高考数学二轮复习第一部分思想方法研析指导一函数与方程思想课件文

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G 高考
(ɡāo kǎo) 突破点3 运用函数(hánshù)与方程思想解决不等
热点突 破
式问题
例3 (1)已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么( )
A．x＋y<0 B．x＋y>0 C．xy<0 D．xy>0
栏
(2)设不等式2x－1>m(x2－1)对满足m∈[－2，2]的一切实
者均值不等式证明 f(x)＜x9＋x6即可．从近几年的高考命题
趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时
要加强训练．本题属于中档题．
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G高 考(ɡāo kǎo)热点 突破
跟踪 (训gē练1n．zō(2n0g1)4·陕西卷)
栏
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连
＜4（xx＋＋61）－（x＋546）2＝（4x（＋x6）＋31－）2（16x（＋x6＋）12）.
栏
令 g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当 0＜x＜2 时，g′(x)＝3(x
目 链
＋6)2－216＜0.
接
因此 g(x)在(0，2)内是递减函数，又由 g(0)＝0，得 g(x)＜0，
所以 h′(x)＜0.
建不等式或构造函数加以解决．
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G高 考(ɡāo kǎo)热 点突
破
跟踪
(gēnzōng) 训练2．如果方程(fāngchéng)lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－
x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．
栏 目 链 接
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G高
考(ɡāo
kǎo)热点
突破

a 1
－
所以 2 < a－1
2，即a－1<12，解得12<a<32.
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• 『规律总结』 • 函数与方程思想在不等式问题中应用关键点 • (1)在处理不等式恒成立问题时，一个最主要思想方法就是
结构适当函数，然后利用函数最值处理问题． • (2)要注意在一个含多个变量数学问题中，需要确定适当变
所求目标参数和判别式不等式中参数一个等量关系，将其 代换． • 第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中， 即可求出目标参数取值范围．
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若点 O 和点 F(－2,0)分别为双曲线ax22－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点 P 为双曲
线右支上的任意一点，则O→P·F→P的取值范围为( B )
A．π6
B．π4
C．π3 [解析]
D．π2 ∵O→A＝(1,0)，O→P＝(cosθ，sinθ)，∴O→A·O→P＋S＝cosθ＋sinθ＝ 2sin(θ
＋π4)，故O→A·O→P＋S 的最大值为 2，此时 θ＝π4.故选 B．
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命题方向4 函数与方程思想在解析几何中应用 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 2，离心率 为 22，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且A→P＝3P→B. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求 m 的取值范围．
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三、函数思想与方程思想联系 函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决， 方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝f(x) 的零点，解不等式 f(x)>0(或 f(x)<0)，就是求函数 y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程 f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函 数 y＝f(x)－g(x)与 x 轴的交点问题，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的 值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．

则|AB|＝t－a2＋1＝t－t＋2ln
t＋1＝2t －ln2
t＋1.

设g(t)＝2t －ln2 t＋1(t＞0)，
则g′(t)＝12－21t＝t－2t1，令g′(t)＝0，得t＝1， 当t∈(0，1)时，g′(t)＜0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)＞0， 所以g(t)min＝g(1)＝32，所以|AB|≥32， 所以|AB|的最小值为32. 答案：(1)D (2)D
又|AB|＝ 22＋12＝ 5，
所以四边形AEBF的面积为
S＝12|AB|(h1＋h2)＝12· 5·45（（11＋＋24kk）2）＝
2（11＋＋42kk2）＝2 1＋1＋4k24＋k24k＝2
1＋1k＋44k≤2 2，
当且仅当4k2＝1(k＞0)，即当k＝12时，上式取等号． 所以S的最大值为2 2. 即四边形AEBF面积的最大值为2 2.
解方程组yy＝＝x1＋3－3，x，得点 C(5，8)． 所以 f(x)max＝8. (2)在同一坐标系中作出 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象如图 所示，
由图象可知当 x＞0 时，有 4 个零点，当 x≤0 时，有 2 个零点，所以一共有 6 个零点．
答案：(1)C (2)B
[探究提高] 1．第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的 讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图 象的交点问题，利用几何直观求解． 2．探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解 (或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论 两曲线的交点问题；(2)正确作出两个函数的图象是解决 此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意 去用数形结合．
应用3 函数与方程思想在几何问题中的应用
【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，

