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福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考数 学 试 卷（满分：150分 完卷时间：120分钟，）班级 姓名 座号 准考证号 ．一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项） 1.如果复数2－bi1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为( )A. 2B ．－2C ．－23 D.232．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后得到的曲线方程为( ) A ．y ＝3sin xB ．y ＝3sin 2xC ．y ＝3sin 12xD ．y ＝13sin 2x3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ）A ．3B ．3.5C ．4.5D ．2.54．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则=>)4(X P （ ） A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585 5.5(21)(2)x x -+的展开式中含4x 项的系数为( )A ．30B ．70C ．90D ．1506将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．727.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于 ( )A.31B.181C.61 D.91 8. 设随机变量X 的分布列如下若E(X)=815,则D(X)等于( ) A.327B.329C.6432D.64559.=====a b +=（ ） A ．109 B ．1033 C.199 D ．2910.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种.A. 120B. 260C. 340D. 420 11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（ ）A ． 60 B.120 C.240 D.36012．已知0a >，若存在0x >，使得(2ln )1ax x -≥能成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知X 服从二项分布B （n,p ）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数 n= ，,p= .14.已知三个正态分布密度函数e 21)(ii x σπ=ϕ（R ∈x ，3,2,1=i ）的图象如图所示,123,,μμμ的大小关系是 ；123,,σσσ的大小关系是 .15.已知椭圆12222=+b y a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰_______.（10题图）16.设函数()0f x=的根为 .n三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.18. （本题满分12分）全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随⨯列联表：机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查,得到以下的22（1的把握认为A市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？（2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A 市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X .①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .，其中n a b c d =+++参考数据：19. （本题满分12分）元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.20. （本题满分12分）近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．图1 图2（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在”为事件，试估计的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间，(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下表（表中，）：①根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程；②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格的佣金，对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格的佣金．在图1对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值．若以2017年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金．附注：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②参考数据：．21. (本题满分12分)已知函数()()2ln 2a f x x a R x =-∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，设函数()()2g x f x x a =-有唯一零点，求a 的值.22.（本小题满分10分）已知在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点D 的极坐标是31,2π⎛⎫⎪⎝⎭,曲线C 的极坐标方程为21cos ρθ=-.（1）求点 D 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程；（2）若经过点D 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求DA DB ⋅的最小值.福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二年期末考数 学 试 卷（满分：150分 完卷时间：120分钟，）班级 姓名 座号 准考证号 ．一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项） 1.如果复数2－bi1＋2i 的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为( C )A. 2B ．－2C ．－23 D.232．将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后得到的曲线方程为(A )A ．y ＝3sin xB ．y ＝3sin 2xC ．y ＝3sin 12xD ．y ＝13sin 2x3．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ A ）A ．3B ．3.5C ．4.5D ．2.54．已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则=>)4(X P （ B ） （A ）0.1588 （B ）0.1587 （C ）0.1586 （D ）0.1585 5.5(21)(2)x x -+的展开式中含4x 项的系数为(B )A ．30B ．70C ．90D ．1506将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ C ） （A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）727.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件A:“甲骰子的点数大于4”;事件B:“甲、乙两骰子的点数之和等于7”,则P(B|A)的值等于 ( C )A.B. C. D.8. 设随机变量X 的分布列如下若E(X)=815,则D(X)等于 (D ) A.327B.329C.6432D.64559.=====a b +=（A ） A ．109 B ．1033 C.199 D ．2910.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ D ）种.A. 120B. 260C. 340D. 420 11. 7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是（C ）A ． 60 B.120 C.240 D.36012．已知0a >，若存在0x >，使得(2ln )1ax x -≥能成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上） 13.已知X 服从二项分布B （n,p ）,且E(3X+2)=9.2，D(3X+2)=12.96，则二项分布的参数n,p 的值分别为6 * ，0.4 * .14.已知三个正态分布密度函数222)(e 21)(i i x ii x σμ--σπ=ϕ（R ∈x ，3,2,1=i ）的图象（8题图）如图所示,123,,μμμ的大小关系是 123123,μμμσσσ<==<* ；123,,σσσ的大小关系是 * .15.已知椭圆12222=+b y a x 的面积计算公式是ab S π=，则2-=⎰_π______.16.设函数则方程()0n f x =的根为.三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .17. 解：（1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=， 所以高为0.30.065=．频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n ==． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.46a =⨯=． （2）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． 随机变量X 服从超几何分布．031263185(0)204C C P X C ===，1212631815(1)68C C P X C ===， 2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=18.全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定,“全面二孩”从2016年元旦起开始实施,A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽取了男性市民30人、女性市民70人进行调查,得到以下的22⨯列联表：（1的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关？ （2）现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；（3）将上述调查所得到的频率视为概率,.现在从A 市所有市民中,采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查,记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X .①求X 的分布列；②求X 的数学期望()E X 和方差()D X .，其中n a b c d =+++参考数据：18.解：（1）由列联表可得K 2所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关.（2）依题意可知，所抽取的15位市民中,男性市民有，女性市民有. （3）（i ）由22⨯列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为率，即从A由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即，所以从而X 的分布列为：（10分）（ii ）E （X ） D （X ）=np19. 元旦期间，某轿车销售商为了促销，给出了两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种，方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，其优惠情况为：若摇出3个幸运号则打6折，若摇出2个幸运号则打7折；若摇出1个幸运号则打8折；若没有摇出幸运号则不打折.（1）若某型号的车正好6万元，两个顾客都选中第二种方案，求至少有一名顾客比选择方案一更优惠的概率.（2）若你看中一款价格为10万的便型轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种付款方案.19.试题解析：（1）选择方案二方案一更优惠，则需要至少摸出一个幸运球，设顾客不打折即三次没摸出幸运球为事件A ，则()223344416P A ⨯⨯==⨯⨯，故所求概率()()232471116256P P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭． （2）若选择方案一，则需付款100.69.4-=（万元）． 若选择方案二，设付款金额为X 万元，则X 可能的取值为6,7,8,10，()()221122322122156,74441644416P X P X ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯======⨯⨯⨯⨯，()2232232217844416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯， ()31016P X ==，故X 的分布列为所以()1573678107.937516161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）9.4<（万元）， 所以选择第二种方案根划算． 20．（1）；（2）①，②万元.【解析】分析：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为，则．（2）①由得，即关于的线性回归方程为． 其中，则关于的线性回归方程为，据此可得②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为；使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为，则该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.详解：（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在的频率为，在的频率为所以．（2）①由得，即关于的线性回归方程为．因为，所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为②根据①中的回归方程和图1，对成交的二手车可预测：使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为； 使用时间在的平均成交价格为，对应的频率为所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元.点睛：本题主要考查非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21. (本题满分12分)已知函数()()2ln 2a f x x a R x =-∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，设函数()()2g x f x x a =-有唯一零点，求a 的值.21.解：（Ⅰ）由题可知函数()f x 为()0,+∞()2222()a x a x f x xx '=--=…………………………………1分①当0a ≤时，()0f x '≥在()0,+∞上恒成立 此时函数()f x 在()0,+∞上单调递增 …………………………………2分②当0a >时，令()0f x '=，则x =x =当(x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>此时函数()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增 …………………………4分（Ⅱ）由题可知()22ln 2g x x a x ax =--， ()2222x ax ag x x--'=.令()0g x '=，即20x ax a --=，因为0,0a x >>，所以102a x -=< (舍去)，22a x +=. …………5分 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增， …………………………6分所以()g x 的最小值为()2g x . …………………………………7分因为函数()g x 有唯一零点，所以()20g x =， …………………………………8分由()()220,{0,g x g x ='=即2222222220,{0,x alnx ax x ax a --=--= …………………………………9分可得222ln 0a x ax a +-=，因为0a >，所以()222ln 10*x x +-=， 设函数2ln 1y x x =+-，因为当0x >时该函数是增函数， 所以0y =至多有一解.…………………………………10分因为当1x =时，0y =， …………………………………11分所以方程()*的解为21x =，即12a +=，解得12a =. …………………………12分（22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程） （1）()0,1-，244y x =+；（2）3.【解析】试题分析：（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得点D 的直角坐标，由21cos ρθ=-可得cos 2ρρθ=+，从而得()2222x y x +=+，化简即得曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩,代入244y x =+,得()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ，则1223sin t t α=-，从而1223sin DA DB t t α⋅==，当90α=︒时, DA DB ⋅取得最小值3. 试题解析：（1）点D 的直角坐标是()0,1-,2,cos 21cos ρρρθθ=∴=+-,即()2222x y x +=+,化简得曲线C 的直角坐标方程是244y x =+. （2）设直线l 的倾斜角是α，则l 的参数方程变形为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩,代入244y x =+,得()22sin 4cos 2sin 30t t ααα-+-=,设其两根为12,t t ，则12122233,sin sin t t DA DB t t αα=-∴⋅==,当90α=︒时, DA DB ⋅取得最小值3. 考点：1、参数方程；2、坐标变换；3、一元二次方程根与系数的关系．。
