2018届高三数学二轮复习 函数与方程思想数形结合思想 专题卷(全国通用) word版(含参考答案)

专题能力训练2函数与方程思想、数形结合思想专题能力训练第2页一、选择题1.设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程log a x+log a y=3,这时a的取值的集合为()A.{a|1<a≤2}B.{a|a≥2}C.{a|2≤a≤3}D.{2,3}答案B解析依题意得y=,当x∈[a,2a]时,y=.由题意可知⊆[a,a2],即有a2≥a,又a>1,所以a≥2.故选B.2.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一交点为P,则|PF2|=()A. B. C. D.4答案C解析如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则故r2=.3.(2017辽宁大连一模,文11)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]答案C解析方程2sin=m可化为sin,当x∈时,2x+,画出函数y=f(x)=sin在x∈上的图象如图所示:由题意,得<1,则m的取值范围是[1,2),故选C.4.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的可导函数,其导函数为f'(x),且满足xf'(x)+2f(x)>0,则不等式的解集为() 〚导学号52534117〛A.{x|x>-2 011}B.{x|x<-2 011}C.{x|-2 016<x<-2 011}D.{x|-2 011<x<0}答案C解析由xf'(x)+2f(x)>0,则当x∈(0,+∞)时,x2f'(x)+2xf(x)>0,即[x2f(x)]'=x2f'(x)+2xf(x),所以函数x2f(x)为单调递增函数,由,即(x+2016)2f(x+2016)<52f(5),所以0<x+2016<5,所以不等式的解集为{x|-2016<x<-2011},故选C.5.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,则x的取值范围是()A.{x|1<x<3}B.{x|x<1或x>3}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}答案B解析由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0,得a(x-2)+x2-4x+4>0.令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4,由a∈[-1,1]时,不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在[-1,1]上恒成立.则解得x<1或x>3.6.(2017河南濮阳一模,文9)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30B.25C.20D.15答案D解析圆x2+y2-6x=0的圆心(3,0),焦点F(3,0),抛物线y2=12x,设M(x1,y1),N(x2,y2).直线l的方程为y=2x-6,联立即x2-9x+9=0,∴x1+x2=9,∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15,故选D.7.若0<x1<x2<1,则()A.>ln x2-ln x1B.<ln x2-ln x1C.x2>x1D.x2<x1答案C解析设f(x)=e x-ln x(0<x<1),则f'(x)=e x-.令f'(x)=0,得x e x-1=0.根据函数y=e x与y=的图象(图略)可知两函数图象交点x0∈(0,1),因此函数f(x)在(0,1)内不是单调函数,故A选项不正确;同理可知B选项也不正确;设g(x)=(0<x<1),则g'(x)=.又0<x<1,∴g'(x)<0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.又0<x1<x2<1,∴g(x1)>g(x2).∴x2>x1.故C选项正确,D项不正确.8.已知在正四棱锥S-ABCD中,SA=2,则当该棱锥的体积最大时,它的高为()A.1B.C.2D.3答案C解析设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a(a>0),则高h=, 所以体积V=a2h=.设y=12a4-a6(a>0),则y'=48a3-3a5.令y'>0,得0<a<4;令y'<0,得a>4.故函数y在(0,4]上单调递增,在[4,+∞)内单调递减.可知当a=4时,y取得最大值,即体积V取得最大值,此时h==2,故选C.9.已知函数f(x)=x+x ln x,若k∈Z,且k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,则k的最大值为() 〚导学号52534118〛A.2B.3C.4D.5答案B解析由k(x-1)<f(x)对任意的x>1恒成立,得k<(x>1),令h(x)=(x>1),则h'(x)=,令g(x)=x-ln x-2=0,得x-2=ln x,画出函数y=x-2,y=ln x的图象如图,g(x)存在唯一的零点,又g(3)=1-ln3<0,g(4)=2-ln4=2(1-ln2)>0,∴零点属于(3,4),∴h(x)在(1,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增.而3<h(3)=<4,<h(4)=<4,∴h(x0)<4,k∈Z,∴k的最大值是3.二、填空题10.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是.答案(-1,0)解析在同一平面直角坐标系中,分别作出y=log2(-x),y=x+1的图象,由图可知,x的取值范围是(-1,0).11.若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是. 答案(1,2]解析由题意f(x)的图象如图,则∴1<a≤2.12.已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)内单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是.答案(-1,0)∪(0,1)解析作出符合条件的一个函数图象草图如图所示,由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1).13.(2017河北邯郸一模,文14)已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得解得∴圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.14.已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值为.答案2解析如图,S Rt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|,当CP⊥l时,|PC|==3,∴此时|PA|min==2.∴(S四边形PACB)min=2(S△PAC)min=2.15.我们把函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2,函数y1与函数y2的图象合起来组成函数y3的图象,若直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点,则满足条件的k的值为.〚导学号52534119〛答案(-3,3)解析依题意,作出函数y3的图象,如下图.∵函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2,∴y2=x2+3x+2(x<0).若要直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点,则需直线y=kx+2与y1,y2均有交点.将直线y=kx+2分别代入y1,y2中得x2-(3+k)x=0,x2+(3-k)x=0.解得x1=3+k,x2=k-3,x3=0(舍去),∵y1=x2-3x+2(x>0),∴x1=3+k>0;∵y2=x2+3x+2(x<0),∴x2=k-3<0.联立得解得-3<k<3.三、解答题16.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D,E分别为AB和BB'上的点,且=λ.(1)求证:当λ=1时,A'B⊥CE;(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE的体积最小,并求出最小体积.(1)证明∵λ=1,∴D,E分别为AB和BB'的中点.又AA'=AB,且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平行四边形ABB'A'为正方形,∴DE⊥A'B.∵AC=BC,D为AB的中点,∴CD⊥AB.∵三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,∴平面ABB'A'⊥平面ABC.∴CD⊥平面ABB'A',∴CD⊥A'B.又CD∩DE=D,∴A'B⊥平面CDE.∵CE⊂平面CDE,∴A'B⊥CE.(2)解设BE=x,则AD=x,DB=6-x,B'E=6-x.由已知可得C到平面A'DE的距离即为△ABC的边AB所对应的高h==4, ∴V A'-CDE=V C-A'DE=(S四边形ABB'A'-S△AA'D-S△DBE-S△A'B'E)h=h=(x2-6x+36)=[(x-3)2+27](0<x<6),∴当x=3,即λ=1时,V A'-CDE有最小值18.。

