复习课五：指数与对数运算

第五讲 指数运算与对数运算【学习目标】掌握指数与对数的基本运算法则，会运用指数与对数法则进行一些简单的运算。

【基础知识回顾】：1 指数的运算法则：设R y x b a ∈>>、,0,0，则 ①=⋅y x a a ②=÷yxaa③()=yx a ④()=yab2、指数和对数的转化：当1,0≠>a a 时，⇔=N a b注：①０和负数没有对数， ②=N 10log ③=N log e3 对数的运算公式及法则：设,0,0,0,1,0>>>≠>N M b a a 则①=1log a ②=a alog ③=Naalog④=naalog⑤=+N M aa loglog⑥=-N Maa log log⑦=naMlog⑧=naNmlog⑨=N b log ⑩=∙a b b a log log【基础知识自测】1．计算122[(]-的值为 （ ）A ．B ．C 2D ．2-2．下列各个表达式中，正确的个数是 （ ）①5553223=⋅- ②49)23()32(22==-③0(tan 601︒-= ④3232322n m nm +=+（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．以下化简结果正确的是 （ ）①22log8log )28(log 222=-=- ②32log8log )28(log 222==-③14log8log48log222=-= ④22log8log2log8log 2222=-=⑤4)8(log )2(log )]8)(2[(log 222-=-+-=-- A 、①④⑤B 、③④C 、③D 、全正确4、设,2133=+xx 求xx 1+=5、已知,518,9log18==ba 求45log36=【典型例题剖析】例1、(1) 213323121)()1.0()4()41(----⨯ba ab ，(2)若32121=+-xx ，求23222323-+-+--xx x x 的值。