2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）点M的极坐标是（），则点M的直角坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．以上都不对2．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=03．（5分）“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）下列命题中是真命题的是（）①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；④“x2=9，则x=3”的否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④6．（5分）若k＞1，则关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线7．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与y=x2交于A，B两点，则线段AB的中点M对应的参数t的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．8．（5分）与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，且与圆C2：（x﹣3）2+y2=9外切的动圆圆心P的轨迹方程是（）A．x2﹣=1（x＜0）B．x2﹣=1C．﹣=1（x＜0） D．﹣=19．（5分）已知点A（2，2），点P为抛物线x2=4y的动点，F点为抛物线的焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．4 B．C．D．611．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线l交x轴于R点，过抛物线上一点P（4，4）作PQ ⊥l于Q，则梯形PQRF的面积为（）A．12 B．14 C．16 D．1812．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距长的一半为c，直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为恰好为c，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．13．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，c是半焦轴距，P是双曲线上异于顶点的点，满足ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+） B．（，1+）C．（1+，1+） D．（1+，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）14．（5分）命题“∀x∈R，x3≥0恒成立．”的否定为．15．（5分）双曲线16y2﹣9x2=144的虚轴长为．16．（5分）与参数方程（t为参数）等价的普通方程为．17．（5分）已知P（x，y）为椭圆+y2=1上的动点，则代数式x2+2x﹣y2的最大值为．18．（5分）某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m，当水面上涨2m时，水面宽变为12m，此时桥洞顶部距水面高度为米．三、解答题（要求写出过程，共60分）19．（12分）已知抛物线y2=4x，过焦点F斜率为K的直线L交抛物线于A，B两点．（1）若K=2，求弦AB的中点的坐标；（2）若弦AB的长为8，求直线L的斜率K．[选修4-4：极坐标与参数方程]20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线B：x2+y2=1经过伸缩变换后，变为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：x+4y﹣8=0的距离最短，并求出点D的直角坐标．[选修4-4：极坐标与参数方程]21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l 的斜率．22．（12分）已知直线l：y=kx+2交双曲线C：x2﹣y2=1右支于A，B两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线l使得•=﹣1，若存在，请写出；若不存在，请说明理由．23．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（2，3），P3（﹣2，3），P4（0，2）中恰好有三点在椭圆C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过（2，0）点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线C于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）答案与解析一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化，求出结果即可．【解答】解：∵x=ρcosθ，y=ρsinθ．∴点M的极坐标为（3，），则该点的直角坐标为（，）．故选：A．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．2．【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣，即4y+1=0．故选：B．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．3．【分析】由真值表可知若p∧q为真命题，则p、q都为真命题，从而p∨q为真命题，反之不成立，从而求解．【解答】解：：∵p∨q为真命题，则p、q中只要有一个命题为真命题即可，p∧q为真命题，则需两个命题都为真命题，∴p∨q为真命题不能推出p∧q为真命题，而p∧q为真命题能推出p∨q为真命题∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了利用充要条件定义判断充分必要性的方法，利用真值表判断命题真假的方法，熟记真值表是解决本题的关键．4．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．5．【分析】①先写出否命题，然后判断；②写出命题的逆命题，然后判断；③写出命题的逆否命题，然后判断；④写出命题的否命题，然后判断．【解答】解：①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题是：“若x2+y2=0，则x，y全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是：“相似的多边形都是正多边形”，是假命题；③“若m＞0，则x2+x﹣m=0中△=1+4m＞0，方程有实根”为真命题，其逆否命题也是真命题；④“x2=9，则x=3”的否命题是：“x2≠9，则x≠3”，是真命题．∴是真命题的是①③④．故选：B．【点评】本题主要考查四种命题的关系以及四种命题真假的判断，是基础题．6．【分析】利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果．【解答】解：k＞1，可得（1﹣k）＜0，k2﹣1＞0，关于x、y的方程（1﹣k）x2+y2=k2﹣1所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．7．【分析】将直线的参数方程代入抛物线方程，由韦达定理和参数t的几何意义，可得所求值．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），若直线l与y=x2交于A，B两点，可得1+t=t2，即3t2﹣2t﹣4=0，即有t1+t2=，则线段AB的中点M对应的参数t的值为（t1+t2）=，故选：C．【点评】本题考查直线的参数的几何意义，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】设圆心P的坐标为（x，y），根据动圆与圆C1，C2外切，建立等式关系，化简可得答案．【解答】解：由题意，与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，其圆心（﹣3，0），r=1，圆C2：（x﹣3）2+y2=9外切，其圆心（3，0），r=3，圆心P的坐标为（x，y），圆C2过圆心，∴x＜0；动圆与圆C1，C2外切：∴．两边平方整理可得：x2﹣=1（x＜0）．故选：A．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，与圆有关的性质，是中档题．9．【分析】先由抛物线的标准方程求得焦点F的坐标，再设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标是（1，0 ）；设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为2﹣（﹣1）=3．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．10．【分析】由题意能够推导出△PF1F2是直角三角形，其面积=．【解答】解：∵|PF1|：|PF2|=4：3，∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，由题意可知3k+4k=7，∴k=1，∴|PF1|=4，|PF2|=3，∵|F1F2|=5，∴△PF1F2是直角三角形，其面积===6．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，判断出△PF1F2是直角三角形能够简化运算．11．【分析】求梯形PQRF的面积，关键是确定梯形的上底，下底，及高的长，利用抛物线的定义即可求得．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，焦点为F，准线l交x轴于R点∴抛物线的准线方程为：x=﹣1，FR=2∵过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥L于Q∴|QR|=4，|PQ|=5∴梯形PQRF的面积为故选：B．【点评】本题考查梯形的面积，解题的关键是利用抛物线的几何性质，正确运用梯形的面积公式．12．【分析】由椭圆与直线y=x交于（c，c）点，代入椭圆的方程，利用椭圆的离心率及取值范围，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由已知可得：椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆与直线y=x交于（c，c）点，则，即，整理得：e4﹣3e2+1=0，（1＜e＜1），解得e2=．∴e=，故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆a，b与c的关系，考查计算能力，属于中档题．13．【分析】由题意可得e==，设P（m，n）为双曲线的右支上一点，由F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），运用直线的斜率公式和m＞a，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由ctan∠PF1F2=atan∠PF2F1，可得e==，设P（m，n）为双曲线的右支上一点，由F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=﹣•=﹣=﹣1﹣，由m＞a可得﹣1﹣＞﹣1+=﹣1+，即有e+1＞，即e2﹣2e﹣1＞0，解得e＞1+．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线的斜率公式和双曲线的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）14．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即；故答案为：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．15．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，即可得到虚轴长．【解答】解：双曲线16y2﹣9x2=144的标准方程为：，可得a=3，b=4，所以双曲线的虚轴长为8．故答案为：8．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．16．【分析】消去参数t可得普通方程，注意x的范围．【解答】解：由x=，∴x≥1．那么2x=2．y=2．消去参数t可得：y=2x﹣3（x≥1）故答案为：y=2x﹣3（x≥1）【点评】本题考查了参数方程化普通方程，注意x，y的范围．17．【分析】由题意求得y2=1﹣，且﹣2≤x≤2，代入要求的式子化简并利用二次函数的性质，求出它的最大值．【解答】解：∵P（x，y）为椭圆+y2=1上的动点，∴y2=1﹣，且﹣2≤x≤2，∴代数式x2+2x﹣y2 =x2+2x﹣（1﹣）=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，故当x=2时，代数式x2+2x+y2取得最大值为7，故答案为：7．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，二次函数的性质，属于中档题．18．【分析】先根据题目条件建立直角坐标系，设出抛物线的方程，然后利用点在曲线上，确定方程，求得点的坐标，也就得到水面的宽．，【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线y=ax2+c，由题意可知抛物线过点（6，2），（8，0）．所以解得a=﹣，c=；所以抛物线解析式为y=﹣x2+，令x=0，得y=；所以当水面上涨2m时，水面宽变为12m，此时桥洞顶部距水面高度为﹣2=米．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的应用，以及待定系数法求方程，注意点在曲线上，则点的坐标满足解析式，注意：建坐标系不同，解析式不同，属于基础题，三、解答题（要求写出过程，共60分）19．【分析】（1）抛物线y2=4x的交点F（1，0）．设弦AB的中点的坐标（x0，y0）．当k=2时，直线L的方程为：y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．与抛物线方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．（2）设直线L的方程为：y=k（x﹣1），与抛物线方程联立化为：ky2﹣4y﹣4k=0，利用根与系数的关系及其|AB|==8．（或利用|AB|=x1+x2+p也可以）．即可得出．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的交点F（1，0）．设弦AB的中点的坐标（x0，y0）．当k=2时，直线L的方程为：y=2（x﹣1），即y=2x﹣2．联立，化为：y2﹣2y﹣4=0，△＞0．y1+y2=2，∴y0==1，∴1=2（x0﹣1），解得x0=．∴弦AB中点坐标为．（2）设直线L的方程为：y=k（x﹣1），联立，化为：ky2﹣4y﹣4k=0，∴y1+y2=，y1y2=﹣4．k≠0，△＞0．∴|AB|===8．（或利用|AB|=x1+x2+p也可以）．∴k2=1，∴直线L的斜率为±1．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程]20．【分析】（Ⅰ）由坐标伸缩变换，代入x2+y2=1中化简即得曲线C的标准方程；（Ⅱ）设出曲线C的参数方程，利用参数表示点D的坐标，求出它到直线l的距离最小值对应的点D的坐标即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，由得，代入x2+y2=1中，整理得曲线C的标准方程为+y′2=1；（Ⅱ）曲线C的参数方程为（θ为参数）；设D（3cosθ，sinθ），它到直线l：x+4y﹣8=0的距离为d==，令sinφ=，cosφ=，则d=，当sin（θ+φ）=1时，d取得最小值为；此时θ+φ=+2kπ，k∈Z；∴θ=﹣φ+2kπ，k∈Z；则cosθ=cos（﹣φ）=sinφ=，sinθ=sin（﹣φ）=cosφ=；∴点D的坐标为D（3cosθ，sinθ）=（，）．【点评】本题考查了坐标变换与参数方程的应用问题，是中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程]21．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．22．【分析】（Ⅰ）由直线与双曲线组成方程组，消去y得关于x的方程，根据题意列出不等式组，求得k的取值范围；（Ⅱ）假设存在直线l使得•=﹣1，利用坐标表示列出关于k的方程，解方程求得k的值，再判断是否存在这样的直线．【解答】解：（Ⅰ）由直线l：y=kx+2与双曲线C：x2﹣y2=1组成方程组，得，消去y得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣5=0；设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则，解得﹣＜k＜﹣1，∴k的取值范围是（﹣，﹣1）；（Ⅱ）假设存在直线l使得•=﹣1，即x1x2+y1y2=﹣1，∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=﹣1，∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+5=0，则（1+k2）•+2k•+5=0，化简得﹣5﹣5k2+8k2+5﹣5k2=0，即2k2=0，解得k=0，不符合﹣＜k＜﹣1，∴不存在这样的直线l．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，是中档题．23．【分析】（Ⅰ）由题意值选P2，P3，P4三点，求得b和a的值，即可写出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）讨论直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时求得|DE|+|FG|=14；直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y=k（x﹣2），利用弦长公式求得|DE|的值，设直线l2的方程为y=﹣（x﹣2），同理求得|FG|的值，再求|DE|+|FG|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，应该选P2，P3，P4三点，则b=2，代入椭圆方程得，+=1，解得a=4，所以椭圆C的标准方程是+=1；…（4分）（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知|DE|+|FG|=6+8=14；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，消去y整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0；…（6分）由根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=；所以|DE|=|x1﹣x2|=•=•=；…（8分）设直线l2的方程为y=﹣（x﹣2），同理求得|FG|=，所以|DE|+|FG|=+=；…（9分）设t=k2+1，所以t＞1，所以|DE|+|FG|=，因为t＞1，所以0＜≤，所以|DE|+|FG|的取值范围是[，14）；…（12分）综上所述，|DE|+|FG|的取值范围是[，14]．【点评】本题考查了直线与椭圆的方程和应用问题，也考查了弦长公式应用问题，考查了计算与推理能力，是难题．。
