福建省福州市福建师大附中2019-2020学年高一第一学期期末考试试题 数学【解析版】

学年度第一学期八县（市）一中期末联考2017--2018高中一年级数学科试卷审核教师：叶瑞松、吴银仙命题教师：鲍日辉命题学校：永泰一中分分钟满分：15001月30日完卷时间：120考试日期: 2018年41；锥体体积公式：；球的体积公式：参考公式：3?RV?V?Sh33圆锥侧面积公式：；球的表面积公式：2??R?4SrlS? *****利顺 ***** 祝考试第Ⅰ卷在每小题给出的四个选项中，有且只.分，共60分一、选择题（本大题共12小题，每小题5 有一个项选是符合题意要求的）??2?M N?M N1,2}{}N?M?{3,a，（（1）设 ,），????3,11,2}1,2,3,a{1,2,3}{）（C）（A （B）（D）m0??2y?1P(?2,m)l：x),Q(m4的值是和两点的直线与直线平行，则实数（2）经过点）（-8 D）C）0 （（A）2（B）10 （与笔所在的直3）同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线（．．．）线（．）垂直）异面（D）平行（B）相交（C（A x l0?l1：x?2y??llly轴上的截距，则直线的交点在（4）直线在与直线轴上，且22111）是（-1 （D）1 B）-2 （C）（A）2 （?nm,为平面，则下列结论正确的是（）设为两条不同的直线，）（5????//,m?nn,m//??n?m?nm?）（A）（B???????n?n//m//n,//m//n,mm D（（C））22CAB?：4C?1)??(x1)?(y0my??l：x?与圆）为（6若A交于，B两点，已知直线?m（）直角三角形，则2?2222?2）（）（A）（BD（ C）1)(fxa??f(log)b?f(log6)R，（若，数减数函奇已）7知是在上函，225．8.0c,a,b)(2c?f）的大小关系为（，则b??ac?ab?cb?a?cc?ba?）C （B）））（A （D （22ll6y?C：x?0?m?13(m?2)x?y?2与圆的方程为：，则直线，圆（8）已知直线）C的位置关系一定是（ D）不确定（B）相切（C）相交（（A）相离，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的）如图，网格纸上小正方形的边长为2（9 ）体积是（?146?7?12? D（A））（B）（）（CABCABCCABC?ABAA且是等边三角形（10）如图,在三棱柱,,底面,⊥底面中1111AABB??2,AA1BCAB，）所成角的正弦值为（与平面则直线11115251510 D））（（B） A（）（C5555??????x1?a?0,a12?bfx??log）已知函数的图象（11a ba,）如图所示，则满足的关系是（?1?1?1?1b?a?0?b?a0?1 B）（（A）?11?1?0a1a???0b?b?）（C）D（229)?(?)?(x3y2?)B)02?(A,,0(2P上一个动点，设点：C已知圆）（12点，，，是圆C2D，令，记作定义：一个动点到两个定点的距离的平方和叫做“离差平方和”2222D PB?DPA?，则）的最小值为（16D）（C）12 （（A）6 （B）8第Ⅱ卷 20分．请将答案填在答题卡的相应位置）4小题，每小题5分，共二、填空题（本大题共?1?lnx,x?0?????ff?xf的值是，则． 13. 已知函数?????x e0x?3,?????DBCD?AABCB．在如图所示的长方体(1,0,3)中，已知，1411111C,D _________________，则点．(0,2的坐标为0)1xABABABy4的中点的轨和轴上滑动分别在15.长度为,的线段轴和的两个端点则线段________________________迹方程为的最大的实心木球加工（进行切割）成一个圆柱，那么加工后的圆柱侧面积16.一个半径为2．．．____________（本值为. 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤小题，共706三、解答题：本大题共分）．题满分1017CC为正方形。

福建师大附中2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一.选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.与 -2002º终边相同的最小正角是( )A. 158ºB. 100ºC. 78ºD. 22º【答案】A【解析】【分析】把写成形式，则即为所求。

【详解】，与终边相同的最小正角是故选【点睛】本题主要考查了终边相同的角，熟练掌握终边相同的角之间相互转换的规则是解决本题的关键，属于基础题。

2.已知角的终边上有一点 P的坐标是，则的值为( )A. -1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案【详解】角的终边上有一点的坐标是则,故选【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，只需结合定义即可求出结果，属于基础题。

3.已知表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.【详解】由题意可知是的零点，易知函数是（0，）上的单调递增函数，而，，即所以，结合的性质，可知.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题。

4.一个钟表的分针长为 10，经过 35 分钟，分针扫过图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可。

【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格则分钟走过的度数为钟表的分针长为10分针扫过图形的面积是故选【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础5..设 D为所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合已知条件，运用向量的加减法运算求出结果【详解】如图所示，，故选【点睛】本题主要考查了平面向量的加法，减法以及其几何意义，属于基础题，注意数形结合。

