第二轮第 4讲 函数与方程的思想方法

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

函数和方程的思想方法总结函数和方程是数学中两个非常重要的概念，它们在不同的数学领域和学科中具有广泛的应用。

在解决实际问题、研究数学定理和推导数学公式时，函数和方程的思想方法非常有用。

下面我将总结函数和方程的思想方法，并举例说明它们的应用。

一、函数的思想方法：1. 函数是一种映射关系，将自变量映射为因变量。

在研究函数时，我们常常关注函数的定义域、值域、图像和性质等特征。

例如，对于一个电商平台的销售额函数，我们可以通过输入商品价格来计算销售额。

我们可以研究函数的增减性、最大值和最小值等，以优化销售策略。

2. 函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性和可导性等。

这些性质可以帮助我们进一步研究函数的特点和行为。

例如，对于一个正弦函数，它是一个周期函数，周期为2π。

我们可以利用这个性质来分析正弦函数的周期性变化和极值点。

3. 函数的组合和复合是函数思想方法的重要工具。

通过将多个函数进行组合或复合，我们可以得到新的函数，从而解决更加复杂的问题。

例如，对于一个物体在空中自由落体运动的高度函数和速度函数，我们可以通过将这两个函数进行复合，得到物体的位置函数和加速度函数，进一步分析物体的运动规律。

二、方程的思想方法：1. 方程是含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以确定未知数的值。

解方程是数学中的一个重要问题，有很多不同的解法和技巧。

例如，对于一个一元一次方程，我们可以通过移项、消元和代入等方法求解。

对于一个一元二次方程，我们可以通过配方法、因式分解和求根公式等方法求解。

2. 方程的应用非常广泛，它可以用来描述和解决各种实际问题。

在解决实际问题时，我们常常将问题抽象成一个方程，然后通过求解方程来得到问题的解。

例如，对于一个汽车行驶的问题，我们可以根据汽车的速度、时间和距离的关系建立一个方程，然后求解这个方程来得到汽车行驶的时间或速度。

3. 方程的解有可能是多个，也有可能是无解。

我们在解方程时，需要考虑方程的解集和解的存在性等问题。

高中数学函数与方程的思想方法高中数学函数与方程的思想方法在高中数学的学习中，函数与方程是非常重要的概念和内容。

掌握了函数与方程的思想方法，不仅可以帮助我们解决实际问题，还能培养我们的逻辑思维和分析能力。

本文将从函数与方程的定义、解题思路和实际应用等方面探讨高中数学函数与方程的思想方法。

一、函数与方程的定义函数是数学中的基本概念，我们可以将函数理解为两个集合之间的一种特殊关系。

简单来说，函数就是将自变量映射到因变量的规则。

函数通常用符号表示，如f(x)、g(x)等。

在方程中，通常出现的是一元函数，如y=f(x)。

方程是关于未知数的等式，它通常由等号连接的表达式组成，其中包含未知数和已知数。

方程的解是使得方程成立的未知数的值。

在数学中，函数与方程是密切相关的概念，通过函数可以建立方程，通过求解方程可以得到函数的零点或特殊点。

二、解题思路1. 函数图象与函数性质分析：对于给定的函数，我们可以通过观察其图象来推测函数的性质。

例如，对于一个二次函数，当a>0时，函数的图象开口向上；当a<0时，函数的图象开口向下。

通过观察函数图象，我们可以推测函数的最值、零点等重要信息。

2. 函数与方程的转化：有时候题目给出的是函数，要求解的是方程；有时候题目给出的是方程，要求分析函数的性质。

在这种情况下，我们需要运用函数与方程之间的转化关系进行思考。

例如，已知函数的表达式，要求函数的零点，就需要解方程f(x)=0。

反之亦然，已知方程，可以通过构造函数直观地分析方程的性质。

3. 实际问题的建模与解析：高中数学中的函数与方程往往是为了解决实际问题而引入的。

因此，在解题过程中，我们需要将问题进行数学建模，将实际问题转化为数学问题，然后通过函数与方程的知识进行分析和求解。

例如，求解优化问题时，我们可以通过函数的极值来确定最优解。

三、实际应用函数与方程在实际生活中有着广泛的应用。

下面以几个例子来说明：1. 经济学中的需求函数：在经济学中，需求函数描述了商品需求与价格之间的关系。

高三数学[人教版]题型解法：函数与方程思想方法函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