福建师大附中2017-2018学年下学期期中考试卷高二文科数学·选修1-2一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数；A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①【答案】C【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①．故选C．点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．2. 用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设（）A. 没有一个内角是钝角B. 有两个内角是钝角C. 有三个内角是钝角D. 至少有两个内角是钝角【答案】D【解析】分析：根据反证法证题的步骤，作出与求证结论相反的假设即可．详解：由题意知，三角形中内角的钝角数可分为一个、两个和三个三种情况，所以“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”的反面是“至少有两个是钝角”．故选D．点睛：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3. 若实数则与的大小关系是（）A. B. C. D. 不确定【答案】B【解析】试题分析：由题可设；。
即需证；成立，则成立。
4. 若复数则“”是“是纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先由复数为纯虚数求出实数的值，然后根据充分必要条件的定义进行判断可得结论．详解：若复数为纯虚数，则，解得．∴“”是“是纯虚数”的充要条件．故选C．点睛：判断p是q的什么条件，可根据定义从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．5. 某工厂为了确定工效，进行了5次试验，收集数据如下：加工零件个数加工时间(经检验，这组样本数据的两个变量与具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是（）A. 负相关，其回归直线经过点B. 正相关，其回归直线经过点C. 负相关，其回归直线经过点D. 正相关，其回归直线经过点【答案】D【解析】分析：由表中数据可得随的增大而增大，故与成正相关关系．求得加工零件个数和加工时间的平均数得到的样本中心，即可得回归直线经过的点．详解：由表中数据可得随的增大而增大，故与成正相关关系．又，∴样本中心为．又回归直线过样本中心，∴其回归直线经过点．点睛：回归直线过样本点中心是一条重要性质，根据这一性质可求线性回归方程中的未知参数，也可根据回归方程求原数据中的未知参数．6. 观察下列算式：，，，，，，，，…用你所发现的规律可得的末位数字是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据给出的数据归纳出规律：2的次方的末位数字分别为2,4,8,6这4个数字循环，然后分析与一个周期中的第几项的末尾数相同即可．详解：由题意得，2的次方的末位数字分别为2,4,8,6这4个数字循环，即以4为周期．又，∴的末位数字与的末位数字相同，∴的末位数字是4．故选B．点睛：本题考查归纳推理，对归纳推理的考查包括数的归纳和形的归纳两种类型，其中数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，从中发现规律得到一般性的结论．7. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（）A. 2B. 3C.D.【答案】A【解析】试题分析：由图可知，，，则，∴，故选．考点：复数的运算.8. 给出下面四个类比结论：①实数，若，则或；类比向量，若，则或②实数，有；类比向量，有③向量，有；类比复数有其中类比结论正确的命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：①错误，因为若向量互相垂直，则；③错误，因为是复数的模是一个实数，而是个复数，比如若，则，;④错误，若假设复数，，则，但是，．②正确．故选B．考点:1．类比推理；2．复数运算；3．向量运算．9. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内填（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.考点：程序框图.视频10. 下列不等式对任意的恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的相关知识对每个选项分别验证可得结论．详解：对选项A，当时，，所以不成立，故A不正确．对于C，令，则，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故，即．故C正确．对于D，当时，，所以不成立，故D不正确．综上可得选C．点睛：本题考查函数恒成立问题，解题时转化为求函数最值的问题处理，注意导数在解题中的应用．另外在解答选择题的过程中，还应注意举反例在解题中的应用．11. 如图，可导函数在点P（，）处的切线为：，设，则下列说法正确的是（）A. ，是的极大值点B. ，是的极小值点C. ，不是的极值点D. ，是的极值点【答案】B【解析】分析：由导数的几何意义得在点处的切线方程为，从而可得函数的解析式，求其导数后可得且是的极小值点．详解：由题意可得函数在点处的切线方程为，∴，∴，∴．又当时，，故单调递减，当时，，故单调递增．∴是是的极小值点．点睛：本题考查函数图象的应用及函数极值的判定，解题的关键是求得函数的解析式，对其求导后再结合图象得到导函数的符号，并结合极大（小）值的定义进行判断．12. 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，∴，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，设，令，当时,,时,，在x>0时，有两个根，排除C.所以图象A正确，本题选择A选项.13. 设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】分析：由不等式分离参数可得恰有两个整数解，然后结合函数的图象求解可得实数的取值范围．详解：由，得恰有两个整数解．令，则，由于在上单调递增，且，∴当时，单调递增，当时，单调递减．画出函数的图象如下图所示．结合图象可得，当恰有两个整数解时，需满足，即，∴实数的取值范围是．故选C．（2）求参数的范围时，要注意不等式端点处的等号能否取得．二、填空题（每小题5分，共25分）14. 已知复数满足，则＝_______．【答案】【解析】分析：根据复数除法的法则求解可得复数．∴，∴．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，属容易题．15. 若根据10名儿童的年龄x（岁）和体重y（㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是y = 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是__________㎏．【答案】15【解析】分析：根据所给的10名儿童的年龄做出平均年龄，即得样本中心点的横坐标，把横坐标代入线性回归方程求出纵坐标，即为要求的平均体重．详解：∵10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，∴这10名儿童的平均年龄是又由题意得用年龄预报体重的回归方程是，∴当时，，即这10名儿童的平均体重是．点睛：本题考查线性回归方程过样本中心这一结论和利用回归方程进行预测，属于容易题，主要考查学生的计算能力和运用知识解决问题的能力．16. 已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=______．【答案】8【解析】试题分析：的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．由于切线与曲线相切，故可联立，得，又，两线相切有一切点，所以有，解得．故答案为：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.【方法点晴】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键，难度中档.求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值．17. 在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A、B、C做了一项预测：A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A、B、C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_____________．【答案】甲【解析】分析：利用反证法对甲、乙、丙三人的说法分别分析，即可得到结论．详解：假设A的判断都正确，则冠军为乙，那么B的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．假设B的判断都正确，则冠军为丙，那么甲的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．假设C的判断都正确，则冠军为甲，那么A的判断一对一错，B的判断都错，满足题意，假设成立．所以冠军是甲．点睛：本题是有关推理的问题，主要考查学生推理论证的能力和分析能力，解题的关键是采用反证法的思想，对每个人的说法分别分析、排除，从而得到结果．18. 已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先求出函数在其定义域上单调递增合单调递减时的取值范围，求出其补集即为所求的范围．详解：∵，∴．①若函数在上单调递增，则在上恒成立，∴在上恒成立，由于在上无最大值，∴函数在上不单调递增．②若函数在上单调递减，则在上恒成立，∴在上恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，∴．综上可得当函数在其定义域上不单调时，实数的取值范围是．点睛：（1）函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立，且在该区间的任意子区间内都不恒等于0，然后通过分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．（2）由于本题中给出的是函数不单调，故可先求出函数单调时参数的取值范围，然后在取其补集即可．三、解答题（要求写出过程，共60分）19. 已知平行四边形的三个顶点对应的复数为（1）求点B所对应的复数；（2）若，求复数所对应的点的轨迹.【答案】（1）；（2）点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆【解析】分析：（1）根据复数加法的几何意义，求得的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．详解：（1）由已知得，∴，∴点对应的复数．（2）设复数所对应的点，∵，∴点到点的距离为1，∴复数所对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且其方程为.点睛：本题考查复数的几何意义及其应用，解题的关键是正确理解和掌握“复数、复平面内的点、向量”之间的一一对应的关系，学会从形的角度认识复数．20. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间（单位：分钟）绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图：（1）根据已知条件完成2x2列联表;（2）并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式【答案】（1）20；（2）见解析【解析】分析：（1）根据频率分布表和等高条形图可得列联表．（2）根据列联表中的数据求得，然后与临界值表中的数据对照可得结论．详解：（1）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是11+7+2=20人，根据等高条形图得列联表如下：（2）由列联表可得，故没有的把握认为“阅读达人”跟性别有关．点睛：（1）独立性检验的步骤：①构造2×2列联表；②计算K2；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．（2）用独立性检验解题应注意的问题：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．21. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为元．(1)将表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．【答案】（1），；（2）当，时，该蓄水池的体积最大【解析】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值.（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元∴蓄水池的总建造成本为元所以即∴∴又由可得故函数的定义域为6分（2）由（1）中，可得（）令，则∴当时，，函数为增函数当，函数为减函数所以当时该蓄水池的体积最大12分.考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.视频22. 设函数（1）若，求的极值；（2）证明：当且时，.【答案】（1）有极大值，有极小值；（2）见解析【解析】分析：（1）当时，，求导后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后根据单调性求得函数的极值．（2）由题意得，令，然后根据导数证明即可得原不等式成立．详解：（1）时，，∴．当时单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时,有极大值，且极大值为；当时,有极小值，且极小值为．（2）已知．令，则．∵，∴当时，，单调递增，∴，∴当时，．点睛：（1）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析．若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值的问题处理．23. 设函数（1）讨论函数的单调性；（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）求出导函数，通过对参数的分类讨论，并根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据（1）中的结论求出函数的最值，根据题意得到关于的不等式，然后根据函数的单调性求得实数的范围．详解：（1）∵，∴．①当，即时，，∴函数在上单调递增．②当，即时，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减．综上当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）得若，则单调递增，无最值．若，则当时，取得最小值，且．∵函数的最大值大于，∴，即，令，则在上单调递增，又，∴当时，故的取值范围为.点睛：（1）单调性是导数应用中最基本也是最重要的内容，利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点．学习中要熟练掌握函数单调性的判断方法，理解函数单调性与导数的关系，对于含参数问题，要注意对隐含条件的挖掘．（2）利用函数的单调性解不等式，要注意对参数的讨论，或分离变量转化为函数最值问题求解．。
