高中三角函数习题解析

高一数学三角函数图象变换试题答案及解析1.为了得到函数的图像，只需将函数的图像( )A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】先用诱导公式将化为= =，由平移知识知，只需将函数的图像向右平移个长度单位，故选B.考点:诱导公式；平移变换2.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】B【解析】=sin2（x-），为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位即可，故选A．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.三角函数图像的平移.3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即故选C．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．4.函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】由图知，，∴，∴．又由图可得，∵，∴，∴，∴为了得到的图象，可以将的图象向右平移个单位长度，故选A．【考点】1、三角函数的图象；2、函数的图象变换．5.要得到函数y=cos()的图像，只需将y=sin的图像( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数解析式变为，然后根据“左加右减”的口诀平移即可.【考点】三角函数图像平移.6.函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合.则的解析式是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据反方向知：的图像向左平移个单位后得到,根据左加右减的平移原理得到：,故选C.【考点】的图像变换7.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.【考点】三角函数的周期计算8.将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（）A．B．C．0D．【答案】B【解析】根据题意，由于将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到，故可知的一个可能取值为，故答案为B.【考点】三角函数的图象变换点评：主要是考查了三角函数的图象变换的运用，属于基础题。

第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换课后训练巩固提升1.要得到函数y=sin (2x -π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向右平移π6个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π3个单位长度D.向左平移π3个单位长度y=sin (2x -π3)=sin [2(x -π6)],所以只需将函数y=sin2x 的图象向右平移π6个单位长度.2.将函数y=12sin x 图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=4sin x B.y=2sin x C.y=sin xD.y=14sin x解析:y=12sinx 的图象y=4×12sinx=2sinx 的图象.3.将函数y=sin xcos x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,再将横坐标缩短为原来的一半,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=sin 4xB.y=cos 4xC.y=12sin 4x D.y=12cos 4xy=sinxcosx=12sin2x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得到函数y=12sin2(x+π4) =12sin(2x+π2)=12cos2x 的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半,得到函数图象的解析式为y=12cos4x.4.(多选题)下列四种变换,能使y=sin x 的图象变为y=sin (2x +π4)的图象的是( )A.向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12B.向左平移π8个单位长度,再将各点的横坐标扩大为原来的2倍 C.将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度D.将各点横坐标缩短为原来的12,再向右平移π8个单位长度y=sinx 的图象变为y=sin(2x+π4)的图象有两种图象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移π4个单位长度,再将各点的横坐标缩短为原来的12;第二种:先伸缩,后平移,将各点横坐标缩短为原来的12,再向左平移π8个单位长度.故选AC.5.要得到函数y=cos (2x +π3)的图象,只需将函数y=sin 2x 的图象( )A.向左平移5π12个单位长度B.向右平移5π12个单位长度C.向左平移5π6个单位长度D.向右平移5π6个单位长度(2x +π3)=sin [π2+(2x +π3)]=sin(2x+5π6)=sin [2(x +5π12)].由题意知,要得到y=sin (2x +5π6)的图象,只要将y=sin2x 的图象向左平移5π12个单位长度.6.函数y=12sin (2x -π4)的图象可以看作把函数y=12sin 2x 的图象向平移 个单位长度得到的.π87.把函数f(x)=cos (2x -π6)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是 .g(x)=cos (4x -π6),故最小正周期T=2π4=π2.8.将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x 的图象,则f (π6)= .y=sinx 的图象向左平移π6个单位长度,得到y=sin (x +π6)的图象,再把各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(12x+π6)的图象,即为f(x)=sin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=sin (12x +π6),故f (π6)=√22.9.将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可以得到函数y=cos 2x 的图象. (1)求f(π)的值;(2)求f(x)的单调递增区间.将函数y=cos2x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数y=cos4x 的图象,再将所得图象向右平移π12个单位长度,得到函数y=cos4(x-π12)=cos (4x -π3)的图象,故f(x)=cos(4x-π3).因此f(π)=cos (4π-π3)=cos π3=12. (2)令2kπ-π≤4x -π3≤2kπ(k∈Z),解得12kπ-π6≤x≤12kπ+π12(k ∈Z),故f(x)的单调递增区间为[12kπ-π6,12kπ+π12](k ∈Z).1.将函数f(x)=cos (x +7π6)的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是( ) A.x=π3B.x=-π3C.x=π12D.x=-π12y=cos (x +7π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=cos (12x +7π6)的图象.令12x+7π6=kπ(k∈Z),解得x=2kπ-7π3(k ∈Z).故可得当k=1时,所得函数的图象的一条对称轴方程为x=-π3.2.若将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上所有的点向左平移π2个单位长度,所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( ) A.4B.6C.8D.12由题意可知π2=kT(k ∈Z). 因为f(x)=sin(ωx+φ)的周期为T=2π|ω|,所以π2=k·2π|ω|,即|ω|=4k(k∈Z).故ω的值不可能等于6.3.(多选题)为了得到函数y=2sin 2x 的图象,下列变换正确的是( ) A.将函数y=(sin x+cos x)2的图象向右平移π4个单位长度B.将函数y=1+cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度C.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度D.将函数y=2sin 2(x +π6)的图象向左平移π6个单位长度2x=1-cos2x.将函数y=(sinx+cosx)2=1+sin2x 的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=1+sin2(x -π4)=1+sin (2x -π2)=1-cos2x 的图象,故A 正确.将函数y=1+cos2x 的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y=1+cos (2x +π2)=1-sin2x 的图象,故B 不正确.将函数y=2sin 2(x +π6)=1-cos (2x +π3)的图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=1-cos[2(x-π6)+π3]=1-cos2x 的图象,故C 正确,D 不正确.4.将函数y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移π6个单位长度,所得函数图象的一个对称中心为( ) A.(7π48,0)B.(π3,0)C.(7π12,0)D.(5π8,0)y=3sin (4x +π6)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得到y=3sin (2x +π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得到y=3sin [2(x -π6)+π6]=3sin (2x -π6).令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).当k=1时,x=7π12.故函数图象的一个对称中心为(7π12,0),故选C.5.要得到y=sin (x2+π3)的图象,需将函数y=cos x2的图象上所有的点至少向左平移 个单位长度.:cos x2=sin (x2+π2),将y=sin(x2+π2)的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y=sin (x2+φ2+π2)的图象.令φ2+π2=2kπ+π3(k ∈Z),解得φ=4kπ-π3(k ∈Z),故当k=1时,φ=11π3,即为φ的最小正值.6.将函数f(x)=12sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π3对称,则|φ|的最小值为 .:f(x)=12sin(2x+φ)向左平移π6个单位长度后得到y=12sin (2x +π3+φ),再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=12sin (x +π3+φ),此函数图象关于直线x=π3对称.当x=π3时,sin (π3+π3+φ)=sin (2π3+φ)=±1,所以2π3+φ=π2+kπ(k∈Z),得φ=-π6+kπ(k∈Z).故|φ|的最小值为π6.7.将函数y=lg x 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)的图象.(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象; (2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.函数y=lgx 的图象向左平移1个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C 1;函数y=cos (2x -π6)的图象向左平移π12个单位长度,可得函数g(x)=cos [2(x +π12)-π6]=cos2x 的图象,即图象C 2.画出图象C 1和C 2的图象如图所示.(2)由(1)中的图象可知,两个图象共有5个交点,即方程f(x)=g(x)解的个数为5.8.已知函数f(x)=2sin ωx,其中常数ω>0. (1)若y=f(x)在区间[-π4,2π3]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b ∈R 且a<b)满足:y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的区间[a,b]中,求b-a 的最小值.因为ω>0,所以根据题意有{-π4ω≥-π2,2π3ω≤π2,解得0<ω≤34.所以ω的取值范围为(0,34].(2)由题意知f(x)=2sin2x,g(x)=2sin [2(x +π6)]+1=2sin (2x +π3)+1.由g(x)=0得,sin (2x +π3)=-12,解得x=kπ-π4或x=kπ-7π12,k ∈Z,即g(x)的相邻零点之间的间隔依次为π3和2π3.故若y=g(x)在区间[a,b]上至少含有30个零点,则b-a 的最小值为14×2π3+15×π3=43π3.。

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小， 所以可以用弧长近似代替弦长， 所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）． 故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（ ） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=， 故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得； 【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（ ）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可． 【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（ ）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈， 由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（ ） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ， 过点O 作OD CD ⊥， 在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=， 又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（ ）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可． 【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（ ） ABCD． 【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角， 根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（ ）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒， 因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长， 所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈， 所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈． 故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==， 所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（ ）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（ ）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23， 解得a 2=15，即|a |=√55， 所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈， 则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。

三角函数练习题及解析一、单选题1. 已知直角三角形ABC，角A的对边BC=5，斜边AC=13，则角B 的邻边AB等于：A) 5B) 12C) 4D) 3解析：根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，因此选项B) 12.2. 在单位圆上，点A的坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$，则角A的度数为：A) 45°B) 60°C) 90°D) 120°解析：单位圆上的点A的坐标$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$对应的角A的度数为$60^\circ$，因此选项B) 60°.3. $\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ$的值等于：A) 0B) 1C) $\frac{3}{4}$D) $\frac{1}{2}$解析：$\sin^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，$\cos^2 60^\circ = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，因此$\sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，因此选项D)$\frac{1}{2}$.二、填空题4. 对于任意角θ，$\sin(90^\circ - \theta)$的值等于 __________。

答案：$\cos \theta$解析：根据“余角公式”，$\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$.5. $\cos(\frac{3\pi}{4})$的值等于 __________。

答案：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$解析：根据单位圆上角度为 $\frac{3\pi}{4}$ 的点坐标为 $(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，因此 $\cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$.三、解答题6. 解方程 $\sin x = \frac{1}{2}$，其中 $0 \leq x < 2\pi$。