m≤-
3或
2
m≥
23,
因此实数 m 的取值范围是
-∞,-
3∪
2
3 2
,
+
∞
.
-12-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
解法二 不等式化为 f(x-1)+4f(m)-f ������ +4m2f(x)≥0,
������
即(x-1)2-1+4m2-4-
������ 2 ������ 2
+1+4m2x
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(1)证明： Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,
则 Fn(1)=n-1>0,
Fn
1 2
=1+1 +
2
1
2
+…+
1
������
-2
2
2
1-
=
1 ������ +1
2
1-12
-2=-21������
<0,
所以 Fn(x)在
1 2
,1
内至少存在一个零点.
(1)证明:函数 Fn(x)=fn(x)-2 在区间
1 2
,1
内有且仅有一个零点(记为
xn),且
xn=12
+
1 2
������������������+1;
(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等
差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.
-17-
-6-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四

(2)解：由假设,gn(x)=
2
.

n (+1)(1+ )
设 h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x +…+x 2
当 x=1 时,fn(x)=gn(x).
2
-1
n-1 (+1)
当 x≠1 时,h'(x)=1+2x+…+nx -
,x>0.
.
2
n-1
n-1
n-1 (+1) n-1
-5高考命题聚焦
思想方法诠释
2.函数与方程思想在解题中应用
(1)函数与不等式相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,可转化为不等
式f(x)>0,借助于函数图象和性质可处理相关问题,而研究函数性质
也离不开不等式.
(2)数列通项与前n项和是自变量为正整数函数,用函数观点去处
理数列问题十分主要.
(3)解析几何中许多问题,需要经过解二元方程组才能处理.
命题热点三
命题热点四
解法二 不等式化为 f(x-1)+4f(m)-f
即(x-1)2-1+4m2-4整理得 1-
1

令 F(x)= 1-
2
2


+4m2f(x)≥0,
+1+4m2x 2-4m 2≥0,
2 2
+
4
x -2x-3≥0,
2
1
3

2
2 2
+
4
x -2x-3,x∈
2
,+∞ .
由于 F(0)=-3<0,则其判别式 Δ>0,因此 F(x)的最小值不可能是

图 7－1－1 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程．
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【思路点拨】 (1)由条件确定关于 a，c 的代数方程，求 得 a，b，c.(2)将△ABP 的面积表示为关于直线 l“截距”的函 数，运用导数求最值，进而求出直线 l 的方程．
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【解析】 (1)令 f(x)＝0，则 x＝cos x，在同一坐标系中 作出 y＝ x和 y＝cos x 的[0，＋∞)上的图象(如图)，由图知 f(x) 在[0，＋∞)有且仅有一个零点．选 B.
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f－4＝f0， (2)f－2＝－2
⇒146－－24bb＋＋c＝c＝－c，2
⇒bc＝＝24.，
第一讲 函数与方程思想、数形结合思想
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思想解读 一、函数与方程思想 函数与方程思想是中学数学的基本思想，依据题意，构
建函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点 和热点．
方程思想与函数思想密切相关：方程 f(x)＝0 的解就是函 数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；函数 y＝f(x)也可以 看作二元方程 f(x)－y＝0，通过方程进行研究；方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域；函数与方程的这种相 互转化关系十分重要．
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当 t>1 时，g′(t)<0，g(t)单调递减． 故当 t＝1 时，g(t)取最大值 g(1)＝1. 因此，当且仅当 a＝1 时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．
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(2)证明 由题意知，k＝fxx22－－fx1x1＝exx22－－exx1 1－a. 令 φ(x)＝f′(x)－k＝ex－exx22－－exx1 1，则 φ(x1)＝－x2e－x1x1[ex2－x1－(x2－x1)－1]， φ(x2)＝x2e－x2x1[ex1－x2－(x1－x2)－1]． 令 F(t)＝et－t－1，则 F′(t)＝et－1. 当 t<0 时，F′(t)<0，F(t)单调递减； 当 t>0 时，F′(t)>0，F(t)单调递增． 故当 t≠0 时，F(t)>F(0)＝0，即 et－t－1>0.