２０２３年５月上半月㊀争鸣探究㊀㊀㊀㊀指对运算的一致性:指数与对数单元复习课◉南通市小海中学㊀张中华㊀㊀摘要:跳出复习课归纳知识㊁运用知识的固有套路,让学生去探究知识的本质,加深对知识的理解．课堂从加减乘除四种运算之间的一致性关系引出指数与对数运算一致性关系的猜测,进而分别从对象㊁定义㊁恒等式㊁方法㊁性质㊁运用六个方面来探究两种运算的一致性．关键词:类比推广;指数与对数运算;一致性㊀㊀本节课是２０１９年苏教版必修第一册第四章指数与对数 的单元复习课．从高中课程标准修订的显著特点 回归数学的本质,回归数学教育的本来面目 入手,改变以往流于表面地运用知识解决问题的方式,做到更加熟练地运用知识,使学生在掌握定义的同时知道它的来龙去脉,实现过程与结果的有机融合,使学生在明确 运算中的不变性㊁规律性就是代数性质 ．运算是数学的童子功,所以要重视运算在发展学生理性思维㊁科学精神和个人智力中不可替代的作用．１类比猜想加一致性➝减㊀㊀乘一致性➝除a b＝c (１)已知a ,b ,求c ;(２)已知b ,c ,求a ;(３)已知a ,c ,求b ．其中(１)(２)为指数运算,(３)为对数运算．猜想:指数一致性➝对数设计思路:以伟大数学家高斯的名言 数学,科学的皇后;算术,数学的皇后 引入,自然过渡到学生熟悉的加减乘除这四种运算,进而发掘出加法与减法,乘法与除法运算之间的内在一致性,引发学生猜想所学习的指数与对数运算之间是否也具有一致性．２定义探究根式定义:一般地,如果x n＝a (n ＞１,n ɪN ∗),那么x 叫做a 的n 次方根．符号语言:(１)当n 为奇数时,x n ＝a ⇔x ＝na ;(２)当n 为偶数时,x n ＝a ⇔x ＝ʃna (a ＞０)．恒等式:(１)(na )n＝a ;(２)①当n 为奇数时,n a n＝a ;②当n 为偶数时,(na n)＝a ＝a ,a ȡ０,－a ,a ＜０．{对数定义:如果a b＝N (a ＞０,且a ʂ１),那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作l o g a N ＝b ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数．符号语言:a b＝N ⇔l o g aN ＝b (a ＞０,a ʂ１)．对数恒等式:(１)a l o g N＝N (a ＞０,a ʂ１,N ＞０);(２)l o g aa b＝b (a ＞０,a ʂ１)．设计思路:从引入发现,指数与对数研究对象都是a b＝c 这一关系式中的a ,b ,c ,故研究对象一致;进而深入到定义继续探究,并从定义的文字语言和符号语言发现指数与对数都来源于a b ＝c 这一关系,只是表示形式不同,故指数与对数定义的本质也一致．从定义出发,用等价代换的方法得到两组恒等式．如对数恒等式(１),由a b＝N ⇔l o g aN ＝b ,把后式中的b 也就是l o g aN 等价代换掉前式中的b ,就得到了a l o g N＝N ．其余恒等式类比对数恒等式(１)的探究方法,让学生主动去发现㊁探究,让他们更积极地参与到探究发现指数与对数一致性中来．由于指数与对数的恒等式是根据定义得到的,故恒等式的本质也一致,并且探究的方法都是等价代换,故探究方法也一致．３深入探究指数运算性质:对于任意a ＞０,m ,n ɪR 均有３９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.争鸣探究２０２３年５月上半月㊀㊀㊀a m a n ＝a m ＋n ;a man ＝a m －n ;(a m )n ＝a m n ＝(a n )m;(a b )m＝a mb m．对数运算性质:如果a ＞０,a ʂ１,M ＞０,N ＞０,那么l o g a M ＋l o g a N ＝l o g a (MN );l o g a M －l o g a N ＝l o g aM N;l o g a M n＝n l o g a M ．下面用定义探究运算性质．取其中的第一组:a m a n ＝a m ＋n➝l o g a M ＋l o g a N ＝l o g a (MN )．也就是两个证明题．(１)已知a m a n ＝a m ＋n,求证:l o g a M ＋l o g aN ＝l o g a (MN )．证明:由a m a n ＝a m ＋n ,得m ＋n ＝l o g a (a m a n)．为了书写的简便性,令a m ＝M ,a n ＝N ,则有m ＋n ＝l o g a (MN )．又a m ＝M ,a n＝N ,则m ＝l o g a M ,n ＝l o g a N ．所以l o g a M ＋l o g a N ＝l o g a (MN )．(２)已知l o g a M ＋l o g a N ＝l o g a (MN ),求证:a m a n ＝a m ＋n ．证明:由l o g a M ＋l o g a N ＝l o g a MN ,得a l o g M ＋l o g N＝MN ．为了书写的简便性,令m ＝l o g a M ,n ＝l o g a N ,则a m ＋n ＝MN ．由m ＝l o g a M ,n ＝l o g a N ,得a m ＝M ,a n ＝N ．所以a m a n ＝a m ＋n ．设计思路:延续前面探究恒等式的思想,用定义探究运算性质的一致性．在探究过程中,不断深化对定义的理解,加深对指数与对数一致性的认识．其中的第(１)个证明,师生互动,一起证明,第(２)个证明就放手让学生自主去证明,让学生在具体的证明中运用指数与对数的一致性去实现指数与对数的互化,并进而由对数运算性质得到指数运算性质更深刻理解指数与对数运算性质的一致性．其余对应的指数与对数运算性质的一致性就留给学生课后证明．４数学应用例１㊀已知２x＝３,l o g ４８３＝y ,则x ＋２y 的值为．变式㊀已知２x ＝７２y ＝A (A ＞０),且１x ＋１y＝２,则A 的值是(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀B ．５２㊀㊀㊀C ．７２㊀㊀㊀D．９２例２㊀(２０２０全国Ⅲ卷)L o gi s t i c 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,由学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t的单位:天)的L o g i s t i c 模型I (t )＝K１＋e－０．２３(t －５３),其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)＝０．９５K 时,标志着已初步遏制疫情,则t ∗约为(l n １９ʈ３)(㊀㊀)．A．６０B ．６３C ．６６D．６９设计思路:例１是为了让学生更好地体会能由指数式２x＝３化为对数式l o g ２３＝x ,进而由对数知识来得到x ＋２y 的值;也可由对数式l o g ４８３＝y 化为指数式４y ＝８３,进而由指数知识来求x ＋２y 的值．通过这两种方法,让学生更深层次地理解指数与对数运算的一致性．变式是在例１的基础上把条件作适当变化,并且让学生更加熟练地运用指数与对数的相应性质以及二者运算的一致性,反复地由指数式化为对数式以及由对数式化为指数式,继续加深指数与对数运算一致性的认识．例２是为了让学生紧跟江苏高考改革的方向,更多地接触数学情境题,学会通过阅读题目,快速抓住情境的本质,并把情境题转化为具体的数学知识．５板书设计本节课的板书设计如图１所示．指数指数与对数单元复习➝对数图１６课后总结对于新课标下的小单元复习课,笔者的想法是不再沿用固定的套路,即由小题复习相关知识点,再进而由知识点解决相关题目．故本节 指数与对数的单元复习 课换了一个想法,即教师带领学生更深层次地挖掘指数与对数之间的内在联系,通过一系列指数与对数问题的探究,促使学生主动发现指数与对数运算本质上的一致性,进而无论是对知识点,还是在具体的数学运用中,都能站在更高点去分析指数与对数．同时,本节课的启发,也可让学生在以后的学习中开启对理论知识的研究大门,真正去触摸㊁发现数学之美．Z４９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

第四讲 指数与对数的运算一．课标要求（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；二．命题走向指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。

大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2009年对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

三．要点精讲1、整数指数幂的概念。

（1）概念：*)(N n a a a a a n ∈⋅⋅= )0(10≠=a a *),0(1N n a aann∈≠=-n 个a(2)运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m aaannnmn nmnm nm ∈⋅=∈=∈=⋅+ 两点解释：① n ma a÷可看作nmaa-⋅∴n ma a÷=nmaa-⋅=nm a - ② n ba)(可看作nn ba -⋅ ∴n ba)(=nn ba -⋅=nn ba2、根式：（1）定义：若),1(+∈>=N n n a x n则x 叫做a 的n 次方根。