函数与方程的思想方法 知识点导读查，使知识考查服务于能力考查．而函数与方程的思想方法作为基本的数学思想方法之一，在知识的互相联系、互相沟通中起到了纽带作用．函数与方程的思想共分为两个方面：函数思想与方程思想．一、 函数思想函数是数学中十分重要的内容，如果在某一变化过程中有两个变量x 、y ，变量x 每取一个值，按照某一法则变量y 都有唯一确定的值与之相对应，这时我们称变量y 是x 的函数，因此，函数是研究两个变量之间关系的数学分支．什么是函数思想呢？函数思想是对函数概念的本质的认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点来观察、处理问题．利用函数思想解题的一般步骤：1．构造与题目有关的函数．在有关函数的观点下，方程、不等式可以得到统一．2．借助函数有关的知识(奇偶性，单调性，周期性，定义域，值域，图形等)讨论相关问题．二、 方程思想含有未知数的等式叫做方程．我们把一个等式看成是含有某个未知数的等式，从而用方程的理论与方程来解决问题的思想我们称之为方程思想．例如，等差数列{a n }的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N ＋)，在这个等式中有四个字母：a n, a 1, n 和d ；如果把这个等式看成是已知其中三个字母，求第四个字母的值，那么，我们就把这个等式看成了是第四个字母(未知数)的方程，这种观点和思想就是方程思想．由于数学研究的数量关系有相等关系和不等关系两类，在数量相等关系中出现的是等式，有些等式中含有字母，如果把字母看成未知数，那么，等式就成了方程．于是，很多问题便可转化为方程问题来解决． 范例分类与解题分析一、函数思想【例1】 已知x ＋y ＝1，求x 2＋y 2的最小值．【分析】 令t ＝x 2＋y 2，则求x 2＋y 2的最小值即是求t 的最小值，而通过建立函数关系求函数最小值是求变量最小值的一般方法．【解】 令t ＝x 2＋y 2 ∵x ＋y ＝1∴t ＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋14＋12＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12∴t 的最小值是12，即x 2＋y 2的最小值是12. 【点评】 求变量的最小值可通过建立函数关系求函数的最小值，因此一个变量若随另一个变量的变化而变化，该问题可归结为函数问题．【例2】 已知数列{a n }是等差数列，S n 是前n 项和，S q ＝S p (p ＜q)，则S p ＋q ＝( )A ．0B ．p ＋qC ．pD ．q【分析】 等差数列的通项公式及前n 项和公式都可看成是关于n 的代数表达式，其中S n ＝a 1n ＋n (n －1)2d 可写成S n ＝An 2＋Bn(A ≠0)，为此本例可用二次函数的方法去解决． 【答案】 A【解】 由S n ＝An 2＋Bn 及S q ＝S p 代入，得Aq 2＋Bq ＝Ap 2＋Bp,∴ A(p 2－q 2)＋B(p －q)＝0 ∵ p ＜q, ∴ p －q ≠0, ∴ A(p ＋q)＋B ＝0∴ S p ＋q ＝A(p ＋q)2＋B(p ＋q)＝(p ＋q)[A(p ＋q)＋B]＝0.【点评】 函数的思想贯穿于中学数学的始终，是数学的一条主线，函数与方程等知识点的交汇，为利用函数思想解题提供了广阔的空间．【例3】 某租赁公司拥有汽车100辆，每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【解】 (1)当每辆车的月租金定为3600元时，未出租的车辆数为3600－300050＝12，所以这时租出了100－12＝88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝(100－x －300050)(x －150)－x －300050×50＝－x 250＋162x －21000 ＝－150(x －4050)2＋307050. 所以当x ＝4050时，y 最大，最大值为307050，即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【点评】 本例在月租金和月收益间有一种量的制约关系，如果把月收益看作每辆车月租金的函数后，就可以通过研究月收益函数得到一系列结论．因此函数就是解决此类应用问题的工具．借用函数的思想和方法完成对许多实际问题的科学处理，就恰恰体现了“以能力立意”的高职升学考试命题思想．【举一反三】 某商店将进货单价为20元的内衣，按24元一件出售时，每天能卖出200件，根据市场分析预测，单价每提高1元，其每天销售量将递减10件，问怎样制订内衣的售出价每天才能获得最大利润？【解】 设每件内衣单价提高x 元，则这时每件内衣利润为(x ＋4)元，每天可售出(200－10x)．而这时能获取的利润的函数关系为y ＝(x ＋4)(200－10x)＝－10x 2＋160x ＋800.这是一个二次项系数为负数的二次函数，∴当x ＝－1602×(－10)＝8，此时每件内衣销售价为24＋8＝32元时，销售利润y max 为1440元．答：该内衣的销售价为每件32元，能获取最大利润，最大利润为1440元．二、方程思想【例4】 设函数f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫1x ·log 2x ，则f(2)等于( )A ．1B ．－1C ．