高中数学高考总复习两角和与差的三角函数习题及详解一、选择题1．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665 B.5665C.1665或5665D ．－1665[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 2．(2010·烟台中英文学校质检)sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为( ) A ．1B.12C.22D.32[答案] C[解析] sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22. 3．(2010·吉林省质检)对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题中正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )< 2 B ．∃x ∈R ，f (x )< 2 C ．∀x ∈R ，f (x )> 2D ．∃x ∈R ，f (x )> 2[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴不存在x ∈R 使f (x )>2且存在x ∈R ，使f (x )＝2，故A 、C 、D 均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°. (理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3C.π4D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255.∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B [解析] y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴周期T ＝π.(理)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92C.12D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.(理)(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 7．(文)(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. (理)(2010·杭州模拟)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴sin(x －y )＝－1－cos 2(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝sin (x －y )cos (x －y )＝－2145.8．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1C. 3D ．不存在[答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是单调增函数， ∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.9．(2010·全国新课标理，9)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2[答案] A[解析] ∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α22⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2 ＝1＋sin αcos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12，故选A.[点评] 本题解题思路广阔，由cos α可求sin α，也可求sin α2及cos α2，从而求出tan α2.也可以利用和角公式将待求式变形为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2，再用诱导公式和二倍角公式等等．10．(2011·浙江五校联考)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的是( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④[答案] D[解析] 因为在三角形中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B 2＝tan π－C 2＝cot C2＝cos C 2sin C2，而sin C＝2sin C 2cos C 2，∵tan A ＋B 2＝sin C ，∴cos C 2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C 2≠0，sin C 2>0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，∴C ＝π2，A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]，排除A 、C ； cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故选D. 二、填空题11．(2010·哈三中)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－7π6＝13，则tan(α＋β)＝________. [答案] 1[解析] tan(α＋β)＝tan(α＋β－π) ＝tan[(α＋π6)＋(β－7π6)]＝12＋131－12×13＝1.12．(2010·重庆南开中学)已知等差数列{a n }满足：a 1005＝4π3，则tan(a 1＋a 2009)＝________. [答案] － 3[解析] 由等差数列的性质知，tan(a 1＋a 2009) ＝tan(2a 1005)＝tan 8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＝－ 3.13．(2010·山师大附中模考)若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13，则tan(x ＋π3)的值是________．[答案] 29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)]＝tan (x ＋y )－tan (y －π3)1＋tan (x ＋y )·tan (y －π3)＝35－131＋35×13＝29.14．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.三、解答题15．(2010·福建福州市)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.16．(文)(2010·北京延庆县模考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－2cos 2x . (1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． [解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin2x －12cos2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1得， －3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1. 可知函数f (x )的值域为[－3,1]． 且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )解得，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(理)(2010·辽宁锦州)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC →， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域． [解析] (1)由正弦定理有： |BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin (60°－θ)， ∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin (60°－θ)sin120°∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6，∴12<sin(2θ＋π6)≤1， ∴0<f (θ)≤16，即f (θ)的值域为(0，16]．17．(文)(2010·湖北黄冈)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝13，三角形ABC 的面积为S △ABC ＝25，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求BC 的长； (2)cos ∠BAD 的值． [解析] (1)由S △ABC ＝25得， 12|AC →||AB →|·sin ∠CAB ＝25 由AC →·AB →＝120得，|AC →|·|AB →|·cos ∠CAB ＝120，以上两式相除得， tan ∠CAB ＝512，∴sin ∠CAB ＝513，cos ∠CAB ＝1213，∴|AC →||AB →|＝130，又∵|AB →|＝13，∴|AC →|＝10， 在△ABC 中，由余弦定理得，|BC →|2＝102＋132－2×10×13×1213＝29，∴|BC →|＝29，即BC ＝29(2)∵cos ∠DAC ＝35，∴sin ∠DAC ＝45，∴cos ∠BAD ＝cos(∠BAC ＋∠CAD ) ＝cos ∠BAC ·cos ∠CAD －sin ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35－513×45＝1665. (理)(2010·江西新余一中)已知函数f (x )＝sin x 2＋2cos 2x4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．[解析] (1)f (x )＝sin x2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＋1 ＝sin x 2＋cos x2＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋1 ∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3， ∴π4<A 2＋π4<7π12， 又∵sin π4<sin 7π12，∴22<sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π4≤1， ∴2<f (A )≤2＋1.。

三角函数题解1.答案：C解析：将原方程整理为：y=，因为要将原曲线向右、向下分别移动个单位和1个单位，因此可得y=－1为所求方程.整理得（y+1）sin x+2y+1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C选项.2.答案：B图4—5解析：sin2α＝2sinαcosα＜0 ∴sinαcosα＜0即sinα与cosα异号，∴α在二、四象限，又cosα－sinα＜0∴cosα＜sinα由图4—5，满足题意的角α应在第二象限3.答案：C解析：2sin A cos B＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sin A cos B＝sin C，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B4.答案：A解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sin x的单调增区间即求函数y=sin x的单调增区间.5.答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标和，由图4—6可得C答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）6.答案：C解析：解不等式f（x）cos x＜0∴∴0＜x＜1或＜x＜37.答案：B图4—8解析：A项：y=cos2x=，x=π，但在区间（，π）上为增函数.B项：作其图象4—8，由图象可得T=π且在区间（，π）上为减函数.C项：函数y=cos x在(，π)区间上为减函数,数y=（）x为减函数.因此y=（）cos x在（，π）区间上为增函数.D项：函数y＝－cot x在区间（，π）上为增函数.8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x∈［－π，π］为非奇非偶函数.选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.9.答案：B解析：∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cos B＜sin A，sin B＞cos A，故选B.10.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－.11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12.答案：D解析：因为函数y＝－x cos x是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，）时，y＝－x cos x＜0.13.答案：C解法一：由已知得M＞0，－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ（k∈Z），故有g（x）在［a，b］上不是增函数，也不是减函数，且当ωx＋＝2kπ时g（x）可取到最大值M，答案为C.解法二：由题意知，可令ω＝1，＝0，区间［a，b］为［－，］，M＝1，则g（x）为cos x，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y=A sin（ωx＋）的性质，兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.14.答案：B解法一：取α＝±，±代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α＝－适合，又只有－∈（－，0），故答案为B.解法二：先由sinα＞tanα得：α∈（－，0），再由tanα＞cotα得:α∈（－，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995年、1997年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.15.答案：B解析：取f（x）=cos x，则f（x）·sin x=sin2x为奇函数，且T=π.评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.答案：B解法一：P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，有tanα＞0，A、C、D中都存在使tanα＜0的α，故答案为B.解法二：取α＝∈（），验证知P在第一象限，排除A、C，取α＝∈（，π），则P点不在第一象限，排除D,选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sinα－cosα＞0是图中阴影部分，又tanα＞0可得或π＜α＜，故选B.评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.17.答案：A解析：y＝tan（π）＝tan（x－），显然函数周期为T＝2π，且x＝时，y=0，故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.答案：D解析一：由已知可得cos2x=cos2x－sin2x<0，所以2kπ+<2x<2kπ+π，k∈Z.解得kπ+<x<kπ+π，k∈Z（注：此题也可用降幂公式转化为cos2x<0）.解析二：由sin2x>cos2x得sin2x>1－sin2x，sin2x>.因此有sin x>或sin x<－.由正弦函数的图象（或单位圆）得2kπ+<x<2kπ+π或2kπ+π<x<2kπ+π（k∈Z），2kπ+π<x<2kπ+π可写作（2k+1）π+<x<（2k+1）π+，2k为偶数，2k+1为奇数，不等式的解可以写作nπ+<x<nπ+，n∈Z.评述：本题考查三角函数的图象和基本性质，应注意三角公式的逆向使用.19.答案：Ass解法一：由已知得：sin（x－）≤0，所以2kπ＋π≤x－≤2kπ＋2π，2kπ＋≤x≤2kπ＋，令k=－1得－≤x≤，选A.图4—11解法二：取x＝，有sin，排除C、D，取x＝，有sin＝，排除B，故选A.图4—12解法三：设y＝sin x，y＝cos x.在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11，观察知答案为A.解法四：画出单位圆，如图4—12，若sin x≤cos x，显然应是图中阴影部分，故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象，属基本求范围题，入手容易，方法较灵活，排除、数形结合皆可运用.20.答案：C解析：y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）＝5［sin（3x＋）＋cos（3x＋）］＝5sin（3x＋＋）（其中tan＝）所以函数y＝sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的最小正周期是T＝.故应选C.评述：本题考查了a sinα＋b cosα＝sin（α＋），其中sin＝，cos ＝，及正弦函数的周期性.21.答案：A解法一：将原式配方得（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝于是1－sin22θ＝，sin22θ＝，由已知，θ在第三象限，故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋从而4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝，故应选A.解法二：由2kπ＋π＜θ＜2kπ＋，有4kπ＋2π＜4kπ＋3π（k∈Z），知sin2θ＞0，应排除B、D，验证A、C，由sin2θ＝，得2sin2θcos2θ＝，并与sin4θ＋cos4θ＝相加得（sin2θ＋cos2θ）2＝1成立，故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.22.答案：D解析：函数y=sin2x+a cos2x的图象关于直线x=－对称，表明：当x=－时，函数取得最大值，或取得最小值－,所以有［sin（－）+a·cos（－）］2=a2+1，解得a=－1.评述：本题主要考查函数y=a sin x+b cos x的图象的对称性及其最值公式.23.答案：A解法一：因为θ为第二象限角，则2kπ＋＜θ＜2kπ＋π（k∈Z），即为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13，所以tan＞cot.解法二：由已知得：2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，kπ＋＜＜图4—13kπ＋，k为奇数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z）；k为偶数时，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z），都有tan＞cot，选A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本. 24.答案：解析：∵0＜ω＜1 ∴T＝＞2π∴f（x）在［0，］区间上为单调递增函数∴f（x）max＝f（）即2sin 又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝25.答案：cosπ＜sin＜tan解析：cos＜0，tan＝tan ∵0＜x＜时，tan x＞x＞sin x＞0∴tan＞sin＞0 ∴tan＞sin＞cos26.答案：2－解析：.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.答案：解析：tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.28.答案：－解析：y＝sin（x－）cos x＝［sin（2x－）－sin］＝［sin（2x－）当sin（2x－）＝－1时，函数有最小值，y最小＝（－1－）＝－.评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 29.答案：［］解析：y＝sin＋cos＝sin（），当2kπ－≤＋≤2kπ＋（k∈Z）时，函数递增，此时4kπ－≤x≤4kπ＋（k∈Z），只有k＝0时，［－，］（－2π，2π）.30.答案：－解法一：设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ－cosθ的值.将已知等式两边平方得1＋2sinθcosθ＝变形得1－2sinθcosθ＝2－，即（sinθ－cosθ）2＝图4—14又sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π）则＜θ＜，如图4—14所以sinθ－cosθ＝，于是sinθ＝，cosθ＝－，cotθ＝－.解法二：将已知等式平方变形得sinθ·cosθ＝－，又θ∈（0，π），有cosθ＜0＜sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x2－x－＝0的两个根，故有cosθ＝－，sinθ＝，得cotθ＝－.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.31.解：（1）y＝cos2x＋sin x cos x＋1＝（2cos2x－1）＋＋（2sin x cos x）＋1＝cos2x＋sin2x＋＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋＝sin（2x＋）＋y取得最大值必须且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝.（2）将函数y＝sin x依次进行如下变换：①把函数y＝sin x的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）的图象；④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图象；综上得到函数y＝cos2x＋sin x cos x＋1的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.解：（1）y＝sin x＋cos x＝2（sin x cos＋cos x sin）＝2sin（x＋），x∈Ry取得最大值必须且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z.所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝（2）变换的步骤是：①把函数y＝sin x的图象向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝2sin（x＋）的图象；经过这样的变换就得到函数y＝sin x＋cos x的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.（1995全国理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.33.解：原式＝（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°）＝1＋（cos100°－cos40°）＋sin70°－＝－sin70°sin30°＋sin70°＝－sin70°＋sin70°＝.评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.（1994上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，求tan（α－2β）的值.34.解：由题设sinα＝，α∈（，π），可知cosα＝－，tanα＝－又因tan（π－β）＝，tanβ＝－，所以tan2β＝tan（α－2β）＝35.（1994全国理，22）已知函数f（x）=tan x，x∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x1≠x2，证明［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.35.证明：tan x1＋tan x2＝因为x1，x2∈（0，），x1≠x2，所以2sin（x1＋x2）＞0，cos x1cos x2＞0，且0＜cos（x1－x2）＜1，从而有0＜cos（x1＋x2）＋cos（x1－x2）＜1＋cos（x1＋x2），由此得tan x1＋tan x2＞，所以（tan x1＋tan x2）＞tan即［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.36.已知函数⑴求它的定义域和值域；⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性；⑷判断它的周期性.解（1）x必须满足sin x-cos x>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴函数定义域为，k∈Z∵∴当x∈时，∴∴∴函数值域为[）（3）∵定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴不具备奇偶性（4）∵ f(x+2π)=f(x)∴函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sin x-cos x的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sin x+cos x的符号37. 求函数f (x)=的单调递增区间解：∵f (x)= 令,∴y=,t是x的增函数,又∵0<<1,∴当y=为单调递增时,cost 为单调递减且cost>0,∴2k≤t<2k+ (kZ),∴2k≤<2k+ (kZ) ,6k-≤x<6k+ (kZ),∴f (x)=的单调递减区间是[6k-,6k+) (kZ)38. 已知f(x)=5sin x cos x-cos2x+（x∈R）⑴求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)单调区间；⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。

高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。

三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件 方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀 心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料 中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。