（2）求法：当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作：na x =当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作： n a x ±= 负数没有偶次方根 0的任何次方根为0名称：n a 叫做根式 n 叫做根指数 a 叫做被开方数（3）公式： a a nn =)( ；当n 为奇数时 a ann=； 当n 为偶数时⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a ann3、分数指数幂（1）有关规定： 事实上，kn n k a a =)( 若设a >0,*),1(N n n nm k ∈>=，mn nmnk aaa ==)()(由n 次根式定义, n a a mnm的是次方根，即：nmnm aa=（2）同样规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanmnm 且；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

高中数学总复习对数和指数函数复习内容：高中数学第三章【复习目标】1． 理解对数的意义，会熟练的将指数式与对数式互化，掌握积、商、幂的对数运算性质换底公式； 2． 理解反函数的概念，会求已知函数的反函数，掌握函数与它的反函数在定义域、值域及图像上的关系；3． 理解指数函数和对数函数的要领，掌握指数函数和对数函数的图像和性质，掌握指数函数和对数函数互为反函数的结论；4． 理解指数方程和对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程. 5． 掌握数学方法：分类讨论，数形结合，换元法，等价转换.【重点难点】对数的意义与运算性质，反函数的概念及性质，指数函数和对数函数的图像和性质. 【课前预习】1.函数()(2)x f x =-、2()3x f x -=、1()2()3x f x =⋅、3()f x x =中，指数函数是2.（1）函数1()()2x f x =的值域是 （2）函数212()log (25)f x x x =-+的值域是3.（1）函数()f x =（2）函数()f x =4.（1）函数()y f x =的图像与函数()2x f x =的图像关于x 轴对称，则()y f x == （2）函数lg(2)(2)y x x =->的图像关于x 轴对称的函数()y f x ==5. 函数2()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则实数a 的取值X 围是6. 已知0<a<1，b<-1，则函数()x f x a b =+的图像不经过 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 7.函数213()log (232)f x x x =--的单调递增区间是8. 使log 2(-x)<x+1成立的x 的取值X 围是 9.不论a 为何值时，函数y=(a-1)2x -2a 的图像过一定点，这个定点的坐标是(-1,-12)10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)=1()3x ，则f(12)11.已知函数y=4x -32x +3的值域为[1，7]，则实数x 的取值X 围是(-∞,0]∪[1，2]12．函数()2x f x =，x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，则 （ ） A.12121[()()]()22x x f x f x f ++= B.12121[()()]()22x x f x f x f ++> C.12121[()()]()22x x f x f x f ++< D.以上答案都不对【基础知识】1．幂的有关概念(1)正整数指数幂()nna a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈ (2)零指数幂)0(10≠=a a(3)负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ (4)正分数指数幂()0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>； (5)负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0(0)a a >，没有意义.2．有理数指数幂的性质()()10,,rsr sa a aa r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。

个性化辅导授课教案指数函数与对数函数一、指数函数【考情解读】1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用． 【重点知识梳理】 1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a . 当n 为偶数时na n ＝{ a a ≥0－aa <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1； x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数【高频考点突破】 考点一 指数幂的运算例1、 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．【探究提高】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．【变式探究】计算下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13b 13(a >0，b >0)．考点二 指数函数的图象、性质的应用 例2、 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 【答案】 (1) D 【解析】由f (x )＝a x－b的图象可以观察出函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间． 【解析】依题意x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1， ∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．【探究提高】(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论． 【变式探究】 (1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )【答案】A【解析】y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1且随着x的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 【答案】1【解析】由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0， ∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0， ∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1. 考点三 指数函数的综合应用例3、(1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？ (2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所 以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．【探究提高】对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．【变式探究】已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x) (a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．【解析】(1)因为函数的定义域为R，所以关于原点对称．又因为f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．二、对数函数【考情解读】1.考查对数函数的图象、性质；2.考查对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数问题．【重点知识梳理】1．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M .(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 (5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【高频考点突破】 考点一 对数式的运算 例1、计算下列各式： (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)lg 32－lg 9＋1·lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．【探究提高】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧． 【变式探究】 求值：(1)log 89log 23；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；(3)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. 【解析】(1)原式＝log 2332log 23＝23.(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg 105＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5) ＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1. (3)原式＝lg 427－lg 4＋lg(75) ＝lg42×757×4＝lg 10＝12. 考点二 对数函数的图象与性质例2、已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c【答案】B【探究提高】(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想． 【变式探究】 (1)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【答案】A【解析】b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ， 故c <b <a .(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 【答案】2 2【解析】f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2. 考点三 对数函数的综合应用 例3、已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【探究提高】解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．【变式探究】已知函数f(x)＝log a(8－2x) (a>0且a≠1)．(1)若f(2)＝2，求a的值；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．。