福建师大二附中2017-2018学年第二学期高二期末考数 学（文） 试 卷（满分150分，完卷时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，共60分）１.设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}1,2,3,5A =， {}2,4,6B =，则右图中的阴影部分表示的集合为( )A. {}2B. {}4,6C. {}1,3,5D. {}4,6,7,82.“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不不充分也不必要条件3．已知1sin 3θ=， ,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()3sin sin 2ππθθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值为( ) A.19 B.19-C. 9D. 9- 4.已知角βα,均为锐角，且) A ．35.在△ABC 中，已知C A A C B sin sin 3sin sin sin 222=--，则角B 的大小为( )A ．150°B ．30°C ．120°D ．60° 6．函数1cos 2+=x y 的定义域是( )C.)(322,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(322,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 7.函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π,且其图象向右平移12π个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数,则函数f (x )的图象( )A.关于点）（0,6π对称 B.关于直线125π=x 对称 C.关于点），（0125π对称 D.关于直线12π=x 对称 8．若cos 2πsin4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭则cos sin αα+的值为( )A.B.12-D.129.在ABC ∆中,已知60A =,1b =,其面积为ABC S ∆=,则sin sinsin a b cA B C++=++( )A.10.若βα,均为锐角，135)cos(-=+βα，54)3cos(-=+πβ，则=+)6cos(πα( )A.6533B.6563C.6533-D.6563- 11.已知)2,21（P 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx A x f 图象的一个最高点，B,C 是与P 相邻的两个最低点，若,257cos =∠BPC 则)(x f 图象的对称中心可以是（ ） A.（0，0） B.（1，0） C.（2，0） D.（3，0）12．将函数x x f 2cos 2)(=的图象向右平移6π个单位得到)(x g 的图象，若)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30a ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,2πa 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡26ππ，C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡36ππ，D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡834ππ， 二、填空题（每小题5分，共20分）13.若,3tan =α则=+2)cos (sin αα14.若,"R x ∈∃使"012<++ax x 是假命题，则实数a 的取值范围为15.化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是16.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为c b a ,,，若，0cos 2,1=+=A c b bc 则当角B 取得最大值时，ABC ∆的周长为三、解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分） 17.（1）化简︒+︒︒︒130sin -1sin130cos1302sin130-12（2）化简ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-(α为第二象限角) 18．在ABC ∆中，角,,,C B A 的对边分别为,,,c b a 且B c a C b cos )2(cos -=． （1）求角B 的大小；（2）求C A sin sin +的取值范围.19.已知函数()22sin cos 3cos +1f x x x x x =+-，R x ∈,求：（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当∈x 2,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调区间.20.设命题:p 实数x 满足01222≤-+-m x x ，其中1212:,0≥+>x q m .（1）若2=m ，且p 或q 为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.l21.如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45︒，30︒和60︒．（1）求烟囱AB 的高度；（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．22.已知函数)2||,0,0()sin()(πϕωϕω<>>++=A B x A x f 的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求出函数)(x f 的一个解析式； （2）根据(1)的结果，若函数)0)((>=k kx f y 的周期为32π，当]3,0[π∈x 时，方程m kx f =)(恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围；1-12 BBDDAD CDCACA13、14、15、0 16、18解：（Ⅰ）在中，∵，由正弦定理，得．（3分）．（5分）∵, ∴，∴．（6分）∵，∴．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得且，（8分）（11分），．（12分）的取值范围是．（13分）19解：（1），最小正周期（2）增区间，减区间20.21. 解：（1）设AB的高度为，在△CAB中，因为，所以，………………………………1分在△OAB中，因为，，………………………………2分所以，，………………………………………………………4分由题意得，解得．………………………………………6分答：烟囱的高度为15米．……………………………………………………………7分（2）在△OBC中，，…………………10分所以在△OCE中，．…………………13分答：CE的长为10米．……………………………………………………14分22.解：(1)设的最小正周期为T，得．由得．又解得令，即，，又，解得．所以．(2)因为函数的周期为，又，所以．令，因为，所以．如图，在上有两个不同的解的条件是，所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，即实数的取值范围是．。
2017-2018学年福建师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）平面向量与的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝（）A．B．C．4D．122．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝4，则＝（）A．3B．C．D．43．（5分）在等比数列{a n}中，a3，a15是方程x2﹣6x+18＝0的根，则的值为（）A．2B．4C．±2D．±44．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．﹣B．C．±D．﹣5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S13＜0，S14＞0，则当S n取得最小值时，n 的值为（）A．5B．6C．7D．87．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝10，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（）A．无解B．一解C．两解D．无法确定8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝6，a n+1＝2S n﹣2，则S11＝（）A．5（310﹣1）B．5×310C．5×310+1D．312﹣39．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/hC．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若m（a n+1）≤2S n+16对任意n∈N*恒成立，则实数m的最大值为（）A．4B．C．6D．911．（5分）△ABC中，∠BAC＝135°，，AC＝1，D是BC边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．C．[0，2]D．[﹣3，2] 12．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）＝0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）＝3B．P（11）＝3C．P（2017）＞P（2016）D．P（2018）＜P（2021）二、填空题：每小题5分，共30分.13．（5分）在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为．14．（5分）在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝2，∠BAD＝60°，则AD＝．15．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S3＝6，则a3的值为．16．（5分）已知，，则＝．17．（5分）设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S21＝63，则+的最小值为．18．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1＝（n＝1，2，…），若a3＝3，则a1＝．三、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知3a n＝2S n+3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（2n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知＝．（1）求角C；（2）设c＝，求△ABC周长的最大值．21．（12分）如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3米，AD＝2米，现要将小矩形花坛扩建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．求矩形AMPN面积的最小值，并求出此时矩形AMPN两邻边的长度．22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上．（1）若∠ADC＝π，求AD的长；（2）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．23．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝1﹣，其中n∈N*．（1）设b n＝，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数k，使得T n＜k2﹣3k对于n∈N*恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年福建师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）平面向量与的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝（）A．B．C．4D．12【解答】解：由题意可得＝＝＝＝＝2故选：B．2．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝4，则＝（）A．3B．C．D．4【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，∴＝S3•（S9﹣S6），∵＝4，∴S6．∴＝（S9﹣S6），解得S9＝S6．即＝故选：B．3．（5分）在等比数列{a n}中，a3，a15是方程x2﹣6x+18＝0的根，则的值为（）A．2B．4C．±2D．±4【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3，a15是方程x2﹣6x+8＝0的根，∴a3a15＝8，解方程x2﹣6x+8＝0，得a3＝2，a15＝4，或a3＝4，a15＝2，∴a9＞0∴a1a17＝a3a15＝8，a92＝a3a15＝8，∴a9＝2∴＝2故选：A．4．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．﹣B．C．±D．﹣【解答】解：因为tanα＝2，所以cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝＝﹣，故选：A．5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：方法一，△ABC中，cos B＝，由余弦定理得，cos B＝，∴＝，∴c2﹣b2＝0，∴c＝b，△ABC是等腰三角形．方法二，△ABC中，cos B＝，由正弦定理得，＝＝cos B，∴∴sin A＝2sin C cos B，∴sin（B+C）＝2sin C cos B，∴sin B cos C+cos B sin C＝2sin C cos B，∴sin B cos C﹣cos B sin C＝0，∴sin（B﹣C）＝0，∴B＝C，△ABC是等腰三角形．故选：A．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S13＜0，S14＞0，则当S n取得最小值时，n 的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S13＜0，S14＞0，∴a8+a7＞0，a7＜0．即a8＞0，a7＜0，那么：前S7＜0，当S n取得最小值时，n的值为：7故选：C．7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝10，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是（）A．无解B．一解C．两解D．无法确定【解答】解：△ABC中，b＝10，c＝20，C＝60°，由正弦定理＝，∴sin B＝＝；又b＜c，∴B的值只有1个，则此三角形只有1解．故选：B．8．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝6，a n+1＝2S n﹣2，则S11＝（）A．5（310﹣1）B．5×310C．5×310+1D．312﹣3【解答】解：∵a n+1＝2S n﹣2，∴n≥2时，a n＝2S n﹣1﹣2，相减可得：a n+1﹣a n＝2a n，即a n+1＝3a n，n＝1时，a2＝2a1﹣2＝10．∴数列{a n}从第二项开始为等比数列，公比为3．∴S11＝6+＝5×310+1．故选：C．9．（5分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）n mile/h B．20（﹣）n mile/hC．20（+）n mile/h D．20（﹣）n mile/h【解答】解：由题意知SM＝20，∠NMS＝45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°∴SNM＝105°∴∠MSN＝30°，△MNS中利用正弦定理可得，＝．MN＝＝10（）nmile，∴货轮航行的速度v＝＝20（）nmile/h．故选：B．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，a1＝1，且a1，a3，a13成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若m（a n+1）≤2S n+16对任意n∈N*恒成立，则实数m的最大值为（）A．4B．C．6D．9【解答】解：等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，可得a32＝a1a13，即为（1+2d）2＝1+12d，解得d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，则＝＝n+≥2＝4，由于n＝，即n＝2不为自然数，又n＝2时，2+4＝6；n＝3时，3+＝＜6，则的最小值为，m（a n+1）≤2S n+16对任意n∈N*恒成立，可得m≤的最小值，即m≤故选：B．11．（5分）△ABC中，∠BAC＝135°，，AC＝1，D是BC边上的一点（包括端点），则的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．C．[0，2]D．[﹣3，2]【解答】解：∵D是BC上的一点，（包括端点），∴设＝，（0≤λ≤1），∵∠BAC＝135°，，AC＝1，D是BC边上的一点（包括端点），∴＝＝﹣1，∴＝[]•（）＝（2λ﹣1）﹣+（1﹣λ）＝（2λ﹣1）﹣+（1﹣λ）＝﹣（2λ﹣1）﹣2λ+（1﹣λ）＝﹣5λ+2，∵0≤λ≤1，∴﹣5λ+2∈[﹣3，2]，∴的取值范围是[﹣3，2]．故选：D．12．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）＝0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）＝3B．P（11）＝3C．P（2017）＞P（2016）D．P（2018）＜P（2021）【解答】解：根据题中的规律可得：P（0）＝0，P（1）＝1，P（2）＝2，P（3）＝3，P（4）＝2，P（5）＝1，P（6）＝2，P（7）＝3，P（8）＝4，P（9）＝3，P（10）＝2，P（11）＝3，P（12）＝4，P（13）＝5，P（14）＝4，P（15）＝3，…以此类推得：P（5k）＝k，P（5k+1）＝k+1，P（5k+2）＝k+2，P（5k+3）＝k+3，P（5k+4）＝k+2，（k为正整数），故P（3）＝3，P（11）＝1，故A和B都正确，∴P（2017）＝405，且P（2016）＝404，∴P（2017）＞P（2016），故C正确；P（2018）＝406，P（2021）＝406，∴P（2018）＝P（2021），故D错误．故选：D．二、填空题：每小题5分，共30分.13．（5分）在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为2n．【解答】解：在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+2n（n∈N*），a1＝2，a2＝a1+21a3＝a2+22a4＝a3+23…a n＝a n﹣1+2n﹣1累加可得：a n＝2+2+22+23+…+2n﹣1＝+2＝2n．则数列{a n}的通项公式为：2n．故答案为：2n．14．（5分）在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝2，∠BAD＝60°，则AD＝2．【解答】解：如图所示，设AD＝x，∠BDA＝α．在△ABD中，由余弦定理可得：＝22+x2﹣4x cos60°，化为：a2＝16+4x2﹣8x．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：22＝+x2﹣2×x cosα，＝a2+x2﹣2×x cos（π﹣α），相加可得：16＝2x2+a2，化为：a2＝32﹣4x2．∴16+4x2﹣8x＝32﹣4x2．化为：x2﹣x﹣2＝0，x＞0，解得x＝2．故答案为：2．15．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S3＝6，则a3的值为2或8．