2019-2020学年福建省福州第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=，若12l l ⊥，则a 的值为（ ） A ．8 B ．2C ．12-D ．-2【答案】D【解析】根据两条直线垂直，列方程求解即可. 【详解】由题：直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=相互垂直， 所以240a +=， 解得：2a =-. 故选：D 【点睛】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.2．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =( ) A ．11 B ．5C ．8-D ．11-【答案】D【解析】试题分析：设公比为，由2580a a +=，得，解得，所以．故选D ．【考点】等比数列的前项和.3．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，//m α，n β⊥，则下列正确的是（ ） A ．若//αβ，则m n ⊥ B ．若//αβ，则//m β C ．若αβ⊥，则//n α D ．若αβ⊥，则m n ⊥【答案】A【解析】对选项逐一画出图象，由此判断真假性，从而确定正确选项.【详解】对于A选项，当//αβ时，画出图象如下图所示，由图可知，m n⊥，故A选项正确. 对于B选项，当//αβ时，可能mβ⊂，如下图所示，所以B选项错误.对于CD选项，当αβ⊥时，可能n⊂α，//m n如下图所示，所以CD选项错误.故选：A【点睛】本小题主要考查线、面位置有关命题真假性的判断，考查空间想象能力，属于基础题. 4．函数f(xx的最大值为（）A．25B．12C．2D．1【答案】B【解析】本小题主要考查均值定理．11()12xf xxx==≤xx=，即1x =时取等号．故选B ．5．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【解析】【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ∥A 1B ，∠EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC 1为正三角形，∴∠EC 1B 为60，故选C ．6．已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ）A ．5B ．5+C ．3+D ．3-【答案】B【解析】先求出动点P 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定PQ 的最大值取法，计算即可得结果. 【详解】设(,)P x y ，因为2PA PB ==22(2)4x y ∴-+=因此PQ 故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如右图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为（ ）A ．803B ．80C ．160D ．805【答案】D【解析】利用等腰三角形性质以及正弦定理求出AD DB ，,再根据余弦定理求A ，B 两点的距离. 【详解】在ADC 中, 13515150ADC ADB CDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒1801580DAC ACD ADC AD DC ∴∠=︒-∠-∠=︒∴==在BDC 中, 12015135DCB ACB ACD ∠=∠+∠=︒+︒=︒18030DBC BCD BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒80sin135802sin sin sin 30BD DC BD BCD DBC ︒∴=∴==∠∠︒在BDA 中, 2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅⋅222280(802)280802(8052=+-⨯⨯-=⨯ 所以805AB =故选：D 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，PB 与平面PAC 所成的角为30，则球O 的表面积为（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π【答案】C【解析】取AC 中点D ，连接,BD PD ，证明BD ⊥平面PAC ，故DPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30，球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ，计算得到答案. 【详解】取AC 中点D ，连接,BD PD ，2AB BC ==，则BD AC ⊥.PA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，故PA BD ⊥.PA AC A =，故BD ⊥平面PAC ，故DPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30.22PB =，故2BD =，6PD =，22AC =，故2ABC π∠=.球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ， 根据OA OP =知，1,,12OH AP AH HP OD AP ⊥===，故2223R OD AD =+=， 故球的表面积为2412R ππ=. 故选：C .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【答案】BD【解析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】 当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3311()()ab>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确； 若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD 【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T【答案】ABD【解析】先分析公比取值范围，即可判断A ，再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <，则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾； 若1q ≥，则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾； 因此01q <<，所以A 正确；667710101a a a a -<∴>>>-，因此2768(,1)0a a a =∈，即B 正确； 因为0n a >，所以n S 单调递增，即n S 的最大值不为7S ，C 错误；因为当7n ≥时，(0,1)n a ∈，当16n ≤≤时，(1,)n a ∈+∞，所以n T 的最大值为6T ，即D 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质，考查综合分析判断能力，属中档题.11．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC ∆的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是（ ） A ．()2,0 B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-【答案】AD【解析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论. 【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20xy -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD 【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形重心，属于较难题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -,过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ,交棱1CC 于点F ,下列正确的是（ ）A ．平面α分正方体所得两部分的体积相等；B ．四边形1BFD E 一定是平行四边形；C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直；D ．四边形1BFDE 的面积有最大值. 【答案】ABD【解析】由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等;依题意可证1BFD E ,1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形;当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面1BB D ,平面1BFD E ⊥平面1BB D ;当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值. 【详解】解: 对于A ：由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故A 正确; 对于B ：因为平面1111ABB A CC D D ,平面1BFD E平面11ABB A BF =,平面1BFD E平面111CC D D D E =,1BFD E ∴.同理可证：1D F BE ,故四边形1BFD E 一定是平行四边形,故B 正确;对于C ：当,E F 为棱中点时,EF ⊥平面1BB D ,又因为EF ⊂平面1BFD E , 所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 不正确;对于D ：当F 与A 重合,当E 与1C 重合时1BFD E 的面积有最大值,故D 正确. 故选:ABD【点睛】本题考查正方体的截面的性质, 解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系,考查空间想象力.三、填空题13．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________．【答案】52【解析】x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15，解得52a=14．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【答案】28π；【解析】由三视图知,圆锥底面的直径为4,所以半径为2,高为23所以母线长为222+(23)4=,圆柱的底面直径4,半径为2,高为4.所以该组合体的表面积为224+224228ππππ⨯⨯⨯⨯+⨯= .15．在ABC中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c，若22sin cos1A B+=，则cb a-的取值范围为____．【答案】()2,3【解析】先由22sin cos1A B+=得2B A=，然后利用正弦定理得cb a-2cos1A=+，再由02π,0π3πB AC A=⎧⎨=-⎩＜＜＜＜，求出角A的范围，从而可得cb a-的取值范围.【详解】解：在ABC中，因为22sin cos1A B+=，所以cos cos2B A=，所以2B A=．由正弦定理及题设得()sin sin sin sin sin sin A B c Cb a B A B A +==--- sin cos 2cos sin 2sin 2sin A A A AA A+=-()22sin 2cos 12sin cos 2sin cos sin A A A AA A A-+=-24cos 12cos 12cos 1A A A -==+-， 由02π,0π3πB AC A =⎧⎨=-⎩＜＜＜＜得π03A ＜＜，故1cos 12A ＜＜，所以cb a-的取值范围为()2,3． 故答案为：()2,3 【点睛】本小题考查解三角形等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性，属于基础题．四、双空题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1120n n n a S S +++=，则3a =________；n S =________.【答案】215-121n -【解析】根据和项与通项关系得1112n nS S +-=，再根据等差数列定义与通项公式求1n S ，即得结果，最后根据条件3322a S S =-直接求3.a 【详解】111111120202n n n n n n n n na S S S S S S S S ++++++=∴+=∴--= 所以11112(1)2121n n n n S S S n =+-=-∴=- 332112225315a S S =-=-⨯⨯=-故答案为：215-，121n - 【点睛】 本题考查和项与通项关系、等差数列定义与通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.五、解答题17．在平行四边形ABCD 中，(1,4)A -，()2,3B ，(2,2)C --.（1）求直线AD 的方程；（2）求平行四边形ABCD 的面积.【答案】（1）54210x y -+=；（2）19【解析】（1）先利用向量求D 点坐标，再根据两点式求直线AD 的方程；（2）先利用向量求cos ABC ∠，再根据三角形面积公式求结果.【详解】（1）在平行四边形ABCD 中，AB DC =,设(,)(3,1)(2,2)5,1,(5,1)D x y x y x y D ∴-=----∴=-=---所以直线AD 的方程为41454210151y x y x ---=∴-+=+-+； （2）(3,1),(4,5)||10,||41BA BC BA BC =-=--∴== cos10||||BA BCABC BA BC ⋅∴∠===⋅sinABC ∴∠=因此平行四边形ABCD 的面积为122||||sin 192ABC S BA BC ABC =⨯⨯∠== 【点睛】本题考查直线方程、三角形面积公式应用、向量数量积求夹角，考查综合分析求解能力，属基础题.18．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，315S =，0n a >，1d >，且_______.从“①21a -为11a -与31a +的等比中项”；“②等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（1）只能选①，21n a n =+；（2）3(23)n n T n =+ 【解析】（1）不论选那个，都先列出关于公差的方程，解出结果代入等差数列通项公式即可；（2）利用裂项相消法求和.【详解】（1）322153=15=5S a a =∴∴选①21a -为11a -与31a +的等比中项，则22213(1)(1)(1)(51)(51)(51)a a a d d -=-+∴-=--++2+28012d d d d ∴-=>∴=；选②等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =， 则23311555()24b a d d -==+=⋅∴= 1d >∴舍故只能选①，2(2)52(2)=21n a a n d n n =+-=+-+（2）111111=()(21)(23)22123n n a a n n n n +=-++++ 所以111111111111()()()()2352572212323233(23)n n T n n n n =-+-++-=-=++++ 【点睛】本题考查等差数列通项公式、裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是菱形，AB ＝AC ＝2，PA ＝PB ＝PD .（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）若PA ⊥AC ，M 为PC 的中点，求三棱锥B ﹣CDM 的体积.【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）由菱形性质得AC BD ⊥，由等腰三角形中线的性质得PO BD ⊥，再根据面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）利用B CDM M BCD V V --=进行转化，先证出OM ⊥平面ABCD ，从而确定出棱锥的高，利用椎体体积公式求得结果.【详解】（1）证明：设BD 交AC 于点O ，连接PO ，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥， 又PB PD =，O 是BD 的中点，∴PO BD ⊥，AC PO O =，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面ABCD ，故平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）解：连接OM ，M 为PC 的中点，且O 为AC 的中点，∴//OM PA ，由（1）知，BD PA ⊥，又PA AC ⊥，则BD OM ⊥，OM AC ⊥，又ACBD O =，∴OM ⊥平面ABCD ， 又11231322BCD S BD OC =⋅=⨯=， 132OM PA ==， ∴1133133B CDM M BCD BCD V V S OM --==⋅==. ∴三棱锥B CDM -的体积为1.【点睛】 本题主要考查面面垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法. 证明面面垂直，可根据判断定理进行证明，即先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直，本质上是证明线面垂直；求三棱锥体积时，如果不能直接求解或者直接求解比较麻烦，可以进行转化，比如本题中，三棱锥B CDM -的体积可以转化为以三角形BCD 为底，求M BCD -的体积.20．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为423，求sin sin BAD CAD ∠∠的值． 【答案】(1) 83；(2) 42. 【解析】【详解】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin 3B =． 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠， 又2AB =，4ADB π∠=，22sin 3B =．∴83AD =． （II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，， 又423ADC S ∆=∴42ABC S ∆=，∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD AC CAD AB ∠=∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠．∴AC =∴sin 2?sin BAD AC CAD AB∠==∠ 21．新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元.（1）每台充电桩第几年开始获利？(5.7≈)（2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n 年的年平均利润=n n 前年的利润总和年数). 【答案】（1）3（2）8【解析】（1）根据等差数列求和公式得n 年每台充电桩总维修费用，再列利润，令利润大于零，解得结果；（2）先列年平均利润，再根据基本不等式求最值.【详解】（1）每台充电桩第n 年总利润为16400[1000(1)400]128002n n n n -+-- 216400[1000(1)400]128000286402n n n n n n -+-->∴-+<14142625.4325n .n n N n ∴-<<+<<∈∴≤≤所以每台充电桩第3年开始获利 （2）每台充电桩前n 年的年平均利润16400[1000(1)400]128002n n n n n-+-- ][64=20028200282400n n ⎡⎛⎫-+≤-=⎢ ⎪⎝⎭⎣当且仅当64,8n n n==时取等号 所以每台充电桩前8年的年平均利润最大【点睛】本题考查等差数列实际应用、基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 22．如图，已知圆C 1:22(4)(2)20x y -+-=与y 轴交于O ，A 两点，圆C 2过O ，A 两点，且直线C 2O 恰与圆C 1相切.（1）求圆C 2的方程.（2）若圆C 2上有一动点M ，直线MO 与圆C 1的另一个交点为N ，在平面内是否存在定点P ，使得|PM|=|PN|始终成立？若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22240x y x y ++-=；（2）存在，且为(3,4)P ．【解析】试题分析：（1）由（x ﹣4）2+（y ﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．圆C 2过0，A 两点，可设圆C 2的圆心C 1（a ，2）．直线C 2O 的方程为：y=12x ，即x ﹣2y=0．利用直线C 20与圆C 1相切的性质即可得出；（2）存在，且为P （3，4）．设直线OM 的方程为：y=kx ．代入圆C 2的方程可得：（1+k 2）x 2+（2﹣4k ）x=0．可得M 的坐标．同理可得N 的坐标．设P （x ，y ），线段MN 的中点E ，利用k PE •k=﹣1即可得出．详解：（1）由（x ﹣4）2+（y ﹣2）2=20，令x=0，解得y=0或4．∵圆C 2过O ，A 两点，∴可设圆C 2的圆心C 1（a ，2）．直线C 2O 的方程为：y=x ，即x ﹣2y=0．∵直线C 2O 与圆C 1相切，∴=，解得a=﹣1，∴圆C 2的方程为：（x +1）2+（y ﹣2）2=，化为：x 2+y 2+2x ﹣4y=0． （2）存在，且为P （3，4）．设直线OM 的方程为：y=kx ．代入圆C 2的方程可得：（1+k 2）x 2+（2﹣4k ）x=0．x M =，y M =．代入圆C 1的方程可得：（1+k 2）x 2﹣（8+4k ）x=0．x N=，y N=．设P（x，y），线段MN的中点E．则×k=﹣1，化为：k（4﹣y）+（3﹣x）=0，令4﹣y=3﹣x=0，解得x=3，y=4．∴P（3，4）与k无关系．∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.。