高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果．一、函数与方程思想典例1 椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，求r的取值范围．分析 由两个曲线方程联立消去一个未知数，分别用函数的观点或方程的观点来研究这个等式即可解决．解 方法一 用函数思想来思考从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①由方程①变形为r 2＝－54y 2＋2y ＋10.把r 2＝－54y 2＋2y ＋10看作y 的函数．由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2,2]的情况下， 求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域．由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝⎛⎭⎫45＝545， 可得f (y )的值域是⎣⎡⎦⎤1，545，即r ∈⎣⎡⎦⎤1，545， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫r ⎪⎪0<r <1或r >545. 方法二 用方程思想来思考从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①由C 1的方程可知，y ∈[－2,2]．两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0或者没有实数根，或者两个根y 1，y 2∉[－2,2]．若没有实数根，则Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫－54(10－r 2)<0， 解得r >545或r <－545. ⎝⎛⎭⎫由r >0，r <－545舍去 若两个根y 1，y 2∉[－2,2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧φ(2)＝9－r 2>0，φ(－2)＝1－r 2>0，解得0<r <1. 因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫r ⎪⎪0<r <1或r >545. 点评 本题难在由两个曲线方程联立消去一个未知数得到等式后不会处理或处理方式不当，导致解法出错．对于一个含变量限制条件问题的处理，转化为函数问题研究比研究方程的根会更好．典例2 已知集合M ＝{(x ，y )|(x ＋x 2＋1)(y ＋y 2＋1)＝1}，则集合M 表示的图形是________．分析 本题关键是找到变量x ，y 的关系，直接化简会很复杂，如果移项变形，化为x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋y 2＋1，构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )会轻易解决． 解析 方法一 把式子中的字母x ，y 看作变量，把等式中出现的代数式看作函数． 等式化为x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋y 2＋1. 构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )， 则上式就是f (x )＝f (－y )，由于函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )为R 上的增函数， 则x ＝－y ，即x ＋y ＝0， 所以集合M 表示的图形是直线．方法二 构造一个常见的函数g (x )＝lg(x ＋x 2＋1)(x ∈R )，则g (x )为R 上的增函数，且为奇函数．又已知等式可化为g (x )＋g (y )＝lg(x ＋x 2＋1)＋lg(y ＋y 2＋1)＝lg 1＝0，于是有g (x )＝－g (y )＝g (－y )，因此x ＝－y ，即x ＋y ＝0. 所以集合M 表示的图形是直线． 方法三 以方程的知识为切入点， 设s ＝x ＋x 2＋1，t ＝y ＋y 2＋1，于是s ，t 分别是方程s 2－2xs －1＝0，t 2－2yt －1＝0的正根． 由此可得s －2x －1s ＝0，t －2y －1t ＝0，相加并注意到st ＝1，s ＋t －2(x ＋y )－s ＋tst ＝0，即x ＋y ＝0，所以集合M 表示的图形是直线． 答案 直线点评 本题难在对所给的式子不会化简，导致半途而废．因为所给式子中有两个变量x ，y ，如果把所给等式进行整理x ＋x 2＋1＝1y ＋y 2＋1＝－y ＋y 2＋1，不难发现能构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )来解决．高考中的压轴题往往需要站在数学思想的角度来研究，蛮干是不行的．本题方法三对于学生来说要求比较高，仅供同学们赏析．典例3 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，若a ＝12 f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12f ⎝⎛⎭⎫ln 12，求证：a <c <b . 分析 根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，利用函数g (x )的奇偶性和单调性来帮助证明． 证明 构造函数g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 由已知得g (x )为偶函数， 所以12 f ⎝⎛⎭⎫12＝－12f ⎝⎛⎭⎫－12，又f ′(x )＋f (x )x >0，即xf ′(x )＋f (x )x >0，所以当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，即g ′(x )<0， 所以函数g (x )在(－∞，0)上单调递减． 又－2<ln 12<－12，所以－2f (－2)>⎝⎛⎭⎫ln 12 f ⎝⎛⎭⎫ln 12>－12 f ⎝⎛⎭⎫－12， 即a <c <b .点评 本题难在对要证明的结论与条件不会正确沟通，无法找到联系，导致找不到解法．有些貌似不是函数的问题，如果通过恰当变形，构造函数，往往会得到妙解． 从上面的例题可以看出函数方程思想解题思路如下： 1．能否想到构造函数从而利用函数的性质解题：能想到把一个代数式看成一个函数；把方程化作函数；把字母看作变量．从而构造一个函数来帮助解题．2．能否想到利用方程思想去解决较复杂变量等式的问题：对于一个含变量的等式想到把这个等式看作为一个含未知数的方程，通过对这个方程的根与系数的观察与研究进而获得问题的解决． 跟踪演练1．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 因为f (x )为偶函数， 所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立， 所以x ln a ＝0恒成立， 所以ln a ＝0，即a ＝1.2．(2017·江苏兴化中学质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 5＝0，S 6＝3，则nS n 的最小值为________． 答案 －9解析 由已知得a 5＝S 5－S 4＝2，a 6＝S 6－S 5＝3， 因为数列{a n }为等差数列，所以公差d ＝a 6－a 5＝1. 