高一数学(必修一)《第五章 三角函数的概念》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．点P 从(2,0)出发，逆时针方向旋转43π到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）A ．1,2⎛- ⎝⎭B ．(1)-C ．(1,-D ．21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭2．角α的终边过点()3,4P -，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425- B ．725- C ．725D ．24253．已知函数1log a y x =和()22y k x =-的图象如图所示，则不等式120y y ≥的解集是（ ）A ．(]1,2B ．[)1,2C ．()1,2D ．[]1,24．已知(0,2)απ∈，sin 0α<和cos 0α>，则角α的取值范围是（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角6．已知直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2，则19log x ＝（ ） A ．3B ．12C ．2D ．12-7．已知()1cos 3αβ-=，3cos 4β=与0,2παβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭和0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()0,απ∈D ．0,2πα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．已知点()tan ,sin P αα在第四象限，则角α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角二、解答题9．设α是第一象限角,作α的正弦线､余弦线和正切线,由图证明下列各等式. (1)22sin cos 1αα+=; (2)sin tan cos ααα=. 如果α是第二､三､四象限角,以上等式仍然成立吗? 10．已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值.11．已知|cosθ|=-cosθ，且tanθ<0，试判断()()sin cos θcos sin θ的符号.12．不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)37sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭与49sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)sin194︒与()cos 160︒.13．（1）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求()()()πsin tan π2sin πcos 3παααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭+⋅-的值； （2）已知0πx <<，1sin cos 5x x +=求tan x 的值． 14．已知角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭． (1)求tan θ的值；(2)求()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++的值．15．在平面直角坐标系xOy 中角θ的始边为x 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点P ，点P 的横坐标为35. (1)求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值；(2)若将射线OP 绕点O 逆时针旋转2π，得到角α，求22sin sin cos cos αααα--的值.三、多选题16．给出下列各三角函数值：①()sin 100-；②()cos 220-；③tan 2；④cos1.其中符号为负的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④四、双空题17．已知55sin ,cos 66P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______. 参考答案与解析1．C【分析】结合已知点坐标，根据终边旋转的角度和方向，求Q 点坐标即可.【详解】由题意知，442cos ,2sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即(1,Q -. 故选：C. 2．B【分析】化简得2sin 22cos 12παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的坐标定义求出cos α即得解.【详解】解：2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭由题得3cos 5α==-，所以237sin 22()12525πα⎛⎫+=⨯--=- ⎪⎝⎭. 故选：B 3．B【分析】可将12,y y 图象合并至一个图，由12,y y 同号或10y =结合图象可直接求解.【详解】将12,y y 图象合并至一个图，如图：若满足120y y ≥，则等价于120y y ⋅>或10y =，当()1,2x ∈时，则120y y ⋅>，当1x =时，则10y =，故120y y ≥的解集是[)1,2故选：B 4．D【分析】根据三角函数值的符号确定角的终边的位置，从而可得α的取值范围.【详解】因为sin 0α<，cos 0α>故α为第四象限角，故3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭故选：D. 5．C∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ． 6．D【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x ，然后结合对数的运算性质可求．【详解】解：因为直线l 1的斜率为2，直线l 2经过点(1,2),(,6)A B x --，且l 1∥l 2 所以6221x +=+，解得3x =所以2113991log log 3log 32x -===-故选：D ． 7．B【分析】由已知得()0,απ∈，再利用同角之间的关系及两角差的余弦公式计算cos 0α<，即可得解.()0,απ∴∈又cos cos()cos()cos sin()sin ααββαββαββ=-+=---13034=⨯=< ,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭故选：B 8．C【分析】由点的位置可确定tan ,sin αα的符号，根据符号可确定角α终边的位置.【详解】()tan ,sin P αα在第四象限tan 0sin 0αα>⎧∴⎨<⎩，α位于第三象限.故选：C. 9．见解析【解析】作出α的正弦线､余弦线和正切线 （1）由勾股定理证明；（2）由三角形相似PMO TAO ∆∆∽证明．若α是第二､三､四象限角,以上等式仍成立.【点睛】本题考查三角函数线的应用，考查用几何方法证明同角间的三角函数关系．掌握三角函数线定义是解题基础．10．(1)()cos f αα=-.【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;(2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-所以()cos f αα=-;(2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-又α是第三象限角 所以cos α==所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆. 11．符号为负.【分析】由|cosθ|=﹣cosθ，且tanθ＜0，可得θ在第二象限，即可判断出．【详解】由|cosθ|=-cosθ可得cosθ≤0，所以角θ的终边在第二、三象限或y 轴上或x 轴的负半轴上;又tanθ<0，所以角θ的终边在第二、四象限，从而可知角θ的终边在第二象限.易知-1<cosθ<0，0<sinθ<1，视cosθ、sinθ为弧度数，显然cosθ是第四象限的角，sinθ为第一象限的角，所以cos(sinθ)>0，sin(cosθ)<0，故()()sin cos θcos sin θ<0故答案为符号为负.【点睛】本题考查了三角函数值与所在象限的符号问题，考查了推理能力，属于基础题． 12．(1)3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)sin194cos160︒>︒【分析】根据诱导公式及函数的单调性比较大小. (1)由37sin sin 6sin 666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭49sin sin 16sin 333ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增所以sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3749sin sin 63ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)由()sin194sin 18014sin14︒=︒+︒=-︒()cos160cos 9070sin70︒=︒+︒=-︒又0147090︒<︒<︒<︒所以sin14sin70︒<︒，即sin14sin70-︒>-︒ 所以sin194cos160︒>︒.13．（1）54；（2）4tan 3x =- ．【分析】（1）由三角函数定义易得4cos 5α=，再利用诱导公式和基本关系式化简为()()()πsin tan π12sin πcos 3πcos ααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+-求解； （2）将1sin cos 5x x +=两边平方得到242sin cos 025x x =-<，进而求得7sin cos 5x x -=，与1sin cos 5x x +=联立求解.【详解】解：（1）P 点到原点O的距离1r =由三角函数定义有4cos 5x r α== ()()()πsin tan πcos tan 152sin πcos 3πsin cos cos 4ααααααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=⨯==+---； （2）∵0πx <<，将1sin cos 5x x +=两边平方得112sin cos 25x x +=∴242sin cos 025x x =-<，可得ππ2x << ∴sin 0x > cos 0x < ∴sin cos 0x x ->∵()()22sin cos sin cos 2x x x x -++= ∴7sin cos 5x x -=，联立1sin cos 5x x +=∴4sin 5x = 3cos 5x =-∴4tan 3x =-． 14．(1)(2)2.【分析】（1）根据三角函数的定义tan yxθ=，代值计算即可； （2）利用诱导公式化简原式为齐次式，再结合同角三角函数关系和（1）中所求，代值计算即可. （1）因为角θ的终边与单位圆在第四象限交于点1,2P ⎛ ⎝⎭故可得tan yxθ==（2）原式=()()cos cos 22sin cos πθθπθπθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭++ sin cos sin cos θθθθ+=-tan 1tan 1θθ+=-由（1）可得：tan θ=tan 12tan 1θθ+==-. 15．(1)35(2)1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得3tan 4α=，再将22sin sin cos cos αααα--化为22tan tan 1tan 1ααα--+，即可求得答案． (1)P 在单位圆上，且点P 在第二象限，P 的横坐标为35，可求得纵坐标为45所以434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-，则cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--． (2)由题知2παθ=+，则3sin()cos 5sin 2παθθ=+==-，24cos cos()sin 5παθθ=+=-=-则sin 3tan cos 4ααα== 故22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++ 2233()443()1241951--==-+.16．ABC【分析】首先判断角所在象限，然后根据三角函数在各个象限函数值的符号即可求解. 【详解】解：对①：因为100-为第三象限角，所以()sin 1000-<； 对②：因为220-为第二象限角，所以()cos 2200-<； 对③：因为2弧度角为第二象限角，所以tan20<； 对④：因为1弧度角为第一象限角，所以cos10>； 故选：ABC. 17．125π3【解析】根据三角函数的定义，求得cos α的值，进而确定角α的最小正值. 【详解】由于55sin ,cos 66P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是角α的终边上一点，所以cos α=5πsin 5π1sin62==.由于5π15πsin0,cos 0626=>=<，所以P 在第四象限，也即α是第四象限角，所以π2π3k α=-，当1k =时，则α取得最小正值为5π3.故答案为：（1）12；（2）5π3【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.。

正弦函数、余弦函数的图象知识点正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由诱导公式一知sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x，k∈Z可得．【基础演练】【基础演练】1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是()解析y＝sin(－x)＝－sin x，y＝－sin x与y＝sin x的图象关于x轴对称，故选B.2．用“五点法”画函数y＝1＋12sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是() A．0，π4，π2，3π4，π B．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.3．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合 B ．形状相同，位置不同 C ．关于y 轴对称 D ．形状不同，位置不同答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3 D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．当sin x ＝－32时，x ＝4π3或x ＝5π3， 可知不等式sin x <－32在[0,2π]上的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0,2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎫π2，4，⎝⎛⎭⎫3π2，4.【典型例题】考点一：正弦函数、余弦函数图象的初步认识 例1 (1)下列叙述正确的个数为( )①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称；③正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．答案 D(2)函数y ＝sin |x |的图象是( )答案 B解析 y ＝sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，结合选项可知选B.反思感悟 解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1 下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是( ) A ．都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B ．都是对称图形 C ．都与x 轴有无数个交点D ．y ＝sin(－x )的图象与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称 答案 A解析 由正弦、余弦函数图象知，B ，C ，D 正确．考点二：用“五点法”作三角函数的图象 例2 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－2cos x ＋3，x ∈[0,2π]． 解 (1)列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：描点、连线得出函数y＝－2cos x＋3，x∈[0,2π]的图象．反思感悟作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝2＋cos x(0≤x≤2π)的简图．解列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．考点三：正弦函数、余弦函数图象的应用 例3 不等式2sin x －1≥0，x ∈[0,2π]解集为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C.⎣⎡⎦⎤π6，π D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 D解析 因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.在同一直角坐标系下，作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象．由函数的图象知，sin π6＝sin 5π6＝12.所以根据图象可知，sin x ≥12的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 延伸探究1．在本例中把“x ∈[0,2π]”改为“x ∈R ”，求不等式2sin x －1≥0的解集． 解 在x ∈[0,2π]上的解集为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.所以x ∈R 时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 2．试求关于x 的不等式12<sin x ≤32.解 作出正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象，作出直线y ＝12和y ＝32，如图所示．由图可知，在[0,2π]上当π6<x ≤π3或2π3≤x <5π6时，不等式12<sin x ≤32成立，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π<x ≤π3＋2k π或2π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z . 反思感悟 利用三角函数图象解三角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤 (1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x ＝a (cos x ＝a )的x 值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3 求函数y ＝1－2cos x 的定义域． 解 依题意有1－2cos x ≥0，即cos x ≤12.作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]以及直线y ＝12的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .根据函数图象求范围典例 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________． 答案 (1,3)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.图象如图所示．结合图象可知1<k <3.[素养提升] 关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决，体现了直观想象的核心素养．1．(多选)用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，32 B.⎝⎛⎭⎫π2，3 C ．(π，0) D ．(2π，3) 答案 AD解析 五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.代入计算得B ，C 是关键点．2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图象( ) A ．与g (x )的图象相同 B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位长度，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位长度，得g (x )的图象答案 D解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到g (x )的图象．3．在[0,2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤3π4，π解析 依题意得2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0,2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选B. 4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝12交点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝12有2个交点．5．函数f (x )＝sin x －1，x ∈[0,2π]的零点为________． 答案 π2解析 令f (x )＝0，∴sin x ＝1，∴又x ∈[0,2π]，∴x ＝π2.6．已知函数f (x )＝2cos x ＋1，若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，m ，则m ＝________；若f (x )<0，则x 的取值集合为________．答案 1 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z 解析 当x ＝π2时，f (x )＝2cos π2＋1＝1，∴m ＝1.f (x )<0，即cos x <－12，作出y ＝cos x 在x ∈[0,2π]上的图象，如图所示．由图知x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z . 7．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0，2π]． 解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.8．(多选)函数y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]与y ＝a 有一个交点，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 答案 BD解析 画出y ＝sin x －1的图象．如图．依题意a ＝0或a ＝－2.9．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )答案 D解析 由题意得y ＝⎩⎨⎧2cos x ，0≤x ≤π2或3π2≤x ≤2π，0，π2<x <3π2.10．函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域为________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5 解析 由题意，得x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ cos x >0，25－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0，－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5.11．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________． 答案 4π解析 如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.12．若方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值范围． 解 在同一直角坐标系中作出y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象，y ＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a ≤1－3时，y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π的图象与y ＝1－a 2的图象有两个交点，即方程sin x ＝1－a 2在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π上有两个实数根．。