2019学年福建省高一上学期期末数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1 B．135°，﹣1 C．90°，不存在 D．180°，不存在2. 直线y﹣2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是（）A．（﹣2，2） B．（2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（2，1）3. 对于直线m，n和平面α，β，能得出α ⊥ β的一个条件是（）A．m ⊥ n ，m ∥ α，n ∥ β________B．m ⊥ n ，α∩β=m，n ⊂αC．m ∥ n ，n ⊥ β，m ⊂αD．m ∥ n ，m ⊥ α，n ⊥ β4. 如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A． B． C． D．5. 与圆x 2 +y 2 +4x﹣4y+7=0和x 2 +y 2 ﹣4x﹣10y+13=0都相切的直线共有（） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A．1： B．1：3 C．1：3 D．1：97. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD 1 、D 1 C 1 的中点，则直线OM（）A．与AC、MN均垂直相交B．与AC垂直、与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC、MN均不垂直8. 设点A为圆（x﹣1） 2 +y 2 =1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y 2 =2x B．（x﹣1） 2 +y 2 =4 C．y 2 =﹣2x D．（x﹣1） 2 +y 2 =2二、填空题9. 直线x+2ay﹣1=0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是______________________________ ．10. 若点P（﹣4，﹣2，3）关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是（a，b，c），（e，f，d），则c+e=___________ ．11. 已知圆锥的轴截面是一个边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积等于___________ ．12. 如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①B，E，F，C四点共面；②直线BF与AE异面；③直线EF ∥ 平面PBC；④平面BCE ⊥ 平面PAD；．⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的一条最短路径．其中正确的有___________ ．（请写出所有符合条件的序号）三、解答题13. 如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ ABC 是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ ）求△ ABC 的面积．14. 如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD ⊥ 平面ABCD，EC ∥ PD ，且PD=AD=2EC=2．（1）请画出该几何体的三视图；（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．15. 已知圆C经过点A（﹣1，0）和B（3，0），且圆心在直线x﹣y=0上．（1）求圆C的方程；（2）若点P（x，y）为圆C上任意一点，求点P到直线x+2y+4=0的距离的最大值和最小值．16. 如图，AB是圆O的直径，PA ⊥ 圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC ⊥ 平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△ AOC 的重心，求证：QG ∥ 平面PBC．四、选择题17. 已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是（）A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必与α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ ABC 的一条中位线平行于α或在α内18. 函数f（x）=e x +x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）19. 已知M={（x，y）|y= ，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}且M∩N≠ ∅，则实数b的取值范围是（）A．[﹣3 ，3 ] B．[﹣3.3 ] C．[﹣3 ，﹣3） D．（﹣3，3 ]20. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且在区间[0，2 ] 上f （x）=x，若关于x的方程f（x）=log a x有三个不同的根，则a的范围为（）A．（2，4） B．（2，2 ） C．（，2 ） D．（，）五、填空题21. 设点A（﹣3，5）和B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4=0上找一点P，使|PA|+|PB|为最小，则这个最小值为 ______________ ．22. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为 ______________ ．六、解答题23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C（﹣4，0），D（0，4）设△ AOB 的外接圆圆心为E．（1）若⊙ E 与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△ PCD 的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙ E 是否存在，若存在，求出⊙ E 的标准方程；若不存在，说明理由．24. 在四棱柱ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 ⊥ 底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A 1 C 1 与B 1 D 1 交点，已知AA 1 =AB=1，∠ BAD=60° ．（Ⅰ ）求证：A 1 C 1 ⊥ 平面B 1 BDD 1 ；（Ⅱ ）求证：AO ∥ 平面BC 1 D；（Ⅲ ）设点M在△ BC 1 D内（含边界），且OM ⊥ B 1 D 1 ，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试卷高一数学·必修1一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.能正确表示集合{}02M x x =∈≤≤R 和集合{}20N x x x =∈-=R 的关系的韦恩图的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【分析】根据题意，{0N =，1}，而{|02}M x R x =∈剟，易得N 是M 的子集，分析选项可得答案．【详解】{}{}{}200,102N x x x M x x =∈-==⊆=∈≤≤R R ，故选B.【点睛】本题考查集合间关系的判断以及用venn 图表示集合的关系，判断出M 、N 的关系，是解题的关键．2.设偶函数定义域为R ，当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数，则()()()1,,3f f f π--的大小关系为（） A. ()()()31f f f π-<-< B. ()()()13f f f π->-> C. ()()()31f f f π->->D. ()()()13f f fπ-<-<【答案】D 【分析】由于()f x 为偶函数且当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数，故将()()()1,,3f ff π--全部利用偶函数性质转换到()0,x ∈+∞上再用单调性进行求解。

【详解】因为()f x 为偶函数，故()()()()1=1,3=3f f f f --，又因为当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数，故()()()13f f fπ<<，故()()()13f f f π-<-<，故选D 。

【点睛】根据奇偶性与单调性求解函数大小关系时，可以将自变量的值转换到同一单调区间上进行分析。

3.设全集为R ，集合{}2log 1A x x =<，{B x y ==，则()R A B =I ð（ ）A. {}02x x <<B. {}01x x <<C. {}11x x -<<D.{}12x x -<<【答案】B 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可得出集合()R A B I ð. 【详解】由2log 1x <，02x <<，{}02A x x ∴=<<.由210x -≥，得1x ≤-或1x ≥，则{}11B x x x =≤-≥或，{}11R B x x ∴=-<<ð， 因此，(){}01A B x x ⋂=<<R ð，故选：B.【点睛】本题考查交集和补集的混合运算，同时也考查了对数不等式以及函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.4.下列四组中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A. ()f x x =，()g x =B. ()f x x =，()2g x =C. ()2f x x =，()3xg x x=D. ()f x x =，()()(),0,0x x g x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩【答案】D 【分析】A 项对应关系不同；B 项定义域不同；C 项定义域不同，初步判定选D【详解】对A ，()2=g x x x =，与()f x x =对应关系不同，故A 错对B ，()()2g x x =中，定义域[)0,x ∈+∞，与()f x x =定义域不同，故B 错对C ，()3x g x x=中，定义域0x ≠，与()f x x =定义域不同，故C 错对D ，()f x x =，当0x ≥时，()f x x =，当0x <时，()f x x =-，故()()(),0,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，D 正确故选：D【点睛】本题考查同一函数的判断，应把握两个基本原则：定义域相同；对应关系相同（化简后的函数表达式一样） 5.函数()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A. B.C D.【答案】C 【分析】先由函数奇偶性，排除BD ；再由函数值的大致范围，即可确定结果.【详解】因为()211xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，x ∈R 所以()222111111-⎛⎫--⎛⎫-=--=--=-⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭x x x x x xe e ef x x x x e e e 1122211()1111-+-⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅=--=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭x x x x xx e e x x x x f x e e ee ，所以()211xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭是偶函数，排除BD ； 又当0x >时，22110111-<-=++xe ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭x f x x e ， 当0x <时，22110111->-=++xe ，所以2()101⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭x f x x e ， 故排除D ，选C. 故答案为C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型. 6.函数()521y x x x =+≥+取得最小值时的x 值为()1 B. 21【答案】B 【分析】将函数边形为()51121y x x x =++-≥+利用双勾函数得到答案. 【详解】()5511211y x x x x x =+=++-≥++ 设1(3)x t t +=≥5()1f t t t =+- 根据双勾函数性质在)+∞上单调递增.min ()(3)f t f =当3t =即2x =时取最小值. 故答案选B【点睛】本题考查了双勾函数性质，属于常考题型.7.已知幂函数()y f x =的图象过点⎛ ⎝⎭，则21log 2f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A.2C.D.12【答案】B【分析】设()af x x =，将点3,3⎛ ⎝⎭的坐标代入函数()y f x =的解+析式，求出a 的值，然后再计算出21log 2f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】设()af x x =，由题意可的()333a f ==，即1233a -=，12a ∴=-，则()12f x x -=，所以，112211222f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，11122222111log log 22222f f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了对数运算，解题的关键就是求出幂函数的解+析式，同时利用指数幂的运算性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.8.对于一个声强为I 为（单位：2/W m ）的声波，其声强级L （单位：dB ）可由如下公式计算：010lgIL I =（其中0I 是能引起听觉的最弱声强），设声强为1I 时的声强级为70dB ，声强为2I 时的声强级为60dB ，则1I 是2I 的（ ）倍 A. 10 B. 100C. 1010D. 10000【答案】A 【分析】根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出12I I 的值，可得出答案。