又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝0，所以a 1＝－2，故S n ＝－2n ＋n (n －1)2＝n 2－5n2，即nS n ＝n 3－5n 22，令f (x )＝x 3－5x 22(x >0)，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )>0，得x >103，令f ′(x )<0，得0<x <103.又n 为正整数，所以当n ＝3时，nS n ＝n 3－5n 22取得最小值，即nS n 的最小值为－9.3．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的长轴的左、右端点，点F 是右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解 (1)由题意可知，A (－6,0)，F (4,0)，由P A ⊥PF ， 设P (x ，y )(y >0)，由题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋6)2＋y 2＋(x －4)2＋y 2＝100，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝532，所以P ⎝⎛⎭⎫32，532.(2)设M (x,0)，－6≤x ≤6，k AP ＝33，AP ：y ＝33x ＋23， 即x －3y ＋6＝0，则|x ＋6|1＋3＝6－x ，即x 2－20x ＋36＝0，所以x ＝18(舍)或x ＝2，所以M (2,0)．设Q (x ，y )是椭圆上任意一点，则 QM ＝(x －2)2＋y 2＝ x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49x 2－4x ＋24＝ 49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 所以当x ＝92时，d min ＝15.4．(2017·江苏徐州调研)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值． 解 (1)由(1，c )为公共切点，可得f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，k 1＝2a ，g (x )＝x 3＋bx ，则g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝3＋b ， ∴2a ＝3＋b .①又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.(2)∵a 2＝4b ，∴设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，则h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋14a 2，令h ′(x )＝0，解得x 1＝－a 2，x 2＝－a6.∵a >0，∴－a 2<－a6，∴h (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a 2，－a 6上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a6，＋∞上单调递增． ①当－1≤－a 2，即0<a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －a 24；②当－a 2<－1<－a6，即2<a <6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1； ③当－1≥－a6，即a ≥6时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1. 综上所述，当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －a 24；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为h ⎝⎛⎭⎫－a2＝1.。

思想三 数形结合思想 强化训练2一、选择题1.【广东省茂名市五大联盟学校2018届3月联考】如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线，，，及圆构成的.在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A2.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．294cm + B ．2102cm + C.2112cm + D ．2112cm +【答案】C【解析】如图所示，该几何体是棱长为2的正方体砍去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积21222122241112cm 2⎛⎫⨯+⨯+⨯--=+ ⎪⎝⎭.选C.3.已知实数x y ，满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ）A．( B．C.[ D．[ 【答案】D4. 【山西省晋中市2018届1月】已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】不等式在上恒成立，令,，由图可知，或，即；又在上单调递增，故在上恒成立，，综上，.故选D.5.如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数：sin()y A x b ωϕ=++，则中午12点时最接近的温度为（ ）A ．26C ︒B ．27C ︒C ．28C ︒D ．29C ︒【答案】B6.已知函数()32f x x ax bx c =+++，()232g x x ax b =++（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①()()010f f ⋅≤；②()()010g g ⋅≥；③23a b -有最小值.正确结论的个数为（ ） A ．0 B ．1 C.2 D ．3 【答案】C7. 【东北三省三校2018届第一次模拟】在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可以点为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点的坐标分别为，直线的方程为，不妨设点的坐标分别为整理得，则，即，所以当时，有最小值，当时，有最大值.故选A.8.已知函数|ln |,02,()(4),24,x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x （1234x x x x <<<）时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．98B ．22-C ．2516D 12【答案】B9.已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[]3,3x ππ∈-时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B10. 【江西省南昌市2018届第一次模拟】设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为( ) A. B.C.D.【答案】A【解析】当时，，绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，据此排除B 选项；当时，，绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，据此排除CD 选项；本题选择A 选项. 二、填空题11. 【广东省广州市广州大学附中等2018届联考】若函数，且的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】12.函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<在R 上的部分图象如图所示，则(2014)f 的值为_____.【答案】52-【解析】由函数的图象可得5A =，周期12)1(-112T =-==ωπ，所以6πω=．再由五点法作图可得0)1(6=+-φπ，所以6πφ=，故函数)66sin(5)(ππ+=x x f ．故2014(2014)5sin()66f ππ=+ 201555sin5sin )662ππ==-=（． 13. 【江苏省扬州市2018届期末】已知函数，若存在实数使得该函数的值域为，则实数的取值范围是__________．【答案】14.【山东省威海市2018届期末】在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则点的横坐标的取值范围是________. 