三角函数题解1.2003上海春;15把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位;再沿y 轴向下平移1个单位;得到的曲线方程是A.1－y sin x +2y －3=0B.y －1sin x +2y －3=0C.y +1sin x +2y +1=0D.－y +1sin x +2y +1=02.2002春北京、安徽;5若角α满足条件sin2α＜0;cos α－sin α＜0;则α在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.2002上海春;14在△ABC 中;若2cos B sin A ＝sinC;则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.2002京皖春文;9函数y =2sin x 的单调增区间是 A.2k π－2π;2k π＋2πk ∈ZB.2k π＋2π;2k π＋23πk ∈Z C.2k π－π;2k πk ∈Z D.2k π;2k π＋πk ∈Z5.2002全国文5;理4在0;2π内;使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为 A.4π;2π∪π;45πB.4π;π C.4π;45πD.4π;π∪45π;23π6.2002北京;11已知fx 是定义在0;3上的函数;fx 的图象如图4—1所示;那么不等式fx cos x ＜0的解集是A.0;1∪2;3B.1;2π∪2π;3图4—1C.0;1∪2π;3D.0;1∪1;37.2002北京理;3下列四个函数中;以π为最小正周期;且在区间2π;π上为减函数的是 A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝31cos xD.y =－cot x8.2002上海;15函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π的大致图象是9.2001春季北京、安徽;8若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角;则点P cos B －sin A ;sin B －cos A 在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.2001全国文;1tan300°+cot405°的值是 A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋311.2000全国;4已知sin α＞sin β;那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角;则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角;则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角;则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角;则tan α＞tan β12.2000全国;5函数y ＝－x cos x 的部分图象是13.1999全国;4函数fx =M sin ωx ＋ϕω＞0;在区间a ;b 上是增函数;且fa =－M ;fb =M ;则函数gx =M cos ωx ＋ϕ在a ;b 上A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m14.1999全国;11若sin α＞tan α＞cot α－2π＜α＜2π);则α∈A.－2π;－4π B.－4π;0C.0;4πD.4π;2π15.1999全国文、理;5若fx sin x 是周期为π的奇函数;则fx 可以是 A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x16.1998全国;6已知点P sin α－cos α;tan α在第一象限;则在0;2π内α的取值范围是 A.2π;43π∪π;45πB.4π;2π∪π;45π C.2π;43π∪45π;23πD.4π;2π∪43π;π 17.1997全国;3函数y =tan 3121-x π在一个周期内的图象是18.1996全国若sin 2x >cos 2x ;则x 的取值范围是 A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π;k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π;k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π;k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z }19.1995全国文;7使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是A.－43π;4πB.－2π;2πC.－4π;43πD.0;π20.1995全国;3函数y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是A.6πB.2πC.32πD.3π21.1995全国;9已知θ是第三象限角;若sin 4θ＋cos 4θ＝95;那么sin2θ等于 A.322 B.－322 C.32D.－32 22.1994全国文;14如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;那么a 等于A.2B.－2C.1D.－123.1994全国;4设θ是第二象限角;则必有 A.tan2θ>cot 2θ B.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θ D.sin2θ－cos 2θ 24.2002上海春;9若fx =2sin ωx 0＜ω＜1)在区间0;3π上的最大值是2;则ω＝ .25.2002北京文;13sin 52π;cos 56π;tan 57π从小到大的顺序是 .26.1997全国;18︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.27.1996全国;18tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.28.1995全国理;18函数y ＝sin x －6πcos x 的最小值是 .29.1995上海;17函数y ＝sin 2x ＋cos 2x在－2π;2π内的递增区间是 .30.1994全国;18已知sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π;则cot θ的值是 .31.2000全国理;17已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到32.2000全国文;17已知函数y ＝3sin x ＋cos x ;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到33.1995全国理;22求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 34.1994上海;21已知sin α＝53;α∈2π;π;tan π－β＝21; 求tan α－2β的值.35.1994全国理;22已知函数fx =tan x ;x ∈0;2π;若x 1、x 2∈0;2π;且x 1≠x 2;证明21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.37. 求函数f x =121log cos()34x π+的单调递增区间38. 已知fx =5sin x cos x -35cos 2x +325x ∈R ⑴求fx 的最小正周期； ⑵求fx 单调区间；⑶求fx 图象的对称轴;对称中心..39若关于x 的方程2cos 2π + x - sin x + a = 0 有实根;求实数a 的取值范围..参考答案1.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+;因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位;因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得y +1sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解;可直接化为：y +1cos x －2π+2y +1－1=0;即得C 选项.2.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号;∴α在二、四象限; 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5;满足题意的角α应在第二象限3.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin A ＋B ＋sin A －B 又∵2sin A cos B ＝sin C ; ∴sin A －B ＝0;∴A ＝B 4.答案：A解析：函数y =2x 为增函数;因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.5.答案：C解法一：作出在0;2π区间上正弦和余弦函数的图象;解出两交点的横坐标4π和45π;由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线;由正弦线、余弦线知应选C.如图4—7 6.答案：C图4—5解析：解不等式fx cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x+;x =π;但在区间2π;π上为增函数.B 项：作其图象4—8;由图象可得T =π且在区间2π;π上为减函数.C 项：函数y =cos x 在2π;π区间上为减函数;数y =31x 为减函数.因此y =31cos x 在2π;π区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间2π;π上为增函数. 8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数;B 为偶函数;C 为非奇非偶函数. 9.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角;∴A ＋B ＞90°; ∴B ＞90°－A ;∴cos B ＜sin A ;sin B ＞cos A ;故选B. 10.答案：B 解析：tan300°＋cot405°＝tan360°－60°＋cot360°＋45°＝－tan60°＋cot45°＝1－3.11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反;所以可排除A 、C;在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反;所以排除B.只有在第四象限内;正弦函数与正切函数的增减性相同.12.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数;它的图象关于原点对称;所以排除A 、C;当 x ∈0;2π时;y ＝－x cos x ＜0.13.答案：C图4—8解法一：由已知得M ＞0;－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k πk ∈Z ;故有gx 在a ;b 上不是增函数;也不是减函数;且当ωx ＋ϕ＝2k π时gx 可取到最大值M ;答案为C.解法二：由题意知;可令ω＝1;ϕ＝0;区间a ;b 为－2π;2π;M ＝1;则gx 为cos x ;由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin ωx ＋ϕ的性质;兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用正用逆用；解法二取特殊值可降低难度;简化命题. 14.答案：B解法一：取α＝±3π;±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值;易知α＝－6π适合;又只有－6π∈－4π;0;故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈－2π;0;再由tan α＞cot α得:α∈－4π;0评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系;1995年、1997年曾出现此类题型;运用特殊值法求解较好.15.答案：B解析：取fx =cos x ;则fx ·sin x =21sin2x 为奇函数;且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.答案：B解法一：P sin α－cos α;tan α在第一象限;有tan α＞0; A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α;故答案为B.解法二：取α＝3π∈2,4ππ;验证知P 在第一象限;排除A 、C;取α＝65π∈43π;π;则P 点不在第一象限;排除D;选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分;又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π;故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用;突出考查了转化思想和转化方法的选择;采用排除法不失为一个好办法.17.答案：A解析：y ＝tan 3121-x π＝tan 21x －32π;显然函数周期为T ＝2π;且x ＝32π时;y =0;故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换;抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0;所以2k π+2π<2x <2k π+23π;k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z 注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ;sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象或单位圆得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47πk ∈Z ;2k π+45π<x <2k π+47π可写作2k +1π+4π<x <2k +1π+43π;2k 为偶数;2k +1为奇数;不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π;n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质;应注意三角公式的逆向使用. 19.答案：A 解法一：由已知得：2 sin x －4π≤0;所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π;2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π;令k =－1得－43π≤x ≤4π;选A. 解法二：取x ＝32π;有sin 2132cos ,2332-==ππ;排除C 、D;取x ＝3π;有sin3π＝213cos ,23=π;排除B;故选A. 解法三：设y ＝sin x ;y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11;观察知答案为A.解法四：画出单位圆;如图4—12;若sin x ≤cos x ;显然应是图中阴影部分;故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象;属基本求范围题;入手容易;方法较灵活;排除、数形结合皆可运用.20.答案：C图4—12图4—11解析：y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π＝554sin3x ＋4π＋53cos3x ＋4π＝5sin3x ＋4π＋ϕ其中tan ϕ＝43所以函数y ＝sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin α＋ϕ;其中sinϕ＝22ba b +;cos ϕ＝22ba a +;及正弦函数的周期性.21.答案：A解法一：将原式配方得sin 2θ＋cos 2θ2－2sin 2θcos 2θ＝95 于是1－21sin 22θ＝95;sin 22θ＝98;由已知;θ在第三象限; 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限;所以sin2θ＝322;故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π;有4k π＋2π＜4k π＋3πk ∈Z ;知sin2θ＞0;应排除B 、D;验证A 、C;由sin2θ＝322;得2sin 2θcos 2θ＝94;并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得sin 2θ＋cos 2θ2＝1成立;故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.22.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;表明：当x =－8π时;函数取得最大值12+a ;或取得最小值－12+a ;所以有sin －4π+a ·cos －4π2=a 2+1;解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式.23.答案：A解法一：因为θ为第二象限角;则2k π＋2π＜θ＜2k π＋πk ∈Z ;即2θ为第一象限角或第三象限角;从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13;所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π;k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π;k 为奇数时;2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23πn ∈Z ； k为偶数时;2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2πn ∈Z ;都有tan 2θ＞cot 2θ;选A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念;高于课本.24.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴fx 在0;3π区间上为单调递增函数∴fx max ＝f3π即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4325.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos56π＜0;tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时;tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π26.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin图4—133230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ;∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°;∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.28.答案：－43 解析：y ＝sin x －6πcos x ＝21sin2x －6π－sin 6π＝21sin2x －6π－21当sin2x －6π＝－1时;函数有最小值;y 最小＝21－1－21＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性或值域.29.答案：2,23ππ-解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin 42π+x ;当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2πk ∈Z 时;函数递增;此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2πk ∈Z ;只有k ＝0时;－23π;2π－2π;2π. 30.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ;cot θ便可求了;为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251;即sin θ－cos θ2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π 则2π＜θ＜43π;如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57;于是 sin θ＝54;cos θ＝－53;cot θ＝－43. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－2512;又θ∈0;π;有cos θ＜0＜sin θ;且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根;故有cos θ＝－53; sin θ＝54;得cot θ＝－43. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力;方法较灵活. 31.解：1y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝412cos 2x －1＋41＋432sin x cos x ＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π＋45＝21sin2x ＋6π＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;图4—14即x ＝6π＋k π;k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π;k ∈Z ｝.2将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变;得到函数 y ＝sin2x ＋6π的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍横坐标不变;得到函数 y ＝21sin2x ＋6π的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度;得到函数y ＝21sin2x ＋6π＋45的图象；综上得到函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.解：1y ＝3sin x ＋cos x ＝2sin x cos6π＋cos x sin6π＝2sin x ＋6π;x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;即x ＝3π＋2k π;k ∈Z .所以;当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π;k ∈Z ｝2变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变;把纵坐标伸长到原来的2倍;得到函数 y ＝2sin x ＋6π的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.解：原式＝211－cos40°＋211＋cos100°＋21sin70°－sin30° ＝1＋21cos100°－cos40°＋21sin70°－41＝43－sin70°sin30°＋21sin70° ＝43－21sin70°＋21sin70°＝43. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.解：由题设sin α＝53;α∈2π;π; 可知cos α＝－54;tan α＝－43又因tan π－β＝21;tan β＝－21;所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββtan α－2β＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 2121cos cos )sin(x x x x +=)cos()cos()sin(2212121x x x x x x -+++=因为x 1;x 2∈0;2π;x 1≠x 2;所以2sin x 1＋x 2＞0;cos x 1cos x 2＞0;且0＜cos x 1－x 2＜1; 从而有0＜cos x 1＋x 2＋cos x 1－x 2＜1＋cos x 1＋x 2; 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++;所以21tan x 1＋tan x 2＞tan 221x x +即21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.解1x 必须满足sin x -cos x >0;利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+;k ∈Z ∴函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π;k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时;0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-∴121log 2y -≥∴ 函数值域为+∞-,213∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称;∴()f x 不具备奇偶性4∵ fx+2π=fx ∴ 函数fx 最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知;以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准;可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准;可区分sin x +cos x 的符号37.解：∵f x =121log cos()34x π+令431π+=x t ;∴y=t cos log 21;t 是x 的增函数;又∵0<21<1;∴当y=t cos log 21为单调递增时;cost 为单调递减 且cost>0;∴2k π≤t<2k π+2πk ∈Z;∴2k π≤431π+x <2k π+2π k ∈Z ;6k π-43π≤x<6k π+43π k ∈Z;∴f x =)431cos(log 21π+x 的单调递减区间是6k π-43π;6k π+43πk ∈Z38.解： 1T=π 2增区间k π-12π;k π+125π;减区间k π+]1211k ,125π+ππ 3对称中心62k π+π;0;对称轴π+π=1252k x ;k ∈Z39.解：原方程变形为：2cos 2x - sin x + a = 0 即 2 - 2sin 2x - sin x + a = 0;∴817)41(sin 22sin sin 222-+=-+=x x x a ;∵- 1≤sin x ≤1 ;∴81741sin m in -=-=a x 时，当； 11sin m ax ==a x 时，当; ∴a 的取值范围是1,817-。