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S3＝6，∴＝6，解得q＝1或q＝﹣2，当q＝1时，a3＝2，当q＝﹣2时，a3＝2×（﹣2）2＝8．∴a3的值为2或8．故答案为：2或8．16．（5分）已知，，则＝．【解答】解：已知，，，，∴，，∴＝＝＝故答案为：﹣17．（5分）设正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S21＝63，则+的最小值为．【解答】解：∵正项等差数列{a n}中，S21＝21a11＝63，∴a11＝3，∴a5+a17＝6，∴+＝（+）（a5+a17）＝（1+4++）≥（1+4+2）＝，故答案为：．18．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1＝（n＝1，2，…），若a3＝3，则a1＝．【解答】解：由a n+1＝，①若a3≥a1，则a3＝3＝2a2，，又a2＜a1与a2＝a1+2相矛盾，∴a2≥a1，，得；②若a3＜a1，则a3＝a2+2，∴a2＝1，由a2＝1＝2a1，a1＝，与a3＜a1不符．∴．故答案为：．三、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知3a n＝2S n+3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（2n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵3a n＝2S n+3，∴n＝1时，3a1＝2S1+3，解得a1＝3．n≥2时，3a n﹣1＝2S n﹣1+3，可得：3a n﹣3a n﹣1＝2a n，即a n＝3a n﹣1．∴数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列∴a n＝3n．（2）b n＝（2n+3）a n＝（2n+3）•3n．T n＝5×3+7×32+9×33+……+（2n+3）•3n，3T n＝5×32+7×33+……+（2n+1）•3n+（2n+3）•3n+1，∴﹣2T n＝5×3+2（32+33+……+3n）﹣（2n+3）•3n+1＝9+2×﹣（2n+3）•3n+1，整理为：T n＝（n+1）•3n+1﹣3．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知＝．（1）求角C；（2）设c＝，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）依题意得已知＝．即a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴，∵0＜C＜π∴．（2）由于c2＝a2+b2﹣2ab cos C，＝a2+b2+ab，，所以，即：a+b≤2，当a＝b＝1时，等号成立．所以△ABC的周长的最大值为2+．21．（12分）如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3米，AD＝2米，现要将小矩形花坛扩建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C．求矩形AMPN面积的最小值，并求出此时矩形AMPN两邻边的长度．【解答】解：设AM＝x，AN＝y，（x＞3，y＞2），矩形AMPN的面积为S，则S＝xy，∵△NDC～△NAM，∴＝，即x＝．∴S＝，（y＞2），当y＞2时，S＝＝3（y﹣2++2）≥3（4+4）＝24当且仅当y﹣2＝即y＝4时，等号成立，解得x＝6．∴当AM＝6，AN＝4时，S min＝24．22．（12分）如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上．（1）若∠ADC＝π，求AD的长；（2）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，∴sin B＝．∵∠ADC＝π，∴∠ADB＝．△ABD中，由正弦定理可得，∴AD＝；（2）设DC＝a，则BD＝2a，∵BD＝2DC，△ACD的面积为，∴4＝，∴a＝2∴AC＝＝4，由正弦定理可得，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．＝，∴sin∠CAD＝sin∠ADC，∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴＝4．23．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝1﹣，其中n∈N*．（1）设b n＝，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设c n＝，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数k，使得T n＜k2﹣3k对于n∈N*恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝1﹣，所以：b n+1﹣b n＝，＝﹣，＝．由于，所以：数列{b n}是以2为首项，2为公差的等差数列．则：b n＝2+2（n﹣1）＝2n．所以，解得：（2）存在正整数k＝4，满足题意．理由如下：由（1）得．∴．∴+…+（）+（）]．＝＜3∴k2﹣3k≥3，解得，∵k＞0，∴．∵，且k为正整数．∴k≥4，∴存在正整数k，使得对于n∈N+恒成立，k的最小值为4．。
2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学（文）试题(满分：150分；完卷时间：120分钟)友情提示:所有答案都必须填写在答题卡上,答在本试卷上无效一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填涂在答题卡上） 1．已知集合{}||A y y x ==，{}lg(1)B x y x ==+，则AB =（ ）A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. [1,)-+∞D. (1,)-+∞ 2．设复数z 满足(1)1i z i -=+（i 为虚数单位），则2017z=（ ）A.1B. iC.1-D.i - 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．设1a >，则0.3log a 、0.3a 、0.3a 的大小关系是（ ）A. 0.30.3log 0.3a a a <<B. 0.30.3log 0.3a a a <<C. 0.30.30.3log a a a <<D. 0.30.30.3log a a a << 5．若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．34-B ．6-C ．9-D ．12- 6．下列结论中，正确的是（ ）①命题“若22ac bc <，则a b <”的逆命题是真命题②命题“若0x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题是真命题 ③设x R ∈，则“1x <”是“21x <”的充分不必要条件 ④“p ⌝”为假是“p q ∧”为真的必要不充分条件A. ①③B. ②④C. ①②④D. ②③④ 7．如下表定义函数()f x ，()g x ：则满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是（ ）A. 0或1B. 0或2C.1或6D. 2或6 8．为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可将函数cos2y x =的图象（ ）A. 向左平移4π B. 向左平移8π C. 向右平移4π D. 向右平移8π9. 一个三角形的三边长分别2、1 ） A.2πB. 23πC. 34πD. 56π10．已知sin(3)2cos(4)ααππ--=，则()()()sin 5cos 232sin sin 2παπαπαα-+-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．74 B ．74- C ．34 D ．34- 11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，3()2x f x x a =++，则[(1)]f f-=（ ）A ．81-B ．35-C ．11-D ．11 12．若1201x x <<<，则（ ） A. 2121ln ln xxe e x x ->-B. 2121ln ln x xe e x x -<-C. 1221xxx e x e >D. 1221xxx e x e <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡上） 13.已知函数()f x =()f x 在(1,1)处的切线方程为 ．14.已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为 ．15.“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的 条件.（充分非必要；必要非充分；充要；既不充分也不必要）16．设偶函数()f x 对任意x ∈R 都有1(5)()f x f x +=-，且当[2,0]x ∈-时，()f x x =，则(2016)f =________________.三、解答题（共6题，共70分，要求写出解答过程或者推理步骤，请把答案写在答题卡上） 17．(本题满分12分)已知集合{}2|280A x x x =--≤，{}[(1)][(1)]0,B x x m x m m R =---+≥∈.（Ⅰ）若[1,4]A B =，求m 的值； （Ⅱ）若A B R ≠，求m 的取值范围.18．(本题满分10分)已知命题:p 函数21y x mx =++在(1,)-+∞上单调递增；命题:q 函数244(2)1y x m x =+-+大于零恒成立. 若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 20cos A B a bC c--+=.（Ⅰ）求sin sin BA；（Ⅱ）若c =7cos 8C =，求ABC ∆的面积.20．(本题满分12分)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E F 、在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设()AE FB x cm ==. （Ⅰ）若广告商要求包装盒侧面积2()S cm 最大，试问x 应取何值？（Ⅱ）若广告商要求包装盒容积3()V cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.21．(本题满分12分)已知函数22()sin sin ()6f x x x π=--，x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-的最大值和最小值.22．(本题满分12分)π为圆周率， 2.718e =为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数(写清具体过程)；（Ⅲ）试比较e π与3π的大小(写清具体过程).2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学（文）试题参考答案(满分：150分；完卷时间：120分钟)友情提示:所有答案都必须填写在答题卡上,答在本试卷上无效一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二.填空题(本大题共4小题,每小题5分, 共20分)13．210x y -+= 14．3 15. 必要非充分 16．1三. 解答题：（本大题共6小题,共70分）17.(本小题满分12分)【参考答案】 （Ⅰ）{}{}2|280|24A x x x x x =--≤=-≤≤，由[1,4A B =可得1x =为方程[(1)][(x m x m ---+=的根，则[1(1)][1(1)]0m m ---+=，解之得02m m ==或.(3分)当0m =，得{}{}2|10|11B x x x x x =-≥=≤-≥或，此时[1,4]AB =.当2m =，得{}|13B x x x =≤≥或，此时[1,4]A B ≠.综上可得0m =.(7分)（Ⅱ）由22(1)(1)0x mx m m -+-+=得11x m x m =-=+或，则{}|11B x x m x m =≤-≥+或，由AB R ≠得1214m m -<-+>或，解得1m <-或3m >.从而m 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞.(12分)18．(本小题满分10分)【参考答案】:由题意，若p 为真命题，则12m-≤-，得2m ≥.若q 为真命题，则216(2)160m ∆=--<，解得13m <<.(4分)又“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假. (5分) 当p 为真q 为假时，得213m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得3m ≥. 当p 为假q 为真时，得213m m <⎧⎨<<⎩，解得12m <<.(9分)综上，可得m 的取值范围为(1,2)[3,)+∞.(10分)19.(本小题满分12分)【参考答案】（Ⅰ）由正弦定理可得2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =，其中2R 为ABC ∆外接圆的直径，则22sin 22sin sin 2sin 2sin sin a b R A R B A Bc R C C--⨯-==，那么 cos 2cos sin 2sin 0cos sin A B A BC C--+=，去分母，整理，可得sin cos cos sin C A C A +=2(sin cos cos sin )C B C B +，即sin()2sin()C A C B +=+,从而sin 2sin B A =,sin 2sin BA=. (6分) （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin 2sin B A =，结合正弦定理可得sin 2sin b Ba A==.在ABC ∆中，由余弦定理可得222222467cos 248a b c a a C ab a +-+-===，由此可解得2a =，则24b a ==，又7c o s 8C =，则sin 8C ==，从而11sin 24228ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. (12分)20．(本小题满分12分)【参考答案】(Ⅰ)，高为)x cm -，所以包装盒侧面积230)8(30)8()2x x S x x x +-=⨯-=-≤⨯8225=⨯， 当且仅当30x x =-，即15x =时，等号成立.所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则15x =. (6分) (Ⅱ)包装盒容积2322)(030)V x x x =-=-+<<，2(20)V x '=-+=--，当0V '>得020x <<，当0V '<得2030x <<，所以当20x =时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的边长为，高为，包装盒的高与底面边长的比为12.(12分)21．(本小题满分12分)【参考答案】(Ⅰ) 由已知有1cos(2)1cos211cos23()(cos22)22222x x x f x x x π---=-=+-112cos2sin(2)4426x x x π=-=-，(4分) 所以()f x 的最小正周期为22ππ=.(6分)(Ⅱ) 因为()f x 在区间[,]36ππ--上是减函数，在区间[,]64ππ-上是增函数，1()34f π-=-，1()62f π-=-，()44f π=，所以()f x 在区间[,]34ππ-上的的最大值为4，最小值为12-.(12分)22．(本小题满分12分)【参考答案】：(Ⅰ)ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，又21ln ()xf x x-'=， 当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增， 当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减，故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞.(4分)(Ⅱ)注意到3e π<<，由(1)得ln ln 3ln 3eeππ<<，由ln ln 33ππ<可得33ππ<，由ln 3ln 3e e <可得33e e <， 由ln ln e eππ<可得e e ππ<， 则6个数中的最大数在3π，3e ，e π三数中，最小数在3π，3e ，eπ三数中.由于33e e ππ<<，则6个数中的最大数为3π。
福建师大附中2017-2018学年下学期期中考试卷高二文科数学·选修1-2一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数；A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①【答案】C【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①．故选C．点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．2.用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设（）A. 没有一个内角是钝角B. 有两个内角是钝角C. 有三个内角是钝角D. 至少有两个内角是钝角【答案】D【解析】分析：根据反证法证题的步骤，作出与求证结论相反的假设即可．详解：由题意知，三角形中内角的钝角数可分为一个、两个和三个三种情况，所以“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”的反面是“至少有两个是钝角”．故选D．点睛：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．3.若实数，则与的大小关系是A. B. C. D. 不确定【解析】试题分析：由题可设；。
即需证；成立，则成立。