2D .12【答案】 A【分析】 要求f(2)可将f(2)看成未知数，通过列方程解方程求f(2)，也可先求f(x)后求f(2)．【解】 解法一：∵f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫1x log 2x∴f (2)＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12log 22＝1＋f ⎝⎛⎭⎫12 f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋f (2)·log 212＝1－f (2) ∴f (2)＝1＋[1－f (2)]＝2－f (2) ∴2f (2)＝2 ∴f (2)＝1 故选A.解法二：∵f (x )＝1＋f ⎝⎛⎭⎫1x log 2x ∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋f (x )log 21x＝1－f (x )log 2x ∴f (x )＝1＋[1－f (x )log 2x ]log 2x ∴f (x )＝1＋log 2x 1＋(log 2x )2 ∴f (2)＝1＋log 221＋(log 22)2＝1，故选A. 【点评】 求未知数的值可通过列方程、解方程，因此数学解题中求未知数的问题可归结为方程的问题．【举一反三】 已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)，满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (3)＝8，求f (x )．【解】 ∵f(x ＋y)＝f(x)·f(y)，∴a x ＋y ＋b ＝a x ＋b ·a y ＋b ＝a x ＋y ＋2b ，∴x ＋y ＋b ＝x ＋y ＋2b ，即b ＝0，∴f(x)＝a x ，又f(3)＝8，∴a 3＝8，即a ＝2，∴f(x)＝2x .【例5】 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，两交点间距离为6，且当x ＝2时函数有最小值－9.(1)求a ，b ，c 的值；(2)如果f(x)不大于7，求对应x 的取值范围．【解】 (1)由题意设f(x)＝a(x －2)2－9，由对称性知f(x)图象过(5,0)与(－1,0)代入方程得a(5－2)2－9＝0，解得a ＝1，∴f(x)＝(x －2)2－9＝x 2－4x －5，∴a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.(2)由题意得x 2－4x －5≤7 解得－2≤x ≤6.【点评】 方程思想在数学中应用很广泛，为我们的解题带来很大的方便． 综合训练1．已知不等式ax 2＋bx －1>0的解为x <－12x >1，则( ) A ．a ＝2，b ＝1 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝－2，b ＝1 D ．a ＝－2，b ＝－1【分析】 由题得x ＝－12，x ＝1是方程ax 2＋bx －1＝0的两个解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 14a －12b －1＝0a ＋b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1 2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C ．3＋22 D ．3－22【分析】 因为a 1，12a 3,2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2(负值舍去)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝3＋2 2. 3．直线x ＋2y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为( )A.15B.25C.35D.45 【分析】 因x ＋2y ＝2 ∴x ＝2－2y ∴x 2＋y 2＝(2－2y )2＋y 2＝5y 2－8y ＋4＝5⎝⎛⎭⎫y 2－85y ＋1625＋45＝5⎝⎛⎭⎫y －452＋45∴x 2＋y 2的最小值是45，故选D. 4．若对于任意实数x ，不等式|x －3|＋|x －2|＞a 均成立，则有( )A ．0≤a ＜1B ．a ＜1C ．a ≥1D ．a ＞1【分析】 设f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －5，x ∈[3，＋∞)1， x ∈(2，3)5－2x ， x ∈(－∞，2]，∴f (x )min ＝1，又∵|x －3|＋|x －2|＞a 恒成立，∴a ＜1.二、填空题5．已知等差数列的首项a 1＝17，公差d ＝－2，则其前n 项和中的最大值为_81_________．