三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。

三角函数公式1． 同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)〔1－tanαtanβ〕tanα－tanβ＝tan(α－β)〔1＋tanαtanβ) （4）万能公式〔用tanα表示其他三角函数值〕sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a)特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7．熟悉形式的变形〔如何变形〕1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα假设A、B是锐角，A+B＝π4，那么〔1＋tanA〕(1+tanB)=28．在三角形中的结论假设：A＋B＋C=π, A+B+C2=π2那么有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos 〔x +π〕，那么x 的取值集合是〔 〕 A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．〔2k +1〕π≤x ≤2〔k +1〕π〔以上k ∈Z 〕2．sin 〔－6π19〕的值是〔 〕 A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．以下三角函数：①sin 〔n π+3π4〕；②cos 〔2n π+6π〕；③sin 〔2n π+3π〕；④cos ［〔2n +1〕π－6π］；⑤sin ［〔2n +1〕π－3π］〔n ∈Z 〕．其中函数值与sin 3π的值相同的是〔 〕 A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．假设cos 〔π+α〕=－510，且α∈〔－2π，0〕，那么tan 〔2π3+α〕的值为〔 〕 A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是〔 〕 A ．cos 〔A +B 〕=cos C B ．sin 〔A +B 〕=sin C C ．tan 〔A +B 〕=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f 〔x 〕=cos 3πx〔x ∈Z 〕的值域为〔 〕 A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．假设α是第三象限角，那么)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________． 三、解答题9．求值：sin 〔－660°〕cos420°－tan330°cot 〔－690°〕．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．cos α=31，cos 〔α+β〕=1，求证：cos 〔2α+β〕=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：〔1〕sin 〔2π3－α〕=－cos α； 〔2〕cos 〔2π3+α〕=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos 〔α+β〕=1，∴α+β=2k π．∴cos 〔2α+β〕=cos 〔α+α+β〕=cos 〔α+2k π〕=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：〔1〕sin 〔2π3－α〕=sin ［π+〔2π－α〕］=－sin 〔2π－α〕=－cos α． 〔2〕cos 〔2π3+α〕=cos ［π+〔2π+α〕］=－cos 〔2π+α〕=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题： 1．sin(4π+α)=23，那么sin(43π-α)值为〔 〕 A.21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为〔 〕 A.23 B. 21 C. 23± D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得〔 〕A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．α和β的终边关于x 轴对称，那么以下各式中正确的选项是〔 〕 A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于〔 〕， A. 51〔4+5〕 B. 51〔4-5〕 C. 51〔4±5〕 D. 51〔5-4〕二、填空题： 6．cos(π-x)=23，x ∈〔-π，π〕，那么x 的值为 ． 7．tanα=m ，那么=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin 〔-π+α〕，那么α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．：sin 〔x+6π〕=41，求sin 〔)67x +π+cos 2〔65π-x 〕的值．11． 求以下三角函数值： 〔1〕sin 3π7；〔2〕cos 4π17；〔3〕tan 〔－6π23〕；12． 求以下三角函数值：〔1〕sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； 〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］.13．设f 〔θ〕=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f 〔3π〕的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：〔1〕sin 3π7=sin 〔2π+3π〕=sin 3π=23.〔2〕cos4π17=cos 〔4π+4π〕=cos 4π=22.〔3〕tan 〔－6π23〕=cos 〔－4π+6π〕=cos 6π=23.〔4〕sin 〔－765°〕=sin ［360°×〔－2〕－45°］=sin 〔－45°〕=－sin45°=－22. 注：利用公式〔1〕、公式〔2〕可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：〔1〕sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin 〔π+3π〕·cos 〔4π+6π〕·tan 〔π+4π〕 =〔－sin3π〕·cos 6π·tan 4π=〔－23〕·23·1=－43.〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］=sin 〔π－3π2〕=sin 3π=23.13．解：f 〔θ〕=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1， ∴f 〔3π〕=cos 3π－1=21－1=－21.。

第一章 三角函数一、选择题 1．已知为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）． A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限2．若sin θcos θ＞0，则θ在（ )． A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限D ．第二、四象限3．sin3π4cos 6π5tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π4－＝( )． A ．－433B ．433 C ．－43 D ．43 4．已知tan θ＋θtan 1＝2，则sin θ＋cos θ等于（ )． A ．2B ．2C ．－2D ．±25．已知sin x ＋cos x ＝51（0≤x ＜π），则tan x 的值等于( )． A ．－43B ．－34C ．43D ．346．已知sin ＞sin ，那么下列命题成立的是（ ）． A ．若，是第一象限角,则cos ＞cosB ．若，是第二象限角，则tan ＞tanC ．若，是第三象限角，则cos ＞cosD ．若,是第四象限角，则tan＞tan7．已知集合A ＝{|＝2k π±3π2,k ∈Z ｝，B ＝{|＝4k π±3π2，k ∈Z },C ＝ {γ｜γ＝k π±3π2,k ∈Z ｝，则这三个集合之间的关系为（ )． A ．A ⊆B ⊆CB ．B ⊆A ⊆CC ．C ⊆A ⊆BD ．B ⊆C ⊆A8．已知cos （＋)＝1，sin ＝31，则sin 的值是（ )． A ．31B ．－31C ．322D ．－322 9．在（0，2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ）．A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ，4π∪⎪⎭⎫⎝⎛4π5，π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4π5 ，4πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛π ，4π∪⎪⎭⎫⎝⎛23π ，4π5 10．把函数y ＝sin x (x ∈R ）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ）． A ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π － 2x ,x ∈RB ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π ＋ 2x ，x ∈RC ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ＋ 2x ,x ∈RD ．y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛32π ＋ 2x ，x ∈R二、填空题11．函数f （x ）＝sin 2 x ＋3tanx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上的最大值是 ．12．已知sin ＝552，2π≤≤π，则tan ＝ ． 13．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 2π＝ ．14．若将函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π ＋ x ω（ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后，与函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π ＋ x ω的图象重合，则ω的最小值为 ．15．已知函数f （x )＝21（sin x ＋cos x )－21｜sin x －cosx ｜，则f (x )的值域是 ． 16．关于函数f （x ）＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π ＋ 2x ，x ∈R ，有下列命题： ①函数 y = f (x ）的表达式可改写为y = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x ； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f （x ）的图象关于点(－6π，0)对称； ④函数y ＝f (x ）的图象关于直线x ＝－6π对称． 其中正确的是______________．三、解答题17．求函数f （x )＝lgsin x ＋1cos 2-x 的定义域．18．化简:（1）)－()＋(－)＋＋()＋()－(－)＋＋(－αααααα︒︒︒︒180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ;(2))－()＋()－()＋＋(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα（n ∈Z )．19．求函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程．20．(1）设函数f （x ）＝xax sin sin ＋（0＜x ＜π），如果 a ＞0，函数f (x )是否存在最大值和最小值,如果存在请写出最大(小）值；(2)已知k ＜0,求函数y ＝sin 2x ＋k （cos x －1)的最小值．参考答案一、选择题 1．D解析：2k π＋π＜＜2k π＋23π，k ∈Z ⇒k π＋2π＜2α＜k π＋43π，k ∈Z ．2．B解析：∵ sin θcos θ＞0，∴ sin θ，cos θ同号．当sin θ＞0,cos θ＞0时，θ在第一象限；当sin θ＜0,cos θ＜0时，θ在第三象限． 3．A解析：原式＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πtan 6πcos 3πsin ＝－433．4．D解析：tan θ＋θtan 1＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθcos sin 1＝2,sin cos ＝21．(sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝2．sin ＋cos ＝±2．5．B解析：由 得25cos 2x －5cos x －12＝0．解得cos x ＝54或－53． 又 0≤x ＜π，∴ sin x ＞0． 若cos x ＝54,则sin x ＋cos x ≠51,∴ cos x ＝－53,sin x ＝54，∴ tan x ＝－34． 6．D解析：若 ，是第四象限角，且sin ＞sin ,如图，利用单位圆中的三角函数线确定，的终边，故选D ．7．B解析:这三个集合可以看作是由角±3π2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合． ⎩⎨⎧1＝cos ＋sin 51＝cos ＋sin 22x x x x (第6题`)8．B解析：∵ cos （＋）＝1,∴ ＋＝2k π，k ∈Z ． ∴＝2k π－．∴ sin ＝sin(2k π－）＝sin(－)＝－sin＝－31．9．C解析：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π,由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．10．C解析：第一步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，第二步得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x 的图象．二、填空题 11．415． 解析:f （x )＝sin 2x ＋3tanx 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3π4π ，上是增函数，f （x )≤sin 23π＋3tan 3π＝415．12．－2． 解析：由sin ＝552，2π≤≤πcos ＝－55,所以tan ＝－2．13．53．解析：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 2π＝53，即cos ＝53，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 2π＝cos＝53．14．21．解析：函数y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x ω （ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后得到函数 y ＝tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛4π＋6π－x ω＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛ωω6π－4π＋x 的图象,则6π＝4π－6πω＋k π（k ∈Z ）,ω＝6k ＋21，又ω＞0，所以当k ＝0时，ωmin ＝21．15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，－． 解析：f （x )＝21（sin x ＋cos x )－21|sin x －cosx |＝⎩⎨⎧)＜()(x x x x x x cos sin sin cos ≥sin cos即 f （x ）等价于min{sin x ，cos x }，如图可知，f （x ）max ＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＝22,f (x )min ＝f （π） ＝－1．16．①③．解析：① f （x ）＝4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x ．② T ＝22π＝π，最小正周期为π． ③ 令 2x ＋3π＝k π，则当 k ＝0时，x ＝－6π， ∴ 函数f (x ）关于点⎪⎭⎫⎝⎛0 6π－，对称． ④ 令 2x ＋3π＝k π＋2π，当 x ＝－6π时，k ＝－21，与k ∈Z 矛盾． ∴ ①③正确． 三、解答题17．{x |2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z ｝． 解析:为使函数有意义必须且只需⎪⎩⎪⎨⎧-② 0 ≥1 cos 2①＞0 sin x x先在［0，2π）内考虑x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线． 由①得x ∈(0，π)，由②得x ∈[0，4π］∪［47π,2π］． 二者的公共部分为x ∈⎥⎦⎤⎝⎛4π0，．所以，函数f (x ）的定义域为{x ｜2k π＜x ≤2k π＋4π，k ∈Z }． （第15题)(第17题)18．(1）－1；(2） ±αcos 2． 解析：(1）原式＝αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝－ααtan tan ＝－1．（2)①当n ＝2k ，k ∈Z 时，原式＝)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα＝αcos 2．②当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时,原式＝])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin π12sin π12sin k k k k αααα＝－αcos 2．19．对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ；对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z ）． 解析：∵ y ＝sin x 的对称中心是（k π,0)，k ∈Z ，∴ 令2x －6π＝k π，得x ＝2πk ＋12π． ∴ 所求的对称中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ，12π ＋ 2πk ，k ∈Z ．又 y ＝sin x 的图象的对称轴是x ＝k π＋2π， ∴ 令2x －6π＝k π＋2π,得x ＝2πk ＋3π． ∴ 所求的对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z )． 20．(1）有最小值无最大值，且最小值为1＋a ; （2）0． 解析：（1) f (x ）＝x a x sin sin ＋＝1＋xa sin ,由0＜x ＜π，得0＜sin x ≤1，又a ＞0，所以当sin x ＝1时，f （x )取最小值1＋a ；此函数没有最大值．（2）∵－1≤cos x ≤1,k ＜0， ∴ k (cos x －1）≥0， 又 sin 2x ≥0,∴ 当 cos x ＝1，即x ＝2k（k ∈Z ）时,f (x )＝sin 2x ＋k （cos x －1)有最小值f (x ）min ＝0．。