考点：分析法证明不等式.4.若复数则“”是“是纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先由复数为纯虚数求出实数的值，然后根据充分必要条件的定义进行判断可得结论．详解：若复数为纯虚数，则，解得．∴“”是“是纯虚数”的充要条件．故选C．点睛：判断p是q的什么条件，可根据定义从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．5.某工厂为了确定工效，进行了5次试验，收集数据如下：（加工时间经检验，这组样本数据的两个变量与具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是（）A. 负相关，其回归直线经过点B. 正相关，其回归直线经过点C. 负相关，其回归直线经过点D. 正相关，其回归直线经过点【答案】D分析：由表中数据可得随的增大而增大，故与成正相关关系．求得加工零件个数和加工时间的平均数得到的样本中心，即可得回归直线经过的点．详解：由表中数据可得随的增大而增大，故与成正相关关系．又，∴样本中心为．又回归直线过样本中心，∴其回归直线经过点．故选D．点睛：回归直线过样本点中心是一条重要性质，根据这一性质可求线性回归方程中的未知参数，也可根据回归方程求原数据中的未知参数．6.观察下列算式：，，，，，，，，…用你所发现的规律可得的末位数字是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据给出的数据归纳出规律：2的次方的末位数字分别为2,4,8,6这4个数字循环，然后分析与一个周期中的第几项的末尾数相同即可．详解：由题意得，2的次方的末位数字分别为2,4,8,6这4个数字循环，即以4为周期．又，∴的末位数字与的末位数字相同，∴的末位数字是4．故选B．点睛：本题考查归纳推理，对归纳推理的考查包括数的归纳和形的归纳两种类型，其中数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，从中发现规律得到一般性的结论．7.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（）A. 2B. 3C.D.【答案】A【解析】试题分析：由图可知，，，则，∴，故选．考点：复数的运算.8.给出下面四个类比的结论：①实数a,b,若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，若，则或；②实数a,b,有；类比向量，有；③向量，有；类比复数z，④实数a,b,若，则a=b=0；类比复数有，则；其中类比结论正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：①错误，因为若向量互相垂直，则；③错误，因为是复数的模是一个实数，而是个复数，比如若，则，;④错误，若假设复数，，则，但是，．②正确．故选B．考点:1．类比推理；2．复数运算；3．向量运算．9.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位A. k＞4?B. k＞5?C. k＞6?D. k＞7?【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.考点：程序框图.10.下列不等式对任意的恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据函数的相关知识对每个选项分别验证可得结论．详解：对选项A，当时，，所以不成立，故A不正确．对选项B，当时，，所以不成立，故B不正确．对于C，令，则，则当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故，即．故C正确．对于D，当时，，所以不成立，故D不正确．综上可得选C．点睛：本题考查函数恒成立问题，解题时转化为求函数最值的问题处理，注意导数在解题中的应用．另外在解答选择题的过程中，还应注意举反例在解题中的应用．11.如图，可导函数在点P（，）处的切线为：，设，则下列说法正确的是（）A. ，是的极大值点B. ，是的极小值点C. ，不是的极值点D. ，是的极值点【答案】B【解析】分析：由导数的几何意义得在点处的切线方程为，从而可得函数的解析式，求其导数后可得且是的极小值点．详解：由题意可得函数在点处的切线方程为，∴，∴，∴．又当时，，故单调递减，当时，，故单调递增．∴是是的极小值点．故选B．点睛：本题考查函数图象的应用及函数极值的判定，解题的关键是求得函数的解析式，对其求导后再结合图象得到导函数的符号，并结合极大（小）值的定义进行判断．12.已知，为的导函数，则的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，设，令，当时,,时,，,h(x)有极小值：,所以，在x>0时，有两个根，排除C.所以图象A正确，本题选择A选项.13.设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由不等式分离参数可得恰有两个整数解，然后结合函数的图象求解可得实数的取值范围．详解：由，得恰有两个整数解．令，则，由于在上单调递增，且，∴当时，单调递增，当时，单调递减．画出函数的图象如下图所示．结合图象可得，当恰有两个整数解时，需满足，即，∴实数的取值范围是．故选C．点睛：（1）已知函数的零点个数（方程解的个数或不等式解的情况）求参数的取值范围时，一般可借助函数图象的直观性求解，解题时先分离参数得到具体的函数，然后再画出函数的图象，最后结合题意求解．（2）求参数的范围时，要注意不等式端点处的等号能否取得．二、填空题（每小题5分，共25分）14.已知复数满足，则＝_______．【答案】【解析】分析：根据复数除法的法则求解可得复数．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，属容易题．15.若根据10名儿童的年龄x（岁）和体重y（㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是y = 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是__________㎏．【答案】15【解析】分析：根据所给的10名儿童的年龄做出平均年龄，即得样本中心点的横坐标，把横坐标代入线性回归方程求出纵坐标，即为要求的平均体重．详解：∵10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，∴这10名儿童的平均年龄是又由题意得用年龄预报体重的回归方程是，∴当时，，即这10名儿童的平均体重是．点睛：本题考查线性回归方程过样本中心这一结论和利用回归方程进行预测，属于容易题，主要考查学生的计算能力和运用知识解决问题的能力．16.已知曲线在点处的切线与曲线相切, 则的值为．【答案】【解析】试题分析：的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．由于切线与曲线相切，故可联立，得，又，两线相切有一切点，所以有，解得．故答案为：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.【方法点晴】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键，难度中档.求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据得到的值．17.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A，B，C做了一项预测：A说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.B说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.C说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后，发现A，B，C三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________.【答案】甲【解析】分析：利用反证法对甲、乙、丙三人的说法分别分析，即可得到结论．详解：假设A的判断都正确，则冠军为乙，那么B的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．假设B的判断都正确，则冠军为丙，那么甲的判断也都正确，与题意矛盾，故假设不成立．假设C的判断都正确，则冠军为甲，那么A的判断一对一错，B的判断都错，满足题意，假设成立．所以冠军是甲．点睛：本题是有关推理的问题，主要考查学生推理论证的能力和分析能力，解题的关键是采用反证法的思想，对每个人的说法分别分析、排除，从而得到结果．18.已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先求出函数在其定义域上单调递增合单调递减时的取值范围，求出其补集即为所求的范围．详解：∵，∴．①若函数在上单调递增，则在上恒成立，∴在上恒成立，由于在上无最大值，∴函数在上不单调递增．②若函数在上单调递减，则在上恒成立，∴在上恒成立，又，当且仅当，即时等号成立，∴．综上可得当函数在其定义域上不单调时，实数的取值范围是．点睛：（1）函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立，且在该区间的任意子区间内都不恒等于0，然后通过分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．（2）由于本题中给出的是函数不单调，故可先求出函数单调时参数的取值范围，然后在取其补集即可．三、解答题（要求写出过程，共60分）19.已知平行四边形的三个顶点对应的复数为（1）求点B所对应的复数；（2）若，求复数所对应的点的轨迹.【答案】（1）；（2）复数z对应点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆【解析】分析：（1）根据复数加法的几何意义，求得的坐标即可得到点B对应的复数．（2）根据复数模的意义可得复数z所对应的点的轨迹为圆，并可求得其方程．详解：（1）由已知得，∴，∴点对应的复数．（2）设复数所对应的点，∵，∴点到点的距离为1，∴复数所对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，且其方程为.点睛：本题考查复数的几何意义及其应用，解题的关键是正确理解和掌握“复数、复平面内的点、向量”之间的一一对应的关系，学会从形的角度认识复数．20.为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间（单位：分钟）绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图：（1）根据已知条件完成2x2列联表;（2）并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式【答案】（1）20；（2）见解析【解析】分析：（1）根据频率分布表和等高条形图可得列联表．（2）根据列联表中的数据求得，然后与临界值表中的数据对照可得结论．详解：（1）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是11+7+2=20人，根据等高条形图得列联表如下：（2）由列联表可得，故没有的把握认为“阅读达人”跟性别有关．点睛：（1）独立性检验的步骤：①构造2×2列联表；②计算K2；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．（2）用独立性检验解题应注意的问题：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．21.（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3）（0，5）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值. （1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元∴蓄水池的总建造成本为元所以即∴∴又由可得故函数的定义域为6分（2）由（1）中，可得（）令，则∴当时，，函数为增函数当，函数为减函数所以当时该蓄水池的体积最大12分.考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.22.设函数（1）若，求的极值；（2）证明：当且时，.【答案】（1）有极大值，有极小值；（2）见解析【解析】分析：（1）当时，，求导后根据导函数的符号判断出函数的单调性，然后根据单调性求得函数的极值．（2）由题意得，令，然后根据导数证明即可得原不等式成立．详解：（1）时，，∴．当时单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时,有极大值，且极大值为；当时,有极小值，且极小值为．（2）已知．令，则．∵，∴当时，，单调递增，∴，∴当时，．点睛：（1）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程，再判断的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析．若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值的问题处理．23.设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当函数由最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】(1)详见解析（2）【解析】试题分析：对函数求导，借助导数工具研究函数的单调性，求导后中含有参数，所以对进行分类讨论，分情况说清楚函数的单调性；根据第一步对函数的单调性的研究可以发现函数的最大值为，根据题意需要满足，即，设，找出在恒成立的条件的范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，①当，即时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得，i）当时，，函数单调递增，ii）当时，，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当函数有最大值且最大值大于，，即，令，且在上单调递增，在上恒成立，故的取值范围为.。
福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷（实验班）高二理科数学·选修2-1一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求）1.向量),1,2(y x --=，),1,,1(--=x 若∥，则y x +=（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．22．若双曲线22221x y a b-=)0,0(>>b a ）A. 2y x =±B. y =C. 12y x =± D. y x = 3．下列命题中是真命题的是（ ）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题; ④“29x =，则3x =”的否命题. A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①④ 4.若1>k ，则关于y x ,的方程1)-1222-=+k y x k （表示的曲线是( )A.焦点在x 轴上的椭圆B.焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线5.与圆1)3(:221=++y x C 外切，且与圆93-x :C 222=+y ）（外切的动圆圆心P 的 轨迹方程是（ ）A. )01822<=-x y x （ B . 1822=-y x C. )015422<=-x y x （ D. 15422=-y x 学6．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若=，=，=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．7.设12,F F 是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A.4B.6C.22D.248．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A.,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知P 为抛物线y x 22=的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(， 则|PA|+|PM|的最小值是（ ）A.221 B.10 C.219D.8 10．给出以下命题：①若cos ＜，＞=﹣，则异面直线MN 与PQ 所成角的余弦值为﹣；②若平面α与β的法向量分别是与，则平面α⊥β；③已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足，则点M ∈平面ABC ；④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；则其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F(-c,0)作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，若是若E 是线段FP 中点，则双曲线的离心率为（ ）A.215+ B. 5+1 C.25D. 512．如图,正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分13．在等腰梯形ABCD 中， //AB CD ，且2,1,2A B A D C D x ===，其中()0,1x ∈，以,A B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈，不等式12t e e <+恒成立，则t 的最大值是（ ）A. B. C. 2 D.二、填空题（每小题5分，共25分）14.直线l 与双曲线x 2﹣4y 2=4相交于A 、B 两点，若点P （4，1）为线段AB 的中点，则直线l 的方程是 ． 15. 已知1:12p x ≤≤， ()():10q x a x a --->，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，则a 的取值范围为__________．16.某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16m ，当水面上涨2m 时，水面宽变为12m ，此时桥洞顶部距水面高度为_________米.17.在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，∠BAC=2π，AB=AC=AA 1=1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为____________.18．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>，长轴AB 上的100等分点从左到右依次为点1M ，2M ，⋅⋅⋅，99M ，过i M （1i =，2，⋅⋅⋅，99）点作斜率为k （0k ≠）的直线i l （1i =，2，⋅⋅⋅，99），依次交椭圆上半部分于点1P ，3P ，5P ，⋅⋅⋅，197P ，交椭圆下半部分于点2P ，4P ，6P ，⋅⋅⋅，198P ，则198条直线1AP ，2AP ，⋅⋅⋅，198AP 的斜率乘积为 ．三、解答题（要求写出过程，共60分） 19. (本小题满分8分)已知命题p :方程11222=-+m y x 表示焦点在y 轴的椭圆，命题q :关于x 的方程0422=+-m x x 没有实数根。