【答案】 【解析】设，则因为，，所以，又即在圆，又在直线的上方，设直线与圆交点为，圆与正半轴交于，则在弧上，由，得，又，，即点的横坐标的取值范围是，故答案为.三、解答题15.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b c +--=． （1）求A ；（2）若AD 为BC 边上的中线，1cos ,7B AD ==，求ABC ∆的面积．2222cos AD AB BD AB BD B =+-，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==．故1sin 2ABC S ac B ∆== 16. 【山西省晋中市2018届1月高考适应性调研】如图，四棱锥中，底面是直角梯形，,，,侧面底面,且是以为底的等腰三角形.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若四棱锥的体积等于.问：是否存在过点的平面分别交，于点，使得平面平面？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由.∴平面平面，∵侧面，且平面平面由（Ⅰ）知，平面，若四棱锥的体积等于，则，所以，在和中，∴，则，∴是直角三角形，则.17. 【2017届江西省上饶市高三第一次模拟】已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程．本文档仅供文库使用。

一、选择题1.设a ，b ，c 均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2cc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C2. 【湖北省天门、仙桃、潜江2018届期末联考】已知直线交椭圆于A ，B 两点，若C ，D 为椭圆M 上的两点，四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，则四边形ACBD 的面积的最大值为 A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得，解得或，不妨设，则，，直线的方程为，可设直线的方程为联立，消去，得到，直线与椭圆有两个不同的交点则，解得，设，，，，当时，取得最大值，四边形ACBD的面积的最大值为，故选3.如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A.243π+ B.243π+C.43π+ D.43π+【答案】D4.若实数 x y ，满足2301x y y x -+≥⎧⎨≥≥⎩，则z 的最小值为（ ） A ．3 B【答案】D5.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且32 43AM AB AN AD ==，，连接AC ，MN 交于P 点，若AP AC λ=，则λ的值为（ ）A BCMA ．35B ．37 C.613D ．617【答案】D【解析】因为()++AP AC AB AD AB AD λλλλ===，又3243AM AB AN AD ==，，所以4332AP AM AN λλ=+，而,,P M N 三点共线，43132λλ+=，43132λλ+=，λ=617，故选D. 6. 【广东省广州大学附中等2018届联考】如图，是半径为，的扇形，是弧上的点，是扇形的内棱矩形，经，若，且当时，四边形的面积取得最大，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】B7. 【河北省唐山市2018届第一次模拟】已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC 中点，则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h，∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．则AG=CG=，过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=,再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,∴y=，,令f（x）=，则f′（x）=，由f′（x）=0，可得x=，∴当x=时，f（x）max=，∴△ABD面积的最大值为,则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是故答案为：B.8.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=（ ）A ．4B ．49C ．49- D ．0【答案】A9.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，0)3()(=++-x f x f ；当)3,0(∈x 时，xxe xf ln )(=，其中e 是自然对数的底数，且72.2≈e ，则方程0)(6=-x x f 在]9,9[-上的解的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】当0>x 时，0)3()(=++-x f x f (3)()()3,f x f x f x T ⇒+=--=⇒=又0)(6=-x x f()6x f x ⇒=，记()6xg x =⇒原命题可转化为(),()f x g x 的图象交点个数.又2(1ln )'()00,'()0;3,'()0e x f x x e x e f x e x f x x -==⇒=⇒<<><<>，可作出(),()f x g x 在[0,)+∞上的图象（如下图）⇒(),()f x g x 在(0,9]上的交点个数为3，根据(),()f x g x 均为奇函数可得：(),()f x g x在[9,9]-上的交点个数为3317++=，故选D.10. 【安徽省芜湖市2018届一模】已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B二、填空题11.在边长为1的正方形中，，的中点为，，则__________．【答案】12.已知函数()sin 2y k kx πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭与函数26y kx k =-+的部分图像如右图所示，则ϕ=____________．【答案】6π-【解析】令2062sin(2)sin()066x y k k k y x ππϕϕϕ=⇒=-+=⇒=⇒=+⇒+=⇒=-.13. 【河北省定州中学2018届第二次阶段考试】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 ，若，则_______．【答案】1 【解析】由题意，在抛物线上，则，则，① 由抛物线的性质可知，，则，被直线截得的弦长为，则，由，在中，，即，代入整理得，② 由①②，解得，，故答案为.14. 【福建省莆田市2018届3月】已知是上的偶函数，且．若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是__________．【答案】三、解答题15 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x( x >0 )．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．16. 【山东省淄博市2018届高三3月模拟】已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点．（1）证明：点在定直线上；（2）当最大时，求的面积．【解析】（1）显然椭圆的右焦点的坐标为，设所在直线为：，且．联立方程组：，得：；其中，点的坐标为所在直线方程为：．所在的直线方程为：，联立方程组：，得，故点在定直线上；17.已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，过点,12Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭作圆221x y +=的切线，切点分别为,S T .直线ST 恰好经过Ω的右顶点和上顶点.（1）求椭圆Ω的方程；（2）如图，过椭圆Ω的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD .① 设,AB CD 的中点分别为,M N ，证明: 直线MN 必过定点，并求此定点坐标； ②若直线,AB CD 的斜率均存在时，求由,,,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围.