3福建省高一数学上学期期末联考试题满分 150分考试时间 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{560}A x xx ，集合{24}xB x ，则集合A B I （）A ．{23}xx B．{23}xxC．{23}x x D ．{23}xx 2. 直线3420x y和直线6810xy 的距离是()A.35B. 12C. 310D.153．已知直线12:220,:410l x yl axy , 若12l l , 则a 的值为()A .8 B.2 C.12D.24. 已知圆221:23460C xyx y和圆222:60C xyy ，则两圆的位置关系为()A. 外离B. 外切C.相交 D.内切5. 幂函数223()(1)m m f x m m x在(0,)上是减函数，则实数m 的值为（）A.2或1 B.2 C.1 D. 2或16．三个数20.60.6,ln 0.6,2a bc之间的大小关系是( )A.c a b B.c b a C.b c a D ．ac b 7. 关于不同的直线,m n 与不同的平面,，有下列四个命题：①,m n 且，则m n ；②,m n P P 且P ，则m n P ；③,mn P且P，则mn ；④,mP n且，则m n P ．其中正确的命题的序号是( )．A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④8. 方程2122xx =+的一个根位于区间（）A. 3(1,)2B.3(,2)2C. 1(0,)2D.1(,1)29. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的全面积为( )A . 4063 B. 40123 C. 123 D. 24310. 奇函数()f x 在(,0)上的解析式是()(1)f x x x ，则()f x 在(0,)上有( )A ．最大值14B．最大值14C ．最小值14D．最小值1411. 如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，122,4ABBC CC ，90ABC，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从点E 到点F的最短路径的长度为（）A ．1442 B．22 C．32 D ．2312. 已知函数22(0)()22(0)kxk x f x xaxax，其中R a ，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(122x x x ，使得)()(12x f x f 成立，则k 的最小值为（）A ．1B．2 C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

3福建省四校高一数学上学期期末联考试题满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{560}A x x x =-+≤，集合{24}x B x =>，则集合A B =I （ ） A ．{23}x x ≤≤ B ．{23}x x ≤< C ． {23}x x <≤ D ．{23}x x <<2. 直线3420x y +-=和直线6810x y ++=的距离是( ) A.35 B. 12 C. 310D. 15 3． 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12⊥l l , 则a 的值为( ) A . 8 B. 2 C. 12-D. 2- 4.已知圆221:460C x y y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为( ) A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5. 幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A. 2或1-B. 2C. 1-D. 2-或1 6． 三个数20.60.6,ln 0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A. c a b <<B.c b a <<C. b c a << D ．a c b << 7. 关于不同的直线,m n 与不同的平面,αβ，有下列四个命题：①,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ②,m n αβP P 且αβP ，则m n P ； ③,m α⊥n βP 且αβP ，则m n ⊥； ④,m αP n β⊥且αβ⊥，则m n P ． 其中正确的命题的序号是( )． A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④8. 方程2122xx =+的一个根位于区间（ ） A. 3(1,)2B. 3(,2)2C. 1(0,)2D. 1(,1)29. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的 等腰梯形, 则该几何体的全面积为( )A . 40+B. 40+10. 奇函数()f x 在(,0)-∞上的解析式是()(1)f x x x =+， 则()f x 在(0,)+∞上有( )A ．最大值14-B ．最大值14 C ．最小值14-D ．最小值1411. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，14AB BC CC ===，90ABC ∠=︒，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从点E 到点F的最短路径的长度为（ ）AC．．12. 已知函数()22(0)()22(0)kx k x f x x ax a x -≥⎧⎪=⎨+--<⎪⎩ ，其中R a ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省福州市第一中学2019-2020学年高一第一学期期末考试试题数学【解析版】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知角α的终边与单位圆的交点为52555P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A. 55-5 C.355D. 355-【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义得出sin α和cos α的值，由此可计算出sin cos αα-的值. 【详解】由三角函数的定义得5cos α=，25sin α=，因此，5sin cos αα-=故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题. 2.一钟表的秒针长12cm ，经过25s ，秒针的端点所走的路线长为（ ） A. 10cm B. 14cmC. 10cm πD. 14cm π【答案】C 【解析】 【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案. 【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2552606ππ⨯=， 因此，秒针的端点所走的路线长()512106cm ππ⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题. 3.函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()27,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. ()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间.【详解】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 因此，函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为()4,6A 、()2,1B -、()4,1C -，G 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()13AG AB AC =+，则G 点的坐标为（ ） A. ()2,2 B. ()1,2 C. ()2,1 D. ()2,4【答案】A 【解析】 【分析】设点G 的坐标为(),x y ，根据向量的坐标运算得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数，可得出点G 的坐标.【详解】设点G 的坐标为(),x y ，()6,5AB =--，()0,7AC =-，()4,6AG x y =--，()()()1160,572,433AG AB AC =+=-+--=--，即4264x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，因此，点G 的坐标为()2,2. 故选：A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.5.sin4，4cos ，tan4的大小关系是（ ） A. sin4tan4cos4<< B. tan4sin4cos4<< C. cos4sin4tan4<< D. sin4cos4tan4<<【答案】D 【解析】 【分析】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出sin4、4cos 、tan4的大小关系. 【详解】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则sin MP α=，cos OM α=，tan AT α=，其中虚线表示的是角34π的终边， 344π>，则0MP OM AT <<<，即sin4cos4tan4<<. 故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 6.将函数sin 2y x=图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数22sin y x =-的图象，那么ϕ可以取的值为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】写出平移变换后的函数解析式，将函数22sin y x =-的解析式利用二倍角公式降幂，化为正弦型函数，进而可得出ϕ的表达式，利用赋特殊值可得出结果.【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为()sin 221y x ϕ=+-，22sin cos 21sin 212y x x x π⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，()222k k Z πϕπ∴=+∈，解得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数，解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()0f x f x π++=，且当()0,x π∈时，()sin f x x =，则233f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 12-B.12C. 3D.32【答案】C 【解析】 【分析】先推导出函数()y f x =的周期为2π，可得出2333f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用函数()y f x =的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果. 【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，且()()0f x f x π++=，()()f x f x π∴+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以，函数()y f x =的周期为2π，则233sin 3333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一.选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.与-2002º终边相同的最小正角是( )A. 158ºB. 100ºC. 78ºD. 22º【答案】A【解析】【分析】把写成形式，则即为所求。

【详解】，与终边相同的最小正角是故选【点睛】本题主要考查了终边相同的角，熟练掌握终边相同的角之间相互转换的规则是解决本题的关键，属于基础题。

2.已知角的终边上有一点P的坐标是，则的值为( )A. -1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案【详解】角的终边上有一点的坐标是则,故选【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，只需结合定义即可求出结果，属于基础题。

3.已知[ x] 表示不超过实数x的最大整数，若是方程的根，则[]=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B4.一个钟表的分针长为10，经过35 分钟，分针扫过图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可。

【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格则分钟走过的度数为钟表的分针长为10分针扫过图形的面积是故选【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础5..设D为所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合已知条件，运用向量的加减法运算求出结果【详解】如图所示，，故选【点睛】本题主要考查了平面向量的加法，减法以及其几何意义，属于基础题，注意数形结合。