2017-2018学年福建师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，62），P（ξ≤5）=0.89，则P（ξ≤3）=（）A．0.89 B．0.78 C．0.22 D．0.112．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．4003．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，则a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率（）A．B．C．D．5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．6．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为（）A．1或3 B．﹣3 C．1 D．1或﹣37．在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．288．设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．129．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．3610．某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩12．已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）二、填空题：本大题有6小题，每个空格5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=．14．（1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数为．15．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+．已知=225，=1600，=4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高．16．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，则X数学期望为．17．已知数列{a n}为等差数列，则有a1﹣2a2+a3=0，a1﹣3a2+3a3﹣a4=0，a1﹣4a2+6a3﹣4a4+a5=0写出第四行的结论．18．下列说法中，正确的有．（写出正确的所有序号）①用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2=22；②用数学归纳法证明++…+＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1 时，左边增加的项为+，没有减少的项；③演绎推理的结论一定正确；④（+）18的二项展开式中，共有4个有理项；⑤从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是．三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：K2=．20．设数列{a n}的前n项和为S n，并且满足2S n=a n2+n，a n＞0（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？22．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．23．已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）（Ⅰ）求证：0＜a＜e2（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．2016-2017学年福建师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知随机变量ξ服从正态分布N（4，62），P（ξ≤5）=0.89，则P（ξ≤3）=（）A．0.89 B．0.78 C．0.22 D．0.11【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（4，62），可得这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=4，利用正态曲线的对称性，即可得到结果．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，62），∴这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=4∴P（ξ≤3）=P（ξ≥5），∵P（ξ≤5）=0.89∴P（ξ≥5）=1﹣0.89=0.11，∴P（ξ≤3）=0.11故选D．2．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A．100 B．200 C．300 D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选B．3．已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，则a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】推导出，f（1）=a，由f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=1，利用导数的几何意义列出方程组，求出a，b，由此能求出a+b的值．【解答】解：∵函数f（x）=ax2﹣blnx，∴，f（1）=a，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=1，∴，解得a=1，b=2，∴a+b=3．故选：C．4．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率（）A．B．C．D．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设此射手每次射击命中的概率为p，利用对立事件概率计算公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出此射手每次射击命中【解答】解：设此射手每次射击命中的概率为p，∵一射手对同一目标独立地射击四次，至少命中一次的概率为，∴，解得p=．∴此射手每次射击命中的概率为．故选：C．5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选A．6．若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为（）A．1或3 B．﹣3 C．1 D．1或﹣3【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据题意，令x=0，代入（1+mx）6中，可得a0的值；再将x=1代入，可得（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6，结合题意中，a1+a2+…+a6=63，可得（1+m）6=64，解可得答案．【解答】解：根据题意，令x=0，代入（1+mx）6中，可得：（1）6=a0，即a0=1；将x=1代入（1+mx）6中，可得：（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6，又由a1+a2+…+a6=63，则（1+m）6=a0+a1+a2+…+a6=64，解可得，m=1或﹣3；故选D．7．在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：依题意， +1=5，∴n=8．二项式为（）8，其展开式的通项令解得k=6故常数项为C86（）2（﹣）6=7．故选B8．设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D9．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12 B．24 C．30 D．36【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】先涂前三个圆，再涂后三个圆．若涂前三个圆用3种颜色，求出不同的涂法种数．若涂前三个圆用2种颜色，再求出涂法种数，把这两类涂法的种数相加，即得所求．【解答】解：先涂前三个圆，再涂后三个圆．因为种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类，第一类，前三个圆用3种颜色，三个圆也用3种颜色，若涂前三个圆用3种颜色，有A33=6种方法；则涂后三个圆也用3种颜色，有C21C21=4种方法，此时，故不同的涂法有6×4=24种．第二类，前三个圆用2种颜色，后三个圆也用2种颜色，若涂前三个圆用2种颜色，则涂后三个圆也用2种颜色，共有C31C21=6种方法．综上可得，所有的涂法共有24+6=30 种．故选：C．10．某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作（其中元件1，2，3正常工作的概率都为），设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由已知得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，P（C）=P（AB）=P（A）P（B），由此能求出该部件的使用寿命超过1000小时的概率．【解答】解：∵三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N，∴三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p=，设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过1000小时}，则P（A）=1﹣（1﹣）2=，P（B）=，故该部件的使用寿命超过1000小时的概率P（C）=P（AB）=P（A）P（B）==．故选：D．11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D．12．已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．二、填空题：本大题有6小题，每个空格5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX= 1.96．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．14．（1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数为﹣196．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：（1+x）2（x﹣）7=（1+2x+x2），=x7﹣r=（﹣2）r x7﹣2r，（x﹣）7的展开式中的通项公式：T r+1分别令7﹣2r=3，2，1，可得r=2，无解，3．∴T3=4x3=84x3，T4=﹣8x=﹣280x，∴（1+x）2（x﹣）7的展开式中，含x3的项的系数=﹣280×1+84=﹣196．故答案为：﹣196．15．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+．已知=225，=1600，=4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高166．【考点】BK：线性回归方程．【分析】首先求出样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点求得回归方程，最后利用回归方程的预测作用求解该班某学生的脚长为24的身高即可．【解答】解：由题意可得：，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线方程样本中心点，则，∴回归直线方程为，当x=24时，，则估计其身高为166，故答案为：166．16．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，则X数学期望为 1.8．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】求出产品指标落在各区间的产品个数，得出一件产品的质量指标落在区间[45，75）内的概率，利用二项分布的数学期望公式计算．【解答】解：质量指标落在[55，85]的产品件数为100×[1﹣（0.004+0.012+0.019+0.030）×10]=35，∴质量指标落在[55，65），[65，75），[75，85]内的产品件数分别为20，10，5，又质量指标落在[45，55]的产品件数为100×0.030×10=30，∴质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为30+20+10=60，∴从该企业生产的这种产品中随机抽取1件，这件产品质量指标值位于区间[45，75）内的概率为=0.6．∴X～B（3，0.6），∴X的数学期望为3×0.6=1.8．故答案为：1.8．17．已知数列{a n}为等差数列，则有a1﹣2a2+a3=0，a1﹣3a2+3a3﹣a4=0，a1﹣4a2+6a3﹣4a4+a5=0写出第四行的结论a1﹣5a2+10a3﹣10a4+5a5﹣a6=0．【考点】DB：二项式系数的性质；8F：等差数列的性质．【分析】观察已知的三个等式，找出规律，写出第四个等式即可．【解答】解：数列{a n}为等差数列，则有a1﹣2a2+a3=0，a1﹣3a2+3a3﹣a4=0，a1﹣4a2+6a3﹣4a4+a5=0，三个式子的项数分别是3，4，5，所以第四个式子有6项．并且奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式．所以第四行的结论：a1﹣5a2+10a3﹣10a4+5a5﹣a6=0．故答案为：a1﹣5a2+10a3﹣10a4+5a5﹣a6=0．18．下列说法中，正确的有④⑤．（写出正确的所有序号）①用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2=22；②用数学归纳法证明++…+＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1 时，左边增加的项为+，没有减少的项；③演绎推理的结论一定正确；④（+）18的二项展开式中，共有4个有理项；⑤从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于①，用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22+23，故错．对于②，用数学归纳法证明++…+＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1 时，左边增加的项为+，减少的项为，故错；对于③，演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的，故错；对于④，（+）18的二项展开式的通项公式为，当r=0，6，12，18时，为有理项，共有4个有理项，故正确；对于⑤，从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有5×4=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=，故正确．故答案为：④⑤三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：K2=．【考点】BL：独立性检验；B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征．【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．【解答】解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（2）2×2列联表：则K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35（kg），新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．20．设数列{a n}的前n项和为S n，并且满足2S n=a n2+n，a n＞0（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a1，a2，a3；（2）猜想：a n=n，由2S n=a n2+n可知，当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣12+（n﹣1），所以a n2=2a n+a n﹣12﹣1，再用数学归纳法进行证明．【解答】解：（1）分别令n=1，2，3，得∵a n＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．（2）由（1）的结论：猜想a n=n（ⅰ）当n=1时，a1=1成立；（ⅱ）假设当n=k（k≥2）时，a k=k．那么当n=k+1时，[a k+1﹣（k+1）][a k+1+（k﹣1）]=0，∵a k+1＞0，k≥2，∴a k+1+（k﹣1）＞0，∴a k+1=k+1．这就是说，当n=k+1时也成立，∴a n=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．综合（1）（2）可知对于n∈N*，a n=n都成立．21．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY（EY）max=640﹣0.4×300=520；≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）==0.4，∴X的分布列为：（2）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，当200＜n≤300时，若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×+p（x≥300）×2n=0.2+0.8=1.2n+160，∴EY≤1.2×300+160=520，当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，若x=500，则Y=2n，∴EY=0.2×+0.4+0.4×2n=640﹣0.4n，当n≥500时，Y=，EY=0.2+0.4+0.4=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．综上，当n=300时，EY最大值为520元．22．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2523．已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）（Ⅰ）求证：0＜a＜e2（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，①a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不可能有2个零点；②a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）在区间（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2，由题意得：有f（a）＜0，则0＜a＜e2；（Ⅱ）要证x1+x2＞2a，只要证x2＞2a﹣x1，易知x2＞a，2a﹣x1＞a，而f（x）在区间（a，+∞）递增，∴只要证明f（x2）＞f（2a﹣x1），即证f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），则g（a）=0，且区间（0，a）上，g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）=＜0，即g（x）在（0，a）递减，∴g（x1）＞g（a）=0，而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立，∴x1+x2＞2a．。