三角函数的概念三角函数的概念课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021河北唐山高一期末)sin(-1 080°)=()A.-12B.1C.0D.-1-1 080°)=-sin(3×360°+0°)=0.故选C.2.点A(x,y)是60°角的终边与单位圆的交点,则yx的值为()A.√3B.-√3C.√33D.-√33由三角函数定义知yx=tan 60°=√3. 3.代数式sin(-330°)cos 390°的值为()A.-34B.√34C.-32D.14,sin(-330°)cos 390°=sin 30°×cos 30°=12×√32=√34.4.tan(-356π)的值等于()A.√33B.-√33C.12D.√3(-356π)=tan(-3×2π+π6)=tanπ6=√33.5.已知角α的终边与单位圆交于点P-12,y,则cos α=()A.-√33B.-12C.-√32D.±12解析角α的终边与单位圆交于点P-12,y,∴cos α=-12.6.已知角α的终边经过点P (x ,-6),且tan α=-35,则x 的值为 .,得tan α=y x =-35,即-6x =-35,解得x=10.7.(2020浙江丽水高一检测)在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边过点P (-√3,-1),则tan α= ;cos α-sin α= .1-√32角α终边过点P (-√3,-1),|OP|=2,∴tan α=-√3=√33,sin α=-12,cos α=-√32, ∴cos α-sin α=1-√32.8.求下列各式的值:(1)sin (-15π4)+tan 25π3;(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.原式=sin (-4π+π4)+tan (8π+π3) =sin π4+tan π3=√22+√3.(2)原式=sin(-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=√32×√32+1=74. 等级考提升练9.在△ABC 中,若sin A cos B tan C<0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形sin A>0,所以cos B ,tan C 中一定有一个小于0,即B ,C 中一定有一个钝角,故△ABC 是钝角三角形.10.设α是第二象限角,且|cos α2|=-cos α2,则α2是 ( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角α是第二象限角,∴α2为第一或第三象限角.又|cosα2|=-cosα2,∴cosα2<0.∴α2是第三象限角.11.(2021江苏南京高一期末)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则()A.sin α>0B.sin α<0C.cos α>0D.cos α<0角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),∴由三角函数的定义可知sin α=√3+a2符号不确定,故A,B均错误;cos α=√3+a2>0,故C正确,D错误.故选C.12.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=√55,则a等于()A.1B.92C.1或92D.1或-3由题意得√a2+(a-3)=√55,化简得a2+2a-3=0,解得a=-3或1,当a=-3时,点P(-3,-6)在第三象限,cosα<0,与题意不符,舍去,选A.13.(多选题)(2020山东聊城高一期末)已知x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},则函数y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|的值可能为()A.3B.-3C.1D.-1x∈{x|x≠kπ2,k∈Z},当x在第一象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1+1-1=1;当x在第二象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=1-1+1=1;当x在第三象限时,y=sinx|sinx|+cosx|cosx|−tanx|tanx|=-1-1-1=-3;当x 在第四象限时,y=sinx |sinx |+cosx |cosx |−tanx |tanx |=-1+1+1=1. 14.角α的终边过点P (-3a ,4a )(a ≠0),则cos α= . -35或35|OP|=√(-3a )2+(4a )2=5|a|,且a ≠0.当a>0时,|OP|=5a ,则cos α=-3a 5a =-35.当a<0时,|OP|=-5a ,则cos α=-3a -5a =35.15.sin(-1 740°)cos 1 470°+cos(-660°)sin 750°+tan 405°= .=sin(60°-5×360°)cos(30°+4×360°)+cos(60°-2×360°)sin(30°+2×360°)+tan(45°+360°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 45°=√32×√32+12×12+1=2.16.已知1|sinα|=-1sinα,且lg cos α有意义.(1)试判断角α的终边所在的象限;(2)若角α的终边上一点M (35,m),且|OM|=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.由1|sinα|=-1sinα,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴角α的终边在第四象限.(2)∵|OM|=1, ∴(35)2+m 2=1,解得m=±45.又α是第四象限角,故m<0,从而m=-45.由正弦函数的定义可知sin α=y r =m|OM |=-451=-45. 新情境创新练17.已知角α的终边在直线y=-3x 上,求10sin α+3cosα的值.α的终边上任一点为P (k ,-3k )(k ≠0),则x=k ,y=-3k ,r=√k 2+(-3k )2=√10|k|.当k>0时,r=√10k ,α是第四象限角, sin α=y r =√10k =-3√1010, 1cosα=r x =√10k k =√10,所以10sin α+3cosα=10×(-3√1010)+3√10=-3√10+3√10=0; 当k<0时,r=-√10k ,α为第二象限角, sin α=y r =-√10k =3√1010, 1cosα=r x =-√10k k=-√10, 所以10sin α+3cosα=10×3√1010+3×(-√10)=3√10-3√10=0. 综上,10sin α+3cosα=0.。