(2) ①若直线 ,AB CD 斜率均存在，设直线()()()1122:1,,,,AB y k x A x y B x y =-, 则中点1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 先考虑0k ≠ 的情形.由()221220y k x x y ⎧=-⎪⎨+-=⎪⎩得()2222124220k x k x k +-+-=.由直线AB 过点()1,0F ，可知判别式0∆>恒成立. 由韦达定理，得2122412k x x k +=+，故2222,1212k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将上式中的k 换成1k -，则同理可得222,22k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.若22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在. 此时直线MN 过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.下证动直线MN 过定点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.② 当直线,AB CD 的斜率均存在且不为0时， 由①可知，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得 ()2222124220k x k x k +-+-=,所以12AB x =-==)222122112k kk ++==+.同理，)2222111221k k CD k k ⎫+⎪+⎝⎭==++，。

专题能力训练21 函数与方程思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若关于x的方程ax+=3的正实数解有且仅有一个,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,0]∪{2}C.[0,+∞)D.[0,+∞)∪{-2}2.在正项等比数列{a n}中,a n+1<a n,a2·a8=6,a4+a6=5,则=()A B C D3.函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为()A.4B.5C.6D.74.若函数y=f(x)的值域是,则函数F(x)=f(x)-的值域是()A BC D5.(2017浙江嘉兴一模)已知函数f(x)=3sin(3x+φ),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有()A.2个B.3个C.4个D.5个6.已知实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=1,则a+2b的最大值是()A B.2 C D.37.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=10-|x|在上根的个数是()A.4B.6C.8D.108.已知函数f(x)=则方程f=1的实根个数为()A.8B.7C.6D.5二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.对于满足0≤p≤4的实数p,使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是.10.已知x,y,且有2sin x=sin y,tan x=tan y,则cos x=.11.已知向量a,b及实数t满足|a+t b|=3.若a·b=2,则t的最大值是.12.已知数列{a n}的通项公式为a n=25-n,数列{b n}的通项公式为b n=n+k,设c n=若在数列{c n}中,c5≤c n对任意n∈N*恒成立,则实数k的取值范围是.13.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且tan B=,则tan B等于.14.(2017浙江金华十校4月模拟)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.三、解答题(本大题共1小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分30分)过离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C 交于不同的两点A,B,设|FA|=λ|FB|,T(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若1≤λ≤2,求△ABT中AB边上中线长的取值范围.参考答案专题能力训练21函数与方程思想1.B2.D解析由题意可知a4·a6=6,且a4+a6=5,解得a4=3,a6=2,所以.3.B解析因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2,而sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B.4.A5.C解析令f(x)=3sin(3x+φ)=2,得sin(3x+φ)=∈(-1,1),又x∈[0,π],∴3x∈[0,3π],∴3x+φ∈[φ,3π+φ];根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选C.6.A7.B解析由题意,可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,所以,在同一坐标系内,画出函数f(x),y=10-|x|=的图象,观察它们在区间的交点个数,就是方程f(x)=10-|x|在上根的个数,结合函数图象的对称性,在y轴两侧各有3个交点,故选B.8.C解析令f(x)=1得x=3或x=1或x=或x=-1,∵f=1,∴x+-2=3或x+-2=1或x+-2=或x+-2=-1.令g(x)=x+-2,则当x>0时,g(x)≥2-2=0,当x<0时,g(x)≤-2-2=-4,作出g(x)的函数图象如图所示:∴方程x+-2=3,x+-2=1,x+-2=均有两解,方程x+-2=-1无解.∴方程f=1有6解.故选C.9.(-∞,-1)∪(3,+∞)解析x2+px>4x+p-3对于0≤p≤4恒成立可以变形为x2-4x+3+p(x-1)>0对于0≤p≤4恒成立,所以一次函数f(p)=(x-1)p+x2-4x+3在区间[0,4]上的最小值大于0,即所以x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).10. 解析由-cot2y=1,得=1,化为4cos2x=1,因为x∈,所以cos x=.11. 解析a·b=2⇒ab cos θ=2(θ为a,b的夹角),|a+t b|=3⇒9=a2+t2b2+4t,∴9=a2++4t≥4t≥8t,∴t≤,等号成立当且仅当|cos θ|=1.12.[-5,-3]解析数列c n是取a n和b n中的最大值,据题意c5是数列{c n}的最小项,由于函数y=25-n是减函数,函数y=n+k是增函数,所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4,即5+k≤25-5≤6+k 或25-5≤5+k≤25-4,解得-5≤k≤-4或-4≤k≤-3,所以-5≤k≤-3.13.2- 解析由余弦定理得a2+c2-b2=2ac cos B,再由,得ac cos B=,∴tan B==2-.14.9-32解析由xy+2z=1,可得z=.∴5=x2+y2+≥2|xy|+,当xy≥0时,x2y2+6xy-19≤0;当xy<0时,x2y2-10xy-19≤0.由x2y2+6xy-19≤0,解得0≤xy≤-3+2.由x2y2-10xy-19≤0,解得5-2≤xy<0.∴xyz=xy·=-,可得当xy=5-2时,xyz取得最小值为9-32.15.解 (1)∵e=,c=1,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)①当直线的斜率为0时,显然不成立.②设直线l:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+2y2-2=0得(m2+2)y2+2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=.由|FA|=λ|FB|,得y1=-λy2.因为-λ+,所以-λ++2=.所以0≤m2≤.所以AB边上的中线长为|==.。