2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．2．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．下列中为真的是（）A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否C．“x＞1，则x2＞1”的否D．“若x=y，则sinx=siny”的逆否5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=6．已知p：∀x∈[1，2]，x2≥a；q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若p∧q是真，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤17．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．88．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．9．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（）A．x﹣x2≥0 B．e x≥ex C．lnx＞x D．sinx＞﹣x+1 11．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A．2 B．C．D．412．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．14．函数y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程为．15．已知A（﹣1，0），B是圆C：（x﹣1）2+y2=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为．16．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）=3t﹣t2．（Ⅰ）求t=0秒到t=2秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在t=2秒的瞬时速度．18．已知椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．20．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；（Ⅲ）求面积S的最大值．21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣1+lnx（x＞0）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在上是增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a＞1，使得方程f（x）=x2﹣1在区间（1，e）上有解，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误．2．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0【分析】根据全称的否定是特称即可得到结论．【解答】解：根据全称的否定是特称，则“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．3．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f （x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．下列中为真的是（）A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否C．“x＞1，则x2＞1”的否D．“若x=y，则sinx=siny”的逆否【分析】根据四种真假关系进行判断即可．【解答】解：A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆为若|x|＞|y|，则x＞y，当x=﹣2，y=0时，满足x|＞|y|，但x＞y不成立，即逆为假．B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否是若x≠1，则x2+x﹣2≠0，当x=﹣2时，满足x≠1，但x2+x ﹣2=0，故否为假．C．的否为若“x≤1，则x2≤1，当x=﹣2时，满足x≤1，但x2≤1不成立，故的否为假．D．“若x=y，则sinx=siny”为真．则的逆否为真．故选：D【点评】本题主要考查的真假判断，涉及的四种形式，比较基础．5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．6．已知p：∀x∈[1，2]，x2≥a；q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若p∧q是真，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤1【分析】根据二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式△的关系即可求出p，q下a的取值范围，再根据p∧q为真得到p，q都为真，所以对前面所求a的取值范围求交集即可．【解答】解：p：x2在[1，2]上的最小值为1，∴a≤1；q：方程x2+2ax+2﹣a=0有解，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1，或a≤﹣2；若p∧q是真，则p，q都是真；∴，∴a=1，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围是{a|a≤﹣2，或a=1}；故选A．【点评】考查根据单调性求二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式△的关系，以及p∧q的真假和p，q真假的关系．7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．8．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性，单调性和特殊点的函数值的对应性进行排除．【解答】解：∵f（x）=x﹣sinx（x∈R）是奇函数，∴图象关于原点对称，∴排除D．∵函数的导数为f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，∴排除C．∵f （﹣）=﹣=﹣=1﹣≈﹣0.57＞﹣1，∴排除B ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，要充分利用函数的对称性，单调性和特殊值的符号进行判断是解决函数图象题的基本方法．9．设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．10．下列不等式对任意的x ∈（0，+∞）恒成立的是（ ）A ．x ﹣x 2≥0B ．e x ≥exC ．lnx ＞xD ．sinx ＞﹣x+1【分析】对于A ，C ，D 分别列举反例，对于B ，构造函数f （x ）=e x ﹣ex ，利用导数可求f （x ）的最小值为0，故可判断．【解答】解：对于A ，x=3时，显然不成立；对于B ，设f （x ）=e x ﹣ex ，∴f ′（x ）=e x ﹣e ，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x=1时，f （x ）取得最小值为0，∴f （x ）≥0，∴e x ≥ex ，故B 正确；对于C，x=e时，显然不成立；对于D，x=π时，显然不成立；故选B．【点评】本题以为载体，考查恒成立问题，解题时，错误的结论列举反例，正确的结论需要严格的逻辑证明．11．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A．2 B．C．D．4【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选C．【点评】熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．12．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：令，则，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2013）＞g（0），即，所以e2013f（﹣2013）＞f（0），，所以f（2013）＜e2013f（0）．故选C．【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1．【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．【点评】此题考查学生掌握椭圆的简单性质化简求值，是一道中档题．14．函数y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=xex+1，∴f'（x）=xex+ex，当x=0时，f'（0）=1得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y﹣1=1×（x﹣0），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．已知A（﹣1，0），B是圆C：（x﹣1）2+y2=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为．【分析】由题意画出图形，可得|PA|+|PC|=|CB|=＞2，可得动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，则答案可求．【解答】解：如图，圆C：（x﹣1）2+y2=8的圆心C（1，0），半径为r=|CB|=，由图可知，∵P是AB的垂直平分线上的点，∴|PA|=|PB|，则|PA|+|PC|=|CB|=，∵，∴动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1．∴动点P的轨迹方程为．故答案为：．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了椭圆的定义，体现了数学转化思想方法，是中档题．16．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[1，）．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：[1，）【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）=3t﹣t2．（Ⅰ）求t=0秒到t=2秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在t=2秒的瞬时速度．【分析】（Ⅰ）根据平均速度公式计算即可，（Ⅱ）求导并令t=2得在t=2秒时的瞬时速度，【解答】解：（Ⅰ）米/秒（Ⅱ）∵S′（t）=3﹣2t，∴S′（2）=﹣1米/秒．【点评】本题考查了导数的概念及其实际应用，属于基础题．18．已知椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），可得c=1，=，又a2=b2+c2，解得即可得出．（2）由|PF1|﹣|PF2|=1，|PF1|+|PF2|=4，联立解得|PF1|，|PF2|．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2=，即可得出．【解答】解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），∵椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．∴c=1，=，又a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．∴椭圆的标准方程为：．（2）∵|PF1|﹣|PF2|=1，|PF1|+|PF2|=4，联立解得|PF1|=，|PF2|=．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2===．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=，f′（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而函数的极值；（3）由（2）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣b由题意知，解得，∴所求的解析式为f（x）=x3﹣4x+4；（2）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值；（3）由（2）知，得到当x＜﹣2或x＞2时，f（x）为增函数；当﹣2＜x＜2时，f（x）为减函数，∴函数f（x）=x3﹣4x+4的图象大致如图．由图可知：．【点评】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．20．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；（Ⅲ）求面积S的最大值．【分析】（I）以抛物线定点为原点建立坐标系，使用待定系数法求出解析式；（II）设梯形高为h，用x，h表示出C点坐标，代入解析式得出x，h的关系，代入梯形面积公式即可；（III）利用导数判断S（x）的单调性，根据单调性得出最值．【解答】解：（I）如图，建立直角坐标系xoy，使抛物线的顶点在坐标原点，且抛物线的对称轴在y轴上．则A（﹣1，﹣2 ），B（1，﹣2），设抛物线的标准方程为：x2=2py（p＜0）．∵点B在抛物线上，∴12=2p（﹣2）求得p=﹣，∴抛物线的方程为：．（II）设梯形的高为h，∵CD=2 x 则C（x，﹣2+h ）．又点C在抛物线上，∴，解得h=﹣2x2+2．∴S（x）==2（﹣x3﹣x2+x+1）．定义域为（0，1）．（III）∵S（x）=2（﹣x3﹣x2+x+1）．∴S′（x）=2（﹣3x2﹣2x+1）=﹣2（3x﹣1）（x+1）．令S′（x）=0，解得x=﹣1（舍）或x=．当0时，S′（x）＞0，当时，S′（x）＜0，∴S（x）在上为增函数，上为减函数，∴当x=时，面积S取得最大值=．答：梯形的面积S的最大值为．【点评】本题考查了待定系数法求曲线方程，导数与函数的最值，属于中档题．21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．【分析】（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，由△=（4k﹣4）2﹣16k2＞0，得k＜，由=，，知y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=，由以AB为直径的圆经过原点O，能求出直线l的方程．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），由，得，故线段AB的中垂线方程为，由此能求出△POQ面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，=，，所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，因为以AB为直径的圆经过原点O，所以∠AOB=90°，即，所以，解得k=﹣，即所求直线l的方程为y=﹣．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则由（1）得，，所以线段AB的中垂线方程为，令y=0，得==，又由（1）知k ＜，且k ≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ 面积的取值范围为（2，+∞）．【点评】本题考查直线l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．已知函数f （x ）=x 2﹣ax ﹣1+lnx （x ＞0）． （Ⅰ）当a=3时，求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在上是增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a ＞1，使得方程f （x ）=x 2﹣1在区间（1，e ）上有解，若存在，试求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）将a=3代入f （x ），求出函数的导数，解不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于：，恒成立，根据函数的单调性，求出2x+在闭区间的最小值即可；（Ⅲ）假设存在，等价转化为：当a ＞1，函数h （x ）=lnx ﹣ax 在区间（1，e ）上有零点，得出矛盾，假设不成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f （x ）=x 2﹣3x ﹣1+lnx ，∴，解得x ＞1或，又∵x ＞0，∴f （x ）单调增区间为；（Ⅱ）若f （x ）在上是增函数，则对任意，f ′（x ）≥0恒成立，∴，等价于：，2x2﹣ax+1≥0恒成立，等价于：，恒成立令，∴，∴g（x）在上为减函数，（Ⅲ）假设a＞1，方程f（x）=x2﹣1在区间（1，e）有解，等价转化为：当a＞1，函数h（x）=lnx﹣ax在区间（1，e）上有零点令，解得：，又∵x＞0，∴h（x）单调增区间为，单调减区间，∵a＞1，∴，∴h（x）在（1，e）上为减区间，而h（1）=﹣a＜0，故h（x）在（1，e）上不存在零点．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．。