2019-2020学年福建师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，则正确表示集合M ={−1,0，1}和N ={x|x 2+x =0}关系的示意图是( ) A. B. C. D.2. 已知定义域为R 的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，则( )A. f(4)>f(3)B. f(−5)>f(5)C. f(−3)>f(−5)D. f(3)>f(−6)3. 已知全集为R ，集合A ={x|−x 2+6x −8>0}，B ={x|log 2x 3≤0}，则(∁R A)∩B =( ) A. (−∞,2] B. (−∞,3] C. (0,2] D. [2,3]4. 下列函数中，与f(x)={x(x −1),x ≥0−x(x +1),x <0有相同图象的函数是( ) A. y =x(x 2−1)B. y =|x|(x −1)C. x(|x|−1)D. y =x 2−|x| 5. 函数y =−x 2|x |的图象的大致形状是( )A. B.C. D.6. 已知函数y =x −4+9x+1(x >−1)，当x =a 时，y 取得最小值b ，则a +b 等于( ) A. −3B. 2C. 3D. 87. lg(−1100)2=( ) A. −4B. 4C. 10D. −10 8. 已知，则 ( ) A. 1−a B. 5a2 C. 1+a D. 3a 9. 已知f(x)与g(x)分别是定义在R 上奇函数与偶函数，若f(x)+g(x)=log 2(x 2+x +2)，则f(1)等于( )A. −12B. 12C. 1D. 210. 若函数y =log a (x 2−ax +1)有最小值，则实数a 的取值范围是( )A. 0<a <1B. 0<a <2且a ≠1C. 1<a <2D. a ≥211. 已知函数f(x)=ax 3−3x 的图象过点(−1,4)，则实数a =( )A. −2B. 1C. −1D. 212. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；②函数f (x )=ln(x 2+√x 2+1)可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数y =sinx 可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y =f (x )是“优美函数”的充要条件为函数y =f (x )的图象是中心对称图形其中正确的有( )A. ①④B. ①③C. ②③D. ①②③④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 分解因式：x 4−7x 2−18= ．14. 已知函数y =3⋅2x +3的定义域为[−1,2]，则值域为______ ．15. 计算：log 23·log 98=________．16. 若函数f(x)={x −3,x ≥5f(x +2),x <5，则f(2)的值为______ ． 17. 已知函数y =log √22(x 2+4x +5)，x ∈[−1,3]的值域为__________． 18. 用max{a,b ，c}表示三个数a ，b ，c 中的最大值，则函数f(x)=max{2x ,x2,log 2x}在(0,+∞)上的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 19. 计算下列题：(1)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 23(2)已知a 2−3a +1=0，求a −12+a 12的值．20. 已知集合A ={x||x −2|<4}，B ={x|x 2+2x −3>0}，C ={x|x 2−3ax +2a 2<0}．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆A ∩B ，求实数a 的取值范围．21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．22. 已知函数f(x)=mx−5x+2.(1)求函数y =f(x)的反函数y =f −1(x)的值域；(2)若(2,3)是反函数图象上的一点，求函数y =f(x)的值域．23. 已知y =f(x)为奇函数，当x ≥0时f(x)=x(1−x)，则当x ≤0时，求f(x)．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查Venn图表达集合的关系、一元二次方程的解法，属于基础题．先化简集合N，得N={−1,0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照Venn图即可选出答案．【解答】解：由N={x|x2+x=0}，得N={−1,0}．∵M={−1,0，1}，∴N⊆M.故选B．2.答案：A解析：解：∵定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，4>3，∴f(4)>f(3)，故选：A．利用定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，即可得出结论．本题考查函数的单调性，与奇偶性，比较基础．3.答案：C解析：解：A={x|2<x<4}，B={x|0<x≤3}；∴∁R A={x|x≤2，或x≥4}；∴(∁R A)∩B=(0,2]．故选：C．解出A，B，然后进行补集、交集的运算．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．4.答案：C解析：【分析】本题考查相同函数的概念，属于基础题．根据函数的定义域和对应法则两个方面判断，即可得到答案．【解答】解：函数的定义域为R，各个选项中函数的定义域也都为R，A.对应法则不相同，不是相同函数；B .y =|x|(x −1)={x(x −1),x ≥0−x(x −1),x <0对应法则不相同，不是相同函数； C .y =x(|x|−1)={x(x −1),x ≥0−x(x +1),x <0，对应法则相同，是相同函数； D .y =x 2−|x|={x 2−x,x ≥0x 2+x,x <0，对应法则不相同，不是相同函数． 故选C ． 5.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数图象的应用，属于基础题．由函数的性质即可求解．【解答】解：因为|x|>0,x 2>0，并且y =−x 2|x |，故y =−x 2|x |<0恒成立，排除A ，B ，D ，故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题考查基本不等式，凑“积为定值”是关键，属于中档题．将y =x −4+9x+1(x >−1)，转化为y =(x +1+9x+1)−5，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：∵x >−1，∴x +1>0，∴y =x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)9x+1−5=1，当且仅当x =2时取等号．∴a =2，b =1，∴a +b =3．故选C ．7.答案：A解析：解：lg(−1100)2=lg10−4=−4．故选：A ．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.答案：A解析：【分析】本题考查对数的运算性质，属于容易题．根据对数的运算性质，即可得到答案．【解答】解：因为lg2+lg5=lg10=1，所以lg5=1−lg2=1−a．故选A．9.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，以及利用函数的这一性质求函数值．由题意可得：f(1)+g(1)=log24=2，f(−1)+g(−1)=log22=1，结合函数的奇偶性可得f(−1)+ g(−1)=−f(1)+g(1)，进而求出答案．【解答】解：令x=1可得f(1)+g(1)=log24=2，令x=−1可得f(−1)+g(−1)=log22=1，因为f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，所以f(−1)+g(−1)=−f(1)+g(1)，所以−f(1)+g(1)=1，．所以解得f(1)=12故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查函数的最值的求法，要使函数y=log a(x2−ax+1)有最小值，需保证二次函数y=x2−ax+1的最小值4−a2>0，且根据复合函数的单调性有a>1，从而可得结果．4【解答】，解：因为函数y=x2−ax+1是开口向上的二次函数，从而有最小值4−a24>0，得1<a<2．故要使函数y=log a(x2−ax+1)有最小值，则a>1，且4−a24故选C.11.答案：C解析：解：∵函数f(x)=ax3−3x的图象过点(−1,4)，∴f(−1)=−a+3=4，解得a=−1，故选：C根据函数图象和点的坐标之间的关系进行求解．本题主要考查点的坐标与函数之间的关系，比较基础．12.答案：B解析：【分析】本题考查命题真假的判断及函数的性质的应用，根据题意逐项进行判断即可得到结果．【解答】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，故①正确；函数f(x)=ln(x2+√x2+1)的大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”；∴②不正确；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故③正确；函数y=f(x)的图象是中心对称图形，则y=f(x)是“优美函数”，但函数y=f(x)是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，∴④不正确．故选B．13.答案：(x2+2)(x−3)(x+3)解析：【分析】本题考查因式分解，比较基础．利用二次函数的十字相乘法分解．【解答】解：由已知x4−7x2−18=(x 2+2)(x 2−9)=(x 2+2)(x −3)(x +3)．故答案为(x 2+2)(x −3)(x +3)．14.答案：[92,15]解析：解：函数y =3⋅2x +3为增函数，∵x ∈[−1,2]，当x =−1时，y =32+3=92，当x =2时，y =12+3=15，故函数的值域为[92,15]，故答案为：[92,15]根据函数的单调性直接求出即可．本题考查了函数的值域，属于基础题． 15.答案：32解析：【分析】本题考查对数运算，由换底公式求解即可．【解答】解： 原式=log 23·log 28log29=log 23·3log 222log 23=32． 故答案为32． 16.答案：3解析：解：函数f(x)={x −3,x ≥5f(x +2),x <5， 则f(2)=f(2+2)=f(4)=f(6)=6−3=3．故答案为：3．利用分段函数化简求解即可．本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．17.答案：[−2log 226,−2]．解析：令t =x 2+4x +5，则y =log √22t ，因为x ∈[−1,3]，所以t ∈[2,26]，y ∈[−2log 226,−2]． 18.答案：1解析：解：分别画出y =2x ，y =x 2，y =log 2x 的图象，如图所示，当0<x ≤2时，f(x)=2x ，其最小值为1，当2≤x ≤4时，f(x)=log 2x ，其最小值为1，当x ≥4时，f(x)=x 2，其最小值为2，综上所述f(x)的最小值是1，故答案为：1分别画出y =2x ，y =x 2，y =log 2x 的图象，分别求出最小值，比较即可．本题考查新定义的理解和运用，画出图象，通过图象观察求函数最值是关键． 19.答案：解：(1)原式=log 2.52.52+lg10−2+lne 12+2×2log 23=2−2+12+6=132(2)∵a 2−3a +1=0，∴a 2+1=3a ，所以a +1a =3，即a +a −1=3．又∵(a −12+a 12)2=a −1+2+a =5，又因为a >0，∴a −12+a 12=√5解析：本题主要考查对数和指数幂的运算，属于简单题．(1)由对数的运算法则求解；(2)利用指数幂的运算法则，求出a +a −1=3，再把a −12+a 12平方求解． 20.答案：解：A ={x|−2<x <6}，B ={x|x <−3或x >1}，C ={x|(x −2a)(x −a)<0}(1)A ∩B ={x|1<x <6}；(2)①a =0，C =⌀，满足C ⊆A ∩B ；②a >0，C ={x|a <x <2a}，∵C ⊆A ∩B ，∴{a ≥12a ≤6，∴1≤a ≤3；③a <0，C ={x|2a <x <a}，C 中全是负数，不满足C ⊆A ∩B ；综上可知：a =0或1≤a ≤3．解析：(1)解不等式求出集合A 、B ，然后直接利用交集运算得答案．(2)在(1)化简后的基础上，由C ⊆A ∩B 得到两集合端点值的关系，从而求出a 的范围；此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 21.答案：解：(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0, 解得，a =−1，b =−2；故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作f(x)的图象如下，则由图象可知，0<m <1．解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．22.答案：(1){y|y ∈R 且y ≠−2}.(2){y|y ∈R 且y ≠5}．解析：(1)由函数f(x)=mx−5x+2，得y =f(x)的定义域为{x|x ≠−2}，所以，它的反函数y =f −1(x)的值域为{y|y ∈R 且y ≠−2}.(2)若(2,3)是反函数图象上的一点，则(3,2)在原来的函数y =f(x)的图象上，故得2=3m−53+2，即m =5，所以f(x)=5x−5x+2，f −1(x)=2x+55−x ，因为反函数y =f −1(x)的定义域为{x|x ≠5}，故原来的函数y =f(x)的值域为{y|y ∈R 且y ≠5}．23.答案：解：∵x >0时，f(x)=x(1−x)，∴当x <0时，−x >0，则f(−x)=(−x)(1+x)∵f(x)为奇函数，∴f(x)=−f(−x)=−(−x(1+x))=x(1+x)，即x<0时，f(x)=x(1+x)．解析：由f(x)为奇函数且x>0时，f(x)=x(1−x)，设x<0则有−x>0，可得f(x)=−f(−x)= x(1+x)．本题主要考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，要注意求哪区间上的解析式，要在哪区间上取变量，本题是一道基础题．。