思想3.3 数形结合思想一、选择题1.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（ ） A.14 B ．12 C.34 D ．13【答案】A【解析】2y x >的概率为11112214⨯⨯=.选A.2.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．48πB ．32π C.12π D ．8π 【答案】C3. 【湖南省怀化市2018届期末】在中，，，，点为内（包含边界）的点，且满足（其中为正实数），则当最大时，的值是（ ）A. B. 1 C. 2 D. 与的大小有关【答案】B【解析】过点P 分别作AB,AC 的平行线，与AB,AC 的公共点分别是P,Q ．首先，对于固定的角A ，要使得最大，仅需最大，即最大，即平行四边形AMPN的面积最大，显然P 需与B ，C 共线，此时．由基本不等式，知 ，当且仅当时，取到等号，此时．故答案为：B.4.定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．4 【答案】C5. 【甘肃省兰州市2018届一诊】已知圆：，直线：，则圆上任取一点到直线的距离大于的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示，设直线与直线之间的距离为，弧ACB 和弧EFG 上的点满足题意，且：，由角度型几何概型计算公式可得圆上任取一点到直线的距离大于的概率：.本题选择B 选项.6.已知函数)2||,0,0(sin)(πϕωϕω<>>+=A x A x f ）（，其导函数)('x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（ ）A ．)62cos()(π-=x x f B ．)62sin()(π+=x x f C ．)62cos(21)(π+=x x f D ．1()sin(2)26f x x π=- 【答案】D7.函数ln ||||x x y x =的图象大致为（ ）【答案】B【解析】函数为奇函数，不选A,C ；当0x >时ln y x =为单调增函数，选B. 8. 【云南省昆明市第一中学2018届第六次月考】已知函数，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】C则可看作区域内点与定点的斜率.直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，所以，故选C ．9. 【江西省南昌市2018届第一次模拟】已知为双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为( )A. 4B.C. 2D.【答案】D10.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ） A ．56 B ．512 C ．524 D ．548【答案】C【解析】232555AP AC DP DA DC =⇒=+,设DP xDM yDN =+,则1x y +=，又DP mxDA ynDC =+,所以3232,15555mx ny m n==⇒+=，因此3219412423(23)()(12)(1255555n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当23m n =时取等号，选C. 二、填空题11. 【安徽省江南十校2018届3月联考】正四棱柱底面边长为，侧棱长为，、分别为棱、的中点，则四面体的外接球的表面积为__________．【答案】12.函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图象如图3所示，则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移 个单位得到．【答案】6π【解析】由图象可得，354123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解得T π=，由2T ππω==得2ω=.因为图象过点5 212π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则5262k ππϕπ+=+，得()=23k k Z πϕπ-+∈，由22ππϕ-<<，得3πϕ=-，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以将()2sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.13.已知偶函数()f x 满足()()11f x f x -=，且当[]1 0x ∈-，时，()2f x x =，若在区间[]1 3-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()3 5，14. 【河北省唐山市2018届第一次模拟】已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则__________．【答案】 【解析】如图，设P （t 2，t ），则Q （t 2，0），PQ 中点H （t 2，）．M，∴直线MQ 的方程为： ，令x=0，可得y N =，∴则 故答案为：．三、解答题15.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .16.【2018河南中原名校质检】已知关于x 的不等式. （1）当3a =时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数a 的取值范围.解法二：()()253{123 52(2)x x x x x -≥=≤≤-<，当3x ≥时， 1y ≥，当23x ≤<时， 1y =，当2x <时， 1y >， 综上1y ≥，原问题等价于 1a ≤.，当且仅当()()230x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.17.如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，//AP OM ，//BP ON.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由. （Ⅱ）判断OMN。

数学思想专项练(二) 数形结合思想(对应学生用书第页)题组利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题．方程－＝＋(＞)的解的个数是( )．．．．[∵＞，∴＋＞.而＝－的图象如图，∴＝－的图象与＝＋的图象总有个交点．]．已知函数()＝－，则下列结论正确的是( )．()有三个零点，且所有零点之积大于－．()有三个零点，且所有零点之积小于－．()有四个零点，且所有零点之积大于．()有四个零点，且所有零点之积小于[在同一坐标系中分别作出()＝与()＝的图象，如图所示，由图象知()与()有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是，，，因为＜，＞，所以－＜＜－，同理＜＜＜＜，即－＜＜－，即所有零点之积大于－.]．(·内蒙古包头一模)定义在上的奇函数()满足(－)＝－()且在[]上为增函数，若方程()＝(＞)在区间[－]上有四个不同的根，，，，则＋＋＋的值为( )．．－．．－[此函数是周期函数，又是奇函数，且在[]上为增函数，综合条件得函数的示意图如图所示．由图看出，四个交点中，轴左侧的两个交点的横坐标之和为×(－)＝－，另两个交点的横坐标之和为×＝，所以＋＋＋＝－.故选.]．(·湖南湘中名校联考)已知函数()＝－＋＋＋有两个极值点，，若＜()＜，则关于方程[()]－()－＝的实数根的个数不可能为( )．．．．[由题意，得′()＝－＋＋.因为，是函数()的两个极值点，所以，是方程－＋＋＝的两个实数根，所以由[()]－()－＝，可得()＝或()＝.由题意，知函数()在(－∞，)，(，＋∞)上单调递减，在(，)上单调递增，又＜()＜，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[()]－()－＝的实根个数不可能为，故选.]．(·合肥二模)若函数()＝＋在[π，π]上有且只有一个零点，则实数＝.[函数()＝＋在[π，π]上有且只有一个零点，即方程＋＝在[π，π]上只有一解，即函数＝－与＝，∈[π，π]的图象只有一个交点，由图象可得＝.]．设()是定义在上且周期为的函数，在区间[)上，()＝(\\(，∈，，∉，))其中集合＝，则方程()－＝的解的个数是.【导学号：】[由于()∈[)，则只需考虑≤<的情况．在此范围内，当∈且∉时，设＝，，∈*，≥且，互质，若∈，则由∈()，可设＝，，∈*，≥且，互质，因此＝，则＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此∉，因此不可能与每个周期内∈对应的部分相等，只需考虑与每个周期∉部分的交点．画出函数草图．图中交点除()外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期∉部分，且＝处( )′＝)＝)<，则在＝附近仅有一个交点，因此方程解的个数为.]题组利用数形结合思想求解不等式或参数范围．若不等式＞ (＞，≠)对任意∈都成立，则的取值范围为( )。

