ.2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f .3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.（2）设,1tan 12k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞→ 4. 计算+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。
一道竞赛题的几种不同解法（初三）
张发斌
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】题目已知x，y为实数，且满足x2-xy＋4y2=4，记u=x2＋xy＋4y2的最大值为M，最小值为m，则M＋m= ．解法1 由x2-xy＋4y2=4，得 x2＋4y2=xy=4.
【总页数】1页(P37-37)
【作者】张发斌
【作者单位】福建省厦门大学附属实验中学,363123
【正文语种】中文
【中图分类】G632.479
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