福建师大附中2019-2020学年上学期期末考试卷高一数学·必修1、4一、选择题（每小题5分，共60分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.方程3log 3x x +=的解为0x ，若0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】令()3log 3f x x x =+-，∵()()311320,22log 20f f =-=-<=-+<,()33log 310f ==>. ∴函数()f x 区间()2,3上有零点．∴2n =．选C ．2.如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A. 2136c b a =- B. 4133c b a =+ C. 4133c b a =- D. 2136c b a =+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求出答案.【详解】13c OC OB BC OB AB ==+=+()141333OB OB OA OB OA =+-=-4133b a =-.故选C .【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3.有一组试验数据如图所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是（ ） A. 21xy =- B. 21y x =- C. 22log y x = D. 3y x =【答案】B 【解析】 【分析】将x 的数据代入依次验证各模型对应的y 值，排除偏差较大的选项即可得到结果. 【详解】当 2.01x =时， 2.01213y =-≈，22.0113y =-≈，22log 2.012y =≈，32.018y =≈当3x =时，3217y =-=，2318y =-=，22log 34y =<，3327y == 可知,C D 模型偏差较大，可排除,C D ； 当 4.01x =时， 4.012115y =-≈，24.01115y =-≈当 5.1x =时， 5.12131y =-≈，25.1124y =-≈可知A 模型偏差较B 模型偏差大，可排除A ，选择B 故选：B【点睛】本题考查根据数据选择函数模型，关键是能够通过验证得到拟合度最高的模型，属于基础题.4.已知,a b 是不共线的向量，2,2,,A AB a b a b R C λμλμ=-=+∈，若,,A B C 三点共线，则,λμ满足（ ）A. 2λμ+=B. 1λμ=-C. 4λμ+=D. 4λμ=-【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理即可求解．【详解】由,,A B C 三点共线，则AB 、AC 共线， 所以存在不为零的实数m ，使得AB mAC = 即2(2),,a b m a b R λμλμ-=+∈ ， 又因为,a b 是不共线的向量，所以22mm λμ=⎧⎨-=⎩，消m 解得4λμ=-故选D【点睛】本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题．5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中卷一《方田》记载 ：“今有宛田，下周八步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是（ ） A. 8平方步 B. 6平方步C. 4平方步D. 16平方步 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形面积计算公式即可得出．【详解】∵弧长8步，其所在圆的直径是4步， ∴由题意可得：S 12=⨯2×8＝8（平方步）， 故选A ．【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.已知12tan θ=-，则2cos sin cos θθθ-的值为（ ）A. 65-B. 35-C.35D.65【答案】A 【解析】 【分析】观察所给式子是二次齐次式，因此可以用“1的代换“，整式除以22sin cos θθ+，再进行化简．【详解】解：22222cos 1cos sin cos tan 1sin cos tan sin cos θθθθθθθθθθ---==++， 将12tan θ=-，代入得，原式65=-． 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数化简求值，考查计算能力，是基础题．7.2011年12月,某人的工资纳税额是245元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( )注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3500(起征点)后的余额. A. 7000元 B. 7500元C. 6600元D. 5950元【答案】A 【解析】 【分析】根据不超过1500部分的纳税总额可确定月收入必超过5000元；利用比例关系可计算出月收入超过5000的额度，进而得到所求月收入.【详解】15003%45245⨯=< ∴该人的月收入必超过150035005000+=元()2454510%2000-÷= ∴该人月收入为500020007000+=元故选：A【点睛】本题考查根据给定模型解决实际问题，关键是明确所给的数据表实际体现了分段函数的特点，采用分段的方式依次求解即可.8.若2()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,12πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[2,4]-，则θ的值是（ ） A. 0 B. 12πC.6π D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】由()f x 值域可确定21sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；利用x 的范围可确定223x π+的范围，结合值域和正弦函数图象可确定223πθ+的值，进而求得结果. 【详解】当,12x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222,2323x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()24sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域为[]2,4- 21sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴+∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦27236ππθ∴+=，解得：4πθ=故选：D【点睛】本题考查根据正弦型函数的值域求解参数值的问题，关键是能够采用整体对应的方式，利用正弦函数的图象得到角的整体对应的值. 9.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A. B. C.D.【答案】D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．10.O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆是（ ）A. 以AB 为底面的等腰三角形B. 以BC 为底面的等腰三角形C. 以AB 为斜边的直角三角形D. 以BC 为斜边的直角三角形 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算． 因此可知2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+OB OC CB -=，所以(2)OB OC OA +-⋅()0OB OC -=可知为故有||AB AC =，因此可知b=c ，说明了是一个以BC 为底边的等腰三角形，故选B. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的运用．点评：解决该试题的关键是利用向量的加减法灵活的变形，得到长度b=c ，然后分析得到形状，注意多个变量，向一组基向量的变形技巧，属于中档题． 11.若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ）A. (,2]-∞-B. [6,)+∞C. 5(,2][,)2-∞-+∞D.15(,][6,)2-∞-+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,然后对ω大于0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围. 【详解】函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-①当0>ω时,,54x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴ 52ππω-≤-可得:52ω∴≥②当0ω<时,,45x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-∴42ππω≤-可得:2ω≤-综上所述,非零实数ω的取值范围是:5(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选:C.【点睛】本题考查了正弦函数在某区间上取最值时,求非零实数ω的取值范围.解题关键是能够掌握正弦函数sin()y A x ωφ=+图像性质,数学结合.12.已知M 是函数()2112sin 2x f x ex π--⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[]3,5x ∈-上的所有零点之和，则M 的值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】因为()212112sin 2cos 2x x f x ex e x ππ----⎡⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()(2)f x f x =-，因为()10f ≠，所以函数零点有偶数个，两两关于1x =对称.当[1,5]x ∈时，2(1)(0,1]x y e --=∈，且单调递减；2cos π[2,2]y x =∈-，且在[1,5]上有两个周期，因此当[1,5]x ∈时，2(1)x y e --=与2cos πy x =有4个不同的交点；从而所有零点之和为428⨯=，选C.点睛：对于确定方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量a 、b 的夹角为60，1a =，2b =，若(2)()a b x a b +⊥-，则实数x 的值为___________. 【答案】3 【解析】【详解】由题意可得：12cos601a b ⋅=⨯⨯=，且221,4a b ==， 则：()()()222212a b xa b xa x a b b +⋅-=+-⋅-，据此有：(21)80x x +--=，解得：3x =.14.设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】 【分析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值.【详解】因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ-=∈∴=+∈，，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ-+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间. 15.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为 .【答案】-16 【解析】【详解】试题分析：()()()()()()()()22AP AQ AB AC AQ AB AC AQ AB AC AB AC AB A P C Q +⋅-=+⋅-=⋅-=+-2292516.AB AC =-=-=考点：向量数量积16.函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________. 【答案】112π【解析】 【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果.【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅=232πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅= 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴=故答案为：112π【点睛】本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.三、解答题（要求写出过程，共70分）17.按要求完成下列各题 （1）已知51sin 123πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求sin 12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）解不等式：tan 2x <【答案】（1）3±；（2）,6262k k x x k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）利用诱导公式可知5sin cos 1212ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据同角三角函数关系可求得结果；（2）将不等式变为tan 2x <结合正切函数图象可确定2x 的范围，进而求得解集.【详解】（1）51sin sin cos 12212123ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 123πα⎛⎫∴-===±⎪⎝⎭（2）由tan 2x <tan 2x <<233k x k ππππ∴-+<<+，k Z ∈ 6262k k x ππππ∴-+<<+，k Z ∈ ∴不等式的解集为,6262k k x x k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查三角函数值求解、根据三角函数值域求解自变量的取值范围的问题，涉及到诱导公式和同角三角函数关系的应用；本题中求解三角不等式的关键是能够结合正切函数图象确定角整体所处的范围.18.已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；（2）若()1,1b =，a 与a λb +的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 【答案】（1）2,4c或()2,4-- （2）()5,00,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线. 【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ， 则(,2)c a λλλ==，又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±，故2,4c或()2,4--；（2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，由()1(1)2(2)0a a λb λλ⋅+=⨯++⨯+>，解得53λ>-， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ⨯+≠⨯+，解得0λ≠，故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.19.函数()()10,06f x Asin x A πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式和当[]0,x π∈时()f x 的单调减区间；(Ⅱ)()f x 的图象向右平行移动12π个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到()g x 的图象,用“五点法”作出()g x 在[]0,π内的大致图象. 【答案】(Ⅰ)2216sin x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(Ⅱ)图象见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ) 由函数()()10,06f x Asin x A πωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭的最大值为3,可求得A 的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为2π可求得周期，从而确定ω的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，k 取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到()g x 的解析式，列表、描点、作图即可得结果.【详解】(Ⅰ)∵函数f (x )的最大值是3, ∴A +1=3,即A =2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π, ∴最小正周期T =π,∴ω=2.所以f (x )=2sin(2x -6π)+1 令2π+2kπ≤2x −6π≤32π+2kπ,k ∈Z, 即3π+kπ≤x≤56π+kπ,k ∈Z,∵x ∈[0,π], ∴f (x )的单调减区间为[3π,56π].(Ⅱ)依题意得g (x )=f (x -12π)-1=2sin(2x -3π), 列表得：描点连线得g (x )在[0,π]内的大致图象.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式、单调性、三角函数的图象变换及“五点法”作图，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天.） 【答案】（1）()300,02002300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩；()()21150100,0300200g t t t =-+≤≤；（2）从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知()f t 为分段函数，每一段均为依次函数；()g t 为二次函数；由函数图象所过点即可求得函数解析式；（2）令()()()h t f t g t =-，得到函数解析式，纯收益最大即为()h t 最大；分别在0200t ≤≤和200300t <≤两种情况下，结合二次函数性质确定最大值点和最大值，综合可得最终结论.【详解】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为()300,02002300,200300t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为()()21150100,0300200g t t t =-+≤≤ （2）设t 时刻的纯收益为()h t ，则()()()h t f t g t =-即()2211175,020020022171025,20030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩当0200t ≤≤时，配方得到()()2150100200h t t =--+ ∴当50t =时，()h t 取得区间[]0,200上的最大值为()50100h =；当200300t <≤时，配方整理得到：()()21350100200h t t =--+ ∴当300t =时，()h t 取得区间(]200,300上的最大值为()30087.5h =综上所述，()h t 在区间[]0,300上的最大值为100，此时50t = 即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【点睛】本题考查根据函数图象求函数解析式、利用函数模型求解实际问题，涉及到二次函数最值的求解问题；关键是能够准确的构造出函数模型，利用函数的思想来解决问题. 21.如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==，请求出x y 、的关系式，并记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围． （参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．） 【答案】（1）()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤；（2）11[,]43k ∈ 【解析】 【分析】（1）利用,AB AC 表示AM 可知1144AM AB AC =+；由,,P Q M 三点共线可知()1AM AP AQ λλ=+-，由此得到()1AM xAB yAC λλ=+-，从而构造方程消掉变量λ即可得到所求函数表达式；（2）设21S =，则1S xy =，由（1）中结论可表示为关于x 的函数；利用12S k S =，结合换元法可将问题转化为对号函数值域的求解问题，通过参数t 的范围，结合对号函数单调性可确定最值，进而得到所求范围. 【详解】（1）D 为BC 的中点，M 为AD 的中点∴111111222244AM AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又,,P Q M 三点共线 ()()11AM AP AQ xAB yAC λλλλ∴=+-=+-，故()14114x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去λ得：11144x y += 当Q 与C 重合时，1y =，此时13x =()41x y f x x ∴==-113x ⎛≤≤⎫⎪⎝⎭（2）设ABC ∆的面积为21S = 则APQ∆的面积2141x S xy x ==-113x ⎛≤≤⎫ ⎪⎝⎭令41t x =-，则1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2111116216t S t tt +⎛⎫∴==++ ⎪⎝⎭1211216S k t S t ⎛⎫∴==++ ⎪⎝⎭，1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当1t =时，min 14k =；当13t =或3时，max 13k = 11,43k ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用、函数解析式和值域的求解问题；涉及到平面向量基本定理的应用、对号函数的性质的应用等知识；易错点是在求解函数解析式时，忽略自变量的范围限制，造成求解错误.22.定义在R 上的函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤≤⎪⎝⎭，若已知其在()0,7x π∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时函数取得最大值为3；当6x π=，函数取得最小值为3-．（1）求出此函数的解析式；（2）若将函数()f x 的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的13得到函数()g x ，再将函数()g x 的图像向左平移()000ϕϕ>个单位得到函数()h x ，已知函数()lg ()g x y e h x =+的最大值为e ，求满足条件的0ϕ的最小值；（3）是否存在实数m ，满足不等式()()sinsin A A ϕϕ>？若存在，求出m 的范围（或值），若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()133sin 510f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）10π；（3）存在，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）利用最大值和最小值确定A 和T ，进而得到ω；利用()3f π=可求得ϕ的取值，进而得到所求函数解析式；（2）由图象平移和伸缩变换原则得到()(),g x h x ，由xy e =与函数lg y x =的单调性可知只有当()1g x =，()1h x =同时取得时，函数取最大值，由此可得到010k ϕπ=，根据00ϕ>得到最终结果；（3）由偶次根式被开方数大于等于零可确定m 的范围，进而得到两角整体所处范围，根据函>，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）()()max 3f x f π==，()()min 63f x f π==- 3A ∴=，()22610T ππππω==⨯-= 15ω∴=()3sin 35f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭252k ππϕπ∴+=+，k Z ∈解得：3210k πϕπ=+，k Z ∈，又02πϕ≤≤ 310πϕ∴= ()133sin 510f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）由题意知：()13sin 510g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()0131sin 5105h x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 函数xy e =与函数lg y x =均为单调增函数，且()11g x -≤≤，()01h x <≤∴当且仅当()13sin 1510g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭与()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭同时取得才有函数的最大值为e 由()13sin 1510g x x π⎛⎫=+=⎪⎝⎭得：1321025x k πππ+=+，k Z ∈ 又()0131sin 15105h x x πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ 01cos 15ϕ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭010k ϕπ∴=，k Z ∈又00ϕ> 0ϕ∴的最小值为10π（3）m 满足2223040m m m ⎧-++≥⎨-+≥⎩，解得：12m -≤≤ ()2223144m m m -+=--++≤ 02∴≤同理02≤15ω=，310πϕ=323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎣∴⎥⎦，323,10510ππϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦由（1）知函数在[]4,ππ-上递增若有()()sinsin A A ϕϕ>>，即12m >成立即可∴存在1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使()()sin sin A A ϕϕ>成立【点睛】本题考查三角函数与函数部分知识的综合应用问题，涉及到根据函数性质求解函数解析式、三角函数的平移和伸缩变换、根据函数最值求解参数值、利用单调性求解函数不等式的问题；本题综合性较强，属于较难题.。