第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质例1画出下列函数的简图：（1）1sin y x =+，[0,2π]x ∈；（2）cos y x =-，[0,2π]x ∈.解：（1）按五个关键点列表：x0π2π3π22πsin x010-101sin x+1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-6）：（2）按五个关键点列表：x0π2π3π22πcos x10-101cos x--11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图5.4-7）：例2求下列函数的周期：（1）3sin y x =，x ∈R ；（2）cos 2y x =，x ∈R ；（3）1π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R .分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式()()f x T f x +=而求出相应的周期.对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2()cos 2x T x +=，x ∈R ；对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出1π1πsin ()sin 2626x T x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，x ∈R .解：（1）x ∀∈R ，有3sin(2π)3sin x x +=.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.（2）令2z x =，由x ∈R 得z ∈R ，且cos y z =的周期为2π，即cos(2π)cos z z +=，于是cos(22π)cos 2x x +=，所以cos 2(π)cos 2x x +=，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.（3）令1π26z x =-，由x ∈R 得z ∈R ，且2sin y z =的周期为2π，即2sin(2π)2sin z z +=，于是1π1π2sin 2π2sin 2626x x ⎛⎫⎛⎫-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1π1π2sin (4π)2sin 2626x x ⎡⎤⎛⎫+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.例3下列函数有最大值､最小值吗？如果有，请写出取最大值､最小值时自变量x 的集合，并求出最大值､最小值.（1）cos 1y x =+，x ∈R ；（2）3sin 2y x =-，x ∈R ；解：容易知道，这两个函数都有最大值､最小值.（1）使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最大值的x 的集合{}2|π,x x k k =∈Z ；使函数cos 1y x =+，x ∈R 取得最小值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x ∈R 取得最小值的x 的集合(){}1|2π,x x k k =+∈Z .函数cos 1y x =+，x ∈R 的最大值是112+=；最小值是110-+=.（2）令2z x =，使函数3sin y z =-，z ∈R 取得最大值的z 的集合，就是使sin y z =，z ∈R 取得最小值的之的集合π2π,2z z k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .由π22π2x z k ==-+，得ππ4x k =-+.所以，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最大值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z .同理，使函数3sin 2y x =-，x ∈R 取得最小值的x 的集合是ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .函数3sin 2y x =-，x ∈R 的最大值是3，最小值是-3.例4不通过求值，比较下列各组数的大小：（1）πsin 18⎛⎫-⎪⎝⎭与πsin 10⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23πcos 5⎛⎫-⎪⎝⎭与17πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.解：（1）因为πππ021018-<-<-<，正弦函数sin y x =在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ππsin sin 1810⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.（2）23π23π3πcos cos cos 555⎛⎫-== ⎪⎝⎭，17π17ππcos cos cos 444⎛⎫-== ⎪⎝⎭.因为π3π0π45<<<，且函数cos y x =在区间[0,π]上单调递减，所以π3πcos cos 45>，即17π23πcos cos 45⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例5求函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间.分析：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，当自变量x 的值增大时，z 的值也随之增大，因此若函数sin y z =在某个区间上单调递增，则函数1πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在相应的区间上也一定单调递增.解：令1π23z x =+，[2π,2π]x ∈-，则24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.因为sin y z =，24π,π33z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且由π1ππ2232x -≤+≤，得5ππ33x -≤≤.所以，函数1πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[2π,2π]x ∈-的单调递增区间是5ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例6求函数ππtan 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域､周期及单调区间.分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.解：自变量x 的取值应满足ππππ232x k +≠+，k ∈Z ，即123x k ≠+，k ∈Z .所以，函数的定义域12,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .设ππ23z x =+，又tan(π)tan z z +=，所以ππππtan πtan 2323x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭.因为12,3x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 都有()ππππtan 2tan 2323x x ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以，函数的周期为2由ππππππ2232k x k -+<+<+，k ∈Z 解得512233k x k -+<<+，k ∈Z .因此，函数在区间512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上都单调递增.5.4.1正弦函数､余弦函数的图象练习1.在同一直角坐标系中,画出函数sin y x =,[0,2]x πÎ,cos y x =,3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象.通过观察两条曲线,说出它们的异同.【答案】见解析【解析】【分析】根据五点作图法画出图像,再直观分析即可.【详解】解:可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象,图象如图.两条曲线的形状相同,位置不同.【点睛】本题主要考查了正余弦函数图像之间的关系,属于基础题.2.用五点法分别画下列函数在[,]-ππ上的图象:(1)sin y x =-;(2)2cos y x =-.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.【详解】解:xπ-2π-02ππsin y x =-010-102cos y x=-32123【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题.3.想一想函数|sin |y x =与sin y x =的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.【答案】见解析【解析】【分析】分析可知当sin 0y x =≥时|sin |y x =与sin y x =的图象相同,当sin 0y x =<时,|sin |y x =与sin y x =的图象关于x 轴对称,再分析即可.【详解】解:把sin y x =的图象在轴下方的部分翻折到x 轴上方,连同原来在x 轴上方的部分就是|sin |y x =的图象,如图所示.【点睛】本题主要考查了绝对值图像与原图像之间的关系,属于基础题.4.函数y=1+cos x ，,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y =t （t 为常数）的交点可能有（）A.0个B.1个C.2个D.3个E.4个【答案】ABC 【解析】【分析】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象，即可根据图象得出.【详解】画出1cos y x =+在,23x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下：则可得当0t <或2t ≥时，1cos y x =+与y t =的交点个数为0；当0=t 或322t ≤<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为1；当302t <<时，1cos y x =+与y t =的交点个数为2.故选：ABC.5.4.2正弦函数､余弦函数的性质练习5.等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭是否成立?如果这个等式成立,能否说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期?为什么?【答案】见解析【解析】【分析】2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，再利用函数的周期的定义说明不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【详解】等式2sin sin 636πππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立,但不能说23π是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.因为不满足函数周期的定义,即对定义内任意x ,2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭不一定等于sin x ,如2sin sin 333πππ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭,所以23π不是正弦函数sin y x =,x ∈R 的一个周期.【点睛】本题主要考查周期函数的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.求下列函数的周期,并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:(1)3sin4y x =,x ∈R ;(2)cos 4y x =,x ∈R ;(3)1cos 223y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R ;(4)1sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,x ∈R .【答案】(1)周期为83π.见解析(2)周期为2π.见解析(3)周期为π.见解析(4)周期为6π.见解析【解析】【分析】利用周期函数的定义证明函数的周期，再作出函数的图象得解.【详解】解:(1)因为33388()sin sin 2sin 44433y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为83π.函数的图象如图所示：(2)因为()cos 4cos(42)cos 422y f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫===+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.函数的图象如图所示：(3)因为111()cos 222cos 2()()232323y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==-=-+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.函数的图象如图所示：(4)因为111()sin sin 2sin (6)(6)343434y f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+=++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为6π.函数的图象如图所示：【点睛】本题主要考查三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数?(1)2sin y x =;(2)1cos y x =-;(3)sin y x x =+;(4)sin cos y x x =-.【答案】(1)(3)(4)是奇函数;(2)是偶函数.【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.【详解】(1)()2sin f x x =,函数的定义域为R ，()2sin()2sin ()f x x x f x ∴-=-=-=-，所以函数是奇函数；(2)()1cos f x x =-，函数的定义域为R ，()1cos()1cos ()f x x x f x ∴-=--=-=，所以函数是偶函数；(3)()sin f x x x =+，函数的定义域为R ，()sin (sin )()f x x x x x f x ∴-=--=-+=-，所以函数是奇函数；(4)()sin cos f x x x =-，函数的定义域为R ，()sin()cos()sin cos ()f x x x x x f x ∴-=---==-所以函数是奇函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.设函数()()f x x ∈R 是以2为最小正周期的周期函数,且当[0,2]x ∈时,2()(1)f x x =-.求(3)f ,72f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(3)0f =,7124f ⎛⎫=⎪⎝⎭【解析】【分析】直接利用函数的周期求解.【详解】解:由题意可知,2(3)(21)(1)(11)0f f f =+==-=;2733312122224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习9.观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的x 所在的区间:(1)sin 0x >;(2)sin 0x <;(3)cos 0x >;(4)cos 0x <.【答案】(1)(2,2)()k k k πππ+∈Z ;(2)(2,2)()k k k πππ-∈Z ;(3)2,2()22k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ;(4)32,2()22k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】【分析】观察正弦曲线和余弦曲线得解.【详解】(1)sin 0x >,观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈+∈Z ；(2)sin 0x <，观察正弦曲线得(2,2)()x k k k πππ∈-∈Z ；(3)cos 0x >，观察余弦曲线得2,2()22x k k k ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ；(4)cos 0x <，观察余弦曲线得32,2()22x k k k πππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z .【点睛】本题主要考查正弦曲线和余弦曲线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.求使下列函数取得最大值､最小值的自变量的集合,并求出最大值､最小值.(1)2sin y x =,x ∈R ;(2)2cos3xy =-,x ∈R .【答案】(1)当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2.(2)当{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【解析】【分析】（1）利用2sin y x =取得最大值和最小值的集合与正弦函数sin y x =取最大值最小值的集合是一致的求解；（2）利用2cos 3xy =-取得最大值和最小值的集合与余弦函数cos y x =取最小值最大值的集合是一致的求解.【详解】（1）当sin 1x =即|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最大值2;当sin 1x =-|2,2x x x k k ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 时,函数取得最小值-2；(2)当cos 13x=-即2+,3x k k Z ππ=∈即{|63,}x x x k k ππ∈=+∈Z 时,函数取得最大值3;当cos13x=即2,3x k k Z π=∈即当{|6,}x x x k k π∈=∈Z 时,函数取得最小值1.【点睛】本题主要考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.下列关于函数4sin y x =,[0,2]x πÎ的单调性的叙述,正确的是.A.在[0,]π上单调递增,在[,2]ππ上单调递减B.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性分析判断得解.【详解】因为4sin y x =,[0,2]x πÎ，所以函数的单调性和正弦函数sin y x =的单调性相同，所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦及3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:(1)2cos 7π与3cos 5π⎛⎫-⎪⎝⎭;(2)sin 250︒与sin 260︒.【答案】(1)23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭(2)sin 250sin 260︒︒>【解析】【分析】（1）利用cos y x =在(0,)π内为减函数判断它们的大小；（2）利用sin y x =在()90,270︒︒内为减函数判断它们的大小.【详解】解:(1)33cos cos 55ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∵23075πππ<<<,且cos y x =在(0,)π内为减函数,∴23cos cos 75ππ>,即23cos cos 75ππ⎛⎫>-⎪⎝⎭.(2)∵90250260270︒︒︒︒<<<,且sin y x =在()90,270︒︒内为减函数,∴sin 250sin 260︒︒>.【点睛】本题主要考查正弦余弦函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.求函数3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间．【答案】5[,88ππ和913[,]88ππ.【解析】【分析】根据正弦型函数的性质有3222242k x k πππππ+≤+≤+时函数单调递减，即可求出3sin(2)4y x π=+的递减区间，进而讨论k 值确定[0,2]x πÎ上的递减区间即可.【详解】∵3222242k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z 上3sin(2)4y x π=+单调递减，∴588k x k ππππ+≤≤+上3sin(2)4y x π=+单调递减，当0k =：5[,][0,2]88x πππ∈⊂；当1k =：913[,][0,2]88x πππ∈⊂；∴5[,]88ππ、913[,]88ππ为3sin(2),[0,2]4y x x ππ=+∈的单调递减区间.5.4.3正切函数的性质与图象练习14.借助函数tan y x =的图象解不等式tan 1x ≥-，0,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【解析】【分析】画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，观察图象即可.【详解】在同一坐标系中画出0,,2tan ,2x x y πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭=和1y =-的图象，如下：当tan 1x =-时，34x π=，由图象可知不等式tan 1x ≥-的解集为30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.【点睛】本题考查了正切函数不等式，考查了用数形结合法，属于基础题.15.观察正切曲线，写出满足下列条件的x 值的范围：（1）tan 0x >；（2）tan 0x =；（3）tan 0x ≤．【答案】（1）2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）x k π=()k ∈Z ；（3）2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；【解析】【分析】画出tan y x =的函数图象，通过图象判断（1）、（2）、（3）对应自变量的取值范围即可.【详解】（1）tan 0x >：2k x k πππ<<+()k ∈Z ；（2）tan 0x =：x k π=()k ∈Z ；（3）tan 0x ≤：2k x k πππ-<≤()k ∈Z ；16.求函数tan 3y x =的定义域.【答案】,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】令()32x k k Z ππ≠+∈，解出x 的范围即可求得定义域.【详解】令()32x k k Z ππ≠+∈，得()36k x k Z ππ≠+∈，所以函数tan 3y x =的定义域为,36k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数的定义域，属于基础题.17.求下列函数的周期：（1）tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z ；（2）5tan 2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z .【答案】（1）周期为2π（2）周期为2π【解析】【分析】（1）由诱导公式，得tan 2tan(2)x x π=+，即()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，问题得解；（2）由诱导公式，得2tan tan tan 222x x x ππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即()(2)f x f x π=+，问题得解；【详解】（1）令()y f x =，因为()tan 2tan(2)tan 222f x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数tan 2y x =，()42k x k ππ≠+∈Z 的周期为2π.（2）令()y f x =，因为2()5tan5tan 5tan (2)222x x x f x f x πππ+⎛⎫==+==+ ⎪⎝⎭，所以函数5tan2xy =，(21)()x k k π≠+∈Z 的周期为2π.【点睛】本题考查了诱导公式，函数周期性定义，属于中档题.18.不通过求值，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）()tan 52-︒与()tan 47-︒；（2）13tan4π与17tan 5π【答案】（1）()()tan 52tan 47-︒<-︒；（2）1317tan tan 45ππ<【解析】【分析】（1）根据tan y x =在()90,0-︒︒的单调性进行比较，得到答案；（2）根据正切函数的周期对所求的值进行化简，再根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性进行比较，得到答案.【详解】解：（1）9052470-︒<-︒<-︒<︒，且tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数，()()tan 52tan 47∴-︒<-︒.（2）13tantan 3tan 444ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，1722tantan 3tan 555ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，20452πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数，2tantan 45ππ∴<，故1317tan tan 45ππ<.【点睛】本题考查根据正切函数的单调性比较函数值的大小，属于简单题.习题5.4复习巩固19.画出下列函数的简图：（1）1sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）3cos 1,[0,2]y x x π=+∈.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据五点作图法作图法作图；（2）根据五点作图法作图法作图.【详解】解：（1）x2ππ32π2π1sin y x=-10121描点连线得如图①，（2）x2ππ32π2π3cos 1y x =+412-14描点连线得如图②.【点睛】本题考查考查五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.20.求下列函数的周期：（1）2sin ,3y x x R =∈；（2）1cos ,2y x x R =Î．【答案】（1）3k π()k ∈Z ；（2）2k π()k ∈Z .【解析】【分析】利用正余弦的性质，结合2||T πω=可求（1）（2）中三角函数的最小正周期，进而可写出函数的周期.【详解】（1）由题设知：23ω=，故最小正周期为2232||3T πππω===，即2sin ,3y x x R =∈的周期为3k π()k ∈Z ；（2）由题设知：1ω=，故最小正周期为222||1T πππω===，即1cos ,2y x x R =Î的周期为2k π()k ∈Z ；21.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数.（1）|sin |y x =；（2）1cos 2y x =-；（3）3sin 2y x =-；（4）12tan y x =+.【答案】（1）偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）非奇非偶函数.【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义进行判断；（2）根据奇偶性定义进行判断；（3）根据奇偶性定义进行判断；（4）根据奇偶性定义进行判断；【详解】（1）|sin |y x =定义域为R,且|sin()||sin |x x -=，所以|sin |y x =是偶函数；（2）1cos 2y x =-定义域为R,且1cos 2()1cos 2x x --=-，所以1cos 2y x =-是偶函数；（3）3sin 2y x =-定义域为R,且3sin 2()3sin 2(3sin 2)x x x --==--，所以3sin 2y x =-是奇函数；（4）12tan y x =+定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z ,但12tan()12tan ,12tan()12tan ,x x x x +-≠++-≠--，所以12tan y x =+既不是奇函数，也不是偶函数.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查基本分析判断能力，属基础题.22.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并求出最大值、最小值.（1）11cos ,23y x x R π=-∈；（2）3sin 2,4y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（3）31cos ,226y x x R π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭；（4）11sin ,223y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）使y 取得最大值的x 的集合是max 1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（2）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（3）根据余弦函数性质求最值以及对应自变量范围；（4）根据正弦函数性质求最值以及对应自变量范围.【详解】（1）由2,3x k k Z πππ=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 3{|63,},2x x k k Z y =+∈=；由2,3x k k Z ππ=∈使y 取得最小值的x 的集合是min 1{|6,},2x x k k Z y =∈=.（2）由22,42x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max |,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由22,42x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 3|,,38x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.（3）由12,26x k k Z πππ-=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max 73|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,26x k k Z ππ-=∈得使y 取得最小值的x 的集合是min3|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=-⎨⎬⎩⎭.（4）由12,232x k k Z πππ+=+∈得使y 取得最大值的x 的集合是max1|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=+∈=⎨⎬⎩⎭；由12,232x k k Z πππ+=-∈得使y 取得最小值的x 的集合是min 51|4,,32x x k k Z y ππ⎧⎫=-∈=-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正余弦函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.23.利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin10315︒'与sin16430︒'；（2）3cos 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭与4cos 9π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）sin 508︒与sin144︒；（4）47cos 10π⎛⎫ ⎪⎝⎭与44cos 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）'sin10315sin16430︒'︒>（2）34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）sin 508sin144︒︒<（4）4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正弦函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据余弦函数单调性判断大小.【详解】解：（1）901031516430180︒︒︒︒'︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，'sin10315sin16430︒'︒∴>.（2）3344cos cos ,cos cos 101099ππππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.340109πππ<<< ，且cos y x =在(0,)π内为减函数.34coscos 109ππ∴>，即34cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）()sin 508sin 360148sin148︒︒︒︒=+=.90144148180︒︒︒︒<<< ，且sin y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，sin144sin148︒︒∴>，即sin 508sin144︒︒<.（4）4777coscos 4cos 101010ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，4488cos cos 4cos 999ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.782109ππππ<<<，且cos y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内为减函数，78coscos 109ππ∴>，即4744cos cos 109ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查诱导公式以及正余弦函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.24.求下列函数的单调区间：（1）1sin ,[0,2]y x x π=+∈；（2）cos ,[0,2]y x x π=-∈.【答案】（1）单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）单调递增区间为[0,]π，单调递减区间为[,2]ππ.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求单调区间；（2）根据余弦函数单调性求单调区间【详解】（1）当22,()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈时；1sin y x =+单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为30,,,222πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当322,()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；1sin y x =+单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当22,()k x k k Z πππ≤≤+∈时；cos y x =-单调递增；因为[0,2]x πÎ，所以单调递增区间为[0,]π；当222,()k x k k Z ππππ+≤≤+∈时；cos y x =-单调递减；因为[0,2]x πÎ，所以单调递减区间为[,2]ππ.【点睛】本题考查正余弦函数单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.25.求函数tan 26y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的定义域.【答案】|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据正切函数性质列式求解，即得结果.【详解】解：由()62x k k Z πππ+≠+∈，得()3x k k Z ππ≠+∈，∴原函数的定义域为|,3x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.26.求函数5tan 2,()3122k y x x k Z πππ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭的周期.【答案】2π【解析】【分析】根据周期定义或正切函数周期公式求解.【详解】解法一：()tan 2tan 2tan 233232f x x x x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ∴所求函数的周期为2π.解法二：所求函数的周期2ππT ω==.【点睛】本题考查正切函数周期，考查基本分析求解能力，属基础题.27.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）tan 5π⎛⎫- ⎪⎝⎭与3tan 7π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）tan1519︒与tan1493︒；（3）9tan 611π与3tan 511π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）7tan8π与tan 6π.【答案】（1）3tan tan 57ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）tan1519tan1493︒︒>（3）93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭（4）7tantan 86ππ<【解析】【分析】（1）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（2）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（3）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小；（4）先根据诱导公式化简，再根据正切函数单调性判断大小【详解】解：（1）33tan tan ,tan tan 5577ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.30572πππ<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，33tantan ,tan tan 5757ππππ⎛⎫⎛⎫∴<∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()tan1519tan 436079tan 79︒︒︒︒=⨯+=，()tan1493tan 436053tan 53︒︒︒︒=⨯+=.0537990︒︒︒︒<<< ，且tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，tan 53tan 79︒︒∴<，即tan1519tan1493︒︒>.（3）9938tan 6tan ,tan 5tan 11111111ππππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.893211112ππππ<<<，且tan y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，89tantan 1111π∴<，即93tan 6tan 51111ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.（4）7tantan tan 888ππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2862ππππ-<-<< ，且tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，tan tan 86ππ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，即7tan tan 86ππ<.【点睛】本题考查周期函数单调性以及诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.综合运用28.求下列函数的值域：（1）5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】（1）,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（2）1,22y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦函数单调性求值域；（2）根据余弦函数单调性求值域.【详解】（1）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时sin y x =单调递增，22y ∈；当5(,24x ππ∈时sin y x =单调递减，2[,1)2y ∈-；因此5sin ,,44y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的值域为,1][,1)[,1]222-=- ；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，31[,]22y ∈-；因此cos ,0,32y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；【点睛】本题考查根据正余弦函数单调性求值域，考查基本分析求解能力，属基础题.29.根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合.（1）3sin ()2x x R ∈；（22cos 0()x x R +∈ .【答案】（1）2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭；（2）33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭ .【解析】【分析】（1）先作一个周期的图象，再根据图象写结果；（2）先作一个周期的图象，再根据图象写结果.【详解】（1）所以3sin ()2x x R ∈成立的x 的取值集合为2|22,33x k x k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭（2）22cos 0cos 2x x ∴-22cos 0()x x R +∈ 成立的x 的取值集合为33|22,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正余弦函数图象解简单三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.30.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.|sin |y x =B.cos y x= C.tan y x= D.cos2x y =【答案】A 【解析】【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断.【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上|sin |sin y x x ==单调递减；cos y x =最小正周期为2π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；tan y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；cos 2xy =最小正周期为4π，在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；故选：A【点睛】本题考查函数周期以及单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.31.若x 是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1tan 0x + ；（2）tan 0x .【答案】（1）3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）根据正切函数单调性求解三角不等式；（2）根据正切函数单调性求解三角不等式.【详解】（1）1tan 0tan 1,()24x x k x k k Z ππππ+∴-∴-+<≤-+∈ 3(0,)(,)2224x x πππππ∈∴<≤ ，即所求集合为3|24x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2））tan 0tan ,()32x x k x k k Z ππππ∴≥+≤<+∈ (0,)(,)2232x x πππππ∈∴≤< ，即所求集合为|32x x ππ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查根据正切函数单调性解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.32.求函数3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调区间.【答案】单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【解析】【分析】根据正切函数单调性列不等式，解得结果.【详解】当32,()242k x k k Z πππππ-+<-<+∈时，3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，即5,,2828k k x k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭所以3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递减区间为5,,2828k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；无单调递增区间.【点睛】本题考查正切函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.33.已知函数()y f x =是定义在R 上周期为2的奇函数，若(0.5)1f =，求(1),(3.5)f f 的值.【答案】(1)0f =，(3.5)=1f -【解析】【分析】根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果.【详解】解：由题意可得(1)(12)(1)(1)(1)f f f f f ，=-=-=-，2(1)0,(1)0f f ∴=∴=.(3.5)(40.5)(0.5)(0.5)1f f f f =-=-=-=-.【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.34.已知函数1()sin 2,23f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）T π=（2）最大值为14，最小值为12-【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期公式求解；（2）根据正弦函数单调性求最值.【详解】解：（1）最小正周期为22T ππ==.（2）5,244636x x πππππ-∴--≤ ，11111sin 2,sin 2322234x x ππ⎛⎫⎛⎫∴--∴-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .即()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-.【点睛】本题考查正弦函数周期以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题.拓广探索35.在直角坐标系中，已知O 是以原点O 为圆心，半径长为2的圆，角x （rad ）的终边与O 的交点为B ，求点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，并画出其图象【答案】2sin y x =，图象见解析【解析】【分析】根据三角函数定义可得点B 的纵坐标y 关于x 的函数解析式，利用五点作图法可画图.【详解】解：三角函数定义可得sin 2sin y r x x ==，x 02ππ32π2π2sin y x =020-20描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：【点睛】本题考查三角函数定义以及五点作图法，考查基本分析求解能力，属基础题.36.已知周期函数()y f x =的图象如图所示，（1）求函数的周期；（2）画出函数(1)y f x =+的图象；（3）写出函数()y f x =的解析式.【答案】（1）2T =.（2）见解析（3）|2|,[21,21],y x k x k k k Z=-∈-+∈【解析】【分析】（1）根据周期定义结合图象求得结果；（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象；（3）根据一次函数解析式得()y f x =在一个周期上的解析式，再根据周期得结果.【详解】解：（1）1(1)2T =--=.（2）把()y f x =向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象，即如图所示（3）,[0,1],[1,1],[1,0)x x y x x x x ∈⎧==∈-⎨-∈-⎩所以|2|,[21,21],y x k x k k k Z =-∈-+∈.【点睛】本题考查函数周期、图象变换以及解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.37.容易知道，正弦函数sin y x =是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题【答案】见解析【解析】【分析】根据正弦函数、余弦函数以及正切函数性质即可得到结果.【详解】解：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为(,0)()k k Z π∈，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为()2x k k Z ππ=+∈.能.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴的方程是()x k k Z π=∈，正切曲线的对称中心坐标为,0()2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，正切曲线不是轴对称图形.【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数以及正切函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.。