【分析】 由题得S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋18n ＝－(n －9)2＋81 则当n ＝9时，S n 有最大值81.6．若曲线y ＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是__(－∞， 1] ________．【分析】 y ＝2x ＋1的值域为(1, ＋∞)，∴b 的取值范围为(－∞， 1]．7．其家电商场将电脑价格按原价提高40%后，在广告中宣传“八折优惠”的促销手段，结果每台电脑比原价多赚了270元，那么每台电脑的原价是__2250______元．【分析】 由题设每台电脑原价为x 元，则x (1＋40%)×0.8＝x ＋270解之，得x ＝2250(元)．8．若x ，y 满足x 2＋2y 2－y ＝1，则x 2＋y 2的最大值为___54_______． 【分析】 因x 2＋2y 2－y ＝1 ∴x 2＝1－2y 2＋y∴x 2＋y 2＝1－2y 2＋y ＋y 2＝－y 2＋y ＋1＝－⎝⎛⎭⎫y 2－y ＋14＋54＝－⎝⎛y －122＋54 又∵x 2＝1－2y 2＋y ≥0 ∴2y 2－y －1≤0∴－12≤y ≤1 ∴x 2＋y 2＝－⎝⎛⎭⎫y －122＋54的最大值为54 三、 解答题9．已知函数f (x )满足条件f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，求f (x )．【解】 由f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 得： f (x )＝x －2f ⎝⎛⎭⎫1x ① 在①中设x ＝1x ，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x 即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －2f (x )② 把②代入①得： f (x )＝x －2⎣⎡⎦⎤1x －2f (x )＝x －2x＋4f (x ) ∴ 3f (x )＝2x －x ，故f (x )＝23x －x 3. 10．已知在等差数列{a n }中，a 4＝lg x ，a 5＝2，a 6＝lg(x ＋990)，求x 的值及通项公式a n .【解】 lg x ＋lg(x ＋990)＝4，lg x (x ＋990)＝4，x 2＋990x －10000＝0，(x －10)(x ＋1000)＝0x 1＝10，x 2＝－1000(舍)∴a 4＝lg10＝1，a 5＝2得d ＝1，a 1＝a 4－3d ＝－2a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋(n －1)＝n －3.11．求过两点A (1,4)，B (3,2)，且圆心在y ＝0上的圆的方程．【解】 ∵圆心在y ＝0上，∴设所求圆的方程为：(x －a )2＋y 2＝r 2∵所求圆过A 、B 两点 ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋16＝r 2(3－a )2＋4＝r 2∴a ＝－1，r 2＝20 ∴所求圆的方程为：(x ＋1)2＋y 2＝20.12.已知曲线x －y 2－1＝0与直线kx －y ＝0相交，求实数k 的取值范围．【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y 2－1＝0kx －y ＝0⇒k 2x 2－x ＋1＝0 当k ＝0时，x ＝1，当k ≠0时Δ＝1－4k 2≥0解得－12≤k ≤12且k ≠0. 综上k 的取值范围为[－12，12]． 13．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (0)＝3, f (－1)＝f (3)，求：(1)b, c 的值；(2)若f (x )≥0求x 的解集．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝31－b ＋c ＝9＋3b ＋c 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝3. (2)由(1)知f (x )＝x 2－2x ＋3，由f (x )≥0得x 2－2x ＋3≥0 解得x ∈R ，所以f (x )≥0的解集为R .14．用12m 长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，要使场地面积最大，问矩形的边长应为多少？【解】 设场地面积为y m 2，矩形场地靠墙一边的长为x m ，则另一边长为12－x 2m ，由已知可得 y ＝x ·12－x 2，y ＝－12x 2＋6x 显然上式为一个二次函数，a ＝－12，故y 有最大值 y ＝－12(x 2－12x )＝－12(x －6)2＋18 ∴ 当x ＝6时，矩形场地面积最大，这时矩形靠墙一边的长为6m ，另一边长为12－62＝3m.。