高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1.若直线的倾斜角为120︒，则直线的斜率为（ ）A． CD． 2．已知直线a //平面α，直线b ⊂平面α，则（ ）． A ．a //b B ．a 与b 异面 C ．a 与b 相交 D ．a 与b 无公共点 3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 （ ）4．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A ．120︒B ．150︒C ．180︒D ．240︒6．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是（ ）A ．,m αβα⊥⊂B ．,m ααβ⊥⊥C ．,m n n β⊥⊂D ．//,m n n β⊥ 7．过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ） A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=8．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．[]1,5-B ．()1,5-C ．(][)15,-∞-+∞， D ．()1(5,)-∞-+∞，9．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A 图1 B C DA ．35003cm π B ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π10．直线y x b =+与曲线21x y =-1个公共点， 则b 的取值范围是（ ）A ．2b =．11b -<≤或2b =C ．11b -≤≤D ．11b -≤≤ 或2b =11．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ） A ．1 B 2．2-12D ．2+1212 ．已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是 （ ） A ．(0,1)B ．21(1)2 C. 21(1]23-D ． 11[,)32二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上） 13. 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．14．过点（1，3）且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 ． 15．无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．16.光线从A (1，0) 出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ．17. 已知圆221:1C x y +=与圆()()222:241C x y -+-=，过动点(),P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、(PN M 、N 分别为切点），若PM PN =,则()()222251a b a b +-++最小值是 ．18．如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___ (写出所有正确命题的编号). ①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形; ③当314CQ <<时,S 为六边形; ④ 当1CQ =时,S 的面积为6. 三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．（本小题满分10分）如图所示的多面体111A ADD BCC 中，底面ABCD 为正方形，1AA //1DD //1CC ，111224AB AA CC DD ====，且1AA ABCD ⊥底面．（Ⅰ）求证：1A B //11CDD C 平面； （Ⅱ）求多面体111A ADD BCC 的体积V ． 20. （本小题满分12分）已知ABC ∆中，顶点()2,2A ，边AB 上的中线CD 所在直线的方程是0x y +=，边AC 上高BE 所在直线的方程是340x y ++=． （Ⅰ）求点B 、C 的坐标； （Ⅱ）求ABC ∆的外接圆的方程．21．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1=a ，E 是A 1C 1的中点，F 是AB 中点．（Ⅰ）求直线EF 与直线CC 1所成角的正切值；（Ⅱ）设二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角为θ，求tan θ的值． 22．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，90BAD ∠=︒，且22BC AD ==，4AB =，3SA =． (Ⅰ)求证：平面SBC ⊥平面SAB ；（Ⅱ）若E 、F 分别为线段BC 、SB 上的一点（端点除外），满足SF CEFB EBλ==． (ⅰ)求证：不论λ为何值，都有SC //平面AEF ．(ⅱ)是否存在λ，使得090AFE ∠=，若存在，求出符合条件的λ值；若不存在，说明理由．A 1D CBD 1C 1A23．(本小题满分13分)已知圆C ：229x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y-=.(1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；（2）在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上的任一点P ，都有PB PA为一常数，试求出所有满足条件的点B的坐标.参考答案一、选择题：BDDBC DAAAB CB 二、填空题：(1,1,2)210x y -+=(3,1)25①②④ 三、解答题：19．解法一：（Ⅰ）证明：取1DD 的中点,M 连接1A M 、MC ， 由题意可知112,//AA DM AA DM ==，∴四边形1AA MD 为平行四边形，得1//A M AD 又//AD BC ，1//A M BC ∴∴四边形1A BCM 为平行四边形，1//A B CM ∴，……………………………………………3分又11111,A B CDD C CM CDD C ⊄⊂平面平面 111//A B CDD C ∴平面．…………………………5分（II ）1,AA ⊥平面A BC D1AA AB ∴⊥又1,AD AB ADAA A ⊥=11AB ADD A ∴⊥平面同理可得11BC CDD C ⊥平面．……………………………7分 连结BD ，则1111B ADD A B CDD C V V V --=+，1111116224332B ADD A ADD A V S BA -⨯=⨯⨯=⨯⨯=，11111116422333B CDDC CDD C V S BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，∴所求的多面体的体积为 1628433V =+=．……………………………10分解法二：（Ⅰ）证明：11111111//,,AA DD AA CDD C DD CDD C ⊄⊂平面平面，111//AA CDD C ∴平面，同理可得11//AB CDD C 平面， 又1,AA AB A =111//ABA CDD C ∴平面平面，………………………………3分又11A B ABA ⊂平面，111//A B CDD C ∴平面．………………………………………5分（Ⅱ）1AA ⊥平面ABCD ，1AA AB ∴⊥，又1,AD AB ADAA A ⊥=，11BA ADD A ∴⊥平面．…………………………………………………………………7分 1111BCC ADD B AA D V V V --=+，1111122482BCC ADD BCC V BA S BC CC -∆=⋅=⨯⨯⨯=⨯=，11111142223323B AA D AA D V S AB -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，∴所求的多面体的体积为428833V ∴=+=．………………………………………10分20．解（1）由题意可设(34,)B a a --，则AB 的中点D 322(,)22a a --+必在直线CD 上， ∴322022a a --++=，∴0a =，∴(4,0)B -， ……………………4分 又直线AC 方程为：23(2)y x -=-，即34y x =-，C 1CA MAC 1D 1BC D A 1由034x y y x +=⎧⎨=-⎩得，(1,1)C - ……………6分（2）设△ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ……………………7分则22222220(4)40110D E F D F D E F ⎧++++=⎪--+=⎨⎪++-+=⎩……………………10分 得941147D E F ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴△ABC 外接圆的方程为229117044x y x y ++--=．……………………12分 21.（1）∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，∴EG⊥平面ABC ∵EG∥CC 1∴∠FEG 为直线EF 与CC 1所成的角。