高考数学三角函数练习题及答案解析(2010 ±海文数)19.(本题满分12分)TT已知Ovxv —,化简：2lg(cos x • tan x +1 - 2 sin 2 + lg[V2 cos(x 一 彳)]一 lg(l + sin 2x). 解析：原式=lg(sin_r+cosx)+lg(cosx+siru)-lg(sinx+cosx)2=0.(2010湖南文数)16.(本小题满分12分) 已知函数 f (x) = sin 2x-2sin 2 x （I ）求函数/（x ）的最小正周期。

（II ）求函数/（X ）的最大值及/（X ）取最大值时X 的集合。

解(I )因为/(x) = sin2x-(l-cos2x)= s/2sin(2r + -J)-l t所以函数/（x ）的最小正周期为卩=夸=兀（II ）由（I ）知，当2x +于=2A 卄号，即+晋（kZ ）时，/（X ）取最大值 7?-1・因此函数/（X ）取址大值时;c 的集合为{职“后+罟”G Z}・O（2010浙江理数）（18）（本题满分14分）®AABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c, 已知 cos2C =4⑴求sinC 的值;（11）当8=2, 2sinA=sinC 吋，求 b 及 c 的长.解析：木题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。

（I ） 解：因为 cos2C=l-2sin 2C=--,及 0<C< 兀4 所以 sinC=——.4（II ） 解：当 a=2, 2sinA=sinC 吋，由正弦定理一-—=—-—,得sin A sinC c=4/x4 * it口 ■由COS2C=2COS2C-1=一一，J 及0<C<H得4cosC=±由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,得 b 2± V6 b-12=0所以rb=>/6V、c=4 或（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）53 \ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD = 33, sin5 = —, cosZADC = -f 求 AD. 13 5【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形小的 应用，考查考牛对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】3 R由 cosZADeJ? >0,知 B< 2.12 4[fl 已知I 得 cosB=l 13 , sinZADC=5 .从而 sinZBAD=sin ( ZADC-B) =s【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近儿年高考的热点，在高考试题屮频繁出现. 这类题型难度比鮫低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保超, 不会冇太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角 或将边角互化.（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在AABC 屮，已知B=45° ,。