2018高三二轮复习函数与方程的思想及数形结合思想专题卷一．选择题（本大题共12题，每题只有一个选项是正确的，每题5分，共60分）1．已知集合M={x |x 2=a 2, a ∈{x |x 是正实数}， N={x | nx =a ，a ≠0}，若N ⊂≠M ，则n 取值的集合是（ ）A. {1}B. {－1}C. {－1,1}D. {－1,0,1}1.D 解析:（方程思想）当n =0时, N=∅, 此时N ⊂≠M , 又由x = ±a , 可以求得n =±1, 从而可得n 取值的集合是{－1,0,1}, 故应选D.2．使得点)2sin ,2(cos ααA 到点)sin ,(cos ααB 的距离为1的α的一个值是 （ ） A ．12π B ．6π C ．3π- D ．4π- 2.C 解析 （方程思想）由已知可得22(cos2cos )(sin 2sin )1αααα-+-=, 解得1cos 2α=, 仅C 符合要求.3.已知a 、b 、c 依次为方程2x +x =0，log 2x =4和x x =21log 的实数根，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a ＞b ＞c B. b ＞a ＞c C. c ＞b ＞a D. b ＞c ＞a3.D 解析: （函数与方程思想）需确定a 、b 、c 的取值或范围，然的进行大小比较. 由2x +x =0，知x ＜0，得a ＜0 由x x =21log ，及 x 21log 有意义，知x ＞0，由等式x x =21log ，得0＜x ＜1，从而有0＜c ＜1 .由log 2x =2，知x =4, 即 b =4,因此b ＞c ＞a ，故选D.4．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，那么在区间[]1,3-内，关于x 的方程()()1R 1f x kx k k k =++∈≠-且的根的个数（ ）A 、不可能有三个；B 、最少有一个，最多有四个；C 、最少有一个，最多有三个；D 、最少有二个，最多有四个 4.B. 解析: （数形结合思想） 1y kx k =++过定点(－1,1)， 结合()y f x = 的图象（连续），当1k =-时，在[]1,0x ∈-有无数个解，又1k ≠-，故选B.5．已知函数f (x )=－4x 2+4ax －a 2－4a (a <0)在区间[0,1]上有最大值－12，则实数a 的值为 ( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－65.D 解析: （函数思想数形结合思想）由已知得函数f (x )=－4x 2+4ax －a 2－4a 对称轴02ax =<, ∴在区间[0,1]上函数f (x ) 取得最大值2()(0)412f x f a a ==--=-最大值 , 解得6a =-或2a =(舍去),故应选D.6．(理)已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为（ ）第4题图A. B. C. D.ＰＢＣＡE D(文) 方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是 （ ）A ．B ．C ．D ．6.(理)C 解析:（方程思想数形结合思想）设z x yi =+,则22()()()()20zz iz iz x yi x yi i x yi i x yi x y y +-=+-++--=+-< 即为22(1)1x y +-< , 表示以(0,1)为圆心, 1为半径的圆内的点,故应选C.(文)D 解析: （方程思想数形结合思想）方程11122=---x y y x 中,令0x =,解得1y =-();令0y =,解得1x =,即得曲线过两点(0,-1)及(1,0),且不过点(0,1)及(-1,0) ,结合图象可得答案D. 7．如图，在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ垂直于平面ＡＢＣ，AC AB BAC ≠=∠,90 ，Ｄ，Ｅ分别是ＢＣ，ＡＢ的中点，ＡＣ＞ＡＤ，设ＰＣ与ＤＥ所成的角为α，ＰＤ与平面 ＡＢＣ所成的角为β，二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ的平面角为γ， 则γβα,,的大小关系是（ ）..A B αβγαγβ<<<< ...C D βαγγβα<<<<6. A 解析:（数形结合思想）过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则AM<AD<AC∴PA PA PAAM AD AC>>, ∴tan tan tan PMA PDA PCA ∠>∠>∠ ,即αβγ<<8．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为1049+n 元（n ∈N *），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．800天B ．1000天C ．1200天D ．1400天8.A 解析:（函数方程思想）使用n 天的平均耗资为4449(5)103.210 3.21029.910n n n nn ++⨯+⨯=++, 当且仅当43.21010nn ⨯=时,取得最小值, 此时565.7n =≈, 故应选A 最合算. ＰＢＣＡEDM第9题图第10题图9．设0＜x ＜π，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．2-39.C 解析:（数形结合思想）设点A(0,2), B(sin ,cos x x ) (0＜x ＜π) , 则2cos 0sin AB xy k x--==- (0＜x＜π) ,作出如图所示的直线与半圆, 可得直线 与半圆相切时的斜率为即得直线 与半圆有公共点的斜率的范围, 从而得xxy sin cos 2-=)∈+∞, 故应选C.10.定义在（－∞，+∞）上的奇函数f (x )和偶函数g (x )在区间（－∞,0]上的图像关于x 轴对称，且f (x )为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )成立的是（ ）A ．a >b >0B ．a <b <0C ．ab >0D ．ab 10.A 解析:（数形结合思想）按题设要求可作近似模拟出奇函数f (x ) 和偶函数g (x )的草图,如图所示, f (x )与g (x )在(0,+∞)上的 函数图象相同, 在（－∞,0]上的图像关于x 轴对称 . 不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b ) 可化为 f (b )+f (a )>g (a )－g (b ) .若a >b >0 , 则f (a )=g (a )> f (b )= g (b )>0 , 故A 正确.11．四面体ABCD 的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是( )A ．()2,0B ．()32,0C ．()32,2D ．[)4,211.B 解析:（数形结合思想）制作出两个边长为2的等边三角形,一条边重复,将两三角形绕该边旋转, 则得四面体的第四条棱长的变化模型,当两三角形共面时, 两顶点间距离为当两三角形重复时,两顶点间距离为0, 故应选B.12.下列四个命题①若函数f (x )满足f (x – a ) = f (a – x )，则函数f (x )的图象关于y 轴对称②若函数f (x )满足f (x – a )=f (a – x )，则函数f (x )的图象关于直线x = a 对称 ③函数y =f (x – a )与y =f (a – x )的图象关于y 轴对称④函数y =f (x – a )与y =f (a – x )的图象关于直线x = a 对称其中正确的命题是 （ ） A. ①与② B. ③与④ C. ②与③ D. ①与④12.D 解析:（函数与方程思想）注意①、②是函数f (x )满足f (x – a )=f (a – x )，令x – a = t ，则a – x = –t ，有f (t )=f (–t )，则f (x )是偶函数，故函数关于y 轴对称, 故①正确; ③、④是两个函数的对称问题， 可用图象法作出f (x )和f (–x )的图象，再作出f (x – a )和f (–x +a )的图象， 故知y =f (x –a )和y =f (a – x )的图象关于直线x =a 对称. 故④正确.二、填空题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．(理)若复数z 满足||||||z z z i ++-=++1121，那么的最小值是___________.(文) 已知,1)A、B ,(0,1)C 向量()||||OA OBCP OA OB λ=+，则点(,)P x y 的轨迹方程为 ．