3福建省四校高一数学上学期期末联考试题满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{560}A x x x =-+≤，集合{24}x B x =>，则集合A B =I （ ） A ．{23}x x ≤≤ B ．{23}x x ≤< C ． {23}x x <≤ D ．{23}x x <<2. 直线3420x y +-=和直线6810x y ++=的距离是( ) A.35 B. 12 C. 310D. 15 3． 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12⊥l l , 则a 的值为( ) A . 8 B. 2 C. 12-D. 2- 4.已知圆221:460C x y y +--+=和圆222:60C x y y +-=，则两圆的位置关系为( ) A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切5. 幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A. 2或1-B. 2C. 1-D. 2-或1 6． 三个数20.60.6,ln 0.6,2a b c ===之间的大小关系是( )A. c a b <<B.c b a <<C. b c a << D ．a c b << 7. 关于不同的直线,m n 与不同的平面,αβ，有下列四个命题：①,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ②,m n αβP P 且αβP ，则m n P ； ③,m α⊥n βP 且αβP ，则m n ⊥； ④,m αP n β⊥且αβ⊥，则m n P ． 其中正确的命题的序号是( )． A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④8. 方程2122xx =+的一个根位于区间（ ） A. 3(1,)2B. 3(,2)2C. 1(0,)2D.1(,1)29. 已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图是腰长为2的 等腰梯形, 则该几何体的全面积为( )A . 40+40+10. 奇函数()f x 在(,0)-∞上的解析式是()(1)f x x x =+， 则()f x 在(0,)+∞上有( ) A ．最大值14-B ．最大值14C ．最小值14-D ．最小值1411. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4AB BC CC ===，90ABC ∠=︒，,E F 分别为111,AA C B 的中点，沿棱柱的表面从点E 到点F的最短路径的长度为（ ）A．．12. 已知函数()22(0)()22(0)kx k x f x x ax a x -≥⎧⎪=⎨+--<⎪⎩，其中R a ∈，若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(122x x x ≠，使得)()(12x f x f =成立，则k 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。