方法点睛
(1)对于方程有解、不等式恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构 造函数，把问题转化为求函数的值域或最值问题来解决．
(2)不等式有解、恒成立求参数的方法： g(a)>f(x)恒成立，则 g(a)>f(x)max. g(a)<f(x)恒成立，则 g(a)<f(x)min. g(a)>f(x)有解，则 g(a)>f(x)min. g(a)<f(x)有解，则 g(a)<f(x)max. (3)分离参数法是求参数范围的常用方法，恰当合理的参变分离有助于问题的解决， 有时需要分类讨论．
B．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：构造函数 g(x)＝ln xf(x)(x>0)，则 g′(x)＝1xf(x)＋ln xf′(x)＝fx＋xlnx xf′x>0， 所以函数 g(x)＝ln xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，而lfnxx>0⇔ln xf(x)>0⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1) ⇒x>1，故选 B.
2asinC＝ 3c，a＝1，则△ABC 的周长的最大值为( C )
A. 3＋1
B. 2＋1
C．3
D．4
解析：∵2asin C＝ 3c，
∴2sin Asin C＝
3sin
C，∴sin
A＝
3 2.
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝π3.
由正弦定理，得sinb
B＝sinc
C＝sina
A＝
2， 3
∴b＝ 23sin B，c＝ 23sin C，
A. 2－1
B. 3－1
C．0
D．2
解析：如图，∵A→B·A→D＝－1，AB＝2，AD＝1， ∴|A→B|·|A→D|cos∠BAD＝－1， ∴2cos∠BAD＝－1，cos∠BAD＝－12， ∴∠BAD＝120°.

设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，得 F→1P＝(x0＋c，y0)，F→1B＝(c，c)． 由已知，得F→1P·F→1B＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.① 因为点P在椭圆上，故x22c02 ＋yc220＝1.② 由①和②，可得3x20＋4cx0＝0. 而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－43c，
化简，得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4. 当d＝0时，an＝2； 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
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(2)当an＝2时，Sn＝2n. 显然2n<60n＋800， 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立． 当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋24n－2]＝2n2. 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0， 解得n>40或n<－10(舍去)，
同理可得函数 f(x)的单调递减区间为(－1－ －2－k，－1)， (－1＋ 2－k，＋∞)．
(3)由 f(x)＝f(1)，得(x2＋2x＋k)2＋2(x2＋2x＋k)－3＝(3＋k)2 ＋2(3＋k)－3，
∴[(x2＋2x＋k)2－(3＋k)2]＋2[(x2＋2x＋k)－(3＋k)]＝0， ∴(x2＋2x＋2k＋5)(x2＋2x－3)＝0. ∵k＜－6，∴－2k－4＞0，
()
A．[3－2 3，＋∞)
B．[3＋2 3，＋∞)
C.－74，＋∞
D.74，＋∞
答案：B
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解析：因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝
4，即a2＝3，所以双曲线方程为
x2 3

13
典例 3 关于 x 的不等式 ex－x22－1－a－94x≥0 在12，＋∞上恰成立，则 a 的取值集合为__{_2__e_}__. 思维升华 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问 题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方 程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题.
即a13＝aa，所以a＝13 .经检验知a＝13 符合要求.
解析 6 答案
方法二
平面向量问题的函数(方程)法
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模型解法 平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转 化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方 程思想来处理有关参数值问题.破解此类题的关键点： ①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、 数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程). ②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性 质求解问题. ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论.
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典例1 函数y＝ax (a>0，且a≠1)的反函数的图象过点( a，a)，则a的值为
A.2
B.3
C.2或
1 2
√D. 12
解析 因为函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数为y＝logax(a>0，且a≠1)， 且y＝logax的图象过点( a，a)， 所以a＝loga a，所以aa＝ a ， 所以a＝12，检验易知当a＝12 时，函数有意义.故选D.
方程思想的实质就是将所求的 量设成未知数，根据题中的等 量关系，列方程(组)，通过解方 程(组)或对方程(组)进行研究， 以求得问题的解决
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的.函