13.(理) 1 解析:（函数与方程思想）设z x yi =+, 则|1||1||1||1|z z x yi x yi ++-=+++-+2== ,即得复平面上点(,x y )为线段A(-1,0), B(1,0)上的点的轨迹,其方程为(0,11)z x yiy x =+=-≤≤, |1||1|z i x i ++=++=当1x =-时取得最小值1 .答案: 10x y -+= 解析: （数形结合思想）设||||OA OBOM OA OB =+, 则点M 的轨迹为∠AOB 的平分线, 即直线y x = , 其斜率1k =, 由于向量()||||OA OBAP OA OB λ=+,可得点P 的轨迹为过点(0,1)C 且斜率1k =的直线 , 其方程为 10x y -+= .14．已知O 为坐标原点，A 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点，若该椭圆上有一点P ，使090OPA ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是__________.14. 2e >解析: （函数方程思想） 设()00,P x y ，由2OPA π∠=得0000.1y y x a x =--⇒220000x y ax +-= 又2222001b x a y +=故222022ab x a b c a b =<⇒<-即2222a c c e -<⇒>. 15．若z=y x y x ,53中的+满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≤+3511535y x x y y x ，则Z 的最大值和最小值分别为．15. 17和－11 解析:（数形结合思想）作出可行域如图所示， 当目标函数z=35x y +,平行直线35x y t +=第15题图过点A （35,22）时,目标函数取最大值 35343517222z =⨯+⨯==最大值.过点B (-2,-1)时, 目标函数取最小值3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-最小值 .16．给定实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数，{}x 为x 的小数部分,且[]{}x x x =+,则下列结论 ①1[]x x x -<≤ ; ② []x x -是周期函数 ; ③ []x x -是偶函数 ;④ 1{}1x -<< . 其中不正确．．．的是 . 答案: ③④ 解析:（函数与方程思想）由[]x 为不大于x 的最大整数,可得1[]x x x -<≤ 即①正确 ; 又[][](1)1x x x x +-+=- ,即[]x x -是周期函数,即②正确; 而[]2.2 2.20-=,[]2.2 2.2 2.230.8---=-+= ,即[]x x -不是偶函数, ③不正确 ; 由[]{}x x x =+即[]x 为不大于x 的最大整数,可得0{}1x ≤<,即④不正确 .故应填③④ .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设集合A={x|4x －2x+2+a=0,x ∈R}.（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2－6x<a(x －2)恒成立，求x 的取值范围.17. （函数与方程思想）解析: (1)令2x =t(t>0)，设f(t)=t 2－4t+a,由f(t)=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根,若①f(t)=0有两等根时，△=0⇒16－4 a =0⇒a=4. 验证:t 2－4t+4=0⇒t=2∈(0,+∞)这时x=1.②f(t)=0有一正根和一负根时，f(0)<0⇒a<0. …… 4分③若f(0)=0，则a=0，此时4x －2·2x =0⇒02=x，（舍去），或2x =4,∴x=2，此时A 中只有一个元素.∴实数a 的取值集合为B={ a ≤0或a=4}. …… 6分 (2)要使原不等式对任意a ∈(－∞,0] {4}恒成立，即g(a)=（x －2）a －(x 2－6x)>0恒成立.只须⎩⎨⎧>≤-0)4(02g x ⇒⎩⎨⎧<+-≤081022x x x ⇒5－17<x ≤2. …… 12分18．（本小题满分12分）已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知ABC B b a C A ∆-=-,sin )()sin (sin 2222的外接圆的半径为2.（Ⅰ）求角C（Ⅱ）求△ABC 面积S 的最大值.解析：（函数与方程思想）（I ）222,sin )()sin (sin 2222=-=-R B b a C A 又，由正弦定理得：2222222212[()()](),,22222a c ba b c a b a c ab b R R Rab +--=-∴-=-=…………3分由余弦定理得：1cos ,023C C C ππ=<<∴=………6分（II ）B A B R A R ab C ab S sin sin 32sin 2sin 2433sin 21sin 21=⋅===π)]cos()[cos(3B A B A --+-= ………9分 时故当3,1)cos()cos(32332ππ===--+=∴=+B A B A B A S B A ，223323max =+=S ………12分 法2：B A B R A R ab C ab S sin sin 32sin 2sin 2433sin 21sin 21=⋅===π ……4分)sin 32cos cos 32(sin sin 32)32sin(sin 32A A A A A πππ-=-==)sin cos sin 3(3)sin 21cos 23(sin 322A A A A A A +=+23)cos 212sin 23(3)]2cos 1(212sin 23[3+-=-+=A A A A3323323)62sin(3=+≤+-=πA ………10分当max 2,,623A A S πππ-===时即时………12分19．（本小题满分12分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为p %的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%170p -元，预计年销售量将减少p万件.（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %的范围是多少？（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？19.（函数与方程思想）解析：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p ）万件，年销售收入为%170p -（11.8－p ）万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -（11.8－p ）p %（万元）.故所求函数为:y =p-1007（118－10p ）p .11.8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559.…… 4分（2）由y ≥14，得p-1007（118－10p ）p ≥14.化简得p 2－12p +20≤0，即（p －2）（p －10）≤0，解得2≤p ≤10.故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元. …… 8分 （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时， 厂家的销售收入为g （p ）=%170p -（11.8－p ）（2≤p ≤10）.∵g （p ）=%170p -（11.8－p ）=700（10+100882-p ）为减函数，∴g （p ）max =g （2）=700（万元）.故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元. …… 12分 20．（本小题满分12分）（理科）已知函数2()ln(),()f x x a a R =+∈（1） 求在函数()f x 图象上点A 2(,ln())t t a +处的切线l 的方程； （2） 若切线l 与y 轴上的纵截距记为()g t ，讨论()g t 的单调增区间. （文科）已知函数31()3f x x ax b =++，(,)a b R ∈在2x =处取得极小值43- . (1) 求函数()f x 的单调区间； (2) 若3211033x ax b m m ++≤++对[4,3]x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。