第二轮第4讲函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，方程f(x)＝0的解确实是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也能够看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用要紧表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范畴等咨询题：二是在咨询题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的咨询题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的咨询题能够用函数的方法解决，反之，许多函数咨询题也能够用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的差不多思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析咨询题、转化咨询题，从而使咨询题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题确实是善于利用函数知识或函数观点观看、分析和解决咨询题。

2．方程的思想，确实是分析数学咨询题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化咨询题，使咨询题获得解决。

方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题确实是善于利用方程或方程组的观点观看处理咨询题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1) 函数和方程是紧密相关的，关于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也能够把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。

函数咨询题〔例如求反函数，求函数的值域等〕能够转化为方程咨询题来求解，方程咨询题也能够转化为函数咨询题来求解，如解方程f(x)＝0，确实是求函数y ＝f(x)的零点。

(2) 函数与不等式也能够相互转化，关于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关咨询题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

初中数学思想方法（函数与方程思想）函数思想，是指用函数的概念和性质去剖析效果、转化效果和处置效果。

方程思想，是从效果的数量关系入手，运用数学言语将效果中的条件转化为数学模型〔方程、不等式、或方程与不等式的混合组〕，然后经过解方程〔组〕或不等式〔组〕来使效果获解。

有时，还完成函数与方程的相互转化、接轨，到达处置效果的目的。

方程思想是：实践效果→数学效果→代数效果→方程效果。

宇宙世界，充满着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值效果是经过解方程来完成的……等等；不等式效果也与方程是远亲，亲密相关。

而函数和多元方程没有什么实质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0.可以说，函数的研讨离不开方程.列方程、解方程和研讨方程的特性，都是运用方程思想时需求重点思索的。

函数描画了自然界中数量之间的关系，函数思想经过提出效果的数学特征，树立函数关系型的数学模型，从而停止研讨。

它表达了〝联络和变化〞的辩证唯心主义观念。

普通地，函数思想是结构函数从而应用函数的性质解题，经常应用的性质是：f (x)的单调性、对称性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、正比例函数、二次函数等的详细特性。

在解题中，擅长开掘标题中的隐含条件，结构出函数解析式和妙用函数的性质，是运用函数思想的关键。

对所给的效果观察、剖析、判别比拟深化、充沛、片面时，才干发生由此及彼的联络，结构出函数原型。

另外，方程效果、不等式效果和某些代数效果也可以转化为与其相关的函数效果，即用函数思想解答非函数效果。

函数知识触及的知识点多、面广，在概念性、运用性、了解性都有一定的要求，所以是中考考察的重点。

我们运用函数思想的几种罕见题型是：遇到变量，结构函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的效果，应用函数观念加以剖析；含有多个变量的数学效果中，选定适宜的主变量，从而提醒其中的函数关系；实践运用效果，翻译成数学言语，树立数学模型和函数关系式，运用函数性质或不等式等知识解答；如列表、规律探求等都可以看成n的函数，用函数方法处置。

初中数学思想方法（函数与方程思想）初中数学思想方法（函数与方程思想）函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0.可以说，函数的研究离不开方程.列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f (x)的单调性、对称性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、反比例函数、二次函数等的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，求函数y＝f(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y＝f(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数；合参数的方程f(x, y, t)=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。

它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。

正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。

函数思想在中考中的应用主要是函数的概念。

性质及图像的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

【初中数学】初中数学学习方法：函数与方程的思想初中数学学习方法：函数与方程的思想函数与方程思想是中学数学最基本的思想。

函数的思想是从运动变化的角度分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造器，然后利用函数的形象和性质来分析和解决相关问题。

所谓方程，就是分析数学中的等价关系，构造方程或方程，通过求解或利用方程的性质来分析和解决问题。

初中数学解题方法：数形结合的思想数与形在一定的条件下可以转化。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

初中数学问题解决方法：分类讨论的理念分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。

原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是将整体分割成部分，减少局部讨论的难度。

常见类型：类型1：由数学概念引起的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；第二类：由数学运算引起的讨论，例如不等式的两边是乘正数还是负数的问题；第三类：由性质、定理和公式的限制条件引起的讨论，如应用一元二次方程的求根公式引起的讨论；讨论中涉及的问题有：钝角、直角、钝角等。

类型5：由于某些字母系数对方程的影响而引起的分类讨论，例如字母系数对二次函数中图像的影响，二次项系数对图像打开方向的影响，主要项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。

分类的原则：分类不重不漏。

分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围;②确定分类讨论的分类标准;③按所分类别进行讨论;④归纳小结、综合得出结论。

注意动态问题一定要先画动态图。

初中数学解题方法：转化与转化的理念转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。